Fisika Universitas — Tahun 2 · Bachelor Year 2

2Kinematika Fluida

Berdirilah di atas jembatan dan amatilah sungainya. Sehelai daun hanyut melewatinya, mempercepat di antara pilar-pilarnya, melambat di lubuk di bawahnya, berputar sekali dalam sebuah olakan, lalu berlalu. Sungainya dapat kita lukiskan dengan mengikuti daun itu — kedudukan dan kecepatannya pada setiap saat — atau dengan berdiri diam dan mencatat, di setiap titik sungainya, secepat apa airnya lewat. Lukisan yang kedua itulah milik seorang fisikawan fluida: sebuah medan kecepatan. Bab ini menyiapkan kedua lukisan itu, belajar menghitung percepatan sebuah partikel dari medannya, menuliskan kekekalan massa sebagai hukum lokal, dan menggolongkan aliran menurut berpusar atau tidaknya — kosakata yang akan diperlukan persamaan Euler dan Navier.

Sebuah sungai yang melewati jembatan: air yang cepat dan mulus di antara pilarnya, olakan di belakangnya — sebuah medan kecepatan yang harus dibaca di titik-titik tetap, bukan satu lintasan yang harus diikuti.

2.1 Lukisan kontinum

Definisi 2.1 (Partikel fluida; hipotesis kontinum)

Yang disebut partikel fluida adalah volume fluida yang cukup kecil untuk diperlakukan sebagai titik pada skala alirannya, namun cukup besar untuk memuat molekul dalam jumlah amat besar, sehingga massa jenisnya $\rho$ , tekanannya $P$ , suhunya $T$ dan kecepatan rata-ratanya $\vect v$ merupakan rerata yang terdefinisi baik (skala mesoskopik, lazimnya satu mikrometer). Hipotesis kontinum mengandaikan skala semacam itu ada: jalan bebas rata-rata $\ell$ molekulnya harus jauh lebih kecil daripada skala $L$ alirannya, $\ell/L \ll 1$ . Di udara pada tekanan atmosfer $\ell \approx 70\,\mathrm{nm}$ ; dalam zat cair $\ell$ seukuran molekulnya. Fluidanya lalu dilukiskan oleh medan $\rho(M, t)$ , $P(M, t)$ , $\vect v(M, t)$ yang terdefinisi di setiap titik.

Definisi 2.2 (Lukisan Lagrange dan lukisan Euler)

Lukisan Lagrange mengikuti setiap partikel fluida: kedudukannya $\vect r(t)$ dan kecepatannya $\dd\vect r/\dd t$ sebagai fungsi waktu dan kedudukan awalnya. Lukisan Euler memberikan, di setiap titik tetap $M$ dan saat $t$ , kecepatan $\vect v(M, t)$ partikel yang sedang lewat di $M$ pada saat itu. Yang disebut garis lintasan adalah lintasan sebuah partikel; garis arus pada saat $t$ adalah kurva yang menyinggung $\vect v(M, t)$ di setiap titiknya; tabung arus adalah permukaan yang tersusun dari garis-garis arus yang melalui sebuah kurva tertutup. Sebuah aliran bersifat tunak apabila medan Eulernya tak bergantung pada waktu, $\partial\vect v/\partial t = \vect 0$ ; garis arus dan garis lintasannya lalu berimpit dan tetap.

Contoh 2.3 (Dua lukisan bagi satu aliran)

Air dalam selang taman berpenampang $S$ dengan debit $Q$ bergerak dengan $v = Q/S$ di mana-mana: medan Eulernya seragam dan gerak Lagrange setiap partikelnya beraturan. Di dalam corong yang menyempit medan Eulernya tetap tunak tetapi $v$ bertambah sepanjang sumbunya: setiap partikel dipercepat ketika melewatinya, walaupun tak ada apa pun di titik tetap mana pun yang berubah menurut waktu. Itulah hal pertama yang harus dipelajari lukisan Euler untuk dinyatakan.

Kiri: aliran tunak yang menyempit — garis arusnya tetap, sebuah partikel bertanda mengikuti salah satunya dan dipercepat ketika tabungnya menyempit. Kanan: lukisan Euler mencatat vektor kecepatan di titik-titik tetap; lukisan Lagrange mengikuti satu partikel sepanjang garis lintasannya.

2.2 Turunan partikel

Teorema 2.4 (Turunan partikel (turunan material))

Laju perubahan besaran $G(M, t)$ (skalar atau vektor) bagi partikel fluida yang lewat di $M$ pada saat $t$ adalah

\frac{\mathrm DG}{\mathrm Dt} = \frac{\partial G}{\partial t} + (\vect v\cdot \operatorname{\vect{grad}})\,G , \qquad\text{khususnya}\qquad \vect a = \frac{\mathrm D\vect v}{\mathrm Dt} = \frac{\partial\vect v}{\partial t} + (\vect v\cdot\operatorname{\vect{grad}})\,\vect v ,

dengan $(\vect v\cdot\operatorname{\vect{grad}}) = v_x\partial_x + v_y\partial_y + v_z\partial_z$ . Suku pertama adalah laju perubahan lokal (di titik tetap), dan suku kedua adalah laju perubahan konvektif (sebab partikelnya berpindah ke tempat yang nilai $G$ -nya berbeda). Untuk kecepatannya, $(\vect v\cdot \operatorname{\vect{grad}})\vect v = \operatorname{\vect{grad}}(v^2/2) + (\operatorname{\vect{curl}}\vect v)\wedge\vect v$ .

Bukti. Dalam $\dd t$ partikelnya berpindah dari $M$ ke $M + \vect v\,\dd t$ , jadi $\dd G = G(M + \vect v\dd t, t + \dd t) - G(M, t) = \partial_tG\,\dd t + \dd t\,(v_x\partial_x + v_y\partial_y + v_z\partial_z)G$ sampai orde pertama (aturan rantai bagi fungsi empat variabel). Kesamaan vektornya diperiksa pada komponen $x$ : $[\operatorname{\vect{grad}}(v^2/2)]_x = v_x\partial_xv_x + v_y\partial_x v_y + v_z\partial_xv_z$ dan $[(\operatorname{\vect{curl}}\vect v)\wedge\vect v]_x = v_y(\partial_yv_x - \partial_xv_y) + v_z(\partial_zv_x - \partial_xv_z)$ (dengan komponen $\operatorname{\vect{curl}}\vect v$ yang diberikan di bawah dalam Definisi 2.12); jumlahnya adalah $v_x\partial_xv_x + v_y\partial_yv_x + v_z\partial_zv_x$ . ∎

Contoh 2.5 (Percepatan dalam corong tunak)

Aliran satu dimensi tunak $v(x) = v_0(1 + x/L)$ sepanjang sebuah corong: suku lokalnya lenyap, dan $a = v\,\dd v/\dd x = v_0^2(1 + x/L)/L$ . Sebuah partikel yang masuk dengan $v_0 = 2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dan keluar dengan $2v_0$ sepanjang $L = 5\,\mathrm{cm}$ merasakan $a = 80$ sampai $160\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : delapan sampai enam belas $g$ , dalam aliran yang tak satu pun besarannya bergantung pada waktu.

Contoh 2.6 (Lokal lawan konvektif)

Suhu di sebuah stasiun cuaca turun sepanjang malam ( $\partial T/ \partial t < 0$ : lokal), dan turun bagi sebongkah udara yang terbawa angin ke utara ( $\vect v\cdot\operatorname{\vect{grad}}T < 0$ : konvektif, atau adveksi). Sebuah termometer pada balon yang hanyut bersama angin mencatat jumlah keduanya, $\mathrm DT/\mathrm Dt$ ; stasiun cuacanya hanya mencatat suku pertama.

2.3 Kekekalan massa

Definisi 2.7 (Debit massa dan debit volume)

Yang disebut debit massa lewat permukaan terorientasi $S$ adalah massa yang menyeberanginya tiap satuan waktu, $D_m = \sum\rho\,\vect v\cdot\vect n\,\dd S$ — fluks rapat arus massa $\vect j = \rho\vect v$ (satuan $\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ ); debit volumenya adalah $D_V = \sum\vect v \cdot\vect n\,\dd S$ ( $\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ ). Untuk kecepatan seragam yang tegak lurus penampang datar seluas $S$ , $D_m = \rho vS$ dan $D_V = vS$ .

Bukti. Dalam $\dd t$ fluida yang menyeberangi unsur $\dd S$ adalah yang termuat dalam tabung serong beralas $\dd S$ dan bergaris pelukis $\vect v\,\dd t$ , bervolume $\vect v\cdot\vect n\,\dd S\,\dd t$ dan bermassa $\rho$ kali itu. ∎

Teorema 2.8 (Kekekalan massa lokal)

Di setiap titik sebuah fluida,

\frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vect v) = 0 , \qquad\text{dengan}\qquad \operatorname{div}\vect A = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z}

adalah divergensi sebuah medan vektor: fluks total $\vect A$ yang keluar lewat permukaan sebuah volume kecil, tiap satuan volume. Setara dengan itu, $\mathrm D\rho/\mathrm Dt + \rho\operatorname{div}\vect v = 0$ .

Bukti. Ambillah kotak tetap $[x, x + \dd x]\times[y, y + \dd y]\times[z, z + \dd z]$ . Massanya $\rho\,\dd x\dd y\dd z$ berubah dengan laju $\partial_t\rho\,\dd x\dd y \dd z$ . Massa masuk lewat sisi di $x$ dengan laju $j_x(x)\dd y\dd z$ dan keluar lewat sisi di $x + \dd x$ dengan $j_x(x + \dd x)\dd y\dd z$ : keluaran total $\partial_xj_x\,\dd x\dd y\dd z$ , dan begitu pula bagi $y$ dan $z$ . Kekekalan massa — tak ada massa yang diciptakan — memberi $\partial_t\rho = - (\partial_xj_x + \partial_yj_y + \partial_zj_z)$ . Bentuk keduanya menyusul dari $\operatorname{div}(\rho\vect v) = \vect v\cdot\operatorname{\vect{grad}}\rho + \rho\operatorname{div}\vect v$ . ∎

Catatan 2.9 (Divergensi, perjumpaan pertama)

Penurunannya memperlihatkan apa yang diukur $\operatorname{div}$ : fluks yang meninggalkan sebuah kotak kecil tiap satuan volume. Dijumlahkan atas kotak-kotak yang mengubin volume berhingga $V$ , sisi-sisi dalamnya saling meniadakan berpasangan dan hanya permukaan luarnya yang tersisa: $\iint_{\partial V}\vect A\cdot\vect n\,\dd S = \iiint_V \operatorname{div}\vect A\,\dd\tau$ — teorema divergensi (Ostrogradski), yang akan kita nyatakan selayaknya dalam Bab 11 dan kita pakai di sepanjang elektromagnetisme; teorema itu dibuktikan dalam jilid matematika Tahun ke-3. Diintegralkan atas volume tetap, hukum lokalnya berbunyi $\dd m_V/\dd t = -D_m^{\text{luar}}$ : massa di dalamnya berubah sebanyak yang menyeberangi batasnya.

Kiri: neraca massa sebuah kotak tetap — keluaran total lewat keenam sisinya, tiap satuan volume, adalah divergensi v. Kanan: dalam aliran tunak debit massanya sama lewat setiap penampang sebuah tabung arus. — Kiri: neraca massa sebuah kotak tetap — keluaran total lewat keenam sisinya, tiap satuan volume, adalah divergensi $\rho\vect v$ . Kanan: dalam aliran tunak debit massanya sama lewat setiap penampang sebuah tabung arus.

Akibat 2.10 (Aliran tak termampatkan; tabung arus)

Sebuah aliran bersifat tak termampatkan apabila massa jenis setiap partikelnya tetap, $\mathrm D\rho/\mathrm Dt = 0$ , yang setara dengan

\operatorname{div}\vect v = 0 .

Zat cair homogen mengalir secara tak termampatkan; demikian pula gas pada kelajuan yang jauh di bawah kelajuan bunyi (lihat Bab 7). Dalam aliran tunak debit massa $\rho vS$ sama lewat setiap penampang sebuah tabung arus; jika alirannya tak termampatkan dan $\rho$ seragam pula, $vS$ tetap: fluidanya mempercepat di tempat tabungnya menyempit.

Bukti. $\mathrm D\rho/\mathrm Dt = -\rho\operatorname{div}\vect v$ . Untuk tabungnya, terapkanlah neraca terintegralkan pada volume antara dua penampang: tak ada fluks lewat permukaan sisinya (kecepatannya menyinggung), keadaannya tunak, jadi masukan sama dengan keluaran. ∎

Contoh 2.11 (Darah)

Aorta (berpenampang $2.5\,\mathrm{cm}^{2}$ ) mengalirkan $5\,\mathrm{L}/\mathrm{min}$ $= 83\,\mathrm{cm}^{3}/\mathrm{s}$ : $v = 33\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ . Aliran yang sama lewat sekitar $10^{10}$ pembuluh kapiler yang penampang totalnya sekitar $2500\,\mathrm{cm}^{2}$ : $v = 0.3\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ — cukup lambat bagi pertukaran lewat dindingnya, dan itulah gunanya percabangan itu.

2.4 Vortisitas dan aliran irotasional

Definisi 2.12 (Vortisitas)

Yang disebut vortisitas sebuah aliran adalah medan vektor

\vect\omega = \operatorname{\vect{curl}}\vect v , \qquad \operatorname{\vect{curl}}\vect A = \Bigl(\frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z},\; \frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z} {\partial x},\; \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y}\Bigr) .

Sebuah aliran bersifat irotasional di tempat $\vect\omega = \vect 0$ .

Proposisi 2.13 (Vortisitas mengukur rotasi lokal)

Sebuah unsur fluida kecil yang berpusat di $M$ berputar, sebagai keseluruhan, dengan kecepatan sudut $\vect\Omega = \tfrac12\vect\omega(M)$ . Dalam rotasi benda tegar $\vect v = \vect\Omega\wedge\vect{OM}$ vortisitasnya seragam, $\vect\omega = 2\vect\Omega$ ; dalam aliran geser bidang $\vect v = ky\,\vect e_x$ nilainya $\vect\omega = -k\vect e_z$ : kincir kecil yang dijatuhkan dalam aliran geser berputar walaupun garis arusnya lurus.

Bukti. Di dekat $M$ , $\vect v(M + \vect\epsilon) = \vect v(M) + \mathbf G\vect\epsilon$ dengan $\mathbf G$ matriks $\partial_jv_i$ ; belahlah ia menjadi bagian simetriknya (regangan murni, yang meregangkan unsurnya tanpa memutarnya sebagai keseluruhan) dan bagian antisimetriknya, yang matriksnya $\tfrac12(\partial_jv_i - \partial_iv_j)$ adalah matriks $\vect\epsilon \mapsto \tfrac12\vect\omega\wedge\vect\epsilon$ (Teorema 1.2). Rotasi tegar terhadap $\vect e_z$ : $\vect v = \Omega(-y, x, 0)$ , $\omega_z = \partial_xv_y - \partial_yv_x = 2\Omega$ . Geser: $\omega_z = -\partial_y(ky) = -k$ . ∎

Definisi 2.14 (Potensial kecepatan; sirkulasi)

Dalam aliran irotasional kecepatannya diturunkan dari sebuah potensial kecepatan: $\vect v = \operatorname{\vect{grad}}\varphi$ (sirkulasi $\vect v$ sepanjang sebuah lintasan lalu hanya bergantung pada ujungnya, $\int_A^B\vect v \cdot\dd\vect l = \varphi(B) - \varphi(A)$ ). Jika alirannya juga tak termampatkan, $\Delta\varphi = \operatorname{div}\operatorname{\vect{grad}} \varphi = 0$ : potensialnya menuruti persamaan Laplace, persis seperti potensial elektrostatik di daerah tanpa muatan — sebuah aliran potensial. Sirkulasi kecepatan sepanjang kurva tertutup $C$ adalah $\Gamma = \oint_C\vect v\cdot\dd\vect l$ .

Bukti. Bahwa medan tanpa curl pada daerah terhubung sederhana adalah sebuah gradien, dan bahwa gradien tak ber-curl ( $\partial_y\partial_z\varphi = \partial_z\partial_y\varphi$ ), adalah milik jilid matematika Tahun ke-2; persamaan Laplacenya menyusul dari $\operatorname{div}\vect v = 0$ . ∎

Contoh 2.15 (Tiga aliran bidang)

(i) Aliran stagnasi $\vect v = k(x, -y)$ : $\operatorname{div}\vect v = 0$ , $\vect\omega = \vect 0$ , $\varphi = \tfrac12k(x^2 - y^2)$ ; garis arusnya $xy =$ tetap, hiperbola — pancaran yang menumbuk dinding, di dekat sumbunya. (ii) Vorteks titik $\vect v = \dfrac{\Gamma}{2\pi r}\vect e_\theta$ (koordinat kutub bidang): tak termampatkan dan irotasional di mana-mana kecuali di $r = 0$ , $\varphi = \Gamma\theta/2\pi$ (bernilai banyak), dan sirkulasinya pada lingkaran mana pun mengelilingi pusatnya adalah $\Gamma$ — vortisitasnya terpusat pada sumbunya. (iii) Vorteks Rankine: sebuah inti $r < a$ dalam rotasi tegar $v_\theta = \Omega r$ (vortisitas $2\Omega$ ) yang disambung dengan vorteks titik $v_\theta = \Omega a^2/r$ di luarnya: model sebuah puting beliung, pusaran air di bak mandi atau olakan di belakang pilar jembatan — kecepatannya memuncak di tepi intinya.

Tiga aliran bidang. Kiri: aliran stagnasi, irotasional, dengan garis arus hiperbolik. Tengah: vorteks titik — garis arus melingkar, namun vortisitasnya nol jauh dari pusatnya. Kanan: profil vorteks Rankine, rotasi tegar di intinya dan vorteks titik di luarnya.

Catatan 2.16 (Mengapa sirkulasinya penting)

Untuk simpal bidang kecil seluas $\dd S$ dengan normal $\vect n$ , sirkulasinya adalah $\oint\vect v\cdot\dd\vect l = \vect\omega\cdot\vect n\,\dd S$ — vortisitasnya adalah sirkulasi tiap satuan luas, persis seperti divergensi adalah fluks tiap satuan volume. (Periksalah pada rotasi tegar: $2\pi r\cdot\Omega r = 2\Omega\cdot\pi r^2$ .) Dijumlahkan atas sebuah permukaan, ini memberi teorema Stokes, $\oint_C\vect v\cdot\dd\vect l = \iint_S \operatorname{\vect{curl}}\vect v\cdot\vect n\,\dd S$ , yang dinyatakan dalam Bab 11. Sebuah sayap membangkitkan gaya angkat dengan mengemban sirkulasi di sekelilingnya; garis vorteks bertahan dalam fluida sempurna (teorema Kelvin) — itulah sebabnya olakan di belakang pilarnya bertahan begitu lama.

Metode 2.17 (Membaca sebuah medan kecepatan)

Diberikan $\vect v(M, t)$ : (1) tunakkah ia? ( $\partial_t\vect v = \vect 0$ ); (2) tak termampatkankah ia? ( $\operatorname{div}\vect v = 0$ ); (3) irotasionalkah ia? ( $\operatorname{\vect{curl}}\vect v = \vect 0$ ; jika ya carilah $\varphi$ ); (4) carilah garis arusnya dari $\dd x/v_x = \dd y/v_y = \dd z/ v_z$ pada $t$ tetap, dan garis lintasannya dari $\dd\vect r/\dd t = \vect v(\vect r, t)$ ; (5) hitunglah percepatannya $\partial_t\vect v + (\vect v\cdot \operatorname{\vect{grad}})\vect v$ . Dalam koordinat kutub bidang $(r, \theta)$ , $\operatorname{div}\vect v = \dfrac1r\dfrac{\partial(rv_r)}{\partial r} + \dfrac1r \dfrac{\partial v_\theta}{\partial\theta}$ dan $\omega_z = \dfrac1r\dfrac{\partial(rv_\theta)} {\partial r} - \dfrac1r\dfrac{\partial v_r}{\partial\theta}$ (diterima di sini; diturunkan dalam Bab 11).

2.5 Latihan

Latihan 2.1 ★

Jalan bebas rata-rata udara adalah $70\,\mathrm{nm}$ pada $1\,\mathrm{bar}$ dan berubah sebagai $1/P$ . Sahihkah lukisan kontinum bagi (a) udara di sekeliling mobil, (b) udara dalam mikrosaluran $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ pada $1\,\mathrm{bar}$ , (c) udara pada ketinggian $100\,\mathrm{km}$ ( $P \approx 3 \times 10^{-7}\,\mathrm{bar}$ ) di sekeliling satelit $1\,\mathrm{m}$ ? Berikanlah $\ell/L$ dalam tiap hal.

Solusi

Solusi Latihan 2.1.

(a) $\ell/L \sim 7 \times 10^{-8}$ : kontinum. (b) $0.07$ : ambang — hukum kontinumnya mulai gagal (selip di dindingnya). (c) $\ell = 70 \times 10^{-9} /3 \times 10^{-7} = 0.23\,\mathrm{m}$ , $\ell/L = 0.23$ : bukan kontinum; gasnya adalah hujan molekul yang saling bebas (rezim bebas molekuler).

Latihan 2.2 ★

Aliran satu dimensi tunak $v(x) = v_0(1 + x/L)$ untuk $0 \le x \le L$ . Percepatan sebuah partikel di $x$ ; waktu yang diperlukannya untuk menyeberang dari $0$ ke $L$ ; bandingkanlah dengan $L/v_0$ dan $L/2v_0$ .

Solusi

Solusi Latihan 2.2.

$a = v\,\dd v/\dd x = v_0^2(1 + x/L)/L$ (dari $v_0^2/L$ sampai $2v_0^2/L$ ). $\dd x/\dd t = v_0(1 + x/L)$ : $t = (L/v_0)\ln2 = 0.69\,L/v_0$ , antara $L/2v_0$ dan $L/v_0$ .

Latihan 2.3 ★

Dalam pipa berjari-jari $R$ profil kecepatannya adalah $v(r) = v_{\max}(1 - r^2/R^2)$ sepanjang sumbunya. Tentukanlah debit volume; kelajuan rata-rata $\langle v\rangle = D_V/\pi R^2$ ; angkanya untuk $R = 5\,\mathrm{mm}$ , $v_{\max} = 0.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Solusi

Solusi Latihan 2.3.

$D_V = \int_0^Rv_{\max}(1 - r^2/R^2)\,2\pi r\,\dd r = \tfrac12\pi R^2v_{\max}$ ; $\langle v\rangle = v_{\max}/2 = 0.20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $D_V = 1.6 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s} = 16\,\mathrm{mL}/\mathrm{s}$ .

Latihan 2.4 ★

Untuk tiap medan, katakanlah apakah alirannya tak termampatkan dan apakah ia irotasional; berikanlah vortisitasnya: (a) $\vect v = (ax, -ay, 0)$ ; (b) $\vect v = (-\Omega y, \Omega x, 0)$ ; (c) $\vect v = (ax, ay, 0)$ ; (d) $\vect v = (ky, 0, 0)$ ; (e) $\vect v = (ax, -ay, bz)$ — untuk $b$ berapakah ia tak termampatkan?

Solusi

Solusi Latihan 2.4.

(a) $\operatorname{div} = 0$ , $\vect\omega = \vect 0$ : tak termampatkan, irotasional. (b) $\operatorname{div} = 0$ , $\omega_z = 2\Omega$ : rotasi tegar. (c) $\operatorname{div} = 2a \ne 0$ , irotasional (sebuah sumber bidang). (d) $\operatorname{div} = 0$ , $\omega_z = -k$ : geser. (e) $\operatorname{div} = b$ : tak termampatkan jika dan hanya jika $b = 0$ ; irotasional untuk setiap $b$ .

Latihan 2.5 ★★

Sebuah selang taman berdiameter dalam $12\,\mathrm{mm}$ mengisi ember $10\,\mathrm{L}$ dalam $50\,\mathrm{s}$ . Kelajuan dalam selangnya; kelajuan dalam corong $3\,\mathrm{mm}$ ; jika corongnya menyempit sepanjang $4\,\mathrm{cm}$ , perkirakanlah percepatan rata-rata partikel yang menyeberanginya (dalam $g$ ); waktu yang dihabiskan dalam corongnya.

Solusi

Solusi Latihan 2.5.

$D_V = 0.20\,\mathrm{L}/\mathrm{s}$ . Selang $S = 1.13\,\mathrm{cm}^{2}$ : $v = 1.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; corong $S = 7.1\,\mathrm{mm}^{2}$ : $v = 28\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Percepatan rata-rata $\Delta(v^2/2)/L = (28^2 - 1.8^2)/0.08 \approx 1 \times 10^{4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 1000\,g$ . Waktunya $\approx \int\dd x/v$ : beberapa milisekon ( $4\,\mathrm{ms}$ untuk profil kelajuan linear).

Latihan 2.6 ★★

Aliran bidang tak tunak $\vect v = (U, V\cos\omega t)$ dengan $U$ , $V$ , $\omega$ tetap. (a) Garis arusnya pada saat $t$ . (b) Garis lintasan partikel yang berada di titik asal pada $t = 0$ . (c) Sketsalah keduanya untuk $V = U$ pada $t = 0$ dan pada $t = \pi/2\omega$ ; mengapa keduanya berbeda? (d) Percepatan sebuah partikel.

Solusi

Solusi Latihan 2.6.

(a) $\dd y/\dd x = (V/U)\cos\omega t$ : garis lurus berkemiringan $(V/U)\cos\omega t$ , semuanya sejajar, memiring menurut waktu. (b) $x = Ut$ , $y = (V/\omega)\sin\omega t$ : sinusoida $y = (V/\omega)\sin(\omega x/U)$ . (c) Pada $t = 0$ garis arusnya berada pada $45{}^{\circ}$ dan garis lintasannya berangkat dari titik asal pada $45{}^{\circ}$ ; pada $t = \pi/2\omega$ garis arusnya mendatar sementara garis lintasannya sinusoida tetap. Keduanya berbeda sebab alirannya tak tunak: garis arus adalah sebuah potret, garis lintasan sebuah riwayat. (d) $\vect a = \partial_t\vect v = (0, -V\omega\sin\omega t)$ — medannya seragam, jadi suku konvektifnya lenyap.

Latihan 2.7 ★★

Sebuah sungai selebar $50\,\mathrm{m}$ dan sedalam $2.0\,\mathrm{m}$ mengalir dengan $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (a) Debitnya. (b) Ia memasuki ngarai selebar $15\,\mathrm{m}$ dan sedalam $4.0\,\mathrm{m}$ : kelajuannya. (c) Anak sungai menambahkan $30\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ ; di hilirnya sungai itu selebar $60\,\mathrm{m}$ dan sedalam $2.5\,\mathrm{m}$ : kelajuannya. (d) Gas panas mengalir tunak dalam pipa berpenampang tetap; di antara dua titik suhunya menjadi dua kali lipat pada tekanan tetap: apa yang terjadi pada kelajuannya?

Solusi

Solusi Latihan 2.7.

(a) $D_V = 50 \times 2 \times 1.2 = 120\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ . (b) $120/60 = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (c) $150/150 = 1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (d) $\rho \propto 1/T$ pada $P$ tetap menjadi separuh; $\rho vS$ kekal: kelajuannya menjadi dua kali lipat.

Latihan 2.8 ★★

Vorteks Rankine. $v_\theta = \Omega r$ untuk $r < a$ , $v_\theta = \Omega a^2/r$ untuk $r > a$ . (a) Vortisitas di tiap daerah (pakailah rumus kutubnya). (b) Sirkulasi pada lingkaran berjari-jari $r$ yang berpusat pada sumbunya, di kedua daerahnya; kaitkanlah dengan fluks vortisitasnya. (c) Sebuah puting beliung: $a = 50\,\mathrm{m}$ , $v_{\max} = 70\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $\Omega$ , $\Gamma$ , dan kelajuannya di $500\,\mathrm{m}$ . (d) Irotasionalkah aliran intinya? Bagian luarnya? Di manakah “rotasinya” secara fisis?

Solusi

Solusi Latihan 2.8.

(a) $\omega_z = \frac1r\frac{\dd(rv_\theta)}{\dd r}$ : $2\Omega$ di dalam, $0$ di luar. (b) Di dalam $\Gamma = 2\pi r\cdot\Omega r = 2\Omega\cdot\pi r^2$ , yaitu fluks vortisitasnya; di luar $\Gamma = 2\pi\Omega a^2$ , tetap, yaitu fluks seluruh intinya. (c) $\Omega = v_{\max}/a = 1.4\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ; $\Gamma = 2\pi av_{\max} = 2.2 \times 10^{4}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ; di $500\,\mathrm{m}$ : $\Omega a^2/r = 7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (d) Intinya berputar seperti benda tegar; di luarnya alirannya irotasional: partikelnya mengelilingi sumbunya tanpa berputar terhadap dirinya sendiri. Vortisitasnya — rotasinya — bersemayam di intinya.

Latihan 2.9 ★★

Aliran stagnasi $\vect v = k(x, -y)$ . (a) Potensial $\varphi$ dan periksalah $\Delta\varphi = 0$ . (b) Garis arusnya; fungsi $\psi = kxy$ tetap padanya — tunjukkanlah bahwa $v_x = \partial\psi/\partial y$ , $v_y = -\partial\psi/ \partial x$ (fungsi arus). (c) Medan percepatannya; tunjukkanlah bahwa ia adalah $\operatorname{\vect{grad}}(v^2/2)$ lalu tafsirkanlah. (d) Garis lintasan partikel yang berangkat di $(x_0, y_0)$ : $x = x_0\eu^{kt}$ , $y = y_0\eu^{-kt}$ .

Solusi

Solusi Latihan 2.9.

(a) $\varphi = \tfrac12k(x^2 - y^2)$ , $\Delta\varphi = k - k = 0$ . (b) $\dd x/ kx = \dd y/(-ky)$ : $xy =$ tetap; $\partial_y\psi = kx = v_x$ , $-\partial_x\psi = -ky = v_y$ . (c) $\vect a = (v_x\partial_x + v_y\partial_y)\vect v = k^2(x, y) = \operatorname{\vect{grad}}\bigl(\tfrac12k^2(x^2 + y^2)\bigr) = \operatorname{\vect{grad}} (v^2/2)$ : dalam aliran irotasional tunak percepatannya adalah gradien energi kinetik tiap satuan massa; ia menjauhi titik stagnasinya — sebuah partikel diperlambat ketika mendekati dindingnya sepanjang $y$ dan dipercepat menjauh sepanjang $x$ . (d) $\dot x = kx$ , $\dot y = -ky$ : $x = x_0\eu^{kt}$ , $y = y_0\eu^{-kt}$ ( $xy$ tetap).

Latihan 2.10 ★★★

Sebuah aliran memuai. Aliran satu dimensi $v(x, t) = x/(t + \tau)$ untuk $t > 0$ , $\tau > 0$ tetap. (a) Garis lintasan: tunjukkanlah $x(t) = x_0(1 + t/\tau)$ ; percepatan sebuah partikel, baik dari garis lintasannya maupun dari turunan partikelnya. (b) Massa jenisnya seragam pada tiap saat, $\rho(t)$ : pakailah kekekalan massa untuk mencari $\rho(t)$ . (c) Periksalah dengan mengikuti massa di antara dua partikel. (d) Mengapa medan ini merupakan model satu dimensi bagi jagat raya yang memuai seragam?

Solusi

Solusi Latihan 2.10.

(a) $\dd x/\dd t = x/(t + \tau)$ memberi $x = x_0(1 + t/\tau)$ , $\ddot x = 0$ ; turunan partikelnya: $\partial_tv + v\partial_xv = -x/(t + \tau)^2 + x/(t + \tau)^2 = 0$ . (b) $\partial_t\rho + \partial_x(\rho v) = \dot\rho + \rho/(t + \tau) = 0$ : $\rho = \rho_0\tau/(t + \tau)$ . (c) Jarak antara dua partikel tumbuh sebagai $(1 + t/\tau)$ dan massa di antaranya tetap: $\rho \propto 1/(1 + t/\tau)$ . (d) $v = Hx$ dengan $H = 1/(t + \tau)$ : sebuah hukum Hubble, pemuaian bebas (tanpa percepatan), massa jenisnya turun sebagai kebalikan faktor skalanya.

Latihan 2.11 ★★★

Sumber dalam arus. Tumpangkanlah aliran seragam $\vect v = U\vect e_x$ dan sumber bidang $\vect v = \dfrac{q}{2\pi r}\vect e_r$ ( $q$ adalah debit volume tiap satuan panjang sepanjang $z$ ). (a) Potensial $\varphi = Ux + (q/2\pi)\ln r$ ; periksalah bahwa kedua alirannya tak termampatkan dan irotasional (kecuali di titik asalnya). (b) Titik stagnasinya. (c) Fungsi arus $\psi = Uy + q\theta/2\pi$ ; garis arus yang melalui titik stagnasinya adalah $r\sin\theta = (q/2\pi U)(\pi - \theta)$ : sketsalah. (d) Tunjukkanlah bahwa jauh di hilirnya garis arus ini berada di $y = \pm q/2U$ : aliran di luarnya adalah aliran mengelilingi setengah benda tumpul selebar $q/U$ .

Solusi

Solusi Latihan 2.11.

(a) $\vect v = \operatorname{\vect{grad}}\varphi = (U + qx/2\pi r^2, qy/2\pi r^2)$ ; sumbernya mempunyai $v_r = q/2\pi r$ , $\operatorname{div} = \frac1r\dd(rv_r)/\dd r = 0$ dan tak bergantung pada $\theta$ , jadi $\omega_z = 0$ ; jumlah medan semacam itu tak termampatkan dan irotasional pula. (b) Pada sumbu $x$ negatif, $U - q/2\pi r = 0$ : $x_s = -q/2\pi U$ . (c) Di titik stagnasinya $\theta = \pi$ , $y = 0$ : $\psi = q/2$ ; garis arus $Ur\sin\theta + q\theta/2\pi = q/2$ , yakni $r\sin\theta = (q/2\pi U)(\pi - \theta)$ — kurva yang berangkat dari $x_s$ dan membuka ke hilir. (d) $\theta \to 0$ : $y \to q/2U$ ; $\theta \to 2\pi$ (cabang bawah): $y \to -q/2U$ . Fluida di dalam garis arus itu datang dari sumbernya; di luarnya, arus seragamnya mengalir mengelilingi setengah benda berlebar asimtotik $q/U$ .

Latihan 2.12 ★★★

Vorteks dan cerat. Aliran bidang $\vect v = -\dfrac{q}{2\pi r}\vect e_r + \dfrac{\Gamma}{2\pi r}\vect e_\theta$ untuk $r > a$ . (a) Tunjukkanlah bahwa ia tak termampatkan dan irotasional. (b) Garis arusnya: spiral logaritmik $r = r_0\eu^{-q\theta/\Gamma}$ . (c) Percepatan sebuah partikel: tunjukkanlah bahwa ia murni radial, $-v^2/r\,\vect e_r$ . (d) Waktu bagi partikel untuk menyusur spiral dari $r_0$ ke $a$ ; jumlah putaran yang dibuatnya. (e) Angka: $q = 1.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , $\Gamma = 3 \times 10^{-2}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , $r_0 = 0.5\,\mathrm{m}$ , $a = 2\,\mathrm{cm}$ .

Solusi

Solusi Latihan 2.12.

(a) $\operatorname{div}\vect v = \frac1r\partial_r(-q/2\pi) = 0$ ; $\omega_z = \frac1r\partial_r(\Gamma/2\pi) = 0$ . (b) $\dd r/v_r = r\,\dd\theta/v_\theta$ memberi $\dd r/r = -(q/\Gamma)\dd\theta$ . (c) $a_r = v_r\partial_rv_r - v_\theta^2/r = -(q^2 + \Gamma^2)/4\pi^2r^3 = -v^2/r$ ; $a_\theta = v_r\partial_rv_\theta + v_rv_\theta/r = 0$ . (d) $\dd r/\dd t = -q/2\pi r$ : $t = \pi(r_0^2 - a^2)/q$ ; putarannya $= (\Gamma/2\pi q)\ln(r_0/a)$ . (e) $t = 520\,\mathrm{s} \approx 9\,\mathrm{min}$ ; $10$ putaran.

2.6 Soal: Dari lubang pembuangan sampai badai

Soal 2.1

Soal akhir pekan — kinematika yang sama pada tiga skala: pusaran di atas lubang buangan, sebuah puting beliung, dan sebuah siklon dilihat dari satelit

Bagian I — Bak mandi. Sebuah bak dikuras lewat lubang berjari-jari $a = 2\,\mathrm{cm}$ ; airnya, yang sedalam $h = 20\,\mathrm{cm}$ , keluar dengan debit volume $D_V = 0.30\,\mathrm{L}/\mathrm{s}$ . Jauh dari lubangnya alirannya dimodelkan sebagai aliran bidang (tak bergantung pada kedalaman): $\vect v = v_r(r)\vect e_r + v_\theta(r)\vect e_\theta$ .

Dengan memakai kekekalan massa lewat tabung berjari-jari $r$ dan setinggi $h$ , tunjukkanlah bahwa $v_r = -q/2\pi r$ dengan $q = D_V/h$ ; nilai $q$ .
Sebelum sumbatnya dicabut airnya telah diaduk dan berputar dengan $1.0\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ di $r = 50\,\mathrm{cm}$ . Dengan menerima bahwa tiap cincin air menjaga momentum sudutnya ketika bergerak ke dalam ( $rv_\theta$ tetap), carilah $v_\theta(r)$ dan sirkulasinya $\Gamma$ .
Periksalah bahwa alirannya tak termampatkan dan irotasional untuk $r > a$ .
Garis arus: tunjukkanlah bahwa garis-garisnya spiral logaritmik lalu carilah berapa putaran yang dibuat sebuah partikel antara $r = 50\,\mathrm{cm}$ dan $r = a$ .
Waktu bagi sebuah partikel untuk beranjak dari $50\,\mathrm{cm}$ ke lubangnya, dan kelajuan azimutnya saat tiba.
Percepatan sebuah partikel di $r$ ; bandingkanlah dengan $g$ di $r = a$ . (Permukaan bebasnya melekuk di tempat tekanannya harus mengimbanginya — corongnya; bab berikutnya.)
Rotasi Bumi memberi fluida mana pun yang diam di baknya sebuah rotasi “latar” dengan laju tegak setempat $\Omega_\oplus\sin\lambda \approx 5 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ . Bandingkanlah kelajuan azimut yang akan diberikannya di $50\,\mathrm{cm}$ dengan $1\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ dari adukannya, lalu katakanlah apakah arah putaran bak yang terkuras ditentukan oleh belahan buminya.

Bagian II — Puting beliung sebagai vorteks Rankine. Jari-jari intinya $a = 60\,\mathrm{m}$ , angin maksimum $v_{\max} = 80\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , massa jenis udara $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ .

Tuliskanlah $v_\theta(r)$ di kedua daerahnya lalu berikanlah $\Omega$ dan $\Gamma$ .
Vortisitas di intinya dan di luarnya; sketsalah $v_\theta$ dan $\omega_z$ terhadap $r$ .
Percepatan sebuah partikel udara di tepi intinya; bandingkanlah dengan $g$ .
Tunjukkanlah bahwa kincir kecil yang ditaruh di luar intinya hanyut mengelilingi puting beliungnya tanpa berputar terhadap sumbunya sendiri, sementara yang ditaruh di dalam intinya berputar sekali tiap satu kelilingan terhadap sumbunya.
Energi kinetik intinya, tiap meter ketinggian.
Energi kinetik aliran luarnya tiap meter ketinggian, antara $a$ dan $R = 5\,\mathrm{km}$ ; mengapa ia bergantung pada $R$ hanya secara logaritmik?
Dengan ketinggian $1\,\mathrm{km}$ , energi kinetik totalnya; bandingkanlah dengan energi yang dilepaskan $1\,\mathrm{t}$ TNT ( $4.2\,\mathrm{GJ}$ ).
Udara juga mengalir ke dalam dan ke atas dalam puting beliung. Jika intinya disuapi aliran masuk radial $5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ lewat permukaan sisinya sepanjang $300\,\mathrm{m}$ pertama ketinggiannya, kelajuan tegak berapa yang harus dicapai udaranya di puncak lapisan itu (seragam atas penampang intinya)?

Bagian III — Siklon. Sebuah siklon tropis dimodelkan sebagai vorteks Rankine berjari-jari inti $a = 40\,\mathrm{km}$ dan $v_{\max} = 50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Rotasi Bumi terasa lewat vortisitas planet $f = 2\Omega_\oplus\sin\lambda \approx 5 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$ pada lintang $20{}^{\circ}$ : sebuah cincin udara yang diam relatif terhadap tanah sudah mengemban, dalam kerangka inersial, kelajuan azimut $fr/2$ terhadap sumbu tegak mana pun.

Vortisitas intinya dan sirkulasi $\Gamma$ siklonnya; bandingkanlah vortisitas intinya dengan $f$ .
Sebuah cincin udara berjari-jari $r_0 = 500\,\mathrm{km}$ , mula-mula diam relatif terhadap tanah, ditarik ke arah pusatnya oleh tekanan rendahnya. Dengan menerima bahwa momentum sudut tiap satuan massanya terhadap sumbunya, $r(v_\theta + fr/2)$ , kekal, carilah kecepatannya $v_\theta$ relatif terhadap tanah di $r = 100\,\mathrm{km}$ dan di $r = 40\,\mathrm{km}$ .
Ke arah mana siklonnya berputar di belahan bumi utara, dan mengapa? Mengapa arahnya tetap bagi siklon dan tidak bagi bak mandi?
Mengapa udaranya tidak dapat ditarik sampai ke sumbunya dengan cara ini — apa yang membatasi anginnya dan menyisakan sebuah mata?
Udara memusat ke dalam siklonnya dengan $5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ lewat tabung berjari-jari $500\,\mathrm{km}$ dan setinggi $1\,\mathrm{km}$ : debit massa yang tertarik masuk ( $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ).
Siklonnya berpindah seluruhnya ke barat dengan $6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Tuliskanlah medan kecepatan Euler yang terlihat dari tanah dalam medan $\vect v_0$ vorteksnya dalam kerangkanya sendiri; tunakkah alirannya dalam kerangka tanah? Sisi badai mana yang anginnya lebih kuat?

Bagian IV — Debit dan sebuah rangkuman.

Hujan turun dengan $50\,\mathrm{mm}/\mathrm{h}$ atas daerah tangkapan $10\,\mathrm{km}^{2}$ dan seluruhnya mencapai sungai berpenampang $40\,\mathrm{m}^{2}$ : kelajuan rata-rata sungainya saat banjir.
Darah: aorta ( $2.5\,\mathrm{cm}^{2}$ ) mengalirkan $5.0\,\mathrm{L}/\mathrm{min}$ ; pembuluh kapilernya berpenampang total $0.25\,\mathrm{m}^{2}$ : kelajuan di masing-masingnya; waktu bagi darah untuk menyeberangi kapiler $1\,\mathrm{mm}$ .
Sebuah tangki berpenampang $S$ terkuras lewat lubang berpenampang $s$ di dasarnya; kelajuan keluarnya adalah $\sqrt{2gh}$ ( $h$ tinggi muka airnya — diterima, diturunkan dalam bab berikutnya). Tuliskanlah kekekalan massanya lalu carilah $h(t)$ dan waktu pengurasannya untuk $S = 1\,\mathrm{m}^{2}$ , $s = 1\,\mathrm{cm}^{2}$ , $h_0 = 1\,\mathrm{m}$ .
Berikanlah ketiga aliran Bagian I–III dalam satu tabel: jari-jari, kelajuan, vortisitas intinya, sirkulasi — dan besaran yang kekal selama aliran masuknya, yang membuat ketiganya berpusar makin cepat.

Solusi

Solusi Soal 2.1.

1. Lewat tabung berjari-jari $r$ : $2\pi rh|v_r| = D_V$ , jadi $v_r = -q/2\pi r$ , $q = D_V/h = 1.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ .

2. $rv_\theta = 0.5 \times 0.01 = 5 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ : $v_\theta = \Gamma/2\pi r$ dengan $\Gamma = 3.1 \times 10^{-2}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ .

3. $\operatorname{div}\vect v = \frac1r\partial_r(rv_r) = 0$ , $\omega_z = \frac1r\partial_r(rv_\theta) = 0$ .

4. $\dd r/r = -(q/\Gamma)\dd\theta$ : $r = r_0\eu^{-q\theta/\Gamma}$ ; putarannya $= (\Gamma/2\pi q)\ln(r_0/a) = 3.3 \times 3.2 \approx 11$ .

5. $t = \pi(r_0^2 - a^2)/q = 520\,\mathrm{s} \approx 9\,\mathrm{min}$ ; $v_\theta(a) = 0.25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

6. $\vect a = -(v^2/r)\vect e_r$ ; di $r = a$ : $v^2 = 0.25^2 + 0.012^2$ , $a = 3.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 0.3g$ .

7. $\Omega_\oplus\sin\lambda\,r = 5 \times 10^{-5} \times 0.5 = 2.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , empat ratus kali lebih kecil daripada adukannya: belahan buminya tidak menentukan apa pun dalam bak biasa (ia menentukan dalam tangki yang dibiarkan diam sehari).

8. $v_\theta = \Omega r$ ( $r < a$ ), $\Omega a^2/r$ ( $r > a$ ); $\Omega = 80/60 = 1.33\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $\Gamma = 2\pi av_{\max} = 3.0 \times 10^{4}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ .

9. $\omega_z = 2\Omega = 2.7\,\mathrm{s}^{-1}$ di intinya, $0$ di luarnya; $v_\theta$ naik linear sampai $80\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ lalu turun sebagai $1/r$ ; $\omega_z$ berbentuk tangga.

10. $a = v_{\max}^2/a = 6400/60 = 107\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 11g$ , ke dalam.

11. Di luarnya vortisitasnya nol: unsur kecil bertranslasi sepanjang lingkarannya tanpa berputar terhadap dirinya sendiri — kincirnya menjaga arah hadapnya. Di dalam intinya (rotasi tegar) ia ikut berputar bersama fluidanya, sekali tiap satu kelilingan.

12. $E_{\text{inti}} = \int_0^a\tfrac12\rho\Omega^2r^2\,2\pi r\,\dd r = \tfrac14\pi\rho\Omega^2a^4 = 2.2 \times 10^{7}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}$ .

13. $E_{\text{luar}} = \int_a^R\tfrac12\rho(\Omega a^2/r)^2\,2\pi r\,\dd r = \pi\rho\Omega^2a^4\ln(R/a) = 8.7 \times 10^7 \times 4.4 = 3.8 \times 10^{8}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}$ ; integrannya $\rho v^2r \propto 1/r$ , dari situlah logaritmanya.

14. $4.0 \times 10^{8}\,\mathrm{J}/\mathrm{m} \times 1000\,\mathrm{m} = 4 \times 10^{11}\,\mathrm{J}$ : sekitar $100\,\mathrm{t}$ TNT.

15. Aliran masuk $2\pi a \times 300 \times 5 = 5.7 \times 10^{5}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ lewat $\pi a^2 = 1.1 \times 10^{4}\,\mathrm{m}^{2}$ : $v_z = 50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

16. $\omega = 2v_{\max}/a = 2.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1} = 50f$ ; $\Gamma = 2\pi av_{\max} = 1.3 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ .

17. $r_0\cdot fr_0/2 = r(v_\theta + fr/2)$ : $v_\theta = f(r_0^2 - r^2)/2r$ ; $60\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ di $100\,\mathrm{km}$ , $155\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ di $40\,\mathrm{km}$ .

18. $f > 0$ di belahan bumi utara memberi $v_\theta > 0$ : berlawanan jarum jam dilihat dari atas (siklonik). Atas $500\,\mathrm{km}$ rotasi planetnya adalah rotasi awal yang menguasai; dalam bak mandi adukannyalah yang menguasai.

19. Gesekan dengan laut mengambil momentum sudutnya, dan gradien tekanannya tak dapat mengimbangi percepatan sentripetal cincin yang kian cepat: udaranya naik sebelum mencapai sumbunya, di dinding matanya, sehingga menyisakan mata yang tenang.

20. $\rho\,2\pi rHv = 1.2 \times 2\pi \times 5 \times 10^5 \times 10^3 \times 5 = 1.9 \times 10^{10}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ .

21. $\vect v(M, t) = -U\vect e_x + \vect v_0(M + Ut\,\vect e_x)$ : polanya terbawa arus, medannya tak tunak dalam kerangka tanah. Translasinya menambah pusarannya di sisi tempat $v_\theta$ menunjuk ke barat — sisi utara (kanan) lintasan ke baratnya.

22. $0.05 \times 10^7/3600 = 139\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ ; $v = 139/40 = 3.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

23. $D_V = 83\,\mathrm{cm}^{3}/\mathrm{s}$ : aorta $0.33\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; kapiler $0.33\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ ; $3\,\mathrm{s}$ tiap milimeter.

24. $S\,\dd h/\dd t = -s\sqrt{2gh}$ : $\sqrt h = \sqrt{h_0} - \frac sS\sqrt{g/2}\,t$ , kosong pada $T = (S/s)\sqrt{2h_0/g} = 10^4 \times 0.45 = 4500\,\mathrm{s} \approx 75\,\mathrm{min}$ .

25. Bak: $r \sim 0.5\,\mathrm{m}$ , $v \sim 1\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ , $\Gamma = 3 \times 10^{-2}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ; puting beliung: $60\,\mathrm{m}$ , $80\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\omega = 2.7\,\mathrm{s}^{-1}$ , $\Gamma = 3 \times 10^{4}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ; siklon: $40\,\mathrm{km}$ , $50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\omega = 2.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$ , $\Gamma = 1.3 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ . Pada masing-masingnya, momentum sudut tiap satuan massa $rv_\theta$ fluida yang memusat itu kekal: aliran masuknyalah yang memutarnya makin cepat.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 431 istilah di glosarium