Fisika Universitas — Tahun 2 · Bachelor Year 2

19Interferensi Dua Gelombang

Sebuah gelembung sabun terbuat dari cairan yang tak berwarna, namun ia berkilau berwarna; selaput minyak di jalan yang basah menunjukkan pita pelangi yang sama; sayap seekor capung berkilat hijau dan lembayung. Tak satu pun warna ini berasal dari pigmen: semuanya berasal dari dua salinan gelombang cahaya yang sama, yang terpantul pada kedua muka sebuah selaput tipis, tiba dengan tunda lalu saling menguatkan atau meniadakan — yaitu interferensi dua gelombang. Young menjadikannya bukti bahwa cahaya adalah gelombang pada 1801, dengan dua celah dan sebatang lilin; bab ini memaparkan rumusnya, geometri rumbai Young, kedua syaratnya — koherensi waktu dan koherensi ruang — yang di bawahnya rumbainya bertahan, dan warna selaput tipisnya.

Sebuah selaput minyak di jalan yang basah: dua pantulan, satu dari tiap mukanya, dan tebal yang berbeda dari tempat ke tempat — tiap warna terang di tempat 2ne bernilai tepat. — Sebuah selaput minyak di jalan yang basah: dua pantulan, satu dari tiap mukanya, dan tebal yang berbeda dari tempat ke tempat — tiap warna terang di tempat $2ne$ bernilai tepat.

19.1 Rumus interferensinya

Teorema 19.1 (Interferensi dua gelombang)

Dua gelombang monokromatik koheren berintensitas $I_1$ , $I_2$ dan berbeda fase $\Delta\varphi$ di sebuah titik $M$ memberi di sana intensitas

I(M) = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1I_2}\,\cos\Delta\varphi(M) , \qquad \Delta\varphi = \frac{2\pi}{\lambda_0}\,\delta(M) ,

dengan $\delta$ yaitu beda lintasan optik antara kedua rute dari sumbernya ke $M$ . Intensitasnya maksimal ( $I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1I_2}$ ) di tempat $\delta = p\lambda_0$ , dengan $p$ bulat — yaitu orde interferensi-nya — dan minimum ( $I_1 + I_2 - 2\sqrt{I_1I_2}$ ) di tempat $\delta = (p + \tfrac12)\lambda_0$ . Kontras (kenampakan) rumbainya adalah

V = \frac{I_{\max} - I_{\min}}{I_{\max} + I_{\min}} = \frac{2\sqrt{I_1I_2}}{I_1 + I_2} ,

yang sama dengan $1$ bagi intensitas yang sama, yang minimumnya gelap sempurna: $I = 2I_0(1 + \cos\Delta\varphi) = 4I_0\cos^2(\Delta\varphi/2)$ .

Bukti. $s = a_1\cos(\omega t - \varphi_1) + a_2\cos(\omega t - \varphi_2)$ ; $\langle s^2\rangle$ seperti dalam Bab 18, dengan $\Delta\varphi$ yang tetap selama pendeteksiannya; $I_i = \tfrac12Ka_i^2$ . Beda fase dua gelombang yang meninggalkan sumbernya bersama-sama lalu menempuh lintasan optik $L_1$ , $L_2$ adalah $2\pi(L_2 - L_1)/\lambda_0$ (ditambah $\pi$ bagi tiap pemantulan yang membalikkan tandanya, Bab 15). ∎

Catatan 19.2 (Ketiga syaratnya)

Rumbainya ada hanya jika (1) kedua gelombangnya berasal dari sumber yang sama (dua salinan satu getaran, jika tidak $\Delta\varphi$ acak); (2) beda lintasannya lebih kecil daripada panjang koherensinya, $|\delta| < \ell_c$ (koherensi waktu: di luarnya salinannya milik deret gelombang yang berbeda); (3) sumbernya cukup kecil sehingga titiknya yang berbeda tak menghasilkan sistem rumbai tergeser yang saling menghapuskan (koherensi ruang, di bawah). Dan syarat keempat, yang biasanya terpenuhi: kedua gelombangnya tak boleh berpolarisasi tegak lurus (keduanya akan bertambah dalam intensitas, seperti senternya).

19.2 Celah Young

Proposisi 19.3 (Pembelahan muka gelombang: percobaan Young)

Sebuah sumber titik $S$ (atau sebuah celah) menyinari dua celah sempit yang sejajar $S_1$ , $S_2$ yang terpisah jarak $a$ , yang berjarak sama dari $S$ ; sebuah layar berdiri pada jarak $D \gg a$ . Di titik layarnya pada ketinggian $x$ (sejajar $a$ ) beda lintasannya adalah

\delta = S_2M - S_1M \approx \frac{ax}D ,

dan layarnya menunjukkan rumbai lurus yang berjarak sama, terang di $x_p = p\lambda D/a$ , dengan jarak antarrumbai

i = \frac{\lambda D}a .

Rumbainya ada di mana pun di belakang celahnya (keduanya tak terlokalkan); dengan sebuah lensa berjarak fokus $f$ sesudah celahnya, rumbainya terlihat pada bidang fokusnya dengan $i = \lambda f/a$ (rumbai “di tak hingga”). Intensitasnya adalah $4I_0\cos^2(\pi ax/\lambda D)$ .

Bukti. $S_2M^2 - S_1M^2 = [(x + a/2)^2 - (x - a/2)^2] = 2ax$ dan $S_2M + S_1M \approx 2D$ , jadi $\delta \approx 2ax/2D$ . Dua orde berselisih $\lambda$ , yakni sebesar $\Delta x = \lambda D/a$ . Dengan sebuah lensa kedua gelombang yang meninggalkan celahnya pada sudut $\theta$ dari sumbunya mempunyai beda lintasan $a\sin\theta \approx a\theta$ lalu berjumpa di $x = f\theta$ . ∎

Kiri: celah Young — dua salinan gelombang sumbernya berjumpa di layarnya dengan beda lintasan ax/D; rumbai terang tiap D/a. Kanan: profil intensitasnya, 4I_0 2(π x/i) bagi gelombang yang sama (garis penuh) dan dengan kontras yang berkurang (garis putus). — Kiri: celah Young — dua salinan gelombang sumbernya berjumpa di layarnya dengan beda lintasan $ax/D$ ; rumbai terang tiap $\lambda D/a$ . Kanan: profil intensitasnya, $4I_0\cos^2(\pi x/i)$ bagi gelombang yang sama (garis penuh) dan dengan kontras yang berkurang (garis putus).

Contoh 19.4 (Angka, dan cahaya putih)

$a = 0.5\,\mathrm{mm}$ , $D = 2\,\mathrm{m}$ , $\lambda = 600\,\mathrm{nm}$ : $i = 2.4\,\mathrm{mm}$ — cukup besar untuk dilihat, itulah sebabnya celah Young harus berdekatan dan layarnya jauh. Dengan cahaya putih tiap warna membuat rumbainya sendiri, semuanya berimpit di tengahnya ( $\delta = 0$ ): sebuah rumbai pusat yang putih, lalu rumbai berwarna ketika ordenya menyimpang ( $i$ merahnya $1.8$ kali lembayungnya), dan sesudah beberapa orde sebuah medan keputihan yang seragam — panjang koherensi cahaya putih adalah semikrometer, dua atau tiga panjang gelombang. Sebuah spektrometer yang diarahkan ke medan “putih” itu masih melihat pita gelap pada panjang gelombang yang $\delta = (p + \tfrac12)\lambda$ : sebuah spektrum berkanal.

Proposisi 19.5 (Koherensi ruang: sumbernya harus kecil)

Tiap titik sebuah sumber luas menghasilkan sistem rumbainya sendiri; sebuah titik sumber yang tergeser melintang sebesar $b$ pada jarak $L$ di depan celahnya menggeser rumbainya sebesar $x = bD/L$ (beda lintasannya bertambah $ab/L$ ). Sebuah sumber selebar $b$ menyebarkan rumbainya sepanjang satu jarak antarrumbai, dan kontrasnya lenyap, ketika

\frac{ab}L \approx \lambda , \qquad\text{yakni ketika celahnya melihat sumbernya di bawah sudut } \frac bL \gtrsim \frac\lambda a .

Kedua celahnya harus berada di dalam luasan koherensi cahayanya — yaitu daerah yang di dalamnya gelombang dari sumbernya berfase terdefinisi baik, selebar $\lambda L/b$ . Cahaya matahari ( $b/L = 0.5{}^{\circ} = 9\,\mathrm{mrad}$ ) memberi lebar koherensi $\lambda/0.009 \approx 60\,\text{µ}\mathrm{m}$ : Young memerlukan sebuah lubang jarum untuk melebarkannya.

Bukti. Bagi sebuah titik sumber pada ketinggian $b$ , lintasan tambahannya $SS_2 - SS_1 \approx -ab/L$ menambahi $ax/D$ : polanya bergeser sebesar $x = bD/L$ . Mengintegralkan pola $\cos^2$ yang tergeser itu pada sumber selebar $b$ memberi kontras $|\operatorname{sinc}(\pi ab/\lambda L)|$ , yang nol pada $ab/L = \lambda$ . ∎

Koherensi ruang: puncak dan dasar sebuah sumber luas mengirimkan sistem rumbai yang tergeser satu terhadap yang lain; ketika geserannya mencapai satu jarak antarrumbai polanya terhapus.

19.3 Selaput tipis: pembelahan amplitudo

Proposisi 19.6 (Interferensi dalam sebuah selaput tipis)

Sebuah selaput berindeks $n$ dan setebal $e$ dalam udara, yang disinari pada datang $i$ (sudut biasnya $r$ ), mengembalikan dua gelombang yang terpantul pada kedua mukanya, dengan beda lintasan

\delta = 2ne\cos r \ (+\tfrac{\lambda_0}2) ,

dengan setengah panjang gelombang tambahannya mencacah pembalikan tanda pemantulan pada medium yang lebih rapat di muka pertamanya dan tidak di muka kedua (Bab 15). Rumbainya terang bagi $2ne\cos r = (p + \tfrac12)\lambda_0$ , gelap bagi $2ne\cos r = p\lambda_0$ — selaput yang tebalnya lenyap tak memantulkan apa pun (puncak hitam sebuah selaput sabun yang meniris). Bagi selaput yang tebalnya seragam rumbainya hanya bergantung pada $i$ lalu terlihat di tak hingga (cincin kemiringan sama); bagi sebuah baji yang tebalnya berubah lambat yang dipandang pada datang hampir tegak lurus rumbainya mengikuti kontur $e$ yang sama lalu terlokalkan pada selaputnya (rumbai ketebalan sama): sebuah baji udara bersudut $\alpha$ menunjukkan rumbai lurus berjarak $\lambda_0/2\alpha$ ; sebuah lensa berjari-jari $R$ di atas sebuah kaca rata memberi cincin Newton, yang gelap di $r_p = \sqrt{p\lambda_0R}$ .

Bukti. Geometrinya: gelombang yang dibiaskan di muka pertamanya menyeberangi selaputnya dua kali ( $2e/\cos r$ dalam kacanya, lintasan optiknya $2ne/\cos r$ ) sementara gelombang yang terpantul di muka pertamanya maju $2e\tan r\sin i$ dalam udara; selisihnya adalah $2ne/\cos r - 2e\tan r\sin i = 2ne\cos r$ dengan $\sin i = n\sin r$ . Bagi bajinya, $e = \alpha x$ dan rumbai gelap berturut-turutnya di $2\alpha x = p\lambda$ ; bagi lensanya, $e \approx r^2/2R$ . ∎

Kiri: kedua pantulan dari sebuah selaput tipis — satu dari tiap muka, yang kedua tertunda oleh penyeberangan gandanya. Kanan: sebuah baji udara di antara dua keping menunjukkan rumbai ketebalan sama yang lurus, satu tiap setengah panjang gelombang celah tambahannya.

Contoh 19.7 (Sabun, minyak, capung)

Sebuah selaput sabun ( $n = 1.33$ ) setebal $300\,\mathrm{nm}$ yang dipandang pada datang tegak lurus: terang bagi $2ne = (p + \tfrac12)\lambda$ , yakni $\lambda = 798/(p + \tfrac12)$ nm: $532\,\mathrm{nm}$ (hijau, $p = 1$ ) di dalam cahaya tampak, dan sebuah pita gelap pada $400\,\mathrm{nm}$ ; selaputnya tampak hijau. Ketika ia meniris lalu menipis, warnanya menjelajahi runtunannya, berakhir hitam. Sebuah selaput minyak ( $400\,\mathrm{nm}$ , $n = 1.45$ ) di atas air ( $1.33$ ): pantulan keduanya, ke arah indeks yang lebih rendah, tak membalikkan tandanya, jadi lagi-lagi $\delta = 2ne + \lambda/2$ dan selaputnya terang pada $2ne = (p + \tfrac12)\lambda$ : $464\,\mathrm{nm}$ ( $p = 2$ ), biru. Kilau warna sayap kupu-kupu, cangkang kumbang atau sebuah cakram padat adalah interferensi sejenis (milik cakramnya, dari banyak gelombang: Bab 21), itulah sebabnya semuanya berubah dengan sudutnya — $\delta$ bergantung pada $\cos r$ — sementara warna sebuah pigmen tidak.

Metode 19.8 (Menyelesaikan sebuah soal interferensi)

(1) Kenalilah kedua rute dari sumbernya ke $M$ lalu hitunglah beda lintasan optiknya $\delta(M)$ , dengan menambahkan $\lambda/2$ bagi tiap pemantulan yang membalikkan tanda. (2) $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1I_2}\cos(2\pi\delta/\lambda)$ ; terang di $\delta = p\lambda$ . (3) Jarak rumbainya dari $\delta(M + \Delta M) - \delta(M) = \lambda$ . (4) Periksalah koherensi waktunya ( $\delta_{\max} < \ell_c$ , jumlah rumbai yang tampak $\sim\lambda/\Delta\lambda$ ) dan koherensi ruangnya (sudut sumbernya $< \lambda/a$ ). (5) Katakanlah di mana rumbainya terlokalkan (di mana pun bagi dua sumber titik; pada selaputnya bagi rumbai ketebalan sama; di tak hingga bagi yang kemiringan sama).

19.4 Latihan

Latihan 19.1 ★

Celah Young yang terpisah $a = 0.40\,\mathrm{mm}$ , layar di $D = 1.5\,\mathrm{m}$ , $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$ : tentukanlah jarak antarrumbainya; orde rumbai di $x = 1.0\,\mathrm{cm}$ ; kedudukan rumbai gelap kesepuluh; jarak antarrumbainya dengan celah yang terpisah $2\,\mathrm{mm}$ , dan dalam air ( $n = 1.33$ ).

Solusi

Solusi Latihan 19.1.

$i = \lambda D/a = 2.4\,\mathrm{mm}$ ; $x/i = 4.2$ ; rumbai gelap kesepuluh di $9.5i = 22.5\,\mathrm{mm}$ ; $a = 2\,\mathrm{mm}$ : $0.47\,\mathrm{mm}$ ; dalam air $\lambda/n$ : $1.8\,\mathrm{mm}$ .

Latihan 19.2 ★

Dua gelombang berintensitas $I_0$ dan $I_0/4$ berinterferensi: tentukanlah $I_{\max}$ , $I_{\min}$ , kontrasnya. Hal yang sama bagi $I_0$ dan $I_0/100$ : mengapa rumbainya masih tampak dengan berkas yang begitu tak sama? Salah satu celah pasangan Young ditutupi sebuah tapis kelabu yang meneruskan $50\%$ : berapa kontras barunya.

Solusi

Solusi Latihan 19.2.

$1.25I_0 \pm I_0$ : $V = 0.8$ . $1.01I_0 \pm 0.2I_0$ : $V = 0.2$ — suku interferensinya sejalan dengan nisbah amplitudo-nya, $1/10$ , bukan nisbah intensitasnya. Tapisnya: $V = 2\sqrt{0.5}/1.5 = 0.94$ .

Latihan 19.3 ★

Sebuah selaput sabun setebal $250\,\mathrm{nm}$ ( $n = 1.33$ ) yang dipandang pada datang tegak lurus: tentukanlah panjang gelombang tampak yang paling banyak dan paling sedikit terpantul; warnanya. Sebuah selaput $1.0\,\text{µ}\mathrm{m}$ : berapa banyak panjang gelombang terang dalam cahaya tampak, dan apa yang dilihat mata?

Solusi

Solusi Latihan 19.3.

$2ne = 665\,\mathrm{nm}$ : terang di $665/(p + \tfrac12)$ : $443\,\mathrm{nm}$ (biru-lembayung); gelap di $665/p$ : $665\,\mathrm{nm}$ (merah): sebuah selaput biru. $e = 1\,\text{µ}\mathrm{m}$ : $2ne = 2660\,\mathrm{nm}$ , terang di $760$ , $591$ , $484$ , $409\,\mathrm{nm}$ — empat warna sekaligus, sebuah putih kemerahjambuan yang tersapu.

Latihan 19.4 ★

Cincin Newton antara sebuah lensa berjari-jari $R = 2.0\,\mathrm{m}$ dan sebuah kaca rata, dalam cahaya natrium: tentukanlah jari-jari ketiga cincin gelap pertamanya; jumlah cincin dalam jari-jari $1\,\mathrm{cm}$ ; terang atau gelapkah pusatnya, dan mengapa? Apa yang berubah jika celahnya diisi air?

Solusi

Solusi Latihan 19.4.

$r_p = \sqrt{p\lambda R}$ : $1.09$ , $1.53$ , $1.88\,\mathrm{mm}$ ; $p = r^2/\lambda R = 85$ cincin dalam $1\,\mathrm{cm}$ ; pusatnya gelap: tebalnya nol dan satu pembalikan tanda. Airnya: jari-jarinya dibagi $\sqrt n$ , $98$ cincin.

Latihan 19.5 ★★

Cahaya putih. Celah Young dengan cahaya putih ( $400$ – $700\,\mathrm{nm}$ ), $a = 0.5\,\mathrm{mm}$ , $D = 1\,\mathrm{m}$ . (a) Tentukanlah jarak antarrumbai bagi lembayung dan merahnya; kedudukan rumbai terang merah kedua dan lembayung ketiga. (b) Di luar orde berapa rumbai merah dan lembayung orde berturut-turutnya bertumpang tindih? (c) Di $x = 5\,\mathrm{mm}$ , panjang gelombang mana yang hilang (spektrum berkanal)? (d) Jelaskanlah runtunan warna yang terlihat dari tengahnya ke luar.

Solusi

Solusi Latihan 19.5.

(a) $i = 0.8$ dan $1.4\,\mathrm{mm}$ ; merah kedua $2.8\,\mathrm{mm}$ , lembayung ketiga $2.4\,\mathrm{mm}$ . (b) Orde $p$ merah di $1.4p$ mm berjumpa dengan orde $p + 1$ lembayung di $0.8(p + 1)$ : sejak $p = 2$ ordenya bertumpang tindih. (c) $\delta = ax/D = 2.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ : yang hilang $\lambda = \delta/(p + \tfrac12)$ : $714$ , $556$ , $455\,\mathrm{nm}$ . (d) Pusatnya putih; lalu rumbai dengan tepi dalam yang biru dan tepi luar yang merah; pada orde ketiga warnanya bercampur menjadi putih.

Latihan 19.6 ★★

Ukuran sumber. Sebuah lampu natrium menyinari celah Young ( $a = 1.0\,\mathrm{mm}$ ) lewat sebuah celah sumber di $L = 40\,\mathrm{cm}$ . (a) Tentukanlah lebar maksimum celah sumbernya bagi kontras yang baik (ambillah $ab/L < \lambda/4$ ). (b) Celah sumbernya dilebarkan menjadi $0.5\,\mathrm{mm}$ : tentukanlah kontrasnya (pakailah $|\operatorname{sinc}(\pi ab/\lambda L)|$ ). (c) Mengapa orang tak dapat sekadar memakai lampu telanjangnya (selebar $1\,\mathrm{cm}$ )? (d) Matahari sebagai sumber, selebar $9\,\mathrm{mrad}$ : berapa pemisahan celah maksimum yang memberi rumbai.

Solusi

Solusi Latihan 19.6.

(a) $b < \lambda L/4a = 59\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (b) $\pi ab/\lambda L = 6.7$ : kontrasnya $|\sin6.7|/6.7 = 0.06$ . (c) Sumber selebar sesentimeter merentangi ratusan jarak antarrumbai geseran: tak ada rumbai. (d) $a < \lambda/\theta = 61\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

Latihan 19.7 ★★

Cermin Lloyd. Sebuah sumber titik pada ketinggian $h = 0.2\,\mathrm{mm}$ di atas sebuah cermin bidang, layar di $D = 1.0\,\mathrm{m}$ , $\lambda = 500\,\mathrm{nm}$ : gelombang langsungnya berinterferensi dengan yang terpantul cerminnya (sebuah sumber maya di $-h$ ). (a) Tentukanlah jarak antarrumbainya. (b) Rumbai di tepi cerminnya ( $x = 0$ ) gelap: apa yang dikatakannya tentang pemantulannya? (c) Berapa jumlah rumbai yang tampak jika panjang koherensi sumbernya $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (d) Mengapa susunan ini merupakan “interferometer laut” ahli astronomi radio bagi sebuah bintang yang terbit?

Solusi

Solusi Latihan 19.7.

(a) $a = 2h = 0.4\,\mathrm{mm}$ : $i = \lambda D/a = 1.25\,\mathrm{mm}$ . (b) Di $x = 0$ lintasannya sama namun rumbainya gelap: pemantulannya menambahkan $\pi$ (pembalikan tanda pada datang menyerempet di medium yang lebih rapat). (c) $\delta = ax/D < 50\,\text{µ}\mathrm{m}$ : $100$ rumbai. (d) Lautnya adalah cerminnya, antena di puncak tebingnya adalah layarnya: ketika sumbernya naik, rumbainya menyapu lewat lalu memberi ketinggiannya.

Latihan 19.8 ★★

Baji udara. Dua keping kaca sepanjang $10\,\mathrm{cm}$ bersentuhan di satu ujungnya lalu terpisah di ujung lainnya oleh sehelai rambut berdiameter $d$ ; dalam cahaya natrium tercacah $42$ rumbai gelap. (a) Tentukanlah $d$ . (b) Jarak rumbainya. (c) Celahnya diisi air: berapa jumlah rumbainya. (d) Kepingnya ditekan sedikit di ujung jauhnya: apa yang dilakukan rumbainya, dan ketelitian $d$ berapa yang diberikan pencacahan seperempat rumbai?

Solusi

Solusi Latihan 19.8.

(a) $2d = 42\lambda$ : $d = 12.4\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (b) $100/42 = 2.4\,\mathrm{mm}$ . (c) $2nd = p\lambda$ : $56$ rumbai. (d) Rumbainya beranjak ke ujung jauhnya lalu merenggang ketika $d$ turun; seperempat rumbai adalah $\lambda/8 = 74\,\mathrm{nm}$ pada $d$ .

Latihan 19.9 ★★

Minyak di atas air. Sebuah selaput minyak ( $n = 1.45$ ) setebal $e$ mengapung di atas air ( $n = 1.33$ ). (a) Yang mana di antara kedua pantulannya yang membalikkan tandanya? Berapa beda lintasannya. (b) Bagi $e = 400\,\mathrm{nm}$ pada datang tegak lurus: tentukanlah panjang gelombang pantul yang menguat dan yang tertiadakan; warnanya. (c) Selaput paling tipis yang tampak lembayung ( $420\,\mathrm{nm}$ ). (d) Mengapa warnanya bergeser ke arah biru ketika selaputnya dipandang miring? (e) Apa yang berubah bagi selaput yang indeksnya terletak di antara indeks kedua mediumnya (sebuah lapisan pada kaca)?

Solusi

Solusi Latihan 19.9.

(a) Hanya yang pertama (udara $\to$ minyak, lebih rapat); minyak $\to$ air menuju indeks yang lebih rendah: $\delta = 2ne + \lambda/2$ , terang di $2ne = (p + \tfrac12)\lambda$ . (b) $2ne = 1160\,\mathrm{nm}$ : yang menguat $773$ (tepi cahaya tampak), $464\,\mathrm{nm}$ (biru); yang tertiadakan $1160/p$ : $580\,\mathrm{nm}$ (kuning): biru. (c) $2ne = \lambda/2$ : $e = 72\,\mathrm{nm}$ . (d) $\delta = 2ne\cos r$ turun dengan sudutnya: panjang gelombang yang menguat beranjak ke arah birunya. (e) Kedua pantulannya lalu membalikkan tandanya, tanpa $\lambda/2$ tambahan: terang di $2ne = p\lambda$ , gelap di $(p + \tfrac12)\lambda$ — yaitu lapisan antipantul seperempat gelombang.

Latihan 19.10 ★★★

Sebuah kaca objek pada satu celah. Sebuah keping kaca setebal $e = 20\,\text{µ}\mathrm{m}$ dan berindeks $1.5$ menutupi celah $S_1$ sebuah pasangan Young ( $a = 1\,\mathrm{mm}$ , $D = 2\,\mathrm{m}$ , $\lambda = 500\,\mathrm{nm}$ ). (a) Tentukanlah lintasan optik tambahannya; sebesar berapa rumbai dan ke arah mana polanya bergeser? (b) Dengan cahaya putih, ke mana rumbai pusat putih (yang kini tergeser) pergi — masihkah ia tampak? Panjang koherensinya $1.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (c) Pakailah pola cahaya putihnya untuk mengukur $e$ : bagaimana? (d) Kepingnya dimiringkan: geserannya membesar — tunjukkanlah bahwa sampai orde pertama ia membesar sebagai $e(n - 1)\theta^2/2 \times (1 + 1/n)$ lalu taksirlah nilainya bagi $5{}^{\circ}$ .

Solusi

Solusi Latihan 19.10.

(a) $(n - 1)e = 10\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $20$ rumbai, ke arah celah yang tertutupi (yang lintasan geometrinya harus memendek sebesar $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ untuk memulihkan $\delta = 0$ ): $x = (n - 1)eD/a = 2\,\mathrm{cm}$ . (b) Rumbai putihnya duduk di sana; dispersi kacanya ( $\Delta n \approx 0.01$ di seluruh cahaya tampak, yakni $0.2\,\text{µ}\mathrm{m}$ lintasan) berada di bawah $\ell_c$ : masih tampak, sedikit berwarna. (c) Ukurlah geseran rumbai putihnya: $e = (\text{geseran})\,a/(n - 1)D$ . (d) $e(n - 1)\theta^2 (1 + 1/n)/2 = 63\,\mathrm{nm}$ pada $5{}^{\circ}$ : seperdelapan rumbai.

Latihan 19.11 ★★★

Interferometer bintang. Dua cermin yang terpisah jarak $a$ memungut cahaya sebuah bintang lalu membawanya berinterferensi. Bintangnya sebuah cakram seragam berdiameter sudut $\theta$ ; tiap titiknya menggeser rumbainya, dan kontrasnya lenyap bagi $a = 1.22\lambda/\theta$ (diterima tanpa bukti, yaitu versi cakram dari $ab/L = \lambda$ ). (a) Betelgeuse, $\theta = 0.047''$ (sekon busur), $\lambda = 570\,\mathrm{nm}$ : tentukanlah garis dasar yang padanya rumbainya lenyap (Michelson, 1920, Mount Wilson). (b) Mengapa sebuah teleskop tunggal $2.5\,\mathrm{m}$ tak dapat memisahkan cakramnya (batasnya $1.22\lambda/d$ )? (c) Interferometer modern menautkan teleskop yang terpisah $100\,\mathrm{m}$ : berapa diameter terkecil yang terukur. (d) Mengapa kedua lintasannya harus sama sampai di dalam panjang koherensinya, dan berapa panjang itu bagi sebuah tapis $10\,\mathrm{nm}$ ?

Solusi

Solusi Latihan 19.11.

(a) $\theta = 2.3 \times 10^{-7}\,\mathrm{rad}$ : $a = 1.22\lambda/\theta = 3.1\,\mathrm{m}$ . (b) Batasnya $1.22\lambda/d = 0.057''$ berada di atas diameter bintangnya, dan atmosfernya mengaburkan sampai $1''$ . (c) $1.22\lambda/100 = 7 \times 10^{-9}\,\mathrm{rad} = 1.4\,\mathrm{mas}$ . (d) Rumbainya menuntut $\delta < \ell_c = \lambda^2/\Delta\lambda = 32\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

Latihan 19.12 ★★★

Cincin kemiringan sama. Sebuah keping sejajar setebal $e = 2.0\,\mathrm{mm}$ dan berindeks $1.5$ disinari sumber natrium yang lebar; cahaya pantulnya difokuskan sebuah lensa ber- $f = 50\,\mathrm{cm}$ . (a) Tunjukkanlah bahwa cincinnya berada pada sudut $i_p$ dengan $2ne\cos r_p = (p + \tfrac12)\lambda$ (terang) dan bahwa, dekat pusatnya, $\cos r \approx 1 - i^2/2n^2$ . (b) Tentukanlah orde di pusatnya; terangkah pusatnya? (c) Jari-jari ketiga cincin terang pertama pada bidang fokusnya. (d) Mengapa cincin ini terlihat dengan sebuah sumber luas sementara rumbai Young menuntut yang sempit? (Pelokalan di tak hingga.)

Solusi

Solusi Latihan 19.12.

(a) $\delta = 2ne\cos r + \lambda/2$ ; $\cos r = \sqrt{1 - \sin^2i/n^2} \approx 1 - i^2/2n^2$ . (b) $2ne/\lambda = 10186.8$ : pusatnya, dengan $p + \tfrac12$ antara $10186.5$ dan $10187.5$ , tak terang maupun gelap. (c) $i_p^2 = 2n^2[1 - (p + \tfrac12)\lambda/ 2ne]$ bagi $p = 10186$ , $10185$ , $10184$ : $i = 0.011$ , $0.024$ , $0.032\,\mathrm{rad}$ , $r = fi = 5.4$ , $11.8$ , $15.8\,\mathrm{mm}$ . (d) Sudut $i$ sendirilah yang menetapkan ordenya: setiap titik sumbernya menyuapi cincin yang sama pada sudut yang sama, sehingga cincinnya, yang terlihat di tak hingga, bertahan menghadapi sumber yang lebar.

Rumbai ketebalan sama antara sebuah kaca rata optik dan sebuah permukaan baja yang diuji, dalam foto seorang juru mesin sekitar 1915: rumbai lurus di atas permukaan yang rata, yang melengkung di tempat ia aus — tiap rumbainya sebuah tangga setengah panjang gelombang.

19.5 Soal: Cermin Fresnel dan sebuah selaput minyak

Soal 19.1

Soal akhir pekan — sebuah interferometer tahun 1816 dan sebuah pelangi di genangan: dua cara membelah satu gelombang dan kedua koherensi yang membatasi keduanya

Bagian I — Cermin Fresnel. Dua cermin bidang yang bersentuhan sepanjang sebuah garis membentuk sudut yang sangat kecil $\alpha = 5.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$ ; sebuah sumber celah $S$ , yang sejajar garis itu, berada pada $d = 20\,\mathrm{cm}$ darinya, dan layarnya pada $D = 1.5\,\mathrm{m}$ di luarnya. $\lambda = 589\,\mathrm{nm}$ (natrium).

Tunjukkanlah bahwa kedua cerminnya memberi dua citra maya $S_1$ , $S_2$ dari $S$ pada sebuah lingkaran berjari-jari $d$ yang berpusat pada garis sentuhnya, yang terpisah $a = 2\alpha d$ ; berapa nilainya.
Mengapa gelombang dari $S_1$ dan $S_2$ berinterferensi, sedangkan gelombang dua lampu terpisah tidak?
Jarak antarrumbai di layarnya (jarak dari sumbernya ke layarnya $\approx d + D$ ); jumlah rumbai di seluruh daerah selebar $5\,\mathrm{mm}$ tempat kedua berkas pantulnya bertumpang tindih.
Orde interferensi di tepi daerah itu; adakah ia di bawah batas yang ditetapkan panjang koherensi lampunya ( $2\,\mathrm{cm}$ )?
Celah sumbernya selebar $20\,\text{µ}\mathrm{m}$ : berapa geseran rumbai yang dihasilkan kedua tepinya (tiap titik sumbernya dicitrakan menjadi dua titik maya; sistem rumbainya bergeser sebesar $bD'/d$ dengan $D' = d + D$ ); terjagakah kontrasnya (bandingkanlah dengan $i$ )?
Celahnya dilebarkan menjadi $0.1\,\mathrm{mm}$ : tentukanlah kontrasnya, dengan memakai $|\operatorname{sinc}(\pi ab/\lambda d)|$ .
Kedua cerminnya memantulkan $90\%$ dan $80\%$ cahayanya: berapa kontras rumbainya.
Sebuah keping kaca setebal $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ ( $n = 1.5$ ) ditaruh di depan salah satu cerminnya: berapa geseran polanya, dalam rumbai; dapatkah ia diikuti dengan cahaya natrium? Dengan cahaya putih?
Gantilah lampu natriumnya dengan cahaya putih: lukiskanlah layarnya; berapa banyak rumbai berwarna di tiap sisi pusatnya?

Bagian II — Selaput minyaknya. Sebuah selaput minyak ( $n = 1.45$ ) menyebar di jalan yang basah ( $n_{\text{air}} = 1.33$ ), yang disinari langit mendung dan dipandang pada datang hampir tegak lurus.

Pemantulan di kedua mukanya: mana yang membalikkan tandanya? Berapa beda lintasannya; syarat bagi sebuah warna yang terang.
Tebal daerah paling tipis yang tampak merah ( $\lambda = 650\,\mathrm{nm}$ ); hijau ( $550\,\mathrm{nm}$ ); lembayung ( $420\,\mathrm{nm}$ ).
Sebuah daerah setebal $600\,\mathrm{nm}$ : panjang gelombang tampak mana yang menguat, mana yang tertiadakan; warnanya.
Mengapa selaputnya menunjukkan pita warna (apa yang berubah sepanjang jalannya), dan mengapa pitanya mengikuti kontur tebalnya?
Selaputnya menipis lewat penguapan: lukiskanlah perubahan runtunan warnanya di sebuah titik tertentu; apa yang terlihat ketika $e \to 0$ di sini — terang atau gelap? Bandingkanlah dengan selaput sabun dalam udara.
Puncak sebuah selaput sabun yang meniris berubah hitam tepat sebelum ia pecah: berapa tebalnya di sana (beberapa nanometer) dan mengapa hitam.
Dipandang pada datang $60{}^{\circ}$ : tentukanlah sudut biasnya dalam minyaknya, dan geseran panjang gelombang terang pertanyaan 11.
Di luar tebal berapa warnanya memudar menjadi kelabu yang seragam, bagi cahaya siang yang panjang koherensinya sekitar $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ ?
Cahaya dari langitnya tak terpolarisasi dan tiba dari banyak arah: mengapa polanya tak terhapus sebagaimana sumber luas menghapus rumbai Young? (Pelokalan pada selaputnya.)

Bagian III — Dua koherensi.

Koherensi waktu: bagi cermin Fresnel dengan cahaya natrium, berapa orde maksimum yang tampak; dengan sebuah laser ( $\ell_c = 10\,\mathrm{m}$ ).
Koherensi ruang: berapa lebar sumber maksimum bagi cerminnya (dari $ab/d < \lambda/4$ ) dan bagi celah Young dengan $a = 1\,\mathrm{mm}$ di $L = 40\,\mathrm{cm}$ .
Jelaskanlah mengapa selaput tipisnya memaklumi sumber luas sementara celah Young tidak: sketsalah kedua sinar selaputnya bagi dua titik sumber yang berbeda lalu tunjukkanlah bahwa keduanya masih berjumpa pada selaputnya.
Garis natriumnya sendiri selebar $0.02\,\mathrm{nm}$ : berapa banyak rumbai yang paling banyak dapat ditunjukkan cerminnya (pakailah $N \approx \lambda/\Delta\lambda$ )?
Seorang mahasiswa mengganti lampu natriumnya dengan sebuah LED hijau ( $\Delta\lambda = 30\,\mathrm{nm}$ ): berapa jumlah rumbai yang tampak dengan cerminnya.
Dengan sebuah laser rumbainya terentang di seluruh daerah tumpang tindihnya dengan kontras penuh tetapi layarnya “berbercak”: mengapa?
Dalam satu tabel, bagi cerminnya dan selaputnya: bagaimana gelombangnya dibelah, di mana rumbainya terlokalkan, apa yang membatasi jumlahnya, dan apa yang dilakukan sumber yang lebih lebar.

Solusi

Solusi Soal 19.1.

1. Tiap cerminnya mencitrakan $S$ lewat kesetangkupan pada jarak $d$ dari garis sentuhnya; kedua citranya terletak pada lingkaran berjari-jari $d$ , pada sudut $2\alpha$ terpisah: $a = 2\alpha d = 2\,\mathrm{mm}$ .

2. $S_1$ dan $S_2$ adalah dua citra getaran yang sama: lompatan fasenya sama.

3. $i = \lambda(d + D)/a = 589 \times 10^{-9} \times 1.7/2 \times 10^{-3} = 0.50\,\mathrm{mm}$ : sepuluh rumbai di seluruh $5\,\mathrm{mm}$ .

4. $\delta = ax/(d + D) = 2.9\,\text{µ}\mathrm{m}$ di tepinya, $p = 5$ : jauh di bawah $\ell_c/\lambda = 34\,000$ .

5. Geserannya $bD'/d = 20 \times 10^{-6} \times 1.7/0.2 = 0.17\,\mathrm{mm}$ , sepertiga $i$ : kontrasnya $|\operatorname{sinc}(\pi ab/\lambda d)| = \operatorname{sinc}(1.07) = 0.82$ .

6. $\pi ab/\lambda d = 5.3$ : $|\sin5.3|/5.3 = 0.16$ .

7. Amplitudonya $\sqrt{0.9}$ , $\sqrt{0.8}$ : $V = 2\sqrt{0.72}/1.7 = 0.998$ .

8. $(n - 1)e = 5\,\text{µ}\mathrm{m}$ : $8.5$ rumbai; sepele diikuti dengan cahaya natrium; dalam cahaya putih rumbai putihnya beranjak sebesar $8.5i = 4.2\,\mathrm{mm}$ lalu masih ada di sana (dispersi kacanya memakan sepersekian mikrometer).

9. Sebuah rumbai pusat yang putih, dua atau tiga rumbai berwarna di tiap sisinya, lalu sebuah putih yang seragam.

10. Udara $\to$ minyak membalikkan, minyak $\to$ air (indeks lebih rendah) tidak: $\delta = 2ne + \lambda/2$ ; terang bagi $2ne = (p + \tfrac12)\lambda$ .

11. $e = \lambda/4n$ : merah $112\,\mathrm{nm}$ , hijau $95\,\mathrm{nm}$ , lembayung $72\,\mathrm{nm}$ .

12. $2ne = 1740\,\mathrm{nm}$ : yang menguat $1740/(p + \tfrac12)$ : $696$ (merah), $497$ (biru-hijau), $387\,\mathrm{nm}$ ; yang tertiadakan $1740/p$ : $580$ (kuning), $435\,\mathrm{nm}$ : sebuah campuran keunguan merah dan biru-hijau.

13. Tebalnya berubah sepanjang jalannya; tiap warna terang di tempat $2ne$ bernilai tepat, sehingga pitanya merupakan kontur ketebalan yang sama.

14. Ordenya turun: warnanya menjelajahi runtunannya ke arah ujung selaput tipisnya; pada $e \to 0$ pembalikan tanda tunggalnya menyisakan $\delta = \lambda/2$ bagi setiap warna: gelap — seperti bagi selaput sabun dalam udara.

15. Beberapa nanometer: $2ne \ll \lambda$ bagi semua warnanya, kedua pantulannya berlawanan fase lalu meniadakan: hitam.

16. $\sin r = \sin60^\circ/1.45$ , $r = 37{}^{\circ}$ , $\cos r = 0.80$ : $2ne\cos r = 1390\,\mathrm{nm}$ , terang di $928$ , $557$ , $398\,\mathrm{nm}$ : merah pertanyaan 12 telah berubah hijau-kuning — ke arah birunya.

17. Ketika $2ne$ melampaui $\ell_c \approx 1\,\text{µ}\mathrm{m}$ , yakni di luar sekitar $0.4\,\text{µ}\mathrm{m}$ minyak, ordenya bertumpang tindih dan warnanya memudar menjadi kelabu.

18. Kedua sinar yang terpantul dari selaputnya bagi arah sumber mana pun berjumpa kembali pada selaputnya: rumbainya terlokalkan di sana dan sumber yang lebar dan berarah banyak sekadar menambahkan pola yang serupa.

19. $\ell_c/\lambda$ : $34\,000$ dengan natrium, $1.7 \times 10^7$ dengan lasernya.

20. $b < \lambda d/4a$ : $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ bagi cerminnya, $59\,\text{µ}\mathrm{m}$ bagi celahnya.

21. Gambarlah dua titik sumber: bagi masing-masingnya, kedua sinar pantulnya bergabung kembali di titik yang sama pada selaputnya, dengan $\delta = 2ne\cos r$ yang sama pada datang hampir tegak lurus; pola selaputnya tak beranjak, pola Young beranjak.

22. $\lambda/\Delta\lambda = 589/0.02 \approx 30\,000$ .

23. $550/30 \approx 18$ rumbai.

24. Cahaya koheren yang dihamburkan butir layarnya berinterferensi dengan fase acak di matanya: bercak.

25. Cerminnya: pembelahan muka gelombang, rumbai di mana pun (tak terlokalkan), jumlahnya dibatasi $\ell_c/\lambda$ , sumber yang lebar menghapusnya. Selaputnya: pembelahan amplitudo, rumbai pada selaputnya, warnanya dibatasi $\ell_c \sim 1\,\text{µ}\mathrm{m}$ , sumber yang lebar tak berbahaya.