Fisika Universitas — Tahun 2 · Bachelor Year 2

3Fluida Sempurna: Euler dan Bernoulli

Peganglah selembar kertas pada tepinya lalu tiuplah di atasnya: kertas itu terangkat. Bukalah keran pancuran mandi dan tirainya condong ke dalam. Sebuah sayap menahan tiga ratus ton karena udara mengalir lebih cepat di atas permukaannya daripada di bawahnya. Ketiganya adalah satu pernyataan yang sama: di tempat sebuah fluida bergerak lebih cepat, tekanannya lebih rendah. Bab ini menuliskan hukum kedua Newton bagi partikel fluida dalam model yang paling sederhana — fluida sempurna, yang merasakan tekanan tetapi tanpa gesekan — lalu menarik darinya teorema Bernoulli, neraca energi sebuah garis arus, yang penerapannya membentang dari meteran aliran dalam pipa sampai penunjuk kelajuan sebuah pesawat terbang.

3.1 Persamaan Euler

Proposisi 3.1 (Gaya tekanan pada sebuah partikel fluida)

Resultan gaya tekanan yang dikerahkan fluida di sekelilingnya pada sebuah partikel bervolume $\dd\tau$ adalah

\dd\vect F_P = -\operatorname{\vect{grad}}P\,\dd\tau :

tekanan bekerja sebagai gaya volume dengan rapat $-\operatorname{\vect{grad}}P$ , yang mendorong dari tekanan tinggi menuju tekanan rendah.

Bukti. Pada kotak Teorema 2.8, sisi di $x$ dan di $x + \dd x$ menerima $+P(x)\dd y\dd z$ dan $-P(x + \dd x)\dd y\dd z$ sepanjang $x$ : totalnya $-\partial_xP\,\dd x\dd y\dd z$ ; begitu pula bagi $y$ dan $z$ . ∎

Definisi 3.2 (Fluida sempurna)

Yang disebut fluida sempurna adalah fluida yang satu-satunya gaya sentuh antara partikel bertetangganya adalah tekanan — normal terhadap setiap permukaan, tanpa tegangan tangensial (kental). Ia sebuah idealisasi yang sahih, seperti dijelaskan bab berikutnya, jauh dari dinding dan pada bilangan Reynolds tinggi: air dalam pipa jauh dari dindingnya, udara di sekeliling sayap di luar lapisan batasnya yang tipis, gelombang di laut.

Teorema 3.3 (Persamaan Euler)

Dalam kerangka Galilei, sebuah fluida sempurna bermassa jenis $\rho$ yang dikenai gravitasi menuruti, di setiap titik,

\rho\Bigl(\frac{\partial\vect v}{\partial t} + (\vect v\cdot\operatorname{\vect{grad}}) \vect v\Bigr) = -\operatorname{\vect{grad}}P + \rho\vect g ,

dan pada ruas kanannya ditambahkan rapat gaya volume lain mana pun $\vect f_v$ (listrik, atau inersia dalam kerangka non-Galilei). Dalam keadaan diam ia menyusut menjadi hukum hidrostatika $\operatorname{\vect{grad}}P = \rho\vect g$ jilid Tahun ke-1.

Bukti. Hukum kedua Newton bagi partikel bermassa $\rho\,\dd\tau$ : percepatannya adalah turunan partikelnya (Teorema 2.4), gayanya adalah resultan tekanan dan beratnya $\rho\vect g\,\dd\tau$ ; bagilah dengan $\dd\tau$ . ∎

Contoh 3.4 (Sebuah tangki yang dipercepat)

Air dalam tangki yang diangkut truk berpercepatan $\vect a$ berada dalam keadaan diam dalam kerangka truknya; di sana, Euler dengan gaya inersia $-\rho\vect a$ memberi $\operatorname{\vect{grad}}P = \rho(\vect g - \vect a)$ : tekanannya tumbuh sepanjang “gravitasi efektif” $\vect g - \vect a$ , permukaan bebasnya (sebuah isobar) tegak lurus terhadapnya dan miring ke belakang sebesar sudut $\arctan(a/g)$ — $11{}^{\circ}$ untuk $a = 2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . Dalam ember yang berputar dengan $\Omega$ , gaya sentrifugal $\rho\Omega^2r\,\vect e_r$ memberi $P = P_0 + \tfrac12\rho\Omega^2r^2 - \rho gz$ dan permukaan bebasnya adalah paraboloida $z = \Omega^2r^2/2g$ .

Kiri: gaya tekanan pada sisi-sisi sebuah kotak fluida tidak saling meniadakan ketika P berubah — resultannya - gradP tiap satuan volume. Tengah dan kanan: dua fluida yang diam dalam kerangka dipercepat; permukaan bebasnya di mana-mana tegak lurus gravitasi efektifnya. — Kiri: gaya tekanan pada sisi-sisi sebuah kotak fluida tidak saling meniadakan ketika $P$ berubah — resultannya $-\operatorname{\vect{grad}}P$ tiap satuan volume. Tengah dan kanan: dua fluida yang diam dalam kerangka dipercepat; permukaan bebasnya di mana-mana tegak lurus gravitasi efektifnya.

3.2 Teorema Bernoulli

Teorema 3.5 (Bernoulli)

Untuk fluida sempurna dan tak termampatkan bermassa jenis seragam dalam aliran tunak, dalam kerangka Galilei dengan gravitasi seragam, besaran

P + \tfrac12\rho v^2 + \rho gz

tetap sepanjang tiap garis arus. Jika alirannya juga irotasional, tetapannya sama di seluruh fluidanya. Suku $\tfrac12\rho v^2$ adalah tekanan dinamik; $P + \tfrac12\rho v^2$ adalah tekanan stagnasi, yaitu tekanan yang akan dicapai fluidanya seandainya ia dihentikan sepanjang garis arusnya.

Bukti. Euler tunak dengan $(\vect v\cdot\operatorname{\vect{grad}})\vect v = \operatorname{\vect{grad}}(v^2/2) + \vect\omega\wedge\vect v$ dan $\rho\vect g = -\operatorname{\vect{grad}}(\rho gz)$ , dengan $\rho$ seragam:

\operatorname{\vect{grad}}\bigl(P + \tfrac12\rho v^2 + \rho gz\bigr) = -\rho\, \vect\omega\wedge\vect v .

Ruas kanannya tegak lurus $\vect v$ , jadi gradien besaran Bernoullinya tak berkomponen sepanjang garis arusnya: besaran itu tetap sepanjang garis itu. Jika $\vect\omega = \vect 0$ gradiennya lenyap di mana-mana. ∎

Catatan 3.6 (Apa yang dikatakan Bernoulli dan apa yang tidak)

Dibagi $\rho$ , teoremanya berbunyi: energi mekanik tiap satuan massa, $v^2/2 + gz$ , ditambah $P/\rho$ kekal sepanjang lintasan sebuah partikel. Suku tekanannya adalah usaha yang dilakukan pada partikelnya oleh tekanan fluida di belakangnya, dikurangi usaha yang dilakukannya pada fluida di depannya: teorema energi bagi partikel yang didorong menembus medan tekanan tanpa gesekan. Empat syaratnya: fluida sempurna (tanpa rugi kekentalan), tunak, tak termampatkan, dan sepanjang sebuah garis arus. Membandingkan dua titik pada garis arus yang berbeda hanya boleh dalam aliran irotasional. Teoremanya tidak mengatakan “udara cepat mengisap”: ia mengatakan bahwa partikel yang telah dipercepat (oleh penurunan tekanan) kini bertekanan lebih rendah — sebabnya medan tekanannya, kelajuannya adalah akibatnya.

Catatan 3.7 (Fluida termampatkan)

Bagi gas massa jenisnya berubah-ubah, tetapi jika alirannya tunak, sempurna dan isentropik bukti yang sama memberi kekekalan $h + v^2/2 + gz$ sepanjang garis arus, dengan $h$ entalpi tiap satuan massa ( $h = c_PT$ untuk gas sempurna): bentuk yang dipakai bagi corong dan turbin dalam Bab 27. Pada kelajuan yang jauh di bawah kelajuan bunyi ( $v \lesssim 100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ di udara) massa jenisnya berubah kurang dari $5\%$ dan teorema tak termampatkannya cukup teliti.

3.3 Penerapan

Proposisi 3.8 (Meteran Venturi)

Dalam pipa mendatar yang menyempit dari penampang $S_1$ ke $S_2 < S_1$ , kelajuannya naik ( $v_2 = v_1S_1/S_2$ , kekekalan massa) dan tekanannya turun:

P_1 - P_2 = \tfrac12\rho(v_2^2 - v_1^2) = \tfrac12\rho v_1^2\Bigl(\frac{S_1^2}{S_2^2} - 1\Bigr) , \qquad D_V = S_1v_1 = S_1S_2\sqrt{\frac{2(P_1 - P_2)}{\rho(S_1^2 - S_2^2)}} .

Mengukur beda tekanannya dengan manometer memberi debitnya: sebuah meteran Venturi. Efek yang sama menggerakkan karburator, penyemprot cat, saluran udara pembakar Bunsen dan “isapan” kereta yang melintas.

Bukti. Bernoulli sepanjang garis arus tengah pada ketinggian tetap, dengan $v_2 = v_1S_1/S_2$ ; selesaikanlah untuk $v_1$ . ∎

Proposisi 3.9 (Tabung Pitot)

Sebuah tabung yang menghadap alirannya, tertutup di ujung jauhnya, menghentikan fluidanya di mulutnya (sebuah titik stagnasi); lubang kedua di sisinya, sejajar alirannya, membaca tekanan statiknya $P$ . Selisihnya adalah tekanan dinamiknya:

P_{\text{stag}} - P = \tfrac12\rho v^2 , \qquad v = \sqrt{2(P_{\text{stag}} - P)/\rho} .

Setiap pesawat terbang mengukur kelajuan udaranya dengan cara ini.

Bukti. Bernoulli sepanjang garis arus yang berakhir di titik stagnasinya, tempat $v = 0$ ; lubang sisinya tidak mengganggu alirannya, yang lewat dengan $v$ dan $P$ yang tak terganggu. ∎

Proposisi 3.10 (Rumus Torricelli)

Sebuah tangki terbuka yang besar terkuras lewat lubang kecil pada kedalaman $h$ di bawah permukaan bebasnya; pancarannya berangkat dengan

v = \sqrt{2gh} ,

yaitu kelajuan jatuh bebas dari permukaannya. Debitnya adalah $D_V \approx \alpha s\sqrt{2gh}$ dengan $s$ luas lubangnya dan $\alpha \approx 0.6$ yaitu koefisien penyempitan lubang bertepi tajam (garis arusnya terus memusat melewati lubangnya).

Bukti. Bernoulli dari permukaan bebasnya (diam, sebab tangkinya besar: $v_{\text{perm}} = v\,s/S \ll v$ ; tekanan $P_0$ ) ke pancarannya (tekanan $P_0$ tepat di luar lubangnya): $P_0 + \rho gh = P_0 + \tfrac12\rho v^2$ . Alirannya kuasi-tunak: $h$ berubah perlahan. ∎

Tiga penerapan teorema Bernoulli. Kiri: meteran Venturi — manometernya membaca penurunan tekanan di lehernya, sehingga memberi debitnya. Tengah: tabung Pitot — tekanan stagnasi di mulutnya melampaui tekanan statik di lubang sisinya sebesar tekanan dinamiknya. Kanan: pancaran keluar Torricelli pada kelajuan jatuh bebas.

Contoh 3.11 (Angka)

Sebuah Venturi $5\,\mathrm{cm}$ yang menyempit menjadi $2.5\,\mathrm{cm}$ pada pipa air, dengan $\Delta h = 20\,\mathrm{cm}$ air ( $2.0\,\mathrm{kPa}$ ): $v_1 = \sqrt{2 \times 2000/ (1000 \times 15)} = 0.52\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $D_V = 1.0\,\mathrm{L}/\mathrm{s}$ . Sebuah pesawat penumpang di $11\,\mathrm{km}$ ( $\rho = 0.36\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) pada $250\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : tekanan dinamiknya $11\,\mathrm{kPa}$ , $11\%$ tekanan sekitarnya — tabung Pitotnya tetap bekerja, dengan koreksi kemampatan. Sebuah menara air $40\,\mathrm{m}$ di atas kerannya: $4\,\mathrm{bar}$ ketika tertutup, pancaran $28\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ jika dibuka lebar (kenyataannya jauh lebih kecil: pipanya tidak sempurna).

Proposisi 3.12 (Gaya angkat pada sebuah sayap)

Dalam aliran mengelilingi sebuah sayap, udaranya lewat lebih cepat di permukaan atasnya daripada di bawahnya; tekanannya karena itu lebih rendah di atas daripada di bawah, dan resultannya adalah gaya angkat $F_L = \tfrac12\rho v^2SC_L$ ( $S$ luas sayapnya, $C_L \approx 0.3$ – $1.5$ koefisien gaya angkat, bergantung pada profil dan sudut serangnya). Beda kelajuannya setara dengan sirkulasi $\Gamma$ kecepatan mengelilingi profilnya, dan gaya angkat tiap satuan bentang adalah $F_L' = \rho v\Gamma$ (Kutta–Joukowski, diterima tanpa bukti). Bola yang berputar menyeret udara ikut berkeliling dan terangkat ke samping dengan cara yang sama: efek Magnus pada bola tenis yang diiris atau tendangan bebas yang melengkung.

Bukti. Bernoulli pada garis arus tepat di atas dan di bawahnya, yang berangkat dari keadaan hulu yang sama: $P_{\text{bawah}} - P_{\text{atas}} = \tfrac12\rho (v_{\text{atas}}^2 - v_{\text{bawah}}^2)$ ; integralkanlah atas talinya. Mengapa aliran atasnya lebih cepat — tepi belakangnya yang tajam memaksa titik stagnasi belakang berada di sana dan menetapkan sirkulasinya (syarat Kutta) — berada di luar jangkauan model fluida sempurna sendirian; itu memerlukan lapisan batas bab berikutnya. ∎

Kiri: garis arus mengelilingi sebuah sayap — rapat dan cepat di atas, lambat di bawah; beda tekanannya adalah gaya angkatnya. Kanan: kolom zat cair sepanjang L yang berosilasi dalam tabung U, penerapan tak tunak paling sederhana dari persamaan Euler. — Kiri: garis arus mengelilingi sebuah sayap — rapat dan cepat di atas, lambat di bawah; beda tekanannya adalah gaya angkatnya. Kanan: kolom zat cair sepanjang $L$ yang berosilasi dalam tabung U, penerapan tak tunak paling sederhana dari persamaan Euler.

Proposisi 3.13 (Sebuah aliran tak tunak: tabung U)

Sebuah kolom zat cair sepanjang total $L$ mengisi tabung U berpenampang seragam; disimpangkan sejauh $z$ dari kesetimbangannya, ia berosilasi menurut

\ddot z + \frac{2g}{L}\,z = 0 , \qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{2g}} ,

seperti bandul sepanjang $L/2$ . Secara lebih umum, untuk aliran irotasional yang tak tunak berpotensial $\varphi$ , Euler terintegralkan menjadi $\rho\,\partial_t\varphi + P + \tfrac12\rho v^2 + \rho gz = C(t)$ , dengan tetapan yang sama di seluruh fluidanya (Bernoulli tak tunak).

Bukti. Kelajuan $v = \dot z$ seragam sepanjang tabungnya (tak termampatkan, penampang seragam). Proyeksikanlah Euler pada sumbu tabungnya lalu integralkanlah sepanjang kolomnya dari satu permukaan bebas ke yang lain: suku tekanannya saling meniadakan ( $P_0$ di kedua ujungnya), $\int\rho\,\partial_tv\,\dd s = \rho L\ddot z$ , suku konvektifnya $\rho\,\Delta(v^2/2)$ lenyap (kelajuan sama di kedua ujungnya), dan suku gravitasinya memberi $\rho g\cdot2z$ . Jadi $\rho L\ddot z = -2\rho gz$ . Pernyataan umumnya menyusul dari $\partial_t\vect v = \operatorname{\vect{grad}} \partial_t\varphi$ untuk $\vect v = \operatorname{\vect{grad}}\varphi$ . ∎

Contoh 3.14 (Menghidupkan sebuah pipa)

Sebuah pipa mendatar sepanjang $\ell$ menghubungkan waduk bertinggi tekan tetap $h$ ke ujung terbuka; katupnya dibuka pada $t = 0$ . Dengan $v$ seragam sepanjang pipanya, Euler yang diintegralkan dari permukaan waduknya ke lubang keluarnya memberi $\ell\,\dd v/\dd t = gh - \tfrac12v^2$ , yang penyelesaiannya $v = V\tanh(Vt/2\ell)$ dengan $V = \sqrt{2gh}$ : alirannya mencapai kelajuan Torricelli dengan tetapan waktu $2\ell/V$ — $13\,\mathrm{s}$ bagi pipa pesat $400\,\mathrm{m}$ di bawah tinggi tekan $200\,\mathrm{m}$ .

Metode 3.15 (Memakai Bernoulli)

(1) Periksalah keempat syaratnya; putuskanlah apakah alirannya irotasional (aliran hulu seragam mengelilingi rintangan: ya; aliran dalam pipa dengan profil kecepatan: tidak — tinggallah pada satu garis arus). (2) Pilihlah dua titik pada satu garis arus yang sebanyak mungkin besarannya diketahui: permukaan bebas ( $P = P_0$ , $v \approx 0$ jika penampangnya besar), pancaran di udara terbuka ( $P = P_0$ ), titik stagnasi ( $v = 0$ ). (3) Tambahkanlah kekekalan massa $vS =$ tetap untuk mengaitkan kelajuannya. (4) Untuk aliran tak tunak, integralkanlah Euler sepanjang garisnya sebagai gantinya.

3.4 Latihan

Latihan 3.1 ★

Air mengalir dalam pipa mendatar berdiameter $8\,\mathrm{cm}$ dengan $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dan tekanan $3.0\,\mathrm{bar}$ . Ia masuk ke penampang $4\,\mathrm{cm}$ : kelajuan dan tekanannya di sana; lalu ke penampang $2\,\mathrm{cm}$ : tekanannya — apa yang terjadi jika hasilnya keluar negatif?

Solusi

Solusi Latihan 3.1.

$v_2 = 1.5 \times 4 = 6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $P_2 = 3.0 \times 10^5 - 500(36 - 2.25) = 2.83\,\mathrm{bar}$ . Pada $2\,\mathrm{cm}$ : $v = 24\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $P = 3.0 \times 10^5 - 500 (576 - 2.25) = 0.13\,\mathrm{bar}$ — dekat dengan tekanan uapnya. Hasil negatif berarti debit yang diandaikan itu mustahil: airnya berkavitasi dan alirannya tercekik.

Latihan 3.2 ★

Tabung Pitot sebuah pesawat pada $5\,\mathrm{km}$ ( $\rho = 0.74\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) membaca tekanan dinamik $15\,\mathrm{kPa}$ . Tentukanlah kelajuan udara sejatinya. Penunjuk kelajuannya dikalibrasi bagi massa jenis di permukaan laut ( $1.22\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ): “kelajuan tertunjuk” berapa yang diperlihatkannya, dan mengapa penerbang justru merasa selisihnya berguna?

Solusi

Solusi Latihan 3.2.

$v = \sqrt{2 \times 15000/0.74} = 201\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; yang tertunjuk $\sqrt{2 \times 15000/ 1.22} = 157\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Kelajuan tertunjuknya mengukur tekanan dinamik, yaitu apa yang dirasakan sayapnya: kelajuan macetnya adalah kelajuan tertunjuk yang tetap pada ketinggian berapa pun.

Latihan 3.3 ★

Sebuah tangki berisi air sedalam $3.0\,\mathrm{m}$ ; lubang $1.0\,\mathrm{cm}^{2}$ dilubangi $1.0\,\mathrm{m}$ di atas lantainya. Tentukanlah kelajuan keluarnya; debitnya (penyempitan $0.6$ ); di mana pancarannya menumbuk lantainya? Pada kedalaman berapa lubang kedua harus dilubangi agar mencapai titik yang sama?

Solusi

Solusi Latihan 3.3.

Kedalaman $2.0\,\mathrm{m}$ : $v = \sqrt{2g \times 2} = 6.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $D_V = 0.6 \times 10^{-4} \times 6.3 = 0.38\,\mathrm{L}/\mathrm{s}$ ; waktu jatuhnya $\sqrt{2/g} = 0.45\,\mathrm{s}$ , jangkauannya $2.8\,\mathrm{m}$ . Jangkauan $= 2\sqrt{h(H - h)}$ simetrik dalam $h \leftrightarrow H - h$ : lubang pada kedalaman $1.0\,\mathrm{m}$ ( $2\,\mathrm{m}$ di atas lantainya) menumbuk titik yang sama.

Latihan 3.4 ★

Angin $30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ berembus di atas atap datar seluas $100\,\mathrm{m}^{2}$ ; udara di bawah atapnya diam pada tekanan atmosfer ( $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ). Tentukanlah beda tekanan dan gaya total pada atapnya; bandingkanlah dengan berat atapnya ( $50\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{2}$ ). Ke arah mana ia terdorong?

Solusi

Solusi Latihan 3.4.

$\Delta P = \tfrac12 \times 1.2 \times 900 = 540\,\mathrm{Pa}$ , tekanan luarnya lebih rendah: gaya total $54\,\mathrm{kN}$ ke atas; atapnya berbobot $49\,\mathrm{kN}$ : ia terangkat. (Atap nyata gagal di tepinya lebih dulu, tempat alirannya memisah.)

Latihan 3.5 ★★

Sebuah tangki persegi panjang tertutup sepanjang $2.0\,\mathrm{m}$ , setengah penuh air, terletak di atas sebuah truk. (a) Dipercepat dengan $3.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : sudut permukaan bebasnya, dan selisih tinggi air antara dinding belakang dan dinding depannya. (b) Beda tekanan antara kedua sudut dasarnya. (c) Direm dengan $6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ — apakah airnya mencapai tutupnya $0.8\,\mathrm{m}$ di atas dasarnya? (d) Truk yang sama menikung pada tikungan berjari-jari $40\,\mathrm{m}$ dengan $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : kemiringan permukaannya.

Solusi

Solusi Latihan 3.5.

(a) $\tan\theta = 3/9.81$ , $\theta = 17{}^{\circ}$ ; $2 \times 0.306 = 0.61\,\mathrm{m}$ (lebih tinggi di belakang). (b) $\Delta P = \rho aL = 6.0\,\mathrm{kPa}$ . (c) $\tan\theta = 0.61$ , selisihnya $1.22\,\mathrm{m}$ : bagian depannya naik $0.61\,\mathrm{m}$ di atas rerata $0.40\,\mathrm{m}$ : $1.01\,\mathrm{m}$ $>$ $0.8\,\mathrm{m}$ , ia menumbuk tutupnya. (d) $a = v^2/R = 5.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : $\theta = 30{}^{\circ}$ , sisi luarnya lebih tinggi.

Latihan 3.6 ★★

Sebuah ember berjari-jari $15\,\mathrm{cm}$ berisi air sedalam $20\,\mathrm{cm}$ diputar terhadap sumbunya dengan $2.0\,\mathrm{putaran}/\mathrm{s}$ . (a) Bentuk dan persamaan permukaan bebasnya. (b) Beda tinggi antara pelek dan pusatnya. (c) Karena volumenya kekal, tinggi airnya di pusat dan di peleknya. (d) Pada laju putar berapa pusat dasarnya menjadi kering? (e) Mengapa paraboloida yang sama menjadi cermin teleskop yang sempurna (genangan raksa yang diputar)?

Solusi

Solusi Latihan 3.6.

(a) Paraboloida $z = z_0 + \Omega^2r^2/2g$ , $\Omega = 4\pi = 12.6\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ . (b) $\Omega^2R^2/2g = 158 \times 0.0225/19.6 = 0.18\,\mathrm{m}$ . (c) Tinggi rata-rata sebuah paraboloida atas cakramnya berada di tengah: pusatnya $0.20 - 0.09 = 0.11\,\mathrm{m}$ , peleknya $0.29\,\mathrm{m}$ . (d) Pusatnya kering ketika $\Omega^2R^2/4g = h_0$ : $\Omega = \sqrt{4gh_0}/R = 18.7\,\mathrm{rad}/\mathrm{s} = 3.0$ putaran tiap sekon. (e) Sebuah paraboloida memusatkan sinar sejajar ke satu titik, di $f = g/2\Omega^2$ ; teleskop bercermin cair memutar raksa.

Latihan 3.7 ★★

Sifon. Sebuah tabung membawa air dari tangki melewati puncak $2.0\,\mathrm{m}$ di atas permukaan bebasnya ke lubang keluar $3.0\,\mathrm{m}$ di bawahnya. (a) Kelajuan keluarnya dan, untuk tabung $2\,\mathrm{cm}$ , debitnya. (b) Tekanan di puncaknya. (c) Tinggi maksimum puncaknya agar sifonnya bekerja (tekanan uap airnya, $2.3\,\mathrm{kPa}$ , tidak boleh tercapai). (d) Mengapa sifonnya tidak bekerja jika tabungnya penuh udara?

Solusi

Solusi Latihan 3.7.

(a) $v = \sqrt{2g \times 3} = 7.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $D_V = \pi \times 10^{-4} \times 7.7 = 2.4\,\mathrm{L}/\mathrm{s}$ . (b) $P = P_0 - \rho g(2) - \tfrac12\rho v^2 = 100 - 19.6 - 29.4 = 51\,\mathrm{kPa}$ . (c) $P_0 - \rho gh_c - \tfrac12\rho v^2 \ge 2.3\,\mathrm{kPa}$ : $h_c \le 7.0\,\mathrm{m}$ . (d) Udara termampatkan dan ringan: tak ada kolom zat cair sinambung yang menyalurkan tekanannya, air di kedua sisinya sekadar tinggal diam.

Latihan 3.8 ★★

Sebuah pesawat ringan $1000\,\mathrm{kg}$ menjelajah dengan $60\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ di permukaan laut dengan sayap seluas $15\,\mathrm{m}^{2}$ . (a) Beda tekanan rata-rata antara kedua sisi sayapnya; koefisien gaya angkatnya. (b) Jika kelajuan di bawah sayapnya $58\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , berapakah kelajuan di atasnya (ambillah keadaan hulu yang sama)? (c) Sirkulasi mengelilingi profilnya dari rumus Kutta–Joukowski, untuk bentang $10\,\mathrm{m}$ . (d) Kelajuan macet jika $C_L$ tak dapat melampaui $1.4$ .

Solusi

Solusi Latihan 3.8.

(a) $\Delta P = mg/S = 654\,\mathrm{Pa}$ ; $\tfrac12\rho v^2 = 2.2\,\mathrm{kPa}$ , $C_L = 0.30$ . (b) $v_{\text{atas}}^2 = 58^2 + 2 \times 654/1.22$ : $66.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (c) $F_L' = 981\,\mathrm{N}/\mathrm{m} = \rho v\Gamma$ : $\Gamma = 13.4\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ . (d) $v = \sqrt{2mg/ \rho SC_L} = \sqrt{19620/25.6} = 28\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Latihan 3.9 ★★

Stenosis. Darah ( $\rho = 1060\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) mengalir dengan $0.50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dalam arteri berpenampang $0.50\,\mathrm{cm}^{2}$ pada $13\,\mathrm{kPa}$ di atas tekanan atmosfer. Sebuah plak menyempitkannya menjadi $0.10\,\mathrm{cm}^{2}$ . (a) Kelajuan dan tekanan dalam stenosisnya. (b) Jaringan di luar arterinya bertekanan sekitar $1\,\mathrm{kPa}$ : dapatkah arterinya kolaps? (c) Jika ia menyempit, kelajuannya naik lebih jauh: jelaskanlah gejala lepas kendalinya dan mengapa penyempitan semacam itu dapat mengibas.

Solusi

Solusi Latihan 3.9.

(a) $v_2 = 2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\Delta P = \tfrac12 \times 1060 \times (6.25 - 0.25) = 3.2\,\mathrm{kPa}$ , $P_2 = 9.8\,\mathrm{kPa}$ . (b) Masih di atas $1\,\mathrm{kPa}$ : tidak. (c) Pada $0.05\,\mathrm{cm}^{2}$ , $v = 5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dan $\Delta P = 13\,\mathrm{kPa}$ : $P_2 \approx 0$ , di bawah tekanan jaringannya — dindingnya kolaps, alirannya berhenti, tekanannya pulih, ia terbuka lagi: sebuah kibasan (bising yang didengar dokter).

Latihan 3.10 ★★★

Suhu stagnasi. Untuk gas sempurna dalam aliran isentropik tunak, $c_PT + v^2/2$ kekal sepanjang sebuah garis arus. (a) Tunjukkanlah bahwa udara yang dihentikan di hidung sebuah pesawat mencapai $T_0 = T(1 + \tfrac{\gamma - 1}{2}M^2)$ , dengan $M = v/c$ bilangan Mach dan $c = \sqrt{\gamma RT/M_{\text{mol}}}$ kelajuan bunyinya. (b) Suhu hidung sebuah pesawat penumpang pada $M = 0.85$ di udara $220\,\mathrm{K}$ ; sebuah pesawat supersonik pada $M = 2$ ; sebuah kapsul yang masuk kembali pada $M = 25$ (masihkah rumusnya bermakna?). (c) Tunjukkanlah bahwa rumus Pitot tak termampatkannya melebih-lebihkan kelajuannya pada $M = 0.85$ , dan kira-kira sebanyak apa (uraikanlah $P_0/P = (T_0/T)^{\gamma/(\gamma - 1)}$ sampai orde kedua dalam $M^2$ ).

Solusi

Solusi Latihan 3.10.

(a) $c_PT_0 = c_PT + v^2/2$ dengan $c_P = \gamma R/(\gamma - 1)M_{\text{mol}}$ dan $c^2 = \gamma RT/M_{\text{mol}}$ : $v^2/2c_PT = \tfrac12(\gamma - 1)M^2$ . (b) $M = 0.85$ : $T_0 = 220 \times 1.145 = 252\,\mathrm{K}$ ; $M = 2$ : $220 \times 1.8 = 396\,\mathrm{K}$ ; $M = 25$ : $220 \times 126 = 28\,000\,\mathrm{K}$ — tak bermakna: udaranya terurai dan terionkan, $c_P$ tidak tetap (suhu stagnasi nyatanya beberapa ribu kelvin). (c) $P_0/P = (1 + \tfrac{\gamma - 1}2M^2)^{\gamma/(\gamma - 1)} \approx 1 + \tfrac{\gamma}2M^2 + \tfrac{\gamma}8M^4$ , dan $\gamma PM^2 = \rho v^2$ : $P_0 - P = \tfrac12\rho v^2(1 + M^2/4)$ . Membaca $v$ dari $\sqrt{2(P_0 - P)/\rho}$ melebihkannya sebesar $\sqrt{1 + M^2/4} - 1 \approx 9\%$ pada $M = 0.85$ .

Latihan 3.11 ★★★

Peralihan saat dihidupkan. Sebuah pipa sepanjang $\ell = 50\,\mathrm{m}$ berpenampang seragam menghubungkan waduk besar (tinggi tekan $h = 5.0\,\mathrm{m}$ di atas lubang keluarnya) ke sebuah katup di ujung terbukanya. Katupnya dibuka pada $t = 0$ . (a) Integralkanlah Euler sepanjang pipanya untuk memperoleh $\ell\,\dd v/\dd t = gh - v^2/2$ . (b) Selesaikanlah: $v = V\tanh(Vt/2\ell)$ dengan $V = \sqrt{2gh}$ . (c) Waktu untuk mencapai $90\%$ kelajuan akhirnya. (d) Katupnya kini ditutup mendadak dalam $0.5\,\mathrm{s}$ dari aliran penuh: perkirakanlah perlambatan rata-ratanya dan tekanan lebihnya di katup dari $\rho\ell\,\dd v/\dd t$ — dan mengapa penutupan nyata menghasilkan jauh lebih besar (bab-bab berikutnya).

Solusi

Solusi Latihan 3.11.

(a) Dari permukaannya ( $v \approx 0$ , $P_0$ , tinggi $h$ ) ke lubang keluarnya ( $v$ , $P_0$ , tinggi $0$ ), dengan $\int\partial_tv\,\dd s = \ell\,\dd v/\dd t$ . (b) $\dd v/(V^2 - v^2) = \dd t/2\ell$ , $V^2 = 2gh$ : $\operatorname{artanh}(v/V) = Vt/2\ell$ . (c) $V = 9.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\tanh x = 0.9$ pada $x = 1.47$ : $t = 2\ell x/V = 15\,\mathrm{s}$ . (d) $\dd v/\dd t \approx -20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : $\Delta P = \rho\ell \times 20 = 9.9\,\mathrm{bar}$ . Air sedikit termampatkan: penutupan cepat melontarkan gelombang tekanan, $\Delta P = \rho c\Delta v \approx 140\,\mathrm{bar}$ .

Latihan 3.12 ★★★

Permukaan bebas sebuah vorteks. Air berputar sebagai vorteks titik Bab 2, $v_\theta = \Gamma/2\pi r$ , irotasional, dengan permukaan bebas di $z = 0$ jauh dari sana. (a) Mengapa Bernoulli boleh diterapkan antara dua titik mana pun? (b) Bentuk permukaan bebasnya $z(r)$ . (c) Di dalam inti Rankine ( $r < a$ , $v_\theta = \Omega r$ , berotasi) pakailah Euler dalam kerangka berputar atau langsung: tunjukkanlah $z = z(a) + \Omega^2(r^2 - a^2)/2g$ . (d) Kedalaman total corongnya bagi vorteks bak mandi dengan $\Gamma = 0.03\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ dan $a = 5\,\mathrm{mm}$ ; bagi puting beliung ( $\Gamma = 3 \times 10^{4}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , $a = 60\,\mathrm{m}$ , di udara: nyatakanlah hasilnya sebagai penurunan tekanan di pusatnya).

Solusi

Solusi Latihan 3.12.

(a) Tunak, sempurna, tak termampatkan dan irotasional: satu tetapan bagi seluruh alirannya. (b) Pada permukaannya $P = P_0$ : $\tfrac12\rho v^2 + \rho gz = 0$ , $z = -\Gamma^2/8\pi^2gr^2$ . (c) Euler radial: $\partial_rP = \rho\Omega^2r$ , hidrostatika tegak: permukaannya memenuhi $z(r) - z(a) = \Omega^2(r^2 - a^2)/2g$ . (d) Bak mandi: $\Omega = \Gamma/2\pi a^2 = 191\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ; $z(a) = -\Omega^2a^2/ 2g = -4.7\,\mathrm{cm}$ , dan intinya menambahkan $4.7\,\mathrm{cm}$ lagi: dalamnya $9.3\,\mathrm{cm}$ . Puting beliung: $\Delta P = \tfrac12\rho v_{\max}^2$ di luar ditambah sebanyak itu pula di dalam: $\rho v_{\max}^2 = 1.2 \times 6400 = 7.7\,\mathrm{kPa}$ di bawah tekanan sekitar di pusatnya.

Dua pipa pesat membawa air sebuah waduk pegunungan turun ke rumah turbin: tinggi tekan dua ratus meter, yang diubah teorema Bernoulli menjadi pancaran enam puluh meter tiap sekon.

3.5 Soal: Bendungan, pipa pesat dan turbin

Soal 3.1

Soal akhir pekan — sebuah pembangkit listrik tenaga air dari waduknya sampai pancarannya: tekanan, kelajuan, daya, rugi-rugi dan palu air

Sebuah waduk menampung air sedalam $150\,\mathrm{m}$ di balik bendungan; permukaan bebasnya berada $H = 200\,\mathrm{m}$ di atas corong sebuah turbin. Sebuah pipa pesat (pipa baja) berdiameter $D = 3.0\,\mathrm{m}$ dan sepanjang $\ell = 400\,\mathrm{m}$ membawa debit rancangan $D_V = 60\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ turun ke rumah turbinnya, tempat sebuah corong mengubahnya menjadi pancaran bebas pada tekanan atmosfer $P_0 = 1.0\,\mathrm{bar}$ yang menghantam mangkuk sebuah roda Pelton. $\rho = 1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; fluidanya sempurna kecuali dinyatakan lain.

Bagian I — Dalam keadaan diam dan pada debit rancangan.

Tekanan di dasar bendungannya, dan gaya pada jalur tegak selebar $1\,\mathrm{m}$ pada bendungannya dari puncak sampai dasar.
Dengan katup turbinnya tertutup, tekanan dalam pipa pesatnya di rumah turbin.
Kelajuan dalam pipa pesatnya pada debit rancangan; tekanan dinamiknya di sana; tekanan di ujung pipa pesat pada rumah turbinnya (sebelum corongnya), lewat Bernoulli dari permukaan waduknya.
Kelajuan pancaran bebasnya; penampang dan diameter corongnya.
Daya kinetik yang diemban pancarannya; tunjukkanlah bahwa ia sama dengan $\rho gD_VH$ lalu hitunglah.
Massa dan energi kinetik air yang termuat dalam pipa pesatnya pada debit rancangan; waktu singgah sebuah partikel menuruni pipanya.
Tunjukkanlah bahwa tinggi tekan $H$ terbagi, pada debit rancangan, antara tekanan di dasar pipa pesatnya dan energi kinetik airnya, dan bahwa corongnya mengubah yang pertama menjadi yang kedua: berapa tekanan tepat sesudah corongnya?
Fluida sempurna tak mengenal rugi tinggi tekan, fluida nyata mengenalnya: ruginya dalam sebuah pipa adalah $\Delta P = \lambda(\ell/D)\,\tfrac12\rho v^2$ dengan $\lambda \approx 0.015$ bagi baja licin. Rugi tinggi tekannya dalam meter air, dan bagian daya yang hilang.
Seorang insinyur mengusulkan pipa pesat $2\,\mathrm{m}$ untuk menghemat baja. Ulangilah pertanyaan 7; berilah tanggapan.

Bagian II — Mengukur debitnya. Sebuah Venturi dipasang di dalam pipa pesatnya, dengan leher $2.0\,\mathrm{m}$ .

Kelajuan di lehernya dan penurunan tekanan antara pipanya dan lehernya pada debit rancangan.
Penurunannya dibaca pada manometer raksa ( $\rho_{\text{Hg}} = 13\,600\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ): beda tingginya.
Tunjukkanlah bahwa debitnya sebanding dengan akar kuadrat bacaan manometernya, lalu berikanlah bacaannya pada separuh debit rancangan.
Mengapa lubang tekanannya harus rata dengan dindingnya dan tidak menjulur ke dalam alirannya?
Sepenggal pipanya melintas, karena alasan topografi, di atas sebuah punggungan $6\,\mathrm{m}$ di atas permukaan waduknya. Tekanannya di sana pada debit rancangan; apa yang terjadi, dan apa yang harus dilakukan perancangnya?

Bagian III — Keadaan tak tunak. Waduknya berluas permukaan $A = 2.0\,\mathrm{km}^{2}$ .

Laju turunnya muka waduknya pada debit rancangan, dalam sentimeter tiap jam.
Turbinnya dihentikan dan corongnya (penampang dari pertanyaan 4) dibiarkan terbuka ke udara: waduknya terkuras oleh gravitasi. Tuliskanlah neraca massanya lalu carilah mukanya $h(t)$ (aliran Torricelli kuasi-tunak).
Waktu bagi mukanya untuk turun $10\,\mathrm{m}$ ; bandingkanlah dengan waktunya pada debit rancangan yang tetap.
Menghidupkan pembangkitnya: pipa pesatnya penuh, corongnya dibuka pada $t = 0$ . Dengan mengambil kelajuannya seragam sepanjang pipa pesatnya dan mengabaikan bentuk corongnya, integralkanlah Euler sepanjang pipanya untuk memperoleh $\ell\,\dd v/\dd t = gH - v^2/2$ , selesaikanlah, lalu berikanlah tetapan waktunya.
Selama penghidupan ini, pada saat $v$ separuh nilai akhirnya, berapakah tekanan di dasar pipa pesatnya? Jelaskanlah tanda selisihnya terhadap nilai tunaknya.

Bagian IV — Menutup katupnya.

Katup di turbinnya ditutup dalam $\tau = 10\,\mathrm{s}$ ; andaikanlah air dalam pipa pesatnya diperlambat secara seragam. Dengan memakai Euler sepanjang pipanya, perkirakanlah tekanan lebih di katupnya, dalam bar.
Bagi penutupan cepat airnya tidak tak termampatkan: gelombang tekanan menjalar naik menyusuri pipanya dengan $c = 1400\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (kelajuan bunyi dalam air di dalam pipa baja — Bab 7), dan tekanan lebihnya adalah $\Delta P = \rho c\,\Delta v$ (Joukowsky). Nilainya bagi penghentian mendadak dari debit rancangan; bandingkanlah dengan tekanan statiknya. Berapa lama gelombangnya mencapai waduk dan kembali, dan apa artinya itu bagi makna kata “cepat”?
Untuk melindungi pipa pesatnya sebuah tangki peredam — sumuran tegak terbuka berpenampang $A_s = 100\,\mathrm{m}^{2}$ — disambungkan di tempat terowongan mendatar sepanjang $L = 2000\,\mathrm{m}$ berpenampang $A = 7.0\,\mathrm{m}^{2}$ dari waduknya bertemu dengan pipa pesatnya. Sesudah penutupan mendadak, air dalam terowongannya terus bergerak dan muka $z$ dalam sumurannya naik. Tuliskanlah kekekalan massa antara terowongan dan sumurannya.
Integralkanlah Euler sepanjang terowongannya (fluida sempurna) untuk menunjukkan bahwa $z$ menuruti $\ddot z + \dfrac{gA}{LA_s}z = 0$ ; periode osilasinya.
Kenaikan muka maksimum dalam sumurannya sesudah penutupan dari debit rancangan (argumen energi: energi kinetik air terowongannya menjadi energi potensial dalam sumurannya).
Rangkumlah: kelima tekanan yang dijumpai dalam pembangkit ini (statik di bendungannya, statik di turbinnya, dinamik dalam pipanya, palu air, dan lonjakan) serta hukum yang memberi masing-masingnya.

Solusi

Solusi Soal 3.1.

1. $\rho g \times 150 = 14.7\,\mathrm{bar}$ di atas atmosfer; $\tfrac12\rho gH_d^2 \times 1\,\mathrm{m} = 1.1 \times 10^{8}\,\mathrm{N}$ .

2. $\rho gH = 19.6\,\mathrm{bar}$ terukur, $20.6\,\mathrm{bar}$ mutlak.

3. $v = 60/7.07 = 8.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\tfrac12\rho v^2 = 0.36\,\mathrm{bar}$ ; $P = P_0 + \rho gH - \tfrac12\rho v^2 = 20.3\,\mathrm{bar}$ mutlak.

4. $v_j = \sqrt{2gH} = 62.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $s = 60/62.6 = 0.96\,\mathrm{m}^{2}$ , $d = 1.1\,\mathrm{m}$ .

5. $\tfrac12\rho D_Vv_j^2 = \tfrac12\rho D_V(2gH) = \rho gD_VH = 118\,\mathrm{MW}$ .

6. $m = \rho S\ell = 2.8 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}$ , $E_k = \tfrac12mv^2 = 1.0 \times 10^{8}\,\mathrm{J}$ ; singgahnya $\ell/v = 47\,\mathrm{s}$ .

7. $\rho gH = (P - P_0) + \tfrac12\rho v^2$ : $19.3\,\mathrm{bar}$ berupa tekanan dan $0.36\,\mathrm{bar}$ berupa energi kinetik; dalam corongnya tekanannya turun ke $P_0$ sementara $\tfrac12\rho v^2$ naik ke $\rho gH$ : tepat sesudahnya, $P = P_0$ .

8. $\Delta h = \lambda(\ell/D)v^2/2g = 0.015 \times 133 \times 3.67 = 7.3\,\mathrm{m}$ , $3.7\%$ dayanya.

9. $v = 19.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $v^2/2g = 18.6\,\mathrm{m}$ , $\Delta h = 0.015 \times 200 \times 18.6 = 56\,\mathrm{m}$ : $28\%$ hilang — penghematan bajanya dibayar setiap sekon dalam bentuk energi.

10. $v_t = 60/\pi = 19.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\Delta P = 500(19.1^2 - 8.49^2) = 146\,\mathrm{kPa}$ .

11. $\Delta P = (\rho_{\text{Hg}} - \rho)g\,\Delta h$ : $\Delta h = 146000/(12600 \times 9.81) = 1.18\,\mathrm{m}$ .

12. $\Delta P \propto v^2 \propto D_V^2$ : $D_V \propto \sqrt{\Delta h}$ ; separuh debitnya memberi seperempatnya, $0.30\,\mathrm{m}$ .

13. Lubang yang menjulur menghadap atau mengganggu alirannya lalu membaca sebagian tekanan dinamiknya (sebuah Pitot), bukan tekanan statiknya.

14. $P = P_0 - \rho g \times 6 - \tfrac12\rho v^2 = 100 - 59 - 36 = 5\,\mathrm{kPa}$ : dekat tekanan uapnya, udara terlarutnya keluar dan airnya dapat mendidih (kavitasi), sehingga memutus kolomnya. Turunkanlah punggungannya, atau pasanglah katup udara dan pompa hampa, atau kurangilah debitnya.

15. $D_V/A = 60/2 \times 10^6 = 3 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 11\,\mathrm{cm}/\mathrm{h}$ .

16. $A\,\dd h/\dd t = -s\sqrt{2gh}$ : $\sqrt h = \sqrt{h_0} - (s/A)\sqrt{g/2}\,t$ .

17. $\Delta t = (A/s)\sqrt{2/g}(\sqrt{200} - \sqrt{190}) = 2.09 \times 10^6 \times 0.45 \times 0.36 = 3.4 \times 10^{5}\,\mathrm{s} = 3.9\,\mathrm{hari}$ ; pada debit rancangan yang tetap $10A/D_V = 3.3 \times 10^{5}\,\mathrm{s}$ : hampir sama, sebab corongnya memang diukur bagi aliran Torricelli pada $h \approx H$ .

18. $\ell\,\dd v/\dd t = gH - v^2/2$ : $v = V\tanh(Vt/2\ell)$ , $V = 62.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , tetapan waktunya $2\ell/V = 13\,\mathrm{s}$ .

19. Pada $v = V/2$ : $\dd v/\dd t = (gH - V^2/8)/\ell = 3.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $P = P_0 + \rho gH - \tfrac12\rho v^2 - \rho\ell\,\dd v/\dd t = 1.0 + 19.6 - 4.9 - 14.7 = 1.0\,\mathrm{bar}$ : sebagian besar tinggi tekannya sibuk mempercepat kolomnya, sehingga tekanan di dasarnya jauh di bawah nilai tunaknya.

20. $|\dd v/\dd t| = 8.49/10 = 0.85\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : $\Delta P = \rho\ell \times 0.85 = 3.4\,\mathrm{bar}$ .

21. $\Delta P = 1000 \times 1400 \times 8.49 = 119\,\mathrm{bar}$ , enam kali tekanan statiknya. Perjalanan pulang pergi gelombangnya $2\ell/c = 0.57\,\mathrm{s}$ : penutupan yang lebih cepat daripada itu tergolong “mendadak” dan memperoleh tekanan lebih Joukowsky penuh; penutupan yang lebih lambat memperoleh lebih sedikit.

22. $Av = A_s\,\dd z/\dd t$ .

23. Euler sepanjang terowongannya, dari waduknya (tekanan $P_0 + \rho g\times$ kedalaman) ke kaki sumurannya (tekanan $P_0 + \rho g (\text{kedalaman} + z)$ ): $\rho L\,\dd v/\dd t = -\rho gz$ ; dengan $v = (A_s/A)\dot z$ : $\ddot z + (gA/LA_s)z = 0$ ; $T = 2\pi\sqrt{LA_s/gA} = 2\pi\sqrt{2000 \times 100/ 68.7} = 340\,\mathrm{s} \approx 5.7\,\mathrm{min}$ .

24. $\tfrac12\rho ALv^2 = \tfrac12\rho gA_sz_{\max}^2$ dengan $v = 60/7 = 8.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $z_{\max} = v\sqrt{AL/gA_s} = 32\,\mathrm{m}$ .

25. Bendungan: hidrostatika, $\rho gh$ . Turbin dengan katup tertutup: hal yang sama, $\rho gH$ . Pipa pesat saat beroperasi: Bernoulli, $\tfrac12\rho v^2$ diambil dari tinggi tekan statiknya. Palu air: kemampatan, $\rho c\Delta v$ . Lonjakan: Euler tak tunak sepanjang terowongannya, sebuah osilasi berperiode $2\pi\sqrt{LA_s/gA}$ .

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Fluida sempurna

Lihat semua 393 istilah di glosarium