Fisika Universitas — Tahun 2 · Bachelor Year 2

31Sumur Potensial, Penghalang dan Penerowongan

Sebuah bola dalam sebuah mangkuk menggelinding bolak-balik dengan energi berapa pun yang diberikan padanya; sebuah elektron dalam sebuah atom, sebuah nukleon dalam sebuah inti, sebuah elektron dalam sebuah hablur seukuran nanometer hanya dapat mempunyai energi tertentu, dan yang terendah di antaranya bukan nol. Sebuah bola tak dapat menyeberangi sebuah bukit yang lebih tinggi daripada yang dibolehkan energinya; sebuah partikel $\alpha$ meninggalkan sebuah inti menembus sebuah dinding Coulomb yang tak akan pernah dapat didakinya, jarum sebuah mikroskop terowongan payar menggambar sebuah arus menyeberangi sebuah celah hampa, dan atom nitrogen amonia berayun menembus bidang ketiga hidrogennya dua puluh empat miliar kali tiap sekon. Bab ini menyelesaikan persamaan Schrödinger dalam potensial yang paling sederhana — sumur berdinding takhingga dan berhingga, sebuah tangga, sebuah penghalang, sebuah sumur ganda — lalu menemukan di dalamnya dua kenyataan kuantum besar yang tak dapat dihasilkan mekanika klasik: kuantisasi energi terikatnya, dan penerowongan menembus daerah yang terlarang secara klasik, dengan kepekaan eksponensialnya terhadap lebar dan tinggi penghalangnya, itulah sebabnya ia dapat melayani sebagai penggaris pikometer dan itulah sebabnya umur radioaktif merentangi tiga puluh orde besaran.

Sebuah mikroskop terowongan payar: sebuah ujung logam yang ditahan beberapa persepuluh nanometer di atas sebuah permukaan; arus terowongannya, yang berubah sepuluh kali lipat tiap sepersepuluh nanometer, memetakan permukaannya atom demi atom.

31.1 Sumur takhingga

Proposisi 31.1 (Sumur segi empat takhingga)

Sebuah partikel yang terkurung dalam $0 < x < L$ oleh dinding yang tak tertembus ( $V = 0$ di dalamnya, $V = \infty$ di luarnya, sehingga $\varphi = 0$ di dindingnya) mempunyai keadaan tegar dan energi

\varphi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}}\sin\frac{n\pi x}{L}, \qquad E_n = \frac{n^2h^2}{8mL^2} = n^2E_1, \qquad n = 1, 2, 3, \dots

Energinya terkuantumkan, tumbuh sebagai $n^2$ , dan yang terendahnya bukan nol: energi pengurungan $E_1 = h^2/8mL^2$ adalah harga pelokalannya ( $\Delta x \sim L$ memaksa $\Delta p \sim h/2L$ ). Fungsi $\varphi_n$ -nya saling ortogonal, $\int\varphi_n\varphi_m\dd x = \delta_{nm}$ , dan sebarang keadaan sumurnya adalah sebuah tumpang tindih darinya.

Bukti. Di dalamnya, $\varphi'' = -k^2\varphi$ dengan $k^2 = 2mE/\hbar^2$ : $\varphi = A\sin kx + B\cos kx$ ; $\varphi(0) = 0$ mematikan $B$ , $\varphi(L) = 0$ menuntut $kL = n\pi$ — yaitu gelombang berdiri sebuah dawai, dengan $E = \hbar^2k^2/2m$ . Penormalannya memberi $A = \sqrt{2/L}$ ; keortogonalannya adalah keortogonalan sinusnya. ∎

Sumur takhingganya: ketiga aras pertamanya, E_n n2, dengan fungsi gelombangnya (kiri) dan rapat peluangnya (kanan) — n - 1 simpul, dan sebuah keadaan dasar yang tersebar di seluruh sumurnya dan berenergi taknol. — Sumur takhingganya: ketiga aras pertamanya, $E_n \propto n^2$ , dengan fungsi gelombangnya (kiri) dan rapat peluangnya (kanan) — $n - 1$ simpul, dan sebuah keadaan dasar yang tersebar di seluruh sumurnya dan berenergi taknol.

Contoh 31.2 (Orde besaran, dan warna)

$E_1 = h^2/8mL^2$ : sebuah elektron dalam $1\,\mathrm{nm}$ , $0.38\,\mathrm{eV}$ ; dalam $0.1\,\mathrm{nm}$ (sebuah atom), $38\,\mathrm{eV}$ — yaitu skala energi atomik; sebuah nukleon dalam $5\,\mathrm{fm}$ , $8\,\mathrm{MeV}$ — yaitu skala energi inti; sebuah kelereng dalam sebuah kotak, $10^{-63}\,\mathrm{J}$ — tak seorang pun akan memperhatikannya. Sebuah nanohablur semikonduktor selebar beberapa nanometer (sebuah titik kuantum) mengurung elektronnya: energi pengurungannya menambahi senjang hablurnya, sehingga makin kecil titiknya, makin biru cahaya yang dipancarkannya — bahan yang sama berpijar merah pada $6\,\mathrm{nm}$ dan hijau pada $3\,\mathrm{nm}$ , yang ditala oleh ukurannya saja.

31.2 Sumur berhingga

Proposisi 31.3 (Sumur segi empat berhingga)

Bagi $V = 0$ dalam $|x| < a$ dan $V = V_0$ di luarnya, sebuah keadaan ber- $0 < E < V_0$ berayun di dalamnya ( $k = \sqrt{2mE}/\hbar$ ) lalu meluruh di luarnya ( $\kappa = \sqrt{2m(V_0 - E)}/\hbar$ ): $\varphi \propto \eu^{-\kappa|x|}$ di luar dindingnya. Menyesuaikan $\varphi$ dan $\varphi'$ di $x = \pm a$ memberi, bagi keadaan genap dan ganjilnya,

k\tan ka = \kappa \quad\text{(genap)}, \qquad -k\cot ka = \kappa \quad\text{(ganjil)}, \qquad\text{dan}\quad (ka)^2 + (\kappa a)^2 = \frac{2mV_0a^2}{\hbar^2} \equiv R^2 .

Secara grafis, penyelesaiannya adalah perpotongan kurva $\eta = \xi\tan\xi$ , $\eta = -\xi\cot\xi$ dengan lingkaran $\xi^2 + \eta^2 = R^2$ ( $\xi = ka$ , $\eta = \kappa a$ ): selalu ada sekurangnya satu keadaan terikat (yaitu keadaan dasar yang genap), dan seluruhnya $1 + \lfloor 2R/\pi\rfloor$ . Partikelnya menembus daerah terlarangnya sedalam $1/\kappa$ , dan arasnya terletak di bawah aras sumur takhingga yang selebar sama.

Bukti. Penyelesaian genapnya adalah $A\cos kx$ di dalamnya dan $B\eu^{-\kappa|x|}$ di luarnya; kesinambungan $\varphi'/\varphi$ di $x = a$ memberi $-k\tan ka = -\kappa$ . Sama bagi yang ganjil dengan $\sin$ . Lingkarannya adalah definisi $k$ dan $\kappa$ . Tiap cabang $\xi\tan\xi$ yang bermula di $\xi = n\pi$ dan $-\xi\cot\xi$ yang bermula di $(n + \tfrac12)\pi$ menjumpai lingkarannya sekali jika ia bermula di dalamnya: maka cacahnya. ∎

Penyelesaian grafis sumur berhingganya: keadaan terikatnya adalah perpotongan lingkaran berjari-jari R = a√2mV_0/ dengan cabang (keadaan genap) dan - (yang ganjil). Di sini R = 4: tiga keadaan terikat; lingkaran kecil bergaris putusnya (R = 1.2) masih memotong cabang pertamanya — sebuah sumur selalu mengikat sekurangnya satu keadaan. — Penyelesaian grafis sumur berhingganya: keadaan terikatnya adalah perpotongan lingkaran berjari-jari $R = a\sqrt{2mV_0}/\hbar$ dengan cabang $\xi\tan\xi$ (keadaan genap) dan $-\xi\cot\xi$ (yang ganjil). Di sini $R = 4$ : tiga keadaan terikat; lingkaran kecil bergaris putusnya ( $R = 1.2$ ) masih memotong cabang pertamanya — sebuah sumur selalu mengikat sekurangnya satu keadaan.

Contoh 31.4 (Sebuah elektron dalam sumur senanometer)

$V_0 = 1\,\mathrm{eV}$ , lebarnya $2a = 1\,\mathrm{nm}$ : $R = a\sqrt{2mV_0}/\hbar = 0.5 \times 10^{-9} \times 5.1 \times 10^9 = 2.6$ , sehingga ada $1 + \lfloor 2R/\pi\rfloor = 2$ keadaan terikat; keadaan dasarnya terletak dekat $0.26\,\mathrm{eV}$ alih-alih $0.38\,\mathrm{eV}$ sumur takhingganya, lalu merembes $0.2\,\mathrm{nm}$ ke dalam dindingnya ( $1/\kappa = \hbar/\sqrt{2m(V_0 - E)}$ ). Sumur semacam itu, yang ditumbuhkan sebagai lapisan semikonduktor setebal beberapa nanometer, adalah jantung dioda laser Bab 23.

31.3 Tangga dan penghalang: penerowongan

Proposisi 31.5 (Tangga potensial)

Sebuah partikel berenergi $E$ yang datang dari $x < 0$ ke tangga $V = V_0$ bagi $x > 0$ :

$E > V_0$ : $\varphi = \eu^{\iu k_1x} + r\eu^{-\iu k_1x}$ di kirinya, $t\eu^{\iu k_2x}$ di kanannya, dengan $k_{1,2} = \sqrt{2m(E - V_{0,\text{kiri/kanan}})}/ \hbar$ ; kesinambungan $\varphi$ dan $\varphi'$ memberi $r = (k_1 - k_2)/(k_1 + k_2)$ dan peluang pemantulannya (nisbah arusnya) $R = r^2$ , $T = 1 - R = 4k_1k_2/(k_1 + k_2)^2$ — sebuah partikel dapat terpantul oleh sebuah tangga yang energinya cukup untuk didaki, tepat seperti sebuah gelombang pada sebuah dawai oleh sebuah perubahan impedansi (Bab 15);
$E < V_0$ : di kanannya $\varphi = t\eu^{-\kappa x}$ , $\kappa = \sqrt{2m(V_0 - E)}/\hbar$ — sebuah gelombang evanesen; $|r| = 1$ (pemantulan total, dengan sebuah geseran fase), tak ada arus yang mengalir ke dalam tangganya, tetapi partikelnya ditemukan di sana dengan sebuah peluang yang meluruh sepanjang $1/\kappa$ .

Bukti. Tuliskanlah persamaan kontinuitasnya di $x = 0$ lalu selesaikanlah; bagi arusnya pakailah $j = (|A|^2 - |B|^2)\hbar k/m$ (Bab 30). Bagi $E < V_0$ , $r = (k - \iu\kappa)/(k + \iu\kappa)$ , yang bermodulus satu. ∎

Teorema 31.6 (Penerowongan menembus sebuah penghalang)

Sebuah partikel berenergi $E < V_0$ yang menjumpai sebuah penghalang segi empat setinggi $V_0$ dan selebar $a$ diteruskan dengan peluang

T = \Big[1 + \frac{V_0^2\sinh^2(\kappa a)}{4E(V_0 - E)}\Big]^{-1} \ \approx\ 16\,\frac{E}{V_0}\Big(1 - \frac{E}{V_0}\Big)\eu^{-2\kappa a} \quad (\kappa a \gg 1), \qquad \kappa = \frac{\sqrt{2m(V_0 - E)}}{\hbar} .

Inilah efek terowongan: yang mustahil secara klasik, dan secara kuantum kecil secara eksponensial — serta peka secara eksponensial terhadap lebarnya $a$ , tingginya $V_0 - E$ dan massanya $m$ . Bagi sebuah elektron $1\,\mathrm{eV}$ di bawah puncaknya, $\kappa = 5.1\,\mathrm{nm}^{-1}$ : $T \sim 10^{-2}$ bagi $a = 0.5\,\mathrm{nm}$ , $10^{-4}$ bagi $1\,\mathrm{nm}$ , $10^{-9}$ bagi $2\,\mathrm{nm}$ ; bagi sebuah proton, $\kappa$ menjadi $43$ kali lebih besar dan tak ada yang lolos pada lebar ini.

Bukti. $\varphi = \eu^{\iu kx} + r\eu^{-\iu kx}$ bagi $x < 0$ , $A\eu^{\kappa x} + B\eu^{-\kappa x}$ di dalamnya, $t\eu^{\iu kx}$ bagi $x > a$ ; empat syarat kesinambungan (bagi $\varphi$ dan $\varphi'$ di $0$ dan $a$ ) bagi empat yang tak diketahui; menyingkirkan $A$ , $B$ , $r$ memberi $1/|t|^2 = 1 + (k^2 + \kappa^2)^2\sinh^2(\kappa a)/4k^2\kappa^2$ , yang merupakan rumusnya dengan $k^2 = 2mE/\hbar^2$ , $\kappa^2 = 2m(V_0 - E)/\hbar^2$ . Bagi $\kappa a \gg 1$ , $\sinh\kappa a \approx \eu^{\kappa a}/2$ . Bagi sebuah penghalang berbentuk sembarang eksponennya menjadi $2\int\kappa(x)\dd x$ menyeberangi daerah terlarangnya (yaitu faktor Gamow, yang diterima tanpa bukti). ∎

Penerowongan menembus sebuah penghalang: gelombangnya berayun di kirinya, meluruh eksponensial di dalam daerah yang terlarang secara klasiknya, lalu muncul di kanannya dengan amplitudo yang berkurang — panjang gelombang yang sama, peluang yang kecil.

Contoh 31.7 (Mikroskop terowongan payar)

Sebuah ujung logam yang tajam didekatkan sampai $d \approx 0.5\,\mathrm{nm}$ dari sebuah permukaan yang menghantar lalu sebuah tegangan kecil diterapkan: elektronnya menerowong menyeberangi celah hampanya, yang tinggi penghalangnya adalah fungsi kerjanya $\Phi \approx 4.5\,\mathrm{eV}$ , sehingga $\kappa = \sqrt{2m\Phi}/\hbar = 1.1 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{-1}$ dan arusnya $I \propto \eu^{-2\kappa d}$ berubah sebesar faktor $\eu^{2.2} \approx 10$ tiap $0.1\,\mathrm{nm}$ . Sebuah simpal umpan balik menggerakkan ujungnya untuk menjaga $I$ tetap, dan tinggi ujungnya, yang direkam ketika ia memayar, menggambar permukaannya dengan resolusi tegak sepikometer — dan secara mendatar atom demi atom, karena atom terakhir ujungnya, yang paling dekat, mengemban sebagian besar arusnya (Binnig dan Rohrer, 1981).

Contoh 31.8 (Peluruhan alfa)

Sebuah partikel $\alpha$ $5\,\mathrm{MeV}$ di dalam sebuah inti berat menghadapi penghalang Coulomb muatan sisanya $Ze$ , yang berpuluh MeV tingginya di permukaan intinya dan terentang sampai jari-jari $b = 2Ze^2/4\pi\varepsilon_0E \approx 50\,\mathrm{fm}$ yang di sana $V = E$ . Faktor Gamownya $2\int\kappa\,\dd r$ berorde $80$ : $T \sim \eu^{-80} \sim 10^{-35}$ . Partikelnya menumbuk dindingnya sekitar $10^{21}$ kali tiap sekon, sehingga ia lolos dengan laju $\sim 10^{-14} \,\mathrm{s}^{-1}$ : yaitu umur sejuta tahun. Karena eksponennya berubah sebagai $Z/\sqrt E$ , sebuah perubahan $2\,\mathrm{MeV}$ pada $E$ menggeser umurnya sebesar dua puluh orde besaran — yaitu hukum Geiger–Nuttall, dari mikrosekon sampai umur alam semesta (Gamow, 1928: yaitu penerapan pertama penerowongan).

Resolusi atomik pada sebuah permukaan emas, yang dicitrakan sebuah mikroskop terowongan payar: deret atom muka (100) yang terekonstruksi, yang terpisah beberapa persepuluh nanometer.

31.4 Sumur ganda

Proposisi 31.9 (Pembelahan terowongan)

Dua sumur serupa yang dipisahkan sebuah penghalang: jika penghalangnya tak tertembus tiap sumurnya akan mempunyai aras dasar yang sama $E_0$ , dua kali. Penerowongan mengopel keduanya dan kedua keadaan terendah sumur gandanya adalah gabungan setangkup dan taksetangkup, $\varphi_\pm \approx (\varphi_{\text{L}} \pm \varphi_{\text{R}})/\sqrt2$ , berenergi $E_0 \mp \Delta/2$ : arasnya terbelah sebesar $\Delta \propto \eu^{-\kappa a}$ (yaitu amplitudo penerowongannya, bukan kuadratnya). Sebuah partikel yang ditaruh dalam sumur kirinya, $\psi = (\varphi_+ + \varphi_-)/\sqrt2$ , tidak tegar: ia berayun antara sumurnya pada frekuensi $\nu = \Delta/h$ — yaitu ayunan penerowongan, yaitu layangan dua aras Bab 30.

Bukti. Gabungan setangkupnya tak mempunyai simpul di bawah penghalangnya dan berkelengkungan lebih rendah, maka berenergi lebih rendah; yang taksetangkup mempunyai sebuah simpul lalu terletak lebih tinggi; pembelahannya sebanding dengan tumpang tindih fungsi yang terlokalkan di bawah penghalangnya, $\eu^{-\kappa a}$ . Layangannya adalah tumpang tindih dua aras yang sudah dihitung. ∎

Sumur gandanya: aras berdegenerasi kedua sumur yang terpisah itu terbelah menjadi sebuah keadaan setangkup (yang lebih rendah) dan sebuah yang taksetangkup (yang lebih tinggi) sebesar - a; sebuah partikel yang dimulai pada satu sisinya menerowong bolak-balik pada frekuensi /h. — Sumur gandanya: aras berdegenerasi kedua sumur yang terpisah itu terbelah menjadi sebuah keadaan setangkup (yang lebih rendah) dan sebuah yang taksetangkup (yang lebih tinggi) sebesar $\Delta \propto \eu^{-\kappa a}$ ; sebuah partikel yang dimulai pada satu sisinya menerowong bolak-balik pada frekuensi $\Delta/h$ .

Contoh 31.10 (Amonia)

Dalam NH $_3$ atom nitrogennya duduk pada satu sisi bidang ketiga hidrogennya atau pada sisi lainnya — yaitu sebuah sumur ganda berpenghalang sekitar $0.25\,\mathrm{eV}$ . Pembelahan terowongan aras dasarnya adalah $\Delta = 1 \times 10^{-4}\,\mathrm{eV}$ : $\nu = \Delta/h = 24\,\mathrm{GHz}$ , yaitu frekuensi inversi-nya, yaitu transisi maser pertama dan jam atom pertama (1949). Gantilah hidrogennya dengan deuterium dan molekul yang lebih berat itu menerowong lebih sedikit: $1.6\,\mathrm{GHz}$ . Dalam piramida yang lebih berat (PH $_3$ , AsH $_3$ ) pembelahannya runtuh sampai kilohertz dan di bawahnya: molekulnya tinggal pada sisinya bertahun — itulah sebabnya molekul kidal dan kinan ada sama sekali, dan itulah sebabnya gula tak merasemat di rak.

Charles Townes dengan maser pertama (1954): sebuah berkas molekul amonia, yang dipilah sebuah medan listrik ke dalam keadaan inversi atasnya, menguatkan transisi 24\, GHz-nya dalam sebuah rongga — yaitu piranti pertama pancaran terangsang, enam tahun sebelum lasernya. — Charles Townes dengan maser pertama (1954): sebuah berkas molekul amonia, yang dipilah sebuah medan listrik ke dalam keadaan inversi atasnya, menguatkan transisi $24\,\mathrm{GHz}$ -nya dalam sebuah rongga — yaitu piranti pertama pancaran terangsang, enam tahun sebelum lasernya.

Metode 31.11 (Sumur dan penghalang)

(1) Tuliskanlah $\varphi$ daerah demi daerah: $\eu^{\pm\iu kx}$ di tempat $E > V$ , $\eu^{\pm\kappa x}$ di tempat $E < V$ , dengan $k, \kappa = \sqrt{2m|E - V|}/\hbar$ . (2) Sesuaikanlah $\varphi$ dan $\varphi'$ di tiap batasnya (pada sebuah dinding takhingga, $\varphi = 0$ ). (3) Keadaan terikat: penyesuaiannya berpenyelesaian hanya bagi $E$ yang diskret — cacahlah secara grafis. (4) Hamburan: arusnya $(|A|^2 - |B|^2)\hbar k/m$ memberi $R$ dan $T$ . (5) Penerowongan: $T \sim \eu^{-2\kappa a}$ ; orde besarannya dahulu, prafaktornya kemudian. (6) Sumur ganda: pembelahannya $\propto\eu^{-\kappa a}$ , layangannya pada $\Delta/h$ .

31.5 Latihan

Latihan 31.1 ★

Sumur takhingga: sebuah elektron dalam $1\,\mathrm{nm}$ (tentukanlah $E_1$ , $E_2$ , $E_3$ , panjang gelombang foton $2 \to 1$ -nya); sebuah elektron dalam $0.1\,\mathrm{nm}$ ; sebuah nukleon dalam $5\,\mathrm{fm}$ ; sebuah kelereng $1\,\mathrm{g}$ dalam $10\,\mathrm{cm}$ ( $E_1$ , dan bilangan kuantumnya bagi sebuah kelajuan $1\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ ).

Solusi

Solusi Latihan 31.1.

$1\,\mathrm{nm}$ : $0.38\,$ , $1.50\,$ , $3.38\,\mathrm{eV}$ ; $2 \to 1$ : $1.13\,\mathrm{eV}$ , $1.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ . $0.1\,\mathrm{nm}$ : $38\,\mathrm{eV}$ . Nukleonnya: $8\,\mathrm{MeV}$ . Kelerengnya: $E_1 = 5.5 \times 10^{-63}\,\mathrm{J}$ ; $n = 2mvL/h = 3 \times 10^{27}$ .

Latihan 31.2 ★

Titik kuantum: sebuah nanohablur bersenjang $1.74\,\mathrm{eV}$ mengurung sebuah pasangan elektron–lubang yang energi pengurungannya $h^2/8m^*L^2$ dengan $m^* = 0.1\,m_{\text{e}}$ . Tentukanlah panjang gelombang pancarannya bagi $L = 6$ , $4$ , $3$ , $2.5\,\mathrm{nm}$ ; warna yang mana?

Solusi

Solusi Latihan 31.2.

Pengurungannya $3.76\,\mathrm{eV}\,\mathrm{nm}^{2}/L^2$ : $0.10$ , $0.24$ , $0.42$ , $0.60\,\mathrm{eV}$ ; totalnya $1.84$ , $1.98$ , $2.16$ , $2.34\,\mathrm{eV}$ : $673\,$ , $628\,$ , $574\,$ , $530\,\mathrm{nm}$ — merah, jingga, kuning-hijau, hijau.

Latihan 31.3 ★

Penerowongan: sebuah elektron ber- $V_0 - E = 4.5\,\mathrm{eV}$ : tentukanlah $\kappa$ ; $\eu^{-2\kappa a}$ bagi $a = 0.3$ , $0.5$ , $1$ , $2\,\mathrm{nm}$ ; faktornya tiap $0.1\,\mathrm{nm}$ ; hal yang sama bagi sebuah proton pada $a = 0.3\,\mathrm{nm}$ .

Solusi

Solusi Latihan 31.3.

$\kappa = 1.09 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{-1}$ ; $\eu^{-2\kappa a}$ : $1.5 \times 10^{-3}$ , $1.8 \times 10^{-5}$ , $3 \times 10^{-10}$ , $10^{-19}$ ; $\times 8.8$ tiap $0.1\,\mathrm{nm}$ ; protonnya: $\kappa$ menjadi $43$ kali lebih besar, $\eu^{-280}$ pada $0.3\,\mathrm{nm}$ .

Latihan 31.4 ★

Tangga: sebuah elektron $2\,\mathrm{eV}$ ke sebuah tangga $1\,\mathrm{eV}$ : tentukanlah $k_1$ , $k_2$ , $R$ , $T$ . Hal yang sama bagi sebuah tangga turun $1\,\mathrm{eV}$ . Mengapa ini mustahil secara klasik, dan apa analoginya bagi cahaya?

Solusi

Solusi Latihan 31.4.

$k_1 = 7.3 \times 10^{9}\,\mathrm{m}^{-1}$ , $k_2 = 5.1 \times 10^{9}\,\mathrm{m}^{-1}$ ; $R = 0.03$ , $T = 0.97$ . Tangga turunnya: $k_2 = 8.9 \times 10^{9}\,\mathrm{m}^{-1}$ , $R = 0.01$ . Sebuah partikel klasik tak pernah berbalik ketika ia mempunyai energinya; sebuah gelombang cahaya terpantul sebagian pada sebarang perubahan indeks.

Latihan 31.5 ★★

Sumur takhingga secara rinci. (a) Turunkanlah arasnya lalu normalkanlah. (b) Tunjukkanlah keortogonalannya. (c) Bagi $n = 1$ : tentukanlah $\langle x\rangle$ , $\Delta x = L\sqrt{1/12 - 1/2\pi^2}$ , $\langle p\rangle = 0$ , $\Delta p = \pi\hbar/L$ ; periksalah Heisenbergnya. (d) Sketsalah $|\varphi_n|^2$ bagi $n$ yang besar lalu bandingkanlah dengan peluang klasik menemukan sebuah partikel yang memantul-mantul.

Solusi

Solusi Latihan 31.5.

(a), (b) Proposisi 31.1. (c) $L/2$ ; $0.18L$ ; $0$ ; $\pi\hbar/L$ ; hasil kalinya $0.57\hbar > \hbar/2$ . (d) Ayunan cepat di sekitar reratanya $1/L$ — yaitu kerapatan seragam klasiknya.

Latihan 31.6 ★★

Sumur berhingga. (a) Turunkanlah $k\tan ka = \kappa$ bagi keadaan genapnya. (b) Tunjukkanlah secara grafis bahwa selalu ada sebuah keadaan terikat lalu cacahlah bagi $R = 1$ , $4$ , $10$ . (c) Elektron, $V_0 = 1\,\mathrm{eV}$ , $2a = 1\,\mathrm{nm}$ : tentukanlah $R$ , jumlah keadaannya, kedalaman tembus keadaan dasarnya (ambillah $E \approx 0.26\,\mathrm{eV}$ ). (d) Apa yang terjadi pada jumlah keadaan terikatnya ketika $V_0 \to \infty$ , dan pada energinya?

Solusi

Solusi Latihan 31.6.

(a) Proposisi 31.3. (b) $1$ , $3$ , $7$ . (c) $R = 2.6$ , dua keadaan; $\kappa = 4.4 \times 10^{9}\,\mathrm{m}^{-1}$ , kedalamannya $0.23\,\mathrm{nm}$ . (d) Takhingga banyaknya, yang cenderung ke aras sumur takhingganya dari bawah.

Latihan 31.7 ★★

Tangga, $E < V_0$ . (a) Tuliskanlah $\varphi$ di kedua sisinya lalu carilah $r = (k - \iu\kappa)/(k + \iu\kappa)$ . (b) Tunjukkanlah $|r| = 1$ lalu hitunglah fase $r$ -nya. (c) Tunjukkanlah bahwa arusnya lenyap bagi $x > 0$ meskipun $|\varphi|^2 \ne 0$ di sana. (d) Elektron $1\,\mathrm{eV}$ di bawah puncaknya: berapa kedalaman tembusnya; bandingkanlah dengan gelombang evanesen pemantulan dalam total.

Solusi

Solusi Latihan 31.7.

(a) $1 + r = t$ , $\iu k(1 - r) = -\kappa t$ . (b) Pembilang dan penyebutnya saling konjugat; fasenya $-2\arctan(\kappa/k)$ . (c) $\psi^*\psi'$ nyata bagi sebuah eksponensial yang nyata. (d) $0.2\,\mathrm{nm}$ ; seperti gelombang evanesen pemantulan total: hadir, tak mengemban fluks, dan mampu menyuapi sebuah medium kedua — itulah penerowongannya.

Latihan 31.8 ★★

Penghalangnya. (a) Tuliskanlah keempat syarat kesinambungannya lalu turunkanlah $T$ . (b) Nilailah secara eksak dan dengan hampirannya bagi $E = V_0/2$ , $\kappa a = 3$ ; dan bagi $\kappa a = 1$ . (c) Bagi $E > V_0$ tunjukkanlah $T = [1 + V_0^2\sin^2(k_2a)/4E(E - V_0)]^{-1}$ lalu carilah energi penerusan sempurnanya. (d) Tafsirkanlah (pikirkanlah lapisan antipantul Bab 15).

Solusi

Solusi Latihan 31.8.

(a) Teorema 31.6. (b) $\kappa a = 3$ : eksaknya $1/(1 + \sinh^23) = 9.9 \times 10^{-3}$ , hampirannya $4\eu^{-6} = 9.9 \times 10^{-3}$ ; $\kappa a = 1$ : $0.42$ melawan $0.54$ . (c) $\kappa \to \iu k_2$ ; $T = 1$ bagi $k_2a = n\pi$ . (d) Pantulan dari kedua mukanya saling meniadakan ketika penghalangnya sejumlah bulat setengah panjang gelombang — yaitu penerusan resonan.

Latihan 31.9 ★★

Gamow. Bagi penghalang Coulomb dari jari-jari intinya $R_{\text{n}}$ sampai $b = 2Ze^2/4\pi\varepsilon_0E$ , eksponennya adalah $G = 2\int\kappa\,\dd r = (2\sqrt{2mE}/\hbar)\,b\,[\arccos\sqrt{R_{\text{n}}/b} - \sqrt{(R_{\text{n}}/b)(1 - R_{\text{n}}/b)}]$ . (a) $Z = 90$ , $E = 5\,\mathrm{MeV}$ , $R_{\text{n}} = 8\,\mathrm{fm}$ : tentukanlah $b$ , $G$ , $T$ . (b) Frekuensi tumbukannya $v/2R_{\text{n}}$ dan umurnya. (c) Ulangilah bagi $E = 4$ dan $6\,\mathrm{MeV}$ : berapa nisbah umurnya. (d) Mengapa inti memancarkan partikel $\alpha$ alih-alih proton atau $^{12}$ C?

Solusi

Solusi Latihan 31.9.

(a) $b = 52\,\mathrm{fm}$ ; $G = 82$ ; $T = \eu^{-82} \approx 2 \times 10^{-36}$ . (b) $v = 1.55 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $10^{21}$ tumbukan tiap sekon: lajunya $2 \times 10^{-15}\,\mathrm{s}^{-1}$ , umurnya $\sim 10^7$ tahun. (c) $G = 100$ dan $69$ : $\eu^{18} \approx 10^8$ lebih lama, $\eu^{-13} \approx 10^{-6}$ lebih pendek. (d) Partikel $\alpha$ -nya terikat erat lalu pergi dengan energi positif; sebuah proton tidak; sebuah $^{12}$ C bermuatan tiga kali lipat dan bereksponen jauh lebih besar (peluruhan gugus ada, pada $10^{-10}$ ).

Latihan 31.10 ★★★

Amonia. Pembelahannya $\Delta = 1 \times 10^{-4}\,\mathrm{eV}$ . (a) Tentukanlah frekuensi inversi dan periode ayunan penerowongannya. (b) Atom N-nya disiapkan pada satu sisi: tuliskanlah $\psi(t)$ dan peluang menemukannya pada sisi lainnya. (c) ND $_3$ menerowong pada $1.6\,\mathrm{GHz}$ : turunkanlah $\kappa a$ dari nisbah pembelahannya jika $\Delta \propto \eu^{-\kappa a}$ dan $\kappa \propto\sqrt m$ ( $m_{\text{D}} = 2m_{\text{H}}$ , penghalangnya tak berubah). (d) Mengapa sebuah molekul kiral dapat tetap kidal bertahun?

Solusi

Solusi Latihan 31.10.

(a) $24\,\mathrm{GHz}$ ; $41\,\mathrm{ps}$ . (b) $\psi = (\varphi_+\eu^{-\iu E_+t/\hbar} + \varphi_-\eu^{-\iu E_-t/\hbar})/\sqrt2$ ; $P = \sin^2(\pi\nu t)$ . (c) $\eu^{(\sqrt2 - 1) \kappa a} = 15$ : $\kappa a = 6.5$ . (d) Gugus yang lebih berat dan penghalang yang lebih tinggi membuat periode penerowongannya lebih lama daripada bertahun.

Latihan 31.11 ★★★

STM-nya. $\Phi = 4.5\,\mathrm{eV}$ , $d = 0.5\,\mathrm{nm}$ , panjarnya $0.1\,\mathrm{V}$ , $I = 1\,\mathrm{nA}$ . (a) Tentukanlah $\kappa$ , faktor $I$ tiap $0.1\,\mathrm{nm}$ , resolusi tingginya jika $I$ terukur sampai $1\%$ . (b) Elektron tiap sekon dalam arusnya. (c) Atom puncak ujungnya $0.25\,\mathrm{nm}$ lebih dekat daripada tetangganya (yang $0.25\,\mathrm{nm}$ jauhnya secara mendatar, sehingga $d' = \sqrt{d^2 + 0.25^2}$ ): berapa bagian arus yang diembannya. (d) Sebuah kerangka baja $1\,\mathrm{cm}$ memuai sebesar $\alpha L\Delta T$ dengan $\alpha = 1 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$ : kemantapan suhu berapa yang dituntut sepikometer, dan bagaimana rancangannya menyiasatinya?

Solusi

Solusi Latihan 31.11.

(a) $1.09 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{-1}$ ; $\times 8.8$ ; $1\%$ dari $I$ adalah $0.5\,\mathrm{pm}$ . (b) $6 \times 10^9$ . (c) Tiap tetangganya di $d' = 0.56\,\mathrm{nm}$ mengemban $\eu^{-2\kappa \times 0.06\,\text{nm}} = 0.28$ arus puncaknya; puncaknya mengemban sekitar separuhnya. (d) $10^{-5}\,\mathrm{K}$ — mustahil; rancangan yang setangkup yang ujung dan cuplikannya memuai bersama, payaran yang cepat, bahan bermuai rendah, dan umpan baliknya.

Latihan 31.12 ★★★

Sebuah laser sumur kuantum. Sebuah lapisan GaAs $10\,\mathrm{nm}$ (senjangnya $1.42\,\mathrm{eV}$ , $m_{\text{e}}^* = 0.067\,m_{\text{e}}$ , $m_{\text{h}}^* = 0.45\,m_{\text{e}}$ ) di antara penghalang yang $0.3\,\mathrm{eV}$ lebih tinggi. (a) Tentukanlah energi pengurungan dasar elektron dan lubangnya (sumur takhingga). (b) Energi foton dan panjang gelombang lasernya. (c) Lebarnya bagi $780\,\mathrm{nm}$ . (d) Dengan penghalang yang berhingga, berapa banyak keadaan elektron terikat yang dimuat sumur $10\,\mathrm{nm}$ -nya?

Solusi

Solusi Latihan 31.12.

(a) $0.056\,$ dan $0.008\,\mathrm{eV}$ . (b) $1.48\,\mathrm{eV}$ , $835\,\mathrm{nm}$ . (c) Pengurungannya $0.17\,\mathrm{eV}$ : $L = 6.1\,\mathrm{nm}$ . (d) $R = 3.6$ : tiga.

31.6 Soal: STM, partikel alfa dan maser amonia

Soal 31.1

Soal akhir pekan — tiga terowongan

Data: $\hbar = 1.05 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ , $h = 6.63 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ , $m_{\text{e}} = 9.11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$ , $m_\alpha = 6.64 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ , $e^2/4\pi\varepsilon_0 = 1.44\,\mathrm{MeV}\,\mathrm{fm}$ , $1\,\mathrm{eV}$ $= 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$ .

Bagian I — Mikroskop terowongan payarnya. Ujung dan cuplikannya dari wolfram ( $\Phi = 4.5\,\mathrm{eV}$ ); celahnya $d$ ; panjarnya $50\,\mathrm{mV}$ ; arusnya adalah $I = I_0\eu^{-2\kappa d}$ .

Tentukanlah $\kappa$ bagi elektron pada aras Fermi yang menghadapi penghalang hampanya $\Phi$ .
Faktor perubahan $I$ bagi $\Delta d = 0.1\,\mathrm{nm}$ ; bagi $1\,\mathrm{pm}$ .
Umpan baliknya menahan $I$ tetap sampai $1\%$ : berapa derau tingginya.
$I = 1\,\mathrm{nA}$ : berapa elektron tiap sekon; waktu rerata antara dua elektron, dibandingkan dengan “waktu” penerowongannya $\sim\hbar/\Phi$ .
Atom puncaknya dan tetangganya yang $0.25\,\mathrm{nm}$ jauhnya secara mendatar, $d = 0.5\,\mathrm{nm}$ : berapa bagian atom puncaknya; mengapa satu atom saja cukup untuk mencitrakan atom.
Sebuah atom teradsorpsi setinggi $0.1\,\mathrm{nm}$ : berapa perubahan $I$ dalam ragam tinggi tetapnya; mengapa ragam arus tetapnya lebih disukai.
Sebuah kerangka logam $2\,\mathrm{cm}$ , $\alpha = 1 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$ : berapa perubahan suhu yang menggerakkan ujungnya sebesar $1\,\mathrm{pm}$ ; bagaimana instrumennya menyiasatinya (kesetangkupan, kecepatan, bahan bermuai rendah)?
Dengan panjar $1\,\mathrm{V}$ penghalangnya tak lagi segi empat: sketsalah lalu katakanlah apakah $I$ tumbuh lebih cepat atau lebih lambat daripada linear dengan $V$ .
Pada sebuah bercak teroksidasi fungsi kerjanya $3\,\mathrm{eV}$ alih-alih $4.5\,\mathrm{eV}$ : seberapa jauh ujungnya menarik diri dalam ragam arus tetap di atas sebuah permukaan yang rata sempurna? Lalu apa yang dicitrakan STM-nya?

Bagian II — Peluruhan alfa sebuah inti $Z = 92$ , $A = 238$ . Partikel $\alpha$ -nya ( $E = 4.2\,\mathrm{MeV}$ ) bergerak dalam sebuah inti berjari-jari $R_{\text{n}} = 8\,\mathrm{fm}$ ; di luarnya, energi Coulombnya adalah $V(r) = 2(Z - 2)e^2/4\pi\varepsilon_0r$ .

Tinggi penghalangnya di $R_{\text{n}}$ ; titik balik klasiknya $b$ .
Kelajuan $\alpha$ -nya di dalamnya dan frekuensi tumbukannya pada dindingnya.
Eksponen Gamownya $G = (2\sqrt{2mE}/\hbar)\,b\,[\arccos\sqrt{R_{\text{n}}/b} - \sqrt{(R_{\text{n}}/b)(1 - R_{\text{n}}/b)}]$ dan $T = \eu^{-G}$ .
Laju peluruhan dan waktu paruhnya; bandingkanlah dengan $4.5 \times 10^9$ tahun yang terukur.
Hal yang sama dengan $E = 5.2\,\mathrm{MeV}$ (sebuah isotop lain): berapa waktu paruhnya; dan kepekaan Geiger–Nuttallnya.
Dengan mengambil $R_{\text{n}} = 9\,\mathrm{fm}$ alih-alih $8\,\mathrm{fm}$ : apa efeknya pada waktu paruhnya; ulaslah ketelitian taksiran semacam itu.
Mengapa penerowongan sebuah proton (bermuatan $1$ , bermassa $1/4$ ) tak teramati dari inti yang sama, dan begitu pula penerowongan sebuah $^{12}$ C (bermuatan $6$ )?
Partikel $\alpha$ -nya muncul dengan $4.2\,\mathrm{MeV}$ penuh meskipun ia “lewat di bawah” sebuah dinding $30\,\mathrm{MeV}$ : kekalkah energinya?

Bagian III — Maser amonianya. Atom N-nya menerowong menembus bidang H $_3$ -nya; aras dasarnya terbelah sebesar $\Delta = 9.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{eV}$ .

Frekuensi dan panjang gelombang transisi inversinya.
Tuliskanlah keadaan setangkup dan taksetangkupnya dalam “N atas” dan “N bawah”; yang mana yang lebih rendah, dan mengapa?
Sebuah molekul yang disiapkan “N atas”: tentukanlah $\psi(t)$ , peluang “bawah” pada saat $t$ , dan periodenya.
Nisbah Boltzmann kedua arasnya pada $300\,\mathrm{K}$ : dapatkah populasi termalnya memberi sebuah maser? Bagaimana pembalikannya diperoleh (sebuah medan listrik pemilah keadaan)?
Energi fotonnya dalam joule; berapa molekul yang harus memancar tiap sekon bagi sebuah keluaran $1 \times 10^{-10}\,\mathrm{W}$ .
ND $_3$ menerowong pada $1.6\,\mathrm{GHz}$ : turunkanlah $\kappa a$ bagi NH $_3$ dengan menganggap $\Delta \propto \eu^{-\kappa a}$ dengan $\kappa \propto \sqrt{m}$ .
Masernya adalah jam atom yang pertama: mengapa sebuah frekuensi penerowongan merupakan jam yang baik dan efek apa yang menggesernya?
Ringkaslah: kuantisasi dari pengurungan, penerowongan dari keevanesenan, dan apa yang menetapkan eksponennya.

Solusi

Solusi Soal 31.1.

1. $\kappa = \sqrt{2m\Phi}/\hbar = 1.09 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{-1}$ .

2. $\eu^{2.2} = 8.8$ ; $\eu^{0.022}$ : $2.2\%$ tiap pikometer.

3. $0.5\,\mathrm{pm}$ .

4. $6 \times 10^9$ tiap sekon; terpisah $0.16\,\mathrm{ns}$ , melawan $\hbar/\Phi \sim 10^{-16}\,\mathrm{s}$ : satu demi satu.

5. Sekitar separuhnya; sisanya meluruh begitu cepat dengan jaraknya sehingga citranya adalah citra satu atom.

6. $\times 8.8$ ; arus tetapnya menjaga ujungnya selamat lalu mengubah eksponensialnya menjadi sebuah tinggi yang linear.

7. $\Delta T = 10^{-12}/(10^{-5} \times 0.02) = 5 \times 10^{-6}\,\mathrm{K}$ ; dudukan yang setangkup, kecepatan, bahan bermuai rendah, dan sebuah umpan balik yang mengikuti hanyutannya.

8. Sebuah trapesium, yang direndahkan pada sisi pengumpulnya: penghalang efektifnya menipis dan $I$ tumbuh lebih cepat daripada linear.

9. $\kappa' = 0.89 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{-1}$ ; pada $0.5\,\mathrm{nm}$ eksponennya turun dari $10.9$ menjadi $8.9$ , $I \times 7$ : ujungnya menarik diri sebesar $\ln 7/2\kappa' \approx 0.1\,\mathrm{nm}$ — yaitu sebuah bonggol yang elektronik, bukan geometrik.

10. $V(R_{\text{n}}) = 2 \times 90 \times 1.44/8 = 32\,\mathrm{MeV}$ ; $b = 62\,\mathrm{fm}$ .

11. $v = 1.4 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $9 \times 10^{20}$ tumbukan tiap sekon.

12. $G = 96$ ; $T = \eu^{-96} \approx 10^{-42}$ .

13. Lajunya $\sim 10^{-21}\,\mathrm{s}^{-1}$ , waktu paruhnya $\sim 10^{13}$ tahun — seribu kali nilai yang terukur: bagi sebuah eksponen seratus, sebuah model kasar sudah baik jika mendarat dalam beberapa orde besaran.

14. $G = 79$ : $\eu^{17} \approx 10^7$ kali lebih pendek, sekitar $10^6$ tahun — satu MeV tambahan, tujuh orde besaran.

15. $G = 92$ : $\eu^{4.5} \approx 90$ kali lebih pendek — sefermi jari-jari adalah dua orde besaran.

16. Sebuah proton tak terbentuk lebih dahulu dengan energi positif (ia terikat sekitar $7\,\mathrm{MeV}$ ); sebuah $^{12}$ C bermuatan tiga kali lipat dan bereksponen tiga kali lebih besar.

17. Ya: partikel $\alpha$ -nya selalu mempunyai $4.2\,\mathrm{MeV}$ ; fungsi gelombangnya sekadar mempunyai sebuah bagian evanesen di bawah penghalangnya, yang di sana tak ada pengukuran yang menemukannya dengan energi kinetik negatif.

18. $23.7\,\mathrm{GHz}$ ; $1.27\,\mathrm{cm}$ .

19. $(|{\uparrow}\rangle \pm |{\downarrow}\rangle)/\sqrt2$ ; yang setangkup lebih rendah — tanpa simpul, kelengkungannya lebih kecil.

20. $\psi = (\varphi_+\eu^{-\iu E_+t/\hbar} + \varphi_-\eu^{-\iu E_-t/\hbar})/\sqrt2$ ; $P_{\downarrow} = \sin^2(\pi\nu t)$ ; periodenya $42\,\mathrm{ps}$ .

21. $\eu^{-\Delta/k_BT} = 0.996$ : nyaris sama, tanpa pembalikan; sebuah medan listrik yang taksergam memilah berkasnya lalu mengirimkan molekul berkeadaan atas ke dalam rongganya.

22. $1.6 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}$ ; $6 \times 10^{12}$ molekul tiap sekon.

23. $\kappa a = 6.5$ .

24. Ia ditetapkan molekulnya sendiri, serupa bagi tiap molekulnya, dan tak peka terhadap luarnya; geserannya datang dari efek Doppler dalam berkasnya, medan listrik liar, tumbukan dan tarikan rongganya.

25. Pengurungan mengkuantumkan ( $E_n \propto n^2/L^2$ ); keevanesenan meloloskan gelombangnya ( $T \sim \eu^{-2\kappa a}$ ); eksponennya ditetapkan $\sqrt{2m(V_0 - E)}/\hbar$ dan lebarnya — massa, tinggi, jarak.