Fisika Universitas — Tahun 2 · Bachelor Year 2

24Difusi Partikel

Jatuhkanlah sebutir hablur zat warna ke dalam air yang tenang lalu amatilah: sebuah awan berwarna terbentuk di sekitarnya, tumbuh, melembut di tepinya, lalu menyebar — dalam semenit sepanjang semilimeter, dalam sejam sesentimeter, dalam sepekan sepanjang gelasnya. Tak ada yang mendorong zat warnanya; ia terbawa desak-desakan tak henti molekulnya, yang mengirimkan tiap partikelnya pada sebuah jalan acak dan, secara rerata, dari tempat yang banyak ke tempat yang sedikit. Inilah difusi, yang paling lambat dan paling semesta di antara pengangkutan: ia menyuapi setiap sel dengan oksigen, mendopingkan boron pada setiap transistor, mengeraskan baja dengan karbon, dan meloloskan sebuah parfum menyeberangi sebuah ruangan — meskipun, sebagaimana akan kita lihat, tidak dalam waktu yang mungkin orang duga. Bab ini memberi difusinya hukumnya (Fick), persamaannya (dari sebuah imbangan partikel), penyelesaian ciri dan skala waktunya ( $L \sim \sqrt{Dt}$ ), dan asal mikroskopisnya dalam jalan acak — yang juga menjelaskan mengapa persamaan difusinya, tak seperti setiap persamaan mekanika, mengetahui arah waktu. Bab berikutnya akan memakai ulang semuanya bagi kalor.

Tinta yang dilepaskan dalam air yang tenang: awannya yang tajam mengabur lalu menyebar ketika molekulnya berdifusi — sepanjang bermilimeter dalam semenit, bersentimeter dalam sejam.

24.1 Rapat cacah partikel, fluks dan hukum Fick

Definisi 24.1 (Rapat cacah dan arus partikel)

Bagi sebuah spesies partikel (molekul, ion, atom dalam zat padat) rapat cacah $n(M,t)$ adalah jumlah partikel tiap satuan volume di sekitar $M$ (dalam $\mathrm{m}^{-3}$ ; konsentrasi molarnya adalah $c = n/N_A$ ). Rapat arus partikel $\vect{j}_N$ adalah vektor yang jumlah partikel yang menyeberangi sebuah elemen permukaan berarah $\dd\vect S$ dalam $\dd t$ adalah $\vect{j}_N\cdot\dd\vect S\,\dd t$ (dalam $\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ ): fluks partikel menembus sebuah permukaan $S$ adalah $\Phi_N = \iint_S \vect{j}_N\cdot\dd\vect S$ , yaitu jumlah partikel tiap sekon menembus $S$ . Bagi partikel yang terbawa sebuah fluida yang bergerak dengan $\vect v$ , $\vect{j}_N = n\vect v$ (konveksi); difusi adalah pengangkutan yang tersisa dalam fluida yang diam.

Teorema 24.2 (Hukum Fick)

Dalam medium yang diam, yang kerapatannya tak seragam, muncul sebuah arus partikel, yang sebanding dan berlawanan dengan gradien kerapatannya:

\vect{j}_N = -D\,\vect{\operatorname{grad}}\,n ,

dengan koefisien difusi $D > 0$ (dalam $\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ) bergantung pada spesies yang berdifusi, pada mediumnya dan pada suhunya. Partikelnya pergi menuruni gradien kerapatannya, dari daerah yang lebih rapat ke yang lebih jarang, dengan laju yang ditetapkan $D$ .

Bukti. Fenomenologis (sebuah hukum pengalaman, seperti hukum Ohm): linear dalam gradiennya bagi gradien yang kecil, isotropik dalam medium isotropik, dan dengan tanda yang dipaksakan pengalaman. Model jalan acak Bagian 24.4 menurunkannya, dan $D$ bersamanya, dari gerak molekulnya. ∎

Contoh 24.3 (Orde besaran $D$ )

Gas: $D \sim 1 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ (uap air dalam udara $2.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , sebuah molekul parfum $5 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ). Cairan: $D \sim 1 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ (oksigen dalam air $2 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , gula $5 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , sebuah protein $1 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ). Zat padat: mungil dan naik curam dengan suhunya, $D = D_0\,\eu^{-E_{\text{a}}/k_BT}$ (boron dalam silikon: $1.5 \times 10^{-17}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ pada $1100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , kecil tak terukur pada suhu ruang — itulah sebabnya sebuah transistor, sekali dibuat, menjaga profil dopingnya berpuluh tahun). Empat orde besaran dari gas ke cairan, delapan atau lebih dari cairan ke zat padat.

24.2 Imbangan partikel dan persamaan difusi

Teorema 24.4 (Imbangan partikel setempat)

Jika partikelnya tak diciptakan maupun dimusnahkan,

\frac{\partial n}{\partial t} + \operatorname{div}\vect{j}_N = 0 ;

dengan sebuah sumber yang menciptakan $\sigma$ partikel tiap satuan volume dan waktu (sebuah reaksi kimia, sebuah serapan), $\partial_t n + \operatorname{div}\vect{j}_N = \sigma$ . Dalam satu dimensi (kerapatan dan arusnya hanya bergantung pada $x$ ): $\partial_t n + \partial_x j_N = 0$ .

Bukti. Ambillah lempeng antara $x$ dan $x + \dd x$ , berpenampang $S$ : ia memuat $n\,S\,\dd x$ partikel; dalam $\dd t$ , $j_N(x)S\,\dd t$ masuk menembus muka kirinya dan $j_N(x + \dd x)S\,\dd t$ pergi menembus muka kanannya, jadi $\partial_t n\,S\,\dd x\,\dd t = -(j_N(x+\dd x) - j_N(x))S\,\dd t = -\partial_x j_N\,\dd x\,S\,\dd t$ . Dalam tiga dimensi pencacahan yang sama pada sebuah kotak kecil memberi divergensinya (yaitu fluks yang keluar dari sebuah permukaan tertutup tiap satuan volume, Bab 11), atau langsung: bagi sebarang volume tetap $V$ , $\dd/\dd t \iiint_V n\,\dd\tau = -\iint_{\partial V} \vect{j}_N\cdot\dd\vect S = -\iiint_V \operatorname{div}\vect{j}_N\,\dd\tau$ lewat teorema Ostrogradski. ∎

Imbangan satu dimensinya: lempeng antara x dan x + x memperoleh yang masuk di kirinya lalu kehilangan yang pergi di kanannya; selisihnya adalah perubahan n di dalamnya. — Imbangan satu dimensinya: lempeng antara $x$ dan $x + \dd x$ memperoleh yang masuk di kirinya lalu kehilangan yang pergi di kanannya; selisihnya adalah perubahan $n$ di dalamnya.

Teorema 24.5 (Persamaan difusi)

Dengan menggabungkan hukum Fick dan imbangannya, bagi $D$ yang seragam,

\frac{\partial n}{\partial t} = D\,\Delta n + \sigma , \qquad\text{dalam satu dimensi}\quad \frac{\partial n}{\partial t} = D\,\frac{\partial^2 n}{\partial x^2} + \sigma .

Persamaan difusi ini linear (penyelesaiannya bertumpang tindih), berorde pertama dalam waktu dan orde kedua dalam ruang — bukan sebuah persamaan gelombang: ia tak mempunyai kelajuan rambat, melainkan sebuah hubungan ciri antara panjang dan waktu,

L \sim \sqrt{D t}, \qquad t \sim \frac{L^2}{D} :

berdifusi sepanjang dua kali jaraknya memakan waktu empat kali lebih lama.

Bukti. $\partial_t n = -\operatorname{div}(-D\,\vect{\operatorname{grad}}\,n) + \sigma = D\operatorname{div}\vect{\operatorname{grad}}\,n + \sigma = D\Delta n + \sigma$ . Bagi skalanya, bandingkanlah $n/t$ dengan $Dn/L^2$ . ∎

Catatan 24.6 (Difusi bersifat takterbalikkan)

Ubahlah $t$ menjadi $-t$ dalam persamaan gelombangnya, $\partial_t^2 u = c^2 \partial_x^2 u$ , dan ia tak berubah: sebuah film gelombang yang diputar mundur adalah sebuah gelombang yang mungkin. Lakukanlah hal yang sama dalam persamaan difusinya dan tanda ruas kirinya berbalik: $n(x,-t)$ bukan sebuah penyelesaian. Sebuah awan yang menyebar itu wajar; sebuah awan yang secara spontan berkumpul menjadi sebuah hablur tidak — difusi mempunyai anak panah waktu, yaitu anak panah hukum kedua (Bab 25 menghitung entropi yang diciptakannya). Persamaannya juga menunjukkan bahwa difusi memuluskan: di tempat $n$ setempat merupakan sebuah maksimum ( $\partial_x^2 n < 0$ ) ia menurun, di tempat ia sebuah minimum ia menaik.

Contoh 24.7 (Berapa lama waktunya?)

$t \sim L^2/D$ . Oksigen menyeberangi sebuah sel, $L = 10\,\text{µ}\mathrm{m}$ dalam air: $10^{-10}/2 \times 10^{-9} = 0.05\,\mathrm{s}$ — difusi menyuapi sebuah sel dengan mudah; menyeberangi $1\,\mathrm{mm}$ jaringan: $500\,\mathrm{s}$ — terlalu lambat, itulah sebabnya tak ada makhluk hidup yang lebih tebal daripada sepersekian milimeter tanpa pembuluh darah. Gula menyeberangi secangkir teh yang tak teraduk, $L = 5\,\mathrm{cm}$ : $2.5 \times 10^{-3}/5 \times 10^{-10} = 5 \times 10^6\,\mathrm{s}$ , dua bulan — aduklah. Sebuah parfum menyeberangi sebuah ruangan lewat difusi saja, $5\,\mathrm{m}$ dalam udara: $25/10^{-5} = 3 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$ , sebulan; Anda menciumnya dalam semenit karena udaranya bergerak: konveksi yang mengemban, difusi hanya menuntaskan milimeter terakhirnya.

24.3 Penyelesaian cirinya

Proposisi 24.8 (Rezim tegar: membran)

Antara dua tandon yang ditahan pada $n_1$ dan $n_2$ , menyeberangi sebuah membran setebal $e$ dan berluas $S$ , kerapatan tegarnya linear,

n(x) = n_1 + (n_2 - n_1)\frac{x}{e}, \qquad j_N = D\,\frac{n_1 - n_2}{e}, \qquad \Phi_N = \frac{n_1 - n_2}{R_{\text{d}}}, \quad R_{\text{d}} = \frac{e}{DS}:

membrannya mempunyai hambatan difusif $e/DS$ , tepat sebagaimana sebuah kawat mempunyai $\ell/\gamma S$ — hambatan yang terseri bertambah, dan sebuah membran tipis ber- $D$ kecil masih dapat menguasai.

Bukti. Tegar, satu dimensi, tanpa sumber: $\partial_x^2 n = 0$ , jadi $n$ afin; $j_N = -D\,\dd n/\dd x$ seragam. ∎

Proposisi 24.9 (Rezim tegar: geometri bola)

Di sekitar sebuah bola berjari-jari $a$ yang permukaannya ditahan pada $n_0$ , dalam sebuah medium yang $n \to 0$ jauh di sana, kerapatan tegarnya adalah

n(r) = n_0\,\frac{a}{r}, \qquad \Phi_N = 4\pi D a\,n_0 :

arus total yang dilepaskan (atau diserap, dengan tandanya dibalik) tumbuh dengan jari-jari, bukan permukaan, bolanya — yaitu geometri sebuah lubuk difusif yang sama dengan geometri sebuah kapasitansi elektrostatik.

Bukti. $\Delta n = \frac{1}{r^2}\frac{\dd}{\dd r}(r^2\,\dd n/\dd r) = 0$ memberi $n = A + B/r$ ; syarat batasnya menetapkan $A = 0$ , $B = n_0 a$ ; lalu $\Phi_N = -4\pi r^2 D\,\dd n/\dd r = 4\pi D n_0 a$ pada setiap $r$ (tanpa penimbunan dalam rezim tegarnya). ∎

Profil tegarnya. Kiri: menyeberangi sebuah membran kerapatannya linear dan arusnya seragam. Kanan: di sekitar sebuah bola kerapatannya turun sebagai 1/r; arus totalnya 4π D a n_0 sebanding dengan jari-jarinya. — Profil tegarnya. Kiri: menyeberangi sebuah membran kerapatannya linear dan arusnya seragam. Kanan: di sekitar sebuah bola kerapatannya turun sebagai $1/r$ ; arus totalnya $4\pi D a n_0$ sebanding dengan jari-jarinya.

Proposisi 24.10 (Gauss yang menyebar)

$N$ partikel tiap satuan luas yang dilepaskan pada $t = 0$ di bidang $x = 0$ sebuah medium takhingga menyebar sebagai

n(x,t) = \frac{N}{\sqrt{4\pi D t}}\,\exp\Big(-\frac{x^2}{4Dt}\Big) :

sebuah Gauss bersimpangan baku $\sigma(t) = \sqrt{2Dt}$ , berluas tetap $N$ (partikelnya kekal) dan berpuncak menurun $\propto 1/\sqrt t$ . Dalam tiga dimensi, $N$ partikel yang dilepaskan di sebuah titik menyebar sebagai $n = N\,(4\pi Dt)^{-3/2}\exp(-r^2/4Dt)$ , dengan $\langle r^2 \rangle = 6Dt$ . Sebuah pulsa partikel yang dilepaskan di permukaan sebuah setengah ruang (yang tak dapat mereka tinggalkan) memberi dua kali ungkapan di atas bagi $x > 0$ .

Bukti. Sisipkanlah: dengan $u = x^2/4Dt$ , $\partial_t n = n\,(-1/2t + u/t)$ dan $D\,\partial_x^2 n = D\,n\,(-1/2Dt + x^2/4D^2t^2) = n\,(-1/2t + u/t)$ ; sama. Penormalannya $\int n\,\dd x = N$ menyusul dari $\int \eu^{-x^2/4Dt}\dd x = \sqrt{4\pi Dt}$ , dan $\int x^2 n\,\dd x/N = 2Dt$ . Ketunggalannya (mengingat pulsa awalnya) diterima tanpa bukti. ∎

Penyelesaian Gaussnya pada tiga waktu: lebarnya tumbuh sebagai √ t, puncaknya turun sebagai 1/√ t, luasnya (yaitu jumlah partikelnya) tetap sama. — Penyelesaian Gaussnya pada tiga waktu: lebarnya tumbuh sebagai $\sqrt t$ , puncaknya turun sebagai $1/\sqrt t$ , luasnya (yaitu jumlah partikelnya) tetap sama.

Proposisi 24.11 (Konsentrasi permukaan yang tetap)

Sebuah setengah ruang $x > 0$ yang mula-mula kosong, yang permukaannya ditahan pada kerapatan $n_0$ sejak $t = 0$ (sebuah gas yang bersentuhan dengan sebuah zat padat yang melarutkannya), terisi sebagai

n(x,t) = n_0\,\operatorname{erfc}\Big(\frac{x}{2\sqrt{Dt}}\Big), \qquad \operatorname{erfc}(u) = \frac{2}{\sqrt\pi}\int_u^{\infty}\eu^{-s^2}\dd s,

yaitu fungsi galat komplementer, yang turun dari $1$ pada $u = 0$ menjadi $0.16$ pada $u = 1$ dan $0.005$ pada $u = 2$ : kedalaman tembusnya lagi-lagi $\sim 2\sqrt{Dt}$ , dan jumlah total partikel yang terserap tiap satuan luas adalah $2n_0\sqrt{Dt/\pi}$ .

Bukti. Carilah $n = f(u)$ dengan $u = x/2\sqrt{Dt}$ : persamaannya menjadi $f'' + 2uf' = 0$ , jadi $f' \propto \eu^{-u^2}$ dan $f$ adalah sebuah fungsi galat; syarat $f(0) = n_0$ , $f(\infty) = 0$ memilih $\operatorname{erfc}$ . Jumlah yang terserapnya adalah $\int_0^\infty n\,\dd x = n_0\,2\sqrt{Dt}\int_0^\infty\operatorname{erfc}(u)\dd u = 2n_0\sqrt{Dt/\pi}$ . ∎

Contoh 24.12 (Mengeraskan baja)

Sebuah suku baja yang ditahan pada $900\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ dalam gas kaya karbon menyerap karbon di permukaannya; dengan $D = 5 \times 10^{-12}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ bagi karbon dalam besi panas, empat jam memberi $2\sqrt{Dt} = 0.5\,\mathrm{mm}$ : sebuah kulit keras setengah milimeter pada inti yang liat — yaitu pengerasan kulit roda gigi dan bantalan, yang diatur waktunya dengan profil erfcnya.

24.4 Gambaran mikroskopisnya: jalan acak

Proposisi 24.13 (Jalan acak dan koefisien difusi)

Sebuah partikel yang membuat sebuah langkah sepanjang $\ell$ dalam arah acak tiap $\tau$ (sebuah molekul di antara dua tumbukan) mempunyai, sesudah $N = t/\tau$ langkah, sebuah simpangan kuadrat rerata

\langle x^2\rangle = N\ell^2 = \frac{\ell^2}{\tau}\,t \quad\text{(satu dimensi)}, \qquad \langle r^2\rangle = 3\langle x^2\rangle \quad\text{(tiga dimensi)}.

Dengan membandingkannya dengan penyelesaian Gaussnya, $\langle x^2\rangle = 2Dt$ :

D = \frac{\ell^2}{2\tau} \quad\text{(1D)}, \qquad D = \frac{\ell^2}{6\tau} = \frac{\ell\,v^*}{6}\ \sim\ \frac{\ell\,v^*}{3} \quad\text{(3D, } v^* = \ell/\tau\text{; teori kinetik memberi } \tfrac13) .

Jarak pejalannya tumbuh sebagai $\sqrt t$ , bukan $t$ : untuk pergi dua kali lebih jauh ia memerlukan empat kali lebih banyak langkah.

Bukti. $x = \sum_i \epsilon_i\ell$ dengan $\epsilon_i = \pm1$ yang saling bebas (1D): $\langle x^2\rangle = \sum_{i,j}\langle\epsilon_i\epsilon_j\rangle\ell^2 = N\ell^2$ , dengan suku silangnya rata-ratanya nol. Sebaran $x$ bagi $N$ yang besar cenderung ke sebuah Gauss (yaitu teorema limit pusat, yang buktinya milik kuliah peluang) — itulah sebabnya hukum makroskopisnya adalah persamaan difusinya; hukum Fick sendiri menyusul dari mencacah pejalan yang menyeberangi sebuah bidang dari kedua sisinya: $j_N \approx -\tfrac12\ell v^*\,\partial_x n$ (rerata yang lebih cermat memberi $1/3$ dalam tiga dimensi). ∎

Sebuah jalan acak 400 langkah sepanjang : pejalannya telah mengembara hanya sekitar 20 dari awalnya — yaitu hukum √ N yang membuat difusi begitu lambat pada jarak jauh dan begitu cepat pada jarak dekat. — Sebuah jalan acak $400$ langkah sepanjang $\ell$ : pejalannya telah mengembara hanya sekitar $20\ell$ dari awalnya — yaitu hukum $\sqrt N$ yang membuat difusi begitu lambat pada jarak jauh dan begitu cepat pada jarak dekat.

Contoh 24.14 (Dari molekul ke $D$ )

Udara pada suhu ruang: jalan bebas reratanya $\ell \approx 70\,\mathrm{nm}$ , kelajuan reratanya $v^* \approx 500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $D \approx \ell v^*/3 = 1.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , seperti yang terukur. Untuk berdifusi $1\,\mathrm{m}$ sebuah molekul memerlukan $N = (L/\ell)^2 = 2 \times 10^{14}$ tumbukan, yakni $N\ell/v^* \approx 3 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$ — delapan jam bagi sebuah perjalanan yang akan ditempuhnya dalam $2\,\mathrm{ms}$ jika ia terbang lurus. Dalam sebuah cairan, sebuah bola berjari-jari $a$ yang dihantam-hantam molekulnya menuruti hubungan Stokes–Einstein $D = k_BT/6\pi\eta a$ (Einstein 1905): bagi gula, $a \approx 0.4\,\mathrm{nm}$ dalam air, $D = 5 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ; bagi sebutir $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $4 \times 10^{-13}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , yaitu simpangan semikrometer tiap sekon — yaitu gerak Brown yang diukur Perrin untuk mencacah bilangan Avogadro. Dalam sebuah zat padat sebuah atom melompat ke situs tetangganya hanya ketika sebuah fluktuasi termal memasok energi aktivasinya: $D = D_0\,\eu^{-E_{\text{a}}/k_BT}$ , berlipat dua tiap beberapa puluh kelvin dekat $1000\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .

Metode 24.15 (Taksiran difusi)

(1) Kenalilah $D$ (gas $10^{-5}$ , cairan $10^{-9}$ , zat padat Arrhenius). (2) Waktu atau jaraknya: $t \sim L^2/D$ , $L \sim \sqrt{Dt}$ (dengan $\sqrt{2Dt}$ yang eksak bagi lebar Gaussnya, $2\sqrt{Dt}$ bagi kedalaman erfcnya). (3) Tegar: linear dalam sebuah lempeng ( $R_{\text{d}} = e/DS$ ), $1/r$ di sekitar sebuah bola ( $\Phi = 4\pi D a\,\Delta n$ ), $\ln r$ di sekitar sebuah silinder. (4) Peralihan: Gauss bagi sebuah pulsa, erfc bagi sebuah permukaan yang ditahan; tumpangkanlah. (5) Tanyakanlah apakah konveksi tidak menguasai. (6) Periksa mikroskopisnya: $D \sim \ell v^*/3$ .

24.5 Latihan

Latihan 24.1 ★

Tentukanlah waktu difusi $L^2/D$ : sebuah gula batu di dasar sebuah cangkir $5\,\mathrm{cm}$ ( $D = 5 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ); parfum menyeberangi sebuah ruangan $5\,\mathrm{m}$ ( $D = 5 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ); oksigen menyeberangi $1\,\mathrm{mm}$ jaringan dan menyeberangi sebuah sel $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ ( $D = 2 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ). Mana di antara semuanya yang sungguh dilakukan difusi?

Solusi

Solusi Latihan 24.1.

$L^2/D$ : gula $5 \times 10^6\,\mathrm{s}$ (dua bulan); parfumnya sama; jaringan $500\,\mathrm{s}$ ; sel $0.05\,\mathrm{s}$ . Difusi sungguh melakukan yang terakhir (dan, nyaris, yang kedua dari belakang); konveksi melakukan sisanya.

Latihan 24.2 ★

Sebuah membran setebal $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ dan berluas $1\,\mathrm{cm}^{2}$ , $D = 1 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ di dalamnya, memisahkan sebuah larutan pada $1\,\mathrm{mol}/\mathrm{m}^{3}$ dari air murni. Tentukanlah rapat arusnya, fluks molarnya dan jumlah molekul tiap sekon; hambatan difusifnya; dan dengan dua membran semacam itu terseri.

Solusi

Solusi Latihan 24.2.

$j = D\Delta n/e = 1 \times 10^{-5}\,\mathrm{mol}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ; $\times 1 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{2}$ : $1 \times 10^{-9}\,\mathrm{mol}/\mathrm{s}$ , $6 \times 10^{14}$ molekul tiap sekon; $R_{\text{d}} = e/DS = 1 \times 10^{9}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}$ ; dua yang terseri: separuhnya.

Latihan 24.3 ★

Sebuah lapisan tipis zat warna ( $N = 1 \times 10^{20}\,\mathrm{m}^{-2}$ ) dilepaskan dalam air, $D = 1 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ . Tentukanlah lebarnya $\sqrt{2Dt}$ dan kerapatan puncaknya sesudah $1\,\mathrm{s}$ , $1\,\mathrm{h}$ , $1\,\mathrm{hari}$ . Kapan puncaknya turun menjadi $1\%$ nilainya pada $1\,\mathrm{s}$ ?

Solusi

Solusi Latihan 24.3.

$\sqrt{2Dt}$ : $45\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $2.7\,\mathrm{mm}$ , $13\,\mathrm{mm}$ ; puncaknya $N/\sqrt{4\pi Dt}$ : $9 \times 10^{23}\,\mathrm{m}^{-3}$ , $1.5 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}$ , $3 \times 10^{21}\,\mathrm{m}^{-3}$ ; $1\%$ sesudah $10^4$ kali lebih lama: $1 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$ .

Latihan 24.4 ★

Molekul udara: $\ell = 70\,\mathrm{nm}$ , $v^* = 500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Taksirlah $D$ ; jumlah tumbukan dan waktu untuk berdifusi $1\,\mathrm{m}$ ; bandingkanlah dengan penerbangan lurusnya. Hal yang sama bagi sebuah molekul dalam air ( $\ell \approx 0.1\,\mathrm{nm}$ , $v^* \approx 500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ): benarkah taksirannya, dan mengapa tidak tepat?

Solusi

Solusi Latihan 24.4.

$D \approx 1.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ; $N = (L/\ell)^2 = 2 \times 10^{14}$ ; $N\ell/v^* = 3 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$ melawan $2\,\mathrm{ms}$ . Airnya: taksirannya memberi $2 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , sepuluh kali nilai terukurnya — dalam sebuah cairan sebuah molekul berkelotak dalam kerangkeng tetangganya dan langkah berturut-turutnya berkorelasi terbalik; langkah efektifnya lebih pendek.

Latihan 24.5 ★★

Oksigen dalam sebuah jaringan. Sebuah lempeng jaringan setebal $2a$ mengonsumsi oksigen dengan laju seragam $q$ (tiap satuan volume); kedua mukanya ditahan pada $n_0$ . (a) Tuliskanlah persamaan tegarnya dengan lubuknya lalu selesaikanlah. (b) Syarat agar oksigennya mencapai pusatnya. (c) $D = 2 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , $n_0 = 0.2\,\mathrm{mol}/\mathrm{m}^{3}$ , $q = 0.01\,\mathrm{mol}/\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ : berapa $a$ maksimumnya. (d) Simpulkanlah tentang jarak antara pembuluh kapilernya.

Solusi

Solusi Latihan 24.5.

(a) $Dn'' = q$ : $n = n_0 - q(a^2 - x^2)/2D$ . (b) $n(0) \ge 0$ : $a \le \sqrt{2Dn_0/q}$ . (c) $0.28\,\mathrm{mm}$ . (d) Tak ada sel yang boleh lebih jauh daripada beberapa ratus mikrometer dari sebuah kapiler (dalam praktiknya $50$ – $100\,\text{µ}\mathrm{m}$ dalam jaringan yang aktif).

Latihan 24.6 ★★

Sebutir yang melarut. Sebuah bola gula berjari-jari $a = 1\,\mathrm{mm}$ dalam air yang tenang menjaga permukaannya pada kerapatan jenuhnya $n_{\text{s}} = 5800\,\mathrm{mol}/\mathrm{m}^{3}$ ; jauh di sana airnya murni; $D = 5 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ . (a) Tentukanlah profil tegar dan arus totalnya. (b) Jumlah mol dalam butirnya (kerapatan $1590\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , massa molar $342\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ) dan waktu pelarutannya (ambillah arusnya tetap). (c) Mengapa waktu yang sebenarnya lebih lama, dan mengapa pengadukan begitu menolong? (d) Tunjukkanlah bahwa bagi sebuah silinder yang sangat panjang profil tegarnya logaritmik dan soalnya tak berpenyelesaian dalam medium takhingga.

Solusi

Solusi Latihan 24.6.

(a) $n = n_{\text{s}}a/r$ , $\Phi = 4\pi D a n_{\text{s}} = 3.6 \times 10^{-8}\,\mathrm{mol}/\mathrm{s}$ . (b) $1.95 \times 10^{-5}\,\mathrm{mol}$ ; $540\,\mathrm{s}$ . (c) Selubung $1/r$ -nya memakan $\sim a^2/D \approx 2000\,\mathrm{s}$ untuk terbangun dan butirnya menyusut; pengadukan mengganti selubung setebal $\sim a$ itu dengan sebuah lapisan batas $\delta \ll a$ lalu mengalikan fluksnya dengan $a/\delta$ . (d) $(rn')' = 0$ : $n = A + B\ln r$ , yang tak dapat lenyap di takhingga: tak ada keadaan tegar — awan sebuah silinder terus tumbuh (secara logaritmik).

Latihan 24.7 ★★

Kekekalan dan ketakterbalikan. (a) Dari persamaannya, tunjukkanlah bahwa $\int n\,\dd x$ tetap dan bahwa $\dd\langle x^2\rangle/\dd t = 2D$ (integralkanlah secara bagian demi bagian, $n \to 0$ di takhingga). (b) Tunjukkanlah bahwa $n(x,-t)$ tak memenuhi persamaannya. (c) Menjadi apa penyelesaian Gaussnya bagi $t < 0$ ? (d) Tunjukkanlah bahwa $\int n^2\,\dd x$ hanya dapat menurun: difusi meratakan.

Solusi

Solusi Latihan 24.7.

(a) $\dd/\dd t\int n = D[n']_{-\infty}^{\infty} = 0$ ; $\dd/\dd t\int x^2 n = D\int x^2 n'' = 2D\int n = 2DN$ . (b) $\partial_t[n(x,-t)] = -D\,\partial_x^2 n$ : tandanya berbalik. (c) Bagi $t < 0$ “lebar”-nya $2Dt$ negatif: tak ada keadaan semacam itu — pulsanya tak dapat dibuat tak menyebar. (d) $\dd/\dd t\int n^2 = 2D\int nn'' = -2D\int n'^2 \le 0$ .

Latihan 24.8 ★★

Karburisasi. Karbon dalam besi panas, $D = 5 \times 10^{-12}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ pada $900\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; permukaannya ditahan pada $n_0$ . (a) Periksalah bahwa $n_0 \operatorname{erfc}(x/2\sqrt{Dt})$ menyelesaikan persamaannya. (b) Pada kedalaman berapa $n = 0.1\,n_0$ sesudah $4\,\mathrm{h}$ ( $\operatorname{erfc}(1.16) = 0.1$ ). (c) Waktu bagi kedalaman dua kalinya. (d) Pada $950\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , $D$ menjadi $2.5$ kali lebih besar: berapa waktu yang dihemat.

Solusi

Solusi Latihan 24.8.

(a) Proposisi 24.11. (b) $x = 2 \times 1.16\sqrt{Dt} = 0.62\,\mathrm{mm}$ . (c) $4\times$ : $16\,\mathrm{h}$ . (d) $4/2.5 = 1.6\,\mathrm{h}$ .

Latihan 24.9 ★★

Stokes–Einstein. $D = k_BT/6\pi\eta a$ , air ber- $\eta = 1 \times 10^{-3}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ , $300\,\mathrm{K}$ . (a) Tentukanlah $D$ bagi $a = 1\,\text{µ}\mathrm{m}$ dan simpangan akar kuadrat reratanya dalam $1\,\mathrm{s}$ , $1\,\mathrm{min}$ . (b) Berapa $D$ bagi sebuah protein, $a = 3\,\mathrm{nm}$ . (c) Gula mempunyai $D = 5 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ : berapa jari-jari efektifnya. (d) Bagaimana mengukur $\langle x^2\rangle$ sebutir di bawah sebuah mikroskop memberi bilangan Avogadro?

Solusi

Solusi Latihan 24.9.

(a) $D = 2.2 \times 10^{-13}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ; $\sqrt{2Dt}$ : $0.66\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $5\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (b) $7 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ . (c) $a = k_BT/6\pi\eta D = 0.44\,\mathrm{nm}$ . (d) $\langle x^2\rangle = 2Dt = RTt/3\pi\eta a N_A$ : setiap besarannya kecuali $N_A$ terukur.

Latihan 24.10 ★★★

Tunda sebuah membran. Sebuah membran setebal $e$ , yang mula-mula kosong, dipaparkan pada satu mukanya kepada $n_1$ pada $t = 0$ , muka lainnya ditahan pada $0$ . (a) Berapa fluks tegar akhirnya? (b) Berikanlah alasan bahwa fluks pada muka jauhnya naik sepanjang waktu $\sim e^2/D$ (tunda eksaknya $e^2/6D$ ). (c) Sebuah tempelan obat dengan $e = 20\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $D = 1 \times 10^{-13}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ menembus lapisan luar kulitnya: berapa waktu tundanya. (d) Mengapa tundanya berguna untuk mengukur $D$ dan fluks tegarnya untuk mengukur $D \times$ kelarutannya?

Solusi

Solusi Latihan 24.10.

(a) $Dn_1S/e$ . (b) Partikelnya memerlukan $\sim e^2/D$ untuk menyeberang. (c) $e^2/6D = 670\,\mathrm{s}$ , sebelas menit. (d) Tundanya memberi $D$ saja; fluks tegarnya memberi $D \times$ (kelarutan): dua pengukuran, dua yang tak diketahui.

Latihan 24.11 ★★★

Penyerap sempurna. Sebuah bola berjari-jari $a$ menyerap setiap partikel yang menyentuhnya, dalam sebuah medium pada $n_\infty$ jauh di sana. (a) Tentukanlah profil tegar dan arus total yang tertangkapnya. (b) Sebuah bakteri, $a = 1\,\text{µ}\mathrm{m}$ , dalam larutan gula pada $n_\infty = 6 \times 10^{20}\,\mathrm{m}^{-3}$ , $D = 5 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ : berapa molekul yang tertangkap tiap sekon. (c) Permukaannya diliputi $N_{\text{r}}$ reseptor penyerap kecil berjari-jari $s$ , sisanya memantulkan: tiap reseptor sendiri menangkap $\approx 4Ds n_\infty$ (sebuah cakram); tunjukkanlah bahwa seluruh selnya menangkap nyaris maksimumnya begitu $N_{\text{r}} s \gg a$ , yakni dengan sepersekian kecil permukaannya terliput. (d) Ulaslah: mengapa sel dapat menanggung beribu reseptor yang berbeda.

Solusi

Solusi Latihan 24.11.

(a) $n = n_\infty(1 - a/r)$ , $\Phi = 4\pi D a n_\infty$ . (b) $3.8 \times 10^6$ tiap sekon. (c) Reseptornya berlaku seperti konduktansi yang terparalel lalu terseri dengan selubung bolanya: $\Phi \approx 4\pi Dan_\infty \cdot N_{\text{r}}s/(N_{\text{r}}s + \pi a)$ ; separuh maksimumnya bagi $N_{\text{r}}s = \pi a$ : dengan $s = 1\,\mathrm{nm}$ , $N_{\text{r}} \approx 3000$ , yang meliputi $N_{\text{r}}s^2/4a^2 \approx 10^{-3}$ permukaannya. (d) Tiap jenis reseptornya memerlukan luas yang dapat diabaikan bagi penangkapan yang nyaris maksimal: sebuah sel dapat mengawasi beribu zat sekaligus.

Latihan 24.12 ★★★

Menyelesaikannya pada sebuah petak. Bagilah ruangnya menjadi sel berukuran $\Delta x$ dan waktunya menjadi langkah $\Delta t$ ; tuliskanlah $n_i^{k+1} = n_i^k + \alpha\,(n_{i+1}^k - 2n_i^k + n_{i-1}^k)$ dengan $\alpha = D\Delta t/\Delta x^2$ . (a) Benarkanlah ia dari persamaannya. (b) Tafsirkanlah ia sebagai sebuah jalan acak ketika $\alpha = 1/2$ . (c) Tunjukkanlah bahwa bagi $\alpha > 1/2$ sebuah kerapatan yang berselang-seling $+,-,+,-$ dari sel ke sel tumbuh: ketakstabilan. (d) Bagi profil boron soal di bawah ( $D = 1.5 \times 10^{-17}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , $\Delta x = 10\,\mathrm{nm}$ ), tentukanlah $\Delta t$ mantap terbesarnya dan jumlah langkahnya bagi satu jam.

Solusi

Solusi Latihan 24.12.

(a) Beda maju dalam $t$ , beda kedua terpusat dalam $x$ . (b) $\alpha = 1/2$ : $n_i^{k+1} = (n_{i-1}^k + n_{i+1}^k)/2$ — tiap partikelnya melompat ke kiri atau ke kanan dengan peluang $1/2$ . (c) Bagi $n_i = (-1)^i$ , $n^{k+1} = (1 - 4\alpha)n^k$ : $|1 - 4\alpha| > 1$ ketika $\alpha > 1/2$ . (d) $\Delta t \le \Delta x^2/2D = 3.3\,\mathrm{s}$ ; sekitar $1100$ langkah.

24.6 Soal: Sebuah wafer terdoping dan sebuah ruangan beraroma

Soal 24.1

Soal akhir pekan — difusi dalam sebuah zat padat dan dalam sebuah gas

Bagian I — Pendorongan masuk boron dalam silikon. Boron berdifusi dalam silikon dengan $D = D_0\,\eu^{-E_{\text{a}}/k_BT}$ , $D_0 = 7.6 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , $E_{\text{a}} = 3.46\,\mathrm{eV}$ ; $k_B = 8.62 \times 10^{-5}\,\mathrm{eV}/\mathrm{K}$ . Sebuah dosis $Q = 1 \times 10^{18}\,\mathrm{m}^{-2}$ boron telah diendapkan dalam sebuah lapisan yang sangat tipis di permukaan sebuah wafer yang doping latarnya $n_B = 1 \times 10^{21}\,\mathrm{m}^{-3}$ ; ia lalu dipanaskan (“didorong masuk”) pada $1100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ selama satu jam. Permukaannya memantulkan boronnya (tak ada yang lolos).

Hitunglah $D$ pada $1100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ dan pada $1000\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ . Sebesar faktor berapa ia berubah sepanjang $100\,\mathrm{K}$ ini?
Mengapa profil sesudah pendorongan masuknya adalah $n(x,t) = (Q/\sqrt{\pi Dt})\exp(-x^2/4Dt)$ dan bukan Gauss Proposisi 24.10? Periksalah bahwa integralnya pada $x > 0$ adalah $Q$ .
Konsentrasi permukaannya sesudah satu jam.
Kedalaman sambungan $x_j$ adalah tempat $n = n_B$ : hitunglah.
Bagaimana $x_j$ berubah jika pendorongan masuknya berlangsung empat jam? (Hati-hati: konsentrasi permukaannya berubah juga.)
Perubahan nisbi $D$ bagi galat suhu $10\,\mathrm{K}$ ; kendali suhu yang diperlukan agar $x_j$ tepat sampai $1\,\%$ .
Pada suhu ruang, berapa $D$ : taksirlah waktu bagi profilnya untuk beranjak sejarak satu jarak atom, lalu simpulkanlah.

Bagian II — Pradeposisi. Dosisnya sendiri dimasukkan pada $950\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ dari sebuah gas yang menahan permukaannya pada batas kelarutannya $n_0 = 2 \times 10^{26}\,\mathrm{m}^{-3}$ selama $30\,\mathrm{min}$ .

Tentukanlah $D$ pada $950\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ dan $\sqrt{Dt}$ bagi $30\,\mathrm{min}$ .
Profil di akhir pradeposisinya; kedalaman yang padanya $n = n_B$ ( $\operatorname{erfc}(3.2) \approx 6 \times 10^{-6}$ ).
Dosis yang dimasukkan; bandingkanlah dengan $Q$ Bagian I.
Mengapa orang mempradeposisi pada suhu yang lebih rendah lalu mendorong masuk pada suhu yang lebih tinggi?
Benarkanlah bahwa selama pendorongan masuknya lapisan yang terpradeposisi dapat diperlakukan sebagai tipis takhingga.

Bagian III — Sebuah parfum dalam sebuah ruangan. Setetes parfum ( $1\,\mathrm{mg}$ , massa molar $150\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ) menguap seketika di sudut sebuah ruangan yang tenang pada $300\,\mathrm{K}$ , $1\,\mathrm{bar}$ . Ambillah diameter tumbukan molekul parfumnya dengan udara sebagai $d = 0.5\,\mathrm{nm}$ dan rapat cacah udaranya $n_{\text{a}} = P/k_BT$ .

Jumlah molekul yang dilepaskan; rapat cacah udaranya.
Jalan bebas rerata $\ell = 1/(\sqrt2\,\pi d^2 n_{\text{a}})$ molekul parfumnya, dan kelajuan reratanya $v^* = \sqrt{8RT/\pi M}$ .
Taksirlah $D = \ell v^*/3$ .
Waktu untuk berdifusi $5\,\mathrm{m}$ ; dan jika udaranya hanyut pada $0.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ?
Tuliskanlah Gauss tiga dimensinya bagi awannya (sebuah sudut: dindingnya memantulkan, kalikanlah dengan $8$ ). Pada sebuah titik $1\,\mathrm{m}$ jauhnya, pada waktu berapa konsentrasinya maksimal?
Rapat cacah maksimumnya di sana; bandingkanlah dengan ambang pengindraan $1 \times 10^{13}\,\mathrm{m}^{-3}$ .
Tepi awannya: pada jarak berapa kerapatannya $10^{-6}$ nilai pusatnya sesudah satu hari?
Jumlah tumbukan yang dialami sebuah molekul parfum dalam sehari.

Bagian IV — Pejalan dan anak panah waktu.

Seorang pejalan membuat $N$ langkah $\pm\ell$ pada sebuah garis: tentukanlah simpangan rerata dan simpangan kuadrat reratanya; tunjukkanlah bahwa $\langle x^2\rangle = 2Dt$ mengenali $D = \ell^2/2\tau$ .
Peluang bahwa pejalannya kembali tepat ke awalnya sesudah $N = 2$ , $4$ , $6$ langkah; ulaslah kecenderungannya.
Filmkanlah sebuah awan yang berdifusi lalu putarlah filmnya mundur: apa yang Anda lihat, dan persamaan mana yang dilanggar?
Jelaskanlah dalam satu paragraf bagaimana gerak molekul yang terbalikkan menghasilkan persamaan difusi yang takterbalikkan.
Ringkaslah: skala panjangnya, skala waktunya, dan satu besaran yang membedakan sebuah gas, sebuah cairan dan sebuah zat padat panas.

Solusi

Solusi Soal 24.1.

1. $k_BT = 0.118\,\mathrm{eV}$ , $E_{\text{a}}/k_BT = 29.2$ : $D = 1.6 \times 10^{-17}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ; pada $1000\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ : $1.6 \times 10^{-18}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ — sebuah faktor $10$ .

2. Permukaan yang memantulnya ditangani lewat bayangan cermin pulsanya, yang melipatduakan amplitudonya pada $x > 0$ ; $\int_0^\infty = (Q/\sqrt{\pi Dt}) \cdot \tfrac12\sqrt{4\pi Dt} = Q$ .

3. $Dt = 5.8 \times 10^{-14}\,\mathrm{m}^{2}$ ; $\sqrt{\pi Dt} = 0.43\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; $n_{\text{s}} = 2.3 \times 10^{24}\,\mathrm{m}^{-3}$ .

4. $\eu^{-x^2/4Dt} = 4.3 \times 10^{-4}$ : $x_j^2 = 4Dt \times 7.75$ , $x_j = 1.3\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

5. $n_{\text{s}}$ menjadi separuh, logaritmanya turun menjadi $7.05$ , $4Dt$ menjadi empat kali: $x_j = 2.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ — kurang dari dua kalinya.

6. $\delta D/D = (E_{\text{a}}/k_BT)\,\delta T/T = 21\%$ ; $x_j \propto \sqrt{Dt}$ kira-kira, jadi $1\%$ pada $x_j$ menuntut $2\%$ pada $D$ : $1\,\mathrm{K}$ .

7. $E_{\text{a}}/k_BT = 134$ : $D \approx 10^{-62}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ; satu jarak ( $0.25\,\mathrm{nm}$ ) dalam $a^2/D \sim 10^{43}\,\mathrm{s}$ : beku.

8. $E_{\text{a}}/k_BT = 32.8$ : $D = 4.3 \times 10^{-19}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ; $\sqrt{Dt} = 28\,\mathrm{nm}$ .

9. $n_0\operatorname{erfc}(x/2\sqrt{Dt})$ ; $n_B/n_0 = 5 \times 10^{-6}$ : $x \approx 6.4\sqrt{Dt} = 0.18\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

10. $2n_0\sqrt{Dt/\pi} = 6.3 \times 10^{18}\,\mathrm{m}^{-2}$ : enam kali $Q$ — dosisnya tumbuh sebagai $\sqrt t$ dan ditetapkan waktunya.

11. Suhu rendah: $D$ kecil, dosisnya dikendalikan waktunya, dangkal; suhu tinggi: dosis tetapnya didorong dalam-dalam dengan cepat.

12. $0.18\,\text{µ}\mathrm{m}$ melawan $1.3\,\text{µ}\mathrm{m}$ : tipis.

13. $4 \times 10^{18}$ molekul; $n_{\text{a}} = 2.4 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$ .

14. $\ell = 37\,\mathrm{nm}$ ; $v^* = 206\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

15. $D \approx 2.5 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ .

16. $L^2/D = 10^7\,\mathrm{s}$ , berbulan; jika hanyut: $50\,\mathrm{s}$ .

17. $n = 8N(4\pi Dt)^{-3/2}\eu^{-r^2/4Dt}$ ; maksimal pada $t^* = r^2/6D = 6.7 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$ , delapan belas jam.

18. $n_{\max} = 8N(4\pi Dt^*)^{-3/2}\eu^{-3/2} \approx 2 \times 10^{18}\,\mathrm{m}^{-3}$ , jauh di atas ambangnya: tercium, akhirnya.

19. $r^2 = 4Dt\ln 10^6 = 12\,\mathrm{m}^{2}$ : $3.5\,\mathrm{m}$ .

20. $v^*t/\ell \approx 5 \times 10^{14}$ .

21. $\langle x\rangle = 0$ , $\langle x^2\rangle = N\ell^2 = \ell^2 t/\tau$ ; $D = \ell^2/2\tau$ .

22. $\binom{N}{N/2}/2^N$ : $1/2$ , $3/8$ , $5/16$ — menurun (sebagai $1/\sqrt{\pi N/2}$ ): pejalannya mengembara pergi sebagai $\sqrt N$ .

23. Awannya berkumpul menjadi sebuah titik — tak pernah terlihat; ia melanggar persamaan difusinya, bukan hukum mekanikanya.

24. Tiap tumbukannya terbalikkan, tetapi keadaan awalnya (semua partikelnya bersama) itu luar biasa: hampir setiap riwayat mikroskopis darinya menyebar, dan kebalikannya menuntut sebuah persekongkolan semua kecepatannya. Rerata jalan acaknya hanya menyimpan yang lazim lalu membuang keterangan itu; ketakterbalikannya bersifat statistik.

25. $L \sim \sqrt{Dt}$ , $t \sim L^2/D$ ; $D \sim \ell v^*/3$ , yakni langkah antara tumbukannya: $10^{-5}$ , $10^{-9}$ , $10^{-17}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ .

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Rapat cacah dan arus partikel

Lihat semua 393 istilah di glosarium