Fisika Universitas — Tahun 2 · Bachelor Year 2

21Interferensi Banyak Gelombang dan Kisi

Miringkanlah sebuah cakram padat di bawah sebuah lampu dan ia melemparkan pelangi: pilinan lubang mungilnya, yang terpisah satu setengah mikrometer, adalah sebuah kisi — beribu jalur pemantul mungil, yang masing-masingnya mengirimkan kembali salinan gelombangnya, semuanya berinterferensi. Dua gelombang memberi rumbai $\cos^2$ yang lembut pada bab terdahulu; seribu gelombang memberi rumbai yang seribu kali lebih sempit, cukup tajam untuk memisahkan dua panjang gelombang yang berselisih satu bagian dalam seratus ribu. Itulah instrumen yang dengannya susunan Matahari dan kelajuan galaksi terbaca, dan yang duduk dalam setiap spektrometer. Bab ini menjumlahkan $N$ gelombang, menurunkan persamaan kisinya, dispersi dan daya urainya, lalu menjumpai piranti banyak gelombang yang lain, yaitu rongga Fabry–Pérot yang akan menjadi resonator laser.

Sebuah cakram padat dalam cahaya matahari: pilinan lubang mungilnya, yang terpisah 1.6\, µ m, adalah sebuah kisi pantul, dan tiap ordenya menyebarkan cahaya putihnya menjadi sebuah spektrum. — Sebuah cakram padat dalam cahaya matahari: pilinan lubang mungilnya, yang terpisah $1.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ , adalah sebuah kisi pantul, dan tiap ordenya menyebarkan cahaya putihnya menjadi sebuah spektrum.

21.1 Interferensi $N$ gelombang

Teorema 21.1 ( $N$ gelombang sama dalam kemajuan fase aritmetika)

$N$ gelombang koheren beramplitudo sama $a$ , yang masing-masingnya tertinggal dari yang sebelumnya sebesar fase $\varphi$ , bertumpang tindih menjadi sebuah gelombang beramplitudo $A(\varphi)$ dan berintensitas

A = a\,\frac{\sin(N\varphi/2)}{\sin(\varphi/2)} , \qquad I(\varphi) = I_0\,\frac{\sin^2(N\varphi/2)}{\sin^2(\varphi/2)} :

maksimum utama berintensitas $N^2I_0$ di tempat $\varphi = 2\pi p$ (semua gelombangnya sefase), berlebar setengah sudut $2\pi/N$ dalam $\varphi$ (nol pertamanya berada di $\varphi = 2\pi p \pm 2\pi/N$ ), yang dipisahkan $N - 2$ maksimum sekunder yang tak lebih tinggi daripada sekitar $4.5\%$ maksimum utamanya bagi $N$ yang besar. Makin banyak gelombangnya, makin tajam dan terang puncaknya: lebarnya menyusut sebagai $1/N$ , tingginya tumbuh sebagai $N^2$ , energinya (hasil kali keduanya) sebagai $N$ .

Bukti. Amplitudo kompleksnya $a\eu^{\iu k\varphi}$ , $k = 0, \dots, N - 1$ : sebuah deret ukur, $a(1 - \eu^{\iu N\varphi})/(1 - \eu^{\iu\varphi}) = a\eu^{\iu(N - 1)\varphi/2}\sin(N\varphi/2) /\sin(\varphi/2)$ . Nolnya di tempat $\sin(N\varphi/2) = 0$ tetapi $\sin(\varphi/2) \ne 0$ : $\varphi = 2\pi m/N$ , dengan $m$ bukan kelipatan $N$ . Dalam gambaran fasornya $N$ anak panahnya menutup menjadi sebuah poligon beraturan di nolnya dan berjajar pada maksimum utamanya. ∎

Kiri: jumlah fasor lima gelombang yang sama — sebuah kipas beraturan yang talibusurnya adalah resultannya; ia menutup menjadi segilima, lalu lenyap, pada = 2π/5. Kanan: intensitas bagi 2, 5 dan 12 gelombang, yang dinormalkan terhadap puncaknya: maksimum utamanya menajam sebagai 1/N. — Kiri: jumlah fasor lima gelombang yang sama — sebuah kipas beraturan yang talibusurnya adalah resultannya; ia menutup menjadi segilima, lalu lenyap, pada $\varphi = 2\pi/5$ . Kanan: intensitas bagi $2$ , $5$ dan $12$ gelombang, yang dinormalkan terhadap puncaknya: maksimum utamanya menajam sebagai $1/N$ .

21.2 Kisi difraksi

Proposisi 21.2 (Persamaan kisi)

Sebuah kisi adalah sehimpunan $N$ celah sejajar yang serupa dan berjarak sama (atau alur) berperiode $a$ . Sebuah gelombang bidang yang datang pada sudut $\theta_0$ dari normalnya dipancarkan ulang tiap celahnya; dalam arah $\theta$ gelombang dari celah tetangganya mempunyai beda lintasan $\delta = a(\sin\theta - \sin\theta_0)$ , dan semuanya menguat dalam arah

a\,(\sin\theta_p - \sin\theta_0) = p\lambda , \qquad p = 0, \pm1, \pm2, \dots

— yaitu orde kisinya. Orde nolnya adalah berkas yang tak menyimpang bagi setiap panjang gelombang; tiap orde lainnya menyebarkan panjang gelombangnya, dengan dispersi sudut

\frac{\dd\theta}{\dd\lambda} = \frac{p}{a\cos\theta} ,

yang lebih besar bagi kisi yang lebih halus dan orde yang lebih tinggi; orde maksimumnya adalah $|p| \le a(1 + |\sin\theta_0|)/\lambda$ . Sebuah kisi pantul (alur yang digurat pada sebuah cermin) menuruti persamaan yang sama dengan sudut pantulnya.

Bukti. Fase antara celah yang berturut-turut adalah $\varphi = 2\pi\delta/\lambda$ ; maksimum utama Teorema 21.1 berada di $\delta = p\lambda$ . Turunkanlah $a\sin\theta = p\lambda + a\sin\theta_0$ pada $p$ , $\theta_0$ tetap. ∎

Kiri: kisinya — celah tetangganya memancar ulang dengan beda lintasan a pada datang tegak lurus. Kanan: pada sebuah layar, orde nol yang putih dan spektrum orde ±1, ±2, dengan lembayung terdekat ke pusatnya, lebih lebar (dan akhirnya bertumpang tindih) ketika p membesar. — Kiri: kisinya — celah tetangganya memancar ulang dengan beda lintasan $a\sin\theta$ pada datang tegak lurus. Kanan: pada sebuah layar, orde nol yang putih dan spektrum orde $\pm1$ , $\pm2$ , dengan lembayung terdekat ke pusatnya, lebih lebar (dan akhirnya bertumpang tindih) ketika $p$ membesar.

Contoh 21.3 (Sebuah kisi ruang kelas dan sebuah CD)

Sebuah kisi $600$ garis tiap milimeter ( $a = 1.67\,\text{µ}\mathrm{m}$ ) pada datang tegak lurus mengirimkan cahaya $500\,\mathrm{nm}$ ke $\sin\theta = 0.3$ , $\theta = 17.5{}^{\circ}$ dalam orde pertama, $36.9{}^{\circ}$ dalam orde kedua, dan tak mempunyai orde ketiga ( $3 \times 0.3 > 1$ ); spektrum orde pertamanya berjalan dari $13.9{}^{\circ}$ ( $400\,\mathrm{nm}$ ) sampai $24.8{}^{\circ}$ ( $700\,\mathrm{nm}$ ). Sebuah cakram padat, $a = 1.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ , adalah kisi semacam itu dalam pantulan — dari situlah pelanginya, dan kenyataan bahwa sebuah DVD ( $a = 0.74\,\text{µ}\mathrm{m}$ ) menyebarkannya lebih lebar. Merah orde kedua ( $700\,\mathrm{nm}$ pada $\sin\theta = 0.84$ ) bertumpang tindih dengan lembayung orde ketiga: ordenya bertumpang tindih di luar yang pertama, sebuah gangguan yang disembuhkan dengan tapis atau sebuah prisma.

21.3 Daya urai

Proposisi 21.4 (Daya urai sebuah kisi)

Dua panjang gelombang yang berdekatan $\lambda$ dan $\lambda + \Delta\lambda$ tepat terurai dalam orde $p$ ketika maksimum utama yang satu jatuh pada nol pertama yang lain (kriteria Rayleigh), yang terjadi bagi

\frac\lambda{\Delta\lambda} = pN :

daya urai-nya adalah ordenya dikalikan jumlah garis yang tersinari. Ia dapat pula dituliskan $W(\sin\theta - \sin\theta_0)/\lambda$ dengan $W = Na$ yaitu lebar kisinya: yaitu beda lintasan terbesar menyeberangi kisinya, dalam panjang gelombang — itulah sebabnya spektrograf besar memakai kisi selebar berpuluh sentimeter lalu bekerja pada sudut yang menyerempet.

Bukti. Maksimum orde $p$ bagi $\lambda + \Delta\lambda$ berada di $\varphi = 2\pi p$ bagi panjang gelombang itu, yakni di $\delta = p(\lambda + \Delta\lambda)$ ; nol pertama maksimum bagi $\lambda$ berada di $\delta = p\lambda + \lambda/N$ . Menyamakannya: $p\Delta\lambda = \lambda/N$ . Lalu $pN = Na(\sin\theta - \sin\theta_0)/\lambda$ . ∎

Contoh 21.5 (Memisahkan garis natrium)

Dubletnya, $\Delta\lambda = 0.6\,\mathrm{nm}$ pada $589\,\mathrm{nm}$ , menuntut $R = 1000$ : yaitu seribu garis dalam orde pertama, $2\,\mathrm{mm}$ sebuah kisi $600\,\mathrm{garis}/\mathrm{mm}$ . Lebar garisnya sendiri, $0.02\,\mathrm{nm}$ , menuntut $R = 30\,000$ : sebuah kisi $5\,\mathrm{cm}$ dalam orde pertama, atau $2.5\,\mathrm{cm}$ dalam orde kedua — dan sebuah kisi $10\,\mathrm{cm}$ ber- $1200\,\mathrm{garis}/\mathrm{mm}$ dalam orde kedua mencapai $240\,000$ , yang mengurai $0.0025\,\mathrm{nm}$ : yaitu lebar sebuah garis yang dilebarkan gerak termal atomnya, dan geseran Doppler sebuah bintang yang bergerak dengan $1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .

Kriteria Rayleigh: puncak satu panjang gelombang pada nol pertama yang lain; jumlahnya (garis putus) menunjukkan lekukan sekitar 20\% antara dua garis yang terurai. — Kriteria Rayleigh: puncak satu panjang gelombang pada nol pertama yang lain; jumlahnya (garis putus) menunjukkan lekukan sekitar $20\%$ antara dua garis yang terurai.

21.4 Rongga Fabry–Pérot

Proposisi 21.6 (Interferensi banyak gelombang lewat pembelahan amplitudo)

Dua cermin sejajar yang memantul sebagian (reflektansi intensitas $R$ ) yang terpisah jarak $L$ meneruskan sebuah gelombang pada datang tegak lurus hanya sejauh gelombang yang telah memantul $0, 1, 2, \dots$ kali di antaranya bertambah sefase: dengan $\varphi = 4\pi L/\lambda$ yaitu fase pulang perginya, intensitas terusannya adalah (fungsi Airy)

\frac{I_t}{I_0} = \frac1{1 + F\sin^2(\varphi/2)} , \qquad F = \frac{4R}{(1 - R)^2} :

puncak tajam berpenerusan penuh di $2L = p\lambda$ (yaitu resonansi rongganya, yang berjarak dalam frekuensi sebesar jangkauan spektral bebas $c/2L$ ), berlebar nisbi $1/\mathcal F$ dengan kehalusan $\mathcal F = \pi \sqrt R/(1 - R)$ — $30$ bagi $R = 0.9$ , $300$ bagi $R = 0.99$ . Ia menandingi kisinya dalam daya urai ( $p\mathcal F$ dengan $p = 2L/\lambda \sim 10^5$ , maka $R \sim 10^7$ ) dan, ditutup pada dirinya sendiri, menjadi resonator laser (Bab 23).

Bukti. Tiap perjalanan pulang perginya mengalikan amplitudonya dengan $R\eu^{\iu\varphi}$ (sampai pada sebuah fase tetap); amplitudo terusannya adalah $t^2a\sum(R\eu^{\iu\varphi})^k = t^2a/(1 - R\eu^{\iu\varphi})$ dengan $t^2 = 1 - R$ ; kuadrat modulusnya adalah $(1 - R)^2/ (1 - 2R\cos\varphi + R^2) = (1 - R)^2/[(1 - R)^2 + 4R\sin^2(\varphi/2)]$ . Puncaknya di $\varphi = 2\pi p$ ; setengah maksimumnya di tempat $F\sin^2(\varphi/2) = 1$ , yakni $\Delta\varphi \approx 4/\sqrt F = 2(1 - R)/\sqrt R$ , melawan $2\pi$ di antara puncaknya. ∎

Penerusan Airy sebuah rongga Fabry–Pérot: penerusan penuh pada resonansinya 2L = p, dengan puncaknya menyempit ketika reflektansi cerminnya membesar. — Penerusan Airy sebuah rongga Fabry–Pérot: penerusan penuh pada resonansinya $2L = p\lambda$ , dengan puncaknya menyempit ketika reflektansi cerminnya membesar.

Metode 21.7 (Perhitungan kisi)

(1) Periodenya $a = 1/(\text{garis tiap mm})$ ; persamaan kisinya dengan tanda sudutnya. (2) Daftarkanlah orde yang ada ( $|\sin\theta| \le 1$ ) lalu periksalah tumpang tindihnya ( $p\lambda_{\max}$ terhadap $(p + 1)\lambda_{\min}$ ). (3) Dispersinya $p/a\cos\theta$ , yang diubah menjadi kedudukan pada detektornya dengan jarak fokusnya: $\dd x = f\,\dd\theta$ . (4) Daya urainya $pN$ dengan $N$ yaitu garis yang sungguh tersinari; bandingkanlah $\lambda/R$ dengan struktur yang hendak diurai. (5) Bagi instrumen yang sungguhan tambahkanlah lebar celah masuknya (ia mengaburkan garisnya) dan piksel detektornya.

21.5 Latihan

Latihan 21.1 ★

Sebuah kisi $500$ garis tiap milimeter pada datang tegak lurus, $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$ : tentukanlah sudut ordenya; orde tertingginya; lebar sudut spektrum tampak orde pertamanya ( $400$ – $700\,\mathrm{nm}$ ); kisi yang sama pada datang $30{}^{\circ}$ : ordenya di tiap sisinya.

Solusi

Solusi Latihan 21.1.

$a = 2\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $\sin\theta_p = 0.275p$ : $16.0{}^{\circ}$ , $33.4{}^{\circ}$ , $55.6{}^{\circ}$ ; tak ada orde keempat. Cahaya tampak orde pertama dari $11.5{}^{\circ}$ sampai $20.5{}^{\circ}$ : $9{}^{\circ}$ . Pada $30{}^{\circ}$ : $\sin\theta = 0.5 + 0.275p$ : $p = +1$ ( $51{}^{\circ}$ ) di satu sisi, $p = -1$ sampai $-5$ ( $13^\circ$ , $-3^\circ$ , $-19^\circ$ , $-37^\circ$ , $-61^\circ$ ) di sisi lainnya.

Latihan 21.2 ★

Dublet natrium dengan kisi $600$ -garis/mm dan sebuah lensa ber- $f = 50\,\mathrm{cm}$ : tentukanlah pemisahan sudut dan lurus kedua garisnya pada detektornya dalam orde pertama dan kedua; ukuran piksel yang diperlukan untuk melihat keduanya terpisah.

Solusi

Solusi Latihan 21.2.

$a = 1.67\,\text{µ}\mathrm{m}$ . Orde 1: $\theta = 20.7{}^{\circ}$ , $\Delta\theta = \Delta\lambda/a\cos\theta = 3.9 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ , $0.19\,\mathrm{mm}$ ; orde 2: $\theta = 45{}^{\circ}$ , $1.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$ , $0.51\,\mathrm{mm}$ . Piksel $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ atau kurang.

Latihan 21.3 ★

Daya urai sebuah kisi $2\,\mathrm{cm}$ ber- $600$ garis/mm dalam orde $1$ , $2$ , $3$ ; $\Delta\lambda$ terkecil yang terurai pada $550\,\mathrm{nm}$ ; terpisahkankah dublet natriumnya? Dan garis H $\alpha$ hidrogen dari kembaran deuteriumnya (terpisah $0.18\,\mathrm{nm}$ )?

Solusi

Solusi Latihan 21.3.

$N = 12\,000$ : $R = 12\,000$ , $24\,000$ , $36\,000$ ; $\Delta\lambda = 0.046$ , $0.023$ , $0.015\,\mathrm{nm}$ ; dubletnya ( $0.6\,\mathrm{nm}$ ) dan pasangan H/D-nya ( $0.18\,\mathrm{nm}$ , yang menuntut $R = 3600$ ) terpisahkan dengan mudah.

Latihan 21.4 ★

Sebuah cakram padat ( $a = 1.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ ) dan sebuah DVD ( $a = 0.74\,\text{µ}\mathrm{m}$ ) yang disinari pada datang tegak lurus: tentukanlah sudut lembayung dan merah orde pertamanya; orde mana yang ada bagi masing-masingnya; mengapa CD-nya menunjukkan dua pelangi dan DVD-nya satu?

Solusi

Solusi Latihan 21.4.

CD: lembayung $14.5{}^{\circ}$ , merah $25.9{}^{\circ}$ ; merahnya ada sampai orde 2, lembayungnya sampai orde 4: dua pelangi (yang sebagian bertumpang tindih). DVD: lembayung $32.7{}^{\circ}$ , merah $71{}^{\circ}$ ; merahnya hanya mempunyai orde pertama: satu pelangi, lebih lebar.

Latihan 21.5 ★★

Pola $N$ celah. (a) Tunjukkanlah bahwa antara dua maksimum utama terdapat $N - 1$ nol dan $N - 2$ maksimum sekunder. (b) Bagi $N$ yang besar, tentukanlah intensitas maksimum sekunder pertama relatif terhadap maksimum utamanya (pada $N\varphi/2 \approx 3\pi/2$ ): sekitar $1/22$ . (c) Sketsalah polanya bagi $N = 3$ dan $N = 6$ lalu berikanlah tinggi maksimum sekundernya bagi $N = 3$ . (d) Berapa bagian energi totalnya yang berada dalam maksimum utamanya bagi $N$ yang besar (bandingkanlah integral puncaknya, berlebar $\propto 1/N$ , bertinggi $\propto N^2$ , dengan sisanya).

Solusi

Solusi Latihan 21.5.

(a) Nolnya di $\varphi = 2\pi m/N$ , $m = 1, \dots, N - 1$ : $N - 1$ nol, $N - 2$ maksimum di antaranya. (b) Pada $N\varphi/2 = 3\pi/2$ , $I \approx I_0/\sin^2(3\pi/2N) \approx I_0(2N/3\pi)^2$ : $4/9\pi^2 = 0.045$ dari $N^2I_0$ . (c) $N = 3$ : satu maksimum sekunder tunggal di $\varphi = \pi$ bertinggi $I_0$ , sepersembilan maksimum utamanya $9I_0$ ; $N = 6$ : empat maksimum sekunder beberapa persen. (d) Cuping pusat $\sin^2x/x^2$ memuat $90\%$ energinya.

Latihan 21.6 ★★

Orde yang bertumpang tindih. (a) Tunjukkanlah bahwa orde $p$ dari $\lambda_{\max}$ bertumpang tindih dengan orde $p + 1$ dari $\lambda_{\min}$ ketika $p\lambda_{\max} > (p + 1)\lambda_{\min}$ ; bagi $400$ – $700\,\mathrm{nm}$ , sejak orde yang mana? (b) Jangkauan spektral bebas dalam orde $p$ : $\Delta\lambda_{\text{FSR}} = \lambda/p$ . (c) Sebuah spektrograf bekerja dalam orde $20$ dekat $500\,\mathrm{nm}$ (sebuah kisi echelle): tentukanlah jangkauan spektral bebasnya; bagaimana tumpang tindihnya disingkirkan (penyebar silang)? (d) Jangkauan spektral bebas Fabry–Pérotnya adalah $c/2L$ : tuliskanlah ia dalam panjang gelombang lalu bandingkanlah dengan milik kisinya.

Solusi

Solusi Latihan 21.6.

(a) $p > \lambda_{\min}/(\lambda_{\max} - \lambda_{\min}) = 1.33$ : sejak $p = 2$ . (b) $\lambda/p$ . (c) $25\,\mathrm{nm}$ ; sebuah prisma yang disilangkan dengan kisinya menumpuk ordenya satu di atas yang lain. (d) $\Delta\lambda = \lambda^2/2L$ , sepersekian nanometer — beratus kali lebih kecil daripada milik sebuah kisi.

Latihan 21.7 ★★

Kisi berkilas. Sebuah kisi pantul mempunyai alurnya yang dimiringkan sebesar sudut kilas $\beta$ sehingga tiap fasetnya memantul secara cermin ke dalam arah yang di sana orde $p$ diinginkan. (a) Bagi tatanan Littrow ( $\theta = \theta_0 = \beta$ ): tunjukkanlah $2a\sin\beta = p\lambda$ ; berapa sudut kilas bagi $500\,\mathrm{nm}$ orde pertama dengan $1200$ garis/mm. (b) Mengapa kilasnya mengirimkan sebagian besar cahayanya ke dalam satu orde (pikirkanlah selubung difraksi satu faset, Bab 22)? (c) Kisi yang sama dikilaskan bagi $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ : dalam orde yang mana ia mangkus pada $500\,\mathrm{nm}$ ? (d) Berapa daya urai sebuah kisi $10\,\mathrm{cm}$ dalam Littrow pada $\beta = 64{}^{\circ}$ , $\lambda = 500\,\mathrm{nm}$ (pakailah $R = 2W\sin\beta/\lambda$ ).

Solusi

Solusi Latihan 21.7.

(a) $\sin\beta = \lambda/2a = 0.3$ , $\beta = 17.5{}^{\circ}$ . (b) Faset tunggalnya mendifraksikan ke dalam sebuah cuping lebar yang berpusat pada arah cerminnya; orde yang jatuh di dalamnya mendapatkan cahayanya. (c) Orde 2 ( $2 \times 500\,\mathrm{nm} = 1\,\text{µ}\mathrm{m}$ pada sudut yang sama). (d) $R = 2W\sin\beta/\lambda = 3.6 \times 10^5$ .

Latihan 21.8 ★★

Celahnya. Celah masuk sebuah spektrometer selebar $s$ dicitrakan pada detektornya dengan perbesaran $1$ ; kisinya ( $600$ garis/mm, $5\,\mathrm{cm}$ , orde $1$ , $f = 50\,\mathrm{cm}$ ) menyebarkan. (a) Tentukanlah lebar sebuah garis pada detektornya karena celahnya saja bagi $s = 50\,\text{µ}\mathrm{m}$ , dalam nm. (b) Lebarnya karena daya urai kisinya. (c) Mana yang menguasai; berapa lebar celah yang padanya keduanya sama. (d) Mengapa tidak menutup celahnya lebih rapat lagi?

Solusi

Solusi Latihan 21.8.

(a) $\dd\lambda/\dd x = a\cos\theta/pf = 3.1\,\mathrm{nm}/\mathrm{mm}$ : $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ adalah $0.16\,\mathrm{nm}$ . (b) $R = 30\,000$ : $0.018\,\mathrm{nm}$ . (c) Celahnya, sembilan kali; sama pada $s = 6\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (d) Difraksi pada celahnya dan detektor yang kelaparan.

Latihan 21.9 ★★

Fabry–Pérot. Cermin ber- $R = 0.95$ , $L = 5\,\mathrm{mm}$ , $\lambda = 600\,\mathrm{nm}$ . (a) Tentukanlah orde $p$ , jangkauan spektral bebas dalam frekuensi dan dalam panjang gelombang. (b) Kehalusannya; lebar sebuah puncak penerusan dalam frekuensi dan panjang gelombang. (c) Daya urainya $p\mathcal F$ ; bandingkanlah dengan kisi $10\,\mathrm{cm}$ . (d) Mengapa sebuah Fabry–Pérot selalu dipakai dengan sebuah pratapis atau sebuah kisi?

Solusi

Solusi Latihan 21.9.

(a) $p = 2L/\lambda = 16\,700$ ; FSR $c/2L = 30\,\mathrm{GHz}$ , $\lambda^2/2L = 0.036\,\mathrm{nm}$ . (b) $\mathcal F = \pi\sqrt{0.95}/0.05 = 61$ ; $0.5\,\mathrm{GHz}$ , $0.6\,\mathrm{pm}$ . (c) $p\mathcal F = 10^6$ , empat kali milik kisi $10\,\mathrm{cm}$ . (d) Jangkauan spektral bebasnya sepersekian nanometer: ordenya bertumpang tindih kecuali cahayanya ditapis lebih dahulu menjadi salah satunya.

Latihan 21.10 ★★★

Batas sebuah kisi. (a) Tunjukkanlah bahwa $R = pN = W(\sin\theta - \sin\theta_0) /\lambda \le 2W/\lambda$ : daya urainya tak dapat melampaui lebar kisinya dalam panjang gelombang, dikalikan dua. (b) Tafsirkanlah: yaitu beda lintasan terbesar antara sinar ekstremnya. (c) Sebuah kisi $30\,\mathrm{cm}$ pada $500\,\mathrm{nm}$ : tentukanlah $R$ pamungkasnya; kelajuan terkecil yang terurai lewat geseran Doppler ( $\Delta\lambda/\lambda = v/c$ ). (d) Mengapa ahli astronomi toh mencapai $1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (pikirkanlah mengukur kedudukan sebuah garis sampai sepersekian lebarnya, dengan banyak garis)?

Solusi

Solusi Latihan 21.10.

(a) $|\sin\theta - \sin\theta_0| \le 2$ . (b) Sinar ekstremnya berselisih lintasan sebesar $W(\sin\theta - \sin\theta_0)$ paling banyak $2W$ . (c) $2 \times 0.3/5 \times 10^{-7} = 1.2 \times 10^6$ ; $c/R = 250\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (d) Pusat sebuah garis ditemukan sampai seperseratus lebarnya, dan seribu garis merata-ratakannya turun sebesar $\sqrt{1000}$ : bermeter tiap sekon, dengan kemantapan yang heroik.

Latihan 21.11 ★★★

Bragg. Sebuah hablur adalah kisi tiga dimensi: sinar-X yang dipantulkan bidang atom yang berturut-turut yang terpisah jarak $d$ , pada sudut serempet $\theta$ , berinterferensi membangun ketika $2d\sin\theta = p\lambda$ (Bragg). (a) Turunkanlah ia dari beda lintasan antara dua bidang. (b) Radiasi K $\alpha$ tembaga ( $0.154\,\mathrm{nm}$ ) pada garam batu ( $d = 0.282\,\mathrm{nm}$ ): tentukanlah sudut Braggnya. (c) Mengapa panjang gelombang tampak tak memberi pemantulan Bragg dari hablur, dan apa yang dikatakan kebalikannya (tak ada difraksi sinar-X dari kaca) tentang kaca? (d) Mengapa harus $\lambda < 2d$ ?

Solusi

Solusi Latihan 21.11.

(a) Gelombang yang dipantulkan bidang bawahnya menempuh $2d\sin\theta$ lebih banyak. (b) $\sin\theta = 0.273p$ : $15.8{}^{\circ}$ , $33.1{}^{\circ}$ , $55.0{}^{\circ}$ . (c) $\lambda \gg 2d$ : tak ada sudut yang memenuhi persamaannya; kaca tak mempunyai bidang beraturan, maka hanya cincin baur — ia amorf. (d) $\sin\theta \le 1$ .

Latihan 21.12 ★★★

Larik berfase. $N$ antena serupa dalam satu garis, berjarak $a$ , disuapi dengan amplitudo yang sama dan tangga fase $\psi$ antara tetangganya. (a) Tunjukkanlah bahwa medan terpancar dalam arah $\theta$ adalah medan jumlah $N$ gelombangnya dengan $\varphi = 2\pi a\sin\theta/\lambda - \psi$ : berkas utamanya menunjuk ke tempat $\sin\theta = \lambda\psi/2\pi a$ . (b) Lebar setengah berkas utamanya, $\Delta\theta \approx \lambda/Na\cos\theta$ . (c) Mengapa harus $a \le \lambda/2$ untuk menghindari berkas utama kedua (sebuah cuping kisi) ketika mengemudi? (d) Sebuah radar dengan $64$ elemen pada $\lambda/2$ , $\lambda = 3\,\mathrm{cm}$ : berapa lebar berkasnya; waktu untuk memindai $90^\circ$ dalam langkah selebar satu berkas jika fasenya beralih dalam $1\,\text{µ}\mathrm{s}$ .

Solusi

Solusi Latihan 21.12.

(a) Tetangganya berselisih fase sebesar $2\pi a\sin\theta/\lambda$ dari lintasannya dan $-\psi$ dari catuannya; maksimum utamanya di $\varphi = 0$ . (b) Nol pertamanya di $\Delta\varphi = 2\pi/N$ : $\Delta\theta = \lambda/Na\cos\theta$ . (c) Maksimum utama kedua di $\varphi = \pm2\pi$ menuntut $|\sin\theta \pm \lambda/a| \le 1$ : mustahil bagi setiap sudut kemudinya hanya jika $a \le \lambda/2$ . (d) $Na = 0.96\,\mathrm{m}$ : $1.8{}^{\circ}$ ; $50$ langkah, $50\,\text{µ}\mathrm{s}$ .

21.6 Soal: Sebuah spektrograf bagi sebuah bintang

Soal 21.1

Soal akhir pekan — merancang spektrograf yang membaca cahaya sebuah bintang: kisinya, detektornya, garis hidrogennya, dan goyangan sebuah planet

Sebuah spektrograf: celah masuk, kolimator berjarak fokus $f_1 = 1.0\,\mathrm{m}$ , sebuah kisi pantul $1200$ garis/mm dan berlebar $W = 12\,\mathrm{cm}$ , sebuah kamera ber- $f_2 = 1.0\,\mathrm{m}$ , sebuah detektor berpiksel $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ . Ia bekerja dalam orde pertama, di sekitar $550\,\mathrm{nm}$ , dengan kisinya pada datang $20{}^{\circ}$ .

Bagian I — Kisinya.

Periode kisinya; jumlah garis yang tersinari jika berkasnya menutupi seluruh lebarnya.
Sudut difraksi $550\,\mathrm{nm}$ dalam orde pertama; sudut $400\,\mathrm{nm}$ dan $700\,\mathrm{nm}$ ; lebar sudut spektrum tampaknya.
Dispersi sudutnya pada $550\,\mathrm{nm}$ ; dispersi lurusnya pada detektornya dalam nm tiap mm dan nm tiap piksel.
Daya urainya; $\Delta\lambda$ terkecil yang terurai pada $550\,\mathrm{nm}$ ; dalam piksel.
Jatuhkah lembayung orde kedua ke atas cahaya tampak orde pertama? Tapis mana yang menyingkirkannya?
Panjang detektor yang diperlukan bagi seluruh spektrum tampaknya dalam orde pertama.
Kisinya dikilaskan pada $17{}^{\circ}$ : bagi panjang gelombang yang mana ia paling mangkus dalam orde pertama pada datang ini (pakailah taksiran Littrow $2a\sin\beta = \lambda$ )?
Kisinya mengembalikan $80\%$ cahayanya pada panjang gelombang kilasnya dan teleskop ditambah optiknya $40\%$ : berapa bagian foton bintangnya yang mencapai detektornya.

Bagian II — Garisnya.

Garis Balmer hidrogen bintangnya: H $\alpha$ $656.3\,\mathrm{nm}$ , H $\beta$ $486.1\,\mathrm{nm}$ , H $\gamma$ $434.0\,\mathrm{nm}$ : tentukanlah kedudukannya pada detektornya relatif terhadap $550\,\mathrm{nm}$ .
H $\alpha$ dari sebuah atom deuterium $0.18\,\mathrm{nm}$ lebih pendek: terpisahkah? Sebesar berapa piksel?
Dublet natrium dalam spektrum bintangnya: berapa pemisahannya dalam piksel; dan lebar tiap garisnya jika atmosfer bintangnya melebarkannya menjadi $0.05\,\mathrm{nm}$ .
Celah masuknya selebar $100\,\text{µ}\mathrm{m}$ , yang dicitrakan pada perbesaran $f_2/f_1$ : berapa lebarnya pada detektornya dalam piksel dan dalam nm; terbatasi celah atau terbatasi kisikah spektrografnya?
Cahaya dari teleskopnya datang sebagai cakram $1''$ di langit, yang oleh teleskopnya ( $f = 20\,\mathrm{m}$ ) dijadikan selebar $100\,\text{µ}\mathrm{m}$ di celahnya: berapa bagian cahaya yang hilang jika celahnya dipersempit menjadi $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ (ambillah cakramnya seragam).
Mengapa celah yang lebih sempit memberi garis yang lebih tajam tetapi spektrum yang lebih berderau?

Bagian III — Bintangnya bergerak.

Sebuah bintang menjauh dengan $30\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ : berapa geseran Doppler H $\alpha$ dalam nm dan dalam piksel.
Gerak orbit Bumi menambahkan $\pm30\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ sepanjang tahunnya: mengapa ia harus dikurangkan, dan sampai ketelitian berapa jika orang menginginkan $100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ?
Sebuah planet membuat bintangnya bergoyang dengan $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : berapa geserannya dalam nm dan dalam piksel; adakah ia di bawah resolusinya? Jelaskanlah bagaimana mengukur pusat sebuah garis sampai seperseratus lebarnya, sepanjang seribu garis, memulihkannya (perolehan statistik $\sqrt{N}$ ).
Suhu instrumennya berubah sebesar $1\,\mathrm{K}$ , dan kisinya (kaca, muai $1 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$ ) memuai: berapa geseran garisnya dalam piksel; kemantapan apa yang diperlukan bagi $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ?
Sebuah lampu tera (torium–argon) menaruh beratus garis yang diketahui pada detektor yang sama: jelaskanlah perannya.

Bagian IV — Pilihan lain.

Lebar kisi yang sama yang digurat pada $300$ garis/mm dan dipakai dalam orde keempat (dengan sebuah penyebar silang untuk memilah ordenya): tentukanlah sudut difraksinya, daya urainya, dispersinya dan jangkauan spektral bebasnya pada $550\,\mathrm{nm}$ ; apa yang berubah, apa yang tidak?
Sebuah etalon Fabry–Pérot ( $L = 1\,\mathrm{mm}$ , $R = 0.9$ ) yang ditaruh sebelum celahnya: tentukanlah jangkauan spektral bebasnya dalam nm, kehalusannya, lebar puncaknya; seperti apa sisir puncak penerusannya pada detektornya, dan untuk apa ia dipakai?
Sebuah prisma $60{}^{\circ}$ dalam kaca ber- $\dd n/\dd\lambda = -1 \times 10^{-4}\,\mathrm{nm}^{-1}$ mempunyai dispersi sudut $\dd D/\dd\lambda \approx 2\,\dd n/\dd\lambda$ dekat simpangan minimumnya: bandingkanlah dengan milik kisinya; mengapa kisi menggantikan prisma?
Mengapa spektrograf astronomi yang terbesar dibangun dengan kisi selebar semeter lalu dipakai pada sudut yang besar (batas $2W/\lambda$ )?
Sebuah bintang bermagnitudo 8 menyerahkan $1 \times 10^{4}\,$ foton tiap sekon dan tiap nanometer di teleskopnya: berapa foton tiap piksel tiap sekon pada detektornya, dan nisbah sinyal terhadap derau sebuah pajanan $100\,\mathrm{s}$ (derau foton saja).
Ringkaslah: ketiga angka yang melukiskan sebuah spektrograf (dispersi, daya urai, jangkauan spektral bebas) dan apa yang menetapkan masing-masingnya.

Solusi

Solusi Soal 21.1.

1. $a = 0.833\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; $N = 144\,000$ .

2. $\sin\theta = \sin20^\circ - \lambda/a$ (ordenya terletak di sisi lain normalnya): $550\,\mathrm{nm}$ pada $18.5{}^{\circ}$ , $400\,\mathrm{nm}$ pada $7.9{}^{\circ}$ , $700\,\mathrm{nm}$ pada $29.9{}^{\circ}$ : $22{}^{\circ}$ spektrum.

3. $1/a\cos\theta = 1.27 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}/\mathrm{nm}$ ; $f_2\times$ : $1.27\,\mathrm{mm}/\mathrm{nm}$ , yakni $0.79\,\mathrm{nm}/\mathrm{mm}$ , $0.012\,\mathrm{nm}$ tiap piksel.

4. $R = N = 144\,000$ : $0.0038\,\mathrm{nm}$ , sepertiga piksel.

5. $400\,\mathrm{nm}$ orde kedua mendarat di tempat $800\,\mathrm{nm}$ orde pertama akan berada, di luar merahnya: tak ada tumpang tindih dalam cahaya tampak; tumpang tindihnya akan mulai pada $350\,\mathrm{nm}$ , yang disingkirkan sebuah tapis kaca.

6. $22{}^{\circ}$ $\times$ $1\,\mathrm{m}$ $= 38\,\mathrm{cm}$ : sebuah detektor menutupi seiris; kisinya diputar untuk memilihnya.

7. $\lambda = 2a\sin17^\circ = 490\,\mathrm{nm}$ .

8. $0.8 \times 0.4 = 32\%$ .

9. Sudutnya $26.5{}^{\circ}$ , $14.0{}^{\circ}$ , $10.3{}^{\circ}$ : $+14$ , $-8$ dan $-14\,\mathrm{cm}$ dari kedudukan $550\,\mathrm{nm}$ -nya.

10. $0.18\,\mathrm{nm}$ adalah $15$ piksel: terpisah.

11. Terpisah $50$ piksel, masing-masing selebar $4$ piksel.

12. $100\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $6.7$ piksel, $0.08\,\mathrm{nm}$ — dua puluh kali batas kisinya: terbatasi celah.

13. Citranya selebar $97\,\text{µ}\mathrm{m}$ : celah $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ meloloskan separuh cahayanya.

14. Lebih sedikit cahaya bagi ketajaman yang sama: derau fotonnya tumbuh.

15. $\Delta\lambda = \lambda v/c = 0.066\,\mathrm{nm}$ , $5.5$ piksel.

16. Kelajuan Bumi menggeser tiap garisnya sampai $\pm5.5$ piksel sepanjang tahunnya; ia diketahui dari efemerisnya jauh lebih baik daripada $0.3\%$ yang diperlukan bagi $100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

17. $2.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{nm}$ , $0.002$ piksel — jauh di bawah lebar garisnya. Sebuah sentroid sampai seperseratus sebuah garis $7\,\mathrm{px}$ adalah $0.07\,\mathrm{px}$ ; seribu garis memberi $\sqrt{1000}$ : $0.002$ piksel — yaitu sinyalnya, pas-pasan. Instrumen yang sungguhan menambahkan daya urai dan kemantapan.

18. $\Delta\sin\theta = (\lambda/a) \times 10^{-5} = 6.6 \times 10^{-6}$ , $\Delta\theta = 7 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}$ , $7\,\text{µ}\mathrm{m}$ : setengah piksel tiap kelvin — bermilikelvin bagi $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

19. Garisnya, yang terekam pada saat yang sama pada piksel yang sama, memberi skala panjang gelombangnya lalu melacak setiap hanyutannya.

20. $a = 3.33\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $N = 36\,000$ , sudut yang sama ( $18.5{}^{\circ}$ ), $R = 4N = 144\,000$ , dispersi yang sama, FSR $\lambda/4 = 137\,\mathrm{nm}$ : daya urai dan dispersinya hanya bergantung pada $W$ dan sudutnya; jangkauan spektral bebasnya menyusut.

21. FSR $\lambda^2/2L = 0.15\,\mathrm{nm}$ ( $12$ piksel); $\mathcal F = 30$ ; puncaknya selebar $0.005\,\mathrm{nm}$ : sebuah sisir garis tajam menyeberangi detektornya, sebuah penggaris panjang gelombang.

22. $2 \times 10^{-4}$ melawan $1.3 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}/\mathrm{nm}$ : enam kali lebih kecil, dan daya urai sebuah prisma ( $b\,\dd n/\dd\lambda \sim 10^4$ ) serta skalanya yang taklinear juga kalah; kisi juga bekerja dalam ultraungu.

23. $R \le 2W/\lambda$ : $4 \times 10^6$ bagi semeter pada $500\,\mathrm{nm}$ — lebar dan sudutnya adalah satu-satunya jalan naik.

24. $10^4 \times 0.012 \times 0.32 = 38$ foton tiap piksel tiap sekon; $3800$ dalam $100\,\mathrm{s}$ : SNR $\approx 60$ .

25. Dispersinya, yang ditetapkan $p/a\cos\theta$ dan jarak fokus kameranya; daya urainya, oleh lebar yang tersinari dan sudutnya ( $pN$ ); jangkauan spektral bebasnya, oleh ordenya ( $\lambda/p$ ).

21.1 Interferensi NNN gelombang

21.2 Kisi difraksi

21.3 Daya urai

21.4 Rongga Fabry–Pérot

21.5 Latihan

21.6 Soal: Sebuah spektrograf bagi sebuah bintang

21.1 Interferensi $N$ gelombang