Fisika Universitas — Tahun 2 · Bachelor Year 2

13Gelombang Elektromagnetik Bidang dan Polarisasi

Miringkanlah kepala Anda sambil mengenakan kacamata surya berpolarisasi dan silau di jalan yang basah datang dan hilang; putarlah kacamatanya di depan layar telepon dan layarnya menjadi hitam. Cahaya yang mencapai mata Anda bukan hanya gelombang berfrekuensi dan berintensitas: ia mempunyai arah getar, dan setiap polarisator, layar, lensa bioskop tiga dimensi dan penyambung serat optik bermain dengannya. Bab ini menyelesaikan persamaan Maxwell dalam ruang kosong — gelombang bidang, dengan medan listrik dan medan magnetnya yang transversal dan terkunci saling tegak lurus — meninjau spektrum yang dibentangkan gelombang itu, lalu mengkaji polarisasinya: bagaimana melukiskannya, bagaimana memilihnya dengan sebuah polarisator (hukum Malus), dan bagaimana mengubahnya dengan sebuah keping birefringen.

13.1 Gelombang bidang dalam hampa

Teorema 13.1 (Persamaan gelombang; gelombang bidang harmonik yang berjalan)

Dalam hampa, bebas muatan dan arus, persamaan Maxwell memberi

\Delta\vect E = \frac1{c^2}\frac{\partial^2\vect E}{\partial t^2} , \qquad \Delta\vect B = \frac1{c^2}\frac{\partial^2\vect B}{\partial t^2} , \qquad c = \frac1{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}} = 2.998 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} .

Gelombang bidang harmonik yang berjalan (gelombang PPH) $\underline{\vect E} = \underline{\vect E}_0\,\eu^{\iu(\omega t - \vect k\cdot\vect r)}$ merupakan penyelesaiannya asalkan $\omega = ck$ (tanpa dispersi), dan persamaan Maxwell lalu menuntut

\vect k\cdot\vect E = 0 , \qquad \vect B = \frac{\vect k\wedge\vect E}\omega = \frac{\vect u\wedge\vect E}c ,

dengan $\vect u = \vect k/k$ yaitu arah rambatnya: gelombangnya bersifat transversal, $(\vect E, \vect B, \vect u)$ merupakan triad ortogonal tangan kanan, $\vect E$ dan $\vect B$ sefase dan $B = E/c$ . Intensitasnya $I = \varepsilon_0cE_0^2/2$ dan ia mengemban fluks momentum $I/c$ (Bab 12).

Bukti. Persamaan gelombangnya telah diturunkan dalam Latihan 11.11. Bagi $\eu^{\iu(\omega t - \vect k\cdot\vect r)}$ , $\partial_t \to \iu\omega$ dan $\vect\nabla \to -\iu\vect k$ : $\Delta \to -k^2$ , jadi $k^2 = \omega^2/c^2$ ; Maxwell–Gauss memberi $-\iu \vect k\cdot\underline{\vect E} = 0$ , Maxwell–fluks $\vect k\cdot\underline{\vect B} = 0$ , Maxwell–Faraday $-\iu\vect k\wedge\underline{\vect E} = -\iu\omega\underline{\vect B}$ , yang darinya $\underline{\vect B} = \vect k\wedge\underline{\vect E}/\omega$ , bermodulus $kE/\omega = E/c$ dan tegak lurus keduanya; Maxwell–Ampère lalu terpenuhi dengan sendirinya. ∎

Sebuah gelombang bidang harmonik yang berjalan pada satu saat: E dan B saling tegak lurus dan tegak lurus arah jalannya, sefase, B = E/c; seluruh polanya meluncur sepanjang u dengan c. — Sebuah gelombang bidang harmonik yang berjalan pada satu saat: $\vect E$ dan $\vect B$ saling tegak lurus dan tegak lurus arah jalannya, sefase, $B = E/c$ ; seluruh polanya meluncur sepanjang $\vect u$ dengan $c$ .

Catatan 13.2 (Spektrumnya)

Satu persamaan, satu kelajuan, dan dua puluh orde besar frekuensi. Radio: $30\,\mathrm{kHz}$ – $300\,\mathrm{MHz}$ ( $\lambda$ dari $10\,\mathrm{km}$ sampai $1\,\mathrm{m}$ ), antena dan rangkaian (Bab 17). Gelombang mikro: $300\,\mathrm{MHz}$ – $300\,\mathrm{GHz}$ , radar, oven, telepon seluler, latar kosmik. Inframerah: sampai $400\,\mathrm{THz}$ ( $750\,\mathrm{nm}$ ), yaitu radiasi termal segala benda di sekeliling kita (Bab 26). Cahaya tampak: $400\,\mathrm{THz}$ – $750\,\mathrm{THz}$ , $750\,\mathrm{nm}$ (merah) sampai $400\,\mathrm{nm}$ (ungu) — satu oktaf, dengan foton $1.6$ sampai $3.1\,\mathrm{eV}$ . Ultraungu sampai $10\,\mathrm{nm}$ ; sinar-X sampai $10\,\mathrm{pm}$ ( $100\,\mathrm{keV}$ ), dari kulit atom dalam dan elektron yang direm; sinar gama di luar itu, dari inti. Hanya sumber dan pengindranya yang berbeda: gelombangnya sama.

Spektrum elektromagnetik pada skala frekuensi logaritmik; pita tampaknya hanya sebilah tipis — satu oktaf dari dua puluh dekade.

13.2 Polarisasi

Definisi 13.3 (Keadaan polarisasi)

Bagi gelombang PPH sepanjang $z$ medannya dalam bidang $z =$ tetap adalah

\vect E = E_{0x}\cos(\omega t - kz)\,\vect e_x + E_{0y}\cos(\omega t - kz - \varphi)\,\vect e_y ,

dan ujung $\vect E$ melukiskan, pada umumnya, sebuah elips: polarisasi elips. Dua hal khususnya: $\varphi = 0$ atau $\pi$ , polarisasi linear sepanjang arah tetap bersudut $\arctan(\pm E_{0y}/E_{0x})$ dari $x$ ; $E_{0x} = E_{0y}$ dan $\varphi = \pm\pi/2$ , polarisasi melingkar, dengan $\vect E$ bermodulus tetap yang berputar pada $\omega$ (ke kanan atau ke kiri menurut arah putarannya, dilihat menghadap gelombang yang datang). Cahaya alami (tak terpolarisasi), dari sebuah lampu atau Matahari, adalah rentetan kereta gelombang pendek dengan polarisasi acak yang berubah cepat: tak ada arah yang disukai secara rerata. Polarisasi apa pun terurai menjadi dua komponen linear (atau dua komponen melingkar).

Bukti. Dengan $X = E_x/E_{0x}$ , $Y = E_y/E_{0y}$ : $X = \cos\theta$ , $Y = \cos(\theta - \varphi)$ , jadi $X^2 + Y^2 - 2XY\cos\varphi = \sin^2\varphi$ , sebuah elips, yang merosot menjadi garis $Y = \pm X$ untuk $\varphi = 0, \pi$ dan menjadi lingkaran untuk $E_{0x} = E_{0y}$ , $\varphi = \pm\pi/2$ . ∎

Proposisi 13.4 (Polarisator dan hukum Malus)

Sebuah polarisator meneruskan komponen $\vect E$ sepanjang sumbu penerusannya $\vect p$ lalu menyerap yang lain (sehelai lembaran molekul panjang yang terjajar, yang menghantar sepanjang panjangnya — polarisasi yang diteruskan tegak lurus molekulnya). Cahaya terpolarisasi linear berintensitas $I_0$ yang arahnya membuat sudut $\theta$ dengan $\vect p$ muncul terpolarisasi linear sepanjang $\vect p$ dengan

I = I_0\cos^2\theta \qquad\text{(Malus)} ;

cahaya alami muncul dengan $I_0/2$ , terpolarisasi sepanjang $\vect p$ . Dua polarisator bersilang tak meneruskan apa pun; satu lagi yang disisipkan pada $45{}^{\circ}$ di antaranya meneruskan $I_0/8$ .

Bukti. Amplitudo yang diteruskan adalah $E_0\cos\theta$ dan $I \propto E_0^2$ . Cahaya alami: rerata $\cos^2\theta$ atas semua $\theta$ , yaitu $\tfrac12$ . Tiga polarisator: $\tfrac12\cdot\cos^2 45^\circ\cdot\cos^2 45^\circ = \tfrac18$ — polarisator tengahnya tidak sekadar melemahkan, ia memutar polarisasinya. ∎

Kiri: cahaya alami menembus tiga polarisator pada 0, 45 dan 90 — yang di tengah meloloskan seperdelapan lewat sepasang yang sendirian akan menghalangi segalanya. Kanan: hukum Malus. — Kiri: cahaya alami menembus tiga polarisator pada $0^\circ$ , $45^\circ$ dan $90^\circ$ — yang di tengah meloloskan seperdelapan lewat sepasang yang sendirian akan menghalangi segalanya. Kanan: hukum Malus.

Contoh 13.5 (Kacamata surya, layar, fotografi)

Cahaya yang dipantulkan pada sudut menyerempet dari air atau aspal sebagian besar terpolarisasi mendatar (sudut Brewster, Bab 15): kacamata surya bersumbu penerusan tegak memangkas silaunya dan menyimpan selebihnya. Layar kristal cair memancarkan cahaya terpolarisasi: menembus polarisator pada $90{}^{\circ}$ ia menjadi hitam. Tapis polarisasi seorang juru foto menggelapkan langitnya (cahaya terhambur sebagian terpolarisasi, Bab 17) lalu menyingkirkan pantulan dari kaca.

13.3 Birefringensi dan keping gelombang

Proposisi 13.6 (Keping gelombang)

Dalam kristal birefringen (kalsit, kuarsa, mika; juga lembaran plastik yang teregang) sebuah gelombang yang merambat sepanjang arah tertentu terbelah menjadi dua polarisasi linear, sepanjang sumbu cepat dan sumbu lambat kepingnya, yang berjalan dengan indeks berbeda $n_f < n_s$ (diterima tanpa bukti — kristalnya menanggapi secara berbeda sepanjang sumbunya). Sebuah keping setebal $e$ menunda komponen lambatnya sebesar fase

\delta = \frac{2\pi}\lambda(n_s - n_f)\,e .

Sebuah keping setengah gelombang ( $\delta = \pi$ ) mengubah polarisasi linear bersudut $\alpha$ dari sumbu cepatnya menjadi polarisasi linear pada $-\alpha$ : ia memutarnya sebesar $2\alpha$ . Sebuah keping seperempat gelombang ( $\delta = \pi/2$ ) mengubah polarisasi linear pada $45{}^{\circ}$ dari sumbunya menjadi cahaya melingkar, dan cahaya melingkar kembali menjadi linear; pada sudut lain, menjadi cahaya elips yang sumbunya sepanjang sumbu kepingnya.

Bukti. Tulislah medannya $E_0(\cos\alpha\,\vect e_f + \sin\alpha\,\vect e_s)\cos\omega t$ ; sesudah kepingnya, $E_0[\cos\alpha\cos\omega t\,\vect e_f + \sin\alpha\cos(\omega t - \delta) \vect e_s]$ . Untuk $\delta = \pi$ komponen $\vect e_s$ -nya berubah tanda: arahnya $(\cos\alpha, -\sin\alpha)$ . Untuk $\delta = \pi/2$ dan $\alpha = 45^\circ$ : $(E_0/\sqrt2)(\cos \omega t, \sin\omega t)$ , sebuah lingkaran. ∎

Keadaan polarisasi sebuah gelombang bidang, dilihat menghadap cahaya yang datang, dan sebuah keping birefringen dengan sumbu cepat dan lambatnya.

Contoh 13.7 (Di mana keping dipakai)

Sebuah keping seperempat gelombang di antara polarisator dan cermin membuat sebuah isolator optik: cahayanya keluar melingkar, kembali melingkar dengan arah putar berlawanan, diubah kepingnya menjadi cahaya linear pada $90{}^{\circ}$ dari polarisatornya lalu terserap — tak ada pantulan yang kembali ke lasernya. Kedua citra mata sebuah film tiga dimensi diproyeksikan dalam polarisasi melingkar yang berlawanan lalu disortir oleh lapisan keping seperempat gelombang dan polarisator kacamatanya, yang tetap bekerja ketika Anda memiringkan kepala (polarisator linear tidak akan). Sebuah penggaris bening di antara polarisator bersilang memperlihatkan rumbai berwarna: tegangan membuat plastik menjadi birefringen, dan insinyur membaca tegangan sebuah model dari polanya.

Metode 13.8 (Mengikuti sebuah polarisasi menembus optika)

(1) Pilihlah sumbunya; tuliskanlah medan datangnya sebagai dua komponen dengan beda fasenya. (2) Sebuah polarisator: simpanlah proyeksinya pada sumbunya (amplitudonya $\times\cos$ , intensitasnya $\times\cos^2$ ; cahaya alami $\times\tfrac12$ ). (3) Sebuah keping: proyeksikanlah pada sumbu cepat dan lambatnya, tundalah yang lambat sebesar $\delta$ , lalu gabungkanlah kembali. (4) Bacalah hasilnya: fase $0$ atau $\pi$ berarti linear, $\pm\pi/2$ dengan amplitudo sama berarti melingkar. (5) Untuk menguji berkas yang tak diketahui: putarlah sebuah polarisator (intensitasnya berubah: bagian linear atau elipsnya), lalu tambahkanlah keping seperempat gelombang (yang melingkar menjadi linear dan dapat dipadamkan).

13.4 Latihan

Latihan 13.1 ★

Sebuah pemancar FM pada $100\,\mathrm{MHz}$ memberi, di sebuah penerima, intensitas $1.0\,\text{µ}\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ . Tentukanlah panjang gelombang, bilangan gelombang, periodenya; amplitudo $E_0$ dan $B_0$ ; rapat energinya; ggl yang terimbas dalam antena $1\,\mathrm{m}$ yang terjajar dengan $\vect E$ ; fluks fotonnya (tiap meter persegi dan sekon).

Solusi

Solusi Latihan 13.1.

$\lambda = 3.0\,\mathrm{m}$ , $k = 2.1\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$ , $T = 10\,\mathrm{ns}$ ; $E_0 = \sqrt{2I/\varepsilon_0c} = 27\,\mathrm{mV}/\mathrm{m}$ , $B_0 = 9 \times 10^{-11}\,\mathrm{T}$ ; $u = I/c = 3.3 \times 10^{-15}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ ; ggl-nya $E_0 \times 1\,\mathrm{m} = 27\,\mathrm{mV}$ ; $I/hf = 10^{-6}/6.6 \times 10^{-26} = 1.5 \times 10^{19}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ .

Latihan 13.2 ★

Tentukanlah frekuensi dan energi foton (dalam eV) bagi $\lambda = 1\,\mathrm{km}$ , $10\,\mathrm{cm}$ , $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $550\,\mathrm{nm}$ , $10\,\mathrm{nm}$ , $0.1\,\mathrm{nm}$ , $1\,\mathrm{pm}$ ; namailah pita masing-masingnya; panjang gelombang sinar gama $1\,\mathrm{MeV}$ dan panjang gelombang latar kosmik $2.7\,\mathrm{K}$ (puncaknya dekat $160\,\mathrm{GHz}$ ).

Solusi

Solusi Latihan 13.2.

$300\,\mathrm{kHz}$ ( $1.2 \times 10^{-9}\,\mathrm{eV}$ , radio); $3\,\mathrm{GHz}$ ( $1.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{eV}$ , gelombang mikro); $30\,\mathrm{THz}$ ( $0.12\,\mathrm{eV}$ , inframerah); $545\,\mathrm{THz}$ ( $2.25\,\mathrm{eV}$ , tampak); $3 \times 10^{16}\,\mathrm{Hz}$ ( $124\,\mathrm{eV}$ , ultraungu ekstrem); $3 \times 10^{18}\,\mathrm{Hz}$ ( $12\,\mathrm{keV}$ , X); $3 \times 10^{20}\,\mathrm{Hz}$ ( $1.2\,\mathrm{MeV}$ , gama). $1\,\mathrm{MeV}$ : $1.2\,\mathrm{pm}$ ; $160\,\mathrm{GHz}$ : $1.9\,\mathrm{mm}$ .

Latihan 13.3 ★

Cahaya terpolarisasi linear berintensitas $I_0$ jatuh pada polarisator pada $30{}^{\circ}$ , lalu yang kedua pada $60{}^{\circ}$ dari yang pertama, lalu yang ketiga pada $90{}^{\circ}$ dari yang pertama: intensitasnya sesudah masing-masing. Hal yang sama dengan cahaya alami. Singkirkanlah yang tengah: apa yang berubah?

Solusi

Solusi Latihan 13.3.

$0.75I_0$ , $0.56I_0$ , $0.42I_0$ ; alami: $0.375$ , $0.28$ , $0.21$ . Tanpa yang tengah: $0.75 \times \cos^260^\circ = 0.19I_0$ (alami $0.125I_0$ ): polarisator antaranya meloloskan lebih banyak dengan memutar polarisasinya.

Latihan 13.4 ★

Periksalah bahwa $\vect E = E_0\cos(\omega t - kz)\,\vect e_x$ , $\vect B = (E_0/c)\cos(\omega t - kz)\,\vect e_y$ memenuhi keempat persamaan Maxwell dalam hampa ketika $\omega = kc$ . Persamaan mana yang menetapkan arah $\vect B$ , mana yang menetapkan besarnya? Apa yang terjadi jika orang mencoba $\vect E$ sepanjang $\vect e_z$ ?

Solusi

Solusi Latihan 13.4.

$\operatorname{div}\vect E = \partial_xE_x = 0$ , $\operatorname{div}\vect B = 0$ ; $\operatorname{\vect{curl}}\vect E = E_0k\sin(\omega t - kz)\,\vect e_y = -\partial_t\vect B$ jika dan hanya jika $\omega = kc$ — Faraday menetapkan arahnya ( $\vect e_y$ ) sekaligus besarnya ( $E_0/c$ ) $\vect B$ ; $\operatorname{\vect{curl}}\vect B = -(E_0k/c)\sin(\omega t - kz)\,\vect e_x = \mu_0\varepsilon_0\partial_t\vect E$ . $\vect E$ sepanjang $\vect e_z$ akan mempunyai $\operatorname{div} \vect E \ne 0$ tanpa muatan: mustahil — gelombangnya transversal.

Latihan 13.5 ★★

Cahaya melingkar. (a) Tuliskanlah medan sebuah gelombang terpolarisasi melingkar sepanjang $z$ lalu tunjukkanlah bahwa $|\vect E|$ tetap sementara arahnya berputar pada $\omega$ . (b) Tunjukkanlah bahwa jumlah gelombang melingkar kanan dan kiri yang beramplitudo sama terpolarisasi linear, sepanjang arah yang ditetapkan beda fasenya. (c) Menembus sebuah polarisator, apa yang diberikan cahaya melingkar, dan bergantungkah intensitasnya pada sudut polarisatornya? (d) Lalu bagaimana orang dapat membedakan cahaya melingkar dari cahaya alami?

Solusi

Solusi Latihan 13.5.

(a) $\vect E = E_0(\cos(\omega t - kz), \pm\sin(\omega t - kz), 0)$ : modulusnya $E_0$ , sudutnya $\pm(\omega t - kz)$ . (b) $(\cos, \sin) + (\cos, -\sin) = (2\cos, 0)$ : linear sepanjang $x$ ; beda fase $\varphi$ memutar arahnya sebesar $\varphi/2$ . (c) $I_0/2$ pada tiap sudutnya. (d) Sebuah keping seperempat gelombang mengubah cahaya melingkar menjadi cahaya linear, yang lalu dipadamkan sebuah polarisator; cahaya alami tetap tak terpolarisasi.

Latihan 13.6 ★★

Kuarsa mempunyai $n_s - n_f = 0.0091$ pada $589\,\mathrm{nm}$ . (a) Tebal sebuah keping seperempat gelombang berorde terendah; dan keping setengah gelombang. (b) Sebuah keping seperempat gelombang bagi $589\,\mathrm{nm}$ yang dipakai pada $450\,\mathrm{nm}$ : tunda fasenya (abaikanlah perubahan indeksnya); apa yang keluar bagi cahaya linear pada $45{}^{\circ}$ ? (c) Mengapa keping “berorde ganda” (setebal $e + m\lambda/(n_s - n_f)$ ) lebih peka terhadap panjang gelombang dan suhu? (d) Mengapa tebal sebuah keping harus dikendalikan sampai lebih baik daripada satu mikrometer?

Solusi

Solusi Latihan 13.6.

(a) $e = \lambda/4(n_s - n_f) = 16\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; setengah gelombangnya $32\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (b) $\delta = (\pi/2)(589/450) = 2.1\,\mathrm{rad}$ : cahaya elips. (c) $\delta \propto e/\lambda$ : sebuah keping berisi $m + \tfrac14$ gelombang mempunyai $\dd\delta/\dd\lambda$ dan $\dd\delta/\dd T$ yang lebih besar sebesar $4m + 1$ . (d) $\delta \propto e$ : satu mikrometer pada $16\,\text{µ}\mathrm{m}$ adalah $6\%$ dari $\pi/2$ .

Latihan 13.7 ★★

Keping setengah gelombang. (a) Tunjukkanlah bahwa cahaya linear bersudut $\alpha$ dari sumbu cepatnya keluar linear pada $-\alpha$ . (b) Karena itu keping yang diputar sebesar $\beta$ memutar polarisasinya sebesar $2\beta$ : putaran keping berapa yang mengubah polarisasi tegak menjadi mendatar? (c) Apa yang dilakukan keping setengah gelombang pada cahaya melingkar? (d) Di antara polarisator bersilang, sebuah keping setengah gelombang diputar perlahan: sketsalah intensitas yang diteruskan terhadap sudutnya.

Solusi

Solusi Latihan 13.7.

(a) Komponen lambatnya berubah tanda: $(\cos\alpha, \sin\alpha) \to (\cos\alpha, -\sin\alpha)$ . (b) Polarisasi bersudut $\alpha$ dari keping pada $\beta$ keluar pada $2\beta - \alpha$ : putarannya $2\beta$ ; $45{}^{\circ}$ . (c) Membalikkan arah putarnya. (d) $I = I_0\sin^22\beta$ : empat maksimum dan empat pemadaman tiap putaran.

Latihan 13.8 ★★

Sebanyak $N$ polarisator ditaruh berturut-turut, masing-masing terputar sebesar $\pi/2N$ dari yang sebelumnya, yang terakhir pada $90{}^{\circ}$ dari yang pertama. Tentukanlah penerusan cahaya terpolarisasi linear yang terjajar dengan yang pertama untuk $N = 1, 2, 5, 10, 100$ ; limit $N \to \infty$ (pakailah $\cos^{2N}(\pi/2N) \approx 1 - \pi^2/4N$ ). Berilah tanggapan: sebuah polarisasi dapat diputar $90{}^{\circ}$ tanpa rugi — oleh apa?

Solusi

Solusi Latihan 13.8.

$\cos^{2N}(\pi/2N)$ : $0$ , $0.25$ , $0.61$ , $0.78$ , $0.976$ , $\to 1$ . Sebuah medium yang terpuntir sinambung (aktivitas optik, sebuah sel kristal cair) memutar polarisasinya tanpa rugi.

Latihan 13.9 ★★

Polarisasi sebagian. Sebuah polarisator yang diputar di depan sebuah berkas memberi intensitas maksimum $I_{\max}$ dan minimum $I_{\min}$ . (a) Modelkanlah berkasnya sebagai cahaya alami $I_n$ ditambah cahaya terpolarisasi linear $I_p$ : nyatakanlah $I_{\max}$ dan $I_{\min}$ ; derajat polarisasinya $p = I_p/(I_n + I_p) = (I_{\max} - I_{\min})/(I_{\max} + I_{\min})$ . (b) Langit biru pada $90{}^{\circ}$ dari Matahari: $I_{\max}/I_{\min} = 5$ : berapa $p$ ? (c) Cahaya yang dipantulkan dari sebuah danau dekat sudut Brewster, $p = 0.9$ : seberapa banyak yang dapat disingkirkan kacamata surya berpolarisasi? (d) Dapatkah sebuah polarisator sendirian membedakan cahaya yang sebagian terpolarisasi linear dari yang sebagian melingkar? Apa yang diperlukan?

Solusi

Solusi Latihan 13.9.

(a) $I_{\max} = I_n/2 + I_p$ , $I_{\min} = I_n/2$ ; $p = I_p/(I_n + I_p) = (I_{\max} - I_{\min})/(I_{\max} + I_{\min})$ . (b) $p = 4/6 = 0.67$ . (c) Polarisator bersilangnya meloloskan $I_n/2 = 0.05I$ : $95\%$ tersingkirkan. (d) Tidak — keduanya memberi intensitas yang tetap; sebuah keping seperempat gelombang diperlukan.

Latihan 13.10 ★★★

Dua berkas bersilang. Dua gelombang PPH beramplitudo dan berfrekuensi sama, keduanya terpolarisasi sepanjang $\vect e_y$ , merambat dalam bidang $xz$ pada sudut $\pm\theta$ dari $z$ . (a) Tuliskanlah medan totalnya lalu tunjukkanlah bahwa ia sebuah gelombang yang berjalan sepanjang $z$ yang amplitudonya termodulasi sepanjang $x$ sebagai $\cos(kx\sin\theta)$ . (b) Jarak antara bidang gelapnya (rumbai interferensi); angkanya bagi $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$ , $\theta = 5{}^{\circ}$ , dan bagi $\theta = 90{}^{\circ}$ (berlawanan arah). (c) Kecepatan fase polanya sepanjang $z$ ; bandingkanlah dengan $c$ ; adakah sesuatu yang berjalan lebih cepat daripada cahaya? (d) Hitunglah vektor Poynting yang dirata-ratakan waktu lalu tunjukkanlah bahwa komponen $x$ -nya lenyap: energinya mengalir sepanjang $z$ dalam bidang terangnya.

Solusi

Solusi Latihan 13.10.

(a) Fasenya $\omega t - k(z\cos\theta \pm x\sin\theta)$ : jumlahnya $2E_0\cos(kx\sin\theta)\cos(\omega t - kz\cos\theta)\,\vect e_y$ . (b) $\Delta x = \lambda/2\sin\theta$ : $3.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ pada $5{}^{\circ}$ , $\lambda/2 = 316\,\mathrm{nm}$ pada $90{}^{\circ}$ . (c) $v_\varphi = c/\cos\theta > c$ : fase sebuah pola; energinya berjalan sepanjang $z$ dengan $c\cos\theta$ (dan tiap gelombangnya dengan $c$ ). (d) $B_z = (\sin\theta/c)(E_1 - E_2)$ , $E_y = E_1 + E_2$ : $\langle\Pi_x\rangle \propto \langle E_1^2 - E_2^2\rangle = 0$ ; $\Pi_z \propto \cos\theta(E_1 + E_2)^2$ , maksimum dalam bidang terangnya.

Latihan 13.11 ★★★

Piksel kristal cair. Sebuah sel nematik terpuntir di antara polarisator bersilang memutar polarisasi cahaya sebesar $90{}^{\circ}$ ketika tak ada tegangan yang dikenakan (penjajaran molekulnya terpuntir menembus selnya dan polarisasinya mengikutinya — diterima tanpa bukti), dan sama sekali tidak ketika beberapa volt meluruskannya. (a) Penerusan dalam kedua keadaannya: yang mana yang terang? (b) Sel yang sungguhan memutar sebesar $90^\circ \pm 5^\circ$ pada panjang gelombang rancangannya: nisbah kontras $I_{\text{terang}}/I_{\text{gelap}}$ jika keadaan gelapnya bocor lewat galat sisa $5{}^{\circ}$ . (c) Mengapa sel yang dirancang bagi $550\,\mathrm{nm}$ membocorkan sedikit biru dan merah dalam keadaan gelapnya (pikirkanlah putarannya sebagai tumpukan banyak penunda tipis serupa setengah gelombang)? (d) Sebuah piksel warna memakai tiga sel semacam itu dengan tapis; mengapa layarnya menjadi hitam menembus sebuah polarisator pada sudut tertentu, dan apa yang diberitahukan sudut itu kepada Anda?

Solusi

Solusi Latihan 13.11.

(a) Tanpa tegangan: terputar $90{}^{\circ}$ , lolos polarisator bersilangnya: terang; dengan tegangan: gelap. (b) Bocorannya $\sin^25^\circ = 7.6 \times 10^{-3}$ : kontrasnya $130$ . (c) Puntirannya bekerja sebagai tumpukan penunda dengan $\delta \propto 1/\lambda$ : tepat pada $550\,\mathrm{nm}$ , putarannya meleset di kedua ujung spektrumnya, yang lalu bocor — keadaan gelapnya tampak keunguan. (d) Ketika polarisator luarnya bersilang dengan polarisator keluaran layarnya; sudutnya adalah sumbu polarisasi layarnya.

Latihan 13.12 ★★★

Aktivitas optik. Dalam larutan gula kedua polarisasi melingkarnya berjalan dengan indeks yang sedikit berbeda $n_L$ dan $n_R$ . (a) Uraikanlah sebuah polarisasi linear menjadi komponen melingkar lalu tunjukkanlah bahwa sesudah panjang $\ell$ polarisasinya tetap linear tetapi terputar sebesar $\theta = \pi(n_L - n_R)\ell/\lambda$ . (b) Sebuah tabung $1\,\mathrm{dm}$ berisi larutan sukrosa $0.10\,\mathrm{g}/\mathrm{mL}$ memutar cahaya natrium sebesar $6.65{}^{\circ}$ : berapa $n_L - n_R$ ? (c) Sebuah sakarimeter mengukur $\theta$ sampai $0.01{}^{\circ}$ : ketelitian pada kepekatannya. (d) Efek yang sama dihasilkan dalam kaca oleh medan magnet sepanjang berkasnya (efek Faraday, $\theta = VB\ell$ dengan $V \approx 4\,\mathrm{rad}\,\mathrm{T}^{-1}\,\mathrm{m}^{-1}$ ): mengapa sebuah pemutar Faraday, tidak seperti tabung gula, tidak meniadakan putarannya ketika cahayanya dikirim balik, dan bagaimana itu membuatnya menjadi sebuah isolator?

Solusi

Solusi Latihan 13.12.

(a) $\vect e_x = \tfrac12[(\vect e_x + \iu\vect e_y) + (\vect e_x - \iu\vect e_y)]$ ; sesudah $\ell$ kedua komponennya berfase $k_L\ell$ dan $k_R\ell$ , lalu bergabung kembali menjadi cahaya linear pada sudut $(k_L - k_R)\ell/2 = \pi(n_L - n_R)\ell/\lambda$ . (b) $n_L - n_R = \theta\lambda/\pi\ell = 0.116 \times 589 \times 10^{-9}/0.314 = 2.2 \times 10^{-7}\,$ . (c) $0.01/6.65 \times 0.1 = 1.5 \times 10^{-4}\,\mathrm{g}/\mathrm{mL}$ . (d) Putaran Faradaynya ditetapkan $\vect B$ , bukan arah jalannya: pada perjalanan pulangnya ia menambah ( $45{}^{\circ}$ $+$ $45{}^{\circ}$ $=$ $90{}^{\circ}$ ), dan polarisator masukannya menghalangi cahaya yang kembali — sebuah isolator.

Kacamata surya berpolarisasi yang ditaruh di depan sebuah danau: silaunya, yang terpantul dekat sudut Brewster dan terpolarisasi mendatar, dipangkas sumbu penerusan tegak lensanya, dan dasar danaunya tampak.

13.5 Soal: Gelombang, layar dan layar surya

Soal 13.1

Soal akhir pekan — sebuah berkas laser yang dibongkar menjadi medannya, sebuah layar yang melukis dengan polarisasi, dan sebuah wahana antariksa yang berlayar di atas cahaya

Bagian I — Berkasnya. Sebuah laser helium–neon memancarkan $10\,\mathrm{mW}$ pada $632.8\,\mathrm{nm}$ dalam berkas bergaris tengah $1.0\,\mathrm{mm}$ , terpolarisasi linear sepanjang $x$ , berjalan sepanjang $z$ .

Frekuensi, bilangan gelombang, energi fotonnya; foton yang dipancarkan tiap sekon.
Intensitasnya; amplitudo $E_0$ dan $B_0$ ; tuliskanlah $\vect E(z, t)$ dan $\vect B(z, t)$ .
Rapat energinya (rerata) dan energi yang termuat dalam $1\,\mathrm{m}$ berkasnya; berapa panjang berkas yang dipancarkan dalam $1\,\mathrm{ns}$ , dan berapa panjang gelombang yang dimuatnya?
Vektor Poynting: nilai rerata dan ayunannya; momentum yang diemban tiap sekon; gaya pada sasaran hitam dan pada cermin.
Bandingkanlah $E_0$ dengan medan yang mengikat elektron dalam sebuah atom hidrogen ( $5 \times 10^{11}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ ) dan $B_0$ dengan medan Bumi ( $50\,\text{µ}\mathrm{T}$ ).
Tekanan radiasi pada sebuah penghenti berkas hitam, dalam pascal.
Sebuah elektron bebas yang ditaruh dalam berkasnya: amplitudo ayunan kecepatannya dalam medan listriknya (abaikanlah gaya magnetiknya lebih dulu); nisbah gaya magnetik terhadap gaya listrik padanya — mengapa gaya magnetiknya dapat diabaikan bagi materi dalam cahaya biasa?
Tuliskanlah medan berkas yang sama seandainya ia terpolarisasi melingkar; apa yang berubah pada intensitasnya, pada vektor Poyntingnya dan pada kebergantungan waktunya?
Berkasnya menembus sebuah polarisator yang sumbunya membuat $30{}^{\circ}$ dengan $x$ : daya yang diteruskan; lalu menembus polarisator kedua yang bersilang dengan yang pertama: dayanya; sisipkanlah di antaranya yang ketiga pada $45{}^{\circ}$ dari yang pertama: dayanya.

Bagian II — Layarnya. Sebuah layar kristal cair: lampu latar (cahaya alami), sebuah polarisator, sebuah sel, sebuah polarisator bersilang. Tanpa tegangan selnya memutar polarisasinya sebesar $90{}^{\circ}$ ; dengan tegangan ia tak melakukan apa pun.

Bagian intensitas lampu latarnya yang diteruskan dalam keadaan terang (polarisator sempurna); dalam keadaan gelap.
Sebuah tegangan antara membuat selnya berperilaku sebagai penunda berfase $\delta$ antara sumbunya, yang berada pada $45{}^{\circ}$ terhadap polarisatornya (tanpa putaran): tunjukkanlah bahwa penerusannya $\sin^2(\delta/2)$ — yaitu skala kelabunya.
Dilihat menembus sebuah polarisator yang diputar ke $90{}^{\circ}$ dari polarisator keluaran layarnya, apa yang terlihat? Pada $45{}^{\circ}$ ?
Sebuah keping seperempat gelombang yang dilekatkan pada layarnya pada $45{}^{\circ}$ terhadap polarisatornya membuat keluarannya melingkar: apa untungnya bagi penonton yang mengenakan kacamata surya berpolarisasi?
Polarisator yang sempurna akan meloloskan separuh lampu latarnya dalam keadaan terang; lembaran yang sungguhan meneruskan $85\%$ dari yang ideal masing-masing, dan tapis warna sebuah piksel meloloskan sepertiga cahayanya: bagian daya lampu latarnya yang mencapai penontonnya dalam warna putih; sebutkanlah dua tempat yang di sana sebagian besar cahayanya hilang.
Lembaran bersilang yang sungguhan membocorkan $0.1\%$ cahayanya: nisbah kontras layarnya (terang dibagi gelap) dalam ruang gelap.
“Polarisator melingkar” para juru foto adalah sebuah polarisator linear yang diikuti keping seperempat gelombang pada $45{}^{\circ}$ : apa yang diterima kameranya, dan mengapa itu lebih baik bagi pembelah berkas yang peka polarisasi pada fokus otomatisnya daripada cahaya linear?
Mengapa kacamata bioskop tiga dimensi memakai polarisasi melingkar alih-alih polarisasi linear? Apa yang terjadi pada rembesan silang antara kedua matanya jika penontonnya memiringkan kepalanya $20{}^{\circ}$ dengan kacamata linear (intensitas yang bocor ke mata yang salah)?

Bagian III — Layar suryanya. Sebuah layar surya seluas $S = 1000\,\mathrm{m}^{2}$ dan bermassa total $m = 50\,\mathrm{kg}$ , yang memantul sempurna, pada $D = 1.0\,\mathrm{au} = 1.5 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ dari Matahari ( $I = 1.36\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ ; gravitasi Matahari $5.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ di sana).

Gaya radiasi ketika layarnya menghadap Matahari; percepatannya; nisbahnya terhadap gravitasi matahari.
Layarnya dimiringkan sebesar $\theta$ dari menghadap Matahari: tunjukkanlah bahwa gayanya normal terhadap layarnya dan sebanding dengan $\cos^2\theta$ (daya yang tercegat $\times\cos\theta$ , perubahan momentum sepanjang normalnya $\times\cos\theta$ ).
Untuk menyusur spiral ke luar layarnya menjaga sebuah komponen gaya sepanjang kecepatan orbitnya: untuk $\theta = 35{}^{\circ}$ , tentukanlah percepatan tangensialnya; kelajuan yang diperoleh tiap tahun; bandingkanlah dengan kelajuan orbit Bumi ( $30\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ).
Mengapa layar yang sama, dekat Merkurius ( $D = 0.39\,\mathrm{au}$ ), memperoleh gaya $6.6$ kali lipat, dan mengapa nisbahnya terhadap gravitasi tak berubah?
Selaput layarnya adalah plastik beralumunium setebal $2\,\text{µ}\mathrm{m}$ : berapa suhunya dalam cahaya matahari jika ia menyerap $10\%$ lalu memancar dari kedua mukanya sebagai benda hitam ( $\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}$ ).
Waktu yang diperlukan untuk memperoleh $1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ sambil menghadap Matahari; apa yang akan dicapai layar hitam (yang menyerap) berukuran sama?
Periksalah momentum cahayanya dengan foton: jumlah foton yang menumbuk layarnya tiap sekon (rata-rata $2\,\mathrm{eV}$ ) dan momentum $hf/c$ masing-masingnya; dapatkanlah kembali gayanya.
Rangkumlah: ketiga besaran yang diemban gelombangnya (energi, momentum, polarisasi) dan perangkat soal ini yang memanfaatkan masing-masingnya.

Solusi

Solusi Soal 13.1.

1. $f = 4.74 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ , $k = 9.9 \times 10^{6}\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$ , $hf = 3.1 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} = 1.96\,\mathrm{eV}$ ; $3.2 \times 10^{16}$ foton tiap sekon.

2. $I = 0.01/\pi(0.5 \times 10^{-3})^2 = 1.3 \times 10^{4}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; $E_0 = 3.1\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ , $B_0 = 10\,\text{µ}\mathrm{T}$ ; $\vect E = E_0\cos(\omega t - kz)\vect e_x$ , $\vect B = (E_0/c)\cos(\omega t - kz)\vect e_y$ .

3. $u = I/c = 4.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ ; $P/c = 3.3 \times 10^{-11}\,\mathrm{J}$ tiap meter berkasnya; $30\,\mathrm{cm}$ , $4.7 \times 10^5$ panjang gelombang.

4. $\langle\Pi\rangle = I$ sepanjang $z$ , berayun sebagai $\cos^2$ pada $2f$ ; $P/c = 3.3 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}$ pada yang hitam, $6.7 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}$ pada cermin.

5. $E_0/5 \times 10^{11} = 6 \times 10^{-9}$ ; $B_0$ adalah seperlima medan Bumi.

6. $I/c = 4.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}$ .

7. $v_0 = eE_0/m\omega = 0.18\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $F_m/F_e = v_0B_0/E_0 = v_0/c = 6 \times 10^{-10}$ : gaya magnetik pada muatan yang lambat dapat diabaikan.

8. $\vect E = E_0[\cos(\omega t - kz)\vect e_x \pm \sin(\omega t - kz)\vect e_y]$ dengan $E_0 = 2.2\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ (daya sama), $\vect B = \vect e_z\wedge\vect E/c$ : intensitasnya tak berubah tetapi $\Pi = \varepsilon_0cE_0^2$ kini tetap menurut waktu — aliran energinya tak lagi berdenyut.

9. $10\cos^230^\circ = 7.5\,\mathrm{mW}$ ; $0$ ; $7.5 \times \cos^445^\circ = 1.9\,\mathrm{mW}$ .

10. Terang: $\tfrac12$ ; gelap: $0$ .

11. Sesudah polarisator pertamanya, komponennya sama besar pada kedua sumbunya; sesudah penundanya, fasenya $\delta$ di antaranya; proyeksinya pada arah bersilangnya $\propto(1 - \eu^{\iu\delta})/2$ : $I \propto \sin^2(\delta/2)$ .

12. Hitam; separuh intensitasnya.

13. Keluaran melingkarnya tampak sama terangnya menembus kacamata surya berpolarisasi pada sudut kepala berapa pun.

14. $\tfrac12 \times 0.85 \times 0.85 \times \tfrac13 = 12\%$ ; polarisator pertamanya (separuh terserap) dan tapis warnanya (dua pertiga).

15. Terangnya $0.36$ , gelapnya $\tfrac12 \times 10^{-3}$ : kontrasnya $\approx 700$ .

16. Cahaya melingkar, berapa pun putaran tapisnya: pembelah yang peka polarisasi menerima daya yang sama betapa pun tapisnya diputar.

17. Polarisasi melingkar menjaga arah putarnya ketika kepalanya miring; kacamata linear yang dimiringkan $20{}^{\circ}$ membocorkan $\sin^220^\circ = 12\%$ ke mata yang salah.

18. $F = 2IS/c = 9.1\,\mathrm{mN}$ ; $a = 1.8 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $3\%$ gravitasi matahari.

19. Daya yang tercegat $\propto\cos\theta$ , perubahan momentum yang terpantul sepanjang normalnya $2p\cos\theta$ : $F = (2IS/c)\cos^2\theta$ sepanjang normalnya.

20. $F = 9.1 \times \cos^235^\circ = 6.1\,\mathrm{mN}$ , bagian tangensialnya $F\sin35^\circ = 3.5\,\mathrm{mN}$ : $a_t = 7 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $2.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ tiap tahun — $7\%$ kelajuan orbitnya.

21. $(1/0.39)^2 = 6.6$ ; gravitasinya berskala dengan cara yang sama.

22. $0.1 \times 1360 = 2\sigma T^4$ : $T = 190\,\mathrm{K}$ — cerminnya tetap dingin.

23. $1000/1.8 \times 10^{-4} = 5.6 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$ , dua bulan; layar hitam memperoleh separuh gayanya.

24. $1.36 \times 10^6/3.2 \times 10^{-19} = 4.3 \times 10^{21}\,$ foton tiap sekon, masing-masing dengan $hf/c = 1.1 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; terpantul: $2Np = 9.1\,\mathrm{mN}$ .

25. Energi ( $u$ , $I$ ): penghenti berkasnya dan fotodiodanya. Momentum ( $I/c$ ): layar suryanya. Polarisasi (Malus, kepingnya): layarnya dan polarisatornya.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Keadaan polarisasi

Lihat semua 393 istilah di glosarium