Fisika Universitas — Tahun 2 · Bachelor Year 2

22Difraksi Fraunhofer dan Penapisan Ruang

Menyipitlah ke arah lampu jalan menembus celah antara dua jari dan lampunya merentang menjadi sepita rumbai; pandanglah sebuah bintang menembus teleskop terhalus dan Anda melihat bukan sebuah titik melainkan sebuah cakram kecil yang bercincin lingkaran samar. Cahaya yang menembus sebuah bukaan menyebar — makin sempit bukaannya, makin lebar sebarannya — dan tak ada lensa yang dapat memfokuskannya lebih rapat daripada yang dibolehkan sebaran ini. Inilah difraksi, alasan sebuah mikroskop tak dapat melihat sebuah virus, daya urai sebuah teleskop tumbuh dengan diameternya, dan sebuah berkas laser tak dapat tetap sejajar. Bab ini menghitung pola difraksi sebuah apertur dalam medan jauh, batas yang ditetapkannya pada setiap instrumen optik, caranya bergabung dengan interferensi, dan gagasan — milik Abbe — yang mengubah bidang fokus sebuah lensa menjadi tempat sebuah citra dapat ditapis.

22.1 Asas Huygens–Fresnel dan rezim Fraunhofer

Definisi 22.1 (Asas Huygens–Fresnel)

Setiap titik sebuah muka gelombang (atau sebuah apertur yang disinari sebuah gelombang) berlaku sebagai sumber sekunder yang memancarkan anak gelombang bola, sefase dengan gelombangnya di sana; gelombang di luarnya adalah jumlah koheren anak gelombangnya. Bagi sebuah apertur $\Sigma$ yang disinari gelombang bidang beramplitudo $a$ , amplitudo yang mencapai sebuah titik jauh adalah $\underline s(M) = K\iint_\Sigma\eu^{-\iu\varphi(P, M)}\dd S$ , dengan $\varphi(P, M)$ yaitu fase lintasan dari titik apertur $P$ ke $M$ ( $K$ sebuah tetapan). Difraksi Fraunhofer (medan jauh) adalah hal yang $M$ -nya berada di tak hingga — atau pada bidang fokus sebuah lensa — sehingga sinar dari semua titik apertur menuju $M$ sejajar, dalam arah $\vect u$ , dan

\varphi(P, M) = \varphi_0 - \frac{2\pi}\lambda\,\vect{OP}\cdot\vect u , \qquad \underline s(\vect u) \propto \iint_\Sigma\eu^{\iu(2\pi/\lambda)\vect{OP}\cdot\vect u}\dd S .

Polanya diamati di tak hingga, atau di fokus $F'$ sebuah lensa, yang di sana arah $\vect u$ bersudut kecil $(\alpha, \beta)$ dipetakan ke titik $(f\alpha, f\beta)$ .

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Catatan 22.2 (Kapan cukup jauh?)

Bagi sebuah apertur berukuran $D$ yang dipandang pada jarak $L$ tanpa lensa, sinarnya cukup sejajar ketika suku kuadratik Latihan 18.12 dapat diabaikan, $D^2/L \ll \lambda$ — yaitu bilangan Fresnel $D^2/\lambda L \ll 1$ . Sebuah celah $0.1\,\mathrm{mm}$ pada $500\,\mathrm{nm}$ menuntut $L \gg 2\,\mathrm{cm}$ ; sebuah apertur $1\,\mathrm{cm}$ , $L \gg 200\,\mathrm{m}$ — dari situlah lensanya, yang membawa tak hingga ke bidang fokusnya. Lebih dekat (difraksi Fresnel) polanya lebih rumit; bayang-bayang sebuah tepi lurus, misalnya, mempunyai rumbai sepanjang sisi terangnya.

22.2 Celah tunggal dan apertur lingkaran

Proposisi 22.3 (Difraksi oleh sebuah celah)

Sebuah celah selebar $b$ (yang panjang sepanjang $y$ ) yang disinari pada datang tegak lurus mengirimkan dalam arah $\theta$ (dalam bidang yang tegak lurus celahnya) intensitas

I(\theta) = I_0\,\operatorname{sinc}^2\Bigl(\frac{\pi b\sin\theta}\lambda\Bigr) , \qquad \operatorname{sinc}x = \frac{\sin x}x :

sebuah maksimum pusat yang terang berlebar setengah sudut $\lambda/b$ (nol pertamanya di $\sin\theta = \pm\lambda/b$ ), yang memuat $90\%$ cahayanya, dan maksimum sekunder di sekitar $\sin\theta = \pm1.43\lambda/b$ , $\pm2.46\lambda/b$ , …, berintensitas nisbi $4.7\%$ , $1.6\%$ , …— makin sempit celahnya, makin lebar polanya. Pada bidang fokus sebuah lensa berjarak fokus $f$ maksimum pusatnya selebar $2\lambda f/b$ .

Bukti. $\underline s(\theta) \propto \int_{-b/2}^{b/2}\eu^{\iu kx\sin\theta}\dd x = b\,\operatorname{sinc}(kb\sin\theta/2)$ dengan $k = 2\pi/\lambda$ ; kuadratkanlah. Nolnya di tempat $b\sin\theta = m\lambda$ , $m \ne 0$ : anak gelombang dari kedua paruh celahnya lalu meniadakan berpasangan. ∎

Kiri: anak gelombang dari seluruh celahnya, dijumlahkan dalam arah . Kanan: pola Fraunhofer celahnya, sinc2: sebuah cuping pusat yang dua kali lebih lebar daripada yang lain dan jauh lebih terang. — Kiri: anak gelombang dari seluruh celahnya, dijumlahkan dalam arah $\theta$ . Kanan: pola Fraunhofer celahnya, $\operatorname{sinc}^2$ : sebuah cuping pusat yang dua kali lebih lebar daripada yang lain dan jauh lebih terang.

Proposisi 22.4 (Apertur lingkaran; cakram Airy)

Sebuah apertur lingkaran berdiameter $D$ memberi sebuah cakram terang pusat, yaitu cakram Airy, yang dikelilingi cincin samar; cincin gelap pertamanya berada di

\sin\theta = 1.22\,\frac\lambda D ,

dan cakramnya memuat $84\%$ cahayanya. Setiap instrumen dengan pupil masuk berdiameter $D$ — mata, kamera, teleskop, objektif mikroskop — mengubah sebuah sumber titik menjadi cakram Airy berjari-jari sudut itu; dua titik terurai (kriteria Rayleigh) jika pemisahan sudutnya melampaui $1.22\lambda/D$ : yaitu daya urai instrumennya.

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Contoh 22.5 (Mata, teleskop, mikroskop)

Mata ( $D = 3\,\mathrm{mm}$ , $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$ ): $1.22\lambda/D = 2.2 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ , sekitar $45''$ — sebuah rincian $1\,\mathrm{mm}$ pada $4\,\mathrm{m}$ , yang memang sekitar ketajaman sebuah mata yang baik: evolusi mencocokkan sel retinanya dengan batas difraksinya. Sebuah teleskop $2.4\,\mathrm{m}$ : $0.06''$ , seribu kali lebih baik, jika atmosfernya membolehkannya (dari tanah tidak: $1''$ “kaburan atmosfer”, dari situlah teleskop antariksa dan optika adaptif). Sebuah piringan radio $100\,\mathrm{m}$ pada $\lambda = 21\,\mathrm{cm}$ : $9'$ , lebih buruk daripada mata; interferometer lintas benua memulihkan resolusinya. Sebuah objektif mikroskop bersudut apertur $\alpha$ mengurai $0.61\lambda/n\sin\alpha$ — sekitar $0.2\,\text{µ}\mathrm{m}$ dalam cahaya tampak, berapa pun perbesarannya: yaitu batas yang mendorong mikroskopi ke elektron dan ke sinar-X.

Kiri dan tengah: cakram Airy sebuah sumber titik, dan dua sumber pada batas Rayleigh — pusat yang satu pada cincin gelap pertama yang lain. Kanan: profilnya (yang disketsa dengan bentuk sinc2), yang terpisah 1.22 /D. — Kiri dan tengah: cakram Airy sebuah sumber titik, dan dua sumber pada batas Rayleigh — pusat yang satu pada cincin gelap pertama yang lain. Kanan: profilnya (yang disketsa dengan bentuk $\operatorname{sinc}^2$ ), yang terpisah $1.22\lambda/D$ .

22.3 Difraksi dan interferensi bersama-sama

Proposisi 22.6 (Celah Young berlebar berhingga; selubung kisinya)

Dua celah selebar $b$ yang pusatnya terpisah $a$ memberi

I(\theta) = 4I_0\,\operatorname{sinc}^2\Bigl(\frac{\pi b\sin\theta}\lambda\Bigr)\cos^2\Bigl(\frac{\pi a\sin\theta}\lambda\Bigr) :

rumbai Young (berjarak $\lambda/a$ dalam $\sin\theta$ ) di bawah selubung celah tunggalnya (berlebar $2\lambda/b$ ); $a/b$ rumbai mengisi cuping pusatnya, dan rumbai di $a\sin\theta = p\lambda$ yang jatuh pada sebuah nol selubungnya ( $b\sin\theta = m\lambda$ ) hilang. Sebuah kisi $N$ celah selebar $b$ juga mempunyai maksimum utamanya yang termodulasi selubung yang sama — yang dimiringkan kilas Bab 21 ke arah orde yang dipakai.

Bukti. Integral aperturnya terbelah menjadi jumlah pada kedua celahnya dari integral yang sama yang tergeser sebesar $\pm a/2$ : $\underline s \propto b\,\operatorname{sinc}(\pi b\sin\theta/\lambda) \times2\cos(\pi a\sin\theta/\lambda)$ . Bagi $N$ celah faktor keduanya adalah jumlah $N$ gelombangnya. ∎

Dua celah dengan a = 4b: rumbai Young di bawah selubung celah tunggalnya (garis putus); rumbai orde keempatnya jatuh pada nol selubungnya lalu hilang. — Dua celah dengan $a = 4b$ : rumbai Young di bawah selubung celah tunggalnya (garis putus); rumbai orde keempatnya jatuh pada nol selubungnya lalu hilang.

22.4 Bidang Fourier dan penapisan ruang

Proposisi 22.7 (Lensa sebagai penganalisis Fourier)

Sebuah transparansi bertransmitans $t(x, y)$ pada bidang fokus depan sebuah lensa, yang disinari sebuah gelombang bidang, menghasilkan pada bidang fokus belakangnya amplitudo

\underline s(X, Y) \propto \iint t(x, y)\,\eu^{-\iu2\pi(xX + yY)/\lambda f}\dd x\,\dd y

— yaitu transformasi Fourier dua dimensinya, dengan tiap titik $(X, Y)$ bidang Fourier memungut cahaya yang terdifraksi pada sudut $(X/f, Y/f)$ , yakni frekuensi ruang $(X/\lambda f, Y/\lambda f)$ objeknya: rincian halus (frekuensi tinggi) jauh dari sumbunya, yang kasar dekat sumbunya. Sebuah lensa kedua membentuk ulang citranya dari bidang itu; apa pun yang dihalangi atau diubah di sana tertapis keluar dari citranya (penapisan ruang, teori Abbe tentang mikroskop): sebuah lubang jarum pada sumbunya hanya menyimpan frekuensi rendahnya (pemulusan, “pembersihan” sebuah berkas laser); sebuah penghadang pada sumbunya menyingkirkan latar belakang yang seragam lalu menyimpan tepinya (medan gelap, strioskopi); sebuah keping seperempat gelombang pada sumbunya mengubah objek fase, yang jika tidak tak tampak, menjadi kontras intensitas (kontras fase, Zernike).

Pembenaran. Dalam integral Fraunhofernya, $\vect{OP}\cdot\vect u = x\alpha + y\beta$ dengan arahnya dipetakan ke $(X, Y) = (f\alpha, f\beta)$ ; transmitansnya membobot tiap sumber sekundernya. (Transformasi Fourier itu sendiri dipelajari dalam jilid matematika Tahun 3; di sini ia hanya nama integral ini.) Bagi objek berkala berperiode $d$ transformasinya adalah himpunan orde kisinya di $X = p\lambda f/d$ : citranya dapat menunjukkan periodenya hanya jika sekurangnya orde $\pm1$ -nya lolos menembus lensanya — yaitu syarat Abbe, yang merupakan batas resolusi mikroskopnya lagi. ∎

Susunan 4f: lensa pertamanya membentuk transformasi Fourier objeknya pada bidang fokusnya (objek berkala memberi orde diskret di sana), lensa keduanya membentuk ulang citranya; sebuah topeng pada bidang Fouriernya menapis citranya. — Susunan $4f$ : lensa pertamanya membentuk transformasi Fourier objeknya pada bidang fokusnya (objek berkala memberi orde diskret di sana), lensa keduanya membentuk ulang citranya; sebuah topeng pada bidang Fouriernya menapis citranya.

Contoh 22.8 (Membersihkan sebuah berkas, melihat yang tak tampak)

Sebuah berkas laser mengemban debu dan riak: fokuskanlah ia menembus sebuah lubang jarum beberapa mikrometer — seukuran cakram Airy pusat berkas Gauss yang bersih — dan segala yang lain, yang terletak di luarnya, terhalangi; berkas yang dikolimasi ulang itu mulus: yaitu sebuah tapis ruang. Sebuah sel hidup itu bening; ia hanya mengubah fase cahayanya. Menghalangi bintik sesumbunya membuat tepinya terang di atas hitam; keping Zernike menggeser cahaya yang tak terdifraksi sebesar seperempat gelombang sehingga ia berinterferensi dengan cahaya terdifraksinya dalam intensitas: bagian dalam selnya muncul, dan biologi mendapat mikroskopnya (hadiah Nobel 1953).

Metode 22.9 (Taksiran difraksi)

(1) Sebaran sudutnya $\sim\lambda/b$ bagi apertur berukuran $b$ ( $1.22\lambda/D$ bagi sebuah lingkaran); ukuran polanya pada jarak $L$ atau jarak fokus $f$ adalah $\lambda L/b$ , $\lambda f/b$ . (2) Periksalah syarat Fraunhofernya $b^2/\lambda L \ll 1$ atau pakailah sebuah lensa. (3) Gabungkanlah: selubung difraksi $\times$ rumbai interferensi. (4) Resolusinya: dua titik menuntut $\Delta\theta > 1.22\lambda/D$ ; sebuah objek berkala menuntut orde pertamanya masuk ke pupilnya. (5) Gambaran bidang Fouriernya: apa yang harus dihalangi untuk menyingkirkan rincian yang mana.

22.5 Latihan

Latihan 22.1 ★

Sebuah celah $0.10\,\mathrm{mm}$ yang disinari sebuah laser He–Ne ( $633\,\mathrm{nm}$ ); layar di $2.0\,\mathrm{m}$ . Tentukanlah lebar maksimum pusatnya; kedudukan kedua maksimum sekunder pertamanya; bilangan Fresnelnya — cukup jauhkah layarnya? Celah yang sama dengan sebuah lensa ber- $f = 50\,\mathrm{cm}$ .

Solusi

Solusi Latihan 22.1.

$2\lambda L/b = 25\,\mathrm{mm}$ ; maksimum sekundernya di $1.43\lambda L/b = 18\,\mathrm{mm}$ dan $2.46\lambda L/b = 31\,\mathrm{mm}$ ; bilangan Fresnelnya $b^2/\lambda L = 8 \times 10^{-3}$ : cukup jauh. Dengan lensanya, $2\lambda f/b = 6.3\,\mathrm{mm}$ .

Latihan 22.2 ★

Tentukanlah daya urai (Rayleigh): mata ( $3\,\mathrm{mm}$ , $550\,\mathrm{nm}$ ); sebuah teleskop amatir $10\,\mathrm{cm}$ ; cermin Hubble $2.4\,\mathrm{m}$ ; sebuah piringan radio $64\,\mathrm{m}$ pada $6\,\mathrm{cm}$ ; sebuah lensa kamera $50\,\mathrm{mm}$ pada $f/8$ (pupilnya $6\,\mathrm{mm}$ ): berapa ukuran cakram Airy pada pengindranya, dibandingkan dengan piksel $4\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

Solusi

Solusi Latihan 22.2.

$1.22\lambda/D$ : mata $2.2 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ ( $46''$ ); $10\,\mathrm{cm}$ : $1.4''$ ; Hubble $0.058''$ ; piringannya $1.22 \times 0.06/64 = 1.1 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad} = 3.9'$ ; kameranya: $1.1 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad} \times 50\,\mathrm{mm} = 5.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ jari-jarinya, sebuah cakram $11\,\text{µ}\mathrm{m}$ — tiga piksel: difraksi sudah membatasi sebuah pengindra pada $f/8$ .

Latihan 22.3 ★

Dua celah selebar $b = 0.05\,\mathrm{mm}$ , yang pusatnya terpisah $a = 0.25\,\mathrm{mm}$ , $\lambda = 500\,\mathrm{nm}$ , lensa $f = 1\,\mathrm{m}$ : tentukanlah jarak rumbainya; lebar selubung pusatnya; jumlah rumbai di dalamnya; orde mana yang hilang?

Solusi

Solusi Latihan 22.3.

$\lambda f/a = 2\,\mathrm{mm}$ ; selubungnya $2\lambda f/b = 20\,\mathrm{mm}$ ; sepuluh rumbai; orde $p = 5, 10, \dots$ ( $a/b = 5$ ) hilang.

Latihan 22.4 ★

Sebuah berkas laser berdiameter $2\,\mathrm{mm}$ pada $633\,\mathrm{nm}$ merambat ke Bulan ( $3.8 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ ): tentukanlah sudut difraksinya $\sim1.22\lambda/D$ , diameter bintiknya; dengan sebuah teleskop $3.5\,\mathrm{m}$ sebagai pemancarnya; mengapa pantulan pengukuran jarak bulan begitu redup (retroreflektornya, $1\,\mathrm{m}$ , mengirimkan cahayanya kembali dengan difraksinya sendiri)?

Solusi

Solusi Latihan 22.4.

$\theta = 1.22\lambda/D = 3.9 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ : sebuah bintik selebar $290\,\mathrm{km}$ ; dengan $3.5\,\mathrm{m}$ , $170\,\mathrm{m}$ . Difraksi pemantulnya sendiri, $\lambda/1\,\mathrm{m}$ , menyebarkan pantulannya sepanjang $600\,\mathrm{m}$ : dari $10^{17}$ foton yang dikirimkan, segelintir kembali.

Latihan 22.5 ★★

Celahnya secara rinci. (a) Kerjakanlah integral Fraunhofer bagi celahnya lalu dapatkanlah $\operatorname{sinc}^2$ . (b) Tunjukkanlah bahwa maksimum sekundernya berada di $\tan x = x$ ( $x = \pi b\sin\theta/\lambda$ ), yang pertama dekat $x = 1.43\pi$ , lalu hitunglah intensitas nisbinya. (c) Berapa bagian energi dalam cuping pusatnya (terimalah $\int_{-\pi}^\pi\operatorname{sinc}^2 = 0.903\pi$ dan $\int_{-\infty}^\infty\operatorname{sinc}^2 = \pi$ ). (d) Celahnya disinari pada datang $\theta_0$ : tunjukkanlah bahwa polanya sama, yang berpusat pada arah $\theta_0$ .

Solusi

Solusi Latihan 22.5.

(a) $\int_{-b/2}^{b/2}\eu^{\iu kx\sin\theta}\dd x = b\,\operatorname{sinc}(kb\sin\theta/2)$ . (b) $\dd(\sin x/x)/\dd x = 0$ memberi $\tan x = x$ ; $x = 4.49 = 1.43\pi$ , $\operatorname{sinc}^2 = 0.047$ . (c) $0.903$ . (d) Fasenya menjadi $kx(\sin\theta - \sin\theta_0)$ : pola yang sama terhadap $\theta_0$ .

Latihan 22.6 ★★

Mikroskop. Sebuah objektif berapertur numerik $n\sin\alpha = 1.4$ (rendam minyak) pada $500\,\mathrm{nm}$ : tentukanlah jarak terurai terkecilnya $0.61\lambda/n\sin \alpha$ ; dengan cahaya biru ( $400\,\mathrm{nm}$ ); dalam ultraungu ( $250\,\mathrm{nm}$ ); mengapa sebuah lensa mata $1000\times$ tak menolong (batas mata sendiri pada $25\,\mathrm{cm}$ adalah $0.1\,\mathrm{mm}$ )? Apa yang diubah mikroskop elektron ( $\lambda = 4\,\mathrm{pm}$ pada $100\,\mathrm{keV}$ )?

Solusi

Solusi Latihan 22.6.

$0.61\lambda/\mathrm{NA}$ : $220\,\mathrm{nm}$ ; $170\,\mathrm{nm}$ ; $110\,\mathrm{nm}$ . Di luar sekitar $500\times$ lensa matanya hanya memperbesar kaburannya (perbesaran kosong). Elektron pada $4\,\mathrm{pm}$ dengan $\mathrm{NA} \approx 0.01$ : $0.2\,\mathrm{nm}$ — yaitu atom.

Latihan 22.7 ★★

Segi empat dan lingkaran. (a) Sebuah apertur segi empat $b \times h$ : tunjukkanlah bahwa polanya adalah $\operatorname{sinc}^2(\pi b\sin\theta_x/\lambda)\operatorname{sinc}^2(\pi h \sin\theta_y/\lambda)$ : sebuah salib, yang lebih lebar sepanjang sisi yang lebih sempit. (b) Sebuah bujur sangkar $0.2\,\mathrm{mm}$ dengan $f = 1\,\mathrm{m}$ : berapa ukuran bujur sangkar pusatnya. (c) Bagi sebuah lingkaran selebar sama nol pertamanya berada di $1.22\lambda/D$ alih-alih $\lambda/b$ : mengapa lebih jauh ke luar (pikirkanlah cahayanya yang terpusat dekat pusat sebuah cakram)? (d) Cermin sekunder sebuah teleskop ditahan empat bilah: apa yang ditambahkannya pada citra sebuah bintang terang?

Solusi

Solusi Latihan 22.7.

(a) Integralnya terfaktorkan dalam $x$ dan $y$ . (b) $2\lambda f/b = 5\,\mathrm{mm}$ . (c) Talibusur sebuah cakram lebih pendek daripada diameternya jauh dari pusatnya: lebar efektifnya lebih kecil, polanya lebih lebar. (d) Empat paku difraksi dalam bentuk salib.

Latihan 22.8 ★★

Abbe. Sebuah kisi berperiode $d = 2\,\text{µ}\mathrm{m}$ diamati dengan sebuah objektif mikroskop bersudut apertur $\alpha$ dalam udara, $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$ . (a) Tentukanlah sudut orde $\pm1$ , $\pm2$ -nya. (b) $\sin\alpha$ minimum agar citranya menunjukkan periodenya (orde $\pm1$ harus masuk). (c) Dengan $\sin\alpha = 0.4$ : apa yang ditunjukkan citranya — sebuah kisi yang setiakah ia? (d) Penyinaran miring meloloskan orde nolnya dan satu orde pertamanya: berapa $\sin\alpha$ minimumnya lalu, dan berapa perolehannya.

Solusi

Solusi Latihan 22.8.

(a) $\sin\theta = \pm0.275$ ( $16{}^{\circ}$ ), $\pm0.55$ ( $33{}^{\circ}$ ). (b) $\sin\alpha \ge 0.275$ . (c) Orde $0$ , $\pm1$ saja: sebuah citra sinusoidal berperiode benar, bukan batang yang tajam. (d) $\sin\alpha \ge \lambda/2d = 0.14$ : dua kali resolusinya.

Latihan 22.9 ★★

Tapis ruang. Sebuah berkas laser $2\,\mathrm{mm}$ ( $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$ ) difokuskan sebuah lensa ber- $f = 20\,\mathrm{mm}$ menembus sebuah lubang jarum. (a) Tentukanlah diameter cakram Airy pusatnya di fokusnya; diameter lubang jarum untuk meloloskannya (ambillah $1.5\times$ ). (b) Sebutir debu $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ pada berkasnya mendifraksikan cahaya pada sudut berapa, dan di mana cahaya itu mendarat pada bidang fokusnya — menembus lubang jarumnya atau tidak? (c) Berapa daya yang hilang jika berkasnya Gauss dan lubang jarumnya meloloskan $99\%$ -nya; mengapa berkas yang muncul mulus? (d) Mengapa lubang jarumnya harus terpusat sampai beberapa mikrometer?

Solusi

Solusi Latihan 22.9.

(a) $2.44\lambda f/D = 15\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; lubang jarumnya $23\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (b) $\lambda/50\,\text{µ}\mathrm{m} = 1.3 \times 10^{-2}\,\mathrm{rad}$ : $0.25\,\mathrm{mm}$ dari sumbunya, terhalangi. (c) $1\%$ ; lubang jarumnya hanya menyimpan frekuensi ruang yang rendah. (d) Tergeser beberapa mikrometer dan lubang jarumnya memangkas bintiknya sendiri.

Latihan 22.10 ★★★

Babinet. Dua tabir komplementer (sebuah celah, dan sebuah jalur legap selebar sama) disinari sebuah gelombang bidang. (a) Tunjukkanlah bahwa, jauh dari arah berkas datangnya, pola Fraunhofernya serupa (jumlah kedua amplitudonya adalah amplitudo gelombang yang tak terhalangi, yang nol di luar sumbunya). (b) Tentukanlah pola sehelai rambut berdiameter $80\,\text{µ}\mathrm{m}$ pada $2\,\mathrm{m}$ dengan sebuah laser: jarak rumbainya, dan diameter rambutnya dari situ — sebuah pengukuran baku. (c) Apa yang terlihat pada sumbunya sendiri? (d) Mengapa tetes kecil dalam awan tipis menghasilkan sebuah korona cincin berwarna di sekeliling Bulan, dan apa yang diberikan jari-jari cincinnya?

Solusi

Solusi Latihan 22.10.

(a) Amplitudonya berjumlah menjadi gelombang yang tak terhalangi, yang nol di luar sumbunya: $|\underline s_{\text{celah}}| = |\underline s_{\text{jalur}}|$ di sana. (b) Rumbainya terpisah $\lambda L/b = 16\,\mathrm{mm}$ ; ukurlah jaraknya, dapatkanlah $b$ . (c) Bayang-bayang jalurnya duduk dalam berkas tak terdifraksi yang terang. (d) Tetes berdiameter $d$ mendifraksi seperti lubang: cincin di $1.22\lambda/d$ , merahnya di luar; jari-jarinya memberi $d$ .

Latihan 22.11 ★★★

Medan gelap dan kontras fase. Sebuah objek bening mempunyai $t(x) = \eu^{\iu\varphi(x)} \approx 1 + \iu\varphi(x)$ dengan $|\varphi| \ll 1$ . (a) Tentukanlah intensitas citra biasanya: tunjukkanlah bahwa ia seragam sampai orde pertama — tak tampak. (b) Dalam bidang Fouriernya “1”-nya adalah bintik sesumbunya dan $\iu\varphi$ cahaya terdifraksi di sekitarnya: jika sebuah penghadang menghalangi bintik sesumbunya, intensitas citranya $\propto\varphi^2$ — medan gelap; kelemahannya. (c) Jika sebaliknya bintik sesumbunya ditunda sebesar $\pi/2$ (dikalikan $\iu$ ): citranya $\propto|1 + \varphi|^2 \approx 1 + 2\varphi$ — kontras fase, yang linear dalam $\varphi$ . (d) Mengapa keping Zernike sering juga menyerap (ia melemahkan bintik sesumbunya)?

Solusi

Solusi Latihan 22.11.

(a) $|1 + \iu\varphi|^2 = 1 + \varphi^2$ : seragam sampai orde pertama. (b) Tanpa cahaya sesumbunya, $|\iu\varphi|^2 = \varphi^2$ : orde kedua, samar. (c) $|\iu + \iu\varphi|^2 = 1 + 2\varphi + \dots$ : linear. (d) Bintik sesumbunya menenggelamkan cahaya terdifraksinya; melemahkannya menyeimbangkan kedua amplitudonya lalu menaikkan kontrasnya.

Latihan 22.12 ★★★

Resolusi citra celah sebuah spektrograf dan kisinya. Sebuah kisi selebar $W$ adalah apertur spektrografnya: tunjukkanlah bahwa pola difraksi apertur itu, $\operatorname{sinc}^2(\pi W\sin\theta/\lambda)$ (bagi berkas yang pergi pada $\theta \approx 0$ ), mempunyai lebar setengah sudut $\lambda/W$ , dan bahwa yang diubah menjadi panjang gelombang lewat dispersinya $p/a\cos \theta$ ini adalah $\Delta\lambda = \lambda/pN$ — yaitu daya urai Bab 21, yang dilihat sebagai difraksi. (b) Sebuah teleskop berdiameter $D$ dan sebuah kisi selebar $W$ : kisinya harus lebih lebar daripada $D\,f_{\text{coll}}/f_{\text{tel}}$ : mengapa? (c) Jelaskanlah dalam satu kalimat mengapa setiap “daya urai” dalam optika adalah $\sim$ (ukuran aperturnya)/ $\lambda$ . (d) Apa yang ditambahkan celahnya, dan kapan ia menguasai?

Solusi

Solusi Latihan 22.12.

(a) Lebar setengahnya $\lambda/W$ ; dibagi $p/a\cos\theta$ : $\Delta\lambda = \lambda a\cos\theta/pW \approx \lambda/pN$ . (b) Berkas terkolimasinya berdiameter $Df_{\text{coll}}/f_{\text{tel}}$ ; kisi yang lebih kecil akan memboroskan cahaya dan daya urai. (c) Sebuah resolusi selalu merupakan sudut yang sepanjangnya fase menyeberangi aperturnya berubah sebesar satu panjang gelombang, $\lambda/(\text{ukuran})$ . (d) Lebar citranya, yang menguasai ketika lebih lebar daripada lebar difraksi kisinya — yaitu hal yang lazim.

Sebuah berkas laser menembus sebuah celah sempit: pada layar jauhnya, pita pusat yang lebar dan terang serta maksimum sisi yang lebih redup dan lebih sempit dari pola Fraunhofernya.

22.6 Soal: Apa yang dapat diurai

Soal 22.1

Soal akhir pekan — batas difraksi pada empat skala: mata, sebuah teleskop, sebuah mikroskop, dan berkas laser yang harus dibersihkan sebelum dipakai

Bagian I — Mata. Pupilnya $D = 3\,\mathrm{mm}$ pada siang hari, $7\,\mathrm{mm}$ pada malam hari; $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$ ; sel kerucut retinanya terpisah $2\,\text{µ}\mathrm{m}$ di fovea, jarak fokus matanya $17\,\mathrm{mm}$ .

Jari-jari sudut cakram Airynya pada siang hari; jari-jari lurusnya pada retinanya; bandingkanlah dengan jarak sel kerucutnya — cocokkah retinanya dengan optikanya?
Pemisahan terkecil dua titik yang terurai pada $25\,\mathrm{cm}$ ; pada $10\,\mathrm{m}$ ; dapatkah Anda membaca teks $1\,\mathrm{mm}$ sepanjang lengan?
Pada malam hari pupilnya membuka menjadi $7\,\mathrm{mm}$ : berapa batas difraksinya lalu; mengapa penglihatannya toh memburuk (aberasi lensanya pada apertur penuh, sel batang yang lebih kasar daripada sel kerucut)?
Dua lampu depan mobil yang terpisah $1.5\,\mathrm{m}$ : pada jarak berapa keduanya melebur menjadi satu lampu.
Sebuah lubang $1\,\mathrm{mm}$ yang ditahan di depan mata: apa yang dilakukan difraksi, dan mengapa sebuah lubang jarum toh menolong mata yang rabun jauh (kedalaman medan)?

Bagian II — Teleskopnya. Sebuah teleskop $1\,\mathrm{m}$ , $f = 10\,\mathrm{m}$ , dengan sebuah kamera berpiksel $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$ .

Tentukanlah batas difraksinya dalam sekon busur; jari-jari Airynya pada detektornya; piksel tiap cakram Airynya.
Atmosfernya mengaburkan citranya menjadi $1''$ : berapa banyak resolusi teleskopnya yang hilang? Diameter teleskop yang batas difraksinya sama dengan kaburan atmosfernya.
Optika adaptif mengoreksi atmosfernya pada $2.2\,\text{µ}\mathrm{m}$ : berapa batas difraksinya di sana; mengapa lebih mudah dalam inframerah?
Sebuah bintang ganda yang komponennya terpisah $0.15''$ : teruraikah ia dengan optika adaptif pada $2.2\,\text{µ}\mathrm{m}$ ? Pada $550\,\mathrm{nm}$ dari antariksa?
Bulan berjarak $3.8 \times 10^{5}\,\mathrm{km}$ : berapa kawah terkecil yang dapat diurai teleskop ini (difraksi saja); dan jejak sebuah pendarat bulan ( $4\,\mathrm{m}$ )?
Daya kumpul cahaya teleskopnya relatif terhadap mata malam ( $7\,\mathrm{mm}$ ); apa yang dibelinya, dan apa yang tidak.
Cahaya sebuah bintang menembus keempat bilah yang menahan cermin sekundernya: lukiskanlah citranya.

Bagian III — Mikroskopnya. Objektif berapertur numerik $\mathrm{NA} = n\sin\alpha = 0.9$ (kering) atau $1.4$ (minyak), $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$ ; jarak yang terurai adalah $0.61\lambda/\mathrm{NA}$ .

Tentukanlah jarak terurai dengan tiap objektifnya; jumlah pasangan garis tiap milimeter.
Sebuah bakteri $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ berstruktur dalam pada $0.2\,\text{µ}\mathrm{m}$ : apa yang terlihat dengan masing-masingnya? Sebuah virus $0.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ ?
Abbe: sebuah struktur berkala berperiode $d$ hanya tercitrakan jika orde pertamanya di $\sin\theta = \lambda/d$ masuk ke objektifnya: berapa $d$ minimum bagi $\mathrm{NA} = 1.4$ ; bandingkanlah dengan $0.61\lambda/\mathrm{NA}$ .
Mengapa minyak antara kaca objek dan objektifnya memperbaiki resolusinya?
Ultraungu pada $250\,\mathrm{nm}$ dan sebuah mikroskop elektron pada $4\,\mathrm{pm}$ : tentukanlah jarak teruraikannya dalam rumus yang sama (bagi elektron NA praktisnya $0.01\,$ ): bandingkanlah.
Sebuah sel itu bening: dalam medan terang citranya kosong. Jelaskanlah apa yang dilakukan keping kontras fase pada bidang Fourier objektifnya, dalam dua kalimat.

Bagian IV — Berkasnya. Sebuah laser pada $532\,\mathrm{nm}$ , berkasnya berdiameter $1.5\,\mathrm{mm}$ , hendak dilebarkan menjadi $30\,\mathrm{mm}$ lalu dibersihkan.

Tentukanlah setengah sudut difraksi berkas mentahnya ( $\sim1.22\lambda/D$ ); diameternya sesudah $100\,\mathrm{m}$ tanpa optika.
Sebuah lensa ber- $f_1 = 10\,\mathrm{mm}$ memfokuskannya: berapa diameter bintik fokusnya; diameter lubang jarum yang dipilih ( $1.5\times$ bintiknya).
Sebuah lensa kedua ber- $f_2$ mengolimasi ulang pada $30\,\mathrm{mm}$ : berapa $f_2$ ; berapa sudut difraksi barunya; diameternya sesudah $1\,\mathrm{km}$ .
Debu $100\,\text{µ}\mathrm{m}$ pada lensa pertamanya mendifraksi pada sudut berapa; di mana cahaya itu jatuh pada bidang lubang jarumnya, dan apa yang terjadi padanya?
Lubang jarumnya meloloskan $99\%$ sebuah berkas Gauss: berapa daya yang hilang, dan ke mana ia pergi.
Mengapa berkas yang telah dilebarkan harus lebih besar untuk tetap sejajar (kaitkanlah $\lambda/D$ dengan jarak yang sepanjangnya berkasnya berlipat dua, $\sim D^2/\lambda$ )?
Ringkaslah keempat batas soal ini dalam satu tabel: apertur, panjang gelombang, $\lambda/D$ , apa yang dibatasinya.

Solusi

Solusi Soal 22.1.

1. $1.22\lambda/D = 2.2 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ ; $\times17\,\mathrm{mm} = 3.8\,\text{µ}\mathrm{m}$ : dua jarak sel kerucut — retinanya mencuplik pada batas optikanya.

2. $56\,\text{µ}\mathrm{m}$ pada $25\,\mathrm{cm}$ , $2.2\,\mathrm{mm}$ pada $10\,\mathrm{m}$ ; $1\,\mathrm{mm}$ pada $50\,\mathrm{cm}$ adalah sepuluh kali batasnya: dengan mudah.

3. $9.6 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}$ ; aberasi lensanya pada apertur penuh dan sel batangnya yang lebih kasar dan terkumpul membatalkan perolehannya.

4. $1.5/2.2 \times 10^{-4} = 7\,\mathrm{km}$ .

5. Difraksinya memburuk menjadi $6.7 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ , tetapi lingkaran kabur sebuah mata yang tak terfokus menyusut dengan aperturnya: kedalaman medannya menang.

6. $6.7 \times 10^{-7}\,\mathrm{rad}$ ( $0.14''$ ); $\times10\,\mathrm{m} = 6.7\,\text{µ}\mathrm{m}$ jari-jarinya: sebuah cakram $1.3$ piksel.

7. $1''$ $= 4.9 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}$ , tujuh kali batasnya; $D = 1.22\lambda/4.9 \times 10^{-6} = 14\,\mathrm{cm}$ sudah mencapai kaburan atmosfernya.

8. $2.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}$ ( $0.55''$ ); galat fase atmosfernya merupakan bagian yang lebih kecil dari panjang gelombang yang lebih panjang: koreksinya lebih sedikit dan lebih lambat.

9. $0.15 < 0.55$ : tidak; pada $550\,\mathrm{nm}$ dari antariksa, $0.14''$ : pas.

10. $6.7 \times 10^{-7} \times 3.8 \times 10^8 = 250\,\mathrm{m}$ ; pendaratnya, tidak.

11. Sebuah salib empat paku difraksi.

12. $(1000/7)^2 = 2 \times 10^4$ : objek yang lebih redup, bukan yang lebih tajam.

13. $370\,\mathrm{nm}$ dan $240\,\mathrm{nm}$ : $2700$ dan $4200$ pasangan garis tiap milimeter.

14. Bakterinya, ya; strukturnya yang $0.2\,\text{µ}\mathrm{m}$ pada batasnya dengan minyak, tidak dengan kering; virusnya, tidak.

15. $d \ge \lambda/\mathrm{NA} = 390\,\mathrm{nm}$ di bawah penyinaran tegak lurus, $200\,\mathrm{nm}$ dengan cahaya miring — $0.61\lambda/\mathrm{NA}$ bagi dua titik terletak di antaranya.

16. Indeks minyaknya menaikkan $n\sin\alpha$ lalu menekan pemantulan total yang akan memerangkap sinar curamnya dalam kaca penutupnya.

17. $110\,\mathrm{nm}$ ; elektronnya: $0.61 \times 4\,\text{pm}/0.01 = 0.24\,\mathrm{nm}$ .

18. Kepingnya menunda cahaya yang tak terdifraksi sebesar seperempat gelombang sehingga ia berinterferensi dengan cahaya yang terdifraksi struktur fase selnya; pola fasenya menjadi pola intensitas.

19. $4.3 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ ; $1.5 + 2 \times 43 = 88\,\mathrm{mm}$ .

20. $2.44\lambda f_1/D = 8.7\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; lubang jarumnya $13\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

21. $f_2 = 20f_1 = 200\,\mathrm{mm}$ ; $2.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}$ ; $30 + 44 = 74\,\mathrm{mm}$ sesudah satu kilometer.

22. $\lambda/100\,\text{µ}\mathrm{m} = 5.3 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$ : $53\,\text{µ}\mathrm{m}$ dari sumbunya di lubang jarumnya — terhalangi.

23. $1\%$ , diserap keping lubang jarumnya.

24. Sebuah berkas berdiameter $D$ berlipat dua sepanjang $\sim D^2/\lambda$ : $4\,\mathrm{m}$ bagi $1.5\,\mathrm{mm}$ , $1.7\,\mathrm{km}$ bagi $30\,\mathrm{mm}$ .

25. Mata $3\,\mathrm{mm}$ , teleskop $1\,\mathrm{m}$ , objektif (NA $1.4$ ), berkas $30\,\mathrm{mm}$ : pada masing-masingnya, $\lambda/D$ menetapkan sudut terkecil, rincian terhalus, dan sebaran terlambat.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Asas Huygens–Fresnel

Lihat semua 431 istilah di glosarium