Fisika Universitas — Tahun 2 · Bachelor Year 2

9Elektronika: Umpan Balik, Osilator dan Perolehan Sinyal

Dekatkanlah sebuah mikrofon terlalu jauh ke pengeras suara yang disuapinya dan aulanya penuh lolongan: penguatnya mendengar dirinya sendiri, dan derau yang amat kecil tumbuh menjadi jeritan pada satu nada tertentu. Setelah dijinakkan, simpal yang sama itu menjadi jantung setiap jam, radio dan penyintesis — sebuah osilator yang membuat gelombang sinus dari tak lebih daripada penguatan dan sebuah tapis. Jilid Tahun ke-1 membangun penguat, tapis dan pembanding dengan penguat operasional; bab ini menutup simpal di sekelilingnya, menanyakan kapan sebuah simpal mantap dan kapan ia berosilasi, membangun dua osilator — satu sinusoidal, satu persegi — lalu beralih ke dua langkah yang dengannya sebuah sinyal terukur sampai ke komputer: mencupliknya, dan menariknya keluar dari derau dengan deteksi serentak.

Sebuah papan rangkai, sebuah pembangkit fungsi dan sebuah osiloskop: meja kerja tempat sebuah simpal umpan balik ditutup — dan tempat orang menemukan, ketika penguatnya mulai bernyanyi, bahwa ia telah menjadi sebuah osilator.

9.1 Umpan balik dan kemantapan

Definisi 9.1 (Simpal tertutup; penguatan simpal)

Sebuah penguat berfungsi alih $\underline A(\jmath\omega)$ menerima masukan $\underline e$ ditambah pecahan $\underline\beta(\jmath\omega)\,\underline s$ dari keluarannya sendiri $\underline s$ (umpan balik positif; untuk umpan balik negatif ubahlah tanda $\beta$ ). Fungsi alih simpal tertutup dan penguatan simpalnya adalah

\underline H = \frac{\underline s}{\underline e} = \frac{\underline A}{1 - \underline A\,\underline\beta} , \qquad \underline T = \underline A\,\underline\beta .

Teorema 9.2 (Kemantapan sebuah simpal linear; syarat osilasi)

Dengan mengganti $\jmath\omega$ dengan peubah kompleks $p$ , evolusi bebas simpalnya diatur akar persamaan cirinya $1 - \underline A(p)\underline\beta(p) = 0$ (yaitu kutub $\underline H$ ): tiap akar $p_i$ menyumbang ragam $\eu^{p_it}$ . Simpalnya mantap apabila semua akarnya berbagian nyata negatif (tiap ragamnya mati); ia berosilasi, dengan amplitudo yang tumbuh, apabila sebuah akar berbagian nyata positif. Perbatasannya — sepasang akar murni khayal $\pm\jmath \omega_0$ , yakni sinusoida yang berkelanjutan — dicapai ketika

\underline A(\jmath\omega_0)\,\underline\beta(\jmath\omega_0) = 1

(syarat Barkhausen: penguatan simpal bermodulus satu dan berfase nol pada $\omega_0$ ). Untuk penyebut orde dua $ap^2 + bp + c$ simpalnya mantap jika dan hanya jika $a$ , $b$ , $c$ bertanda sama.

Bukti. Persamaan diferensial simpalnya diperoleh dari $\underline s(1 - \underline A\underline\beta) = \underline A\underline e$ dengan membaca tiap pangkat $\jmath\omega$ sebagai turunan waktu; penyelesaian homogennya adalah $\eu^{p_it}$ dengan $p_i$ akar polinomialnya. Pertumbuhan atau peluruhannya menyusul dari tanda $\operatorname{Re}p_i$ ; untuk polinomial orde dua akarnya berbagian nyata negatif tepat ketika koefisiennya bertanda sama (jumlahnya $-b/a$ dan hasil kalinya $c/a$ ). Syarat Barkhausen adalah keberadaan sebuah akar di $p = \jmath\omega_0$ . ∎

Catatan 9.3 (Bagaimana sebuah osilator bermula dan berhenti)

Sebuah osilator dirancang dengan penguatan simpal yang sedikit lebih besar daripada satu pada $\omega_0$ : derau yang hadir saat dinyalakan memuat frekuensi itu, yang tumbuh secara eksponensial sementara yang lain mati. Teori linearnya lalu meramalkan amplitudo tak hingga; kenyataannya suatu ketaklinearan — kejenuhan penguatnya, atau sebuah unsur yang sengaja dibuat tak linear — menurunkan penguatan efektifnya sementara amplitudonya tumbuh, sampai penguatan simpalnya rata-rata tepat satu: amplitudonya menetap. Setiap osilator yang sungguhan karena itu merupakan simpal linear bagi frekuensinya dan simpal tak linear bagi amplitudonya; makin lembut pembatasannya, makin murni gelombang sinusnya.

9.2 Osilator jembatan Wien

Proposisi 9.4 (Osilator jembatan Wien)

Sebuah penguat operasional dalam tatanan tak membalik berpenguatan $K = 1 + R_2/R_1$ mengumpanbalikkan keluarannya ke masukan $+$ -nya lewat jaringan Wien: $R$ dan $C$ terseri, lalu $R$ dan $C$ terparalel ke tanah. Fungsi alih jaringannya adalah

\underline\beta(\jmath\omega) = \frac1{3 + \jmath(RC\omega - 1/RC\omega)} ,

nyata dan maksimum ( $= 1/3$ ) pada $\omega_0 = 1/RC$ . Penguatan simpalnya $K\underline\beta$ sama dengan satu pada $\omega_0$ ketika $K = 3$ : rangkaiannya lalu melangsungkan sebuah sinusoida pada

f_0 = \frac1{2\pi RC} .

Tegangan $v$ pada masukan $+$ -nya menuruti

\frac{\dd^2v}{\dd t^2} + \frac{3 - K}{RC}\,\frac{\dd v}{\dd t} + \frac{v}{R^2C^2} = 0 :

untuk $K < 3$ osilasinya mati, untuk $K > 3$ ia tumbuh (peredaman negatif) dengan tetapan waktu $2RC/(K - 3)$ , sampai kejenuhan penguat operasionalnya membatasinya.

Bukti. Pembagi tegangan: cabang serinya $Z_s = R + 1/\jmath C\omega$ , cabang paralelnya $Z_p = R/(1 + \jmath RC\omega)$ ; $\underline\beta = Z_p/(Z_s + Z_p)$ , yang menyederhana menjadi bentuk yang diberikan. Simpalnya: $\underline v = \underline\beta K\underline v$ , yakni $[3 + \jmath(RC\omega - 1/RC\omega)]\underline v = K\underline v$ ; kalikanlah dengan $\jmath\omega RC$ lalu bacalah $\jmath\omega \to \dd/\dd t$ : $R^2C^2\ddot v + (3 - K)RC\dot v + v = 0$ . Koefisien peredamannya berubah tanda pada $K = 3$ . ∎

Kiri: sebuah simpal umpan balik — keluarannya diumpanbalikkan, lewat , ke masukan penguatnya. Kanan: osilator jembatan Wien — sebuah penguat tak membalik berpenguatan 1 + R_2/R_1 yang keluarannya kembali ke masukan +-nya lewat jaringan RC seri–paralel; ia berosilasi pada 1/2π RC ketika penguatannya mencapai 3. — Kiri: sebuah simpal umpan balik — keluarannya diumpanbalikkan, lewat $\underline\beta$ , ke masukan penguatnya. Kanan: osilator jembatan Wien — sebuah penguat tak membalik berpenguatan $1 + R_2/R_1$ yang keluarannya kembali ke masukan $+$ -nya lewat jaringan $RC$ seri–paralel; ia berosilasi pada $1/2\pi RC$ ketika penguatannya mencapai 3.

Contoh 9.5 (Sebuah sumber 1 kHz)

$R = 15.9\,\mathrm{k}\Omega$ , $C = 10\,\mathrm{nF}$ : $f_0 = 1.00\,\mathrm{kHz}$ . Dengan $R_1 = 10\,\mathrm{k}\Omega$ dan $R_2 = 21\,\mathrm{k}\Omega$ , $K = 3.1$ : amplitudonya tumbuh sebesar $\eu$ tiap $2RC/0.1 = 3.2\,\mathrm{ms}$ dari derau saat dinyalakan, mencapai kejenuhan dalam beberapa puluh milisekon; sinus yang terpotong lalu kaya harmonik. Mengganti $R_1$ dengan lampu pijar kecil, yang hambatannya naik ketika ia menghangat, menarik $K$ turun tepat ke $3$ pada amplitudo yang sedang: sebuah gelombang sinus dengan cacat kurang dari $0.1\%$ , yaitu rangkaian pembangkit sinyal laboratorium yang pertama.

9.3 Pembanding berhisteresis; multivibrator astabil

Proposisi 9.6 (Pembanding berhisteresis)

Sebuah penguat operasional dengan umpan balik positif — keluarannya disuapkan ke masukan $+$ -nya lewat pembagi $R_1$ , $R_2$ (masukan $+$ -nya lalu berada pada $\beta s$ dengan $\beta = R_1/(R_1 + R_2)$ ketika sinyal $e$ dikenakan pada masukan $-$ -nya) — tak mempunyai rezim linear yang mantap: keluarannya berada pada $+V_{\text{jenuh}}$ atau $-V_{\text{jenuh}}$ lalu berjungkit

\begin{align*} &\text{dari } +V_{\text{jenuh}} \text{ ke } -V_{\text{jenuh}} \text{ ketika } e \text{ naik melampaui } +\beta V_{\text{jenuh}} ,\\ &\text{dari } -V_{\text{jenuh}} \text{ ke } +V_{\text{jenuh}} \text{ ketika } e \text{ turun di bawah } -\beta V_{\text{jenuh}} . \end{align*}

Kedua ambangnya berbeda: histeresis $2\beta V_{\text{jenuh}}$ membuat pembandingnya kebal terhadap derau yang lebih kecil daripada itu, dan daurnya dalam bidang $(e, s)$ adalah persegi panjang yang dilalui searah jarum jam.

Bukti. Dengan $s = +V_{\text{jenuh}}$ masukan $+$ -nya berada pada $+\beta V_{\text{jenuh}}$ ; keluarannya tetap positif selama $e < \beta V_{\text{jenuh}}$ , lalu berjungkit ketika $e$ menyeberanginya — sesudah itu masukan $+$ -nya berada pada $-\beta V_{\text{jenuh}}$ , sehingga $e$ harus turun di bawah nilai itu untuk menjungkitkannya kembali. (Dalam rezim linear umpan balik positifnya akan membuat setiap simpangan tumbuh: ia tak mantap.) ∎

Proposisi 9.7 (Multivibrator astabil)

Umpankanlah keluaran pembanding berhisteresisnya kembali ke masukan $-$ -nya sendiri lewat rangkaian $RC$ ( $R$ dari $s$ ke masukan $-$ -nya, $C$ dari sana ke tanah). Kapasitornya mengisi menuju $\pm V_{\text{jenuh}}$ lalu menjungkitkan pembandingnya tiap kali ia mencapai sebuah ambang: gelombang persegi pada $s$ , gelombang nyaris segitiga pada $C$ , dengan periode

T = 2RC\,\ln\frac{1 + \beta}{1 - \beta} .

Untuk $\beta = 1/2$ , $T = 2RC\ln3 \approx 2.2RC$ . Osilator relaksasi semacam itu mendetakkan mikrokontroler, mengedipkan lampu penunjuk dan membangkitkan gelombang segitiga dan persegi sebuah pembangkit fungsi.

Bukti. Dengan $s = +V_{\text{jenuh}}$ , tegangan kapasitornya $v_C$ beranjak dari $-\beta V_{\text{jenuh}}$ menuju $+V_{\text{jenuh}}$ sebagai $v_C = V_{\text{jenuh}} - (1 + \beta) V_{\text{jenuh}}\eu^{-t/RC}$ , dan mencapai $+\beta V_{\text{jenuh}}$ sesudah $RC\ln[(1 + \beta) /(1 - \beta)]$ ; pembandingnya berjungkit dan separuh daur setangkupnya menyusul. ∎

Kiri: daur sebuah pembanding berhisteresis — dua ambang, sebuah persegi panjang yang dilalui searah jarum jam. Kanan: multivibrator astabil — tegangan kapasitornya ulang-alik di antara kedua ambangnya dan keluarannya adalah gelombang persegi.

9.4 Mencuplik sebuah sinyal

Teorema 9.8 (Pencuplikan; kriteria Nyquist–Shannon)

Sebuah sinyal dicuplik apabila hanya nilainya $s(nT_s)$ pada saat $nT_s$ yang disimpan, dengan $f_s = 1/T_s$ yaitu laju cupliknya. Spektrum sinyal tercuplik adalah spektrum $s$ yang berulang di sekitar tiap kelipatan $f_s$ . Sinyal yang spektrumnya terkurung di bawah $f_{\max}$ dapat dibangun ulang secara eksak dari cuplikannya jika dan hanya jika

f_s > 2f_{\max} ;

pada hal lainnya salinannya bertindihan dan komponen pada $f > f_s/2$ muncul kembali pada frekuensi alias $|f - nf_s|$ (untuk bilangan bulat $n$ yang membawanya ke bawah $f_s/2$ ), tak terbedakan dari komponen berfrekuensi rendah yang sejati. Dari situlah tapis anti-alias yang dipasang di depan setiap pencuplik: sebuah tapis lolos-rendah yang membuang segalanya di atas $f_s/2$ .

Bukti. Mencuplik berarti mengalikan $s(t)$ dengan rentetan pulsa sempit berkala berperiode $T_s$ , yang deret Fouriernya memuat semua harmonik $nf_s$ (jilid matematika tahun ini); mengalikan $s$ dengan $\cos(2\pi nf_st)$ menggeser spektrumnya sebesar $\pm nf_s$ — dari situlah salinannya. Keduanya tidak bertindihan jika dan hanya jika $f_{\max} < f_s - f_{\max}$ ; sebuah tapis lolos-rendah berambang $f_s/2$ lalu memulihkan spektrum aslinya secara eksak (diterima tanpa bukti). Pengaliasan: cuplikan $\cos(2\pi ft)$ dan cuplikan $\cos(2\pi(f - nf_s)t)$ pada $t = mT_s$ berimpit, sebab $2\pi nf_smT_s = 2\pi nm$ . ∎

Contoh 9.9 (Roda pedati, cakram padat dan osiloskop)

Sebuah film pada $24$ citra tiap sekon mencuplik dunianya pada $24\,\mathrm{Hz}$ : sebuah roda berjeruji $12$ yang berputar $2.1$ putaran tiap sekon menyajikan sebuah jeruji $25.2$ kali tiap sekon, $1.2$ di luar $f_s$ — ia tampak berputar perlahan maju, dan mundur $1.9$ putaran tiap sekon. Sebuah cakram padat mencuplik pada $44.1\,\mathrm{kHz}$ untuk memperdengarkan bunyi sampai $20\,\mathrm{kHz}$ , dengan tapis anti-alias yang curam antara $20$ dan $22\,\mathrm{kHz}$ . Sebuah osiloskop digital yang diatur pada $1\,\mathrm{MS}/\mathrm{s}$ menampilkan sinus $999\,\mathrm{kHz}$ sebagai sinus $1\,\mathrm{kHz}$ — jebakan pertama pengukuran digital.

Pengaliasan: sebuah sinusoida pada 0.9f_s dan satu lagi pada 0.1f_s melewati cuplikan yang sama; sekali tercuplik, keduanya tak dapat dibedakan — dari situlah kriteria f_s > 2f_. — Pengaliasan: sebuah sinusoida pada $0.9f_s$ dan satu lagi pada $0.1f_s$ melewati cuplikan yang sama; sekali tercuplik, keduanya tak dapat dibedakan — dari situlah kriteria $f_s > 2f_{\max}$ .

Catatan 9.10 (Kuantisasi)

Pengubah analog ke digitalnya juga membulatkan tiap cuplikan ke salah satu dari $2^N$ tingkat ( $N$ bit): galat pembulatannya, paling banyak separuh langkah, bertindak sebagai derau bernilai rms $\Delta/\sqrt{12}$ bagi langkah $\Delta$ , dan jangkauan dinamiknya (sinus terbesar terhadap derau itu) sekitar $6N + 2$ dB — $98\,\mathrm{dB}$ bagi $16$ bit sebuah cakram padat, $74\,\mathrm{dB}$ bagi osiloskop $12$ bit. Laju cuplik dan resolusi adalah dua bilangan pada label setiap pendigit.

9.5 Deteksi serentak

Proposisi 9.11 (Deteksi serentak)

Sebuah sinyal berfrekuensi diketahui, $s(t) = A\cos(\omega_0t + \varphi)$ , yang terkubur dalam derau $n(t)$ beramplitudo jauh lebih besar yang tersebar pada pita lebar, dikalikan dengan acuan $r(t) = \cos\omega_0t$ berfrekuensi sama lalu dilewatkan tapis lolos-rendah berambang $f_c \ll f_0$ :

s(t)r(t) = \tfrac12A\cos\varphi + \tfrac12A\cos(2\omega_0t + \varphi) \ \xrightarrow{\ \text{lolos-rendah}\ }\ \tfrac12A\cos\varphi .

Keluarannya adalah tegangan searah yang sebanding dengan amplitudo sinyalnya (dan dengan kosinus fasenya relatif terhadap acuannya), sementara deraunya menyusut menjadi bagian spektrumnya yang terletak dalam $\pm f_c$ dari $f_0$ — yaitu lebar pita $2f_c$ yang dapat dibuat sesempit apa pun (sepersekian hertz bagi tapis bertetapan waktu beberapa sekon). Komponen pada frekuensi $f$ yang lain tergeser ke $f \pm f_0$ lalu ditolak tapisnya.

Bukti. $\cos a\cos b = \tfrac12[\cos(a - b) + \cos(a + b)]$ ; tapisnya menyimpan suku selisihnya bagi sinyalnya, sedangkan suku $2\omega_0$ dan setiap komponen derau pada $f$ tergeser ke $|f - f_0|$ dan $f + f_0$ — hanya derau yang semula berada dalam $f_c$ dari $f_0$ yang mendarat di bawah $f_c$ . ∎

Deteksi serentak: keluaran sensornya, yaitu sinyal ditambah derau lebar, dikalikan dengan acuan berfrekuensi sinyalnya sendiri lalu ditapis lolos-rendah; hanya derau dalam pita sempit di sekitar f_0 (yang diarsir) yang bertahan, dan sinyalnya keluar sebagai taraf searah. — Deteksi serentak: keluaran sensornya, yaitu sinyal ditambah derau lebar, dikalikan dengan acuan berfrekuensi sinyalnya sendiri lalu ditapis lolos-rendah; hanya derau dalam pita sempit di sekitar $f_0$ (yang diarsir) yang bertahan, dan sinyalnya keluar sebagai taraf searah.

Contoh 9.12 (Menemukan satu mikrovolt)

Sebuah fotodioda menyerahkan sinyal $10\,\text{µ}\mathrm{V}$ ketika cahayanya dipenggal pada $1\,\mathrm{kHz}$ , di atas derau putih $50\,\mathrm{nV}/\sqrt{\mathrm{Hz}}$ sepanjang $100\,\mathrm{kHz}$ ( $16\,\text{µ}\mathrm{V}$ rms: lebih besar daripada sinyalnya). Sesudah deteksi serentak dengan tapis bertetapan waktu $\tau = 1\,\mathrm{s}$ (lebar pita derau $1/4\tau = 0.25\,\mathrm{Hz}$ ) deraunya menjadi $50\,\text{nV} \times \sqrt{0.25} = 25\,\mathrm{nV}$ : nisbah sinyal terhadap derau sebesar $400$ — dengan harga menunggu beberapa sekon tiap titik. Muslihat yang sama, dengan nama demodulasi, memulihkan musik dari pembawa radio bermodulasi amplitudo dan data dari sebuah modem.

Metode 9.13 (Merancang sebuah rantai pengukuran)

(1) Modulasikanlah besaran yang hendak diukur pada frekuensi $f_0$ yang jauh dari deraunya (pemenggal, jembatan bolak-balik). (2) Kuatkanlah dengan lebar pita yang meliputi $f_0$ . (3) Deteksilah secara serentak dengan tapis yang tetapan waktunya paling panjang yang mampu ditanggung pengukurannya: deraunya turun sebagai $1/\sqrt\tau$ . (4) Cupliklah keluarannya yang lambat pada laju di atas dua kali lebar pitanya, sesudah sebuah tapis anti-alias, dengan bit yang cukup bagi resolusi yang dituntut. (5) Periksalah rantainya dengan sinyal yang diketahui, dan periksalah bahwa tak ada bagiannya yang berosilasi: setiap penguat berumpan balik adalah osilator yang berpotensi.

9.6 Latihan

Latihan 9.1 ★

Sebuah osilator jembatan Wien dengan $R = 10\,\mathrm{k}\Omega$ , $C = 10\,\mathrm{nF}$ : tentukanlah frekuensinya; penguatan yang diperlukan; nilai $R_1$ , $R_2$ bagi $K = 3.05$ dengan $R_1 = 10\,\mathrm{k}\Omega$ ; tetapan waktu pertumbuhan amplitudonya. Komponen mana yang menetapkan frekuensinya, mana yang menetapkan penyalaannya?

Solusi

Solusi Latihan 9.1.

$f_0 = 1/2\pi RC = 1.59\,\mathrm{kHz}$ ; $K = 3$ ; $R_2 = 2.05R_1 = 20.5\,\mathrm{k}\Omega$ ; $\tau = 2RC/(K - 3) = 4\,\mathrm{ms}$ . $R$ , $C$ menetapkan frekuensinya; $R_1$ , $R_2$ menetapkan penyalaannya (dan pembatasan amplitudonya).

Latihan 9.2 ★

Pembanding berhisteresis dengan $V_{\text{jenuh}} = \pm 13\,\mathrm{V}$ , $R_1 = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$ , $R_2 = 4.0\,\mathrm{k}\Omega$ : tentukanlah ambangnya dan lebar histeresisnya. Sebuah sinyal berderau yang menyeberangi nol dengan derau $2\,\mathrm{V}$ : berapa kali keluarannya berjungkit tiap penyeberangan, dengan dan tanpa histeresis?

Solusi

Solusi Latihan 9.2.

$\beta = 0.2$ : ambangnya $\pm2.6\,\mathrm{V}$ , histeresisnya $5.2\,\mathrm{V}$ . Derau $2\,\mathrm{V}$ tak dapat menyeberangi ulang ambang yang berjarak $5.2\,\mathrm{V}$ : satu jungkitan tiap penyeberangan; tanpa histeresis keluarannya berkeretak berkali-kali.

Latihan 9.3 ★

Multivibrator astabil dengan $R = 10\,\mathrm{k}\Omega$ , $C = 100\,\mathrm{nF}$ , $\beta = 0.5$ : tentukanlah periode dan frekuensinya; $R$ bagi $1.0\,\mathrm{kHz}$ ; amplitudo gelombang segitiga pada kapasitornya; apa yang terjadi pada $T$ jika $\beta$ dinaikkan menjadi $0.9$ ?

Solusi

Solusi Latihan 9.3.

$T = 2RC\ln3 = 2.2\,\mathrm{ms}$ , $455\,\mathrm{Hz}$ ; $R = 4.55\,\mathrm{k}\Omega$ bagi $1\,\mathrm{kHz}$ ; segitiganya di antara $\pm\beta V_{\text{jenuh}}$ ; $\beta = 0.9$ : $T = 2RC\ln19 = 5.9\,\mathrm{ms}$ , $2.7$ kali lebih panjang.

Latihan 9.4 ★

(a) Sebuah cakram padat mencuplik pada $44.1\,\mathrm{kHz}$ : frekuensi maksimum yang diperdengarkan. (b) Sebuah ultrasonik $30\,\mathrm{kHz}$ bocor ke dalam rekamannya: pada frekuensi berapa ia muncul? (c) Sebuah roda berjeruji $8$ yang difilmkan pada $25\,\mathrm{citra}/\mathrm{s}$ berputar $3.2$ putaran/s: gerak semunya. (d) Sebuah osiloskop pada $10\,\mathrm{MS}/\mathrm{s}$ memperlihatkan sinus $100\,\mathrm{kHz}$ yang bersih; sinyal sejatinya dapat berupa frekuensi lain yang mana saja?

Solusi

Solusi Latihan 9.4.

(a) $22.05\,\mathrm{kHz}$ . (b) $|30 - 44.1| = 14.1\,\mathrm{kHz}$ . (c) Jerujinya pada $8 \times 3.2 = 25.6\,\mathrm{Hz}$ , aliasnya $0.6\,\mathrm{Hz}$ : rodanya tampak merayap maju sebesar $0.075$ putaran/s. (d) $100\,\mathrm{kHz} + n \times 10\,\mathrm{MHz}$ , atau $n \times 10\,\mathrm{MHz} - 100\,\mathrm{kHz}$ : $9.9$ , $10.1$ , $19.9$ , $20.1\,\mathrm{MHz}$ , …

Latihan 9.5 ★★

Simpal dengan polinomial ciri (a) $p^2 + 3p + 2$ , (b) $p^2 - p + 4$ , (c) $p^2 + 4$ , (d) $p^3 + 2p^2 + 2p + 1$ , (e) $p^3 + p + 1$ : carilah atau bahaslah akarnya; simpal mana yang mantap, mana yang berosilasi, mana yang tumbuh? (Bagi yang kubik, bernalarlah pada tanda bagian nyatanya: misalnya tunjukkanlah (e) mempunyai satu akar nyata negatif dan dua akar kompleks berbagian nyata positif, dengan memakai hasil kali dan jumlah akarnya.)

Solusi

Solusi Latihan 9.5.

(a) $-1$ , $-2$ : mantap. (b) $(1 \pm \iu\sqrt{15})/2$ : osilasi yang tumbuh. (c) $\pm2\iu$ : osilasi yang berkelanjutan. (d) $(p + 1)(p^2 + p + 1)$ : $-1$ dan $(-1 \pm \iu\sqrt3)/2$ : mantap. (e) Satu akar nyata dekat $-0.68$ (polinomialnya monoton); jumlah ketiga akarnya $0$ , jadi pasangan kompleksnya berbagian nyata $+0.34$ : tak mantap.

Latihan 9.6 ★★

Jaringan Wien. (a) Turunkanlah $\underline\beta(\jmath\omega)$ dari pembaginya. (b) Sketsalah modulus dan fasenya; tunjukkanlah bahwa fasenya nol hanya pada $\omega_0$ dan bahwa modulusnya lalu $1/3$ . (c) Tuliskanlah persamaan diferensial simpalnya bagi penguatan $K$ lalu bahaslah $K < 3$ , $K = 3$ , $K > 3$ . (d) Dengan $K = 3.2$ , mulai dari derau $1\,\mathrm{mV}$ , berapa lama sampai amplitudonya mencapai $10\,\mathrm{V}$ ? Mengapa amplitudo akhirnya tidak bergantung pada derau awalnya?

Solusi

Solusi Latihan 9.6.

(a) $\underline\beta = Z_p/(Z_s + Z_p)$ dengan $Z_s = R + 1/\jmath C\omega$ , $Z_p = R/(1 + \jmath RC\omega)$ : $\underline\beta = 1/[3 + \jmath(RC\omega - 1/RC\omega)]$ . (b) Modulusnya $1/\sqrt{9 + (RC\omega - 1/RC\omega)^2}$ , maksimum $1/3$ pada $\omega_0$ ; fasenya $-\arctan [(RC\omega - 1/RC\omega)/3]$ , nol hanya pada $\omega_0$ . (c) $R^2C^2\ddot v + (3 - K)RC \dot v + v = 0$ : teredam, berkelanjutan, tumbuh. (d) Tetapan waktu pertumbuhannya $2RC/0.2 = 10RC = 1.6\,\mathrm{ms}$ ; $\ln10^4 = 9.2$ tetapan: $15\,\mathrm{ms}$ . Amplitudo akhirnya ditetapkan ketaklinearannya (kejenuhan), bukan benihnya, yang hanya menetapkan tundanya.

Latihan 9.7 ★★

Pembangkit segitiga. Sebuah pengintegral (penguat operasional, $R$ , $C$ ) disuapi keluaran persegi $\pm V_{\text{jenuh}}$ sebuah pembanding berhisteresis yang masukannya adalah keluaran pengintegralnya; ambang pembandingnya adalah $\pm V_{\text{jenuh}}R_1/R_2$ . (a) Tunjukkanlah bahwa keluaran pengintegralnya sebuah segitiga; kemiringannya. (b) Periodenya $T = 4RCR_1/R_2$ . (c) Angka: $R = 10\,\mathrm{k}\Omega$ , $C = 10\,\mathrm{nF}$ , $R_1/R_2 = 0.5$ . (d) Keunggulannya atas astabil yang sederhana bagi sebuah pembangkit fungsi.

Solusi

Solusi Latihan 9.7.

(a) Keluaran pengintegralnya berkemiringan $\mp V_{\text{jenuh}}/RC$ : sebuah segitiga. (b) Tiap landaiannya membentang $2V_{\text{jenuh}}R_1/R_2$ pada kemiringan $V_{\text{jenuh}}/RC$ : $T = 4RCR_1/R_2$ . (c) $4 \times 10^{-4} \times 0.5 = 0.2\,\mathrm{ms}$ , $5\,\mathrm{kHz}$ . (d) Segitiga yang linear tepat, frekuensi yang sebanding dengan $1/R$ (mudah disapu), keluaran persegi dan segitiga dari satu rangkaian.

Latihan 9.8 ★★

Kuantisasi. (a) Sebuah pengubah $16$ bit pada $\pm1\,\mathrm{V}$ : langkahnya, derau kuantisasi rms-nya, jangkauan dinamiknya dalam dB. (b) $12$ bit pada $1\,\mathrm{MS}/\mathrm{s}$ : laju bitnya; hal yang sama bagi $8$ bit pada $1\,\mathrm{GS}/\mathrm{s}$ (sebuah osiloskop cepat). (c) Sebuah sinyal $1\,\mathrm{mV}$ pada pengubah $16$ bitnya: berapa langkah? Apa yang harus dilakukan sebelum pengubahnya? (d) Mengapa sistem audio yang baik menambahkan sedikit derau sebelum mengkuantisasi?

Solusi

Solusi Latihan 9.8.

(a) $\Delta = 2/65536 = 30.5\,\text{µ}\mathrm{V}$ , deraunya $\Delta/\sqrt{12} = 8.8\,\text{µ}\mathrm{V}$ , $98\,\mathrm{dB}$ . (b) $12\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$ ; $8\,\mathrm{Gbit}/\mathrm{s}$ . (c) $33$ langkah: kuatkanlah $100$ kali atau lebih dulu. (d) Derau taburan mengubah galat pembulatan, yang terkait dengan sinyalnya (cacat), menjadi derau tak terkait yang tak berbahaya.

Latihan 9.9 ★★

Sebuah sinyal memuat komponen $1.0\,\mathrm{kHz}$ dan $9.0\,\mathrm{kHz}$ lalu dicuplik pada $10\,\mathrm{kS}/\mathrm{s}$ . (a) Di manakah masing-masingnya muncul? (b) Sebuah tapis anti-alias $RC$ orde pertama dengan $f_c = 2\,\mathrm{kHz}$ ditambahkan: pelemahannya pada $9\,\mathrm{kHz}$ dalam dB; cukupkah jika $40\,\mathrm{dB}$ yang diinginkan? (c) Orde tapis yang diperlukan (pelemahannya $\approx 20n$ dB tiap dekade); atau, sebagai alternatif, laju cuplik yang diperlukan dengan tapis orde pertamanya. (d) Mengapa pengubah modern mencuplik berlebih lalu menapis secara digital?

Solusi

Solusi Latihan 9.9.

(a) Keduanya pada $1\,\mathrm{kHz}$ . (b) $|H| = 1/\sqrt{1 + 4.5^2} = 0.22$ , $-13\,\mathrm{dB}$ : tidak. (c) $13\,\mathrm{dB} \times n \ge 40$ : orde tiga atau empat; atau sebuah laju cuplik yang membuat tapis orde pertamanya memberi $40\,\mathrm{dB}$ pada $f_s - 1\,\mathrm{kHz}$ , yakni pada $100f_c = 200\,\mathrm{kHz}$ : $f_s \approx 400\,\mathrm{kS}/\mathrm{s}$ . (d) Pencuplikan berlebih mendorong pita aliasnya jauh ke atas, tempat tapis analog yang lembut memadai; penapisan yang tajam lalu dikerjakan secara digital sebelum penipisan cuplikan.

Latihan 9.10 ★★★

Deteksi serentak. Masukan $A\cos(\omega_0t + \varphi) + n(t)$ dikalikan dengan $\cos\omega_0t$ lalu ditapis tapis lolos-rendah orde pertama bertetapan waktu $\tau$ . (a) Keluaran searahnya. (b) Tunjukkanlah bahwa komponen derau pada $f = f_0 + \delta f$ memberi, sesudah tapisnya, amplitudo yang berkurang dengan faktor $1/\sqrt{1 + (2\pi\delta f\tau)^2}$ ; simpulkanlah lebar pita derau setaranya $B = 1/4\tau$ (terimalah $\int_0^\infty \dd x/(1 + x^2) = \pi/2$ ). (c) Sebuah sinyal $1\,\text{µ}\mathrm{V}$ dalam $1\,\mathrm{mV}$ rms derau putih sepanjang $10\,\mathrm{kHz}$ : rapat deraunya; $\tau$ bagi nisbah sinyal terhadap derau sebesar $10$ ; waktu pengukurannya. (d) Sebuah bocoran $50\,\mathrm{Hz}$ sebesar $1\,\mathrm{mV}$ mencemari masukannya, dengan $f_0 = 1\,\mathrm{kHz}$ : ke mana ia pergi, dan seberapa besar ia dilemahkan untuk $\tau = 1\,\mathrm{s}$ ?

Solusi

Solusi Latihan 9.10.

(a) $\tfrac12A\cos\varphi$ . (b) Komponen pada $f_0 + \delta f$ mendarat di $\delta f$ lalu melewati tapisnya dengan $|H| = 1/\sqrt{1 + (2\pi\delta f\tau)^2}$ ; penerusan dayanya terintegralkan menjadi $\int_0^\infty\dd f/(1 + (2\pi f\tau)^2) = 1/4\tau$ . (c) $e_n = 1\,\text{mV}/\sqrt{10^4} = 10\,\text{µ}\mathrm{V}/\sqrt{\mathrm{Hz}}$ ; $e_n\sqrt B = 0.1\,\text{µ}\mathrm{V}$ menuntut $B = 1 \times 10^{-4}\,\mathrm{Hz}$ , $\tau = 2500\,\mathrm{s}$ : satu jam tiap titik. (d) Ke $950$ dan $1050\,\mathrm{Hz}$ , dilemahkan sebesar $1/2\pi \times 950 \approx 1.7 \times 10^{-4}$ ( $-75\,\mathrm{dB}$ ).

Latihan 9.11 ★★★

Kuarsa. Sebuah kristal kuarsa berperilaku, dekat resonansinya, sebagai cabang seri $L$ , $C$ , $r$ ( $L = 8000\,\mathrm{H}$ , $C = 3.0\,\mathrm{fF}$ , $r = 30\,\mathrm{k}\Omega$ ) yang terparalel dengan $C_0 = 1.5\,\mathrm{pF}$ . (a) Frekuensi resonansi serinya dan faktor kualitasnya $Q = L\omega_0/r$ . (b) Mengapa osilator yang dibangun di sekelilingnya menahan frekuensinya sampai satu bagian dalam $10^6$ sementara jembatan Wiennya menyimpang berpersen-persen (pikirkanlah kemiringan fase $\dd\varphi/\dd\omega$ jaringan umpan baliknya dekat resonansi, $\sim 2Q/\omega_0$ )? (c) Sebuah kristal jam pada $32\,768\,\mathrm{Hz}$ dibagi $2^{15}$ : hasilnya; frekuensinya berubah sebagai $-0.04\,\text{ppm}\,(T - 25{}^{\circ}\mathrm{C})^2$ : galatnya tiap bulan pada $5{}^{\circ}\mathrm{C}$ . (d) Mengapa $32\,768\,\mathrm{Hz}$ yang dipilih dan bukan $1\,\mathrm{MHz}$ ?

Solusi

Solusi Latihan 9.11.

(a) $f_0 = 1/2\pi\sqrt{LC} = 32.5\,\mathrm{kHz}$ ; $Q = L\omega_0/r = 5.4 \times 10^{4}\,$ . (b) Dekat resonansinya fase umpan baliknya berputar sebesar $2Q/\omega_0$ tiap satuan $\omega$ : sebuah geseran fase parasit $\delta\varphi$ menggeser frekuensinya sebesar $\delta\omega/\omega_0 = \delta\varphi/2Q$ — $10^{-6}$ bagi $Q = 10^5$ , berpersen-persen bagi $Q = 1/3$ . (c) $1\,\mathrm{Hz}$ ; $-0.04 \times 400 = -16\,\mathrm{ppm}$ : $16 \times 10^{-6} \times 2.6 \times 10^6 = 41\,\mathrm{s}$ terlambat tiap bulan. (d) Frekuensi rendah berarti daya rendah dalam logika pembaginya, $2^{15}$ membagi tepat menjadi $1\,\mathrm{Hz}$ , dan kristal garpu tala yang mungil itu muat dalam sebuah arloji.

Latihan 9.12 ★★★

Hambatan negatif. Sebuah penguat operasional mempunyai $R_2$ dari keluarannya ke masukan $-$ -nya, $R_1$ dari masukan $-$ -nya ke tanah, dan $R$ dari keluarannya ke masukan $+$ -nya; dwikutub yang terlihat antara masukan $+$ -nya dan tanah itulah yang dikaji (rezim linear). (a) Tunjukkanlah bahwa ia berperilaku sebagai hambatan $-RR_1/R_2$ . (b) Dwikutub ini disambungkan melintasi rangkaian $LC$ paralel yang hambatan ruginya $R_p$ (terparalel): tuliskanlah persamaan tegangannya lalu carilah syarat osilasi yang berkelanjutan beserta frekuensinya. (c) Angka: $L = 10\,\mathrm{mH}$ , $C = 100\,\mathrm{nF}$ , $R_p = 50\,\mathrm{k}\Omega$ ; pilihlah $R$ , $R_1 = R_2$ . (d) Apa yang membatasi amplitudonya, dan bagaimana osilator ini dibandingkan dengan jembatan Wien?

Solusi

Solusi Latihan 9.12.

(a) $v_- = v_+ = v$ , $v_{\text{kel}} = v(1 + R_2/R_1)$ ; arus yang memasuki dwikutubnya, $i = (v - v_{\text{kel}})/R = -vR_2/RR_1$ : $v/i = -RR_1/R_2$ . (b) $C\dot v + v(1/R_p - R_2/RR_1) + \frac1L\int v\,\dd t = 0$ : berkelanjutan ketika $R = R_pR_2/R_1$ , pada $\omega = 1/\sqrt{LC}$ (tumbuh bagi $R$ yang lebih kecil). (c) $f = 5.0\,\mathrm{kHz}$ , $R \lesssim 50\,\mathrm{k}\Omega$ (katakanlah $48\,\mathrm{k}\Omega$ ). (d) Kejenuhan; $Q = R_p \sqrt{C/L} = 160$ rangkaian tangkinya memberi frekuensi yang jauh lebih mantap daripada jaringan Wien.

9.7 Soal: Sebuah rantai pengukuran serentak

Soal 9.1

Soal akhir pekan — dari osilator acuannya sampai hasil yang terdigitalkan: mengukur sepuluh mikrovolt sinyal cahaya di bawah satu milivolt derau

Sebuah cahaya samar hendak diukur dengan sebuah fotodioda. Cahayanya dipenggal oleh roda berputar pada $f_0 = 1.00\,\mathrm{kHz}$ , sehingga keluaran fotodiodanya berupa sinusoida beramplitudo $A = 10\,\text{µ}\mathrm{V}$ pada $f_0$ (sesudah penguat pertama), yang di atasnya menumpang derau putih berkerapatan spektral $e_n = 50\,\mathrm{nV}/\sqrt{\mathrm{Hz}}$ sepanjang lebar pita $100\,\mathrm{kHz}$ , ditambah bocoran jala-jala $50\,\mathrm{Hz}$ sebesar $1.0\,\mathrm{mV}$ . Frekuensi pemenggalnya sendiri ditetapkan sebuah osilator jembatan Wien.

Bagian I — Osilator acuan. Jembatan Wien dengan $C = 10\,\mathrm{nF}$ , penguat operasional yang menjenuh pada $\pm12\,\mathrm{V}$ .

$R$ bagi $f_0 = 1.00\,\mathrm{kHz}$ .
Turunkanlah fungsi alih jaringan Wiennya lalu periksalah bahwa fasenya lenyap pada $f_0$ dengan modulus $1/3$ .
Tuliskanlah persamaan diferensial simpalnya bagi penguatan $K$ ; untuk $K = 3.15$ , waktu bagi amplitudonya untuk tumbuh dengan faktor $1000$ .
Amplitudonya akhirnya dibatasi kejenuhan: lukiskanlah bentuk gelombangnya, dan mengapa harmoniknya penting bagi sebuah acuan.
Sebuah termistor menggantikan $R_1$ (hambatannya turun ketika ia menghangat) atau sebuah lampu (naik): yang mana yang memantapkan penguatannya pada 3, dan bagaimana?
Kapasitornya menyimpang $+1\%$ karena suhu: frekuensi barunya. Mengapa pemenggalnya lalu tetap bekerja bagi pengukurannya (apa yang harus dilakukan acuannya)?
Jaringan Wiennya mempunyai faktor kualitas sekitar $1/3$ : apa siratnya bagi kemurnian frekuensinya dibandingkan dengan kuarsa ( $Q \sim 10^5$ )?

Bagian II — Sinyal dan derau.

Nilai rms derau putihnya sepanjang seluruh $100\,\mathrm{kHz}$ ; nisbah sinyal terhadap derau pada keluaran penguatnya.
Sebuah tapis lolos-pita berfaktor kualitas $Q = 10$ yang berpusat pada $f_0$ (lebar pita derau $\approx f_0/Q$ ) disisipkan: rms derau dan SNR-nya. Mengapa ini belum memadai bagi pengukuran yang teliti (pikirkanlah simpangan dan $50\,\mathrm{Hz}$ -nya)?
Mengapa cahayanya dipenggal pada $1\,\mathrm{kHz}$ alih-alih mengukur arus foto searahnya secara langsung? (Penguat mempunyai derau “ $1/f$ ” yang naik di bawah beberapa ratus hertz.)
Amplitudo sinyalnya jika roda pemenggalnya menghasilkan modulasi persegi alih-alih sinus: harmonik mana yang disimpan deteksi serentaknya, dan dengan amplitudo berapa (koefisien Fourier $4/\pi$ bagi nada dasar sebuah gelombang persegi beramplitudo satuan)?
Fotodiodanya juga menerima cahaya ruangan pada $100\,\mathrm{Hz}$ (lampu neon): apa yang dilakukan rantainya terhadapnya?

Bagian III — Deteksi serentak. Sinyal yang telah dikuatkan dikalikan dengan acuan $\cos(2\pi f_0t)$ lalu ditapis tapis lolos-rendah orde pertama bertetapan waktu $\tau$ .

Keluaran pengalinya bagi sinyalnya sendirian (fase $\varphi$ antara sinyal dan acuannya); suku searahnya.
Pelemahan suku $2f_0$ oleh tapisnya untuk $\tau = 1\,\mathrm{s}$ (dalam dB).
Lebar pita derau setaranya $1/4\tau$ ; rms derau pada keluarannya untuk $\tau = 1\,\mathrm{s}$ dan SNR-nya; hal yang sama untuk $\tau = 10\,\mathrm{s}$ .
Ke mana bocoran $50\,\mathrm{Hz}$ -nya berakhir, dan dengan pelemahan berapa untuk $\tau = 1\,\mathrm{s}$ ?
Fase $\varphi$ -nya tak diketahui: apa yang hilang jika $\varphi = 60{}^{\circ}$ ? Lukiskanlah detektor serentak dua kanal (sefase dan kuadratur) serta bagaimana ia memulihkan $A$ berapa pun $\varphi$ -nya.
Waktu tanggap pengukurannya (waktu untuk mencapai $99\%$ nilai akhirnya) untuk $\tau = 1\,\mathrm{s}$ ; imbal balik yang dinyatakannya.
Acuannya menyimpang ke $1001\,\mathrm{Hz}$ sementara pemenggalnya tetap pada $1000\,\mathrm{Hz}$ : keluaran detektor serentaknya; mengapa acuannya harus diambil dari pemenggalnya sendiri.

Bagian IV — Mendigitalkan.

Keluaran detektor serentaknya dicuplik komputer: laju minimum bagi $\tau = 1\,\mathrm{s}$ (ambillah lebar pita keluarannya sebagai $1/2\pi\tau$ ); sebuah pilihan yang nyaman.
Sebagai alternatif sinyal mentah $1\,\mathrm{kHz}$ -nya didigitalkan lalu deteksinya dikerjakan dalam perangkat lunak: laju cuplik minimum; deraunya membentang sampai $100\,\mathrm{kHz}$ — apa yang harus dilakukan sebelum mencuplik, dan pelemahan berapa pada $100\,\mathrm{kHz}$ yang diberikan pencuplikan pada $20\,\mathrm{kS}/\mathrm{s}$ dengan tapis orde empat yang dipotong pada $5\,\mathrm{kHz}$ ( $80\,\mathrm{dB}$ tiap dekade)?
Sebuah pengubah $16$ bit pada $\pm1\,\mathrm{V}$ : langkahnya; sinyal $10\,\text{µ}\mathrm{V}$ yang dikuatkan $1000$ kali: berapa langkah, dan apakah deraunya menolong atau merugikan?
Detektor serentak digital: komputernya mengalikan tiap cuplikan dengan $\cos(2\pi f_0nT_s)$ lalu merata-ratakan $N$ cuplikan. Pada $20\,\mathrm{kS}/\mathrm{s}$ , berapa $N$ bagi rerata $1\,\mathrm{s}$ ; dengan faktor berapa derau putihnya berkurang, dan samakah itu dengan tapis analognya?
Sebuah sinyal $1\,\mathrm{kHz}$ yang dicuplik pada $999\,\mathrm{S}/\mathrm{s}$ : apa yang dilihat komputernya? Bagaimana ini berkaitan dengan asas detektor serentaknya sendiri?
Rangkumlah rantainya dalam sebuah tabel: tiap tahapnya, apa yang dilakukannya pada sinyalnya, apa yang dilakukannya pada deraunya.

Solusi

Solusi Soal 9.1.

1. $R = 1/2\pi f_0C = 15.9\,\mathrm{k}\Omega$ .

2. $\underline\beta = 1/[3 + \jmath(RC\omega - 1/RC\omega)]$ : nyata, $= 1/3$ , pada $\omega_0 = 1/RC$ .

3. $R^2C^2\ddot v + (3 - K)RC\dot v + v = 0$ ; tetapan waktunya $2RC/0.15 = 2.1\,\mathrm{ms}$ ; $\ln1000 = 6.9$ : $15\,\mathrm{ms}$ .

4. Sebuah sinus dengan puncak yang terpipihkan: harmonik ganjil. Acuan yang kaya harmonik juga mendeteksi harmonik sinyalnya (dan derau di sana): hasilnya tak lagi mengukur nada dasarnya sendirian.

5. Lampunya: ketika amplitudonya naik ia menghangat, $R_1$ naik dan $K = 1 + R_2/R_1$ turun ke $3$ . Sebuah termistor menggantikan $R_1$ akan melakukan kebalikannya (tempatnya menggantikan $R_2$ ).

6. $f \propto 1/C$ : $990\,\mathrm{Hz}$ . Acuan detektor serentaknya diambil dari pemenggalnya sendiri (sebuah pengindra pada rodanya), sehingga ia mengikuti.

7. $Q \sim 1/3$ : sedikit geseran fase di mana pun dalam simpalnya menggeser frekuensinya berpersen-persen; $10^5$ sebuah kuarsa menahannya sampai $10^{-6}$ .

8. $50\,\text{nV} \times \sqrt{10^5} = 16\,\text{µ}\mathrm{V}$ rms: SNR $0.6$ .

9. $B = 100\,\mathrm{Hz}$ : $0.5\,\text{µ}\mathrm{V}$ , SNR $20$ — tetapi pusat tapisnya menyimpang bersama komponennya, dan bocoran $50\,\mathrm{Hz}$ -nya hanya dilemahkan sebesar $\sim 1/[Q(f_0/f - f/f_0)] = 0.005$ : $5\,\text{µ}\mathrm{V}$ , separuh sinyalnya.

10. Di bawah beberapa ratus hertz derau $1/f$ penguatnya dan simpangannya menguasai; pada $1\,\mathrm{kHz}$ lantai deraunya putih dan rendah, dan ofsetnya tak berarti.

11. Sebuah modulasi persegi antara $0$ dan $A_0$ adalah $A_0/2 + (2A_0/\pi) \cos\omega_0t + \dots$ : detektor serentaknya menyimpan nada dasarnya, $0.64A_0$ .

12. $100\,\mathrm{Hz}$ tercampur ke $900$ dan $1100\,\mathrm{Hz}$ lalu dibuang tapis lolos-rendahnya.

13. $\tfrac12A\cos\varphi + \tfrac12A\cos(2\omega_0t + \varphi)$ ; suku searahnya $\tfrac12A\cos\varphi$ .

14. $1/2\pi f\tau = 1/2\pi \times 2000 = 8 \times 10^{-5}$ : $-82\,\mathrm{dB}$ .

15. $B = 1/4\tau = 0.25\,\mathrm{Hz}$ : $e_n\sqrt B = 25\,\mathrm{nV}$ melawan $A = 10\,\text{µ}\mathrm{V}$ : SNR $400$ ; $\tau = 10\,\mathrm{s}$ : $7.9\,\mathrm{nV}$ , SNR $1300$ .

16. Ke $950$ dan $1050\,\mathrm{Hz}$ : dilemahkan sebesar $1/2\pi \times 950 = 1.7 \times 10^{-4}$ ( $-75\,\mathrm{dB}$ ): riak $0.17\,\text{µ}\mathrm{V}$ , sepersepuluh sinyalnya — masih layak diberi tapis takik di hulunya.

17. $\cos60^\circ = 0.5$ : separuh sinyalnya. Pengali kedua dengan acuan yang tergeser $90{}^{\circ}$ memberi $Y = \tfrac12A\sin\varphi$ ; dengan $X = \tfrac12A\cos\varphi$ , $A = 2\sqrt{X^2 + Y^2}$ dan $\varphi = \arctan(Y/X)$ , berapa pun $\varphi$ -nya.

18. $\tau\ln100 = 4.6\,\mathrm{s}$ ; deraunya turun sebagai $1/\sqrt\tau$ , dan waktu pengukurannya tumbuh sebagai $\tau$ .

19. Selisihnya adalah $\tfrac12A\cos(2\pi \times 1\,\text{Hz}\,t + \varphi)$ , yang dilewatkan tapisnya dengan $1/\sqrt{1 + (2\pi)^2} = 0.16$ : sebuah ayunan lambat alih-alih sebuah taraf. Acuannya harus koheren dengan sinyalnya: ambillah dari pemenggalnya.

20. Lebar pitanya $1/2\pi\tau = 0.16\,\mathrm{Hz}$ : di atas $0.32\,\mathrm{S}/\mathrm{s}$ ; $10\,\mathrm{S}/\mathrm{s}$ nyaman.

21. Sekurang-kurangnya $2\,\mathrm{kS}/\mathrm{s}$ ; tapis anti-alias wajib; orde empat pada $5\,\mathrm{kHz}$ : $80\log_{10}(100/5) = 104\,\mathrm{dB}$ pada $100\,\mathrm{kHz}$ (dan $46\,\mathrm{dB}$ pada $19\,\mathrm{kHz}$ , yaitu derau yang akan meng-alias ke $1\,\mathrm{kHz}$ ).

22. Langkahnya $30.5\,\text{µ}\mathrm{V}$ ; $10\,\mathrm{mV}$ adalah $330$ langkah; derau yang terkuatkan ( $16\,\mathrm{mV}$ rms) membentang berlangkah-langkah dan, bila dirata-ratakan, membuat reratanya terpisahkan jauh di bawah satu langkah: ia menolong.

23. $N = 20000$ ; derau putihnya turun sebesar $\sqrt N = 140$ ; sebuah rerata kotak $1\,\mathrm{s}$ mempunyai lebar pita derau $1/2T = 0.5\,\mathrm{Hz}$ — dua kali lebar pita $RC$ analognya, sebanding.

24. Cuplikannya berjalan perlahan menembus sinusnya: sebuah alias $1\,\mathrm{Hz}$ . Detektor serentaknya melakukan hal yang sama dengan sengaja: mencuplik pada fase acuannya sama dengan mengalikan dengan acuannya.

25. Pemenggal: sinyalnya dipindahkan ke $1\,\mathrm{kHz}$ , deraunya tak berubah (tetapi bagian $1/f$ -nya terhindari). Penguat: keduanya $\times$ penguatan. Pengali: sinyalnya menjadi searah, deraunya tersebar. Tapis lolos-rendah: sinyalnya disimpan, deraunya dipotong menjadi $1/4\tau$ . Pencuplik/ADC: sinyalnya terdigitalkan, alias dan kuantisasinya dikendalikan tapisnya dan cacah bitnya.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Simpal tertutup; penguatan simpal

Lihat semua 393 istilah di glosarium