Fisika Universitas — Tahun 2 · Bachelor Year 2

25Hantaran Kalor

Sentuhlah sebuah rel logam dan sebuah bangku kayu pada pagi yang dingin yang sama: relnya terasa lebih dingin, meskipun sebuah termometer memberi keduanya suhu yang sama. Taruhlah sebuah panci di atas tungku dan gagangnya menghangat hanya sesudah beberapa saat; galilah dua meter ke bawah pada musim panas dan tanahnya masih dingin dari musim dinginnya; sebuah prosesor yang melesapkan seratus watt pada satu sentimeter persegi tak melebur karena sebongkah aluminium bersirip duduk di atasnya. Semua ini adalah hantaran kalor, yaitu pengangkutan energi dalam menembus materi lewat keriuhan molekulnya, tanpa aliran materi — dan semuanya menuruti satu hukum, hukum Fourier, dan satu persamaan, yaitu persamaan kalor, yang merupakan persamaan difusi bab terdahulu dengan suhu menggantikan kerapatan. Bab ini menyiapkan hukum dan persamaannya dari sebuah imbangan energi, menyelesaikannya dalam hal yang berarti (dinding tegar dan hambatan termalnya, pemanasan berkala dan gelombang termal, sirip pendingin), memperkenalkan pertukaran dengan sebuah fluida (hukum Newton dan bilangan Biot), lalu menghitung entropi yang diciptakan hantarannya — sebab kalor hanya mengalir menurun.

Sebuah pelesap kalor bersirip pada sebuah prosesor: seratus watt yang dihantarkan keluar dari satu sentimeter persegi silikon, disebar menembus sebuah alas logam, lalu diserahkan kepada udaranya oleh sirip yang melipatgandakan permukaannya tiga puluh kali.

25.1 Hukum Fourier

Definisi 25.1 (Rapat arus kalor)

Rapat arus kalor $\vect{j}_Q$ (dalam $\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ) adalah vektor yang energi yang teralihkan lewat hantaran menembus sebuah elemen permukaan berarah $\dd\vect S$ selama $\dd t$ adalah $\vect{j}_Q\cdot\dd\vect S\,\dd t$ ; fluks termal (sebuah daya, dalam watt) menembus sebuah permukaan $S$ adalah $\Phi = \iint_S\vect{j}_Q\cdot\dd\vect S$ .

Teorema 25.2 (Hukum Fourier)

Dalam medium yang diam yang suhunya tak seragam,

\vect{j}_Q = -\lambda\,\vect{\operatorname{grad}}\,T ,

dengan konduktivitas termal $\lambda > 0$ (dalam $\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ ) bergantung pada bahannya dan, lemah, pada suhunya. Kalor mengalir menuruni gradien suhunya, dari panas ke dingin — yaitu hukum kedua yang terbangun ke dalam sebuah hukum linear.

Bukti. Fenomenologis, seperti hukum Fick, dan dengan pembenaran mikroskopis yang sama: molekulnya (atau elektron bebas sebuah logam, atau getaran kisinya) mengemban energinya pada sebuah jalan acak, dan lebih banyak darinya datang dari sisi yang panas. ∎

Contoh 25.3 (Konduktivitas)

Logam (elektronnya mengemban kalornya sekaligus arusnya — konduktivitasnya saling mengikuti): tembaga $400\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ , aluminium $240\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ , baja $50\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ . Zat padat penyekat: beton $1.5\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ , kaca $1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ , bata $0.8\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ , kayu $0.15\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ . Cairan: air $0.6\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ . Gas: udara $0.026\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ — dan penyekat terbaiknya, wol kaca atau busa pada $0.04\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ , sebagian besarnya udara diam, yang terperangkap sehingga ia tak dapat berkonveksi. Empat orde besaran dari tembaga ke udara.

25.2 Imbangan energi dan persamaan kalor

Teorema 25.4 (Imbangan energi setempat)

Dalam sebuah zat padat (atau fluida yang diam) berkerapatan $\rho$ dan berkalor jenis $c$ , dengan daya $p$ yang dilepaskan tiap satuan volume (pemanasan Joule, sebuah reaksi kimia atau nuklir, radiasi yang terserap),

\rho c\,\frac{\partial T}{\partial t} = -\operatorname{div}\vect{j}_Q + p , \qquad\text{dalam satu dimensi}\quad \rho c\,\frac{\partial T}{\partial t} = -\frac{\partial j_Q}{\partial x} + p .

Bukti. Hukum pertama bagi lempeng antara $x$ dan $x + \dd x$ (berpenampang $S$ , bervolume tetap, jadi tanpa kerja): energi dalamnya $\rho c\,T\,S\,\dd x$ berubah dalam $\dd t$ sebesar kalor yang diterimanya, $[j_Q(x) - j_Q(x+\dd x)]S\,\dd t = -\partial_x j_Q\,\dd x\,S\,\dd t$ , ditambah $p\,S\,\dd x\,\dd t$ . Dalam tiga dimensi kalor yang memasuki sebuah volume tetap menembus permukaan tertutupnya adalah $-\iint\vect{j}_Q\cdot\dd\vect S = -\iiint\operatorname{div}\vect{j}_Q\,\dd\tau$ . ∎

Teorema 25.5 (Persamaan kalor)

Bagi $\lambda$ , $\rho$ , $c$ yang seragam,

\frac{\partial T}{\partial t} = a\,\Delta T + \frac{p}{\rho c}, \qquad a = \frac{\lambda}{\rho c} \quad\text{(yaitu \emph{difusivitas termal}, dalam $\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$)} .

Segala yang dikatakan tentang persamaan difusinya berlaku: kelinearan, ketakterbalikan, pemulusan, dan skala $L \sim \sqrt{at}$ , $t \sim L^2/a$ .

Bukti. Sisipkanlah hukum Fourier ke dalam imbangannya: $\rho c\,\partial_t T = \lambda\Delta T + p$ . ∎

Contoh 25.6 (Difusivitas dan waktu)

Tembaga $a = 1.1 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , udara $2 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , beton dan bata $\approx 5 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , air $1.4 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , kayu $1 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ . Kalor menyeberangi sesentimeter tembaga dalam sesekon, sesentimeter bata dalam tiga menit, sebuah dinding $20\,\mathrm{cm}$ dalam sehari (itulah sebabnya dinding tebal memuluskan daur siang–malam), setengah tebal $1.5\,\mathrm{cm}$ sebuah bistik dalam seperempat jam (waktu memasak berskala sebagai kuadrat tebalnya), dan sekilometer batuan dalam $10^{12}\,\mathrm{s}$ , tiga puluh ribu tahun — Bumi masih mendingin sejak pembentukannya.

25.3 Rezim tegar: hambatan termal

Proposisi 25.7 (Hambatan termal sebuah lempeng)

Dalam rezim tegar tanpa sumber, sebuah lempeng setebal $e$ , berluas $S$ , berkonduktivitas $\lambda$ , antara suhu $T_1$ dan $T_2$ , mempunyai profil linear lalu mengemban fluks

\Phi = \frac{T_1 - T_2}{R_{\text{th}}}, \qquad R_{\text{th}} = \frac{e}{\lambda S}\quad\text{(dalam $\mathrm{K}/\mathrm{W}$)} :

yaitu hambatan termal-nya. Suhu berperan sebagai potensial, fluksnya sebagai arus: hambatan yang terseri (lapisan sebuah dinding) bertambah, hambatan yang terparalel (dinding dan jendela) menjumlahkan kebalikannya. Bagi sebuah selubung silinder (penyekat sebuah pipa) antara jari-jari $r_1 < r_2$ dan sepanjang $\ell$ , $R_{\text{th}} = \ln(r_2/r_1)/2\pi\lambda\ell$ ; bagi sebuah selubung bola, $(1/r_1 - 1/r_2)/4\pi\lambda$ .

Bukti. $\dd^2T/\dd x^2 = 0$ : profilnya afin, $j_Q = \lambda(T_1 - T_2)/e$ seragam, $\Phi = j_QS$ . Dalam geometri silinder $\Phi = -\lambda\,2\pi r\ell\,\dd T/\dd r$ sama pada setiap $r$ (tanpa penimbunan), jadi $T = A - (\Phi/2\pi\lambda\ell)\ln r$ ; dalam geometri bola, $\Phi = -4\pi r^2\lambda\,\dd T/\dd r$ memberi $T = A + \Phi/4\pi\lambda r$ . ∎

Proposisi 25.8 (Pertukaran dengan sebuah fluida: hukum Newton)

Sebuah permukaan padat pada $T_{\text{s}}$ yang bersentuhan dengan sebuah fluida pada $T_{\text{f}}$ (jauh dari permukaannya) kehilangan rapat fluks

j_Q = h\,(T_{\text{s}} - T_{\text{f}}) ,

dengan koefisien alih kalor $h$ (dalam $\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ ) merangkum hantaran menembus lapisan fluida tipis yang melekat pada dindingnya dan konveksi yang memperbaruinya: $h \approx 5$ – $25\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ bagi udara dalam konveksi alami atau ringan, $50$ – $500\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ bagi udara paksa, $10^3$ – $10^4$ bagi air. Permukaannya lalu menambahkan sebuah hambatan selaput $1/hS$ terseri dengan dindingnya.

Bukti. Fenomenologis: gerak fluidanya tak dihitung, ia dirangkum dalam $h$ (yang diukur, atau diberikan korelasi mekanika fluida). ∎

Sebuah dinding majemuk dan rangkaian termalnya: selaput, bata, wol, selaput yang terseri. Kanan: profil suhunya — hampir seluruh penurunannya jatuh pada lapisan berhambatan terbesar, yaitu wolnya, meskipun ia yang paling tipis.

Contoh 25.9 (Sebuah dinding dan sebuah jendela)

Tiap meter persegi: bata $20\,\mathrm{cm}$ pada $0.8\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ , $R = 0.25\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ ; kedua selaputnya, $1/8 + 1/25 = 0.165\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ : totalnya $0.415$ , yakni $U = 1/R = 2.4\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ dan, bagi beda $20\,\mathrm{K}$ , $48\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ . Tambahkanlah $10\,\mathrm{cm}$ wol kaca, $R = 2.5\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ : totalnya menjadi $2.9$ , $U = 0.34\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ — tujuh kali lebih kecil. Sebuah kaca tunggal, $4\,\mathrm{mm}$ pada $1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ , seluruhnya selaput: $R = 0.004 + 0.165$ , $U \approx 6\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ ; sebuah lapisan udara diam $12\,\mathrm{mm}$ di antara dua kaca menambahkan $0.012/0.026 = 0.46\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ lalu membagi ruginya dengan lebih dari tiga.

Definisi 25.10 (Bilangan Biot)

Bagi sebuah zat padat berukuran $L$ yang bertukar dengan sebuah fluida, bilangan Biot

\mathrm{Bi} = \frac{hL}{\lambda} = \frac{\text{hambatan dalam } L/\lambda S}{\text{hambatan selaput } 1/hS}

membandingkan keduanya. Jika $\mathrm{Bi} \ll 1$ zat padatnya seragam dalam suhu pada setiap saat lalu mendingin sebagai satu kesatuan, secara eksponensial dengan tetapan waktu $\tau = \rho c V/hS$ ; jika $\mathrm{Bi} \gg 1$ permukaannya berada pada suhu fluidanya dan bagian dalamnya menghantar dengan laju $L^2/a$ -nya sendiri.

25.4 Pemanasan berkala: gelombang termal

Proposisi 25.11 (Gelombang termal dalam sebuah setengah ruang)

Jika permukaan $x = 0$ sebuah setengah ruang ditahan pada $T(0,t) = T_0 + \theta_0\cos\omega t$ , suhu di dalamnya adalah, dalam rezim mapan,

T(x,t) = T_0 + \theta_0\,\eu^{-x/\delta}\cos\Big(\omega t - \frac{x}{\delta}\Big), \qquad \delta = \sqrt{\frac{2a}{\omega}} :

sebuah gelombang yang merambat ke dalam dengan kelajuan $\omega\delta = \sqrt{2a\omega}$ dan teredam sepanjang satu kedalaman tembus $\delta$ tiap radian fase — sebesar $\eu^{-2\pi} = 2 \times 10^{-3}$ tiap panjang gelombang. Ayunan cepat menembus lebih sedikit daripada yang lambat.

Bukti. Carilah $\underline T = \theta_0\eu^{\iu(\omega t - \underline k x)}$ : $\iu\omega = -a\underline k^2$ , jadi $\underline k^2 = -\iu\omega/a$ , $\underline k = (1 - \iu)\sqrt{\omega/2a} = (1 - \iu)/\delta$ (yaitu akar yang meluruh bagi $x > 0$ ). Ambillah bagian nyatanya. ∎

Gelombang termalnya pada tiga saat: ayunan permukaannya menembus sebagai gelombang teredam, amplitudonya turun sebagai -x/ (garis putus) dan fasenya tertinggal sebesar x/ — pada x = π suhunya berlawanan dengan suhu permukaannya. — Gelombang termalnya pada tiga saat: ayunan permukaannya menembus sebagai gelombang teredam, amplitudonya turun sebagai $\eu^{-x/\delta}$ (garis putus) dan fasenya tertinggal sebesar $x/\delta$ — pada $x = \pi\delta$ suhunya berlawanan dengan suhu permukaannya.

Contoh 25.12 (Tanah, ruang bawah tanah dan anggur)

Tanah, $a \approx 5 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ . Daur harian, $\omega = 2\pi/86\,400\,\mathrm{s}$ : $\delta = 12\,\mathrm{cm}$ — setengah meter ke bawah hari itu lenyap. Daur tahunan: $\delta = 2.2\,\mathrm{m}$ ; pada kedalaman itu ayunan $10\,\mathrm{K}$ musim panas–dingin turun menjadi $3.7\,\mathrm{K}$ dan tertinggal satu radian, dua bulan: ruang bawah tanahnya paling dingin pada bulan Maret dan paling hangat pada bulan September, dan pada $5\,\mathrm{m}$ ia $1\,\mathrm{K}$ dari tetap — yaitu ruang bawah tanah yang menyimpan anggur. Matematika yang sama memberi kedalaman kulit elektromagnetisme (Bab 14): persamaan yang sama, $\sqrt{2/(\text{difusivitas} \times\omega)}$ yang sama.

25.5 Sirip

Proposisi 25.13 (Sirip pendingin)

Sebuah batang atau keping tipis (berpenampang $S$ , berkeliling $p$ , berkonduktivitas $\lambda$ ) yang terpasang di $x = 0$ pada sebuah dinding bersuhu $T_0$ , dalam sebuah fluida bersuhu $T_{\text{f}}$ dengan koefisien $h$ , mempunyai suhu lebihnya $\theta = T - T_{\text{f}}$ yang menuruti

\frac{\dd^2\theta}{\dd x^2} = m^2\theta, \qquad m = \sqrt{\frac{hp}{\lambda S}} ;

bagi sebuah sirip panjang, $\theta = \theta_0\eu^{-mx}$ dan siripnya melesapkan $\Phi = \sqrt{hp\lambda S}\,\theta_0$ — sebanyak sebuah permukaan telanjang sepanjang $\sqrt{\lambda S/hp} = 1/m$ , dengan suhu yang telah turun menjadi $\theta_0/\eu$ di $x = 1/m$ . Bagi sebuah sirip sepanjang berhingga $L$ (ujungnya adiabatik), $\theta = \theta_0\cosh m(L-x)/\cosh mL$ dan efisiensi-nya — yaitu fluksnya dibagi fluks sebuah sirip isotermal pada $\theta_0$ — adalah $\eta = \tanh(mL)/mL$ .

Bukti. Imbangan tegar irisan $[x, x + \dd x]$ : yang terhantarkan masuk, $-\lambda S\theta'(x)$ ; keluar, $-\lambda S\theta'(x + \dd x)$ ; yang hilang ke fluidanya, $hp\,\theta\,\dd x$ : $\lambda S\theta'' = hp\theta$ . Fluks di alasnya adalah $-\lambda S\theta'(0)$ : $\lambda Sm\theta_0$ bagi sirip panjangnya, $\lambda Sm\theta_0\tanh mL$ bagi yang berhingga, untuk dibandingkan dengan $hpL\theta_0$ . Bilangan Biot menyeberangi tebal siripnya, $ht/\lambda$ , harus kecil bagi garapan satu dimensinya. ∎

Kiri: suhu sepanjang sebuah sirip, bagi sirip panjang dan dua yang berhingga (ujung adiabatik) — di luar mx 2 sebuah sirip menambahkan sedikit. Kanan: imbangan sebuah irisan: hantaran sepanjangnya, konveksi keluar menembus kelilingnya. — Kiri: suhu sepanjang sebuah sirip, bagi sirip panjang dan dua yang berhingga (ujung adiabatik) — di luar $mx \approx 2$ sebuah sirip menambahkan sedikit. Kanan: imbangan sebuah irisan: hantaran sepanjangnya, konveksi keluar menembus kelilingnya.

Contoh 25.14 (Sebuah pelesap kalor)

Sirip aluminium setebal $1\,\mathrm{mm}$ ( $p/S \approx 2/t = 2000\,\mathrm{m}^{-1}$ ), setinggi $30\,\mathrm{mm}$ , dalam udara paksa $h = 50\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ : $m = \sqrt{2h/\lambda t} = 20\,\mathrm{m}^{-1}$ , $mL = 0.6$ , $\eta = 0.89$ — siripnya bekerja pada $89\%$ luasnya. Tiga puluh siripnya, selebar $60\,\mathrm{mm}$ , menawarkan $0.11\,\mathrm{m}^{2}$ yang bujur sangkar telanjang $60\,\mathrm{mm}$ -nya menawarkan $0.0036\,\mathrm{m}^{2}$ : sebuah hambatan $1/\eta hA = 0.2\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ alih-alih $5.6\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ ; $100\,\mathrm{W}$ menaikkan alasnya sebesar $20\,\mathrm{K}$ alih-alih $560\,\mathrm{K}$ . Sirip yang lebih panjang memperoleh sedikit ( $\tanh$ menjenuh), yang lebih tipis kehilangan efisiensi: $mL \approx 1$ adalah kompromi sang insinyur.

25.6 Entropi yang diciptakan hantaran

Proposisi 25.15 (Produksi entropi)

Sebuah fluks $\Phi$ yang dihantarkan dari sebuah benda bersuhu $T_{\text{h}}$ ke sebuah benda bersuhu $T_{\text{c}} < T_{\text{h}}$ menembus sebuah dinding tegar menciptakan entropi dengan laju

\dot S_{\text{c}} = \Phi\Big(\frac{1}{T_{\text{c}}} - \frac{1}{T_{\text{h}}}\Big) > 0 ;

secara setempat, hantarannya menciptakan $\sigma_s = \lambda\,(\vect{\operatorname{grad}}\,T)^2/T^2 \ge 0$ tiap satuan volume dan waktu — nol hanya di tempat suhunya seragam. Hantaran kalor bersifat takterbalikkan: energi yang sama, yang diserahkan pada suhu yang lebih rendah, dapat melakukan kerja yang lebih sedikit.

Bukti. Keadaan dindingnya tak berubah, jadi entropinya tetap: benda yang panas kehilangan $\Phi/T_{\text{h}}$ tiap satuan waktu, yang dingin memperoleh $\Phi/T_{\text{c}}$ ; selisihnya diciptakan. Secara setempat, imbangan entropinya $\partial_t(\rho s) + \operatorname{div}(\vect{j}_Q/T) = \sigma_s$ dengan $\rho T\partial_t s = -\operatorname{div}\vect{j}_Q$ memberi $\sigma_s = \vect{j}_Q\cdot\vect{\operatorname{grad}}(1/T) = -\vect{j}_Q\cdot \vect{\operatorname{grad}}\,T/T^2 = \lambda(\vect{\operatorname{grad}}\,T)^2/T^2$ . ∎

Metode 25.16 (Taksiran hantaran)

(1) Tegar: bangunlah rangkaian termalnya — lempeng $e/\lambda S$ , selaput $1/hS$ , selubung $\ln(r_2/r_1)/2\pi\lambda\ell$ ; terseri dan terparalel. (2) Peralihan: $\mathrm{Bi} = hL/\lambda$ ; jika kecil, $\tau = \rho cV/hS$ ; jika besar, $t \sim L^2/a$ . (3) Berkala: $\delta = \sqrt{2a/\omega}$ , peredamannya $\eu^{-x/\delta}$ , tundanya $x/\delta$ . (4) Sumber: $p$ tiap satuan volume, profil parabolik. (5) Sirip: $m = \sqrt{hp/\lambda S}$ , $\eta = \tanh(mL)/mL$ . (6) Entropi: $\Phi(1/T_{\text{c}} - 1/T_{\text{h}})$ .

25.7 Latihan

Latihan 25.1 ★

Sebuah dinding bata setebal $20\,\mathrm{cm}$ ( $\lambda = 0.8\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ ), $100\,\mathrm{m}^{2}$ , antara $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ di dalam dan $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ di luar (permukaannya pada suhu ini): tentukanlah rapat fluksnya, fluks totalnya; dan dengan $10\,\mathrm{cm}$ wol kaca ( $0.04\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ ) ditambahkan.

Solusi

Solusi Latihan 25.1.

$j = \lambda\Delta T/e = 80\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; $8\,\mathrm{kW}$ ; dengan wolnya $R = 0.25 + 2.5 = 2.75\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ : $7.3\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , $730\,\mathrm{W}$ .

Latihan 25.2 ★

Difusivitas: tembaga ( $\lambda = 400$ , $\rho = 8900$ , $c = 385\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ ), beton ( $1.5$ , $2300$ , $900$ ), kayu ( $0.15$ , $600$ , $2500$ ). Tentukanlah waktu bagi kalornya untuk menyeberangi $1\,\mathrm{cm}$ dan $20\,\mathrm{cm}$ masing-masingnya; dan kerak $30\,\mathrm{km}$ Bumi.

Solusi

Solusi Latihan 25.2.

$a$ : $1.2 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , $7 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , $1 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ . $1\,\mathrm{cm}$ : $0.9\,\mathrm{s}$ , $140\,\mathrm{s}$ , $1000\,\mathrm{s}$ ; $20\,\mathrm{cm}$ : $6\,\mathrm{min}$ , $15\,\mathrm{h}$ , $5\,\mathrm{hari}$ ; keraknya ( $a \sim 1 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ): $10^{15}\,\mathrm{s}$ , tiga puluh juta tahun.

Latihan 25.3 ★

Kaca tunggal ( $4\,\mathrm{mm}$ , $\lambda = 1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ ) dengan selaput $h_{\text{i}} = 8$ , $h_{\text{o}} = 25\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ ; kaca ganda dengan sebuah lapisan udara diam $12\,\mathrm{mm}$ ( $0.026\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ ): tentukanlah nilai $U$ dan fluksnya bagi $20\,\mathrm{K}$ . Mengapa kaca ganda yang sungguhan sekitar dua kali lebih buruk daripada taksiran ini, dan apa yang dilakukan argon serta lapisan beremisivitas rendah?

Solusi

Solusi Latihan 25.3.

Tunggal: $R = 0.169$ , $U = 5.9\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ , $118\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; ganda: $R = 0.63$ , $U = 1.6\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ , $32\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ . Celahnya berkonveksi dan kacanya bertukar lewat radiasi (sekitar separuh alih yang sebenarnya); argon menghantar lebih sedikit dan berkonveksi lebih sedikit, sebuah lapisan beremisivitas rendah menekan radiasinya.

Latihan 25.4 ★

Memasak: $a = 1.4 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ bagi daging. Tentukanlah waktu bagi pusat sebuah bistik $3\,\mathrm{cm}$ untuk merasakan pancinya; bagi sepotong panggang $12\,\mathrm{cm}$ . Seekor kalkun yang dua kali lebih berat: berapa lama lagi (dimensinya berskala sebagai akar pangkat tiga massanya)?

Solusi

Solusi Latihan 25.4.

$L^2/a$ dengan setengah tebalnya: $27\,\mathrm{min}$ ; panggangnya: $16\times$ , $7\,\mathrm{h}$ ; $t \propto L^2 \propto m^{2/3}$ : $\times 1.6$ .

Latihan 25.5 ★★

Sumber dalam. Sebuah silinder berjari-jari $R$ melepaskan $p$ tiap satuan volume; permukaannya pada $T_{\text{s}}$ . (a) Tunjukkanlah bahwa $T(r) = T_{\text{s}} + p(R^2 - r^2)/4\lambda$ . (b) Kawat tembaga, $R = 1\,\mathrm{mm}$ , $j = 1 \times 10^{7}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$ , $\gamma = 6 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ : tentukanlah $p$ dan beda pusat–permukaannya. (c) Batang bahan bakar nuklir, $R = 5\,\mathrm{mm}$ , $p = 3 \times 10^{8}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$ , $\lambda = 3\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ : pertanyaan yang sama. (d) Ulaslah.

Solusi

Solusi Latihan 25.5.

(a) $(rT')'/r = -p/\lambda$ dengan $T'(0) = 0$ . (b) $p = j^2/\gamma = 1.7 \times 10^{6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$ ; $pR^2/4\lambda = 1 \times 10^{-3}\,\mathrm{K}$ . (c) $625\,\mathrm{K}$ . (d) Sebuah kawat itu isotermal; pusat sebuah pelet bahan bakar beratus kelvin di atas permukaannya — rapat daya sebuah reaktor dibatasi hantaran dalam bahan bakarnya.

Latihan 25.6 ★★

Tanahnya. (a) Turunkanlah $\delta = \sqrt{2a/\omega}$ . (b) Tanah, $a = 5 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ : tentukanlah kedalaman tembus harian dan tahunannya. (c) Kedalaman yang padanya amplitudo tahunannya sepersepuluh amplitudo permukaannya; tunda fasenya di sana. (d) Sebuah pipa air tak boleh membeku di tempat suhu permukaan musim dinginnya turun sampai $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ di sekitar rerata $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ : berapa kedalaman minimumnya (gelombang tahunan).

Solusi

Solusi Latihan 25.6.

(a) Proposisi 25.11. (b) $12\,\mathrm{cm}$ ; $2.2\,\mathrm{m}$ . (c) $\delta\ln 10 = 5.2\,\mathrm{m}$ ; tundanya $2.3\,\mathrm{rad}$ , $130$ hari. (d) Amplitudo $20\,\mathrm{K}$ -nya harus menjadi separuh: $x = \delta\ln 2 = 1.5\,\mathrm{m}$ .

Latihan 25.7 ★★

Biot. (a) Bola tembaga, berjari-jari $1\,\mathrm{cm}$ , dalam udara ( $h = 10\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ ): tentukanlah bilangan Biotnya, tetapan waktu pendinginannya. (b) Sebuah kentang ( $\lambda = 0.5\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ , $a = 1.4 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , berjari-jari $3\,\mathrm{cm}$ ) dalam sebuah oven dengan $h = 20\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ : berapa bilangan Biotnya; waktu mana yang mengatur pemasakannya? (c) Mengapa manik sebuah termokopel dibuat kecil? (d) Mengapa secangkir kopi mendingin lebih cepat ketika diaduk atau ditiup — hambatan mana yang berubah?

Solusi

Solusi Latihan 25.7.

(a) $\mathrm{Bi} = hR/3\lambda \approx 10^{-4}$ ; $\tau = \rho cR/3h = 1100\,\mathrm{s}$ . (b) $\mathrm{Bi} = 1.2$ : bukan salah satu limitnya; waktu dalamnya $R^2/a \approx 6000\,\mathrm{s}$ yang mengatur. (c) $R$ kecil: $\tau$ mungil dan bilangan Biot kecil. (d) Hambatan selaputnya $1/h$ , yang menguasai, turun.

Latihan 25.8 ★★

Sebuah sirip. (a) Turunkanlah $\theta'' = m^2\theta$ dan penyelesaian sirip panjangnya. (b) Sirip aluminium, setebal $1\,\mathrm{mm}$ , setinggi $30\,\mathrm{mm}$ , konveksi alami $h = 20\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ : tentukanlah $m$ , $mL$ , efisiensinya. (c) Sebesar faktor berapa siripnya melipatgandakan luas pertukaran tapaknya, dan fluksnya? (d) Mengapa sirip yang sangat panjang atau sangat tipis merupakan pemborosan logam?

Solusi

Solusi Latihan 25.8.

(a) Proposisi 25.13. (b) $m = \sqrt{2h/\lambda t} = 13\,\mathrm{m}^{-1}$ , $mL = 0.39$ , $\eta = 0.95$ . (c) Luasnya $\times 2L/t = 60$ , fluksnya $\times 57$ . (d) Di luar $mL \approx 2$ panjang tambahannya berada pada suhu fluidanya; sirip yang lebih tipis mempunyai $m$ yang lebih besar dan efisiensi yang lebih rendah.

Latihan 25.9 ★★

Pipa. (a) Turunkanlah hambatan sebuah selubung silinder. (b) Sebuah pipa uap, berjari-jari luar $5\,\mathrm{cm}$ pada $150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , yang dibungkus $5\,\mathrm{cm}$ wol kaca, udara pada $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ dengan $h = 10\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ di luarnya: tentukanlah ruginya tiap meter, dibandingkan dengan pipa telanjangnya. (c) Tunjukkanlah bahwa hambatan total penyekat ditambah selaputnya mempunyai sebuah minimum pada jari-jari kritis $r_{\text{c}} = \lambda/h$ . (d) Bagi sebuah kawat listrik berjari-jari $1\,\mathrm{mm}$ berselubung plastik ( $\lambda = 0.2\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ ), mendinginkan atau menghangatkan tembaganyakah selubungnya?

Solusi

Solusi Latihan 25.9.

(a) Proposisi 25.7. (b) Wolnya $\ln 2/2\pi\lambda = 2.76\,\mathrm{K}\,\mathrm{m}/\mathrm{W}$ , selaput luarnya $1/2\pi r_2h = 0.16$ : $45\,\mathrm{W}/\mathrm{m}$ ; telanjang, $2\pi r_1h\Delta T = 410\,\mathrm{W}/\mathrm{m}$ . (c) $\dd/\dd r[\ln(r/r_1)/2\pi\lambda + 1/2\pi hr] = 0$ pada $r = \lambda/h$ . (d) $r_{\text{c}} = 2\,\mathrm{cm} > 1\,\mathrm{mm}$ : selubungnya menaikkan ruginya — ia mendinginkan tembaganya.

Latihan 25.10 ★★★

Entropi. Dinding Latihan 25.1 (yang telanjang) antara $293\,\mathrm{K}$ dan $273\,\mathrm{K}$ . (a) Tentukanlah entropi yang tercipta tiap sekon. (b) Hitunglah $\int\sigma_s\,\dd V$ dengan profil linearnya lalu periksalah bahwa ia selaras. (c) Entropi yang tercipta setelah disekat. (d) Kerja yang dapat diambil sebuah mesin terbalikkan dari $8\,\mathrm{kW}$ antara suhu ini, dan apa yang tersisa darinya sesudah dindingnya.

Solusi

Solusi Latihan 25.10.

(a) $8000(1/273 - 1/293) = 2.0\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ . (b) $\sigma_s = \lambda T'^2/T^2$ dengan $T' = 100\,\mathrm{K}/\mathrm{m}$ ; $\int\sigma_s\,\dd x = \lambda T'(1/T_{\text{c}} - 1/T_{\text{h}}) = j(1/T_{\text{c}} - 1/T_{\text{h}})$ ; dikalikan $100\,\mathrm{m}^{2}$ : sama saja. (c) $0.18\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ . (d) $\Phi(1 - T_{\text{c}}/T_{\text{h}}) = 550\,\mathrm{W}$ ; tak ada apa pun — kalornya kini duduk pada $T_{\text{c}}$ ( $T_{\text{c}}\dot S_{\text{c}} = 550\,\mathrm{W}$ ).

Latihan 25.11 ★★★

Mengapa logam terasa dingin. (a) Bagi gelombang termalnya, hitunglah fluks permukaannya $j_Q(0,t)$ lalu tunjukkanlah bahwa ia mendahului suhu permukaannya sebesar $\pi/4$ , dengan amplitudo $\sqrt{\lambda\rho c\,\omega}\,\theta_0$ . Besaran $b = \sqrt{\lambda\rho c}$ adalah efusivitas-nya. (b) Dua setengah ruang bersuhu $T_1$ dan $T_2$ disentuhkan: dengan menerima bahwa masing-masingnya lalu menuruti sebuah profil erfc dengan suhu permukaan bersamanya $T_{\text{c}}$ , dan dengan menuliskan kesinambungan fluksnya di sentuhannya, tunjukkanlah bahwa $T_{\text{c}} = (b_1T_1 + b_2T_2)/(b_1 + b_2)$ . (c) Kulit ( $b \approx 1000\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}/\mathrm{s}^{1/2}$ , $33\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ) yang menyentuh tembaga ( $b = 37000$ ) atau kayu ( $b = 400$ ) pada $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ : berapa suhu sentuhnya. (d) Mengapa sebuah lantai ubin terasa lebih dingin daripada sebuah karpet pada suhu yang sama, dan mengapa rasanya hanya sementara?

Solusi

Solusi Latihan 25.11.

(a) $j_Q(0,t) = -\lambda\partial_xT = \lambda\theta_0\sqrt2/\delta\,\cos(\omega t + \pi/4) = \sqrt{\lambda\rho c\omega}\,\theta_0\cos(\omega t + \pi/4)$ . (b) Fluks tiap sisinya di sentuhannya adalah $b_i|T_i - T_{\text{c}}|/\sqrt{\pi t}$ ; samakanlah: $T_{\text{c}} = (b_1T_1 + b_2T_2)/(b_1 + b_2)$ . (c) Tembaga $20.3\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , kayu $29\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ . (d) Ubin $b \approx 1500$ , karpet $\approx 100$ ; rumusnya berlaku selama kedua bendanya tampak setengah takhingga; begitu muka kalornya mencapai pasokan darahnya dan sisi jauh bendanya, keadaan tunaknya bergantung pada kalor yang sungguh dipasok.

Latihan 25.12 ★★★

Mendinginkan sebuah lempeng. Sebuah lempeng $-L < x < L$ pada $T_0$ dicelupkan pada $t = 0$ ke dalam sebuah rendaman bersuhu $T_{\text{f}}$ dengan $h \to \infty$ . (a) Tunjukkanlah bahwa $\theta = T - T_{\text{f}}$ menerima penyelesaian $\cos(k_nx)\,\eu^{-ak_n^2t}$ dengan $k_n = (2n+1)\pi/2L$ . (b) Uraikanlah syarat awalnya dalam sebuah deret Fourier pada ragam ini lalu tuliskanlah penyelesaian penuhnya. (c) Sesudah saat-saat pertamanya, ragam mana yang bertahan, dan berapa tetapan waktunya? (d) Berapa waktu bagi pusat sebuah bistik $3\,\mathrm{cm}$ ( $a = 1.4 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ) untuk berada dalam $1\%$ dari rendamannya.

Solusi

Solusi Latihan 25.12.

(a) Sisipkanlah, lalu $\theta(\pm L) = 0$ memberi $\cos k_nL = 0$ . (b) $a_n = 4\theta_0(-1)^n/(2n+1)\pi$ ; $\theta = \sum a_n\cos(k_nx)\eu^{-ak_n^2t}$ . (c) $n = 0$ , $\tau = 4L^2/\pi^2a$ . (d) $\tau = 650\,\mathrm{s}$ ; pusatnya $(4/\pi)\eu^{-t/\tau} = 0.01$ : $t = 4.8\tau \approx 52\,\mathrm{min}$ .

25.8 Soal: Menyekat sebuah rumah, mendinginkan sebuah prosesor

Soal 25.1

Soal akhir pekan — hantaran pada skala sebuah bangunan dan sebuah cip

Data: bata $\lambda = 0.8\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ , $\rho = 1800\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , $c = 840\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ ; wol kaca $0.04\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ ; kaca $1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ ; udara diam $0.026\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ ; aluminium $240\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ , $\rho = 2700\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , $c = 900\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ ; silikon $150\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ ; pasta termal $5\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ ; tanah $a = 5 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , $\lambda = 1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ ; selaput $h_{\text{i}} = 8$ , $h_{\text{o}} = 25\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ .

Bagian I — Rumahnya. Sebuah rumah mempunyai $100\,\mathrm{m}^{2}$ dinding (bata $20\,\mathrm{cm}$ ) dan $20\,\mathrm{m}^{2}$ jendela berkaca tunggal ( $4\,\mathrm{mm}$ ); di dalam $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , di luar $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .

Hambatan tiap meter persegi batanya sendiri; rapat fluksnya jika mukanya berada pada kedua suhunya.
Dengan kedua selaputnya: berapa $R$ dan $U = 1/R$ tiap meter persegi; hal yang sama dengan $10\,\mathrm{cm}$ wol kaca ditambahkan.
Berapa $U$ kaca tunggalnya; dan kaca ganda dengan $12\,\mathrm{mm}$ udara diam.
Rugi total rumahnya sebelum dan sesudah menyekat dindingnya dan menggandakan jendelanya.
Sepanjang sebuah musim pemanasan $2500$ derajat-hari (yaitu integral beda suhunya sepanjang musimnya, dalam $\mathrm{K}\,\mathrm{hari}$ ), berapa energi yang hilang sebelum dan sesudahnya, dalam kilowatt-jam.
Suhu permukaan dalam dindingnya, telanjang dan tersekat; mengapa dinding yang dingin terasa tak nyaman dan menumbuhkan jamur?
Waktu difusi menyeberangi batanya; apa yang dilakukannya pada daur siang–malam?

Bagian II — Tanah di bawah rumahnya.

Turunkanlah kedalaman tembus $\delta = \sqrt{2a/\omega}$ sebuah gelombang termal.
Berapa $\delta$ harian dan tahunannya dalam tanahnya.
Kedalaman yang padanya ayunan hariannya turun menjadi $1\%$ ; amplitudo tahunannya pada $2.2\,\mathrm{m}$ dan pada $5\,\mathrm{m}$ bagi ayunan permukaan $10\,\mathrm{K}$ .
Tunda fasenya pada $2.2\,\mathrm{m}$ , dalam hari: kapan ruang bawah tanahnya paling dingin?
Fluks kalor permukaan gelombang tahunannya (amplitudo dan fase); bandingkanlah amplitudonya dengan fluks geotermal $0.06\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ .
Gradien geotermalnya $30\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$ : periksalah ia terhadap fluksnya dan $\lambda$ , lalu jelaskanlah mengapa ia tak tampak dalam musim ruang bawah tanahnya.

Bagian III — Prosesornya. Sebuah cip melesapkan $100\,\mathrm{W}$ dalam sebuah keping $1\,\mathrm{cm}^{2}$ , setebal $0.5\,\mathrm{mm}$ ; sebuah lapisan pasta $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ pada $10\,\mathrm{cm}^{2}$ mengikatnya pada sebuah pelesap kalor aluminium: alasnya $60\,\mathrm{mm}$ $\times$ $60\,\mathrm{mm}$ $\times$ $5\,\mathrm{mm}$ , tiga puluh sirip selebar $60\,\mathrm{mm}$ , setinggi $30\,\mathrm{mm}$ , setebal $1\,\mathrm{mm}$ ; sebuah kipas memberi $h = 50\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ ; lingkungannya $25\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .

Rapat fluks menembus kepingnya; hambatan kepingnya.
Hambatan pastanya; dan jika sebuah celah udara $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ menggantikannya.
Parameter sirip $m$ , $mL$ , efisiensinya; periksalah bilangan Biot menyeberangi tebal siripnya.
Luas sirip total dan hambatan siripnya; hambatan alasnya (hantaran menembus $5\,\mathrm{mm}$ ); suhu sambungannya.
Hal yang sama tanpa sirip (bujur sangkar telanjang $60\,\mathrm{mm}$ ): simpulkanlah.
Kipasnya berhenti ( $h = 10\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ ): berapa suhu sambungannya; apa yang dilakukan prosesornya pada $100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ?
Massa dan kapasitas kalor pelesapnya; tetapan waktunya $RC$ ; dan tetapan waktu kepingnya sendiri ( $0.1\,\mathrm{g}$ , $700\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ ).
Mengapa pelesap yang baik mempunyai alas tembaga atau pipa kalor?

Bagian IV — Entropi.

Entropi yang tercipta tiap sekon oleh selubung rumah telanjangnya (pertanyaan 4) antara $293\,\mathrm{K}$ dan $273\,\mathrm{K}$ ; sesudah disekat.
Entropi yang tercipta oleh $100\,\mathrm{W}$ cipnya yang beranjak dari sambungannya ke lingkungannya; dan oleh perubahan kerja listrik menjadi kalor dalam kepingnya.
Tunjukkanlah bahwa bagi sebuah lempeng $\int\sigma_s\,\dd V = \Phi(1/T_{\text{c}} - 1/T_{\text{h}})$ .
Ringkaslah dalam lima baris apa yang mengatur sebuah dinding, sebuah sirip, sebuah ruang bawah tanah dan sebuah cip.

Solusi

Solusi Soal 25.1.

1. $0.25\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ ; $80\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ .

2. $R = 0.415$ , $U = 2.4\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ ; yang tersekat $R = 2.9$ , $U = 0.34\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ .

3. $5.9\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ ; $1.6\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ .

4. $4800 + 2360 = 7.2\,\mathrm{kW}$ ; $680 + 640 = 1.3\,\mathrm{kW}$ .

5. $UA = 358\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ : $358 \times 2500 \times 86400 = 7.7 \times 10^{10}\,\mathrm{J} = 21\,500\,\mathrm{kWh}$ ; sesudahnya, $66\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ : $4000\,\mathrm{kWh}$ .

6. $20 - 48/8 = 14\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; $20 - 6.8/8 = 19.2\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; dinding yang dingin memancar lebih sedikit ke tubuhnya dan dapat mencapai titik embunnya.

7. $a = 5.3 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ; $e^2/a = 7.5 \times 10^{4}\,\mathrm{s} \approx 21\,\mathrm{h}$ : dindingnya merata-ratakan harinya (daur harian $\delta = 12\,\mathrm{cm}$ lebih kecil daripada tebalnya).

8. Carilah $\theta_0\eu^{\iu(\omega t - \underline kx)}$ : $\underline k = (1 - \iu)/\delta$ .

9. $12\,\mathrm{cm}$ ; $2.2\,\mathrm{m}$ .

10. $4.6\delta = 54\,\mathrm{cm}$ ; $3.7\,\mathrm{K}$ ; $1.1\,\mathrm{K}$ .

11. Satu radian, $58$ hari: pertengahan Maret (karena minimum permukaannya pertengahan Januari).

12. Amplitudonya $\lambda\theta_0\sqrt2/\delta = 6.3\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , yang mendahului sebesar $\pi/4$ ( $45$ hari); seratus kali fluks geotermalnya.

13. $\lambda \times 0.03\,\mathrm{K}/\mathrm{m} \approx 0.03\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , ordenya benar; ia merupakan $0.1\,\mathrm{K}$ yang tunak sepanjang tinggi ruang bawah tanahnya, terkubur dalam ayunan musimannya.

14. $1 \times 10^{6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; $R = 0.033\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ .

15. $0.01\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ ; udaranya: $1.9\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ , $190\,\mathrm{K}$ .

16. $m = 20\,\mathrm{m}^{-1}$ , $mL = 0.61$ , $\eta = 0.89$ ; $\mathrm{Bi} = ht/2\lambda = 10^{-4}$ .

17. $A = 0.108\,\mathrm{m}^{2}$ ; $R_{\text{sirip}} = 1/\eta hA = 0.21\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ ; alasnya $0.006\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ ; totalnya $0.26\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ : $26\,\mathrm{K}$ , sambungannya pada $51\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .

18. $1/hS = 5.6\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ : $560\,\mathrm{K}$ — mustahil.

19. $R_{\text{sirip}} \approx 0.94\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ , totalnya $\approx 1\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ : $125\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ — ia menurunkan lajunya, lalu mati.

20. $V = 7.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{3}$ , $0.19\,\mathrm{kg}$ , $C = 175\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ ; $\tau = RC \approx 46\,\mathrm{s}$ ; kepingnya: $C = 0.07\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ , $\tau \approx 3\,\mathrm{ms}$ .

21. Kalornya harus menyebar dari $1\,\mathrm{cm}^{2}$ ke $36\,\mathrm{cm}^{2}$ : tembaga memisahduakan hambatan penyebaran itu; sebuah pipa kalor memindahkan kalor lewat penguapan dan pengembunan dengan konduktivitas efektif seratus kali milik tembaga.

22. $7200(1/273 - 1/293) = 1.8\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ ; $0.33\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ .

23. $100(1/298 - 1/324) = 0.027\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ ; $100/324 = 0.31\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ — sepuluh kali lebih banyak: mengubah kerja menjadi kalor adalah ketakterbalikan yang besar.

24. $\int\lambda T'^2/T^2\,\dd x = \lambda T'\,[-1/T] = j(1/T_{\text{c}} - 1/T_{\text{h}})$ .

25. Dinding: hambatan yang terseri, penghantar terburuknya yang berkuasa. Sirip: $m = \sqrt{hp/\lambda S}$ , $mL \approx 1$ . Ruang bawah tanah: $\delta = \sqrt{2a/\omega}$ , peredaman dan tunda bersama-sama. Cip: sebuah rantai hambatan dari kepingnya ke udaranya, dengan luas siripnya yang bekerja. Di mana-mana: kalor mengalir menurun, lalu menciptakan entropi sambil melakukannya.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 393 istilah di glosarium