Fisika Universitas — Tahun 2 · Bachelor Year 2

4Aliran Kental

Miringkanlah sebuah stoples madu dan isinya menuang sebagai pita kental yang lambat; miringkanlah sebuah stoples air dan isinya lenyap. Tariklah sebuah sendok menembus keduanya: madunya melawan, dan terus melawan pada kelajuan berapa pun; airnya hampir tak menghiraukan sampai Anda bergerak cepat, lalu ia berpusar. Bedanya adalah kekentalan — gesekan dalam sebuah fluida — dan pergulatan antara kekentalan dan kelembaman, yang dirangkum dalam satu bilangan, bilangan Reynolds, memutuskan apakah sebuah aliran merayap dalam lapisan yang tertib atau bergolak menjadi turbulensi. Bab ini menambahkan gaya kental pada persamaan Euler, menyelesaikan dua aliran laminar yang dipakai setiap insinyur, dan menjelaskan mengapa, pada bilangan Reynolds tinggi, kekentalan bersembunyi dalam lapisan tipis di dinding namun tetap merenggut sebagian besar bahan bakar setiap mobil, kapal dan pesawat terbang.

Madu menuang sebagai pita tipis dan mantap yang menggelung ketika mendarat: kekentalan sepuluh ribu kali kekentalan air membuat kelembaman tak berarti — sebuah aliran merayap.

4.1 Kekentalan dan persamaan Navier–Stokes

Definisi 4.1 (Kekentalan Newton)

Dalam aliran geser bidang $\vect v = v_x(y)\,\vect e_x$ , fluida di atas permukaan $y =$ tetap mengerahkan pada fluida di bawahnya (lewat unsur permukaan $\dd S$ ) gaya tangensial

\dd\vect F = \eta\,\frac{\dd v_x}{\dd y}\,\dd S\;\vect e_x ,

yang menyeret lapisan yang lebih lambat ke depan dan sebaliknya terseret ke belakang. Yang disebut tegangan geser adalah $\tau = \eta\,\dd v_x/\dd y$ ; koefisien $\eta$ (satuan $\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ) adalah kekentalan dinamik fluidanya, dan $\nu = \eta/\rho$ ( $\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ) kekentalan kinematiknya. Fluida yang $\eta$ -nya tidak bergantung pada laju gesernya bersifat Newton: air, udara, minyak, alkohol; darah, cat, saus tomat dan lelehan polimer tidak. Orde besarnya pada $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ : udara $\eta = 1.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ( $\nu = 1.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ), air $1.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ( $\nu = 1.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ), minyak zaitun $0.08\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ , gliserol $1.5\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ , madu $\sim10\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ . Zat cair menjadi lebih encer ketika dipanaskan, gas menjadi lebih kental.

Proposisi 4.2 (Rapat gaya kental; syarat tanpa selip)

Dalam aliran geser bidang, gaya kental total pada sebuah lempeng fluida antara $y$ dan $y + \dd y$ adalah, tiap satuan volume, $\eta\,\dd^2v_x/\dd y^2$ : kekentalan bekerja sebagai rapat gaya volume $\eta\,\Delta\vect v$ (dengan Laplacian diambil komponen demi komponen), sebuah hasil yang berlaku bagi sembarang aliran tak termampatkan. Di dinding padat fluidanya melekat: kecepatannya sama dengan kecepatan dindingnya (syarat tanpa selip), itulah sebabnya debu tinggal pada bilah kipas dan sebuah dinding merasakan seretan kental.

Bukti. Lempengnya ditarik oleh $\eta\,v_x'(y + \dd y)\dd S$ dari atas dan oleh $-\eta\,v_x'(y)\dd S$ dari bawah: totalnya $\eta v_x''\,\dd y\,\dd S$ . Bentuk umumnya diterima tanpa bukti (ia menyusul dari menuliskan tegangannya sebagai fungsi linear simetrik gradien kecepatannya). Syarat tanpa selipnya bersifat eksperimental. ∎

Teorema 4.3 (Persamaan Navier–Stokes)

Fluida Newton tak termampatkan menuruti

\rho\Bigl(\frac{\partial\vect v}{\partial t} + (\vect v\cdot\operatorname{\vect{grad}}) \vect v\Bigr) = -\operatorname{\vect{grad}}P + \rho\vect g + \eta\,\Delta\vect v , \qquad \operatorname{div}\vect v = 0 ,

dengan syarat tanpa selip pada setiap dinding. Persamaan Euler adalah hal khusus $\eta = 0$ .

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Kiri: aliran Couette bidang antara pelat tetap dan pelat yang bergerak dengan U — profil linear, tegangan geser yang sama pada setiap lapisan. Kanan: gaya kental pada sebuah lempeng fluida; keduanya saling meniadakan kecuali jika profil kecepatannya melengkung. — Kiri: aliran Couette bidang antara pelat tetap dan pelat yang bergerak dengan $U$ — profil linear, tegangan geser yang sama pada setiap lapisan. Kanan: gaya kental pada sebuah lempeng fluida; keduanya saling meniadakan kecuali jika profil kecepatannya melengkung.

Contoh 4.4 (Tegangan geser di atas meja)

Selaput minyak $0.1\,\mathrm{mm}$ ( $\eta = 0.1\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ) antara sebuah pelat dan sebuah meja, dengan pelatnya meluncur pada $1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $\tau = \eta U/h = 1\,\mathrm{kPa}$ , yaitu gaya $100\,\mathrm{N}$ pada sepersepuluh meter persegi — asas bantalan berpelumas, tempat seretan kental menggantikan gesekan kering yang seratus kali lebih besar. Madu pada sendok, $10\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ , setebal $1\,\mathrm{mm}$ , yang meniris pada $1\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ : $\tau = 10\,\mathrm{Pa}$ , tepat berat madu setebal satu milimeter tiap satuan luas — itulah sebabnya ia meniris pada kelajuan itu.

4.2 Bilangan Reynolds

Definisi 4.5 (Bilangan Reynolds)

Untuk aliran berkelajuan ciri $U$ dan berpanjang ciri $L$ , yang disebut bilangan Reynolds adalah

\mathrm{Re} = \frac{\rho UL}{\eta} = \frac{UL}{\nu}

yaitu nisbah orde besar suku kelembaman $\rho(\vect v\cdot\operatorname{\vect{grad}})\vect v \sim \rho U^2/L$ dan suku kental $\eta\Delta\vect v \sim \eta U/L^2$ dalam persamaan Navier–Stokes. Pada $\mathrm{Re} \ll 1$ kelembamannya dapat diabaikan dan alirannya merayap (kental, terbalikkan, mulus); pada $\mathrm{Re} \gg 1$ kekentalannya dapat diabaikan kecuali dekat dinding dan alirannya adalah aliran fluida sempurna — sampai, di atas ambang berorde $10^3$ (sekitar $2000$ sampai $3000$ dalam pipa, berdasarkan diameternya), ia menjadi turbulen: tak tunak, kalut, penuh olakan pada setiap skala. Di antara keduanya, sebuah aliran bersifat laminar: tunak dan berlapis.

Contoh 4.6 (Bilangan Reynolds aliran sehari-hari)

Sebuah bakteri ( $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $30\,\text{µ}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , dalam air): $\mathrm{Re} = 3 \times 10^{-5}$ — ia hidup dalam dunia tanpa kelembaman, tempat menghentikan flagelanya menghentikannya dalam jarak sebutir atom. Darah dalam kapiler: $10^{-3}$ ; sebutir debu yang jatuh: $10^{-2}$ ; ikan mas: $10^3$ ; perenang: $10^6$ ; mobil pada $30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $4\,\mathrm{m}$ ): $8 \times 10^6$ ; pesawat penumpang: $10^8$ ; Arus Teluk: $10^{11}$ . Dua aliran dengan geometri yang sama dan bilangan Reynolds yang sama bersifat serupa: itulah yang memungkinkan model kapal $1\,\mathrm{m}$ diuji dalam kolam tarik, atau sebuah pesawat dalam terowongan angin.

4.3 Aliran laminar: Couette, Poiseuille, Stokes

Proposisi 4.7 (Aliran Poiseuille dalam pipa)

Dalam pipa tabung mendatar berjari-jari $R$ dan sepanjang $L$ , yang digerakkan beda tekanan $\Delta P = P_1 - P_2$ antara kedua ujungnya, aliran laminar tunaknya adalah

v(r) = \frac{\Delta P}{4\eta L}\,(R^2 - r^2) , \qquad D_V = \frac{\pi R^4}{8\eta L}\,\Delta P :

yaitu profil parabolik yang maksimum pada sumbunya, dengan kelajuan rata-rata $\langle v\rangle = v_{\max}/2$ . Debitnya sebanding dengan penurunan tekanannya (hukum Poiseuille) dengan hambatan hidraulik $R_h = \Delta P/D_V = 8\eta L/\pi R^4$ — dan dengan pangkat empat dari jari-jarinya. Tegangan geser dindingnya adalah $\tau_w = \Delta P\,R/2L = 4\eta\langle v \rangle/R$ . Sahih selama $\mathrm{Re} = 2R\langle v\rangle/\nu \lesssim 2000$ .

Bukti. Tunak, $\vect v = v(r)\vect e_z$ (jadi suku konvektifnya lenyap: $\vect v \cdot\operatorname{\vect{grad}}$ bekerja sepanjang $z$ , dan sepanjang itu tak ada yang berubah). Navier–Stokes sepanjang $z$ : $0 = -\partial_zP + \eta\Delta v$ , dan secara radial $\partial_rP = 0$ : $P$ hanya bergantung pada $z$ , $\Delta v$ hanya pada $r$ , jadi kedua ruasnya sama dengan sebuah tetapan, $\partial_zP = -\Delta P/L$ . Dalam koordinat tabung $\Delta v = \frac1r\frac{\dd}{\dd r}\bigl(r\frac{\dd v}{\dd r}\bigr)$ (dinyatakan tanpa bukti; ia adalah neraca gaya kental pada cangkang tabung, $2\pi rL\,\eta v'$ di $r$ dan di $r + \dd r$ ). Mengintegralkan dua kali dengan $v$ berhingga pada sumbunya dan $v(R) = 0$ memberi parabolanya; $D_V = \int_0^Rv\,2\pi r\,\dd r$ . Tegangan dindingnya adalah $-\eta v'(R)$ ; setara dengan itu, gaya tekanan $\pi R^2\Delta P$ mengimbangi gesekan dindingnya $2\pi RL\tau_w$ . ∎

Kiri: aliran Poiseuille — profil parabolik dalam sebuah pipa, yang digerakkan penurunan tekanan P_1 - P_2. Kanan: neraca gaya pada cangkang tabung fluida: beda tekanan pada kedua ujungnya diimbangi tegangan kental pada permukaan dalam dan luarnya. — Kiri: aliran Poiseuille — profil parabolik dalam sebuah pipa, yang digerakkan penurunan tekanan $P_1 - P_2$ . Kanan: neraca gaya pada cangkang tabung fluida: beda tekanan pada kedua ujungnya diimbangi tegangan kental pada permukaan dalam dan luarnya.

Contoh 4.8 (Pangkat empat)

Jarum suntik berdiameter dalam $0.4\,\mathrm{mm}$ dan sepanjang $3\,\mathrm{cm}$ , berisi air, dengan tekanan ibu jari $20\,\mathrm{kPa}$ : $D_V = \pi(2 \times 10^{-4})^4 \times 2 \times 10^4/(8 \times 10^{-3} \times 0.03) = 0.42\,\mathrm{mL}/\mathrm{s}$ ; jarum dua kali lebih lebar memberi enam belas kali lipat. Arteri yang menyempit oleh plak menjadi $70\%$ jari-jarinya menawarkan hambatan $(1/0.7)^4 = 4.2$ kali lipat: tubuhnya mengimbangi dengan menaikkan tekanan di hulunya, dan itu sebagian dari sebab aterosklerosis dan hipertensi berjalan bersama.

Proposisi 4.9 (Seretan Stokes)

Sebuah bola berjari-jari $R$ yang bergerak dengan kelajuan $v$ menembus fluida pada $\mathrm{Re} = 2\rho vR/\eta \ll 1$ merasakan seretan

F = 6\pi\eta Rv ,

yang berlawanan arah dengan kecepatannya. Bola bermassa jenis $\rho_s$ yang jatuh dalam fluida bermassa jenis $\rho$ mencapai laju terminal $v_\infty = \dfrac{2R^2(\rho_s - \rho)g}{9\eta}$ — hukum pengendapan, mesin pemusing, dan tetesan minyak Millikan.

Bukti. Seretannya diterima tanpa bukti (ia penyelesaian eksak persamaan aliran merayap di sekeliling sebuah bola, dua pertiganya gesekan kental, sepertiganya tekanan). Laju terminalnya: berat dikurangi gaya apung, $\tfrac43\pi R^3(\rho_s - \rho)g$ , sama dengan seretannya; periksalah selalu $\mathrm{Re} \ll 1$ sesudahnya. ∎

Contoh 4.10 (Kabut, hujan dan debu)

Sebutir kabut berdiameter $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ di udara jatuh dengan $2 \times (5 \times 10^{-6})^2 \times 10^4/(9 \times 1.8 \times 10^{-5}) = 3\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ ( $\mathrm{Re} = 2 \times 10^{-3}$ ): embusan naik yang paling lemah pun menahannya tetap melayang, itulah sebabnya awan mengapung. Butir hujan $1\,\mathrm{mm}$ akan memberi $30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dan $\mathrm{Re} \approx 2000$ : Stokes tak lagi berlaku, dan seretan kuadratik bagian berikutnya memberi $4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ yang teramati. Sebutir debu $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ ( $\rho_s = 2500\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) mengendap dengan $8\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ , satu meter dalam dua menit — debu yang lebih halus melayang berjam-jam.

4.4 Bilangan Reynolds tinggi: lapisan batas dan seretan

Proposisi 4.11 (Lapisan batas)

Pada bilangan Reynolds tinggi aliran di sekeliling sebuah benda adalah aliran fluida sempurna di mana-mana kecuali dalam lapisan batas tipis sepanjang dindingnya, yang di dalamnya kecepatannya turun dari nilai luarnya $U$ ke nol (tanpa selip). Sepanjang pelat datar tebalnya tumbuh sebagai

\delta(x) \sim \sqrt{\frac{\nu x}{U}} = \frac{x}{\sqrt{\mathrm{Re}_x}} , \qquad \mathrm{Re}_x = \frac{Ux}{\nu} ,

dengan $x$ jarak dari tepi depannya; lapisannya sendiri menjadi turbulen di atas $\mathrm{Re}_x \sim 5 \times 10^5$ . Gesekan kental pada dindingnya, dan pemisahan lapisannya di belakang benda tumpul (yang meninggalkan olakan turbulen bertekanan rendah), adalah dua sumber seretan.

Bukti. Orde besarnya: sebuah partikel fluida menghabiskan waktu $x/U$ untuk menyusuri pelatnya, dan selama itu pengaruh dindingnya berdifusi ke dalam fluidanya — suku kental $\nu\,\partial^2v/\partial y^2$ adalah difusi momentum berdifusivitas $\nu$ , yang mencapai jarak $\sqrt{\nu t}$ dalam waktu $t$ (Bab 24). Jadi $\delta \sim \sqrt{\nu x /U}$ . Teori lengkapnya (Prandtl) diterima tanpa bukti. ∎

Proposisi 4.12 (Seretan pada bilangan Reynolds tinggi)

Seretan pada benda berluas muka $S$ yang bergerak dengan $v$ menembus sebuah fluida dituliskan

F = \tfrac12\rho v^2\,S\,C_x ,

dengan koefisien hambat $C_x$ yang bergantung pada bentuknya dan pada $\mathrm{Re}$ . Untuk bola, $C_x = 24/\mathrm{Re}$ pada $\mathrm{Re} \ll 1$ (Stokes, dengan $\mathrm{Re}$ berdasarkan diameternya), lalu sekitar $0.4$ – $0.5$ , hampir tetap, dari $\mathrm{Re} \approx 10^3$ sampai $2 \times 10^5$ , tempat ia turun mendadak menjadi sekitar $0.1$ (krisis hambatan: lapisan batasnya menjadi turbulen, melekat lebih lama pada permukaannya dan olakannya menyusut — lekukan pada bola golf memicunya lebih awal). Benda bergaris ramping mempunyai $C_x \approx 0.05$ ; mobil $0.3$ ; pengendara sepeda $0.9$ ; pelat datar yang menghadap alirannya $1.2$ . Daya yang diperlukan untuk bergerak dengan $v$ adalah $Fv \propto v^3$ .

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Kiri: koefisien hambat sebuah bola terhadap bilangan Reynolds (skala logaritmik): hukum Stokes pada Re rendah, dataran dekat 0.45, dan krisis hambatan dekat Re = 2 × 105. Kanan: lapisan batas yang menebal sepanjang pelat datar; di luarnya alirannya adalah aliran fluida sempurna. — Kiri: koefisien hambat sebuah bola terhadap bilangan Reynolds (skala logaritmik): hukum Stokes pada $\mathrm{Re}$ rendah, dataran dekat $0.45$ , dan krisis hambatan dekat $\mathrm{Re} = 2 \times 10^5$ . Kanan: lapisan batas yang menebal sepanjang pelat datar; di luarnya alirannya adalah aliran fluida sempurna.

Contoh 4.13 (Pengendara sepeda, sebuah mobil)

Seorang pengendara sepeda ( $SC_x = 0.35\,\mathrm{m}^{2}$ ) pada $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $F = 0.5 \times 1.2 \times 100 \times 0.35 = 21\,\mathrm{N}$ , $P = 210\,\mathrm{W}$ — upaya yang berkelanjutan; pada $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $54\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ) ia akan menuntut $710\,\mathrm{W}$ , itulah sebabnya pelari cepat berlindung di belakang. Sebuah mobil ( $SC_x = 0.7\,\mathrm{m}^{2}$ ) pada $130\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ : $550\,\mathrm{N}$ , $20\,\mathrm{kW}$ melawan udara saja — konsumsi bahan bakar pada kelajuan jalan tol sebagian besar berupa seretan.

Catatan 4.14 (Tegangan permukaan)

Gaya kedua bersemayam di batas sebuah zat cair: permukaan bebasnya berperilaku seperti selaput teregang bertegangan $\gamma$ ( $\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ; air $0.072\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ), sebab molekul permukaannya kehilangan separuh tetangganya. Tekanan di dalam tetesan berjari-jari $R$ melampaui tekanan luarnya sebesar tekanan Laplace $2\gamma/R$ ( $1.4\,\mathrm{kPa}$ dalam tetesan $0.1\,\mathrm{mm}$ , $14\,\mathrm{bar}$ dalam tetesan $10\,\mathrm{nm}$ ); tegangan permukaan mengalahkan gravitasi di bawah panjang kapiler $\sqrt{\gamma/\rho g} = 2.7\,\mathrm{mm}$ bagi air — yaitu ukuran tetes embun, meniskus dalam gelas, dan kenaikan dalam pipa kapiler ( $h = 2\gamma/\rho gr$ , Jurin). Itulah sebabnya serangga kecil berjalan di atas air, mengapa bulu kuas melekat satu sama lain ketika basah, dan mengapa pancaran zat cair pecah menjadi tetesan.

Metode 4.15 (Rezim yang mana?)

Sebelum perhitungan aliran kental mana pun, hitunglah $\mathrm{Re}$ . $\mathrm{Re} \ll 1$ : Stokes dan aliran merayap, seretan $\propto v$ , penurunan tekanan $\propto$ debit. $\mathrm{Re}$ sampai $\sim\!2000$ dalam pipa: laminar, Poiseuille. Di atasnya: turbulen — Poiseuille meremehkan ruginya secara parah; pakailah hukum empiris $\Delta P = \lambda(L/D)\,\tfrac12\rho\langle v\rangle^2$ dengan $\lambda \approx 0.3/\mathrm{Re}^{1/4}$ bagi pipa licin, dan $F = \tfrac12\rho v^2SC_x$ bagi benda. Dalam setiap hal, periksalah sesudahnya bahwa $\mathrm{Re}$ yang dihitung dari jawabannya selaras dengan rezim yang diandaikan.

4.5 Latihan

Latihan 4.1 ★

Sebuah pelat $0.50\,\mathrm{m}^{2}$ meluncur dengan $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ di atas selaput minyak $0.20\,\mathrm{mm}$ ( $\eta = 0.25\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ). Tentukanlah tegangan geser, gaya pada pelatnya, daya yang dilesapkan; bandingkanlah dengan gesekan kering ( $f = 0.3$ ) jika pelatnya berbobot $10\,\mathrm{kg}$ .

Solusi

Solusi Latihan 4.1.

$\tau = \eta U/h = 0.25 \times 2/2 \times 10^{-4} = 2.5\,\mathrm{kPa}$ ; $F = 1.25\,\mathrm{kN}$ ; $P = Fv = 2.5\,\mathrm{kW}$ . Gesekan kering: $0.3 \times 98 = 29\,\mathrm{N}$ — di sini selaput tipis yang tergeser cepat itu melawan jauh lebih kuat; seretan kentalnya tumbuh sebagai $U/h$ , jadi pelumasan menguntungkan pada kelajuan lebih rendah dan dengan selaput lebih tebal (dan ia tak pernah macet).

Latihan 4.2 ★

Tentukanlah bilangan Reynolds: (a) bakteri $2\,\text{µ}\mathrm{m}$ pada $30\,\text{µ}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dalam air; (b) perenang ( $1.8\,\mathrm{m}$ , $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ); (c) mobil ( $4\,\mathrm{m}$ , $30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) di udara; (d) darah dalam aorta ( $2.5\,\mathrm{cm}$ , $0.33\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\nu = 3.3 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ); (e) minyak ( $\eta = 0.1\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ , $\rho = 900\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) pada $0.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dalam pipa $1\,\mathrm{cm}$ . Rezim masing-masingnya.

Solusi

Solusi Latihan 4.2.

(a) $2 \times 10^{-6} \times 3 \times 10^{-5}/10^{-6} = 6 \times 10^{-5}$ , merayap. (b) $1.8 \times 1.5/10^{-6} = 2.7 \times 10^6$ , turbulen. (c) $4 \times 30/1.5 \times 10^{-5} = 8 \times 10^6$ , turbulen. (d) $0.025 \times 0.33/3.3 \times 10^{-6} = 2500$ , laminar di ambang. (e) $900 \times 0.5 \times 0.01/0.1 = 45$ , laminar.

Latihan 4.3 ★

Air didorong menembus jarum $0.40\,\mathrm{mm}$ (diameter dalam) sepanjang $3.0\,\mathrm{cm}$ oleh $20\,\mathrm{kPa}$ . Tentukanlah debitnya; waktu untuk menyuntikkan $5\,\mathrm{mL}$ ; kelajuan maksimum dan bilangan Reynolds; tegangan geser dindingnya. Bagaimana dengan jarum $0.80\,\mathrm{mm}$ ?

Solusi

Solusi Latihan 4.3.

$D_V = \pi R^4\Delta P/8\eta L = \pi(2 \times 10^{-4})^4 \times 2 \times 10^4/(8 \times 10^{-3} \times 0.03) = 0.42\,\mathrm{mL}/\mathrm{s}$ ; $12\,\mathrm{s}$ bagi $5\,\mathrm{mL}$ . $v_{\max} = \Delta PR^2/ 4\eta L = 6.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\langle v\rangle = 3.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\mathrm{Re} = 2R\langle v \rangle/\nu = 1300$ : laminar. $\tau_w = \Delta PR/2L = 67\,\mathrm{Pa}$ . Pada $0.8\,\mathrm{mm}$ : enam belas kali debitnya, $6.7\,\mathrm{mL}/\mathrm{s}$ — tetapi $\mathrm{Re} \approx 10^4$ : alirannya menjadi turbulen dan untungnya berkurang.

Latihan 4.4 ★

Laju terminal di udara ( $\eta = 1.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ) bagi (a) butir serbuk sari $20\,\text{µ}\mathrm{m}$ ( $\rho_s = 1100\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ), (b) partikel asap $2\,\text{µ}\mathrm{m}$ ( $\rho_s = 2000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ), (c) tetes gerimis $0.2\,\mathrm{mm}$ . Periksalah $\mathrm{Re}$ dalam tiap hal; waktu untuk jatuh $1\,\mathrm{m}$ .

Solusi

Solusi Latihan 4.4.

$v_\infty = 2R^2\Delta\rho\,g/9\eta$ . (a) $1.3\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ , $\mathrm{Re} = 0.02$ , $75\,\mathrm{s}$ tiap meter. (b) $0.24\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ , $\mathrm{Re} = 3 \times 10^{-5}$ , $70\,\mathrm{min}$ tiap meter. (c) $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ tetapi $\mathrm{Re} = 16$ : Stokes melebih-lebihkannya (kelajuan sebenarnya sekitar $0.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ), sekitar satu sekon tiap meter.

Latihan 4.5 ★★

Sebuah pipa induk air berdiameter $30\,\mathrm{cm}$ mengalirkan $0.10\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ sepanjang $1.0\,\mathrm{km}$ . (a) Kelajuan rata-rata dan bilangan Reynolds. (b) Penurunan tekanan seandainya hukum Poiseuille berlaku. (c) Penurunan sesungguhnya dengan $\lambda = 0.3/\mathrm{Re}^{1/4}$ ; nisbahnya terhadap (b); daya pemompaannya. (d) Aliran yang sama dalam dua pipa induk $21\,\mathrm{cm}$ sejajar (penampang total sama): penurunan dan dayanya.

Solusi

Solusi Latihan 4.5.

(a) $\langle v\rangle = 0.1/0.0707 = 1.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\mathrm{Re} = 4.2 \times 10^5$ . (b) $8\eta LD_V/\pi R^4 = 500\,\mathrm{Pa}$ . (c) $\lambda = 0.3/25.5 = 0.0118$ , $\Delta P = 0.0118 \times 3333 \times 1000 = 39\,\mathrm{kPa}$ : $80$ kali lebih besar; $P = \Delta PD_V = 3.9\,\mathrm{kW}$ . (d) Kelajuan sama, $\mathrm{Re} = 3 \times 10^5$ , $\lambda = 0.0128$ , $\Delta P = 0.0128 \times 4717 \times 1000 = 60\,\mathrm{kPa}$ , $6\,\mathrm{kW}$ : lebih banyak dinding tiap satuan aliran, lebih banyak rugi.

Latihan 4.6 ★★

Sel berdiameter $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ bermassa jenis $1050\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ dalam air. (a) Kelajuan pengendapan di bawah gravitasi; waktu untuk mengendap $5\,\mathrm{cm}$ . (b) Dalam mesin pemusing pada $1000\,g$ . (c) Laju putar minimum bagi $1000\,g$ pada jari-jari $10\,\mathrm{cm}$ . (d) Mengapa partikel terbesarnya dapat dipisahkan lebih dulu?

Solusi

Solusi Latihan 4.6.

(a) $v = 2 \times 25 \times 10^{-12} \times 50 \times 9.81/(9 \times 10^{-3}) = 2.7\,\text{µ}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $5\,\mathrm{cm}$ dalam $1.8 \times 10^4$ s, lima jam. (b) $2.7\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ , $18\,\mathrm{s}$ . (c) $\Omega = \sqrt{1000g/r} = 313\,\mathrm{rad}/\mathrm{s} = 3000\,\mathrm{rpm}$ . (d) $v \propto R^2$ : partikel besar mengendap lebih dulu; pemusingan berturut-turut pada laju yang meningkat memisahkan ukurannya.

Latihan 4.7 ★★

Seorang pengendara sepeda ( $SC_x = 0.35\,\mathrm{m}^{2}$ , hambatan gelinding $4\,\mathrm{N}$ ) melaju $12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (a) Seretan dan daya totalnya. (b) Pada $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (c) Melawan angin muka $5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ pada kelajuan tanah $12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (d) Berlindung di belakang mengurangi $C_x$ sebesar $30\%$ : daya yang terhemat. (e) Menuruni lereng $5\%$ tanpa mengayuh (massa $80\,\mathrm{kg}$ ): laju terminalnya.

Solusi

Solusi Latihan 4.7.

(a) $F = 0.6 \times 144 \times 0.35 = 30\,\mathrm{N}$ , $+4\,\mathrm{N}$ : $P = 34 \times 12 = 410\,\mathrm{W}$ . (b) $47 + 4 = 51\,\mathrm{N}$ , $770\,\mathrm{W}$ . (c) Kelajuan nisbinya $17\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $61 + 4 = 65\,\mathrm{N}$ , dikali kelajuan tanahnya: $780\,\mathrm{W}$ . (d) Seretan $21\,\mathrm{N}$ : $300\,\mathrm{W}$ , hemat $110\,\mathrm{W}$ . (e) $mg\sin\alpha = 39\,\mathrm{N} = 4 + 0.21v^2$ : $v = 13\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $47\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

Latihan 4.8 ★★

Seretan kuadratik. (a) Laju terminal bola golf ( $46\,\mathrm{g}$ , $43\,\mathrm{mm}$ , $C_x = 0.25$ ) dan seorang penerjun payung ( $80\,\mathrm{kg}$ , $SC_x = 0.7\,\mathrm{m}^{2}$ , lalu $25\,\mathrm{m}^{2}$ dengan payungnya terbuka). (b) Persamaan gerak bagi jatuh dari keadaan diam dengan seretan kuadratik; tunjukkanlah $v = v_\infty\tanh(gt/v_\infty)$ . (c) Waktu dan jarak bagi penerjunnya untuk mencapai $90\%$ dari $v_\infty$ .

Solusi

Solusi Latihan 4.8.

(a) Bola golf: $\tfrac12\rho C_xS = 2.2 \times 10^{-4}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}$ , $v_\infty = \sqrt{0.45/2.2 \times 10^{-4}} = 45\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; penerjun payung $\sqrt{785/0.42} = 43\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; dengan payung $\sqrt{785/15} = 7.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (b) $m\dot v = mg - kv^2$ , yakni $\dot v = g(1 - v^2/v_\infty^2)$ , yang penyelesaiannya dari keadaan diam adalah $v_\infty\tanh(gt/v_\infty)$ . (c) $\tanh x = 0.9$ pada $x = 1.47$ : $t = 1.47 \times 43/9.81 = 6.5\,\mathrm{s}$ ; $z = (v_\infty^2/g)\ln\cosh x = 190 \times 0.83 = 160\,\mathrm{m}$ .

Latihan 4.9 ★★

Viskometer Couette. Sebuah tabung berjari-jari $5.0\,\mathrm{cm}$ dan setinggi $10\,\mathrm{cm}$ berputar dengan $10\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ di dalam tabung tetap, dengan celah $1.0\,\mathrm{mm}$ yang terisi zat cair yang hendak diuji; momen gaya yang diperlukan $2.0 \times 10^{-2}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ . (a) Dengan memperlakukan celahnya sebagai aliran Couette bidang, tentukanlah laju geser dan tegangan gesernya. (b) Kekentalannya. (c) Bilangan Reynolds aliran celahnya; laminarkah alirannya? (d) Mengapa celahnya dibuat tipis?

Solusi

Solusi Latihan 4.9.

(a) Laju geser $\Omega R/e = 0.5/10^{-3} = 500\,\mathrm{s}^{-1}$ ; $\Gamma = \tau\cdot2\pi Rh \cdot R$ : $\tau = 0.02/(2\pi \times 2.5 \times 10^{-3} \times 0.1) = 12.7\,\mathrm{Pa}$ . (b) $\eta = 12.7/500 = 2.5 \times 10^{-2}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ . (c) $\mathrm{Re} = \rho Ue/\eta \approx 1000 \times 0.5 \times 10^{-3}/0.025 = 20$ : laminar. (d) Celah tipis membuat laju gesernya seragam (hampiran bidangnya) dan menjaga alirannya tetap laminar.

Latihan 4.10 ★★★

Sebuah jaringan pembuluh. Darah ( $\eta = 3.5\,\mathrm{mPa}\,\mathrm{s}$ ) mengalir dengan $5.0\,\mathrm{L}/\mathrm{min}$ . (a) Hambatan hidraulik aorta (jari-jari $1.25\,\mathrm{cm}$ , panjang $40\,\mathrm{cm}$ ) dan penurunan tekanan sepanjangnya. (b) Sebanyak $10^{10}$ pembuluh kapilernya (jari-jari $4\,\text{µ}\mathrm{m}$ , panjang $1\,\mathrm{mm}$ ) tersusun sejajar: hambatan satu kapiler, hambatan semuanya, dan penurunan tekanan menyeberangi hamparan kapilernya. (c) Arteriolnya ( $10^8$ , jari-jari $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ , panjang $2\,\mathrm{mm}$ ): pertanyaan yang sama; di manakah hambatan peredarannya? (d) Penurunan totalnya $13\,\mathrm{kPa}$ : daya bilik kiri jantungnya, dan berapa bagian dari $100\,\mathrm{W}$ tubuhnya. (e) Sebuah obat melebarkan arteriolnya sebesar $10\%$ : pengaruhnya pada hambatan totalnya.

Solusi

Solusi Latihan 4.10.

$D_V = 8.3 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ . (a) $R_h = 8\eta L/\pi R^4 = 8 \times 3.5 \times 10^{-3} \times 0.4/(\pi \times 2.4 \times 10^{-8}) = 1.5 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}$ , $\Delta P = 12\,\mathrm{Pa}$ . (b) Satu kapiler $3.5 \times 10^{16}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}$ ; $10^{10}$ sejajar: $3.5 \times 10^{6}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}$ ; $\Delta P = 290\,\mathrm{Pa}$ ( $2\,\mathrm{mmHg}$ ). (c) Satu arteriol $8 \times 3.5 \times 10^{-3} \times 2 \times 10^{-3}/(\pi \times 10^{-20}) = 1.8 \times 10^{15}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}$ ; himpunannya: $1.8 \times 10^{7}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}$ ; $\Delta P = 1.5\,\mathrm{kPa}$ : arteriolnya menguasai keduanya (pembuluh kecil, bukan yang besar, adalah tempat tekanannya turun). (d) $P = 13000 \times 8.3 \times 10^{-5} = 1.1\,\mathrm{W}$ , sekitar $1\%$ . (e) $(1/1.1)^4 = 0.68$ : sepertiga hambatan arteriolnya hilang — obat pelebar pembuluh menurunkan tekanan darah dengan cara ini.

Latihan 4.11 ★★★

Lapisan batas dan seretan gesekan. Sebuah pelat datar sepanjang $L$ dan selebar $b$ bergerak menyisi dengan $U$ . Dalam rezim laminar tegangan geser dindingnya adalah $\tau_w = 0.332\,\rho U^2/\sqrt{\mathrm{Re}_x}$ (Blasius). (a) Tunjukkanlah bahwa gaya gesek pada satu mukanya adalah $F = 0.664\,\rho U^2bL/\sqrt{\mathrm{Re}_L}$ . (b) Tebal lapisan batas di tepi belakang pelat $1\,\mathrm{m}$ dalam air pada $0.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , dan gaya pada pelat $1\,\mathrm{m}^{2}$ (kedua mukanya). (c) Pada $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $\mathrm{Re}_L$ , dan mengapa rumusnya tak lagi berlaku. (d) Lambung sebuah kapal ( $100\,\mathrm{m}$ , $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ): perkiraan tebal lapisan batasnya di buritan dengan mengandaikan hukum turbulen $\delta \approx 0.37x/\mathrm{Re}_x^{1/5}$ .

Solusi

Solusi Latihan 4.11.

(a) $F = b\int_0^L\tau_w\,\dd x = 0.332\rho U^2b\sqrt{\nu/U}\int_0^L\dd x/\sqrt x = 0.664\rho U^2b\sqrt{\nu L/U} = 0.664\rho U^2bL/\sqrt{\mathrm{Re}_L}$ . (b) $\mathrm{Re}_L = 3 \times 10^5$ (laminar); $\delta \approx 5\sqrt{\nu L/U} = 9\,\mathrm{mm}$ ; $F = 0.664 \times 1000 \times 0.09 \times 1/548 = 0.11\,\mathrm{N}$ tiap muka, $0.22\,\mathrm{N}$ . (c) $\mathrm{Re}_L = 10^7$ : lapisannya turbulen di luar beberapa sentimeter pertamanya, rumus laminarnya gagal (seretan sebenarnya beberapa kali lebih besar). (d) $\mathrm{Re}_x = 10^9$ : $\delta \approx 0.37 \times 100/63 = 0.6\,\mathrm{m}$ .

Latihan 4.12 ★★★

Sebuah selaput yang meniris. Selaput zat cair setebal $h$ mengalir menuruni dinding tegak di bawah gravitasi, secara tunak, dengan udara yang tak mengerahkan tegangan pada permukaan bebasnya. (a) Tuliskanlah Navier–Stokes bagi $\vect v = v(y)\vect e_z$ ( $y$ jarak dari dindingnya, $z$ ke bawah) beserta syarat batasnya. (b) Tunjukkanlah $v(y) = \dfrac{\rho g}{2\eta}(2hy - y^2)$ lalu hitunglah debit tiap satuan lebar $q = \rho gh^3/3\eta$ . (c) Lapisan cat baru ( $\eta = 0.5\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ , $\rho = 1200\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) setebal $0.2\,\mathrm{mm}$ : kelajuan permukaan dan debitnya; sejauh mana permukaannya berpindah dalam $10\,\mathrm{min}$ ? Mengapa cat meleleh turun jika disapukan terlalu tebal? (d) Madu ( $\eta = 10\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ) setebal $2\,\mathrm{mm}$ pada sendok tegak: kelajuan permukaannya.

Solusi

Solusi Latihan 4.12.

(a) $0 = \rho g + \eta v''(y)$ , $v(0) = 0$ (tanpa selip), $v'(h) = 0$ (tanpa tegangan pada permukaan bebasnya). (b) Integralkanlah dua kali: $v = (\rho g/2\eta)(2hy - y^2)$ ; $q = \int_0^hv\,\dd y = \rho gh^3/3\eta$ . (c) $v_s = \rho gh^2/2\eta = 1200 \times 9.81 \times 4 \times 10^{-8}/1 = 0.47\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ ; $q = 6.3 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ; $28\,\mathrm{cm}$ dalam sepuluh menit — cat Newton setebal itu akan mengalir habis; cat sungguhan bersifat mengencer saat digeser dan tiksotropik, namun tetap meleleh turun jika terlalu tebal sebab $v_s \propto h^2$ . (d) $1400 \times 9.81 \times 4 \times 10^{-6}/20 = 2.7\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ .

Deretan vorteks von Kármán di awan, di hilir sebuah pulau, terlihat dari antariksa: olakan sebuah tabung pada bilangan Reynolds beberapa ratus, tergambar pada skala seratus kilometer (NASA).

4.6 Soal: Darah, minyak mentah dan hujan

Soal 4.1

Soal akhir pekan — hukum kental yang sama dalam sebuah arteri, dalam pipa saluran seribu kilometer, dan dalam tetesan yang jatuh

Bagian I — Darah. Darah: $\rho = 1060\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , $\eta = 3.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ (diperlakukan sebagai fluida Newton); curah jantung $D_V = 5.0\,\mathrm{L}/\mathrm{min}$ .

Aorta, jari-jari $1.25\,\mathrm{cm}$ : kelajuan rata-rata, bilangan Reynolds, rezimnya.
Seandainya aliran dalam aortanya aliran Poiseuille, berapakah kelajuan maksimum dan tegangan geser dindingnya? (Endoteliumnya mengindra tegangan berorde $1\,\mathrm{Pa}$ .)
Sebuah kapiler, jari-jari $4.0\,\text{µ}\mathrm{m}$ , mengalirkan darah dengan $0.30\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ : bilangan Reynolds; penurunan tekanan sepanjang $1.0\,\mathrm{mm}$ panjangnya, dalam pascal dan dalam milimeter raksa ( $1\,\mathrm{mmHg}$ = $133\,\mathrm{Pa}$ ).
Waktu bagi sebutir sel darah merah untuk menyeberangi kapilernya; mengapa ini orde yang tepat bagi pertukaran gas?
Arteriol (jari-jari $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ , panjang $2.0\,\mathrm{mm}$ , $10^8$ tersusun sejajar): hambatan himpunannya dan penurunan tekanan menyeberanginya pada curah jantung penuh.
Penurunan total dari arteri ke vena adalah $13\,\mathrm{kPa}$ : daya mekanik yang diserahkan bilik kirinya. Bandingkanlah dengan tubuh $100\,\mathrm{W}$ .
Sebuah stenosis mengurangi jari-jari arteri koroner sebesar $40\%$ sepanjang penggal pendek: faktor kenaikan hambatannya; mengapa otot jantung di hilirnya mungkin masih terpasok saat istirahat tetapi tidak saat berupaya keras.
Selama upaya berat curah jantungnya mencapai $25\,\mathrm{L}/\mathrm{min}$ : bilangan Reynolds dalam aortanya, dan rezimnya.
Darah bukan fluida Newton: kekentalan semunya turun pada laju geser tinggi dan naik pada laju geser rendah. Pembuluh mana di atas yang paling terpengaruh, dan ke arah mana?

Bagian II — Pipa saluran. Sebuah pipa saluran minyak mentah: diameter $D = 1.2\,\mathrm{m}$ , panjang $L = 1300\,\mathrm{km}$ , aliran $D_V = 3.0\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ ; minyaknya $\rho = 850\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , $\eta = 2.0 \times 10^{-2}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ jika dijaga tetap hangat. Gesekan turbulen: $\Delta P = \lambda (L/D)\tfrac12\rho\langle v\rangle^2$ , $\lambda = 0.316/\mathrm{Re}^{1/4}$ .

Kelajuan rata-rata dan bilangan Reynolds; rezimnya.
Penurunan tekanan tiap kilometer dan sepanjang seluruh salurannya.
Pipanya tahan $80\,\mathrm{bar}$ : jumlah minimum stasiun pompa sepanjang salurannya.
Daya pemompaan total; energi tiap meter kubik minyak yang terkirim, dibandingkan dengan kandungan energi minyaknya ( $36\,\mathrm{GJ}/\mathrm{m}^{3}$ ).
Penurunan berapa yang akan diramalkan hukum Poiseuille? Berilah tanggapan atas ongkos turbulensinya (dan atas sebab beberapa pipa saluran disuntik zat tambahan polimer yang menunda turbulensi).
Pada musim dingin minyak yang tak dipanaskan akan mencapai $\eta = 2.0\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ : bilangan Reynolds dan rezim barunya; penurunan tekanan sepanjang salurannya dengan hukum yang sesuai. Kesimpulannya bagi rancangannya (saluran yang nyata diberi penyekat dan minyaknya dijaga hangat).
Waktu singgah minyaknya dari satu ujung ke ujung yang lain.
Tegangan geser dinding dalam hal hangat dan turbulennya, dari penurunan tekanannya; gaya gesek total pada dinding pipanya.
Aliran yang sama dalam pipa $1.0\,\mathrm{m}$ : dengan faktor berapa penurunan tekanan turbulennya berubah?
Sebutir pasir $0.10\,\mathrm{mm}$ ( $\rho_s = 2650\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) terbawa dalam minyak hangatnya: kelajuan pengendapan Stokes, bilangan Reynolds butirnya, waktu untuk mengendap menyeberangi pipanya. Bandingkanlah dengan fluktuasi kecepatan turbulennya, beberapa persen dari $\langle v \rangle$ : mengendapkah pasirnya dalam pipa saluran yang berjalan? Dalam pipa yang berhenti?

Bagian III — Tetesan. Udara: $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , $\eta = 1.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ; air $\rho_w = 1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , $\gamma = 0.072\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ .

Butir awan berdiameter $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ : laju terminal Stokes, bilangan Reynolds, waktu untuk jatuh $1\,\mathrm{km}$ ; mengapa awannya tinggal.
Gerimis, $0.20\,\mathrm{mm}$ : kelajuan Stokes dan bilangan Reynolds; masihkah Stokes dapat diandalkan?
Butir hujan, $2.0\,\mathrm{mm}$ : tunjukkanlah bahwa Stokes gagal, lalu carilah laju terminalnya dengan $C_x = 0.5$ . Waktu untuk jatuh dari $1\,\mathrm{km}$ .
Dalam embusan naik $1\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ , naikkah butir awannya atau turun? Embusan naik berapa yang akan menahan tetes gerimisnya?
Tekanan Laplace di dalam ketiga tetesannya; bandingkanlah dengan tekanan dinamik $\tfrac12\rho v_\infty^2$ bagi masing-masingnya, lalu jelaskanlah mengapa butir hujan besar memipih dan pecah di atas sekitar $5\,\mathrm{mm}$ .
Dalam satu tabel, berikanlah bagi kedelapan aliran soal ini bilangan Reynolds dan hukum yang mengaturnya.

Solusi

Solusi Soal 4.1.

1. $S = 4.9\,\mathrm{cm}^{2}$ , $\langle v\rangle = 83/4.9 = 0.17\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\mathrm{Re} = 1060 \times 0.17 \times 0.025/3.5 \times 10^{-3} = 1300$ : laminar (puncak denyutnya mencapai $\sim 5000$ ).

2. $v_{\max} = 0.34\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\tau_w = 4\eta\langle v\rangle/R = 0.19\,\mathrm{Pa}$ .

3. $\mathrm{Re} = 1060 \times 3 \times 10^{-4} \times 8 \times 10^{-6}/3.5 \times 10^{-3} = 7 \times 10^{-4}$ ; $\Delta P = 8\eta L\langle v\rangle/R^2 = 8 \times 3.5 \times 10^{-3} \times 10^{-3} \times 3 \times 10^{-4}/1.6 \times 10^{-11} = 525\,\mathrm{Pa} = 3.9\,\mathrm{mmHg}$ .

4. $1/0.3 = 3.3\,\mathrm{s}$ : cukup lama bagi oksigen untuk berdifusi beberapa mikrometer ke jaringannya (Bab 24).

5. Satu arteriol $8\eta L/\pi R^4 = 1.8 \times 10^{15}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}$ ; $10^8$ sejajar: $1.8 \times 10^{7}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}$ ; $\Delta P = 1.8 \times 10^7 \times 8.3 \times 10^{-5} = 1.5\,\mathrm{kPa} = 11\,\mathrm{mmHg}$ .

6. $P = \Delta P\,D_V = 13000 \times 8.3 \times 10^{-5} = 1.1\,\mathrm{W}$ , sekitar $1\%$ daya tubuhnya.

7. $(1/0.6)^4 = 7.7$ . Saat istirahat pembuluh di hilirnya melebar dan mengimbanginya; saat berupaya keras kebutuhannya naik empat atau lima kali lipat dan arteri yang menyempit itu tak dapat memasoknya: angina.

8. Lima kali kelajuannya: $\mathrm{Re} \approx 6500$ , turbulen — yaitu bising yang didengar stetoskop selama berolahraga.

9. Dalam aliran lambat bergeser rendah pada vena kecil dan kapiler sel darah merahnya menggumpal dan kekentalan semunya naik (kebalikannya dalam aorta yang cepat); semua taksiran penurunan tekanan bagi pembuluh kecil merupakan batas bawah.

10. $\langle v\rangle = 3/1.13 = 2.65\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\mathrm{Re} = 850 \times 2.65 \times 1.2/0.02 = 1.35 \times 10^5$ : turbulen.

11. $\lambda = 0.316/19.2 = 0.0165$ ; $\Delta P/L = (0.0165/1.2) \times \tfrac12 \times 850 \times 7.0 = 41\,\mathrm{Pa}/\mathrm{m} = 41\,\mathrm{kPa}/\mathrm{km}$ ; $534\,\mathrm{bar}$ sepanjang salurannya.

12. $534/80 = 6.7$ : sekurang-kurangnya tujuh stasiun.

13. $P = \Delta P\,D_V = 5.34 \times 10^7 \times 3 = 160\,\mathrm{MW}$ ; $53\,\mathrm{MJ}/\mathrm{m}^{3}$ , $0.15\%$ energi minyaknya.

14. $\Delta P = 32\eta L\langle v\rangle/D^2 = 32 \times 0.02 \times 1.3 \times 10^6 \times 2.65/1.44 = 15\,\mathrm{bar}$ : tiga puluh lima kali lebih kecil. Turbulensi itu mahal; beberapa bagian tiap sejuta polimer panjang menundanya dan memangkas penurunannya berpuluh persen.

15. $\mathrm{Re} = 1350$ : laminar; Poiseuille: $\Delta P = 32 \times 2 \times 1.3 \times 10^6 \times 2.65/1.44 = 1500\,\mathrm{bar}$ — mustahil; minyaknya harus dijaga hangat, dari situlah penyekat dan pemanasnya.

16. $1.3 \times 10^6/2.65 = 4.9 \times 10^{5}\,\mathrm{s} = 5.7\,\mathrm{hari}$ .

17. $\tau_w = (\Delta P/L)D/4 = 41 \times 0.3 = 12\,\mathrm{Pa}$ ; $F = \tau_w\pi DL = 6 \times 10^{7}\,\mathrm{N}$ .

18. $\Delta P \propto \lambda\langle v\rangle^2/D \propto D^{-4.75}$ : $1.2^{4.75} = 2.4$ .

19. $v = 2R^2\Delta\rho\,g/9\eta = 2 \times 2.5 \times 10^{-9} \times 1800 \times 9.81/ 0.18 = 0.49\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ ; $\mathrm{Re} = 2 \times 10^{-3}$ ; $41\,\mathrm{min}$ untuk menyeberangi $1.2\,\mathrm{m}$ . Fluktuasi turbulen beberapa sentimeter tiap sekon menahannya tetap melayang selama minyaknya mengalir; dalam saluran yang berhenti ia mengendap dalam kurang dari satu jam.

20. $v = 2 \times 2.5 \times 10^{-11} \times 1000 \times 9.81/1.62 \times 10^{-4} = 3.0\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ ; $\mathrm{Re} = 2 \times 10^{-3}$ ; $1\,\mathrm{km}$ dalam $3.3 \times 10^5$ s, empat hari: embusan naik berapa pun di atas beberapa milimeter tiap sekon menahannya.

21. $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\mathrm{Re} = 16$ : Stokes melebihkannya sekitar dua kali lipat (sebenarnya: $0.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ).

22. Stokes akan memberi $120\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dan $\mathrm{Re} \sim 10^4$ : mustahil. Seretan kuadratik, $\tfrac43\pi R^3\rho_wg = \tfrac12\rho v^2\pi R^2C_x$ : $v = \sqrt{8R \rho_wg/3\rho C_x} = 6.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $\mathrm{Re} = 900$ , konsisten); $150\,\mathrm{s}$ dari $1\,\mathrm{km}$ .

23. $1\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ $>$ $3\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ : butirnya naik; tetes gerimisnya menuntut sekitar $1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , yang disediakan awan konveksi.

24. $2\gamma/R$ : $29\,\mathrm{kPa}$ , $1.4\,\mathrm{kPa}$ , $144\,\mathrm{Pa}$ ; tekanan dinamiknya $\tfrac12\rho v^2$ : $5 \times 10^{-6}$ , $0.3$ dan $26\,\mathrm{Pa}$ . Nisbahnya mencapai $0.2$ pada $2\,\mathrm{mm}$ ; pada $5\,\mathrm{mm}$ ( $v \approx 9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\tfrac12\rho v^2 = 49\,\mathrm{Pa}$ melawan $58\,\mathrm{Pa}$ ) tekanan aerodinamiknya memipihkan tetesnya lalu memecahkannya: tak ada butir hujan yang melampaui sekitar $5\,\mathrm{mm}$ .

25. Aorta $10^3$ (laminar, dekat peralihan); kapiler $10^{-3}$ (Poiseuille); arteriol $10^{-2}$ (Poiseuille); pipa saluran hangat $10^5$ (turbulen, $\lambda(\mathrm{Re})$ ); pipa saluran dingin $10^3$ (Poiseuille); pasir dalam minyak $10^{-3}$ (Stokes); butir awan $10^{-3}$ (Stokes); butir hujan $10^3$ (seretan kuadratik, $C_x \approx 0.5$ ).

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 393 istilah di glosarium