Fisika Universitas — Tahun 2 · Bachelor Year 2

20Interferometer Michelson

Pada 1887 Michelson dan Morley membelah sebuah berkas cahaya menjadi dua, mengirimkan paruhnya sepanjang lengan yang saling tegak lurus, menggabungkannya kembali, lalu mengamati rumbainya untuk mencari geseran yang seharusnya dihasilkan gerak Bumi menembus eter: tak ada yang beranjak, dan fisika berubah. Pada 2015 instrumen yang sama — dua lengan, yang kini sepanjang empat kilometer dan dilipat menjadi seribu — merekam sebuah gelombang gravitasi yang mengubah panjangnya sebesar seperseribu diameter sebuah proton. Di antara kedua tanggal itu interferometer Michelson mengukur meter dalam panjang gelombang, memisahkan garis spektrum, dan menjadi perkakas baku optika presisi. Bab ini melukiskannya dalam kedua tatanannya — baji udara dan keping sejajar — lalu menunjukkan bagaimana rumbainya mengukur panjang, indeks dan spektrum.

20.1 Instrumennya

Definisi 20.1 (Interferometer Michelson)

Sebuah pembelah berkas $Sp$ — sebuah keping kaca bermuka setengah memantul — pada $45{}^{\circ}$ membagi berkas datangnya menjadi dua: satu pergi ke cermin $M_1$ , satunya ke $M_2$ , keduanya tegak lurus berkasnya; sesudah pemantulannya masing-masing kembali ke $Sp$ , yang di sana separuhnya dikirimkan ke arah pengamatnya, tempat kedua paruhnya berinterferensi. Sebuah keping pengimbang $C$ , yang serupa dengan pembelahnya dan sejajar dengannya, ditaruh pada lengan yang jika tidak hanya akan menyeberangi kaca pembelahnya sekali, sehingga kedua berkasnya menyeberangi tebal kaca yang sama: beda lintasannya lalu menjadi beda lintasan udara murni, yang sama bagi setiap panjang gelombang — yang dituntut rumbai cahaya putih. Jarak cerminnya dari $Sp$ adalah $d_1$ dan $d_2$ ; satu cerminnya terpasang pada sebuah sekrup mikrometer dan pada sekrup kemiringan.

Proposisi 20.2 (Susunan setara)

Dilihat dari pengamatnya, interferometernya setara dengan cermin $M_2$ dan citra $M_1'$ dari $M_1$ dalam pembelahnya: sebuah lapisan udara tipis di antara dua permukaan pemantul, setebal $e = |d_1 - d_2|$ , yang kedua pantulannya berinterferensi (pembelahan amplitudo):

$M_1' \parallel M_2$ : sebuah keping udara setebal $e$ — cincin kemiringan sama, yang terlokalkan di tak hingga, $\delta = 2e\cos i$ ;
$M_1'$ yang dimiringkan sedikit sebesar $\alpha$ relatif terhadap $M_2$ : sebuah baji udara — rumbai ketebalan sama yang lurus, yang terlokalkan pada cerminnya (dekat bajinya), $\delta = 2\alpha x$ pada datang tegak lurus, berjarak $\lambda/2\alpha$ .

Pada sentuhan ( $e = 0$ , $\alpha = 0$ ) medannya seragam, dan bagi cahaya putih di sanalah satu-satunya tempat warnanya selaras: “rumbai putih”-nya.

Bukti. Melipat lengan $M_1$ ke atas lengan $M_2$ lewat pemantulan dalam $Sp$ memetakan kedua berkasnya ke satu garis dengan dua cermin yang terpisah $e$ ; kedua gelombang yang kembali itu adalah yang terpantul kedua muka lapisan udaranya (tanpa $\lambda/2$ tambahan: keduanya memantul pada logam, dan pembelahnya memperlakukannya setangkup, sampai pada sebuah fase tetap yang menggeser seluruh polanya). Hasil selaput tipis Bab 19 lalu berlaku dengan $n = 1$ . ∎

Kiri: interferometer Michelson — pembelah, keping pengimbang, dua cermin, satu berkas yang tergabung kembali ke arah pengamatnya. Kanan: lapisan udara setara antara M_2 dan citra M_1' dari M_1, yang sejajar (cincin) atau miring (rumbai lurus). — Kiri: interferometer Michelson — pembelah, keping pengimbang, dua cermin, satu berkas yang tergabung kembali ke arah pengamatnya. Kanan: lapisan udara setara antara $M_2$ dan citra $M_1'$ dari $M_1$ , yang sejajar (cincin) atau miring (rumbai lurus).

20.2 Kedua sistem rumbainya

Proposisi 20.3 (Cincin keping udara)

Dengan $M_1' \parallel M_2$ dan sebuah sumber luas, pengamatnya (atau sebuah lensa berjarak fokus $f$ dan sebuah layar pada bidang fokusnya) melihat cincin sepusat; cincin pada sudut $i$ mempunyai orde $p = 2e\cos i/\lambda$ ; cincinnya terang di tempat $p$ bulat. Pusatnya berorde tertinggi, $p_0 = 2e/\lambda$ ; dekat pusatnya, $\cos i \approx 1 - i^2/2$ , sehingga cincin terang ke- $k$ dari pusatnya (dihitung dari yang pertama, pada $\varepsilon = p_0 - \lfloor p_0\rfloor$ di bawah orde pusatnya) berjari-jari

r_k = f\,i_k = f\sqrt{\frac{(k - 1 + \varepsilon)\lambda}e} :

cincinnya lebih rapat bagi $e$ yang lebih besar (lebih banyak cincin yang lebih tipis), lalu merenggang ketika $e \to 0$ sampai, pada sentuhannya, menjadi satu medan yang seragam. Menggeser sebuah cermin sebesar $\lambda/2$ mengubah $p_0$ sebesar satu: sebuah cincin lahir di (atau ditelan) pusatnya bagi tiap setengah panjang gelombang geseran.

Bukti. $\delta = 2e\cos i$ bagi keping sejajarnya (Bab 19, $n = 1$ , tanpa $\lambda/2$ tambahan bagi dua pemantulan logam); $2e(1 - i^2/2) = (p_0 - k + 1 - \varepsilon)\lambda$ dengan $2e = p_0\lambda$ memberi $ei^2 = (k - 1 + \varepsilon)\lambda$ . ∎

Proposisi 20.4 (Rumbai baji udara)

Dengan $M_1'$ yang dimiringkan sebesar sudut kecil $\alpha$ dan datang hampir tegak lurus, beda lintasan di titik cerminnya pada jarak $x$ dari garis sentuhnya adalah $\delta = 2\alpha x$ : rumbai lurus yang sejajar garis itu, berjarak $\lambda/2\alpha$ , yang terlokalkan pada cerminnya (rumbainya dipandang dengan memfokus pada $M_2$ , atau diproyeksikan pada sebuah layar dengan lensa yang menyekawankan $M_2$ dan layarnya). Rumbai orde nolnya terletak pada garis sentuhnya, yang sama bagi setiap panjang gelombang: dengan cahaya putih ia putih (atau hitam, menurut fase pembelahnya), yang diapit beberapa rumbai berwarna — yaitu tanda tangan yang dengannya sentuhannya ditemukan.

Bukti. Rumbai ketebalan sama sebuah baji udara, $e(x) = \alpha x$ . Pelokalannya: bagi sebuah sumber luas sinar yang menembus sebuah titik tertentu bajinya bergabung kembali di sana, dengan $\delta$ yang sama pada datang hampir tegak lurus. ∎

Kedua sistem rumbai Michelsonnya, dan kontras rumbai dublet natriumnya terhadap tebal kepingnya: ia lenyap tiap 0.29\, mm (pertama pada 0.145\, mm), ketika rumbai kedua garisnya berlawanan. — Kedua sistem rumbai Michelsonnya, dan kontras rumbai dublet natriumnya terhadap tebal kepingnya: ia lenyap tiap $0.29\,\mathrm{mm}$ (pertama pada $0.145\,\mathrm{mm}$ ), ketika rumbai kedua garisnya berlawanan.

20.3 Mengukur dengan Michelson

Proposisi 20.5 (Panjang, indeks, spektrum)

Mencacah $N$ rumbai yang melewati pusatnya sementara sebuah cermin bergerak sebesar $\Delta e$ memberi $\Delta e = N\lambda/2$ : panjang dalam panjang gelombang (sebuah sekrup mikrometer yang tertera sampai $0.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; meter itu sendiri diukur begitu). Sebuah keping bening setebal $\ell$ dan berindeks $n$ yang disisipkan pada satu lengan menambahkan $2(n - 1)\ell$ pada $\delta$ lalu menggeser polanya sebesar $2(n - 1)\ell/\lambda$ rumbai: yaitu indeksnya (dan perubahannya dengan tekanan atau suhu, dalam sebuah sel gas). Dengan sebuah dublet berpanjang gelombang $\lambda$ dan $\lambda + \Delta\lambda$ , kedua sistem rumbainya kehilangan langkah lalu selaras lagi ketika $e$ membesar, dengan kontrasnya lenyap tiap

\Delta e = \frac{\lambda^2}{2\Delta\lambda} :

yaitu pembelahan garis yang berdekatan. Secara lebih umum kontras sebagai fungsi $e$ memetakan spektrum sumbernya (kontrasnya meluruh sepanjang $e \sim \ell_c/2$ ): merekam intensitas di pusatnya sementara $e$ memindai adalah spektroskopi transformasi Fourier, yaitu metode spektrometer inframerah.

Bukti. Orde di pusatnya adalah $2e/\lambda$ ; tiap garisnya mempunyai ordenya sendiri. Kedua sistemnya berimpit lagi ketika $2e/\lambda - 2e/(\lambda + \Delta\lambda) = 1$ , yakni $2e\Delta\lambda /\lambda^2 = 1$ ; keduanya berlawanan di pertengahannya. Pernyataan umumnya adalah rumus kontras Latihan 18.10. ∎

Contoh 20.6 (Natrium, dan meter)

Dublet natriumnya ( $\Delta\lambda = 0.6\,\mathrm{nm}$ pada $589\,\mathrm{nm}$ ): cincinnya kabur lalu menajam tiap $\Delta e = 589^2/(2 \times 0.6)$ nm $= 0.29\,\mathrm{mm}$ — sebuah pengukuran klasik $\Delta\lambda$ sampai beberapa persen dengan sebuah sekrup. Michelson (1892) mencacah rumbai garis merah kadmium sepanjang meter bakunya: $1\,553\,163.5$ panjang gelombang, tautan pertama antara meter dan sebuah atom; kini meter didefinisikan lewat $c$ dan sekon, dan interferometer memeriksa balok ukur dalam produksi sampai nanometer.

Intensitas di pusat cincinnya ketika tebal kepingnya membesar, bagi sebuah sumber yang panjang koherensinya berhingga: rumbainya memudar sepanjang e _c/2; selubungnya adalah transformasi Fourier spektrumnya. — Intensitas di pusat cincinnya ketika tebal kepingnya membesar, bagi sebuah sumber yang panjang koherensinya berhingga: rumbainya memudar sepanjang $e \sim \ell_c/2$ ; selubungnya adalah transformasi Fourier spektrumnya.

Catatan 20.7 (Lengan yang tak mengukur apa pun, dan yang mengukur sebuah gelombang)

Michelson dan Morley mengharapkan kelajuan Bumi $v$ menembus eter mengubah waktu pulang pergi sepanjang lengan yang sejajar dengannya sebesar $(L/c)(v/c)^2$ relatif terhadap lengan yang tegak lurus, yaitu geseran rumbai sebesar $2L(v/c)^2/\lambda \approx 0.4$ rumbai bagi $L = 11\,\mathrm{m}$ dan $v = 30\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; memutar radasnya seharusnya mengayunkan polanya sebesar itu. Mereka dapat melihat $0.01$ rumbai; mereka tak melihat apa pun. Detektor gelombang gravitasi masa kini adalah Michelson berlengan $4\,\mathrm{km}$ , dengan cahaya yang memantul-mantul sekitar tiga ratus kali di tiap lengannya, dan sebuah laser yang cukup mantap untuk membaca perubahan panjang lengan $\Delta L/L \sim 10^{-21}$ — $10^{-18}$ m, seperseribu sebuah proton — terhadap derau gerak seismik dan derau foton itu sendiri.

Metode 20.8 (Memakai sebuah Michelson)

(1) Kenalilah tatanannya: keping sejajar (cincin di tak hingga; amatilah dengan sebuah lensa atau mata di tak hingga) atau baji (rumbai pada cerminnya; fokuslah pada $M_2$ ). (2) Tuliskanlah $\delta = 2e\cos i$ atau $2\alpha x$ dan ordenya. (3) Terjemahkanlah tiap pengukurannya menjadi rumbai: $\Delta e = N\lambda/2$ , $2(n - 1)\ell$ bagi sebuah keping, $\lambda^2/2\Delta\lambda$ bagi sebuah dublet. (4) Pakailah kedudukan sentuhnya ( $e = 0$ , rumbai putih) sebagai acuan mutlaknya; perhatikanlah bahwa jari-jari cincinnya menyusut ketika $e$ membesar. (5) Batas koherensinya: cincinnya tampak selama $2e < \ell_c$ ; bajinya menuntut datang hampir tegak lurus.

20.4 Latihan

Latihan 20.1 ★

Sebuah Michelson dalam cahaya natrium ( $\lambda = 589\,\mathrm{nm}$ ): cerminnya digeser sebesar $0.10\,\mathrm{mm}$ : tentukanlah jumlah cincin yang melewati pusatnya; geseran yang bersesuaian dengan $250$ rumbai; ketelitian pada $e$ jika sepersepuluh rumbai dapat dibaca.

Solusi

Solusi Latihan 20.1.

$N = 2\Delta e/\lambda = 340$ ; $250$ rumbai: $\Delta e = 125\lambda = 74\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; sepersepuluh rumbai adalah $\lambda/20 = 30\,\mathrm{nm}$ .

Latihan 20.2 ★

Keping sejajar setebal $e = 0.50\,\mathrm{mm}$ , lensa $f = 1.0\,\mathrm{m}$ , $\lambda = 589\,\mathrm{nm}$ : tentukanlah orde di pusatnya; terangkah pusatnya? Jari-jari ketiga cincin terang pertamanya; apa yang terjadi pada cincinnya ketika $e$ dikurangi menjadi $0.05\,\mathrm{mm}$ ?

Solusi

Solusi Latihan 20.2.

$p_0 = 2e/\lambda = 1697.8$ : bukan bilangan bulat, pusatnya tidak terang ( $\varepsilon = 0.8$ ). $r_k = f\sqrt{(k - 1 + \varepsilon)\lambda/e}$ : $3.1$ , $4.6$ , $5.7\,\mathrm{cm}$ . Pada $0.05\,\mathrm{mm}$ jari-jarinya tumbuh sebesar $\sqrt{10}$ : cincin yang sedikit dan lebar.

Latihan 20.3 ★

Baji udara dengan $\alpha = 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ , $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$ : tentukanlah jarak rumbainya; jumlah rumbai di seluruh $2\,\mathrm{cm}$ cerminnya; sudut bajinya dilipatduakan: apa yang terjadi? Bagaimana sentuhannya ditemukan dengan cahaya putih?

Solusi

Solusi Latihan 20.3.

$\lambda/2\alpha = 3.2\,\mathrm{mm}$ ; enam rumbai di seluruh $2\,\mathrm{cm}$ ; melipatduakan $\alpha$ memperpendek jaraknya menjadi separuh. Sentuhannya: geserlah cerminnya sampai rumbai cahaya putihnya (satu yang putih diapit yang berwarna) muncul — rumbainya hanya ada di dalam semikrometer dari $\delta = 0$ .

Latihan 20.4 ★

Sebuah keping kaca setebal $0.10\,\mathrm{mm}$ disisipkan pada satu lengannya: tentukanlah geseran rumbainya bagi $n = 1.52$ pada $589\,\mathrm{nm}$ ; geserannya terukur sampai $0.2$ rumbai: berapa ketelitian pada $n$ . Mengapa pengukuran yang sama tak dapat dilakukan dengan cahaya putih jika kepingnya setebal $1\,\mathrm{cm}$ ?

Solusi

Solusi Latihan 20.4.

$2(n - 1)e/\lambda = 177$ rumbai; $0.2$ rumbai memberi $\Delta n = 0.2\lambda/2e = 6 \times 10^{-4}\,$ . Sesentimeter kaca menambahkan bermilimeter lintasan yang dispersif: warnanya tak lagi selaras di mana pun, tak ada rumbai putih.

Latihan 20.5 ★★

Dublet natrium. (a) Tentukanlah tebal $e$ antara dua kali lenyapnya cincin yang berturut-turut, bagi $\Delta\lambda = 0.597\,\mathrm{nm}$ . (b) Seorang mahasiswa mengukur $17$ kali lenyap sepanjang $5.00\,\mathrm{mm}$ : berapa $\Delta\lambda$ dan ketelitiannya. (c) Orde kedua garisnya di $e = 0.29\,\mathrm{mm}$ : periksalah bahwa keduanya berselisih $\tfrac12$ . (d) Mengapa kontrasnya tak pernah tepat nol (kedua garisnya berintensitas dengan nisbah $2 : 1$ ): berapa kontras minimumnya.

Solusi

Solusi Latihan 20.5.

(a) $\lambda^2/2\Delta\lambda = 0.291\,\mathrm{mm}$ . (b) $5.00/17 = 0.294\,\mathrm{mm}$ : $\Delta\lambda = \lambda^2/2\Delta e = 0.590\,\mathrm{nm}$ ; $0.1\%$ : $\pm0.0006\,\mathrm{nm}$ . (c) Di $e = 0.145\,\mathrm{mm}$ (kali lenyap yang pertama): $p_1 = 492.4$ , $p_2 = 491.9$ — terpisah setengah orde; di $0.29\,\mathrm{mm}$ keduanya berselisih satu. (d) Rumbai yang lebih lemah bertahan: $V_{\min} = (I_1 - I_2)/(I_1 + I_2) = 1/3$ .

Latihan 20.6 ★★

Indeks udara. Sebuah sel $10.0\,\mathrm{cm}$ pada satu lengannya dihampakan, lalu diisi udara perlahan pada $1\,\mathrm{bar}$ ; $94$ rumbai lewat ( $\lambda = 589\,\mathrm{nm}$ ). (a) Tentukanlah $n - 1$ bagi udaranya. (b) Rumbai yang lewat bagi perubahan tekanan $1\,\%$ ; koefisien suhunya jika $n - 1 \propto \rho$ . (c) Mengapa ini berarti bagi kemantapan interferometer mana pun dalam udara? (d) Ketelitian pada $n - 1$ dari sepersepuluh rumbai.

Solusi

Solusi Latihan 20.6.

(a) $2(n - 1)\ell = 94\lambda$ : $n - 1 = 2.77 \times 10^{-4}\,$ . (b) $0.94$ rumbai tiap persen; $\dd(n - 1)/\dd T = -(n - 1)/T = -9.5 \times 10^{-7}\,\mathrm{K}^{-1}$ . (c) Beberapa milibar atau satu derajat pada satu lengannya menggeser rumbainya: dari situlah hampa atau lengan yang sama. (d) $0.1/94$ : $\pm3 \times 10^{-7}\,$ .

Latihan 20.7 ★★

Panjang koherensi. Dengan lampu raksa bertekanan rendah (garis hijau, $546\,\mathrm{nm}$ , berlebar $0.01\,\mathrm{nm}$ ) cincinnya memudar ketika $e$ membesar. (a) Tentukanlah panjang koherensinya; tebal $e$ yang padanya kontrasnya menjadi dapat diabaikan. (b) Hal yang sama dengan lampu bertekanan tinggi ( $\Delta\lambda = 1\,\mathrm{nm}$ ). (c) Dengan sebuah laser He–Ne ( $\Delta\nu = 1\,\mathrm{MHz}$ ): masih dapatkah cincinnya terlihat dengan $e = 10\,\mathrm{m}$ ? (d) Apa yang membatasi rumbai cahaya putih sampai $\pm2$ orde di sekitar sentuhannya?

Solusi

Solusi Latihan 20.7.

(a) $\ell_c = \lambda^2/\Delta\lambda = 3\,\mathrm{cm}$ : cincinnya memudar di luar $e \approx 1.5\,\mathrm{cm}$ . (b) $0.3\,\mathrm{mm}$ , $e \approx 0.15\,\mathrm{mm}$ . (c) $\ell_c = 300\,\mathrm{m}$ : ya. (d) $\ell_c \approx 1\,\text{µ}\mathrm{m}$ : $2e < 1\,\text{µ}\mathrm{m}$ , sepasang orde.

Latihan 20.8 ★★

Keping pengimbang. Tanpa $C$ , satu berkasnya menyeberangi kaca pembelahnya ( $e_g = 5\,\mathrm{mm}$ , $n = 1.52$ ) tiga kali dan satunya sekali. (a) Tentukanlah lintasan optik tambahannya; dapatkah ia diimbangi dengan menggeser sebuah cermin bagi cahaya monokromatik? (b) Mengapa tidak bagi cahaya putih (dispersinya: $n$ berubah sebesar $0.01$ di seluruh cahaya tampak)? (c) Toleransi berapa pada kesejajaran $C$ dan $Sp$ yang menjaga rumbai putihnya (ambillah beda tebal sisanya $< 0.3\,\text{µ}\mathrm{m}$ )? (d) Pembelah modern berupa pelikel tipis atau kubus: mengapa $C$ lalu tak diperlukan?

Solusi

Solusi Latihan 20.8.

(a) $2(n - 1)e_g = 5.2\,\mathrm{mm}$ ; ya, lewat $2.6\,\mathrm{mm}$ geseran cermin. (b) Lintasan kacanya berubah dengan $\lambda$ sebesar $2e_g\Delta n = 100\,\text{µ}\mathrm{m} \gg \ell_c$ : tak ada nol yang bebas panjang gelombang. (c) $2(n - 1)\Delta e_g < 0.3\,\text{µ}\mathrm{m}$ : $\Delta e_g < 0.3\,\text{µ}\mathrm{m}$ — yaitu kemiringan nisbi di bawah $1.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}$ sepanjang $2\,\mathrm{cm}$ . (d) Sebuah pelikel tebalnya bermikrometer; sebuah kubus setangkup: kedua berkasnya melihat kaca yang sama.

Latihan 20.9 ★★

Michelson–Morley. Lengan sepanjang $L = 11\,\mathrm{m}$ (dilipat), $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$ , kelajuan orbit Bumi $v = 30\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . (a) Dalam teori eternya perjalanan pulang pergi sepanjang lengan yang sejajar $\vect v$ memakan $2L/c(1 - v^2/c^2)$ dan yang tegak lurus $2L/c\sqrt{1 - v^2/c^2}$ : tentukanlah selisihnya, sampai orde terendah. (b) Geseran rumbai yang diharapkan ketika radasnya diputar $90{}^{\circ}$ (peran lengannya bertukar). (c) Mereka dapat mendeteksi $0.01$ rumbai: berapa batas atas $v$ . (d) Apa yang dikatakan sebuah hasil nol, dan apa yang disimpulkan Einstein?

Solusi

Solusi Latihan 20.9.

(a) $\Delta t \approx Lv^2/c^3 = 4.1 \times 10^{-15}\,\mathrm{s}$ , yaitu lintasan $1.2\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (b) Menukar lengannya melipatduakannya: $2Lv^2/c^2\lambda = 0.4$ rumbai. (c) $v < 30\sqrt{0.01/0.4} = 4.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . (d) Tak terlihat gerak menembus sebuah eter; kelajuan cahaya sama sepanjang kedua lengannya — yaitu postulat relativitas.

Latihan 20.10 ★★★

Spektroskopi Fourier. Intensitas di pusat cincinnya adalah $I(e) = \int S(\nu)[1 + \cos(4\pi\nu e/c)]\dd\nu$ bagi sumber berspektrum $S(\nu)$ . (a) Bagi satu garis tunggal: tentukanlah $I(e)$ ; periodenya dalam $e$ . (b) Bagi sebuah garis Gauss berlebar $\Delta\nu$ : tunjukkanlah bahwa rumbainya berselubung Gauss berlebar $\sim c/2\Delta\nu$ dalam $e$ (terimalah bahwa transformasi Fourier sebuah Gauss adalah Gauss). (c) Resolusinya: dua garis yang terpisah $\Delta\nu$ terpisahkan jika pemindaiannya mencapai $e_{\max} \approx c/2\Delta\nu$ ; bagi $e_{\max} = 10\,\mathrm{cm}$ , berapa daya urainya $\lambda/\Delta\lambda$ pada $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (d) Mengapa metode ini lebih disukai dalam inframerah (sinyal, keunggulan “multipleks”)?

Solusi

Solusi Latihan 20.10.

(a) $I = S_0[1 + \cos(4\pi\nu_0e/c)]$ , periodenya $\lambda/2$ dalam $e$ . (b) Tiap frekuensi memberi sebuah rumbai berperiode sedikit berbeda; sebuah pita Gauss berlebar $\Delta\nu$ menjumlah menjadi rumbai berselubung Gauss berlebar $\sim c/2\Delta\nu$ . (c) $R = \nu/\Delta\nu = 2e_{\max}/\lambda = 2 \times 10^5$ . (d) Semua panjang gelombangnya jatuh pada satu detektor sekaligus (Fellgett) lewat apertur yang lebar (Jacquinot): jauh lebih banyak sinyal daripada spektrometer bercelah dalam inframerah yang miskin foton.

Latihan 20.11 ★★★

Detektor gelombang gravitasi. Lengan $L = 4\,\mathrm{km}$ , cahayanya didaur ulang menjadi $N = 300$ perjalanan pulang pergi, $\lambda = 1064\,\mathrm{nm}$ , gelombangnya mengubah lengannya sebesar $\Delta L/L = 10^{-21}$ dalam arah berlawanan. (a) Tentukanlah perubahan beda lintasannya; geseran fasenya. (b) Instrumennya ditahan pada sebuah rumbai gelap lalu mengukur intensitas kecilnya $I = I_0\sin^2(\Delta\varphi/2)$ : berapa perubahan intensitas bagi sinyalnya. (c) Dengan $100\,\mathrm{W}$ cahaya yang beredar pada $1064\,\mathrm{nm}$ , tentukanlah foton tiap sekonnya; derau fotonnya dalam $1\,\mathrm{ms}$ ( $\sqrt N$ ) terhadap sinyalnya: terdeteksikah ia? Apa yang dibeli daya yang lebih besar? (d) Mengapa lengannya berkilometer, dan mengapa cerminnya digantung?

Solusi

Solusi Latihan 20.11.

(a) Lintasan tiap lengannya berubah sebesar $2N\Delta L$ , dalam arah berlawanan: $\Delta\delta = 4N\Delta L = 4.8 \times 10^{-15}\,\mathrm{m}$ , $\Delta\varphi = 2\pi\Delta\delta/\lambda = 2.8 \times 10^{-8}\,\mathrm{rad}$ . (b) Dekat sebuah rumbai gelap detektornya melihat intensitas yang sebanding dengan $\Delta\varphi^2$ — atau, dengan sedikit ofset, dengan $\Delta\varphi$ : yaitu perubahan nisbi berorde $10^{-8}$ . (c) $5 \times 10^{20}$ foton tiap sekon, $5 \times 10^{17}$ tiap milisekon, deraunya nisbi $1.4 \times 10^{-9}$ : sinyalnya dua puluh kali deraunya; daya yang lebih besar menurunkan deraunya sebagai $1/\sqrt P$ . (d) $\Delta L \propto L$ ; gantungan bandulnya menapis gerak tanahnya di atas resonansinya.

Latihan 20.12 ★★★

Pelokalan. (a) Tunjukkanlah bahwa bagi bajinya kedua sinar yang meninggalkan sebuah titik $P$ pada $M_2$ menuju seorang pengamat di tak hingga (datang $i$ ) mempunyai beda lintasan $2e(P)\cos i$ ditambah suku $\propto\alpha i$ yang lenyap bagi $i = 0$ : rumbainya berada pada cerminnya hanya pada datang tegak lurus. (b) Sebuah sumber luas menyinari bajinya dengan datang sampai $i_{\max}$ : apa yang harus dipenuhi $i_{\max}$ agar rumbainya tetap tajam ( $2e\,i_{\max}^2/2 < \lambda/4$ di tepi medannya, $e = 20\,\text{µ}\mathrm{m}$ )? (c) Bagi keping sejajarnya cincinnya tak beranjak ketika matanya bergerak: mengapa? (d) Seorang mahasiswa melihat rumbai yang hanyut ketika ia menggerakkan kepalanya: dalam tatanan yang mana ia berada, dan apa yang harus ia setel?

Solusi

Solusi Latihan 20.12.

(a) Bagi sebuah titik $P$ pada kedalaman $e(P)$ dan datang $i$ , $\delta = 2e(P)\cos i$ ditambah sebuah suku $\propto\alpha i$ dari pemantulan kedua yang miring, yang lenyap pada datang tegak lurus: hanya di sanalah kedua sinar dari $P$ mencapai matanya — pelokalan pada cerminnya. (b) $ei^2 < \lambda/4$ : $i_{\max} < \sqrt{\lambda/4e} = 0.09\,\mathrm{rad}$ . (c) Cincinnya hanya bergantung pada $i$ : kedudukan mata mana pun melihat pola sudut yang sama. (d) Bajinya dipandang di luar cerminnya; fokuslah pada $M_2$ atau kurangilah kemiringannya.

Sebuah interferometer Michelson pada bangku pengajaran: laser, kubus pembelah, dua cermin, dan pada layarnya cincin kemiringan sama keping udaranya.

Interferometer LIGO di Hanford: sebuah interferometer Michelson berlengan empat kilometer, yang pada 2015 merekam perubahan panjang lengan sebesar seperseribu diameter sebuah proton — yaitu lewatnya sebuah gelombang gravitasi (LIGO Laboratory).

20.5 Soal: Dublet natrium dan indeks udara

Soal 20.1

Soal akhir pekan — sebuah sesi pengukuran lengkap pada sebuah interferometer Michelson: menemukan sentuhan, membaca panjang, membelah garis kuningnya, menimbang udaranya

Interferometernya mempunyai sebuah sekrup mikrometer yang terbaca sampai $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; lampu natriumnya memberi $\lambda_1 = 589.0\,\mathrm{nm}$ dan $\lambda_2 = 589.6\,\mathrm{nm}$ dengan intensitas $2 : 1$ ; sebuah lampu putih dan sebuah laser He–Ne ( $632.8\,\mathrm{nm}$ ) juga tersedia.

Bagian I — Menyiapkannya.

Dengan lasernya, mahasiswanya melihat dua bintik dari kedua lengannya pada sebuah kartu; ia menumpangkannya dengan sekrup kemiringannya lalu melihat rumbai lurus: tatanan yang mana ini, dan apa yang dikatakan jaraknya tentang kemiringan sisanya (jaraknya $2\,\mathrm{mm}$ )?
Dengan memutar sekrup kemiringannya, rumbainya melengkung lalu menjadi cincin: mengapa cincinnya muncul, dan di mana $M_1'$ sekarang?
Ia menggeser cerminnya lalu mencacah $158$ cincin yang ditelan pusatnya: berapa geserannya; ke arah mana $e$ berubah?
Ketika ia melanjutkannya, cincinnya merenggang dan bintik pusatnya membesar sampai memenuhi medannya: apa yang telah ia capai? Lampu natriumnya menggantikan lasernya dan ia tak melihat apa pun yang istimewa: mengapa tidak, dan mengapa cahaya putih menunjukkan sebuah rumbai pusat yang terang yang diapit rumbai berwarna di titik itu?
Ia memiringkan $M_1$ sangat sedikit pada sentuhannya lalu melihat, dalam cahaya putih, rumbai berwarna yang lurus: jelaskanlah, lalu katakanlah berapa banyak yang dapat ia harapkan di tiap sisi rumbai putihnya.
Bintik lasernya selebar $10\,\mathrm{mm}$ dan ia menginginkan sepuluh cincin dalam medan sebuah lensa ber- $f = 20\,\mathrm{cm}$ ( $\lambda = 632.8\,\mathrm{nm}$ ): tebal $e$ yang diperlukan (pakailah jari-jari cincin ke- $k$ ).
Mengapa keping pengimbangnya harus sejajar dengan pembelahnya, dan apa yang akan ia lihat dalam cahaya putih jika keping itu disingkirkan?

Bagian II — Dubletnya.

Beranjak dari sentuhannya dengan lampu natriumnya, ia menaikkan $e$ : kontras cincinnya turun, lenyap, lalu kembali. Tebal pada kali lenyap yang pertama; pada yang ke- $n$ .
Ia merekam $12$ kali lenyap antara $e = 0.15\,\mathrm{mm}$ dan $e = 3.35\,\mathrm{mm}$ (yang pertama dan terakhir terbaca pada sekrupnya): berapa $\Delta\lambda$ ; ketelitiannya jika tiap pembacaannya baik sampai $5\,\text{µ}\mathrm{m}$ .
Orde $p_1$ dan $p_2$ kedua garisnya pada kali lenyap yang pertama; pada kembalinya kontras penuh yang pertama.
Kontras minimum pada sebuah kali lenyap, mengingat nisbah intensitas $2 : 1$ itu (rumbai garis yang lebih lemah tetap tinggal).
Berapa kali lenyap yang dapat ia cacah sebelum lebar alami garisnya ( $0.02\,\mathrm{nm}$ masing-masing) menghapus segalanya?
Apa yang akan ditunjukkan sebuah lampu dengan tiga garis berjarak sama?

Bagian III — Udaranya. Sebuah sel sepanjang $\ell = 5.00\,\mathrm{cm}$ berjendela kaca ditaruh pada satu lengannya lalu dipompa turun; udaranya dimasukkan perlahan sementara rumbai lasernya dicacah.

Beda lintasan optik yang tercipta oleh mengisi selnya sampai $1\,\mathrm{atm}$ jika $n - 1 = 2.9 \times 10^{-4}\,$ ; berapa jumlah rumbainya.
Ia mencacah $46$ rumbai: berapa nilai $n - 1$ miliknya.
Ia hanya memasukkan $0.20\,\mathrm{bar}$ : berapa rumbai yang diharapkan ( $n - 1 \propto$ tekanan).
Ruangannya menghangat sebesar $3\,\mathrm{K}$ selama pengukurannya, dan $40\,\mathrm{cm}$ lintasan udara terbuka di tiap lengannya berubah indeks sebesar $-1 \times 10^{-6}\,$ tiap kelvin: berapa hanyutan rumbainya; masalahkah ia bagi Bagian II, bagi Bagian III?
Mengapa jendela selnya tak menggeser pengukurannya (jendelanya ada di sana selama seluruh pencacahannya)?
Percobaannya diulangi dengan CO $_2$ ( $n - 1 = 4.5 \times 10^{-4}\,$ ): berapa rumbainya bagi sel yang penuh; bagaimana gasnya dapat dikenali dari cacahnya saja?

Bagian IV — Batasnya.

Sekrupnya terbaca sampai $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ : berapa ketelitian sebuah panjang yang diukur lewat pencacahan rumbai sepanjang $1\,\mathrm{cm}$ , melawan lewat sekrupnya saja.
Sebuah getaran beramplitudo $50\,\mathrm{nm}$ pada $100\,\mathrm{Hz}$ mengguncang satu cerminnya: berapa gerak rumbainya; apa yang dilihat mata, apa yang dilihat sebuah kamera pada $25$ bingkai tiap sekon?
Frekuensi lasernya hanyut sebesar $1 \times 10^{-8}\,$ dalam nilai nisbi selama sebuah pencacahan sepanjang $e = 1\,\mathrm{cm}$ : berapa galatnya dalam rumbai.
Sebuah balok ukur $10\,\mathrm{mm}$ disertifikasi sampai $\lambda/20$ lewat interferometri: berapa ketelitian mutlak dan nisbinya.
Mengapa Michelson merupakan instrumen pilihan bagi panjang, dan kisi (bab berikutnya) bagi spektrum?
Ringkaslah keempat besaran yang terukur (sebuah panjang, sebuah pembelahan dublet, sebuah indeks, sebuah panjang koherensi) dan pengamatan rumbai yang memberi masing-masingnya.

Solusi

Solusi Soal 20.1.

1. Rumbai baji; $\lambda/2\alpha = 2\,\mathrm{mm}$ : $\alpha = 1.6 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ .

2. $M_1'$ telah menjadi sejajar dengan $M_2$ : yaitu keping udaranya, yang rumbai kemiringan samanya berupa cincin.

3. $158\lambda/2 = 50\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; cincinnya ditelan di pusatnya: $e$ menurun.

4. Sentuhannya, $e = 0$ . Cahaya natrium tak mempunyai ciri di sana (satu panjang gelombang, medan yang seragam bagaimanapun); cahaya putih menunjukkan satu kedudukan yang di sana setiap warna ber- $\delta = 0$ , yang diapit warna ketika ordenya memisah.

5. $\delta = 2\alpha x$ : sebuah rumbai putih pada garis sentuhnya dan satu atau dua yang berwarna di tiap sisinya ( $2\alpha x < \ell_c \approx 1\,\text{µ}\mathrm{m}$ ).

6. $r_{10} = f\sqrt{10\lambda/e} = 5\,\mathrm{mm}$ : $e = 10\lambda f^2/r^2 = 1.0\,\mathrm{cm}$ .

7. Sejajar, kedua berkasnya menyeberangi kaca yang sama pada setiap panjang gelombang; tanpa $C$ , dispersi $5\,\mathrm{mm}$ kacanya tak menyisakan nol bersama: tak ada rumbai putih.

8. $\lambda^2/4\Delta\lambda = 0.145\,\mathrm{mm}$ ; lalu tiap $\lambda^2/2\Delta\lambda = 0.291\,\mathrm{mm}$ .

9. $11$ selang sepanjang $3.20\,\mathrm{mm}$ : $0.291\,\mathrm{mm}$ , $\Delta\lambda = 0.597\,\mathrm{nm}$ ; $\pm10\,\text{µ}\mathrm{m}$ pada $3.2\,\mathrm{mm}$ : $\pm0.002\,\mathrm{nm}$ .

10. $492.4$ dan $491.9$ (terpisah setengah orde); pada kembalinya, $984.7$ dan $983.7$ .

11. $1/3$ .

12. $\ell_c = \lambda^2/\Delta\lambda = 1.7\,\mathrm{cm}$ : $2e < 1.7\,\mathrm{cm}$ , sekitar $29$ .

13. Tiga sistem rumbai: kontras penuh tiap $\lambda^2/2\Delta\lambda$ , dengan dua lekuk sebagian di antaranya — yaitu pola tiga celah.

14. $2(n - 1)\ell = 29\,\text{µ}\mathrm{m}$ : $46$ rumbai.

15. $n - 1 = 46\lambda/2\ell = 2.91 \times 10^{-4}\,$ .

16. $9.2$ rumbai.

17. Lengan yang sama: hanyutannya bersama bagi keduanya lalu meniadakan; sebuah ketaksamaan $1\,\mathrm{cm}$ memberi $2 \times 0.01 \times 3 \times 10^{-6} = 0.1\,\mathrm{rumbai}$ — tak berbahaya bagi kedua bagiannya.

18. Jendelanya hadir, tak berubah, sepanjang pencacahannya: sebuah ofset yang tetap.

19. $71$ rumbai; cacahnya memberi $n - 1$ , yaitu tanda tangan gasnya.

20. $31\,600$ rumbai sepanjang sesentimeter, terbaca sampai sepersepuluh: $30\,\mathrm{nm}$ , $3 \times 10^{-6}$ ; sekrupnya memberi semikrometer.

21. $\delta$ berayun sebesar $\pm100\,\mathrm{nm}$ , $\pm0.16$ rumbai pada $100\,\mathrm{Hz}$ : matanya melihat kontras yang menurun; pada $25$ bingkai tiap sekon kameranya mencuplik empat periode tiap bingkai lalu melihat pola yang membeku atau melayang perlahan.

22. $10^{-8} \times 31\,600 = 3 \times 10^{-4}$ rumbai: tak ada apa pun.

23. $\lambda/20 = 32\,\mathrm{nm}$ pada $10\,\mathrm{mm}$ : $3 \times 10^{-6}$ .

24. Ia membandingkan sebuah panjang langsung dengan sebuah panjang gelombang, rumbai demi rumbai; kisinya menyebarkan semua panjang gelombangnya sekaligus pada jangkauan yang lebar.

25. Panjang: cincin yang dicacah di pusatnya. Dublet: hilangnya kontras yang berkala. Indeks: rumbai yang lewat sementara selnya terisi. Panjang koherensi: tebal yang padanya cincinnya memudar.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Interferometer Michelson

Lihat semua 393 istilah di glosarium