Fisika Universitas — Tahun 2 · Bachelor Year 2

18Model Skalar Cahaya

Sorotkanlah dua senter ke dinding yang sama dan bercaknya sekadar dua kali lebih terang; sorotkanlah dua berkas dari satu laser ke sana dan bercaknya pecah menjadi rumbai terang dan gelap. Senternya menjumlahkan intensitasnya, berkas lasernya menjumlahkan amplitudonya — dan setiap interferometer, hologram dan kisi difraksi bab yang akan datang bersandar pada pengetahuan kapan cahaya melakukan yang mana. Bab ini menyiapkan perkakasnya: cahaya sebagai gelombang skalar berfase, lintasan optik yang mengukur fase itu sepanjang sebuah sinar, cara sebuah sumber memancar — ringkasnya deret gelombang yang panjang koherensi-nya memutuskan dapat tidaknya dua gelombang berinterferensi — dan cara sebuah detektor merekamnya: sebuah rerata sepanjang bermiliar periode yang hanya menyimpan intensitasnya.

18.1 Cahaya sebagai gelombang skalar

Definisi 18.1 (Model skalar; gelombang monokromatik)

Dalam sebagian besar optika gelombang sifat vektor cahaya tak berperan (gelombang yang ditumpangkan berbagi satu polarisasi, atau cahayanya tak terpolarisasi sehingga polarisasinya saling merata): medannya diganti sebuah getaran skalar nyata

s(M, t) = a(M)\cos\bigl(\omega t - \varphi(M)\bigr) ,

dengan amplitudo $a(M)$ dan fase $\varphi(M)$ di tiap titiknya, keduanya berubah lambat pada skala satu panjang gelombang. Gelombang monokromatik mempunyai satu $\omega$ saja: sebuah pengidealan, sebab sumber yang sungguhan memancar pada sebuah pita frekuensi. Cahaya tampak: $\lambda_0$ dari $400$ sampai $750\,\mathrm{nm}$ dalam hampa, $\nu = c/\lambda_0$ dari $7.5 \times 10^{14}$ sampai $4 \times 10^{14}$ Hz, periodenya sekitar $2\,\mathrm{fs}$ .

Definisi 18.2 (Lintasan optik dan fase)

Dalam medium berindeks $n$ gelombangnya berjalan dengan $c/n$ dan panjang gelombangnya adalah $\lambda_0/n$ . Lintasan optik sepanjang sebuah kurva dari $A$ ke $B$ adalah

(AB) = \int_A^Bn\,\dd s ,

dan fase yang dihimpun sebuah gelombang monokromatik yang berjalan sepanjang sebuah sinar dari $A$ ke $B$ adalah

\varphi(B) - \varphi(A) = \frac{2\pi}{\lambda_0}\,(AB) = \omega\,\tau_{AB} ,

dengan $\tau_{AB}$ yaitu waktu tempuhnya. Muka gelombang adalah permukaan berfase sama; dalam medium isotropik sinar optika geometri tegak lurus muka gelombangnya (teorema Malus–Dupin), dan lintasan optik antara dua muka gelombang sama sepanjang setiap sinarnya.

Pembenaran. Fasenya maju sebesar $2\pi$ tiap panjang gelombang setempat $\lambda_0/n$ , yakni sebesar $2\pi n\,\dd s/\lambda_0$ tiap elemen $\dd s$ ; dijumlahkan sepanjang sinarnya. Gelombang $a\cos(\omega t - \varphi)$ adalah penyelesaian persamaan gelombang yang di dalamnya energinya berjalan sepanjang $\operatorname{\vect{grad}}\varphi$ , tegak lurus permukaan $\varphi =$ tetap: itulah sinarnya, dan pernyataan “lintasan optik = sama antara dua muka gelombang” adalah definisi muka gelombang yang dibaca terbalik. Teorema penuhnya (ia bertahan menembus pemantulan dan pembiasan) diterima tanpa bukti. ∎

Contoh 18.3 (Stigmatisme; lensa sebagai keping fase)

Sebuah sumber titik $A$ yang dicitrakan sebuah instrumen sempurna (stigmatik) di $A'$ : semua sinar dari $A$ ke $A'$ mempunyai lintasan optik yang sama — gelombang yang tiba sepanjang setiap sinarnya sefase di $A'$ , itulah sebabnya mereka menumpuk menjadi sebuah titik terang di sana. Bagi lensa tipis berjarak fokus $f$ ini merupakan pernyataan tentang fase: sebuah gelombang bidang yang tiba sepanjang sumbunya harus pergi sebagai gelombang bola yang memusat ke fokusnya $F'$ ; karena sebuah gelombang bola yang berpusat pada jarak $f$ mempunyai, pada jarak $r$ dari sumbunya, fase $2\pi r^2/2\lambda f$ mendahului nilai sesumbunya (hampiran paraksial, $\sqrt{f^2 + r^2} \approx f + r^2/2f$ ), lensanya harus menunda gelombangnya sebesar $\varphi_L(r) = -\pi r^2/\lambda f$ : ia lebih tebal di tengahnya tepat sebesar yang membuat semua lintasan optik ke $F'$ sama. Sebuah lensa adalah keping fase; sebuah hologram atau paparan kristal cair yang memaksakan peta fase yang sama adalah sebuah lensa.

Kiri: sebuah lensa tipis mengubah muka gelombang bidang menjadi bola yang memusat pada fokusnya — semua lintasan optik ke F' sama. Kanan: di dalam kaca panjang gelombangnya menyusut menjadi _0/n dan fasenya maju lebih cepat: lintasan optiknya mencacah panjang geometrinya n kali. — Kiri: sebuah lensa tipis mengubah muka gelombang bidang menjadi bola yang memusat pada fokusnya — semua lintasan optik ke $F'$ sama. Kanan: di dalam kaca panjang gelombangnya menyusut menjadi $\lambda_0/n$ dan fasenya maju lebih cepat: lintasan optiknya mencacah panjang geometrinya $n$ kali.

18.2 Bagaimana cahaya dipancarkan: koherensi

Proposisi 18.4 (Deret gelombang; waktu dan panjang koherensi)

Sebuah sumber klasik (nyala api, lampu, bintang) adalah kumpulan atom yang masing-masingnya memancarkan, pada saat acak dan dengan fase acak, deret gelombang pendek berdurasi $\tau_c$ : getaran yang dihasilkannya di sebuah titik menjaga fase yang mantap hanya sepanjang $\tau_c$ lalu melompat. Sebuah deret berdurasi $\tau_c$ tidak monokromatik: spektrumnya merentangi pita frekuensi $\Delta\nu \approx 1/\tau_c$ (sebuah kebalikan Fourier, diterima tanpa bukti: sinusoid yang berhingga tak dapat berfrekuensi tunggal). Waktu koherensi $\tau_c$ dan panjang koherensi

\ell_c = c\,\tau_c \approx \frac c{\Delta\nu} = \frac{\lambda^2}{\Delta\lambda}

mencirikan sumbernya: cahaya putih $\Delta\lambda \approx 300\,\mathrm{nm}$ , $\ell_c \approx 1\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; sebuah lampu spektrum ( $\Delta\lambda \sim 0.01\,\mathrm{nm}$ ), $\ell_c \sim 3\,\mathrm{cm}$ ; sebuah laser, bermeter sampai berkilometer. Dua gelombang yang diturunkan dari sumber yang sama hanya dapat berinterferensi jika beda lintasannya lebih kecil daripada $\ell_c$ — di luarnya keduanya milik deret yang berbeda, dengan fase yang tak berhubungan.

Bukti. $\ell_c = c/\Delta\nu$ dan $|\Delta\nu/\nu| = |\Delta\lambda/\lambda|$ dengan $\nu = c/\lambda$ memberi $\ell_c = \lambda^2/\Delta\lambda$ . Lebar spektrumnya sendiri mempunyai sebab fisis: lebar alaminya (peredaman radiasi, Bab 17), pelebaran Doppler oleh gerak termal atomnya, tumbukan — masing-masingnya memendekkan deretnya. ∎

Getaran dari sebuah sumber klasik: sebuah rentetan deret gelombang berdurasi _c dengan lompatan fase acak di antaranya; dua salinannya hanya dapat berinterferensi jika tundanya lebih pendek daripada _c. — Getaran dari sebuah sumber klasik: sebuah rentetan deret gelombang berdurasi $\tau_c$ dengan lompatan fase acak di antaranya; dua salinannya hanya dapat berinterferensi jika tundanya lebih pendek daripada $\tau_c$ .

Catatan 18.5 (Dua sumber, satu sumber)

Dua lampu yang berbeda (atau dua atom yang berbeda) memancarkan deret dengan fase acak yang saling bebas: fase nisbinya berubah tiap $\tau_c \sim 1 \times 10^{-9}\,\mathrm{s}$ , sejuta kali lebih cepat daripada tanggapan mata atau kamera mana pun — suku interferensinya rata-ratanya nol dan intensitasnya bertambah. Interferensi menuntut dua gelombang yang mengingat lompatan fase yang sama: dua salinan satu gelombang, yang diperoleh dengan membelahnya (dua celah, dua cermin, kedua muka sebuah selaput) lalu digabungkan kembali dengan tunda yang lebih pendek daripada $\tau_c$ . Sebuah laser, yang deretnya berlangsung bermikrosekon atau lebih, mengendurkan kendala ini secara luar biasa; ia tak pernah menyingkirkannya.

18.3 Detektor dan intensitas

Proposisi 18.6 (Apa yang diukur sebuah detektor)

Setiap detektor cahaya — mata (waktu tanggapnya $\sim0.1\,\mathrm{s}$ ), sebuah selaput foto, sebuah piksel CCD ( $1\,\mathrm{ms}$ ), sebuah fotodioda ( $1\,\mathrm{ns}$ ) — menanggapi pada waktu yang panjang dibandingkan periodenya ( $10^{-15}$ s) lalu menyerahkan intensitas-nya, yaitu rerata waktu kuadrat getarannya,

I = K\,\langle s^2\rangle = \tfrac12K\,a^2 ,

( $K$ sebuah tetapan, sering dibuang; $I$ sebanding dengan iradiansinya dalam $\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ). Aras mutlaknya berarti hanya dalam satu hal: cahaya tiba dalam foton berenergi $h\nu$ , dan sebuah detektor mencacah rata-rata $I/h\nu$ foton tiap satuan luas dan waktu.

Bukti. $\langle\cos^2(\omega t - \varphi)\rangle = \tfrac12$ sepanjang selang mana pun yang jauh lebih panjang daripada $2\pi/\omega$ . Fotonnya: bab terakhir jilid Tahun 1; di sinilah gelombang skalarnya berjumpa dengan kuantum. ∎

Contoh 18.7 (Orde besaran)

Sebuah bola lampu $60\,\mathrm{W}$ yang memancarkan $3\,\mathrm{W}$ cahaya tampak pada $2\,\mathrm{m}$ : $I = 3/4\pi\cdot4 = 60\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$ , $I/h\nu = 1.6 \times 10^{17}$ foton tiap meter persegi tiap sekon, $3 \times 10^{12}$ tiap sekon menembus pupil $5\,\mathrm{mm}$ — dalam $0.1\,\mathrm{s}$ milik matanya tak ada jejak kekasarannya. Bintang paling redup yang dilihat mata mengirimkan $\sim 10^3$ foton tiap sekon ke dalam pupilnya; sebuah sel batang menyala pada segenggam foton. Cahaya matahari: $1\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ , $3 \times 10^{21}$ foton tiap meter persegi tiap sekon.

Skala waktu optika: periode getarannya, durasi deret gelombang sumber klasik dan laser, dan waktu tanggap detektornya — semua detektor merata-ratakan banyak periode, dan banyak deret sebuah lampu.

Catatan 18.8 (Tumpang tindih koheren dan takkoheren)

Dua getaran $a_1\cos(\omega t - \varphi_1)$ dan $a_2\cos(\omega t - \varphi_2)$ di sebuah titik memberi $s = s_1 + s_2$ dan

I = \tfrac12K\bigl[a_1^2 + a_2^2 + 2a_1a_2\langle\cos(\varphi_1 - \varphi_2)\rangle\bigr] .

Jika beda fasenya mantap selama pendeteksiannya (gelombang yang koheren): $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1I_2}\cos(\varphi_1 - \varphi_2)$ , yaitu suku interferensinya, yang dipelajari bab berikutnya. Jika ia mengembara acak (gelombang yang takkoheren): $\langle\cos\rangle = 0$ dan $I = I_1 + I_2$ — yaitu senternya.

Metode 18.9 (Menyiapkan sebuah soal optika)

(1) Tuliskanlah tiap gelombangnya sebagai $a\cos(\omega t - \varphi)$ dengan $\varphi = 2\pi(\text{lintasan optik})/\lambda_0$ dari sumbernya (atau dari sebuah muka gelombang bersama). (2) Putuskanlah koherensinya: sumber yang sama, beda lintasan $< \ell_c$ ? Kalau begitu jumlahkanlah amplitudonya (notasi kompleks itu nyaman: $\underline s = a\eu^{\iu(\omega t - \varphi)}$ , $I = \tfrac12K|\underline s|^2$ ); jika tidak jumlahkanlah intensitasnya. (3) Bagi lensa dan cermin, pakailah lintasan optik yang sama antara titik sekawannya, atau gambaran keping fasenya. (4) Ubahlah menjadi apa yang diukur: intensitas, kontras, cacah foton, lalu periksalah resolusi detektornya dalam waktu dan ruang.

18.4 Latihan

Latihan 18.1 ★

Sebuah berkas $600\,\mathrm{nm}$ menyeberangi $1.0\,\mathrm{cm}$ kaca ( $n = 1.5$ ). Tentukanlah lintasan optiknya; jumlah panjang gelombang di dalamnya; fase tambahan dan tunda tambahannya dibandingkan dengan $1\,\mathrm{cm}$ udara; tebal kaca yang menunda gelombangnya tepat satu panjang gelombang relatif terhadap udara.

Solusi

Solusi Latihan 18.1.

$(AB) = 1.5\,\mathrm{cm}$ ; $25\,000$ panjang gelombang; $0.5\,\mathrm{cm}$ lebih daripada udara, $8300$ panjang gelombang, $\Delta\varphi = 2\pi \times 8300$ , tundanya $17\,\mathrm{ps}$ ; satu panjang gelombang tunda bagi $e = \lambda/(n - 1) = 1.2\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

Latihan 18.2 ★

Tentukanlah waktu dan panjang koherensi: cahaya putih ( $400$ – $750\,\mathrm{nm}$ ); garis lampu natrium berlebar $0.02\,\mathrm{nm}$ pada $589\,\mathrm{nm}$ ; sebuah LED merah ( $630\,\mathrm{nm}$ , $\Delta\lambda = 25\,\mathrm{nm}$ ); sebuah dioda laser beragam banyak ( $\Delta\nu = 100\,\mathrm{GHz}$ ); sebuah laser terstabilkan ( $\Delta\nu = 1\,\mathrm{kHz}$ ). Mana yang dapat memberi rumbai dengan beda lintasan $1\,\mathrm{mm}$ ? dengan $10\,\mathrm{m}$ ?

Solusi

Solusi Latihan 18.2.

$\ell_c = \lambda^2/\Delta\lambda$ atau $c/\Delta\nu$ , $\tau_c = \ell_c/c$ : putih $0.9\,\text{µ}\mathrm{m}$ ( $3\,\mathrm{fs}$ ); natrium $1.7\,\mathrm{cm}$ ( $60\,\mathrm{ps}$ ); LED $16\,\text{µ}\mathrm{m}$ ( $50\,\mathrm{fs}$ ); dioda $3\,\mathrm{mm}$ ( $10\,\mathrm{ps}$ ); terstabilkan $300\,\mathrm{km}$ ( $1\,\mathrm{ms}$ ). $1\,\mathrm{mm}$ : lampu natriumnya, diodanya dan lasernya; $10\,\mathrm{m}$ : hanya laser terstabilkannya.

Latihan 18.3 ★

Sebuah penunjuk laser $1\,\mathrm{mW}$ pada $650\,\mathrm{nm}$ : tentukanlah foton tiap sekonnya; sebuah bola lampu $100\,\mathrm{W}$ ( $5\,\mathrm{W}$ tampak, rerata $550\,\mathrm{nm}$ ) pada $3\,\mathrm{m}$ : foton tiap sekon menembus pupil $6\,\mathrm{mm}$ ; jumlahnya selama $0.1\,\mathrm{s}$ milik matanya; fluktuasi nisbi $1/\sqrt N$ jumlah itu — kasarkah cahayanya?

Solusi

Solusi Latihan 18.3.

$10^{-3}/3.06 \times 10^{-19} = 3.3 \times 10^{15}\,$ tiap sekon. Bola lampunya: $I = 5/4\pi \times 9 = 44\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$ , pupilnya $28\,\mathrm{mm}^{2}$ : $1.2\,\text{µ}\mathrm{W}$ , $3.5 \times 10^{12}$ foton tiap sekon, $3.5 \times 10^{11}$ dalam $0.1\,\mathrm{s}$ , fluktuasinya $2 \times 10^{-6}$ : mulus sempurna.

Latihan 18.4 ★

Sebuah sumber titik pada $1.0\,\mathrm{m}$ dari sebuah layar, $\lambda = 500\,\mathrm{nm}$ . Tentukanlah beda lintasan optik antara pusat layarnya dan sebuah titik $1\,\mathrm{cm}$ dari sumbunya (secara eksak, lalu dengan rumus paraksial $r^2/2d$ ); jumlah panjang gelombangnya; jari-jari muka gelombangnya di layarnya; pada jarak berapa dari sumbunya rumus paraksialnya salah sebesar satu panjang gelombang?

Solusi

Solusi Latihan 18.4.

Eksaknya $\sqrt{1 + 10^{-4}} - 1 = 49.9988\,\text{µ}\mathrm{m}$ , paraksialnya $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ : seratus panjang gelombang; muka gelombangnya sebuah bola berjari-jari $1\,\mathrm{m}$ ; suku kuartiknya $r^4/8d^3$ mencapai $\lambda$ pada $r = (8\lambda d^3)^{1/4} = 4.5\,\mathrm{cm}$ .

Latihan 18.5 ★★

Lensa sebagai keping fase. (a) Sebuah gelombang bidang sepanjang sumbunya mempunyai fase yang seragam pada bidang sebuah lensa tipis; sesudah lensanya fasenya $\varphi_L(r) = -\pi r^2/\lambda f$ relatif terhadap tengahnya. Tunjukkanlah bahwa muka gelombang yang muncul, dalam hampiran paraksial, adalah sebuah bola berjari-jari $f$ berpusat pada $F'$ . (b) Sebuah sumber titik pada jarak $d$ di depan lensanya mengirimkan gelombang yang fasenya pada bidang lensanya adalah $+\pi r^2/\lambda d$ (relatif terhadap tengahnya): tunjukkanlah bahwa sesudah lensanya gelombangnya memusat di $d'$ dengan $1/d' = 1/f - 1/d$ , yaitu rumus lensanya. (c) Profil tebal sebuah lensa kaca plano-cembung ( $n = 1.5$ ) berjarak fokus $10\,\mathrm{cm}$ : $e(r) = e_0 - r^2/2(n - 1)f$ ; berapa lendutannya di $r = 1\,\mathrm{cm}$ . (d) Sebuah “lensa Fresnel” melipat profilnya kembali tiap kali ia melampaui $\lambda/(n - 1)$ : mengapa ia masih memfokus, dan mengapa hanya satu warna dengan sempurna?

Solusi

Solusi Latihan 18.5.

(a) Sebuah bola berjari-jari $f$ berpusat di $F'$ mempunyai, pada bidang lensanya, fase $-\pi r^2/\lambda f$ relatif terhadap sumbunya (secara paraksial): tepat milik lensanya. (b) Fase totalnya $\pi r^2/\lambda\,(1/d - 1/f) = -\pi r^2/\lambda d'$ : sebuah gelombang yang memusat di $d'$ dengan $1/d' = 1/f - 1/d$ . (c) Kacanya menambahkan $(n - 1)e(r) \times2\pi/\lambda$ : $e(r) = e_0 - r^2/2(n - 1)f$ ; lendutannya $10^{-4}/0.1 = 1\,\mathrm{mm}$ . (d) Sebuah fase yang didefinisikan modulo $2\pi$ adalah fase yang sama — pada panjang gelombang rancangannya; pada yang lain tangganya bukan lagi panjang gelombang bulat.

Latihan 18.6 ★★

Stigmatisme sebuah cermin. Sebuah cermin harus mengirimkan gelombang bidang yang tiba sepanjang sumbunya ke sebuah titik $F$ . (a) Tuliskanlah syarat “lintasan optik yang sama dari sebuah muka gelombang bidang ke $F$ bagi setiap titik cerminnya” lalu tunjukkanlah bahwa ia mendefinisikan sebuah parabola $y^2 = 4fx$ dengan $F$ di fokusnya. (b) Mengapa sebuah cermin bola hanya stigmatik secara hampiran (bandingkanlah $y^2 = 4fx$ dengan lingkaran berjari-jari $2f$ dekat puncaknya)? (c) Bagi cermin $20\,\mathrm{cm}$ ber- $f = 1\,\mathrm{m}$ , berapa galat lintasan bolanya di tepinya, dalam panjang gelombang $500\,\mathrm{nm}$ . (d) Mengapa teleskop radio memaklumi kebolaan yang tak dapat dimaklumi teleskop optik?

Solusi

Solusi Latihan 18.6.

(a) Dari sebuah muka gelombang bidang di $x = -D$ ke $(x, y)$ lalu ke $F(f, 0)$ : $D + x + \sqrt{(x - f)^2 + y^2} = D + f$ , jadi $\sqrt{(x - f)^2 + y^2} = f - x$ , $y^2 = 4fx$ , dengan $F$ di fokusnya. (b) Lingkaran $x = 2f - \sqrt{4f^2 - y^2} \approx y^2/4f + y^4/64f^3$ selaras hanya sampai orde kedua. (c) $y^4/64f^3 = 1.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ , dilipatduakan oleh pemantulannya: $3\,\text{µ}\mathrm{m}$ , enam panjang gelombang — dari situlah cermin parabolik. (d) Pada $\lambda \sim 1\,\mathrm{cm}$ galat yang sama adalah seperseribu panjang gelombang.

Latihan 18.7 ★★

Fermat. Lintasan optik dari $A$ (dalam medium $n_1$ ) ke $B$ (dalam $n_2$ ) menembus sebuah titik $P$ pada antarmuka bidangnya adalah $n_1AP + n_2PB$ . (a) Tunjukkanlah bahwa ia tegar (terkecil) bagi titik $P$ yang memenuhi $n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2$ . (b) Tafsirkanlah: lintasan tetangganya berfase sama, sehingga gelombang sepanjangnya bertambah — inilah sebabnya cahaya “memilih” sinar Descartesnya. (c) Turunkanlah hukum pemantulannya dengan cara yang sama. (d) Mengapa lintasan menembus sebuah lensa dari $A$ ke citranya $A'$ sama sepanjang setiap sinarnya, dan bukan sekadar tegar?

Solusi

Solusi Latihan 18.7.

(a) $L(x) = n_1\sqrt{a^2 + x^2} + n_2\sqrt{b^2 + (d - x)^2}$ : $L' = n_1\sin\theta_1 - n_2\sin\theta_2 = 0$ . (b) Dekat lintasan tegarnya lintasan tetangganya berfase sama dan gelombangnya bertambah; di tempat lain saling meniadakan. (c) $n_1 = n_2$ : $\sin\theta_1 = \sin\theta_r$ . (d) Stigmatisme berarti semua sinar dari $A$ ke $A'$ mempunyai lintasan yang sama: sekeluarga penuh lintasan tegar, bukan satu.

Latihan 18.8 ★★

Mengapa dua lampu tidak berinterferensi. Dua lampu natrium menyinari sebuah layar; di sebuah titik, gelombangnya beramplitudo $a$ dan berbeda fase $\Delta\varphi$ yang melompat acak tiap $\tau_c = 1 \times 10^{-10}\,\mathrm{s}$ . (a) Tentukanlah intensitas di titik itu sebagai fungsi $\Delta\varphi$ ; maksimum dan minimumnya. (b) Detektornya merata-ratakan sepanjang $\tau_d = 1\,\mathrm{ms}$ : berapa banyak nilai $\Delta\varphi$ yang saling bebas? Tentukanlah intensitas reratanya; ukuran nisbi fluktuasi sisa suku interferensinya ( $\sim 1/\sqrt N$ ). (c) Sebuah fotodioda ber- $\tau_d = 1 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}$ : apa yang akan dilihatnya? (d) Bagaimana percobaan pertama yang menunjukkan interferensi antara dua laser yang saling bebas (1963) menanganinya?

Solusi

Solusi Latihan 18.8.

(a) $I = 2I_0(1 + \cos\Delta\varphi)$ : $4I_0$ dan $0$ . (b) $N = 10^7$ : reratanya $2I_0$ , sisanya $\sim 2I_0/\sqrt N = 6 \times 10^{-4}$ darinya. (c) Selama $10\,\mathrm{ps}$ fasenya membeku: ia akan melihat rumbai, yang melompat tiap $0.1\,\mathrm{ns}$ . (d) Laser dengan $\tau_c \sim 1\,\text{µ}\mathrm{s}$ dan detektor yang lebih cepat daripada itu: rumbainya ada selama semikrosekon lalu difoto.

Latihan 18.9 ★★

Kedalaman semu. Sekeping uang logam terletak pada kedalaman $h$ dalam air ( $n = 1.33$ ). (a) Dengan memakai lintasan optiknya (atau hukum Descartes pada sudut kecil), tunjukkanlah bahwa sebuah mata di atasnya melihatnya pada kedalaman $h/n$ . (b) $h = 1.2\,\mathrm{m}$ : tentukanlah kedalaman semunya; seberapa besar lintasan optik dari uang logamnya ke matanya melampaui panjang geometrinya? (c) Seekor ikan pada kedalaman $h$ melihat seekor lalat $1\,\mathrm{m}$ di atas permukaannya pada ketinggian semu berapa? (d) Mengapa sebuah kolam tampak lebih dangkal lagi ketika dipandang miring?

Solusi

Solusi Latihan 18.9.

(a) Sudut kecil: $\tan i \approx n\tan r$ , sinarnya tampak datang dari $h/n$ . (b) $0.90\,\mathrm{m}$ ; lintasan optiknya $n \times 1.2 = 1.6\,\mathrm{m}$ , $0.4\,\mathrm{m}$ lebih. (c) $n \times 1 = 1.33\,\mathrm{m}$ . (d) Pada sudut besar pembiasannya lebih kuat dan kedalaman semunya lebih kecil.

Latihan 18.10 ★★★

Kontras dan koherensi. Dua salinan sebuah gelombang berbeda lintasan $\delta$ ditumpangkan; spektrum sumbernya tersebar seragam pada $[\nu_0 - \Delta\nu/2, \nu_0 + \Delta\nu/2]$ , dan tiap frekuensinya hanya berinterferensi dengan dirinya sendiri. (a) Intensitas dari satu frekuensi: $2I_0 [1 + \cos(2\pi\nu\delta/c)]$ . (b) Integralkanlah pada pitanya lalu tunjukkanlah bahwa totalnya adalah $2I_0[1 + \operatorname{sinc}(\pi\Delta\nu\,\delta/c)\cos(2\pi\nu_0\delta/c)]$ dengan $\operatorname{sinc}x = \sin x/x$ . (c) Definisikanlah kontras $V = (I_{\max} - I_{\min})/(I_{\max} + I_{\min})$ rumbainya dekat $\delta$ lalu tunjukkanlah $V = |\operatorname{sinc}(\pi\Delta\nu\,\delta/c)|$ : ia lenyap pada $\delta = c/\Delta\nu = \ell_c$ . (d) Angkanya bagi sebuah LED ( $\Delta\lambda = 25\,\mathrm{nm}$ pada $630\,\mathrm{nm}$ ): pada $\delta$ berapa kontrasnya lenyap pertama kali.

Solusi

Solusi Latihan 18.10.

(a) Dua gelombang sama yang berbeda fase $2\pi\nu\delta/c$ . (b) Rerata pada pitanya:

\frac1{\Delta\nu}\int\cos\frac{2\pi\nu\delta}c\,\dd\nu = \cos\frac{2\pi\nu_0\delta}c\,\operatorname{sinc}\frac{\pi\Delta\nu\,\delta}c .

(c) $I_{\max, \min} = 2I_0(1 \pm |\operatorname{sinc}|)$ : $V = |\operatorname{sinc}(\pi\Delta\nu\delta/c)|$ , nol pada $\delta = c/\Delta\nu$ . (d) $\Delta\nu = c\Delta\lambda/\lambda^2 = 1.9 \times 10^{13}\,\mathrm{Hz}$ : $\delta = 16\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

Latihan 18.11 ★★★

Melihat bintang. Mata mendeteksi sebuah kilatan ketika sekitar $10$ foton mencapai sebuah sel batang dalam $0.1\,\mathrm{s}$ ; pupil yang teradaptasi gelap adalah $7\,\mathrm{mm}$ ; ambillah $500\,\mathrm{nm}$ . (a) Tentukanlah fluks foton dan iradiansi minimum di matanya. (b) Matahari memberi $1\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ ; sebuah bintang bermagnitudo $m$ memberi $10^{-0.4(m + 26.7)}$ darinya: tentukanlah iradiansi sebuah bintang bermagnitudo 6 (batas mata telanjang) dan laju fotonnya ke dalam pupilnya; selaraskah dengan (a)? (c) Sebuah teleskop berapertur $200\,\mathrm{mm}$ : berapa perolehan fotonnya, dan magnitudo yang dicapainya. (d) Mengapa ahli astronomi berbicara tentang “derau foton” sebuah citra yang redup, dan bagaimana ia berskala dengan waktu pajanannya?

Solusi

Solusi Latihan 18.11.

(a) $100$ foton tiap sekon pada $38\,\mathrm{mm}^{2}$ : $2.6 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ , $\times4 \times 10^{-19}$ J: $1 \times 10^{-12}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ . (b) $10^{-13.1} \times 1000 = 8 \times 10^{-11}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , $2 \times 10^8$ foton tiap meter persegi tiap sekon, $8000$ tiap sekon ke dalam pupilnya — jauh di atas (a): batas mata yang sebenarnya ditetapkan latar belakangnya dan sebarannya pada banyak sel batang. (c) $(200/7)^2 = 800$ , $+7.3$ magnitudo: $m \approx 13$ . (d) $N$ foton berfluktuasi sebesar $\sqrt N$ : nisbah sinyal terhadap deraunya tumbuh sebagai akar kuadrat pajanannya.

Latihan 18.12 ★★★

Melampaui paraksial. Sebuah gelombang bola dari sebuah titik pada jarak $d$ mempunyai, pada jarak melintang $r$ , lintasan tambahan eksak $\sqrt{d^2 + r^2} - d$ . (a) Uraikanlah sampai orde empat: $r^2/2d - r^4/8d^3$ . (b) Suku kuadratik (paraksial)-nya disimpan dan yang kuartik dibuang ketika yang terakhir di bawah $\lambda/4$ : tunjukkanlah bahwa ini menuntut $r^4 < 2\lambda d^3$ . (c) Angkanya: $d = 1\,\mathrm{m}$ , $\lambda = 500\,\mathrm{nm}$ : berapa $r$ maksimumnya; $d = 1\,\mathrm{cm}$ (sebuah mikroskop): berapa $r$ maksimumnya, dan sudut yang bersesuaian. (d) Ulasan: yang disebut “aberasi” optika geometri adalah suku yang terabaikan ini.

Solusi

Solusi Latihan 18.12.

(a) $d(1 + r^2/2d^2 - r^4/8d^4 + \dots) - d$ . (b) $r^4/8d^3 < \lambda/4$ . (c) $r < (2\lambda d^3)^{1/4}$ : $3.2\,\mathrm{cm}$ bagi $1\,\mathrm{m}$ ; $1\,\mathrm{mm}$ bagi $1\,\mathrm{cm}$ , sebuah sudut $0.1\,\mathrm{rad}$ . (d) Aberasi bolanya adalah suku kuartik ini; aberasi lainnya adalah sepupunya yang menyimpang dari sumbu.

Lampu natrium bertekanan rendah dalam kabut: satu garis kuning saja, panjang koherensi bersentimeter — yaitu sumber klasik laboratorium optika, dan jalanan tua.

18.5 Soal: Sebuah lampu natrium dan sebuah penunjuk laser

Soal 18.1

Soal akhir pekan — dua sumber cahaya yang dibongkar: lampu kuning jalanan tua, penunjuk merah di ruang kuliah, dan satu angka yang memutuskan dapat tidaknya masing-masingnya membuat rumbai

Bagian I — Lampu natriumnya. Natrium memancarkan dublet kuningnya pada $\lambda_1 = 589.0\,\mathrm{nm}$ dan $\lambda_2 = 589.6\,\mathrm{nm}$ . Lebar alami tiap garisnya adalah $\Delta\nu_{\text{alami}} = 10\,\mathrm{MHz}$ ; dalam lampunya atomnya berada pada $500\,\mathrm{K}$ (massa natrium $23\,\mathrm{u}$ , $k_B = 1.38 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ , $u = 1.66 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ ).

Frekuensi kedua garisnya dan selisihnya.
Panjang koherensi satu garisnya seandainya hanya lebar alaminya yang berperan.
Pelebaran Doppler: sebuah atom yang bergerak dengan $v$ sepanjang garis pandangnya memancar pada $\nu(1 + v/c)$ ; dengan kelajuan rms termalnya $\sqrt{k_BT /m}$ sepanjang satu sumbu, taksirlah $\Delta\nu_D$ lalu bandingkanlah dengan lebar alaminya.
Panjang koherensi satu garis yang melebar Doppler; dalam lampu bertekanan tinggi yang sungguhan tumbukan melebarkan garisnya sepuluh kali lagi: berapa panjang koherensinya kemudian.
Kedua garisnya bersama-sama: pada beda lintasan berapa sistem rumbainya beranjak dari berimpit ke berlawanan lalu kembali (“panjang layangan” $\lambda^2/\Delta\lambda$ )? Itu berapa rumbai?
Seorang mahasiswa membuat interferometer dua berkas dengan lampunya lalu menaikkan beda lintasannya dari nol: lukiskanlah kontras yang terlihat — layangannya dan pemadaman akhirnya — dengan angka yang telah ditemukan.
Lampunya memancarkan $1\,\mathrm{W}$ cahaya kuning: tentukanlah foton tiap sekonnya; energi satu fotonnya dalam eV, dan mengapa cahayanya kuning.
Dua lampu natrium berdampingan: dapatkah cahayanya berinterferensi? Mengapa pertanyaannya berbeda bagi kedua garis satu lampu?

Bagian II — Penunjuk lasernya. Sebuah dioda laser merah $1\,\mathrm{mW}$ pada $650\,\mathrm{nm}$ memancarkan, ketika murah, beberapa ragam membujur yang tersebar pada $\Delta\lambda = 0.5\,\mathrm{nm}$ ; yang beragam tunggal dan terstabilkan mempunyai $\Delta\nu = 1\,\mathrm{MHz}$ .

Panjang koherensi kedua penunjuknya.
Foton yang dipancarkan tiap sekon; jarak rerata antara foton sepanjang berkasnya (dalam meter); bandingkanlah dengan panjang koherensinya — apa yang dikatakannya tentang “foton yang berinterferensi”?
Ubahlah sebaran $0.5\,\mathrm{nm}$ itu menjadi lebar frekuensi; rongga diodanya panjangnya $1\,\mathrm{mm}$ dengan $n = 3.5$ : tentukanlah jarak antara ragam membujurnya ( $c/2nL$ ) dan jumlah ragam dalam sebarannya.
Berkasnya (berdiameter $1\,\mathrm{mm}$ ) jatuh pada sebuah fotodioda yang tiap fotonnya menghasilkan sebuah elektron: berapa arusnya.
Penunjuk murahnya dipakai dalam interferometer dua berkas dengan beda lintasan $2\,\mathrm{mm}$ : ada rumbai atau tidak? Dan yang terstabilkan dengan $10\,\mathrm{m}$ ?
Keluaran diodanya sebenarnya dihidupkan dan dimatikan dalam pulsa $1\,\mathrm{ns}$ : dapatkah pulsa dari dua periode berturut-turut saling berinterferensi? Apa yang menetapkan koherensinya di sini, panjang pulsanya atau lebar garisnya?
Mengapa cahaya sebuah laser tampak “berbercak” pada dinding, dan mengapa cahaya lampunya tidak?
Sebuah LED merah pada $650\,\mathrm{nm}$ mempunyai $\Delta\lambda = 25\,\mathrm{nm}$ : berapa panjang koherensinya; mengapa sebagian proyektor lebih menyukai LED daripada laser?

Bagian III — Lintasan optik dan detektor.

Sebuah kaca objek $2\,\mathrm{mm}$ ( $n = 1.5$ ) disisipkan pada salah satu lengan interferometernya: tentukanlah lintasan optik tambahannya, dan jumlah rumbai yang bergeser melewati sebuah tanda.
Kaca objeknya dimiringkan $10{}^{\circ}$ : tentukanlah lintasan tambahannya (pakailah $e/\cos r$ bagi panjangnya dalam kacanya, dikurangi udara yang digantikannya, sampai hampiran orde pertama $e(n/\cos r - \cos(i - r)/\cos r)$ — atau sekadar taksirlah dengan lintasan geometri yang lebih panjang); orde besaran geseran rumbainya.
Detektornya adalah sebuah kamera berpiksel $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; rumbainya terpisah $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ : berapa piksel tiap rumbainya, dan apa yang terjadi pada kontras terukurnya jika jaraknya turun menjadi $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ ?
Pajanan $10\,\mathrm{ms}$ pada $1\,\text{µ}\mathrm{W}/\mathrm{cm}^{2}$ di sebuah piksel: tentukanlah foton tiap pikselnya; derau foton nisbinya.
Dua gelombang koheren yang sama berintensitas $I_0$ berjumpa dengan beda lintasan $\delta$ : tuliskanlah intensitasnya $I(\delta)$ dan periode rumbainya dalam $\delta$ .
Rumbainya melintas sebuah titik pada $1\,\mathrm{kHz}$ (sebuah cermin yang bergetar): apa yang dilihat mata, apa yang dilihat fotodiodanya?
Lengan interferometernya menembus $10\,\mathrm{m}$ udara ( $n - 1 = 2.9 \times 10^{-4}\,$ ): tentukanlah lintasan optiknya yang melebihi hampa, dalam rumbai; apa yang dilakukan perubahan $1\,\%$ tekanan udaranya terhadap polanya.
Lampunya dan penunjuknya memberi $1\,\text{µ}\mathrm{W}/\mathrm{cm}^{2}$ yang sama: mana yang memberi lebih banyak foton tiap sekon, dan mengapa itu tak berarti bagi rumbainya?
Ringkaslah: bagi tiap sumbernya, panjang koherensinya, apa yang membatasinya, dan beda lintasan interferometer yang dibolehkannya.

Solusi

Solusi Soal 18.1.

1. $\nu_1 = 5.0934 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ , $\nu_2 = 5.0882 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ : $\Delta\nu = 5.2 \times 10^{11}\,\mathrm{Hz}$ .

2. $c/\Delta\nu_{\text{alami}} = 30\,\mathrm{m}$ .

3. $\sqrt{k_BT/m} = 425\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $\Delta\nu_D \approx 2\nu v/c \approx 1.4\,\mathrm{GHz}$ , seratus kali lebar alaminya.

4. $c/\Delta\nu_D \approx 20\,\mathrm{cm}$ ; dengan tumbukan, sekitar $2\,\mathrm{cm}$ .

5. $\lambda^2/\Delta\lambda = 589^2/0.6$ nm $= 0.58\,\mathrm{mm}$ : dari berimpit ke berlawanan tiap $0.29\,\mathrm{mm}$ ; sekitar $1000$ rumbai tiap layangan.

6. Kontrasnya berayun dengan periode $0.58\,\mathrm{mm}$ dalam beda lintasannya (nol pada $0.29$ , $0.87$ , $1.45\,\mathrm{mm}$ , …) di dalam sebuah selubung yang memudar sepanjang beberapa sentimeter: sekitar lima puluh layangan, lalu tak ada apa pun.

7. $3 \times 10^{18}\,$ foton tiap sekon; $2.1\,\mathrm{eV}$ , yaitu kuning spektrumnya.

8. Tidak: atomnya saling bebas, fasenya acak. Kedua garis satu lampunya juga berasal dari atom yang berbeda lalu tak berinterferensi satu sama lain: layangannya adalah dua sistem rumbai yang bertambah dalam intensitas.

9. $\lambda^2/\Delta\lambda = 0.85\,\mathrm{mm}$ ; $c/\Delta\nu = 300\,\mathrm{m}$ .

10. $3.3 \times 10^{15}\,$ tiap sekon, terpisah $c/N = 90\,\mathrm{nm}$ sepanjang berkasnya: sepuluh ribu foton dalam satu panjang koherensi. Interferensi bukanlah foton yang berjumpa: tiap foton berinterferensi dengan dirinya sendiri.

11. $\Delta\nu = c\Delta\lambda/\lambda^2 = 360\,\mathrm{GHz}$ ; jarak ragamnya $c/2nL = 43\,\mathrm{GHz}$ : sekitar delapan ragam.

12. $e \times 3.3 \times 10^{15} = 0.5\,\mathrm{mA}$ .

13. $2\,\mathrm{mm}$ $>$ $0.85\,\mathrm{mm}$ : tak ada rumbai; $10\,\mathrm{m}$ $<$ $300\,\mathrm{m}$ : ada rumbai.

14. Sebuah pulsa senanosekon panjangnya $30\,\mathrm{cm}$ , jauh lebih panjang daripada panjang koherensi $0.85\,\mathrm{mm}$ -nya: lebar garisnya, bukan pulsanya, yang menetapkan koherensinya; pulsa berturut-turut hanya berinterferensi jika fase lasernya bertahan melewati masa matinya — ia tidak bertahan.

15. Cahaya koheren yang dihamburkan dinding yang kasar berinterferensi di retinanya dengan beda lintasan yang acak: bercak. Koherensi lampunya yang berskala mikrometer merata-ratakan semua itu.

16. $\lambda^2/\Delta\lambda = 17\,\text{µ}\mathrm{m}$ : jauh terlalu pendek bagi bercak pada dinding yang kasar — tanpa bercak, sebuah citra yang lebih mulus.

17. $(n - 1)e = 1\,\mathrm{mm}$ : $1540$ rumbai.

18. $r = 6.65{}^{\circ}$ ; lintasan tambahannya $\approx e(n/\cos r - \cos(i - r)/\cos r) = 3.021 - 2.010 = 1.011\,\mathrm{mm}$ , $11\,\text{µ}\mathrm{m}$ lebih daripada tanpa miring: sekitar dua puluh rumbai lebih.

19. Lima piksel tiap rumbai; pada satu piksel tiap rumbai pikselnya mengintegralkan satu periode penuh dan kontrasnya runtuh.

20. $1 \times 10^{-12}\,\mathrm{W}$ pada pikselnya $\times$ $10\,\mathrm{ms}$ $= 1 \times 10^{-14}\,\mathrm{J}$ : $3 \times 10^4$ foton, deraunya $0.6\%$ .

21. $I = 2I_0[1 + \cos(2\pi\delta/\lambda)]$ : satu rumbai tiap panjang gelombang beda lintasan.

22. Matanya merata-ratakan gerak sekilohertznya menjadi medan yang seragam; fotodiodanya mengikutinya.

23. $(n - 1) \times 10 = 2.9\,\mathrm{mm}$ : $4500$ rumbai; perubahan $1\%$ tekanannya menggesernya sebesar $45$ rumbai — interferometernya menjadi sebuah barometer kecuali dihampakan.

24. Laju fotonnya hampir sama ( $2.1\,\mathrm{eV}$ melawan $1.9\,\mathrm{eV}$ ); rumbainya bergantung pada amplitudo dan fasenya, cacah fotonnya hanya pada deraunya.

25. Lampunya: bersentimeter, dibatasi pelebaran Doppler dan tumbukan, rumbainya sampai sekitar $1\,\mathrm{cm}$ ; penunjuk murahnya: $0.85\,\mathrm{mm}$ , dibatasi ragamnya yang beberapa; laser terstabilkannya: $300\,\mathrm{m}$ , dibatasi lebar garisnya.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 393 istilah di glosarium