Fisika Universitas — Tahun 2 · Bachelor Year 2

10Muatan, Arus dan Penghantaran

Tekanlah sakelarnya dan lampunya menyala seketika; namun elektron dalam kawat tembaganya menghanyut menujunya sepersekian milimeter tiap sekon, dan akan menuntut berjam-jam untuk tiba. Sebuah sambaran petir mengemban tiga puluh ribu ampere menembus saluran selebar sebuah jari; saraf yang menggerakkan jari itu mengemban pikoampere. Jilid Tahun ke-1 memperlakukan arus sebagai bilangan dalam kawat, $I = U/R$ ; bab ini melukiskannya sebagai sebuah medan — sebuah rapat arus di setiap titik materi — menuliskan hukum bahwa muatan tak pernah diciptakan atau dimusnahkan, lalu menurunkan hukum Ohm dari desak-desakan elektron dalam sebuah logam: gambaran mikroskopik di balik resistor, sekring dan pengindra Hall.

Tembaga, penghantar dunia kelistrikan: dalam untaian kabel ini sekitar 1029 elektron tiap meter kubik menghanyut sepersekian milimeter tiap sekon. — Tembaga, penghantar dunia kelistrikan: dalam untaian kabel ini sekitar $10^{29}$ elektron tiap meter kubik menghanyut sepersekian milimeter tiap sekon.

10.1 Rapat muatan dan rapat arus

Definisi 10.1 (Rapat muatan; rapat arus)

Pada skala mesoskopik, materi mengemban rapat muatan volume $\rho(M, t)$ ( $\mathrm{C}/\mathrm{m}^{3}$ ): muatan $\rho\,\dd\tau$ dalam $\dd\tau$ . Sebuah permukaan dapat mengemban rapat permukaan $\sigma$ ( $\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}$ ), sebuah kawat rapat garis $\lambda$ ( $\mathrm{C}/\mathrm{m}$ ). Jika pengemban jenis $i$ (bermuatan $q_i$ , berkerapatan jumlah $n_i$ ) bergerak dengan kecepatan rata-rata $\vect v_i$ , rapat arusnya adalah

\vect j = \sum_in_iq_i\,\vect v_i \qquad (\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}) ,

dan kuat arus menembus permukaan terorientasi $S$ adalah fluks $I = \iint_S\vect j\cdot\vect n\,\dd S$ : muatan yang menyeberangi $S$ tiap satuan waktu. Untuk satu jenis saja, $\vect j = \rho_m\vect v$ dengan $\rho_m = nq$ yaitu rapat muatan yang dapat bergerak.

Bukti. Dalam $\dd t$ pengemban jenis $i$ yang menyeberangi $\dd S$ adalah yang berada dalam tabung serong beralas $\dd S$ dan bergaris pelukis $\vect v_i\dd t$ : jumlahnya $n_i\vect v_i\cdot\vect n\,\dd S\,\dd t$ , muatannya $q_i$ kali itu. ∎

Contoh 10.2 (Betapa lambat elektron menghanyut)

Tembaga mempunyai satu elektron hantaran tiap atom: $n = \rho_{\text{Cu}}N_A/M = 8900 \times 6.02 \times 10^{23}/0.0635 = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ . Arus $10\,\mathrm{A}$ dalam kawat $1.5\,\mathrm{mm}^{2}$ berarti $j = 6.7 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$ , dan kecepatan hanyutnya adalah $v = j/ne = 6.7 \times 10^6/(8.5 \times 10^{28} \times 1.6 \times 10^{-19}) = 0.5\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ — dua jam tiap meter. Lampunya menyala seketika sebab medan yang mendorong elektronnya terbangun sepanjang seluruh kawatnya dalam hitungan nanosekon (ia berjalan hampir dengan kelajuan cahaya, seperti diperlihatkan kabel Bab 8): semua elektronnya berangkat bersama, seperti air dalam selang yang penuh.

Kiri: sebuah tabung arus — dalam rezim tunak kuat arus yang sama menyeberangi tiap penampangnya. Kanan: sebuah elektron dalam logam berkelok-kelok di antara tumbukan pada sekitar 106 m/s; medannya menambahkan hanyutan lambat, berlawanan dengan E, sepersekian milimeter tiap sekon. — Kiri: sebuah tabung arus — dalam rezim tunak kuat arus yang sama menyeberangi tiap penampangnya. Kanan: sebuah elektron dalam logam berkelok-kelok di antara tumbukan pada sekitar $10^6$ m/s; medannya menambahkan hanyutan lambat, berlawanan dengan $\vect E$ , sepersekian milimeter tiap sekon.

Contoh 10.3 (Orde besar)

Petir, $30\,\mathrm{kA}$ dalam saluran berjari-jari $1\,\mathrm{cm}$ : $j \approx 1 \times 10^{8}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$ . Kawat rumah tangga: $10^6$ – $10^7$ . Berkas elektron dalam tabung sinar katode, $1\,\mathrm{mA}$ pada $1\,\mathrm{mm}^{2}$ : $10^3$ . Serat saraf, $1\,\mathrm{nA}$ menembus $10\,\text{µ}\mathrm{m}^{2}$ : $10^2$ . Berkas sebuah pemercepat partikel, $1\,\mathrm{A}$ pada bintik $0.1\,\mathrm{mm}^{2}$ : $10^7$ — dalam hampa, tanpa tumbukan sama sekali.

10.2 Kekekalan muatan

Teorema 10.4 (Kekekalan muatan lokal)

Di setiap titik,

\frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}\vect j = 0 ;

diintegralkan atas volume tetap $V$ yang dibatasi permukaan tertutup $\Sigma$ , $\dd Q_V/\dd t = -I_{\text{luar}}$ : muatan di dalamnya hanya berubah sebanyak yang menyeberangi batasnya. Dalam rezim tunak ( $\partial_t\rho = 0$ ), $\operatorname{div}\vect j = 0$ : fluks $\vect j$ kekal sepanjang sebuah tabung arus, kuat arus yang sama menyeberangi tiap penampang sebuah kawat, dan arus yang memasuki sebuah simpul sama dengan yang meninggalkannya (hukum simpul Kirchhoff).

Bukti. Kata demi kata sama dengan neraca massa Teorema 2.8 dengan $\rho$ yaitu rapat muatannya dan $\vect j$ arusnya: keluaran total muatan menembus keenam sisi sebuah kotak tetap, tiap satuan volume, adalah $\operatorname{div}\vect j$ , dan tak ada muatan yang diciptakan. Bentuk integralnya menjumlahkan kotaknya (sisi dalamnya saling meniadakan). Untuk sebuah tabung antara dua penampang $S_1$ , $S_2$ tanpa fluks menembus sisinya, $I_1 = I_2$ ; sebuah simpul adalah volume kecil dengan beberapa kawat: $\sum I_{\text{masuk}} = \sum I_{\text{luar}}$ . ∎

Catatan 10.5 (Di mana arusnya berhenti: kapasitor)

Sebuah kawat yang menyuapi keping kapasitor adalah tabung arus yang berakhir: fluks $\vect j$ ke dalam kepingnya adalah $I = \dd Q/\dd t$ , dan muatan menumpuk — $\operatorname{div}\vect j \ne 0$ di sana, rezimnya tidak tunak. Namun arus $I$ yang sama mengalir dalam kawat di sisi yang lain: sesuatu harus mengemban imbangannya menyeberangi celahnya. Bab 11 menamainya — arus pergeseran — lalu menjadikan kekekalan muatan sebagai batu kunci persamaan Maxwell.

10.3 Model Drude dan hukum Ohm

Proposisi 10.6 (Model Drude; hukum Ohm lokal)

Modelkanlah elektron hantaran sebuah logam sebagai partikel bebas (massa $m$ , muatan $-e$ , kerapatan $n$ ) yang merasakan medan $\vect E$ dan, rata-rata, kehilangan momentum hanyutnya karena tumbukan dengan kisinya tiap $\tau$ sekon — yaitu gaya gesek $-m\vect v/\tau$ pada kecepatan rata-ratanya:

m\frac{\dd\vect v}{\dd t} = -e\vect E - \frac m\tau\vect v .

Dalam medan tetap hanyutannya menetap, dalam beberapa $\tau$ , pada $\vect v = -e\tau \vect E/m$ , dan rapat arusnya adalah

\vect j = \gamma\,\vect E , \qquad \gamma = \frac{ne^2\tau}{m} :

yaitu hukum Ohm lokal, dengan $\gamma$ yaitu konduktivitas ( $\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ; kebalikannya $\rho_e = 1/\gamma$ adalah hambatan jenis, $\Omega\,\mathrm{m}$ ). Nisbah $\mu = e\tau/m$ antara kelajuan hanyutnya dan medannya adalah mobilitas ( $\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s})$ ). Untuk penghantar sepanjang $L$ dan berpenampang seragam $S$ yang mengemban $\vect j$ seragam, mengintegralkan $E = j/\gamma$ sepanjang panjangnya memberi $U = EL = (L/\gamma S)I$ : yaitu hambatan $R = L/\gamma S = \rho_eL/S$ jilid Tahun ke-1.

Bukti. Dengan $\vect v = -e\tau\vect E/m$ , $\vect j = -ne\vect v = (ne^2\tau/m)\vect E$ . Peralihannya $\vect v(t) = \vect v_\infty(1 - \eu^{-t/\tau})$ berlangsung $\tau \sim 1 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ , seketika pada setiap skala waktu rangkaian. Hambatannya menyusul dari $\int\vect E\cdot\dd\vect l$ antara kedua ujungnya. ∎

Contoh 10.7 (Tembaga, dari konduktivitas terukurnya)

Tembaga: $\gamma = 6.0 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ , $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ : $\tau = m\gamma/ne^2 = 9.1 \times 10^{-31} \times 6 \times 10^7/(8.5 \times 10^{28} \times 2.56 \times 10^{-38}) = 2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ — dua puluh lima femtosekon di antara tumbukan. Kelajuan acak elektron dalam logam sekitar $1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (sebuah gejala kuantum, bukan kelajuan termal $\sqrt{3k_BT/m} \approx 1 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ), jadi jalan bebas rata-ratanya $\ell = v\tau \approx 40\,\mathrm{nm}$ , yaitu seratus jarak atom: elektronnya tidak bertumbukan dengan atomnya sendiri (kristal yang sempurna tembus pandang bagi mereka) melainkan dengan cacat dan getaran termalnya — itulah sebabnya $\gamma$ turun ketika sebuah logam dipanaskan atau dipaduk. Mobilitasnya $e\tau/m = 4.4 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s})$ : $4\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ tiap volt tiap meter.

Proposisi 10.8 (Hukum Ohm pada frekuensi tinggi)

Untuk medan sinusoidal $\underline{\vect E}\,\eu^{\iu\omega t}$ persamaan Drude memberi $\underline{\vect j} = \underline\gamma(\omega)\underline{\vect E}$ dengan

\underline\gamma(\omega) = \frac{\gamma_0}{1 + \iu\omega\tau} , \qquad \gamma_0 = \frac{ne^2\tau}{m} :

konduktivitasnya nyata dan sama dengan nilai searahnya selama $\omega\tau \ll 1$ , yakni sampai sekitar $1 \times 10^{13}\,\mathrm{Hz}$ bagi tembaga — di sepanjang seluruh jangkauan radio dan gelombang mikro; dalam inframerah dan cahaya tampak ( $\omega\tau \gg 1$ ) ia menjadi khayal, $\underline\gamma \approx ne^2/\iu m\omega$ : elektronnya berayun bebas, berbeda fase dengan medannya, dan logamnya berperilaku sebagai plasma Bab 14.

Bukti. $\iu\omega m\underline{\vect v} = -e\underline{\vect E} - m\underline{\vect v}/\tau$ , yang darinya $\underline{\vect v} = -e\tau\underline{\vect E}/m(1 + \iu\omega\tau)$ dan $\underline{\vect j} = -ne\underline{\vect v}$ . ∎

Kiri: konduktivitas Drude terhadap — nyata dan tetap pada frekuensi rendah, khayal di luar 1/. Kanan: efek Hall dalam sebuah pita penghantar — pengembannya terdorong ke samping oleh medannya, memuati tepinya, dan medan Hall melintangnya mengimbangi gaya magnetiknya. — Kiri: konduktivitas Drude terhadap $\omega\tau$ — nyata dan tetap pada frekuensi rendah, khayal di luar $1/\tau$ . Kanan: efek Hall dalam sebuah pita penghantar — pengembannya terdorong ke samping oleh medannya, memuati tepinya, dan medan Hall melintangnya mengimbangi gaya magnetiknya.

Catatan 10.9 (Penghantar, semikonduktor, elektrolit)

Hukum yang sama $\vect j = \sum n_iq_i\mu_i\vect E$ berlaku bagi setiap penghantar; yang berubah adalah $n$ dan $\mu$ . Logam: $n \sim 10^{29}$ , $\gamma \sim 10^7$ S/m. Semikonduktor: $n \sim 10^{16}$ – $10^{23}$ , yang ditetapkan pendopingan dan naik tajam dengan suhu, dengan dua macam pengemban (elektron dan lubang) — dari situlah termistor dan dioda. Elektrolit: ion bertanda dua-duanya, $\mu \sim 10^{-8}$ – $10^{-7}$ m $^2$ /(V s); air laut $\gamma \approx 5\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ , air keran $10^{-2}$ , air murni $10^{-5}$ . Isolator (kaca, polimer): $\gamma \lesssim 10^{-12}$ S/m. Efek Hall jilid Tahun ke-1, dalam bentuk lokal $\vect E_H = -\vect j\wedge\vect B/nq$ , mengukur $n$ dan tanda $q$ : dalam aluminium atau seng pengembannya ternyata positif — lubang — dan tak ada model klasik yang menjelaskannya.

10.4 Energi: hukum Joule lokal

Proposisi 10.10 (Hukum Joule lokal)

Medan listriknya menyerahkan kepada pengembannya, tiap satuan volume dan waktu, daya $\vect j\cdot\vect E$ ; dalam penghantar ohmik ini sama dengan

p = \vect j\cdot\vect E = \gamma E^2 = \frac{j^2}\gamma \ \ (\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}) ,

seluruhnya berubah menjadi kalor oleh tumbukannya (energi kinetik hanyutnya dapat diabaikan dan tetap). Diintegralkan atas sebuah kawat, $\int j^2/\gamma\,\dd\tau = (L/\gamma S)I^2 = RI^2$ .

Bukti. Gaya $q\vect E$ pada tiap pengemban melakukan usaha dengan laju $q\vect E\cdot\vect v$ ; dijumlahkan atas $n\,\dd\tau$ pengembannya: $nq\vect v\cdot\vect E\,\dd\tau = \vect j\cdot \vect E\,\dd\tau$ (gaya magnetiknya tak melakukan usaha). Dalam keadaan tunak Drude daya ini sama dengan yang dilesapkan suku gesekannya, yakni dipindahkan ke kisinya. ∎

Contoh 10.11 (Sebuah kawat yang memanas)

Kawat $1.5\,\mathrm{mm}^{2}$ pada $10\,\mathrm{A}$ : $p = j^2/\gamma = (6.7 \times 10^6)^2/6 \times 10^7 = 7.4 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$ , yakni $1.1\,\mathrm{W}$ tiap meter — mudah dibuang udara di sekelilingnya. Dibiarkan sendiri (tanpa pendinginan), tembaga ( $c = 385\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ , $\rho = 8900\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) akan menghangat dengan $p/\rho c = 0.2\,\mathrm{K}/\mathrm{s}$ . Pada $100\,\mathrm{A}$ dalam kawat yang sama lajunya seratus kali lebih besar, $20\,\mathrm{K}/\mathrm{s}$ : ia mencair dalam semenit — yaitu asas sekring, yang kawat tipisnya dirancang agar mencair lebih dulu.

Proposisi 10.12 (Relaksasi muatan dalam penghantar)

Dalam penghantar ohmik rapat muatan volumenya meluruh sebagai $\rho(t) = \rho_0\eu^{-t/\tau_r}$ dengan

\tau_r = \frac{\varepsilon_0}{\gamma} :

$1.5 \times 10^{-19}\,\mathrm{s}$ bagi tembaga, $2 \times 10^{-12}\,\mathrm{s}$ bagi air laut, $10\,\mathrm{s}$ bagi kaca. Sampai frekuensi berorde $1/\tau_r$ sebuah penghantar tak mengemban muatan volume sama sekali: kelebihan muatan mana pun berlari ke permukaannya. Kata “penghantar” karena itu bergantung pada skala waktunya: air laut adalah penghantar bagi gelombang radio dan isolator bagi cahaya tampak.

Bukti. Kekekalan muatan dengan $\vect j = \gamma\vect E$ dan hukum Gauss dalam bentuk lokal, $\operatorname{div}\vect E = \rho/\varepsilon_0$ (Bab 11): $\partial_t\rho = -\gamma\operatorname{div}\vect E = -(\gamma/\varepsilon_0)\rho$ . ∎

Metode 10.13 (Dari hukum lokal ke hukum integral)

Untuk mencari hambatan penghantar berbentuk sembarang: (1) pakailah simetrinya untuk menuliskan $\vect j$ (tunak: fluksnya kekal, jadi dalam sebuah tabung $j \times$ penampangnya $= I$ ); (2) $\vect E = \vect j/\gamma$ ; (3) integralkanlah $\vect E$ sepanjang sebuah garis dari satu elektrode ke yang lain: $U = \int\vect E\cdot \dd\vect l$ , dan $R = U/I$ ; (4) periksalah dengan daya Joulenya $\int j^2/\gamma\, \dd\tau = RI^2$ . Langkah yang sama memberi kebocoran sebuah kabel, hambatan tanah di sekeliling sebuah penangkal petir, atau hambatan sebuah sentuhan kerucut.

10.5 Latihan

Latihan 10.1 ★

Sebuah kawat tembaga $2.5\,\mathrm{mm}^{2}$ mengemban $16\,\mathrm{A}$ . Tentukanlah rapat arusnya, kelajuan hanyutnya ( $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ ), waktu bagi sebuah elektron untuk menempuh $20\,\mathrm{m}$ ke sebuah stopkontak; medan listrik dalam kawatnya ( $\gamma = 6.0 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ), jatuh tegangan sepanjang $20\,\mathrm{m}$ dan daya yang hilang.

Solusi

Solusi Latihan 10.1.

$j = 16/2.5 \times 10^{-6} = 6.4 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$ ; $v = j/ne = 0.47\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ ; $20\,\mathrm{m}$ dalam $4.3 \times 10^4$ s, dua belas jam. $E = j/\gamma = 0.11\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ ; $U = 2.1\,\mathrm{V}$ ; $P = UI = 34\,\mathrm{W}$ .

Latihan 10.2 ★

Rapat arus: sebuah sambaran petir ( $30\,\mathrm{kA}$ , jari-jari $1\,\mathrm{cm}$ ); sebuah berkas elektron ( $2\,\mathrm{mA}$ , $0.5\,\mathrm{mm}^{2}$ ); sebuah akson saraf ( $1\,\mathrm{nA}$ , jari-jari $2\,\text{µ}\mathrm{m}$ ); arus cincin magnetosfer Bumi ( $1\,\mathrm{MA}$ menembus sekitar $1 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$ ). Mana yang melampaui kawat latihan sebelumnya?

Solusi

Solusi Latihan 10.2.

Petir $3 \times 10^4/\pi10^{-4} = 1 \times 10^{8}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$ ; berkasnya $4 \times 10^{3}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$ ; aksonnya $10^{-9}/1.3 \times 10^{-11} = 80\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$ ; arus cincinnya $1 \times 10^{-8}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$ . Hanya petirnya yang melampaui $6 \times 10^6$ kawatnya.

Latihan 10.3 ★

Hambatan jenis pada $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ : tembaga $1.7 \times 10^{-8}\,\Omega\,\mathrm{m}$ , aluminium $2.8 \times 10^{-8}\,\Omega\,\mathrm{m}$ , besi $1.0 \times 10^{-7}\,\Omega\,\mathrm{m}$ , nikrom $1.1 \times 10^{-6}\,\Omega\,\mathrm{m}$ . Tentukanlah hambatan $100\,\mathrm{m}$ kawat $2.5\,\mathrm{mm}^{2}$ bagi masing-masingnya; penampang aluminium yang setara dengan $2.5\,\mathrm{mm}^{2}$ tembaga, dan nisbah massanya (massa jenisnya $8900$ dan $2700\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ); panjang kawat nikrom $0.5\,\mathrm{mm}$ bagi sebuah pemanas $1\,\mathrm{kW}$ , $230\,\mathrm{V}$ .

Solusi

Solusi Latihan 10.3.

$R = \rho_eL/S$ : $0.68$ , $1.1$ , $4.0$ , $44\,\Omega$ . Aluminium: $2.5 \times 2.8/1.7 = 4.1\,\mathrm{mm}^{2}$ , nisbah massanya $(4.1 \times 2700)/(2.5 \times 8900) = 0.50$ — separuh massanya. Pemanas: $R = 230^2/1000 = 53\,\Omega$ , $S = 0.196\,\mathrm{mm}^{2}$ , $L = RS/\rho_e = 9.4\,\mathrm{m}$ .

Latihan 10.4 ★

Drude: tentukanlah $\tau$ , mobilitas dan jalan bebas rata-rata (kelajuan acaknya $1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) bagi tembaga ( $\gamma = 6.0 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ , $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ ) dan perak ( $\gamma = 6.3 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ , $n = 5.9 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ ); konduktivitas sebuah cuplikan silikon dengan $n = 1 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}$ dan $\mu = 0.14\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s})$ ; kelajuan hanyut dalam cuplikan itu pada $1\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ .

Solusi

Solusi Latihan 10.4.

$\tau = m\gamma/ne^2$ : tembaga $2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ , $\mu = e\tau/m = 4.4 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s})$ , $\ell = 40\,\mathrm{nm}$ ; perak $3.8 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ , $6.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s})$ , $61\,\mathrm{nm}$ . Silikon: $\gamma = ne\mu = 10^{22} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 0.14 = 220\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ; $v = \mu E = 140\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Latihan 10.5 ★★

Sebuah kapasitor berkeping $S$ diisi lewat sebuah kawat oleh $I(t)$ . (a) Terapkanlah hukum kekekalan integralnya pada permukaan tertutup yang melingkupi satu keping: kaitkanlah $I$ dan muatan kepingnya $Q$ . (b) Mengapa $\operatorname{div}\vect j \ne 0$ di kepingnya? (c) Sebuah elektrode bola berjari-jari $a$ dalam medium penghantar memancarkan arus radial $I$ : tentukanlah $\vect j(r)$ ; periksalah $\operatorname{div} \vect j = 0$ untuk $r > a$ (pakailah $\operatorname{div}\vect j = \frac1{r^2}\partial_r(r^2j_r)$ bagi medan radial). (d) Di manakah, kalau begitu, kekekalan muatannya “patah”?

Solusi

Solusi Latihan 10.5.

(a) Arus masuk, tak ada yang keluar: $\dd Q/\dd t = I$ . (b) Muatannya menumpuk: $\partial_t \rho \ne 0$ . (c) $\vect j = (I/4\pi r^2)\vect e_r$ : $\operatorname{div}\vect j = \frac1{r^2} \partial_r(I/4\pi) = 0$ . (d) Hanya di elektrodenya, tempat arusnya disuntikkan dari kawatnya — sebuah sumber fluks.

Latihan 10.6 ★★

Kebocoran sebuah kabel koaksial. Isolator di antara kedua penghantarnya (jari-jari $a = 1\,\mathrm{mm}$ , $b = 3.5\,\mathrm{mm}$ ) mempunyai $\gamma = 1 \times 10^{-13}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ; sebuah tegangan $U$ dikenakan di antara keduanya, sebuah arus bocor radial $I$ mengalir tiap panjang $L$ . (a) $\vect j(r)$ dan $\vect E(r)$ . (b) Tunjukkanlah bahwa hambatan sepanjang $L$ adalah $R = \ln(b/a)/2\pi\gamma L$ ; nilainya tiap kilometer. (c) Arus bocor dan dayanya tiap kilometer pada $1\,\mathrm{kV}$ . (d) Bandingkanlah dengan kapasitansi tiap panjangnya $2\pi\varepsilon_0\varepsilon_r/\ln(b/a)$ : tunjukkanlah $RC = \varepsilon_0\varepsilon_r/\gamma$ lalu tafsirkanlah dengan waktu relaksasinya.

Solusi

Solusi Latihan 10.6.

(a) $j = I/2\pi rL$ , $E = j/\gamma$ , radial. (b) $U = \int_a^bE\,\dd r = I\ln(b/a)/ 2\pi\gamma L$ : $R = \ln3.5/(2\pi \times 10^{-13} \times 10^3) = 2 \times 10^{9}\,\Omega$ tiap kilometer. (c) $0.5\,\text{µ}\mathrm{A}$ , $0.5\,\mathrm{mW}$ . (d) $RC = \varepsilon_0\varepsilon_r/\gamma = 200\,\mathrm{s}$ bagi $\varepsilon_r = 2.3$ : kabelnya, yang terisi dan terkucil, melucut lewat isolatornya sendiri dengan waktu relaksasi isolator itu.

Latihan 10.7 ★★

Konduktivitas kompleks tembaga ( $\tau = 2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ ). (a) $\omega\tau$ pada $50\,\mathrm{Hz}$ , $10\,\mathrm{GHz}$ (gelombang mikro), $30\,\mathrm{THz}$ (inframerah), $5 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ (cahaya hijau). (b) Modulus dan fase $\underline\gamma/\gamma_0$ dalam tiap halnya. (c) Sampai frekuensi berapa hukum Ohm baik sampai $1\%$ ? (d) Dalam cahaya tampak, tuliskanlah $\underline\gamma$ lalu tunjukkanlah bahwa $\underline{\vect j}$ berada dalam kuadratur dengan $\underline{\vect E}$ : berapa daya Joule reratanya?

Solusi

Solusi Latihan 10.7.

(a) $\omega\tau$ : $8 \times 10^{-12}$ , $1.6 \times 10^{-3}$ , $4.7$ , $79$ . (b) $|\underline\gamma|/\gamma_0 = 1/\sqrt{1 + \omega^2\tau^2}$ : $1$ , $1$ , $0.21$ , $0.013$ ; fasenya $-\arctan\omega\tau$ : $0$ , $-0.09{}^{\circ}$ , $-78{}^{\circ}$ , $-89{}^{\circ}$ . (c) $\omega\tau \le 0.14$ : $f \le 0.9\,\mathrm{THz}$ . (d) $\underline\gamma \approx ne^2/\iu m\omega$ : $\underline{\vect j}$ tertinggal $90{}^{\circ}$ dari $\underline{\vect E}$ , $\langle\vect j\cdot\vect E\rangle = 0$ : tak ada pemanasan Joule — elektronnya berayun bebas, seperti dalam sebuah plasma.

Latihan 10.8 ★★

Sebuah kawat sekring tembaga $0.20\,\mathrm{mm}$ (tembaga: $\gamma = 6.0 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ , $\rho = 8900\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , $c = 385\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ , mencair pada $1085{}^{\circ}\mathrm{C}$ , kalor laten $205\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ). (a) Rapat arus dan daya Joule tiap satuan volume pada $10\,\mathrm{A}$ . (b) Waktu untuk mencair dari $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ jika tak ada kalor yang lolos (abaikanlah kenaikan hambatan jenisnya dengan suhu). (c) Hal yang sama pada $30\,\mathrm{A}$ . (d) Kenyataannya kawatnya kehilangan kalor ke udara: bagaimana itu menetapkan arus terala sebuah sekring, dan mengapa sekring dikemas dalam selongsong berisi pasir?

Solusi

Solusi Latihan 10.8.

(a) $S = 3.1 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{2}$ , $j = 3.2 \times 10^{8}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$ , $p = j^2/\gamma = 1.7 \times 10^{9}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$ . (b) Energi untuk mencair tiap satuan volume $\rho(c\Delta T + L_f) = 8900(4.1 \times 10^5 + 2.05 \times 10^5) = 5.5 \times 10^{9}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ : $3.2\,\mathrm{s}$ . (c) Sembilan kali lebih cepat: $0.36\,\mathrm{s}$ . (d) Arus teralanya adalah arus yang pemanasan Joulenya tepat dibuang udaranya di bawah titik leburnya; pasirnya memadamkan busur api yang jika tidak akan tetap menghantar menyeberangi celahnya sesudah kawatnya mencair.

Latihan 10.9 ★★

Relaksasi. (a) Turunkanlah $\partial_t\rho = -(\gamma/\varepsilon_0)\rho$ dari kekekalan muatan, hukum Ohm dan $\operatorname{div}\vect E = \rho/\varepsilon_0$ . (b) Tentukanlah $\tau_r$ bagi tembaga, air laut ( $\gamma = 5\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ), air keran ( $5 \times 10^{-2}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ), kaca ( $1 \times 10^{-12}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ), PTFE ( $1 \times 10^{-16}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ). (c) Sampai frekuensi berapa masing-masingnya “penghantar yang baik” (muatannya berelaksasi dalam satu periode)? (d) Sebatang kaca bermuatan menahan muatannya bermenit-menit: selarask ah itu?

Solusi

Solusi Latihan 10.9.

(a) $\partial_t\rho = -\operatorname{div}\vect j = -\gamma\operatorname{div}\vect E = -\gamma\rho/ \varepsilon_0$ . (b) $\varepsilon_0/\gamma$ : $1.5 \times 10^{-19}\,\mathrm{s}$ , $1.8 \times 10^{-12}\,\mathrm{s}$ , $1.8 \times 10^{-10}\,\mathrm{s}$ , $9\,\mathrm{s}$ , $9 \times 10^4$ s. (c) $f \lesssim 1/2\pi\tau_r$ : $10^{18}$ Hz (model Drude gagal jauh sebelum itu), $90\,\mathrm{GHz}$ , $0.9\,\mathrm{GHz}$ , $0.02\,\mathrm{Hz}$ , $2 \times 10^{-6}\,\mathrm{Hz}$ . (d) Sebatang kaca akan kehilangan muatannya dalam semenit lewat volumenya; kaca kering yang sungguhan lebih dekat ke $10^{-14}$ S/m (berjam-jam), dan kelembapan permukaannyalah yang biasanya melucutinya — selaras dalam orde besarnya.

Latihan 10.10 ★★★

Pembumian. Sebuah elektrode setengah bola berjari-jari $a = 0.50\,\mathrm{m}$ terkubur rata dengan permukaan tanah berkonduktivitas $\gamma = 0.010\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ; sebuah arus $I$ memasukinya lalu menyebar secara radial ke separuh ruangnya. (a) $\vect j(r)$ , $\vect E(r)$ , potensial $V(r)$ dengan $V(\infty) = 0$ . (b) Hambatan pembumiannya, $R = 1/2\pi\gamma a$ ; nilainya. (c) Sebuah sambaran petir $20\,\mathrm{kA}$ menghantam batangnya: potensial batangnya; potensial di $r = 10\,\mathrm{m}$ dan $10.7\,\mathrm{m}$ ; “tegangan langkah” antara kedua kaki seseorang yang berdiri di sana (kakinya terpisah $0.7\,\mathrm{m}$ , secara radial). (d) Mengapa ternak, yang keempat kakinya berjauhan, lebih sering terbunuh sambaran di dekatnya daripada manusia?

Solusi

Solusi Latihan 10.10.

(a) $\vect j = (I/2\pi r^2)\vect e_r$ , $E = I/2\pi\gamma r^2$ , $V = I/2\pi\gamma r$ . (b) $R = V(a) /I = 1/2\pi\gamma a = 32\,\Omega$ . (c) $V_{\text{batang}} = 640\,\mathrm{kV}$ ; $V(10) = 32\,\mathrm{kV}$ , $V(10.7) = 30\,\mathrm{kV}$ : $2.1\,\mathrm{kV}$ di antara kedua kakinya. (d) Kaki depan dan belakangnya terpisah $1.5\,\mathrm{m}$ sepanjang jari-jarinya: $4$ – $5\,\mathrm{kV}$ , dan lintasan arusnya menyeberangi jantungnya.

Latihan 10.11 ★★★

Pengindra Hall. Sebuah pita setebal $t$ dan selebar $w$ mengemban $I$ sepanjang $x$ dalam medan $B$ sepanjang $z$ . (a) Dari $\vect E_H = -\vect j\wedge\vect B /nq$ , tunjukkanlah bahwa tegangan Hall menyeberangi lebarnya adalah $V_H = IB/nqt$ . (b) Pita tembaga, $t = 0.10\,\mathrm{mm}$ , $1\,\mathrm{A}$ , $1\,\mathrm{T}$ : berapa $V_H$ ? (c) Sebuah semikonduktor terdoping dengan $n = 1 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}$ , geometri sama: $V_H$ ; mengapa pengindra memakai semikonduktor. (d) Sebuah pengindra dengan $n = 1 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}$ , $t = 20\,\text{µ}\mathrm{m}$ , yang disuapi $1\,\mathrm{mA}$ , membaca $10\,\text{µ}\mathrm{V}$ : medan yang terukur. Apa yang diberitahukan tanda $V_H$ ?

Solusi

Solusi Latihan 10.11.

(a) $E_H = jB/nq$ dengan $j = I/wt$ : $V_H = E_Hw = IB/nqt$ . (b) $1/(8.5 \times 10^{28} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 10^{-4}) = 0.7\,\text{µ}\mathrm{V}$ . (c) $6.3\,\mathrm{mV}$ : $V_H \propto 1/n$ , dan semikonduktor mempunyai pengemban $10^6$ kali lebih sedikit. (d) $B = V_Hnqt/I = 10^{-5} \times 10^{22} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 2 \times 10^{-5}/10^{-3} = 0.32\,\mathrm{T}$ ; tanda $V_H$ memberi tanda pengembannya (bagi $\vect B$ yang diketahui), atau arah $\vect B$ (bagi pengindra yang diketahui).

Latihan 10.12 ★★★

Elektrolit. Dalam air, ion Na $^+$ dan Cl $^-$ mempunyai mobilitas $\mu_+ = 5.2 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s})$ dan $\mu_- = 7.9 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s})$ . (a) Tunjukkanlah bahwa $\gamma = ne(\mu_+ + \mu_-)$ bagi $n$ pasang ion tiap satuan volume. (b) Air laut, $0.5\,\mathrm{mol}/\mathrm{L}$ NaCl: berapa $\gamma$ ? Bandingkanlah dengan $5\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ yang terukur. (c) Kelajuan hanyutnya pada $10\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ ; ion mana yang mengemban lebih banyak arusnya? (d) Sebuah kolom air laut, $1\,\mathrm{cm}^{2}$ kali $10\,\mathrm{cm}$ , mengemban $1\,\mathrm{A}$ : tegangan, daya, dan waktu untuk menghangatkannya $10\,\mathrm{K}$ ( $c = 4.0\,\mathrm{kJ}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ ); mengapa gel elektroforesis didinginkan.

Solusi

Solusi Latihan 10.12.

(a) $\vect j = ne\mu_+\vect E + (-ne)(-\mu_-\vect E)$ : kedua jenisnya menghanyut ke arah berlawanan lalu mengemban arus ke arah yang sama. (b) $n = 0.5 \times 10^3 \times 6.02 \times 10^{23} = 3 \times 10^{26}\,\mathrm{m}^{-3}$ : $\gamma = 3 \times 10^{26} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 1.31 \times 10^{-7} = 6.3\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ (ionnya saling menghalangi pada kepekatan ini: $5\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ yang terukur). (c) $0.52\,\text{µ}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dan $0.79\,\text{µ}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : Cl $^-$ mengemban $60\%$ . (d) $R = L/\gamma S = 200\,\Omega$ , $U = 200\,\mathrm{V}$ , $P = 200\,\mathrm{W}$ ke dalam $10\,\mathrm{g}$ air: $10\,\mathrm{K}$ dalam $2\,\mathrm{s}$ — dari situlah keping pendingin bejana elektroforesis.

10.6 Soal: Kawat tembaga, dari atom sampai jaringan listrik

Soal 10.1

Soal akhir pekan — satu meter kawat rumah tangga yang diperiksa pada empat skala: elektronnya, hukum lokalnya, rangkaiannya, dan saluran dayanya

Tembaga: massa molar $63.5\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ , massa jenis $8900\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , satu elektron hantaran tiap atom, konduktivitas $\gamma = 6.0 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ pada $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ , hambatan jenis yang naik $\rho_e(T) = \rho_e(20)[1 + \alpha(T - 20)]$ dengan $\alpha = 4.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{K}^{-1}$ ; $c = 385\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ . Kawat: penampang $S = 2.5\,\mathrm{mm}^{2}$ , panjang $1\,\mathrm{m}$ , arus $16\,\mathrm{A}$ .

Bagian I — Elektronnya.

Kerapatan jumlah $n$ elektron hantarannya.
Rapat arus dan kecepatan hanyutnya; berapa lama sebuah elektron perlu untuk menyeberangi satu meternya.
$\tau$ Drude dan mobilitasnya; jalan bebas rata-rata dengan kelajuan acak $1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; berapa jarak atom ( $0.26\,\mathrm{nm}$ ) nilai itu, dan apa katanya tentang dengan apa elektronnya bertumbukan?
Getaran termalnya tumbuh dengan $T$ , jadi kira-kira $\tau \propto 1/T$ : periksalah terhadap $\alpha$ dekat suhu ruang ( $\dd\rho_e/\rho_e = \dd T/T$ akan memberi $\alpha = 1/293$ ).
Medan listrik dalam kawatnya; tegangan total sepanjang meternya; energi kinetik hanyutnya tiap elektron dibandingkan dengan $k_BT$ — terganggukah gas elektronnya oleh arusnya?
Jumlah elektron yang menyeberangi sebuah penampang kawatnya tiap sekon.
Muatan elektron hantaran dalam satu meter kawatnya; gaya yang dikerahkan medannya pada semuanya sekaligus; bandingkanlah dengan berat kawatnya. Ke mana gaya itu berakhir (pikirkanlah tumbukannya)?

Bagian II — Hukum lokalnya.

Daya Joule tiap satuan volume dan tiap meter.
Kawatnya, di udara, kehilangan kalor dengan laju $h(T - T_a)$ tiap satuan permukaan dengan $h = 10\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K})$ (konveksi): kenaikan suhu setimbangnya; periksalah apakah koreksi hambatan jenisnya berarti.
Kawat yang sama terkubur dalam penyekat yang hanya melewatkan $h = 2\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K})$ : kenaikan suhu barunya, dengan koreksi hambatan jenisnya disertakan (selesaikanlah neracanya).
Dibiarkan tanpa pendinginan apa pun, laju kenaikan suhunya pada $16\,\mathrm{A}$ dan pada $160\,\mathrm{A}$ (sebuah korsleting); waktu untuk mencapai titik leburnya ( $1085{}^{\circ}\mathrm{C}$ ) dalam hal yang kedua; apa yang melindungi instalasinya?
Pada $50\,\mathrm{Hz}$ , $\omega\tau = ?$ Terpengaruhkah hukum Ohmnya? (Efek kulit Bab 14 adalah perkara lain.)
Tuliskanlah waktu relaksasi $\varepsilon_0/\gamma$ tembaganya; apa siratnya bagi rapat muatan di dalam kawatnya, dan di manakah muatan yang menghasilkan medan $E$ di dalam kawatnya berada?

Bagian III — Kekekalan muatan dalam rangkaiannya. Kawatnya menyuapi sebuah kapasitor $C = 100\,\text{µ}\mathrm{F}$ lewat sebuah sakelar; arusnya $I(t) = I_0\eu^{-t/\tau_c}$ dengan $I_0 = 16\,\mathrm{A}$ , $\tau_c = 1\,\mathrm{ms}$ .

Muatan yang mencapai kepingnya; tegangan akhirnya.
Terapkanlah $\dd Q/\dd t = -I_{\text{luar}}$ pada permukaan tertutup di sekeliling kepingnya: sisi mana yang mengemban arus hantaran, sisi mana yang tidak? Besaran apa karena itu yang harus berubah dalam celahnya?
Pada $t = 0.5\,\mathrm{ms}$ , laju perubahan muatan kepingnya; jika kepingnya seluas $1\,\mathrm{cm}^{2}$ dan berjarak $0.1\,\mathrm{mm}$ di udara, laju perubahan medan di antaranya.
Tunjukkanlah bahwa $\varepsilon_0\,\dd E/\dd t \times$ luas kepingnya sama dengan arus dalam kawatnya — yaitu besaran yang ditambahkan Bab 11 pada hukum Ampère.
Kawatnya dipotong dan kedua ujungnya berjarak $1\,\mathrm{mm}$ di udara: arus berapa yang mengalir (udara $\gamma \approx 1 \times 10^{-14}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ )? Pada medan berapa udaranya tembus listrik ( $3\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ ): tegangan berapa menyeberangi celahnya yang membuat sebuah bunga api?

Bagian IV — Salurannya. Sebuah saluran $230\,\mathrm{V}$ dari tembaga $10\,\mathrm{mm}^{2}$ , sepanjang $500\,\mathrm{m}$ (pergi dan pulang: $1\,\mathrm{km}$ kawat), menyuapi sebuah peternakan yang menarik $40\,\mathrm{A}$ .

Hambatan, jatuh tegangan, dan daya yang hilang dalam salurannya; bagian daya yang terserahkan.
Daya yang sama pada $20\,\mathrm{kV}$ dengan sebuah transformator di tiap ujungnya: arus, jatuh tegangan dan ruginya; simpulkanlah mengapa penyaluran dilakukan pada tegangan tinggi.
Aluminium ( $\gamma = 3.6 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ , $2700\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) dipakai pada menara: penampang bagi hambatan yang sama dengan $10\,\mathrm{mm}^{2}$ tembaga; massa tiap kilometer bagi keduanya; mengapa aluminium menang di atas sana dan tembaga menang di dalam dinding.
Sebuah pengindra Hall yang dijepitkan mengelilingi salurannya membaca medannya: bagi sebuah tang ampere dengan $n = 1 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}$ , $t = 0.1\,\mathrm{mm}$ , yang disuapi $5\,\mathrm{mA}$ dalam medan $0.1\,\mathrm{T}$ yang dipusatkan sebuah teras besi, berapa tegangan Hallnya.
Sesudah beban seharian yang panas kawatnya berada pada $80{}^{\circ}\mathrm{C}$ : hambatannya ketika itu, dan rugi tambahannya.
Petir menghantam salurannya: $20\,\mathrm{kA}$ selama $100\,\text{µ}\mathrm{s}$ . Energi yang dilesapkan dalam $1\,\mathrm{km}$ kawatnya; kenaikan suhunya jika tak ada yang lolos; rapat arusnya — bandingkanlah dengan Bagian I.
Rangkumlah: kelima besaran ( $n$ , $\tau$ , $\gamma$ , $j$ , $E$ ) yang melukiskan kawatnya pada tiap skala, dan hukum yang mengaitkan tiap pasangnya.

Solusi

Solusi Soal 10.1.

1. $n = \rho N_A/M = 8.4 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ .

2. $j = 6.4 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$ , $v = j/ne = 0.47\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ ; $35\,\mathrm{min}$ tiap meter.

3. $\tau = m\gamma/ne^2 = 2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ , $\mu = 4.4 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s})$ , $\ell = 40\,\mathrm{nm}$ , $150$ jarak atom: elektronnya bertumbukan dengan cacat dan getaran termalnya, bukan dengan atomnya.

4. $\rho_e \propto T$ memberi $\alpha = 1/293 = 3.4 \times 10^{-3}\,\mathrm{K}^{-1}$ , dekat dengan $4 \times 10^{-3}$ yang terukur.

5. $E = 0.11\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ , $U = 0.11\,\mathrm{V}$ ; $\tfrac12mv^2 = 1 \times 10^{-37}\,\mathrm{J}$ melawan $k_BT = 4 \times 10^{-21}\,\mathrm{J}$ : gas elektronnya tak menyadari arusnya.

6. $I/e = 1 \times 10^{20}\,$ elektron tiap sekon.

7. $Q = neSL = 3.4 \times 10^{4}\,\mathrm{C}$ ; $QE = 3.6\,\mathrm{kN}$ , melawan berat $0.2\,\mathrm{N}$ . Medannya menarik kisi positifnya dengan gaya yang berlawanan; elektronnya menyerahkan momentumnya kepada kisinya lewat tumbukan: kawatnya sebagai keseluruhan tak merasakan apa pun.

8. $p = j^2/\gamma = 6.8 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$ , $1.7\,\mathrm{W}/\mathrm{m}$ .

9. Permukaannya $\pi d = 5.6 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}$ tiap meter: $\Delta T = 1.7/(10 \times 5.6 \times 10^{-3}) = 30\,\mathrm{K}$ ; hambatan jenisnya naik $12\%$ , dayanya menjadi $1.9\,\mathrm{W}$ : $\Delta T \approx 35\,\mathrm{K}$ .

10. $\Delta T = 1.7(1 + 0.004\Delta T)/(2 \times 5.6 \times 10^{-3})$ : $\Delta T(1 - 0.6) = 150$ , $\Delta T \approx 400\,\mathrm{K}$ — dekat pelarian termal: kabel yang terkubur harus diturunkan alanya.

11. $p/\rho c = 0.2\,\mathrm{K}/\mathrm{s}$ ; pada $160\,\mathrm{A}$ , $20\,\mathrm{K}/\mathrm{s}$ : mencair dalam sekitar semenit (lebih cepat ketika $\rho_e$ naik); pemutus arusnya membuka dalam milisekon.

12. $\omega\tau = 8 \times 10^{-12}$ : hukum Ohmnya tak tersentuh.

13. $\varepsilon_0/\gamma = 1.5 \times 10^{-19}\,\mathrm{s}$ : tak ada muatan di dalamnya; medan dalam kawatnya dibuat muatan pada permukaannya, yang rapatnya berubah sepanjang kawatnya.

14. $Q = I_0\tau_c = 16\,\mathrm{mC}$ , $V = Q/C = 160\,\mathrm{V}$ .

15. Sisi kawatnya mengemban $I$ , sisi celahnya tak mengemban arus hantaran: muatannya tumbuh, dan bersamanya medan listrik dalam celahnya.

16. $I = 16\eu^{-0.5} = 9.7\,\mathrm{A}$ ; $E = Q/\varepsilon_0A$ , $\dd E/\dd t = I/\varepsilon_0A = 9.7/(8.85 \times 10^{-12} \times 10^{-4}) = 1.1 \times 10^{16}\,\mathrm{V}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$ .

17. $\varepsilon_0A\,\dd E/\dd t = I$ : yaitu arus pergeserannya.

18. $j = \gamma E = 10^{-14} \times 2.3 \times 10^5 = 2 \times 10^{-9}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$ , $10^{-14}$ A menembus penampangnya: tak berarti; tembus listriknya pada $3\,\mathrm{kV}$ menyeberangi milimeternya.

19. $R = 1000/(6 \times 10^7 \times 10^{-5}) = 1.7\,\Omega$ ; $\Delta U = 67\,\mathrm{V}$ ; $P = 2.7\,\mathrm{kW}$ , $29\%$ dari $9.2\,\mathrm{kW}$ yang terserahkan.

20. $I = 0.46\,\mathrm{A}$ , $\Delta U = 0.8\,\mathrm{V}$ , $0.35\,\mathrm{W}$ : penyaluran pada tegangan tinggi membagi ruginya dengan $(U_2/U_1)^2$ .

21. $10 \times 6/3.6 = 17\,\mathrm{mm}^{2}$ ; $89\,\mathrm{kg}/\mathrm{km}$ tembaga melawan $45\,\mathrm{kg}/\mathrm{km}$ aluminium: lebih ringan dan lebih murah di menara; di dalam dinding penampang tembaga yang lebih kecil muat dalam pipa dan terminalnya.

22. $V_H = IB/nqt = 5 \times 10^{-3} \times 0.1/(10^{22} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 10^{-4}) = 3.1\,\mathrm{mV}$ .

23. $+24\%$ : $2.1\,\Omega$ , $3.3\,\mathrm{kW}$ hilang.

24. $RI^2t = 1.7 \times 4 \times 10^8 \times 10^{-4} = 67\,\mathrm{kJ}$ ke dalam $89\,\mathrm{kg}$ : $2\,\mathrm{K}$ . $j = 2 \times 10^{9}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$ , tiga ratus kali nilai rumah tangganya.

25. $n$ (materinya) dan $\tau$ (tumbukannya) memberi $\gamma = ne^2\tau/m$ ; $\gamma$ mengaitkan $j$ dan $E$ (Ohm); $j$ terintegralkan menjadi $I$ , $E$ menjadi $U$ (rangkaiannya); $j^2/\gamma$ adalah kalornya.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Rapat muatan; rapat arus

Lihat semua 393 istilah di glosarium