Fisika Universitas — Tahun 2 · Bachelor Year 2

12Energi Elektromagnetik dan Vektor Poynting

Sebuah baterai menyalakan bohlam lewat dua kawat tembaga. Ke mana energinya berjalan? Ternyata bukan di dalam tembaganya: elektron di sana menghanyut semilimeter tiap sekon dan hampir tak mengemban apa pun. Energinya mengalir menembus ruang di sekeliling kawatnya, dalam medan elektromagnetiknya, lalu memasuki filamen bohlamnya lewat sisinya. Matahari menyerahkan satu kilowatt kepada tiap meter persegi atap yang tersinari dengan cara yang sama, menyeberangi seratus lima puluh juta kilometer hampa. Bab ini menurunkan dari persamaan Maxwell neraca energi elektromagnetik — berapa banyak yang tersimpan dalam sebuah medan, dan vektor Poynting, yang mengatakan ke mana ia pergi — lalu menerapkannya pada sebuah kawat, sebuah kapasitor, sebuah kumparan dan sebuah berkas cahaya.

12.1 Neraca energi medannya

Teorema 12.1 (Teorema Poynting)

Definisikanlah rapat energi elektromagnetik dan vektor Poynting

u = \frac{\varepsilon_0E^2}2 + \frac{B^2}{2\mu_0} \quad (\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}) , \qquad \vect\Pi = \frac{\vect E\wedge\vect B}{\mu_0} \quad (\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}) .

Persamaan Maxwell menyiratkan, di setiap titik,

\frac{\partial u}{\partial t} + \operatorname{div}\vect\Pi = -\vect j\cdot\vect E ,

dan, bagi sembarang volume tetap $V$ yang dibatasi $\Sigma$ ,

\frac{\dd}{\dd t}\iiint_Vu\,\dd\tau = -\iint_\Sigma\vect\Pi\cdot\vect n\,\dd S - \iiint_V\vect j\cdot\vect E\,\dd\tau :

energi medan di dalam $V$ berkurang sebanyak yang mengalir keluar menembus batasnya — yaitu fluks $\vect\Pi$ — dan sebanyak yang diberikan medannya kepada muatannya ( $\vect j\cdot\vect E$ , yaitu daya Joule dalam sebuah penghantar). $\vect\Pi$ adalah rapat fluks energinya: daya yang menyeberangi satu satuan permukaan yang normal terhadapnya.

Bukti. Dari Maxwell–Ampère, $\vect j = \operatorname{\vect{curl}}\vect B/\mu_0 - \varepsilon_0\partial_t \vect E$ , jadi $\vect j\cdot\vect E = \vect E\cdot\operatorname{\vect{curl}}\vect B/\mu_0 - \partial_t(\varepsilon_0E^2/2)$ . Kesamaan $\operatorname{div}(\vect E\wedge\vect B) = \vect B \cdot\operatorname{\vect{curl}}\vect E - \vect E\cdot\operatorname{\vect{curl}}\vect B$ (periksalah pada komponennya) dan Maxwell–Faraday memberi $\vect E\cdot\operatorname{\vect{curl}} \vect B = -\operatorname{div}(\vect E\wedge\vect B) - \vect B\cdot\partial_t\vect B = -\mu_0 \operatorname{div}\vect\Pi - \partial_t(B^2/2)$ . Kumpulkanlah: $\vect j\cdot\vect E = -\operatorname{div} \vect\Pi - \partial_tu$ . Integralkanlah atas $V$ lalu terapkanlah teorema divergensinya. ∎

Catatan 12.2 (Apa yang tertentukan dan apa yang tidak)

Teoremanya hanya menentukan fluks $\vect\Pi$ menembus permukaan tertutup dan $u$ totalnya; menambahkan pada $\vect\Pi$ medan bebas divergensi mana pun akan tak mengubah apa pun yang teramati. Pilihan di atas adalah yang paling sederhana, ia sesuai dengan momentum yang diemban cahaya (di bawah), dan ia dipakai di mana-mana. Rapat $\varepsilon_0E^2/2$ dan $B^2/2\mu_0$ adalah energi kapasitor dan energi induktor jilid Tahun ke-1, yang kini ditugaskan kepada setiap titik ruang: medan $1\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ (yaitu batas tembus listrik udara) menyimpan $4.4\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ , medan $1\,\mathrm{T}$ menyimpan $0.4\,\mathrm{MJ}/\mathrm{m}^{3}$ — seratus ribu kali lebih banyak, itulah sebabnya penyimpanan energi dalam magnet, bukan dalam kapasitor, mencapai megajoule.

12.2 Ke mana energinya mengalir: tiga rangkaian

Contoh 12.3 (Kawat berhambatan)

Sebuah kawat tabung berjari-jari $a$ mengemban arus tunak $I$ di bawah medan $E = j/\gamma$ sepanjang sumbunya; tepat di luarnya, $B = \mu_0I/2\pi a$ (azimut). Di permukaannya, $\vect\Pi = \vect E\wedge\vect B/\mu_0$ menunjuk radial ke dalam, dengan besar $EI/2\pi a$ ; fluksnya menembus permukaan sisi sepanjang $L$ adalah $EI/2\pi a\times2\pi aL = (EL)I = UI = RI^2$ : kalor Joulenya memasuki kawatnya lewat sisinya, yang diserahkan medan di sekelilingnya, bukan diemban elektronnya menyusuri kawatnya. Di dalamnya, $\Pi(r) = (E/\mu_0)(\mu_0Ir/2\pi a^2) = EIr/2\pi a^2$ : aliran ke dalamnya berkurang menuju sumbunya sementara energinya diendapkan lapis demi lapis.

Contoh 12.4 (Kapasitor dan solenoida)

Sebuah kapasitor berkeping lingkaran yang sedang diisi: $\vect E$ aksial, $\vect B = \mu_0\varepsilon_0(r/2)\dot E\,\vect e_\theta$ (Bab 11), jadi $\vect\Pi = -\varepsilon_0(r/2)E\dot E\,\vect e_r$ , ke dalam; menembus tabung berjari-jari $R$ dan setinggi $d$ fluksnya adalah $\varepsilon_0\pi R^2d\,E\dot E = \dd(\tfrac12 \varepsilon_0E^2\,\pi R^2d)/\dd t$ : energi listriknya masuk dari tepinya. Sebuah solenoida yang arusnya tumbuh: $\vect B$ aksial, medan imbasnya $\vect E = -(r/2) \dot B\,\vect e_\theta$ , $\vect\Pi = -(rB\dot B/2\mu_0)\vect e_r$ , ke dalam lagi, dengan fluks $\dd(B^2/2\mu_0\times\text{volume})/\dd t$ . Dalam tiap halnya energinya mencapai perangkatnya lewat medan di luarnya; kawatnya hanya memandu medannya.

Kiri: sebuah kawat yang mengemban arus — vektor Poynting, yang dibangun dari E aksial dan B azimutnya, menunjuk ke dalam kawatnya di seluruh permukaannya; kalor Joulenya masuk lewat sisinya. Kanan: sebuah kapasitor yang sedang diisi — energinya mengalir masuk secara radial menembus celahnya, bukan menembus kepingnya. — Kiri: sebuah kawat yang mengemban arus — vektor Poynting, yang dibangun dari $\vect E$ aksial dan $\vect B$ azimutnya, menunjuk ke dalam kawatnya di seluruh permukaannya; kalor Joulenya masuk lewat sisinya. Kanan: sebuah kapasitor yang sedang diisi — energinya mengalir masuk secara radial menembus celahnya, bukan menembus kepingnya.

Catatan 12.5 (Energi dalam medan silang statik)

Sebuah kapasitor bermuatan yang ditaruh dalam medan magnet tetap mempunyai $\vect\Pi = \vect E\wedge\vect B/\mu_0 \ne \vect 0$ di mana-mana di antara kepingnya, walaupun tak ada yang berubah dan tak ada yang memanas. Tak ada pertentangan: $\vect\Pi$ di sana berdivergensi nol, garisnya menutup pada dirinya sendiri, dan fluksnya menembus permukaan tertutup mana pun lenyap — teoremanya tak mengatakan apa pun tentang aliran melingkar yang tak menyerahkan apa-apa. Hanya fluks menembus permukaan tertutup yang bersifat fisis.

Sebuah kabel koaksial yang mengemban daya: E radial dan B azimut membuat vektor Poynting aksial dalam dielektriknya; fluksnya atas cincin di antara kedua penghantarnya tepat sama dengan UI — dayanya berjalan dalam isolatornya, logamnya hanya memandunya. — Sebuah kabel koaksial yang mengemban daya: $\vect E$ radial dan $\vect B$ azimut membuat vektor Poynting aksial dalam dielektriknya; fluksnya atas cincin di antara kedua penghantarnya tepat sama dengan $UI$ — dayanya berjalan dalam isolatornya, logamnya hanya memandunya.

12.3 Cahaya: intensitas dan tekanan radiasi

Proposisi 12.6 (Energi sebuah gelombang bidang)

Bagi gelombang bidang dalam hampa — yaitu penyelesaian Bab 13, dengan $\vect B = \vect k\wedge\vect E/\omega$ , $B = E/c$ dan $\vect E \perp \vect B$ — rapat energi listrik dan magnetiknya sama besar dan

u = \varepsilon_0E^2 , \qquad \vect\Pi = \varepsilon_0cE^2\,\vect u = cu\,\vect u ,

dengan $\vect u$ yaitu arah rambatnya: energinya berjalan dengan $c$ . Bagi gelombang sinusoidal beramplitudo $E_0$ , intensitas (iradiansi) adalah fluks reratanya,

I = \langle\Pi\rangle = \frac{\varepsilon_0cE_0^2}2 = \frac{E_0^2}{2\mu_0c} ,

dan gelombangnya mengemban rapat momentum $\vect\Pi/c^2$ (diterima tanpa bukti), sehingga ia mengerahkan pada permukaan yang ditumbuknya secara tegak lurus tekanan radiasi $P = I/c$ jika terserap dan $2I/c$ jika terpantulkan.

Bukti. $B^2/2\mu_0 = E^2/2\mu_0c^2 = \varepsilon_0E^2/2$ ; $\vect E\wedge\vect B/\mu_0 = E^2/\mu_0c = \varepsilon_0cE^2$ sepanjang $\vect k$ ; $\langle\cos^2\rangle = \tfrac12$ . Rapat momentum $\vect\Pi/c^2$ menyusul dari gaya Lorentz pada muatan permukaan yang menyerapnya (atau dari kerelatifan: $p = E/c$ bagi cahaya): momentum $\Pi S\,\dd t/c^2\times c$ yang tiba tiap satuan waktu pada permukaan $S$ adalah gaya $\Pi S/c$ . ∎

Contoh 12.7 (Cahaya matahari, laser, gelombang mikro)

Cahaya matahari di puncak atmosfer, $I = 1.36\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ : $E_0 = \sqrt{2I/\varepsilon_0c} = 1.0\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ , $B_0 = E_0/c = 3.4\,\text{µ}\mathrm{T}$ , rapat energinya $4.5\,\text{µ}\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ , tekanannya $4.5\,\text{µ}\mathrm{Pa}$ — gaya $0.7\,\mathrm{kg}$ pada satu kilometer persegi, namun cukup untuk mengarahkan layar surya dan meniupkan debu sebuah komet menjadi ekornya. Sebuah penunjuk laser $1\,\mathrm{mW}$ pada bintik $1\,\mathrm{mm}^{2}$ : $1\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ , seperti Matahari; difokuskan ke $1\,\text{µ}\mathrm{m}^{2}$ : $1\,\mathrm{GW}/\mathrm{m}^{2}$ , $E_0 = 0.9\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ , dekat tembus listrik udara. Sebuah oven gelombang mikro $1\,\mathrm{kW}$ dengan gelombang berdiri yang mengisi $30\,\mathrm{L}$ : rapat energinya $\sim 10^{-7}$ J/m $^3$ dan $E_0$ beberapa kilovolt tiap meter.

Sebuah gelombang elektromagnetik bidang: E, B dan arah rambatnya membentuk triad tangan kanan; vektor Poynting menunjuk sepanjang rambatnya dan berayun dengan dua kali frekuensinya, dengan nilai rerata sama dengan intensitasnya. — Sebuah gelombang elektromagnetik bidang: $\vect E$ , $\vect B$ dan arah rambatnya membentuk triad tangan kanan; vektor Poynting menunjuk sepanjang rambatnya dan berayun dengan dua kali frekuensinya, dengan nilai rerata sama dengan intensitasnya.

Metode 12.8 (Pembukuan energi)

(1) Carilah $\vect E$ dan $\vect B$ (statika, kuasi-statika atau gelombang). (2) Bentuklah $\vect\Pi = \vect E\wedge\vect B/\mu_0$ dan $u$ . (3) Pilihlah sebuah permukaan tertutup di sekeliling perangkatnya lalu hitunglah fluks $\vect\Pi$ : ia harus sama dengan daya Joulenya ditambah laju perubahan energi yang tersimpan di dalamnya — sebuah pemeriksaan atas medannya. (4) Bagi sebuah gelombang, rerata $\Pi$ adalah intensitasnya; bagilah dengan $c$ untuk tekanannya, dengan energi fotonnya $hf$ untuk fluks fotonnya.

12.4 Latihan

Latihan 12.1 ★

Cahaya matahari di permukaan tanah, $I = 1.0\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ : tentukanlah amplitudo $E_0$ dan $B_0$ , rapat energinya, tekanan radiasinya pada atap hitam dan pada cermin; gaya pada atap $100\,\mathrm{m}^{2}$ ; fluks foton tiap meter persegi bagi energi foton rerata $2\,\mathrm{eV}$ .

Solusi

Solusi Latihan 12.1.

$E_0 = \sqrt{2I/\varepsilon_0c} = 870\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ , $B_0 = E_0/c = 2.9\,\text{µ}\mathrm{T}$ ; $u = I/c = 3.3\,\text{µ}\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ ; $P = I/c = 3.3\,\text{µ}\mathrm{Pa}$ (hitam), $6.7\,\text{µ}\mathrm{Pa}$ (cermin); $0.33\,\mathrm{mN}$ pada atapnya; $I/hf = 1000/3.2 \times 10^{-19} = 3 \times 10^{21}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ .

Latihan 12.2 ★

Sebuah penunjuk laser $5\,\mathrm{mW}$ , bergaris tengah berkas $1.5\,\mathrm{mm}$ : tentukanlah intensitasnya, $E_0$ , $B_0$ ; berkas yang sama yang difokuskan ke bintik $5\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; sebuah laser berpulsa $1\,\mathrm{PW}$ ( $1 \times 10^{15}\,\mathrm{W}$ ) yang difokuskan ke $10\,\text{µ}\mathrm{m}^{2}$ : $E_0$ , dibandingkan dengan medan yang mengikat elektron dalam sebuah atom hidrogen ( $5 \times 10^{11}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ ).

Solusi

Solusi Latihan 12.2.

Luasnya $1.8\,\mathrm{mm}^{2}$ : $I = 2.8\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ , $E_0 = 1.5\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ , $B_0 = 4.9\,\text{µ}\mathrm{T}$ . Difokuskan ke $5\,\text{µ}\mathrm{m}$ : $I = 2.5 \times 10^{8}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , $E_0 = 4.4 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ . Petawatt: $I = 1 \times 10^{26}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , $E_0 = 2.7 \times 10^{14}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ , lima ratus kali medan atomnya — atomnya tercabik dalam satu daur.

Latihan 12.3 ★

Rapat energi: medan listrik $3\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ (tembus listrik udara); $100\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ (isolator tipis); medan magnet $0.1\,\mathrm{T}$ , $1.5\,\mathrm{T}$ (MRI), $45\,\mathrm{T}$ (magnet rekor). Energi dalam lubang MRI $1\,\mathrm{m}^{3}$ ; setaranya dalam liter bensin ( $35\,\mathrm{MJ}/\mathrm{L}$ ).

Solusi

Solusi Latihan 12.3.

$\tfrac12\varepsilon_0E^2$ : $40\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ , $4.4 \times 10^{4}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ . $B^2/2\mu_0$ : $4\,\mathrm{kJ}/\mathrm{m}^{3}$ , $0.9\,\mathrm{MJ}/\mathrm{m}^{3}$ , $8 \times 10^{8}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ . Lubang MRI-nya menampung $0.9\,\mathrm{MJ}$ — $26\,\mathrm{mL}$ bensin.

Latihan 12.4 ★

Sebuah layar surya $100\,\mathrm{m}$ $\times$ $100\,\mathrm{m}$ , yang memantul sempurna, pada jarak Bumi ( $I = 1.36\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ ): tentukanlah gayanya; percepatan sebuah wahana $200\,\mathrm{kg}$ ; kelajuan yang diperoleh dalam sebulan; bandingkanlah dengan gravitasi Matahari pada wahananya pada jarak itu ( $5.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ ).

Solusi

Solusi Latihan 12.4.

$F = 2IA/c = 0.09\,\mathrm{N}$ ; $a = 4.5 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $1.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ dalam sebulan; Matahari menarik dengan $1.2\,\mathrm{N}$ : layarnya tak dapat melawan gravitasi, ia berkelok melawannya dalam orbit.

Latihan 12.5 ★★

Sebuah kawat tembaga berjari-jari $a = 1\,\mathrm{mm}$ mengemban $10\,\mathrm{A}$ ( $\gamma = 6 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ). (a) $E$ di dalamnya, $B$ di permukaannya, $\vect\Pi$ di permukaannya (arah dan besarnya). (b) Fluks $\vect\Pi$ ke dalam $1\,\mathrm{m}$ kawatnya; bandingkanlah dengan $RI^2$ . (c) $\Pi(r)$ di dalam kawatnya dan daya yang terendapkan antara $r$ dan $r + \dd r$ ; periksalah bahwa nilainya $j^2/\gamma\cdot2\pi r\,\dd r$ . (d) Dari mana energinya datang — lukiskanlah medan antara baterainya dan kawatnya.

Solusi

Solusi Latihan 12.5.

(a) $j = 3.2 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$ , $E = j/\gamma = 0.053\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ ; $B = \mu_0I/2\pi a = 2\,\mathrm{mT}$ ; $\Pi = EB/\mu_0 = 84\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , radial ke dalam. (b) $84 \times 2\pi a = 0.53\,\mathrm{W}$ tiap meter; $R = 1/\gamma\pi a^2 = 5.3\,\mathrm{m}\Omega/\mathrm{m}$ , $RI^2 = 0.53\,\mathrm{W}$ . (c) $\Pi(r) = EIr/2\pi a^2$ , jadi $2\pi r\Pi = EIr^2/a^2$ dan kulitnya menerima $\dd(2\pi r\Pi) = 2EIr\,\dd r/a^2 = (j^2/\gamma)2\pi r\,\dd r$ . (d) Muatan permukaan baterainya membangun medan listrik sepanjang seluruh rangkaiannya, di luar kawatnya; $\vect E\wedge\vect B$ di sana mengemban energinya dari baterainya ke bebannya.

Latihan 12.6 ★★

Kapasitor berkeping lingkaran ( $R$ , $d$ ) yang diisi $I$ . (a) $\vect E$ , $\vect B$ , $\vect\Pi$ di antara kepingnya. (b) Fluks $\vect\Pi$ menembus tabung sisinya; tunjukkanlah bahwa ia sama dengan $\dd W_e/\dd t$ . (c) Untuk $R = 5\,\mathrm{cm}$ , $d = 1\,\mathrm{mm}$ , $I = 1\,\mathrm{A}$ pada saat $E = 1\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ : $\Pi$ di tepinya dan daya yang masuk. (d) Dapatkah energi magnetiknya diabaikan?

Solusi

Solusi Latihan 12.6.

(a) $E = Q/\varepsilon_0\pi R^2$ aksial, $B = \mu_0Ir/2\pi R^2$ azimut, $\vect\Pi = -\varepsilon_0 (r/2)E\dot E\,\vect e_r$ . (b) $\varepsilon_0(R/2)E\dot E\cdot2\pi Rd = \dd(\tfrac12\varepsilon_0E^2\pi R^2d)/ \dd t$ . (c) $\dot E = I/\varepsilon_0\pi R^2 = 1.4 \times 10^{13}\,\mathrm{V}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$ ; $\Pi(R) = 3.2 \times 10^{6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; dikali $2\pi Rd = 3.1 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{2}$ : $1.0\,\mathrm{kW}$ $= UI$ dengan $U = Ed = 1\,\mathrm{kV}$ . (d) Ya: lebih kecil dengan faktor bertipe $(\omega R/c)^2$ (Bab 11).

Latihan 12.7 ★★

Sebuah solenoida panjang ( $n$ , berjari-jari $R$ ) yang arusnya $I(t)$ meningkat. (a) $\vect E$ imbasnya di dalamnya; $\vect\Pi$ ; arahnya. (b) Fluks menembus permukaan sisinya tiap satuan panjang dan $\dd(B^2/2\mu_0\cdot\pi R^2)/\dd t$ . (c) Tepat di luar solenoidanya (tempat $\vect B = \vect 0$ ), berapakah $\vect\Pi$ ? Lalu bagaimana energinya masuk? (Pikirkanlah di mana arusnya mengalir: lilitannya sebuah lembar tipis; ambillah permukaan tepat di dalamnya.)

Solusi

Solusi Latihan 12.7.

(a) $\vect E = -(r/2)\dot B\,\vect e_\theta$ , $\vect\Pi = -(rB\dot B/2\mu_0)\vect e_r$ : ke dalam selama $B$ tumbuh. (b) $(RB\dot B/2\mu_0)2\pi R = \dd(\pi R^2B^2/2\mu_0)/\dd t$ . (c) Di luarnya $\vect B = \vect 0$ , jadi $\vect\Pi = \vect 0$ : energinya disuntikkan di lilitannya sendiri, tempat pembangkitnya menggiring arusnya melawan medan imbasnya ( $\vect j\cdot\vect E < 0$ di sana); tepat di dalam lembarnya $\vect\Pi$ sudah berupa aliran ke dalam pada (a).

Latihan 12.8 ★★

Ke mana daya sebuah kabel berjalan. Sebuah kabel koaksial (berjari-jari $a$ , $b$ ) mengemban arus tunak $I$ dalam intinya, kembali dalam anyamannya, di bawah tegangan $U$ di antaranya (penghantar sempurna). (a) $\vect E$ dan $\vect B$ dalam dielektriknya ( $a < r < b$ ) dari Gauss dan Ampère. (b) $\vect\Pi$ : arah dan besarnya. (c) Integralkanlah $\vect\Pi$ atas cincin $a < r < b$ : tunjukkanlah hasilnya $UI$ — seluruh dayanya berjalan dalam isolatornya. (d) Dengan inti yang sedikit berhambatan, ke arah mana $\vect\Pi$ memiring, dan sama dengan apa fluksnya ke dalam intinya?

Solusi

Solusi Latihan 12.8.

(a) $E = U/r\ln(b/a)$ radial, $B = \mu_0I/2\pi r$ azimut. (b) $\vect\Pi = (UI/ 2\pi r^2\ln(b/a))\vect e_z$ , sepanjang arus intinya. (c) $\int_a^b\Pi\,2\pi r\,\dd r = UI$ . (d) $E$ memperoleh komponen aksial $j/\gamma$ ; $\vect\Pi$ memiring ke arah intinya, dan fluks radialnya ke dalam satu meter intinya adalah $RI^2$ tiap meter.

Latihan 12.9 ★★

Debu komet. Sebutir debu bola berjari-jari $a$ dan bermassa jenis $\rho = 2000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ pada jarak $D$ dari Matahari menyerap cahaya mataharinya ( $I = 1.36\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ pada $D_0 = 1.5 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ , massa matahari $2.0 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ ). (a) Gaya radiasi dan gaya gravitasinya; tunjukkanlah bahwa nisbahnya tak bergantung pada $D$ . (b) Jari-jari yang di bawahnya butirnya tertiup pergi. (c) Mengapa ekor komet menjauhi Matahari, dan mengapa ia melengkung?

Solusi

Solusi Latihan 12.9.

(a) $F_{\text{rad}} = I_0(D_0/D)^2\pi a^2/c$ , $F_g = GM\cdot\tfrac43\pi a^3\rho/D^2$ : nisbahnya $3I_0D_0^2/4cGM\rho a$ , tak bergantung pada $D$ . (b) Nisbahnya $> 1$ untuk $a < 3I_0D_0^2/ 4cGM\rho = 0.3\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (c) Debu halus terdorong menjauhi Matahari sementara menjaga kelajuan orbit kometnya, sehingga ekor debunya menjauh dan melengkung; ekor ionnya, yang digerakkan angin surya, lurus.

Latihan 12.10 ★★★

Sebuah kapasitor yang melucut. Kapasitor Latihan 12.6 melucut lewat kawat Latihan 12.5 ( $R = 5.3\,\mathrm{m}\Omega$ tiap meter, sepanjang $L$ ). (a) Arah $\vect\Pi$ di tepi kapasitornya sekarang. (b) Daya yang meninggalkan kapasitornya, daya yang memasuki kawatnya; apa yang terjadi pada selisihnya (jika ada)? (c) Tuliskanlah neraca energinya $\dd W_e/\dd t = -RI^2$ lalu periksalah terhadap $Q = CU$ , $I = -\dd Q/\dd t$ . (d) Mengapa energi magnetik rangkaiannya tidak muncul dalam neracanya pada awal dan pada akhirnya?

Solusi

Solusi Latihan 12.10.

(a) $\dot E < 0$ : $\vect\Pi$ menunjuk keluar di tepinya. (b) $-\dd W_e/\dd t$ meninggalkan kapasitornya dan $RI^2$ memasuki kawatnya; dalam rezim kuasi-statiknya keduanya sama — tak ada yang menumpuk di antaranya. (c) $W_e = Q^2/2C$ , $\dd W_e/\dd t = (Q/C)\dd Q/\dd t = -UI = -RI^2$ . (d) $\tfrac12LI^2$ lenyap di kedua ujungnya ( $I = 0$ ) dan dapat diabaikan di antaranya bagi simpal yang kecil.

Latihan 12.11 ★★★

Magnet bermuatan. Di antara keping sebuah kapasitor bermuatan ( $\vect E = E\vect e_z$ ) terdapat medan seragam $\vect B = B\vect e_x$ (sebuah magnet). (a) $\vect\Pi$ ; divergensinya. (b) Ambillah permukaan tertutup sebuah kotak di dalam daerahnya: fluks $\vect\Pi$ . (c) Ke mana garis $\vect\Pi$ pergi, dan apa yang menutupnya? (d) Sebuah usulan: ukurlah aliran energinya dengan sebuah penyerap kecil yang ditaruh dalam celahnya — akankah ia memanas? Mengapa tidak?

Solusi

Solusi Latihan 12.11.

(a) $\vect\Pi = (EB/\mu_0)\vect e_y$ , seragam: $\operatorname{div}\vect\Pi = 0$ . (b) Nol. (c) Sepanjang $y$ menembus celahnya, lalu menutup lewat medan tepinya di tepi kepingnya dan tepi magnetnya. (d) Sebuah benda yang diam dalam medan statik tak mengemban arus: $\vect j\cdot\vect E = 0$ , tak ada pemanasan. $\vect\Pi$ yang melingkar itu pembukuan, bukan aliran yang mengendapkan energi.

Latihan 12.12 ★★★

Gelombang berdiri. Dua gelombang bidang berlawanan arah yang beramplitudo sama membentuk $\vect E = 2E_0\cos kx\cos\omega t\,\vect e_y$ , $\vect B = -2(E_0/c) \sin kx\sin\omega t\,\vect e_z$ (periksalah terhadap Maxwell–Faraday). (a) $\vect\Pi(x, t)$ ; rerata waktunya. (b) Rapat energinya; di mana ia listrik, di mana magnetik, dan bagaimana ia berkecipak? (c) Sebuah cermin penghantar sempurna di $x = 0$ memantulkan gelombang datangnya: gaya tiap satuan luas padanya dari argumen momentumnya, dan dari gaya Laplace pada arus permukaannya (pakailah hubungan batas bagi $\vect B$ ). (d) Tunjukkanlah bahwa keduanya memberi $2I/c$ secara rerata.

Solusi

Solusi Latihan 12.12.

Faraday: $\partial_xE_y = -2E_0k\sin kx\cos\omega t$ sama dengan $-\partial_tB_z$ sebab $\omega = kc$ . (a) $\vect\Pi = (E_yB_z/\mu_0)\vect e_x = -(E_0^2/\mu_0c)\sin2kx\sin2\omega t\,\vect e_x$ : reratanya nol. (b) $u = 2\varepsilon_0E_0^2(\cos^2kx\cos^2\omega t + \sin^2kx\sin^2\omega t)$ : listrik di $x = 0, \lambda/2, \dots$ , magnetik di $\lambda/4, \dots$ , berkecipak di antaranya dua kali tiap periode. (c) Momentumnya: tiap gelombangnya mempunyai $I = \varepsilon_0cE_0^2/2$ , yang terpantul membalik momentumnya: $2I/c = \varepsilon_0E_0^2$ . Laplace: di $x = 0$ , $B = (2E_0/c)\sin\omega t$ tepat di luar dan $0$ di dalam, jadi $j_s = B/\mu_0$ ; gaya tiap satuan luas pada lembarnya adalah $\tfrac12j_sB = B^2/2\mu_0 = 2\varepsilon_0E_0^2\sin^2 \omega t$ . (d) Reratanya $\varepsilon_0E_0^2 = 2I/c$ .

Sebuah ladang surya: satu kilowatt tiap meter persegi fluks Poynting tiba dari Matahari menyeberangi ruang kosong, dan seperlimanya berangkat lewat kabelnya.

12.5 Soal: Energi sebuah saluran, sebuah panel dan sebuah oven

Soal 12.1

Soal akhir pekan — mengikuti energi elektromagnetik dari sebuah saluran daya ke dalam sebuah rumah, dari Matahari ke dalam sebuah panel surya, dan dari sebuah magnetron ke dalam secangkir air

Bagian I — Salurannya. Sebuah kabel daya koaksial (jari-jari inti $a = 1.0\,\mathrm{cm}$ , jari-jari anyaman $b = 3.0\,\mathrm{cm}$ , dielektrik $\varepsilon_r = 2.3$ ) mengemban arus searah $I = 500\,\mathrm{A}$ pada $U = 20\,\mathrm{kV}$ ; intinya berkonduktivitas $\gamma = 6 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ .

Medan $\vect E(r)$ dan $\vect B(r)$ dalam dielektriknya (mula-mula dengan penghantar sempurna); nilainya di $r = a$ .
Vektor Poynting dalam dielektriknya; fluksnya menembus penampang cincinnya: periksalah bahwa ia sama dengan $UI$ .
Rapat energi $\varepsilon_0\varepsilon_rE^2/2$ dan $B^2/2\mu_0$ di $r = a$ (dalam dielektrik rapat energi listriknya mengemban $\varepsilon_r$ ); mana yang menguasai, dan seberapa besar?
Pada berapa bagian kelajuan cahaya energinya “bergerak” (ambillah $\Pi/u$ di $r = a$ )? Bandingkanlah dengan $c/\sqrt{\varepsilon_r}$ .
Kini intinya berhambatan: medan $E_z$ di dalamnya; vektor Poynting tepat di luar permukaannya memperoleh sebuah komponen radial: besarnya, dan daya tiap meter yang diserahkannya kepada intinya; periksalah terhadap $RI^2$ tiap meter.
Nisbah komponen radial terhadap komponen aksial $\vect\Pi$ di $r = a$ : apa katanya tentang ke mana energinya pergi?
Energi magnetik tiap meter kabelnya, $\int B^2/2\mu_0\,\dd\tau$ , dan energi listrik tiap meter, $\int\varepsilon_0\varepsilon_rE^2/2\,\dd\tau$ ; dapatkanlah keduanya kembali sebagai $\tfrac12\Lambda I^2$ dan $\tfrac12\Gamma U^2$ dengan induktansi dan kapasitansi tiap meter Bab 8.
Sebuah saluran $10\,\mathrm{km}$ : daya yang terserahkan, daya yang hilang, bagiannya. Ulangilah dengan $U = 200\,\mathrm{kV}$ dan $I = 50\,\mathrm{A}$ (daya yang sama).

Bagian II — Panelnya. Cahaya matahari pada tengah hari yang cerah: $I = 1.0\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ ; sebuah panel fotovoltaik seluas $1.6\,\mathrm{m}^{2}$ berefisiensi $20\%$ ; energi fotonnya $2.0\,\mathrm{eV}$ rata-rata.

$E_0$ , $B_0$ , rapat energi dan fluks foton dalam berkasnya.
Daya listrik yang terserahkan; kalor yang harus dibuang; kenaikan suhunya jika panelnya kehilangan kalor lewat kedua mukanya pada $h = 10\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K})$ .
Tekanan radiasi pada panelnya (yang menyerap); gayanya; bandingkanlah dengan beratnya ( $18\,\mathrm{kg}$ ).
Energi yang diterima tiap hari ( $6\,\mathrm{h}$ matahari penuh setara) dan tiap tahun; luas yang diperlukan untuk memasok $3500\,\mathrm{kWh}/\mathrm{tahun}$ sebuah rumah tangga.
Panelnya menghasilkan $30\,\mathrm{V}$ pada $10.7\,\mathrm{A}$ : periksalah dayanya; fluks Poynting sepanjang $5\,\mathrm{m}$ kabel dua kawat menuju pengubah arusnya — di manakah, dalam gambaran medannya, daya itu berjalan?
Pada orbit Bumi Matahari memancarkan $1.36\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ : daya total Matahari; massa yang diubahnya tiap sekon ( $E = mc^2$ , $c = 3 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ).
Jumlah foton yang menumbuk panelnya tiap sekon.
Fluks momentum foton di Bumi: gaya radiasi total Matahari pada Bumi (cakram berjari-jari $6400\,\mathrm{km}$ , menyerap); bandingkanlah dengan gravitasinya ( $3.5 \times 10^{22}\,\mathrm{N}$ ).

Bagian III — Ovennya. Sebuah oven gelombang mikro menyerahkan $800\,\mathrm{W}$ pada $2.45\,\mathrm{GHz}$ ke dalam rongga $30\,\mathrm{L}$ ; secangkir air $250\,\mathrm{g}$ menyerap $80\%$ darinya.

Panjang gelombangnya; besarkah rongganya dibandingkan dengannya? Mengapa dindingnya logam?
Waktu untuk memanaskan airnya dari $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ ke $80{}^{\circ}\mathrm{C}$ ( $c = 4.18\,\mathrm{kJ}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ ); daya yang terserap tiap satuan volume.
Jika dayanya mengalir sebagai gelombang bidang menembus penampang cangkirnya $50\,\mathrm{cm}^{2}$ , tentukanlah intensitas dan $E_0$ ; medan sebenarnya berupa gelombang berdiri beramplitudo sebanding — seberapa jauh jarak antara bintik panasnya, dan mengapa piringnya berputar?
Energi yang tersimpan dalam medan rongganya jika faktor kualitasnya $Q = 2\pi\times\text{(energi tersimpan)}/\text{(energi hilang tiap periode)} \approx 10^3$ ketika kosong: energi tersimpannya, rapat energi reratanya, $E_0$ — bandingkanlah dengan tembus listrik udara ( $3\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ ).
Air menyerap sebab molekulnya berupa dwikutub yang digerakkan pada $2.45\,\mathrm{GHz}$ : daya setempat serupa Joulenya adalah $\tfrac12\omega\varepsilon_0 \varepsilon''E_0^2$ dengan $\varepsilon'' \approx 10$ bagi air: $E_0$ dalam airnya yang diperlukan bagi rapat daya pertanyaan 16; selaraskah ia?
Energi foton pada $2.45\,\mathrm{GHz}$ dalam eV, dan jumlah foton yang terserap tiap sekon oleh cangkirnya; mengapa gelombang mikro dapat memanaskan tetapi tidak mengionkan (pengionan menuntut sekitar $10\,\mathrm{eV}$ ).
Tekanan radiasi medan rongganya pada dindingnya (berorde rapat energinya $u$ ): perlukah dirisaukan?
Mengapa oven yang kosong (tanpa beban) berisiko rusak, dalam istilah Poynting?
Rangkumlah dalam sebuah tabel, bagi salurannya, panelnya dan ovennya: pengemban energinya, arah $\vect\Pi$ , dayanya, dan apa yang mengubahnya.

Solusi

Solusi Soal 12.1.

1. $E = U/r\ln(b/a)$ : $1.8\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ di $r = a$ ; $B = \mu_0I/2\pi r$ : $10\,\mathrm{mT}$ di $a$ .

2. $\vect\Pi = (UI/2\pi r^2\ln(b/a))\vect e_z$ ; $\int_a^b\Pi\,2\pi r\,\dd r = UI = 10\,\mathrm{MW}$ .

3. $\tfrac12\varepsilon_0\varepsilon_rE^2 = 34\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ , $B^2/2\mu_0 = 40\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ : sebanding.

4. $\Pi(a) = EB/\mu_0 = 1.45 \times 10^{10}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , $u = 74\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ : $\Pi/u = 2.0 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = c/\sqrt{\varepsilon_r}$ .

5. $E_z = I/\gamma\pi a^2 = 0.027\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ ; $\Pi_r = E_zB/\mu_0 = 210\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ke dalam; $\times2\pi a = 13\,\mathrm{W}/\mathrm{m}$ ; $R = 1/\gamma\pi a^2 = 53\,\text{µ}\Omega/\mathrm{m}$ , $RI^2 = 13\,\mathrm{W}/\mathrm{m}$ .

6. $\Pi_r/\Pi_z = E_z/E_r = 1.5 \times 10^{-8}$ : hampir seluruh energinya berlari menyusuri salurannya; sedikit saja bocor ke tembaganya.

7. $133\,\mathrm{kW}$ hilang dari $10\,\mathrm{MW}$ , $1.3\%$ ; pada $200\,\mathrm{kV}$ : $1.3\,\mathrm{kW}$ , $0.013\%$ .

8. $\int_a^b(B^2/2\mu_0)2\pi r\,\dd r = (\mu_0I^2/4\pi)\ln(b/a) = 27\,\mathrm{mJ}/\mathrm{m} = \tfrac12\Lambda I^2$ dengan $\Lambda = \mu_0\ln(b/a)/2\pi = 0.22\,\text{µ}\mathrm{H}/\mathrm{m}$ ; listriknya: $\tfrac12\Gamma U^2$ dengan $\Gamma = 2\pi\varepsilon_0\varepsilon_r/\ln(b/a) = 117\,\mathrm{pF}/\mathrm{m}$ : $23\,\mathrm{mJ}/\mathrm{m}$ .

9. $E_0 = 870\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ , $B_0 = 2.9\,\text{µ}\mathrm{T}$ , $u = 3.3\,\text{µ}\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ , $3 \times 10^{21}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ .

10. $320\,\mathrm{W}$ listrik; $1280\,\mathrm{W}$ kalor atas $3.2\,\mathrm{m}^{2}$ muka: $\Delta T = 1280/32 = 40\,\mathrm{K}$ .

11. $P = I/c = 3.3\,\text{µ}\mathrm{Pa}$ ; $5.3\,\text{µ}\mathrm{N}$ melawan berat $180\,\mathrm{N}$ .

12. $320 \times 6 = 1.9\,\mathrm{kWh}/\mathrm{hari}$ , $700\,\mathrm{kWh}/\mathrm{tahun}$ ; lima panel, $8\,\mathrm{m}^{2}$ .

13. $30 \times 10.7 = 320\,\mathrm{W}$ ; dayanya mengalir dalam medan antara kedua kawatnya — $\vect E$ menyeberangi $30\,\mathrm{V}$ , $\vect B$ mengelilingi arusnya — bukan dalam tembaganya.

14. $4\pi D^2I = 3.9 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$ ; $P/c^2 = 4.3 \times 10^{9}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ .

15. $5 \times 10^{21} \times 1.6 = 5 \times 10^{21}\,$ foton tiap sekon.

16. $I\pi R_E^2/c = 5.8 \times 10^{8}\,\mathrm{N}$ : $10^{-14}$ gravitasinya.

17. $\lambda = 12.2\,\mathrm{cm}$ ; rongga $30\,\mathrm{cm}$ -nya beberapa panjang gelombang — sebuah resonator beragam, bukan berkas bebas; dinding logamnya memantulkan gelombangnya (kedalaman kulitnya bermikrometer) lalu menahannya di dalam.

18. $0.25 \times 4180 \times 60 = 63\,\mathrm{kJ}$ pada $640\,\mathrm{W}$ : $98\,\mathrm{s}$ ; $640/2.5 \times 10^{-4} = 2.6\,\mathrm{MW}/\mathrm{m}^{3}$ .

19. $I = 640/5 \times 10^{-3} = 1.3 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , $E_0 = 10\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ ; bintik panasnya terpisah $\lambda/2 = 6\,\mathrm{cm}$ — dari situlah piringan putarnya.

20. $W = QP/\omega = 10^3 \times 800/1.54 \times 10^{10} = 52\,\text{µ}\mathrm{J}$ ; $u = 1.7\,\mathrm{mJ}/\mathrm{m}^{3}$ ; $E_0 = \sqrt{2u/\varepsilon_0} = 20\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ — seratus kali di bawah tembus listriknya.

21. $\tfrac12\omega\varepsilon_0\varepsilon''E_0^2 = 2.6 \times 10^{6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$ : $E_0 = 2\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ di dalam airnya — berorde medan rongganya, yang berkurang oleh permitivitas airnya: selaras.

22. $hf = 1.6 \times 10^{-24}\,\mathrm{J} = 1 \times 10^{-5}\,\mathrm{eV}$ ; $4 \times 10^{26}$ foton tiap sekon; sejuta kali terlalu sedikit energi tiap foton untuk mengionkan.

23. $\sim u = 2\,\mathrm{mPa}$ : tidak.

24. Tanpa apa pun yang menyerapnya, fluks $\vect\Pi$ tak mempunyai tempat berakhir selain kembali ke magnetronnya, yang lalu kepanasan.

25. Saluran: dielektriknya, $\vect\Pi$ aksial, $10\,\mathrm{MW}$ , sebuah beban di ujungnya. Panel: berkasnya, $\vect\Pi$ sepanjang sinar Matahari, $1.6\,\mathrm{kW}$ masuk, $320\,\mathrm{W}$ keluar, semikonduktornya. Oven: medan rongganya, $\vect\Pi$ melingkar, $800\,\mathrm{W}$ , dwikutub airnya.