Fisika Universitas — Tahun 2 · Bachelor Year 2

29Faktor Boltzmann

Dakilah sebuah gunung dan udaranya menipis: pada tiga ribu meter tekanannya telah turun menjadi $0.7\,\mathrm{bar}$ , di puncak Everest menjadi sepertiga nilai permukaan lautnya. Tak ada yang mengurung atmosfernya dari atas; ia ditahan gravitasi lalu disebarkan keriuhan termal, dan kompromi antara keduanya adalah sebuah eksponensial, $n \propto \eu^{-mgz/k_BT}$ — nisbah energi potensial sebuah molekul terhadap $k_BT$ memutuskan seberapa jarang ia di sana atas. Eksponensial yang sama mengatur bagian atom dalam sebuah aras tereksitasi, jumlah molekul yang cukup cepat untuk melepaskan diri dari sebuah planet, magnetisasi sebuah paramagnet, populasi yang harus dibalikkan sebuah laser, dan kuantum yang dicacah hukum Planck: itulah faktor Boltzmann, satu rumus yang paling berguna dalam fisika statistik. Bab ini memotivasinya dengan atmosfernya, menyatakannya secara umum, lalu menarik darinya, hanya dengan jumlah dan integral Gauss, sistem dua aras dan kapasitas kalornya, ekuipartisi energinya, sebaran kelajuan molekulnya, dan hukum Curie paramagnetisme — dengan, di jalannya, energi rerata sebuah osilator kuantum, yang merupakan rumus Planck.

Dari sebuah puncak, kabut atmosfer bawahnya dan biru pekat di atasnya: kerapatan udaranya turun sebesar faktor tiap 8\, km — yaitu faktor Boltzmann energi potensial sebuah molekul dalam gravitasi Bumi. — Dari sebuah puncak, kabut atmosfer bawahnya dan biru pekat di atasnya: kerapatan udaranya turun sebesar faktor $\eu$ tiap $8\,\mathrm{km}$ — yaitu faktor Boltzmann energi potensial sebuah molekul dalam gravitasi Bumi.

29.1 Atmosfer isotermal

Proposisi 29.1 (Hukum barometrik)

Dalam sebuah atmosfer gas sempurna (bermassa molekul $m$ ) pada suhu seragam $T$ dalam gravitasi seragam $g$ , tekanan dan rapat cacahnya turun eksponensial dengan ketinggiannya:

P(z) = P_0\,\eu^{-z/H}, \qquad n(z) = n_0\,\eu^{-mgz/k_BT}, \qquad H = \frac{k_BT}{mg} ,

dengan tinggi skala $H \approx 8.4\,\mathrm{km}$ bagi udara pada $288\,\mathrm{K}$ . Eksponennya adalah nisbah energi potensial $mgz$ sebuah molekul terhadap energi termalnya $k_BT$ .

Bukti. Hidrostatika, $\dd P/\dd z = -\rho g = -nmg$ , dan hukum gas sempurnanya $P = nk_BT$ : $\dd P/\dd z = -(mg/k_BT)P$ , sebuah eksponensial. Atmosfer yang sungguhan mendingin dengan ketinggiannya (sekitar $6.5\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$ dalam sepuluh kilometer terbawahnya), yang membuat penurunannya agak lebih cepat; model isotermalnya baik sampai $20\%$ . ∎

Atmosfer isotermalnya: tekanan dan kerapatannya turun sebesar 1/ tiap tinggi skala H = k_BT/mg; sebuah gas yang lebih ringan akan mempunyai H yang lebih besar — tetapi di bawah 100\, km pergolakan menjaga udaranya tercampur, dan semua gasnya berbagi H reratanya. — Atmosfer isotermalnya: tekanan dan kerapatannya turun sebesar $1/\eu$ tiap tinggi skala $H = k_BT/mg$ ; sebuah gas yang lebih ringan akan mempunyai $H$ yang lebih besar — tetapi di bawah $100\,\mathrm{km}$ pergolakan menjaga udaranya tercampur, dan semua gasnya berbagi $H$ reratanya.

29.2 Faktor Boltzmann

Teorema 29.2 (Faktor Boltzmann)

Sebuah sistem dalam kesetimbangan termal dengan sebuah termostat pada suhu $T$ ditemukan dalam sebuah keadaan mikroskopis tertentu berenergi $E$ dengan peluang yang sebanding dengan

\eu^{-E/k_BT} .

Maka, bagi sehimpunan keadaan diskret berenergi $E_i$ ,

p_i = \frac{\eu^{-E_i/k_BT}}{Z}, \qquad Z = \sum_i\eu^{-E_i/k_BT} ,

dengan jumlah $Z$ (yaitu fungsi partisi) menormalkan peluangnya; dua keadaan (atau dua aras berdegenerasi sama) terisi dengan nisbah $N_2/N_1 = \eu^{-(E_2 - E_1)/k_BT}$ ; dan bagi sebuah peubah sinambung (sebuah kedudukan, sebuah kecepatan) rapat peluangnya sebanding dengan $\eu^{-E/k_BT}$ dalam peubah itu. Pada $300\,\mathrm{K}$ , $k_BT = 4.1 \times 10^{-21}\,\mathrm{J} = 0.026\,\mathrm{eV}$ : apa pun yang memakan jauh lebih banyak daripada ini itu jarang, apa pun yang memakan jauh lebih sedikit tereksitasi dengan bebas.

Bukti. Hukum barometriknya adalah faktornya bagi energi potensial $mgz$ ; kita menerima keumumannya, tetapi inilah alasannya (yang diketatkan dalam jilid Tahun 3). Termostatnya $R$ besar; ketika sistem kecil kita berada dalam sebuah keadaan berenergi $E$ , termostatnya berenergi $E_{\text{tot}} - E$ , dan dapat berada dalam $\Omega_R(E_{\text{tot}} - E)$ keadaan mikroskopis, yang semuanya sama mungkin (yaitu postulat dasar bagi sebuah keseluruhan yang terkucil). Jadi $p(E) \propto \Omega_R(E_{\text{tot}} - E)$ . Dengan definisi Boltzmann tentang entropinya, $S_R = k_B\ln\Omega_R$ , dan $1/T = \dd S_R/\dd E_R$ bagi termostatnya, $\ln\Omega_R(E_{\text{tot}} - E) \approx \ln\Omega_R(E_{\text{tot}}) - E/k_BT$ karena $E \ll E_{\text{tot}}$ ; eksponenkanlah. ∎

Contoh 29.3 (Populasi aras atomik)

Aras tereksitasi pertama hidrogen terletak $10.2\,\mathrm{eV}$ di atas keadaan dasarnya: pada $300\,\mathrm{K}$ , $\eu^{-395}$ — tak satu atom pun di alam semesta; pada $6000\,\mathrm{K}$ , yaitu permukaan Matahari, $\eu^{-19.7} \approx 3 \times 10^{-9}$ (dikalikan degenerasi $4$ ): cukup, dalam kolom gas Matahari yang besar, bagi garis serapan Balmernya, yang terkuat pada bintang dekat $10\,000\,\mathrm{K}$ . Garis D natrium ( $2.1\,\mathrm{eV}$ ) dalam sebuah nyala $2500\,\mathrm{K}$ : $\eu^{-9.8} = 6 \times 10^{-5}$ atomnya tereksitasi, yang memberi nyala kuning sejumput garam. Dan medium laser Bab 23: faktornya mengatakan bahwa aras atasnya kosong pada kesetimbangan, dan pompanya harus melawan faktor itu.

29.3 Aras diskret: sistem dua aras dan osilatornya

Proposisi 29.4 (Energi rerata dari fungsi partisinya)

Dengan $\beta = 1/k_BT$ ,

\langle E\rangle = \sum_ip_iE_i = -\frac{\partial\ln Z}{\partial\beta}, \qquad C = \frac{\dd\langle E\rangle}{\dd T} .

Bukti. $\partial_\beta Z = -\sum E_i\eu^{-\beta E_i}$ , bagilah dengan $Z$ . ∎

Proposisi 29.5 (Sistem dua aras)

$N$ sistem yang saling bebas dengan dua aras $0$ dan $\varepsilon$ (spin dalam sebuah medan, atom dengan satu aras tereksitasi, cacat dengan dua kedudukan):

\frac{N_2}{N} = \frac{1}{\eu^{\varepsilon/k_BT} + 1}, \qquad \langle E\rangle = \frac{N\varepsilon}{\eu^{\varepsilon/k_BT} + 1}, \qquad C = Nk_B\,\frac{x^2\eu^x}{(\eu^x + 1)^2}, \quad x = \frac{\varepsilon}{k_BT} .

Aras atasnya kosong pada suhu rendah dan paling banter terisi separuh pada suhu tinggi (tak pernah terbalik pada kesetimbangan); kapasitas kalornya lenyap di kedua ujungnya lalu memuncak pada $0.44\,Nk_B$ dekat $k_BT = 0.42 \varepsilon$ — yaitu anomali Schottky, yaitu tanda sebuah senjang dalam spektrumnya.

Bukti. $Z = 1 + \eu^{-x}$ ; $p_2 = \eu^{-x}/(1 + \eu^{-x})$ ; turunkanlah $\langle E\rangle$ terhadap $T$ . ∎

Sistem dua arasnya: populasinya terhadap suhu (aras atasnya terisi menuju setengah, tak pernah lebih) dan kapasitas kalor Schottkynya, sebuah bonggol di tempat k_BT sepadan dengan senjangnya. — Sistem dua arasnya: populasinya terhadap suhu (aras atasnya terisi menuju setengah, tak pernah lebih) dan kapasitas kalor Schottkynya, sebuah bonggol di tempat $k_BT$ sepadan dengan senjangnya.

Proposisi 29.6 (Osilator kuantum dan rumus Planck)

Sebuah osilator selaras berfrekuensi $\nu$ mempunyai aras $E_n = nh\nu$ (ditambah sebuah tetapan); pada suhu $T$ ,

Z = \frac{1}{1 - \eu^{-h\nu/k_BT}}, \qquad \langle E\rangle = \frac{h\nu}{\eu^{h\nu/k_BT} - 1} \ \longrightarrow\ \begin{cases} k_BT & (h\nu \ll k_BT), \\ h\nu\,\eu^{-h\nu/k_BT} & (h\nu \gg k_BT). \end{cases}

Inilah energi rerata sebuah ragam medan radiasi yang dikalikan hukum Planck (Bab 26) dengan jumlah ragamnya, dan energi rerata sebuah getaran dalam sebuah zat padat: pada suhu tinggi $k_BT$ klasiknya, pada suhu rendah sebuah ragam yang beku.

Bukti. Deret ukur, lalu $-\partial_\beta\ln Z$ . ∎

Contoh 29.7 (Kapasitas kalor zat padat)

Perlakukanlah tiap atom sebuah zat padat sebagai tiga osilator berfrekuensi sama $\nu$ (Einstein, 1907): $C = 3Nk_B\,x^2\eu^x/(\eu^x - 1)^2$ dengan $x = h\nu/k_BT$ . Di atas $\theta_{\text{E}} = h\nu/k_B$ , $C \to 3Nk_B = 3R$ tiap mol — yaitu hukum Dulong dan Petit ( $25\,\mathrm{J}/\mathrm{mol}/\mathrm{K}$ ), yang dituruti timbal, tembaga, besi pada suhu ruang; jauh di bawahnya, $C$ runtuh. Intan ( $\theta_{\text{E}} \approx 1300\,\mathrm{K}$ ) hanya mempunyai $6\,\mathrm{J}/\mathrm{mol}/\mathrm{K}$ pada $300\,\mathrm{K}$ , yang tak dapat dijelaskan fisika klasik, dan kapasitas kalor setiap zat padat lenyap pada suhu rendah — yaitu keberhasilan pertama kuantum di luar radiasinya.

29.4 Ekuipartisi dan sebaran Maxwell

Teorema 29.8 (Ekuipartisi energi)

Setiap peubah $q$ yang masuk ke energinya secara kuadratik, $E = aq^2 + \dots$ , dan berjangkau seluruh nilai nyata, menyumbang $\tfrac12k_BT$ pada energi rerata pada kesetimbangannya:

\langle aq^2\rangle = \tfrac12k_BT .

Sebuah gas monoatomik (tiga translasi) mempunyai $U = \tfrac32Nk_BT$ dan $C_V = \tfrac32R$ tiap mol; sebuah gas diatomik menambahkan dua rotasi, $C_V = \tfrac52R$ , dan getarannya (dua suku kuadratik, tetapi terkuantumkan dengan $h\nu \gg k_BT$ pada suhu ruang) tetap beku sampai beberapa ribu kelvin.

Bukti. Rapat peluangnya dalam $q$ adalah $\propto\eu^{-aq^2/k_BT}$ , sebuah Gauss:

\langle aq^2\rangle = \frac{\int aq^2\,\eu^{-aq^2/k_BT}\,\dd q}{\int\eu^{-aq^2/k_BT}\,\dd q} = \tfrac12k_BT

(turunkanlah $\int\eu^{-\lambda q^2}\dd q = \sqrt{\pi/\lambda}$ terhadap $\lambda$ ). Hasilnya menuntut kesinambungannya: ketika arasnya berjarak lebih daripada $k_BT$ faktornya membekukan peubahnya, seperti bagi osilator di atas. ∎

Teorema 29.9 (Sebaran kelajuan Maxwell)

Dalam sebuah gas pada $T$ , komponen kecepatannya adalah Gauss yang saling bebas bervariansi $k_BT/m$ , dan kelajuannya $v = |\vect v|$ mempunyai rapat peluang

f(v) = 4\pi\Big(\frac{m}{2\pi k_BT}\Big)^{3/2}v^2\,\eu^{-mv^2/2k_BT} ,

dengan kelajuan paling mungkin, rerata dan akar kuadrat reratanya

v_{\text{p}} = \sqrt{\frac{2k_BT}{m}}, \qquad \langle v\rangle = \sqrt{\frac{8k_BT}{\pi m}}, \qquad v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3k_BT}{m}} ,

dengan nisbah $1 : 1.13 : 1.22$ . Bagi nitrogen pada $300\,\mathrm{K}$ : $422\,$ , $476\,$ , $517\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; bagi hidrogen, $3.7$ kali lebih banyak; ekor sebarannya, $\propto\eu^{-mv^2/2k_BT}$ , adalah yang meloloskan molekul tercepatnya menguap, bereaksi, atau meninggalkan sebuah planet.

Bukti. Energi kinetiknya $\tfrac12m(v_x^2 + v_y^2 + v_z^2)$ memberi faktor $\eu^{-mv_x^2/2k_BT}\eu^{-mv_y^2/2k_BT}\eu^{-mv_z^2/2k_BT}$ : yaitu tiga Gauss yang saling bebas, masing-masingnya dinormalkan oleh $\sqrt{m/2\pi k_BT}$ . Sebaran kelajuannya memungut semua kecepatan dalam selubung berjari-jari $v$ dan bervolume $4\pi v^2\dd v$ . Lalu $v_{\text{p}}$ dari $\dd f/\dd v = 0$ , dan momennya dari $\int_0^\infty v^3\eu^{-av^2}\dd v = 1/2a^2$ , $\int_0^\infty v^4\eu^{-av^2}\dd v = \tfrac38\sqrt{\pi/a^5}$ ; $v_{\text{rms}}$ juga menyusul dari ekuipartisinya, $\tfrac12m\langle v^2\rangle = \tfrac32k_BT$ . ∎

Sebaran kelajuan Maxwell bagi nitrogen pada tiga suhu: puncaknya beranjak sebagai √ T, kurvanya melebar, dan ekor berkelajuan tingginya tumbuh tercepat dari semuanya — yaitu ekor yang memutuskan pelepasan dan laju reaksinya. — Sebaran kelajuan Maxwell bagi nitrogen pada tiga suhu: puncaknya beranjak sebagai $\sqrt T$ , kurvanya melebar, dan ekor berkelajuan tingginya tumbuh tercepat dari semuanya — yaitu ekor yang memutuskan pelepasan dan laju reaksinya.

Contoh 29.10 (Siapa yang meninggalkan planetnya)

Kelajuan lepas Bumi adalah $11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . Dalam eksosfernya, dekat $1000\,\mathrm{K}$ , helium mempunyai $v_{\text{p}} = 2.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ : bagian atom di atas kelajuan lepasnya berorde $\eu^{-(11.2/2.0)^2} = \eu^{-31} \approx 10^{-13}$ — kecil, tetapi diperbarui pada tiap tumbukan selama bermiliar tahun: helium merembes pergi, dan kelimpahannya dalam udara hanya $5\,\mathrm{ppm}$ meskipun produksinya tetap lewat peluruhan radioaktif. Bagi nitrogen eksponennya tujuh kali lebih besar, $\eu^{-220}$ : nitrogen tinggal. Di Bulan ( $v_{\text{lepas}} = 2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ) bahkan nitrogen pada $400\,\mathrm{K}$ ( $v_{\text{p}} = 490\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) mempunyai $\eu^{-24}$ tiap waktu tumbukan: sepanjang umur tata suryanya, tak ada atmosfer yang bertahan.

29.5 Paramagnetisme dan hukum Curie

Proposisi 29.11 (Paramagnet spin 1/2)

$N$ momen magnet yang saling bebas yang hanya dapat menunjuk searah atau berlawanan dengan medannya $B$ , berenergi $\mp\mu B$ , mempunyai pada suhu $T$ momen dan magnetisasi rerata

\langle\mu_z\rangle = \mu\tanh\frac{\mu B}{k_BT}, \qquad M = n\mu\tanh\frac{\mu B}{k_BT} \ \longrightarrow\ \begin{cases} n\mu^2B/k_BT & (\mu B \ll k_BT):\ \text{hukum Curie}, \\ n\mu & (\mu B \gg k_BT):\ \text{kejenuhan}. \end{cases}

Suseptibilitasnya $\chi = \mu_0M/B = \mu_0n\mu^2/k_BT$ berubah sebagai $1/T$ (hukum Curie); dengan $\mu = \mu_B = 9.27 \times 10^{-24}\,\mathrm{J}/\mathrm{T}$ , $\mu B/k_BT = 2.2 \times 10^{-3}$ pada $1\,\mathrm{T}$ dan $300\,\mathrm{K}$ , sehingga paramagnet biasa nyaris tak termagnetkan; pada $1\,\mathrm{K}$ medan yang sama memberi $0.67$ dan kejenuhannya mulai.

Bukti. $p_\pm \propto\eu^{\pm\mu B/k_BT}$ : $\langle\mu_z\rangle = \mu(\eu^x - \eu^{-x})/(\eu^x + \eu^{-x})$ dengan $x = \mu B/k_BT$ ; $\tanh x \approx x$ bagi $x$ yang kecil. ∎

Magnetisasi sebuah paramagnet spin 1/2: linear dalam B/T pada medan kecil (Curie), menjenuh ketika B melampaui k_BT — yang dicapai pada satu tesla hanya di bawah satu kelvin, yang membuat kurvanya sebuah termometer bagi percobaan yang terdingin. — Magnetisasi sebuah paramagnet spin 1/2: linear dalam $B/T$ pada medan kecil (Curie), menjenuh ketika $\mu B$ melampaui $k_BT$ — yang dicapai pada satu tesla hanya di bawah satu kelvin, yang membuat kurvanya sebuah termometer bagi percobaan yang terdingin.

Catatan 29.12 (Apa yang tak dilakukan faktornya)

Faktor Boltzmann melukiskan kesetimbangan pada sebuah suhu; ia tak mengatakan apa pun tentang laju (seberapa cepat kesetimbangannya tercapai — meskipun sebuah energi aktivasi $E_{\text{a}}$ memberi laju $\propto\eu^{-E_{\text{a}}/k_BT}$ , yaitu hukum Arrhenius yang dijumpai bagi difusi dalam zat padat). Ia berlaku bagi subsistem yang saling bebas atau bagi keseluruhannya; bagi partikel kuantum yang serupa pada kerapatan tinggi (elektron dalam sebuah logam, foton, helium dekat nol mutlak) ia digantikan sebaran Fermi–Dirac dan Bose–Einstein jilid Tahun 3, yang ia merupakan limit encernya.

Metode 29.13 (Taksiran Boltzmann)

(1) Hitunglah $E/k_BT$ ; $k_BT = 0.026\,\mathrm{eV}$ pada $300\,\mathrm{K}$ , $1\,\mathrm{eV}$ pada $11\,600\,\mathrm{K}$ . (2) Nisbah populasinya: $\eu^{-\Delta E/k_BT}$ (dikalikan degenerasinya). (3) Aras diskret: $Z$ , lalu $\langle E\rangle = -\partial_\beta\ln Z$ , lalu $C$ . (4) Peubah sinambung yang kuadratik: $\tfrac12k_BT$ masing-masingnya, jika tak beku. (5) Kelajuan: $v_{\text{p}} = \sqrt{2k_BT/m}$ dan ekor Gaussnya. (6) Spin: $\tanh(\mu B/k_BT)$ , $1/T$ Curienya.

29.6 Latihan

Latihan 29.1 ★

Tentukanlah tinggi skala udara pada $288\,\mathrm{K}$ ( $M = 29\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ); tekanannya pada $3000\,\mathrm{m}$ , pada $8849\,\mathrm{m}$ , pada $10\,\mathrm{km}$ (bandingkanlah dengan $0.26\,\mathrm{bar}$ yang terukur); tinggi skala helium saja; dan tinggi skala atmosfer Mars (CO $_2$ , $210\,\mathrm{K}$ , $g = 3.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ).

Solusi

Solusi Latihan 29.1.

$H = k_BT/mg = 8.4\,\mathrm{km}$ ; $0.70\,$ , $0.35\,$ , $0.30\,\mathrm{bar}$ (yang sungguhan $0.26\,$ : karena udaranya mendingin dengan ketinggiannya); helium $61\,\mathrm{km}$ ; Mars $10.7\,\mathrm{km}$ .

Latihan 29.2 ★

Populasi: aras $n = 2$ hidrogen ( $10.2\,\mathrm{eV}$ , degenerasinya $4$ melawan $1$ ) pada $300\,\mathrm{K}$ , $6000\,\mathrm{K}$ , $10\,000\,\mathrm{K}$ ; aras $2.1\,\mathrm{eV}$ natrium dalam sebuah nyala $2500\,\mathrm{K}$ ; sebuah aras rotasi molekul pada $1 \times 10^{-3}\,\mathrm{eV}$ pada $300\,\mathrm{K}$ ; sebuah aras spin inti yang terbelah sebesar $1 \times 10^{-7}\,\mathrm{eV}$ dalam sebuah magnet pada $300\,\mathrm{K}$ .

Solusi

Solusi Latihan 29.2.

Hidrogen: $4\eu^{-395} \approx 10^{-171}$ ; $4\eu^{-19.7} = 10^{-8}$ ; $4\eu^{-11.8} = 3 \times 10^{-5}$ . Natrium: $\eu^{-9.8} = 6 \times 10^{-5}$ . Rotasinya: $\eu^{-0.04} = 0.96$ , nyaris sama. Spin intinya: $1 - 4 \times 10^{-6}$ — yaitu polarisasi mungil yang dipakai resonansi magnetik.

Latihan 29.3 ★

Tentukanlah kelajuan Maxwell ( $v_{\text{p}}$ , $\langle v\rangle$ , $v_{\text{rms}}$ ) bagi N $_2$ pada $300\,\mathrm{K}$ dan $77\,\mathrm{K}$ , H $_2$ pada $300\,\mathrm{K}$ , dan bagi sebutir asap bermassa $1 \times 10^{-18}\,\mathrm{kg}$ . Berapa bagian molekul yang lebih cepat daripada $2v_{\text{p}}$ (sekitar $4.6\%$ ) dan daripada $3v_{\text{p}}$ (sekitar $4 \times 10^{-4}$ ): ulaslah ekornya.

Solusi

Solusi Latihan 29.3.

N $_2$ $300\,\mathrm{K}$ : $422\,$ , $476\,$ , $517\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $77\,\mathrm{K}$ : $214\,$ , $241\,$ , $262\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; H $_2$ : $1580\,$ , $1780\,$ , $1930\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; butir asapnya: $9\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ (yaitu getar Brownnya). Di atas $2v_{\text{p}}$ satu molekul dari dua puluh; di atas $3v_{\text{p}}$ satu dari $2500$ — masih $10^{22}$ tiap meter kubik.

Latihan 29.4 ★

Momen spin 1/2 ber- $\mu = \mu_B$ , $n = 1 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ , $B = 1\,\mathrm{T}$ : tentukanlah $x = \mu B/k_BT$ pada $300\,\mathrm{K}$ dan $1\,\mathrm{K}$ ; $M/M_{\text{jenuh}}$ ; $M_{\text{jenuh}}$ ; suseptibilitasnya pada $300\,\mathrm{K}$ . Bandingkanlah dengan magnetisasi jenuh besi ( $1.7 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ ).

Solusi

Solusi Latihan 29.4.

$x = 2.2 \times 10^{-3}$ dan $0.67$ ; $M/M_{\text{jenuh}} = 2.2 \times 10^{-3}$ dan $0.59$ ; $M_{\text{jenuh}} = n\mu = 9.3 \times 10^{4}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ ; $\chi = \mu_0n\mu^2/k_BT = 2.6 \times 10^{-4}$ . $1.7 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ milik besi bersifat kooperatif, bukan sebuah efek Boltzmann.

Latihan 29.5 ★★

Dua aras. (a) Turunkanlah $p_1$ , $p_2$ , $\langle E\rangle$ dari $Z$ . (b) Tunjukkanlah bahwa $N_2 < N_1$ pada setiap suhu positif; apa artinya $N_2 > N_1$ bagi $T$ ? (c) Tentukanlah entropi $S = -Nk_B\sum p_i\ln p_i$ sistemnya pada $T \to 0$ dan $T \to \infty$ . (d) Sebuah cacat dalam sebuah hablur dapat duduk dalam dua kedudukan yang terpisah $0.05\,\mathrm{eV}$ : berapa penghunian kedudukan atasnya pada $300\,\mathrm{K}$ dan pada $77\,\mathrm{K}$ .

Solusi

Solusi Latihan 29.5.

(a) Proposisi 29.5. (b) $\eu^{-x} < 1$ bagi $T > 0$ ; $N_2 > N_1$ akan menuntut $T < 0$ — yaitu sebuah pembalikan populasi. (c) $0$ dan $Nk_B\ln 2$ . (d) $x = 1.93$ : $0.13$ ; pada $77\,\mathrm{K}$ , $x = 7.5$ : $5 \times 10^{-4}$ .

Latihan 29.6 ★★

Schottky. (a) Turunkanlah $C(T)$ sistem dua arasnya. (b) Tempatkanlah maksimumnya secara numerik ( $x = 2.40$ ) dan nilainya. (c) Limitnya pada $T$ rendah dan tinggi, dengan makna fisisnya. (d) Spin inti tembaga dalam $1\,\mathrm{T}$ mempunyai $\varepsilon \approx 1 \times 10^{-7}\,\mathrm{eV}$ : pada suhu berapa puncak Schottkynya duduk, dan mengapa ia berarti bagi kriostat yang terdingin?

Solusi

Solusi Latihan 29.6.

(a) Turunan $N\varepsilon/(\eu^x + 1)$ . (b) $x = 2.40$ , $C = 0.44\,Nk_B$ . (c) $\propto x^2\eu^{-x} \to 0$ : beku; $\propto 1/T^2 \to 0$ : kedua arasnya penuh, tak ada yang tersisa untuk diserap. (d) $k_BT = 0.42\varepsilon$ : $0.5\,\mathrm{mK}$ ; di bawah semilikelvin spin intinya menahan sebagian besar kapasitas kalornya lalu memperlambat setiap pendinginan.

Latihan 29.7 ★★

Ekuipartisi dan kegagalannya. (a) Turunkanlah $\langle aq^2\rangle = k_BT/2$ dengan integral Gaussnya. (b) Tentukanlah $C_V$ sebuah gas monoatomik dan sebuah gas diatomik yang tegar. (c) Getaran nitrogen mempunyai $h\nu/k_B = 3400\,\mathrm{K}$ : dengan memakai energi rerata osilatornya, tentukanlah $C_V$ pada $300\,\mathrm{K}$ , $1000\,\mathrm{K}$ , $3000\,\mathrm{K}$ . (d) Zat padat Einstein: tentukanlah $C$ pada $T = \theta_{\text{E}}$ , $\theta_{\text{E}}/4$ , $4\theta_{\text{E}}$ dalam satuan $3R$ ; dan intan pada suhu ruang.

Solusi

Solusi Latihan 29.7.

(a) Teorema 29.8. (b) $\tfrac32R$ , $\tfrac52R$ . (c) $C_{\text{vib}}/R = x^2\eu^x/(\eu^x - 1)^2$ : $0.002$ , $0.41$ , $0.90$ ; $C_V = 2.50R$ , $2.91R$ , $3.40R$ . (d) $0.92$ , $0.30$ , $0.995$ ; intannya $x = 4.3$ : $0.26 \times 3R = 6.5\,\mathrm{J}/\mathrm{mol}/\mathrm{K}$ .

Latihan 29.8 ★★

Maxwell secara rinci. (a) Tunjukkanlah bahwa komponen kecepatannya adalah Gauss yang saling bebas lalu turunkanlah $f(v)$ . (b) Hitunglah $v_{\text{p}}$ , $\langle v\rangle$ , $v_{\text{rms}}$ . (c) Energi kinetik reratanya: periksalah dengan ekuipartisinya. (d) Fluks molekul yang menumbuk sebuah dinding adalah $\tfrac14n\langle v\rangle$ tiap satuan luas dan waktu (diterima tanpa bukti): berapa jumlah molekul N $_2$ yang menumbuk $1\,\mathrm{cm}^{2}$ tiap sekon pada $1\,\mathrm{bar}$ , $300\,\mathrm{K}$ ; dan laju sebuah lubang jarum $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ meloloskan udara ke dalam sebuah kamar hampa (efusi).

Solusi

Solusi Latihan 29.8.

(a), (b) Teorema 29.9. (c) $\tfrac32k_BT$ . (d) $\tfrac14n\langle v\rangle = 2.9 \times 10^{27}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ : $3 \times 10^{23}$ tiap sentimeter persegi tiap sekon; menembus $7.9 \times 10^{-13}\,\mathrm{m}^{2}$ : $2.3 \times 10^{15}$ molekul tiap sekon, sebuah kebocoran $1 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ .

Latihan 29.9 ★★

Pelepasan. (a) Berapa bagian sebuah gas Maxwell yang lebih cepat daripada $v$ : tunjukkanlah bahwa ia kira-kira $(2/\sqrt\pi)\,x\,\eu^{-x^2}$ bagi $x = v/v_{\text{p}} \gg 1$ . (b) Helium pada $1000\,\mathrm{K}$ di atas $11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; dan nitrogennya. (c) Bulan, $v_{\text{lepas}} = 2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , $400\,\mathrm{K}$ : nitrogennya, dan suhu berapa yang akan menahannya selama umur tata suryanya (ambillah $10^{17}$ waktu tumbukan: bagian yang lepasnya di bawah $10^{-17}$ ). (d) Mengapa Titan ( $2.6\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , $94\,\mathrm{K}$ ) menyimpan sebuah atmosfer nitrogen yang tebal?

Solusi

Solusi Latihan 29.9.

(a) Integralkanlah $f$ bagian demi bagian; suku pemimpinnya adalah $(2/\sqrt\pi)x\eu^{-x^2}$ . (b) Helium $x = 5.5$ : $5 \times 10^{-13}$ ; nitrogen $x = 14.5$ : $\eu^{-211}$ . (c) $x = 4.9$ : $10^{-10}$ tiap waktu tumbukan — lenyap; $10^{-17}$ menuntut $x \approx 6.6$ , $T \lesssim 230\,\mathrm{K}$ . (d) $x = 11$ : $\eu^{-121}$ ; cukup dingin.

Latihan 29.10 ★★★

Potensial lain. (a) Dalam sebuah sentrifus yang berputar pada $\omega$ , energi potensial efektifnya adalah $-\tfrac12m\omega^2r^2$ : tentukanlah profil kerapatannya $n(r)$ . (b) Uranium heksafluorida, dua isotop $\Delta m = 3\,\mathrm{u}$ , $\omega = 2\pi \times 1000\,\mathrm{Hz}$ , $r = 10\,\mathrm{cm}$ , $300\,\mathrm{K}$ : berapa faktor pengayaan satu tingkatnya. (c) Bola koloid (bermassa apung $m' = 2.6 \times 10^{-17}\,\mathrm{kg}$ ) dalam air pada $293\,\mathrm{K}$ : berapa tinggi skala kesetimbangan sedimentasinya; bagaimana ini memberi bilangan Avogadro? (d) Sebuah gas elektron dalam sebuah medan $E$ : mengapa profil Boltzmannnya $\eu^{eEx/k_BT}$ merupakan dasar panjang perisai Debye $\lambda_{\text{D}} = \sqrt{\varepsilon_0k_BT/ne^2}$ sebuah plasma (sketsalah alasannya)?

Solusi

Solusi Latihan 29.10.

(a) $n = n_0\eu^{m\omega^2r^2/2k_BT}$ . (b) $\eu^{\Delta m\omega^2r^2/2k_BT} = \eu^{0.24} = 1.27$ . (c) $H = k_BT/m'g = 16\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; mencacah bolanya pada beberapa ketinggian memberi $k_B$ , maka $N_A = R/k_B$ . (d) Ionnya menuruti $\eu^{\mp e\varphi/k_BT}$ di sekitar sebuah muatan; yang dilinearkan dalam persamaan Poisson ini memberi $\varphi'' = \varphi/\lambda_{\text{D}}^2$ : potensialnya terperisai di luar $\lambda_{\text{D}}$ .

Latihan 29.11 ★★★

Planck dari Boltzmann. (a) Hitunglah $Z$ dan $\langle E\rangle$ bagi aras $nh\nu$ . (b) Kedua limitnya dan maknanya. (c) Kalikanlah dengan rapat ragamnya $8\pi\nu^2/c^3$ (diberikan) lalu dapatkanlah kembali hukum Planck; tunjukkanlah bahwa hukum Rayleigh–Jeans adalah ekuipartisi yang diterapkan pada tiap ragamnya. (d) Mengapa pencacahan klasiknya gagal, dalam satu kalimat?

Solusi

Solusi Latihan 29.11.

(a) $Z = 1/(1 - \eu^{-x})$ , $\langle E\rangle = h\nu/(\eu^x - 1)$ . (b) $k_BT$ : ekuipartisi; $h\nu\eu^{-h\nu/k_BT}$ : beku. (c) $u_\nu = (8\pi\nu^2/c^3)\langle E \rangle$ ; Rayleigh–Jeans memberi tiap ragamnya $k_BT$ . (d) Sebuah ragam tak dapat tereksitasi oleh kurang daripada satu kuantum.

Latihan 29.12 ★★★

Demagnetisasi adiabatik. Entropi $N$ spin 1/2 adalah $S = Nk_B[\ln(2\cosh x) - x\tanh x]$ , $x = \mu B/k_BT$ . (a) Tunjukkanlah bahwa ia hanya bergantung pada $B/T$ , dengan $S \to Nk_B\ln 2$ bagi $B/T \to 0$ dan $S \to 0$ bagi $B/T \to \infty$ . (b) Sebuah garam pada $1\,\mathrm{K}$ dimagnetkan secara isotermal dari $0$ ke $1\,\mathrm{T}$ : berapa entropi yang disingkirkan (tiap spin, dengan $\mu = \mu_B$ ). (c) Medannya lalu dikurangi secara adiabatik menjadi $0.01\,\mathrm{T}$ : berapa suhu akhirnya. (d) Apa yang membatasi metodenya, dan bagaimana kurva $\tanh$ yang sama melayani sebagai sebuah termometer?

Solusi

Solusi Latihan 29.12.

(a) $x = \mu B/k_BT$ saja; $\ln 2$ dan $0$ . (b) $x = 0.67$ : $S/Nk_B = 0.51$ , jadi $0.18\,k_B$ tiap spin yang tersingkirkan. (c) $B/T$ tetap: $10\,\mathrm{mK}$ . (d) Medan spinnya sendiri (bermilitesla) menggantikan $B$ di ujungnya lalu membatasi pendinginannya; mengukur $M = n\mu\tanh(\mu B/k_BT)$ memberi $T$ .

Ludwig Boltzmann (1844–1906), yang faktornya -E/k_BT menjadi pokok bab ini, dan yang rumusnya S = k_B terukir pada makamnya di Wina. — Ludwig Boltzmann (1844–1906), yang faktornya $\eu^{-E/k_BT}$ menjadi pokok bab ini, dan yang rumusnya $S = k_B\ln\Omega$ terukir pada makamnya di Wina.

29.7 Soal: Atmosfer isotermal, lepasnya helium dan sebuah termometer spin

Soal 29.1

Soal akhir pekan — tiga kegunaan satu eksponensial

Data: $k_B = 1.38 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ , $N_A = 6.02 \times 10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1}$ , $g = 9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $R_{\oplus} = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ , $\mu_B = 9.27 \times 10^{-24}\,\mathrm{J}/\mathrm{T}$ ; udara $M = 29\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ , helium $4\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ , nitrogen $28\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ .

Bagian I — Atmosfer isotermalnya.

Dari hidrostatika dan hukum gas sempurnanya, turunkanlah $P(z) = P_0\eu^{-z/H}$ lalu berikanlah $H$ bagi udara pada $288\,\mathrm{K}$ .
Kenalilah faktor Boltzmann dalam hasilnya; energi yang mana, suhu yang mana?
Tekanannya pada $3000\,\mathrm{m}$ , $5500\,\mathrm{m}$ dan $8849\,\mathrm{m}$ ; ketinggian yang tekanannya menjadi separuh.
Massa atmosfernya tiap meter persegi (dari $P_0 = 1.013 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ ), dan massa totalnya; periksalah bahwa $\int_0^\infty \rho\,\dd z = \rho_0H$ .
Jumlah molekul dalam atmosfernya.
Jika tiap gasnya menuruti $H$ -nya sendiri, berapa nisbah O $_2$ /N $_2$ pada $50\,\mathrm{km}$ dibandingkan dengan di tanahnya? Mengapa susunannya sebenarnya seragam sampai $100\,\mathrm{km}$ ?
Troposfer yang sungguhan mendingin sebesar $6.5\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$ : lebih tinggi atau lebih rendahkah tekanan pada $10\,\mathrm{km}$ daripada taksiran isotermalnya? Jelaskanlah.
Rapat cacahnya di permukaan laut dan pada $100\,\mathrm{km}$ (model isotermal, $288\,\mathrm{K}$ ): ulaslah “tepi antariksa”-nya.

Bagian II — Lepasnya helium. Eksosfernya, di atas $500\,\mathrm{km}$ , berada pada sekitar $1000\,\mathrm{K}$ dan tanpa tumbukan: sebuah molekul yang bergerak ke atas lebih cepat daripada kelajuan lepasnya pergi.

Kelajuan lepas dari Bumi pada ketinggian itu.
Kelajuan paling mungkin dan rerata helium dan nitrogen pada $1000\,\mathrm{K}$ .
Berapa bagian atom helium yang ber- $v > v_{\text{lepas}}$ (pakailah $(2/\sqrt\pi)x\eu^{-x^2}$ ); hal yang sama bagi nitrogennya.
Fluks helium yang lepas kira-kira $\tfrac14n_{\text{He}}\langle v\rangle \times$ (bagian itu) $\times\tfrac12$ ; dengan $n_{\text{He}} = 1 \times 10^{12}\,\mathrm{m}^{-3}$ pada eksobasenya, taksirlah ruginya tiap meter persegi tiap sekon dan tiap tahun bagi seluruh Bumi.
Helium dalam udaranya $5\,\mathrm{ppm}$ menurut volume: berapa total helium dalam atmosfernya; berapa waktu tinggalnya terhadap rugi yang telah dihitung.
Keradioaktifan dalam keraknya menghasilkan sekitar $3 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}$ helium tiap tahun: adakah helium atmosfernya dalam keadaan tunak, dan apa yang diajarkan perbandingannya dengan pertanyaan 11?
Pada maksimum surya eksosfernya mencapai $2000\,\mathrm{K}$ : sebesar faktor berapa bagian helium yang lepas naik?
Mengapa Bulan tak mempunyai atmosfer, dan Titan (kelajuan lepasnya $2.6\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , $94\,\mathrm{K}$ ) mempunyai atmosfer yang tebal?

Bagian III — Sebuah termometer spin. Sebuah garam paramagnetik memuat $n = 2 \times 10^{27}\,\mathrm{m}^{-3}$ spin 1/2 dengan $\mu = \mu_B$ , dalam sebuah medan $B$ .

Populasi kedua arasnya dan magnetisasinya $M(B,T)$ .
Pada $B = 0.1\,\mathrm{T}$ : tentukanlah $M$ pada $300\,\mathrm{K}$ , $4\,\mathrm{K}$ , $0.05\,\mathrm{K}$ ; di mana hukum Curienya sahih?
Mengapa $M$ merupakan sebuah termometer, dan dalam jangkauan yang mana ia paling peka? Apa yang diukur dalam praktiknya?
Energi rerata dan kapasitas kalor spinnya (Schottky); berapa suhu puncaknya pada $0.1\,\mathrm{T}$ .
Entropi spinnya pada suhu tinggi dan pada suhu nol; “penataan” apa yang terjadi ketika $T \to 0$ ?
Demagnetisasi adiabatik dari $1\,\mathrm{K}$ , $1\,\mathrm{T}$ ke $0.01\,\mathrm{T}$ : berapa suhu akhirnya; mengapa $B \to 0$ tak dapat memberi $T \to 0$ ?
Sebuah termometer spin inti memakai $\mu_{\text{N}} = \mu_B/1836$ : pada $1\,\mathrm{T}$ , sampai suhu berapa hukum Curienya berlaku, dan mengapa termometer semacam itu dipakai dalam jangkauan mikrokelvin?
Bandingkanlah lebar Doppler sebuah garis spektrum (dari sebaran Maxwellnya) sebagai sebuah termometer bagi gas: besaran yang mana, dan bagaimana ia berskala dengan $T$ ?
Ringkaslah: ketiga sistemnya dan satu rumusnya.

Solusi

Solusi Soal 29.1.

1. $\dd P/\dd z = -nmg = -(mg/k_BT)P$ ; $H = 8.4\,\mathrm{km}$ .

2. $\eu^{-mgz/k_BT}$ : yaitu energi potensial satu molekul, dan suhu udaranya.

3. $0.70\,$ , $0.52\,$ , $0.35\,\mathrm{bar}$ ; $H\ln 2 = 5.8\,\mathrm{km}$ .

4. $P_0/g = 1.03 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{2}$ ; $\times 4\pi R^2$ : $5.3 \times 10^{18}\,\mathrm{kg}$ ; $\rho_0H = 1.22 \times 8400 = 1.03 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{2}$ .

5. $5.3 \times 10^{18}/(29 \times 10^{-3}/N_A) = 1.1 \times 10^{44}$ .

6. $H_{\text{O}_2} = 7.6$ , $H_{\text{N}_2} = 8.7\,\mathrm{km}$ : nisbahnya pada $50\,\mathrm{km}$ akan menjadi $\eu^{-50/7.6 + 50/8.7} = 0.44$ nilai tanahnya; pergolakannya mencampur lebih cepat daripada difusinya memisahkan.

7. Lebih rendah: udara yang lebih dingin lebih rapat dan tekanannya turun lebih cepat.

8. $2.5 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$ ; $\eu^{-11.9}$ : $1.7 \times 10^{20}\,\mathrm{m}^{-3}$ — tak ada tepi, hanya sebuah kelaziman.

9. $11.2\sqrt{6370/6870} = 10.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .

10. Helium $2040\,$ , $2300\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; nitrogen $770\,$ , $870\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

11. $x = 5.3$ : $4 \times 10^{-12}$ ; nitrogennya $\eu^{-196}$ : tak ada.

12. $\tfrac14 \times 10^{12} \times 2300 \times 4 \times 10^{-12} \times \tfrac12 \approx 10^3$ atom tiap meter persegi tiap sekon; bagi seluruh Bumi dan setahun, $2 \times 10^{25}$ atom — $0.1\,\mathrm{kg}$ .

13. $5 \times 10^{-6} \times 1.1 \times 10^{44} = 5.5 \times 10^{38}$ atom, $3.7 \times 10^{12}\,\mathrm{kg}$ ; terhadap $0.1\,\mathrm{kg}/\mathrm{tahun}$ waktu tinggalnya akan menjadi mustahil.

14. Keadaan tunaknya menuntut rugi $3 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}/\mathrm{tahun}$ : yaitu waktu tinggal sekitar sejuta tahun, yang merupakan nilai yang diterima — jadi taksiran termalnya pada $1000\,\mathrm{K}$ jauh terlalu kecil: pelepasannya dikuasai episode yang lebih panas dan proses tak termal (ionik).

15. $x = 3.75$ : $\eu^{-14}$ alih-alih $\eu^{-28}$ — sebuah faktor $10^6$ : ruginya luar biasa peka terhadap suhu eksosfernya.

16. Bulan itu panas dan ringan: segalanya lepas dalam waktu geologi; Titan itu dingin, $x = 11$ bagi nitrogen.

17. $p_\pm = \eu^{\pm x}/2\cosh x$ ; $M = n\mu\tanh x$ .

18. $x = \mu B/k_BT$ : $4.2\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ , $310\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ , $1.6 \times 10^{4}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ (kejenuhannya $1.9 \times 10^{4}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ ); Curie bagi $x \ll 1$ , yakni $T \gg 70\,\mathrm{mK}$ .

19. $M$ hanya bergantung pada $T$ begitu $B$ diketahui; tercuram dekat $x \approx 1$ , $T \approx \mu B/k_B = 70\,\mathrm{mK}$ ; orang mengukur suseptibilitasnya dengan sebuah kumparan.

20. $\langle E\rangle = -N\mu B\tanh x$ ; $C = Nk_Bx^2/\cosh^2x$ , yang memuncak pada $x = 1.2$ : $56\,\mathrm{mK}$ .

21. $Nk_B\ln 2$ dan $0$ : semua spinnya berjajar dengan medannya.

22. $10\,\mathrm{mK}$ ; medan spinnya sendiri sebesar semilitesla menggantikan $B$ lalu menetapkan lantainya.

23. $x = 1$ pada $\mu_{\text{N}}B/k_B = 0.37\,\mathrm{mK}$ : Curie berlaku sampai semilikelvin, dan termometernya berguna sampai mikrokelvin.

24. $\Delta\nu/\nu = \sqrt{8k_BT\ln2/mc^2} \propto \sqrt T$ : lebar sebuah garis mengukur suhu gasnya.

25. Atmosfer, gas yang lepas, spin: $\eu^{-E/k_BT}$ dengan $E = mgz$ , $\tfrac12mv^2$ , $\mp\mu B$ .