Fisika Universitas — Tahun 2 · Bachelor Year 2

17Radiasi Dwikutub dan Hamburan

Mengapa langit biru, dan mengapa ia paling biru pada sudut siku-siku terhadap Matahari — lalu terpolarisasi di sana, seperti yang diketahui lebah dan juru foto? Mengapa sebuah tiang radio harus setinggi berpuluh meter, dan mengapa ia tak memancarkan apa pun lurus ke atas? Kedua pertanyaannya berjawaban sama: sebuah muatan listrik yang berayun memancarkan gelombang elektromagnetik, dengan daya yang tumbuh sebagai pangkat empat frekuensinya dan pola yang lenyap sepanjang sumbu ayunannya. Bab ini menyatakan medan dwikutub berayun, sistem pemancar yang paling sederhana, lalu menarik darinya antena dan radiasi sebuah muatan yang dipercepat, lalu menerapkannya pada molekul udara, yang masing-masingnya sebuah antena mungil yang memancarkan ulang cahaya matahari: hamburan Rayleigh.

Sebuah tiang siaran di bawah langit biru: sebuah dwikutub tegak setinggi berpuluh meter yang memancar ke arah cakrawala, dan di atasnya langit yang disinari bermiliar dwikutub molekul yang memancarkan ulang Matahari.

17.1 Medan sebuah dwikutub berayun

Teorema 17.1 (Medan radiasi sebuah dwikutub listrik)

Sebuah dwikutub bermomen $\vect p(t) = p_0\cos\omega t\,\vect e_z$ , berukuran $a$ , di titik asal, memancar. Dalam zona radiasi — pada jarak $r \gg \lambda = 2\pi c/\omega \gg a$ — medannya, dalam koordinat bola $(r, \theta, \varphi)$ terhadap sumbu dwikutubnya, adalah

\vect E(M, t) = -\frac{\mu_0\,\omega^2p_0}{4\pi}\,\frac{\sin\theta}r\,\cos\bigl(\omega(t - r/c)\bigr)\,\vect e_\theta , \qquad \vect B = \frac{\vect e_r\wedge\vect E}c :

sebuah gelombang bola, yang setempat bidang — $(\vect E, \vect B, \vect e_r)$ sebuah triad tangan kanan dengan $B = E/c$ — tertunda sebesar waktu tempuh $r/c$ , beramplitudo yang turun sebagai $1/r$ , sebanding dengan percepatan $\ddot p = -\omega^2p$ dwikutubnya dan dengan $\sin\theta$ : maksimal dalam bidang khatulistiwanya, nol sepanjang sumbunya; terpolarisasi dalam bidang yang memuat sumbunya.

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Catatan 17.2 (Membaca rumusnya)

Penyelesaian eksak persamaan Maxwell (dari potensial tertunda, di luar jilid ini) memuat juga suku dalam $1/r^2$ dan $1/r^3$ ; yang terakhir adalah medan dwikutub kuasi-statik jilid Tahun 1, $\vect E \propto p/4\pi\varepsilon_0r^3$ , yang menguasai dalam zona dekat $r \ll \lambda$ ; pada $r \sim \lambda/2\pi$ keduanya sebanding, di luarnya hanya suku $1/r$ yang bertahan. Tiap faktornya mempunyai alasan. $1/r$ : daya yang menembus sebuah bola, $\propto E^2r^2$ , tak boleh bergantung pada $r$ . $\omega^2p_0$ : medan sebuah muatan yang diam atau bergerak beraturan tidak memancar; yang memancar adalah percepatan-nya. $\sin\theta$ : seorang pengamat pada sumbunya melihat muatannya datang dan pergi sepanjang garis pandangnya, tanpa percepatan melintang; dalam bidang khatulistiwanya seluruh percepatannya melintang. Penundaannya: medan di $M$ pada saat $t$ mencerminkan apa yang dilakukan dwikutubnya pada $t - r/c$ .

Kiri: medan radiasi sebuah dwikutub di titik jauh M — melintang, sepanjang e_, dengan B azimut; tak ada yang dipancarkan sepanjang sumbunya. Kanan: pola radiasinya, sebuah donat 2 yang penampangnya digambar. — Kiri: medan radiasi sebuah dwikutub di titik jauh $M$ — melintang, sepanjang $\vect e_\theta$ , dengan $\vect B$ azimut; tak ada yang dipancarkan sepanjang sumbunya. Kanan: pola radiasinya, sebuah donat $\propto\sin^2\theta$ yang penampangnya digambar.

17.2 Daya terpancar

Proposisi 17.3 (Daya sebuah dwikutub; rumus Larmor)

Vektor Poynting rerata medan dwikutubnya bersifat radial,

\langle\vect\Pi\rangle = \frac{\mu_0\,\omega^4p_0^2}{32\pi^2c}\,\frac{\sin^2\theta}{r^2}\,\vect e_r ,

dan daya rerata total yang dipancarkan adalah

\mathcal P = \frac{\mu_0\,\omega^4p_0^2}{12\pi c} = \frac{p_0^2\omega^4}{12\pi\varepsilon_0c^3} .

Bagi sebuah muatan tunggal $q$ berpercepatan $a$ (tak relativistik), daya sesaatnya adalah $\mathcal P = q^2a^2/6\pi\varepsilon_0c^3$ (Larmor).

Bukti. $\langle\Pi\rangle = \langle E^2\rangle/\mu_0c$ dengan $\langle\cos^2\rangle = \tfrac12$ ; integralkanlah di seluruh bolanya:

\int\sin^2\theta\,r^2\dd\Omega = 2\pi r^2\int_0^\pi\sin^3\theta\,\dd\theta = \tfrac83\pi r^2 , \qquad \mathcal P = \frac{\mu_0\omega^4p_0^2}{32\pi^2c}\cdot\frac{8\pi}3 = \frac{\mu_0\omega^4p_0^2}{12\pi c} .

Larmor: $p = qz$ , jadi $\ddot p = qa$ ; dengan mengganti reratanya $\tfrac12\omega^4p_0^2 = \langle\ddot p^2\rangle$ oleh yang sesaat $q^2a^2$ diperoleh $\mathcal P = \mu_0q^2a^2/6\pi c$ . ∎

Contoh 17.4 (Sebuah antena dan sebuah kawat)

Sebuah kawat pendek sepanjang $\ell \ll \lambda$ yang mengemban arus $I_0\cos\omega t$ adalah dwikutub dengan $\dot p = I_0\ell\cos\omega t$ , yakni $p_0 = I_0\ell/\omega$ : ia memancarkan $\mathcal P = \mu_0\omega^2I_0^2\ell^2/12\pi c = \tfrac12R_{\text{rad}}I_0^2$ dengan hambatan radiasi $R_{\text{rad}} = \dfrac{2\pi}3\sqrt{\dfrac{\mu_0}{\varepsilon_0}} \Bigl(\dfrac\ell\lambda\Bigr)^2 \approx 790\,(\ell/\lambda)^2\ \Omega$ — dayanya meninggalkan rangkaiannya seakan-akan menembus sebuah resistor, tanpa memanaskan apa pun. Sebuah kawat $1\,\mathrm{m}$ pada $1\,\mathrm{MHz}$ ( $\lambda = 300\,\mathrm{m}$ ): $R_{\text{rad}} = 9\,\mathrm{m}\Omega$ , lebih kecil daripada hambatan tembaganya, sebuah antena yang buruk; pada $100\,\mathrm{MHz}$ : $88\,\Omega$ (rumus dwikutub pendeknya diregangkan di sini), sebuah antena yang baik. Dwikutub setengah gelombang, $\ell = \lambda/2$ dengan sebaran arus sinusoidal, mempunyai $R_{\text{rad}} = 73\,\Omega$ (diterima tanpa bukti) dan pola yang dekat dengan dwikutub dasarnya — yaitu antena baku, dari tiang radio sampai telinga kelinci pada televisi tua. Sebuah kawat jala-jala $1\,\mathrm{m}$ pada $50\,\mathrm{Hz}$ : $R_{\text{rad}} \approx 2 \times 10^{-11}\,\Omega$ — rangkaian kuasi-tunak Bab 11 tak memancarkan apa pun.

Kiri: sebaran arus pada dwikutub setengah gelombang, maksimal di catuannya dan nol di ujungnya. Kanan: hambatan radiasi sebuah dwikutub pendek, 790( / )2 ohm, dan 73\, dwikutub setengah gelombangnya. — Kiri: sebaran arus pada dwikutub setengah gelombang, maksimal di catuannya dan nol di ujungnya. Kanan: hambatan radiasi sebuah dwikutub pendek, $790(\ell/\lambda)^2$ ohm, dan $73\,\Omega$ dwikutub setengah gelombangnya.

Contoh 17.5 (Sebuah elektron yang memancar)

Dalam tabung sinar-X sebuah elektron $50\,\mathrm{keV}$ ( $v = 1.2 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) berhenti dalam $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ wolfram: $a \sim v^2/2d = 7 \times 10^{21}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , daya Larmornya $1.2 \times 10^{-4}\,\mathrm{W}$ selama $1.6 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ : $2 \times 10^{-18}\,\mathrm{J}$ , sekitar $0.02\%$ energinya dipancarkan sebagai “radiasi pengereman” (bremsstrahlung) tabungnya — sisanya kalor, dan anodanya didinginkan. Elektron klasik sebuah atom hidrogen, yang dipercepat sebesar $v^2/r = 9 \times 10^{22}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , akan memancarkan $5 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}$ lalu berpilin ke dalam intinya dalam $1 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}$ : fisika klasik melarang atom, dan Bab 30 menyelamatkannya.

17.3 Hamburan Rayleigh: langit biru

Proposisi 17.6 (Hamburan oleh elektron terikat)

Sebuah gelombang beramplitudo $E_0$ dan berfrekuensi $\omega$ jatuh pada sebuah atom yang dimodelkan sebagai elektron terikat elastik beresonansi $\omega_0 \gg \omega$ (Bab 14): elektronnya berayun dengan amplitudo $eE_0/m\omega_0^2$ , atomnya menjadi dwikutub $p_0 = e^2E_0/m\omega_0^2$ yang sefase dengan medannya, lalu memancarkan ulang daya $\mathcal P = p_0^2\omega^4/12\pi \varepsilon_0c^3$ . Nisbah daya itu terhadap intensitas datangnya adalah penampang lintang hamburannya

\sigma = \frac{\mathcal P}{\varepsilon_0cE_0^2/2} = \frac{8\pi}3\,r_e^2\Bigl(\frac\omega{\omega_0}\Bigr)^4 , \qquad r_e = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0mc^2} = 2.8 \times 10^{-15}\,\mathrm{m} :

hukum Rayleigh, $\sigma \propto \omega^4 \propto 1/\lambda^4$ . Bagi elektron bebas ( $\omega_0 = 0$ ) penampang lintangnya adalah $\sigma_T = 8\pi r_e^2/3 = 6.65 \times 10^{-29}\,\mathrm{m}^{2}$ , tak bergantung frekuensi (hamburan Thomson).

Bukti. Dari model Lorentz dengan $\omega \ll \omega_0$ dan peredaman yang dapat diabaikan, $\underline{\vect r} = -e\underline{\vect E}/m\omega_0^2$ ; sisipkanlah $p_0$ ke dalam dayanya lalu bagilah dengan $I = \varepsilon_0cE_0^2/2$ ; $r_e$ menghimpun tetapannya. Bagi elektron bebasnya, $\vect r = e\vect E/m\omega^2$ (berlawanan fase), $p_0 = e^2E_0/m\omega^2$ , dan $\omega^4$ -nya saling meniadakan. ∎

Contoh 17.7 (Langit biru, matahari terbenam merah, awan putih)

Cahaya lembayung ( $400\,\mathrm{nm}$ ) terhambur $(700/400)^4 = 9.4$ kali lebih banyak daripada merah: langitnya, yang disinari cahaya matahari yang terhambur, biru (bukan lembayung: Matahari memancarkan lebih sedikit lembayung dan mata melihatnya dengan buruk). Pada matahari terbenam cahaya langsungnya menyeberangi udara empat puluh kali lebih banyak daripada pada tengah hari lalu kehilangan birunya kepada langit tempat lain: ia memerah. Tiap molekul udara menghamburkan dengan $\sigma \approx 5 \times 10^{-31}\,\mathrm{m}^{2}$ pada $550\,\mathrm{nm}$ ; dengan $n = 2.5 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$ jalan bebas reratanya $1/n\sigma$ adalah $80\,\mathrm{km}$ : sepersepuluh cahaya hijaunya terhambur dalam perjalanannya turun menembus atmosfer, sepertiga lembayungnya. Butir awan, yang jauh lebih besar daripada $\lambda$ , bukan penghambur Rayleigh: mereka menghamburkan semua warna sama saja — putih.

Proposisi 17.8 (Polarisasi lewat hamburan)

Cahaya alami yang berjalan sepanjang $x$ mengimbaskan dwikutub dalam bidang $yz$ . Seorang pengamat yang memandang sepanjang $y$ (pada $90{}^{\circ}$ dari berkasnya) tak menerima radiasi dari komponen dwikutub sepanjang $y$ (garis pandangnya) dan menerima radiasi penuh dari yang sepanjang $z$ : cahaya yang terhambur itu terpolarisasi linear sepanjang $z$ , tegak lurus bidang yang memuat berkas dan garis pandangnya. Pada sudut lain ia terpolarisasi sebagian, dengan derajat $(1 - \cos^2\chi)/(1 + \cos^2\chi)$ bagi sudut hamburan $\chi$ .

Bukti. Cahaya alami yang datang mempunyai $\vect E$ dengan komponen rerata yang sama sepanjang $y$ dan $z$ ; dwikutub sepanjang $y$ tak memancar ke arah $y$ ( $\sin \theta = 0$ ), yang sepanjang $z$ memancar $\propto\sin\theta = 1$ . Pada sudut $\chi$ sumbangan komponen $y$ -nya berkurang sebesar $\cos^2\chi$ dalam intensitas. ∎

Cahaya matahari yang dihamburkan sebuah molekul udara: dwikutub imbasnya mempunyai komponen yang tegak lurus berkasnya; seorang pengamat pada 90 hanya menerima komponen yang tegak lurus garis pandangnya — cahaya yang terpolarisasi linear. Di sanalah langit paling biru dan paling terpolarisasi. — Cahaya matahari yang dihamburkan sebuah molekul udara: dwikutub imbasnya mempunyai komponen yang tegak lurus berkasnya; seorang pengamat pada $90{}^{\circ}$ hanya menerima komponen yang tegak lurus garis pandangnya — cahaya yang terpolarisasi linear. Di sanalah langit paling biru dan paling terpolarisasi.

Catatan 17.9 (Mengapa cahaya birunya sampai kepada kita sama sekali)

Dalam medium yang seragam sempurna gelombang yang dihamburkan molekul tetangganya akan berinterferensi memusnah ke setiap arah kecuali ke depan (indeks biasnya adalah gelombang yang terhambur ke depan itu). Yang meninggalkan intensitas hambur bersih, sebanding dengan jumlah molekulnya seperti yang dihitung di atas bagi satu molekul, adalah fluktuasi kerapatan udaranya — molekulnya tak berada pada kisi (Einstein, 1910). Keacakan yang sama membuat cahaya langitnya tak koheren dari titik ke titik.

Metode 17.10 (Taksiran radiasi)

(1) Kenalilah dwikutubnya: $p_0 = q\,\times$ amplitudo, atau $I_0\ell/\omega$ bagi sebuah kawat. (2) Medan pada jarak $r$ : $E \approx \mu_0\omega^2p_0\sin\theta/4\pi r$ ; dayanya: $\mu_0\omega^4p_0^2/12\pi c$ . (3) Bagi muatan yang dipercepat pakailah Larmor; bagi sebuah antena pakailah hambatan radiasinya. (4) Bagi hamburan, hitunglah dwikutub imbasnya dari tanggapan mediumnya (model Lorentz) lalu bagilah daya terpancarnya dengan intensitas datangnya. (5) Ingatlah nolnya: tak ada apa pun sepanjang sumbu ayunannya, maka polarisasinya pada $90{}^{\circ}$ dan sudut Brewster Bab 15.

17.4 Latihan

Latihan 17.1 ★

Sebuah antena pendek $1.0\,\mathrm{m}$ mengemban $2.0\,\mathrm{A}$ (amplitudo) pada $100\,\mathrm{MHz}$ . Tentukanlah amplitudo dwikutubnya $p_0$ ; amplitudo medannya pada $1\,\mathrm{km}$ dalam bidang khatulistiwanya dan pada $30{}^{\circ}$ dari sumbunya; daya terpancarnya; hambatan radiasinya.

Solusi

Solusi Latihan 17.1.

$p_0 = I_0\ell/\omega = 3.2 \times 10^{-9}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m}$ ; $E = \mu_0\omega^2p_0\sin\theta/4\pi r$ : $0.13\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ pada $\theta = 90^\circ$ , $0.063\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ pada $30{}^{\circ}$ ; $\mathcal P = \mu_0\omega^4p_0^2/12\pi c = 175\,\mathrm{W}$ ; $R_{\text{rad}} = 2\mathcal P/I_0^2 = 88\,\Omega$ .

Latihan 17.2 ★

Tentukanlah hambatan radiasi sebuah kawat $1\,\mathrm{m}$ pada $100\,\mathrm{kHz}$ , $1\,\mathrm{MHz}$ , $10\,\mathrm{MHz}$ , $100\,\mathrm{MHz}$ ; bandingkanlah dengan hambatan tembaganya (berdiameter $1\,\mathrm{mm}$ , dengan efek kulit pada frekuensi yang lebih tinggi, $\delta = 0.2\,\mathrm{mm}$ pada $100\,\mathrm{kHz}$ ); tentukanlah efisiensinya (yang terpancar dibagi total) pada tiap halnya. Mengapa pemancar gelombang panjang mempunyai tiang setinggi beratus meter?

Solusi

Solusi Latihan 17.2.

$790(\ell/\lambda)^2$ : $8.8 \times 10^{-5}\,\Omega$ , $8.8 \times 10^{-3}\,\Omega$ , $0.88\,\Omega$ , $88\,\Omega$ . Tembaganya: $0.026$ , $0.084$ , $0.27$ , $0.84\,\Omega$ (efek kulit): efisiensinya $0.3\%$ , $10\%$ , $77\%$ , $99\%$ . Pada panjang gelombang yang panjang hanya tiang yang merupakan bagian yang lumayan dari $\lambda$ yang mempunyai hambatan radiasi di atas ruginya.

Latihan 17.3 ★

Tentukanlah nisbah hamburan Rayleigh cahaya $400\,\mathrm{nm}$ , $550\,\mathrm{nm}$ dan $700\,\mathrm{nm}$ ; dan nisbah bagi panjang gelombang radar $3\,\mathrm{cm}$ dan $10\,\mathrm{cm}$ oleh tetes hujan (seandainya cukup kecil — sebenarnya tidak begitu); mengapa radar cuaca memakai panjang gelombang pendek untuk melihat hujan dan yang panjang untuk melihat menembusnya?

Solusi

Solusi Latihan 17.3.

$400 : 550 : 700 = 9.4 : 2.6 : 1$ . $(10/3)^4 = 120$ : radar $3\,\mathrm{cm}$ melihat tetes kecil seratus kali lebih baik; yang $10\,\mathrm{cm}$ memandang menembus hujannya ke apa yang ada di belakangnya.

Latihan 17.4 ★

Tentukanlah derajat polarisasi cahaya langit pada $30{}^{\circ}$ , $60{}^{\circ}$ , $90{}^{\circ}$ , $120{}^{\circ}$ dari Matahari; ke bagian langit yang mana seorang juru foto harus mengarahkan polarisatornya untuk mendapatkan biru yang paling gelap, dan apa yang terjadi ketika Matahari tepat di atas kepala? Mengapa maksimum yang sebenarnya hanya sekitar $75\%$ (pikirkanlah hamburan ganda dan apa yang dipantulkan tanahnya)?

Solusi

Solusi Latihan 17.4.

$\sin^2\chi/(1 + \cos^2\chi)$ : $0.14$ , $0.60$ , $1$ , $0.60$ . Arahkanlah pada $90{}^{\circ}$ dari Mataharinya (sebuah lingkaran besar melintasi langit); dengan Matahari di atas kepala, seluruh cakrawalanya berada pada $90{}^{\circ}$ lalu terpolarisasi sepanjangnya. Hamburan ganda, pantulan tanahnya dan keanisotropian molekulnya menambahkan cahaya tak terpolarisasi: sekitar $75\%$ paling banyak.

Latihan 17.5 ★★

(a) Integralkanlah vektor Poynting dwikutubnya di seluruh sebuah bola lalu periksalah $\mathcal P = \mu_0\omega^4p_0^2/12\pi c$ . (b) Berapa bagian dayanya yang dipancarkan dalam $30{}^{\circ}$ dari bidang khatulistiwanya. (c) Sudut setengah daya: pada $\theta$ berapa intensitasnya separuh maksimumnya? (d) “Gain” dwikutubnya, yaitu intensitas maksimum dibagi rerata isotropiknya: tunjukkanlah bahwa nilainya $1.5$ .

Solusi

Solusi Latihan 17.5.

(a) $\int\sin^2\theta\,\dd\Omega = 8\pi/3$ . (b) $\int_{60^\circ}^{120^\circ}\sin^3\theta\,\dd\theta/ (4/3) = 0.917/1.333 = 69\%$ . (c) $\sin^2\theta = \tfrac12$ : $\theta = 45{}^{\circ}$ , sebuah berkas selebar $90{}^{\circ}$ . (d) Maksimumnya $1$ melawan reratanya $2/3$ : $1.5$ .

Latihan 17.6 ★★

Dekat dan jauh. (a) Tuliskanlah medan kuasi-statik sebuah dwikutub pada $\theta = 90^\circ$ , $E_{\text{ns}} = p/4\pi\varepsilon_0r^3$ , dan yang radiatif; pada jarak $r_0$ berapa amplitudonya sama? Nyatakanlah $r_0$ dalam $\lambda$ . (b) Bagi antena $1\,\mathrm{MHz}$ , berapa $r_0$ ; medan mana yang dirasakan sebuah penerima pada $10\,\mathrm{m}$ , pada $10\,\mathrm{km}$ ? (c) Sebuah telepon genggam pada $1\,\mathrm{GHz}$ yang dipegang $2\,\mathrm{cm}$ dari kepala: zona dekat atau jauh? (d) Mengapa medan dekatnya tak membawa daya bersih pergi?

Solusi

Solusi Latihan 17.6.

(a) $p/4\pi\varepsilon_0r^3 = \omega^2p/4\pi\varepsilon_0c^2r$ pada $r_0 = c/\omega = \lambda/2\pi$ . (b) $48\,\mathrm{m}$ : pada $10\,\mathrm{m}$ medan kuasi-statiknya, pada $10\,\mathrm{km}$ yang terpancar. (c) $r_0 = 4.8\,\mathrm{cm}$ : kepalanya berada dalam zona dekatnya. (d) $\vect E$ dan $\vect B$ zona dekatnya berada dalam kuadratur: vektor Poyntingnya rata-ratanya nol, energinya tersimpan lalu dikembalikan, seperti dalam sebuah kapasitor.

Latihan 17.7 ★★

Thomson dan korona. (a) Hitunglah $\sigma_T$ . (b) Korona matahari mempunyai $n_e \approx 1 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{-3}$ sepanjang $10^9$ m: berapa bagian cahaya fotosfernya yang terhambur ke arah kita; mengapa koronanya putih dan hanya tampak selama gerhana? (c) Sinar-X $10\,\mathrm{keV}$ pada sebuah atom karbon ( $6$ elektron, berenergi ikat di bawah $300\,\mathrm{eV}$ ): mengapa elektronnya menghambur seakan-akan bebas, dan berapa penampang lintang atomnya? (d) Mengapa citra sinar-X medis tulang berbeda dari daging terutama lewat serapan, bukan hamburan Thomson?

Solusi

Solusi Latihan 17.7.

(a) $8\pi r_e^2/3 = 6.65 \times 10^{-29}\,\mathrm{m}^{2}$ . (b) $n_e\sigma_TL = 10^{14} \times 6.65 \times 10^{-29} \times 10^9 = 7 \times 10^{-6}$ : sepersejuta fotosfernya, tak berwarna karena hamburan Thomson memang begitu, dan tenggelam oleh cahaya matahari yang terhambur langit kecuali pada gerhana. (c) $10\,\mathrm{keV}$ $\gg$ $300\,\mathrm{eV}$ : elektronnya menanggapi seakan bebas, $6\sigma_T = 4 \times 10^{-28}\,\mathrm{m}^{2}$ . (d) Serapan fotolistriknya tumbuh sebagai $Z^4$ lalu menonjolkan kalsiumnya; hamburannya sama tiap elektron dalam tulang maupun daging.

Latihan 17.8 ★★

Matahari terbenam. Kedalaman optik atmosfer bagi hamburan Rayleigh di zenit adalah $\tau(\lambda) = 0.1\,(550\,\text{nm}/\lambda)^4$ (cahaya langsungnya dilemahkan sebesar $\eu^{-\tau}$ ). (a) Tentukanlah penerusannya di zenit bagi $400\,\mathrm{nm}$ , $550\,\mathrm{nm}$ , $700\,\mathrm{nm}$ . (b) Pada matahari terbenam lintasannya $38$ kali lebih panjang: tentukanlah penerusannya; nisbah merah/birunya. (c) Mengapa Bulan berubah merah selama gerhana bulan? (d) Mengapa langit dekat cakrawala keputihan alih-alih biru pekat?

Solusi

Solusi Latihan 17.8.

(a) $\tau = 0.36$ , $0.10$ , $0.038$ : $T = 0.70$ , $0.90$ , $0.96$ . (b) $\tau \times 38 = 13.6$ , $3.8$ , $1.45$ : $T = 1 \times 10^{-6}$ , $0.02$ , $0.23$ ; merah dibagi biru $\sim 2 \times 10^5$ . (c) Atmosfer Bumi membengkokkan cahaya matahari terbenam ke dalam bayangannya, yang memerah oleh hamburan yang sama. (d) Dekat cakrawalanya lintasannya panjang: birunya terhambur keluar dari cahaya terhamburnya sendiri, dan hamburan ganda menambahkan putih.

Latihan 17.9 ★★

Dua antena. Dua dwikutub tegak yang terpisah jarak $d$ sepanjang $x$ disuapi dengan amplitudo yang sama. (a) Sefase, $d = \lambda/2$ : ke arah mendatar yang mana medan jauhnya bertambah, ke arah mana meniadakan? (larik sisi lebar). (b) Berlawanan fase, $d = \lambda/2$ : hal yang sama (tembak ujung). (c) Dalam kuadratur, $d = \lambda/4$ : tunjukkanlah bahwa lariknya memancar hanya ke satu sisi. (d) Mengapa pemancar siaran gelombang menengah memakai beberapa tiang, dan bagaimana sebuah radar larik berfase mengemudikan berkasnya tanpa bergerak?

Solusi

Solusi Latihan 17.9.

(a) Sepanjang garis pasangannya beda lintasannya $\lambda/2$ memberi peniadaan; ke arah sisi lebarnya, penambahan. (b) Berlawanan fase: kebalikannya — radiasi sepanjang garisnya (tembak ujung), tak ada ke arah sisi lebarnya. (c) Ke arah $+x$ : tunda lintasannya $-\pi/2$ ditambah fase catuannya $+\pi/2$ , sefase; ke arah $-x$ : $-\pi$ , meniadakan: sebuah kardioid, satu sisi saja. (d) Tiangnya membentuk cakupannya lalu melindungi tetangganya; sebuah larik berfase mengemudi dengan mengubah fase catuannya, dalam hitungan mikrosekon.

Latihan 17.10 ★★★

Peredaman radiasi. Elektron Lorentz (Bab 14) yang berayun pada $\omega_0$ dengan amplitudo $x_0$ memancar menurut rumus Larmor. (a) Tentukanlah daya terpancar reratanya; energi osilatornya $\tfrac12m\omega_0^2x_0^2$ ; tunjukkanlah bahwa energinya meluruh dengan laju $\Gamma = e^2\omega_0^2/6\pi\varepsilon_0mc^3$ . (b) Nilai $\Gamma$ bagi garis natrium ( $589\,\mathrm{nm}$ ): bandingkanlah dengan $\Gamma$ yang dipakai dalam Latihan 14.9. (c) Umur $1/\Gamma$ dan lebar alami garisnya, $\Delta\lambda = \lambda^2\Gamma/2\pi c$ . (d) Faktor kualitas $\omega_0/\Gamma$ osilator atomiknya.

Solusi

Solusi Latihan 17.10.

(a) $\langle\mathcal P\rangle = e^2\omega_0^4x_0^2/12\pi\varepsilon_0c^3$ , $W = \tfrac12m\omega_0^2x_0^2$ : $\Gamma = \mathcal P/W = e^2\omega_0^2/6\pi\varepsilon_0mc^3$ . (b) $\omega_0 = 3.2 \times 10^{15}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ : $\Gamma = 6.4 \times 10^{7}\,\mathrm{s}^{-1}$ — yaitu nilai yang dipakai. (c) $16\,\mathrm{ns}$ ; $\Delta\lambda = \lambda^2\Gamma/2\pi c = 1.2 \times 10^{-14}\,\mathrm{m}$ , seperseratus pikometer ( $10\,\mathrm{MHz}$ ). (d) $Q = 5 \times 10^7$ .

Latihan 17.11 ★★★

Tiangnya. Sebuah pemancar gelombang menengah memancarkan $50\,\mathrm{kW}$ pada $1\,\mathrm{MHz}$ dari sebuah tiang tegak setinggi $\lambda/4$ di atas tanah yang menghantar (yang berlaku sebagai cermin, sehingga tiangnya menjadi separuh dwikutub setengah gelombang: $R_{\text{rad}} \approx 36\,\Omega$ , dan dayanya masuk hanya ke setengah ruang atasnya). (a) Tentukanlah tingginya; arus di kakinya. (b) Amplitudo medan pada $10\,\mathrm{km}$ dalam bidang mendatarnya (pakailah pola dwikutubnya, $\mathcal P$ di seluruh setengah bola atasnya $= \int\langle\Pi\rangle\dd S$ ; ambillah $\langle\Pi\rangle = 1.5\, \mathcal P/2\pi r^2$ di cakrawalanya sebagai taksiran yang layak). (c) Ggl pada sebuah cambuk penerima $1\,\mathrm{m}$ di sana. (d) Mengapa konduktivitas tanahnya berarti, dan mengapa kawat tembaga radial ditanam di bawah tiangnya?

Solusi

Solusi Latihan 17.11.

(a) $75\,\mathrm{m}$ ; $I_0 = \sqrt{2\mathcal P/R} = 53\,\mathrm{A}$ . (b) $\langle\Pi\rangle = 1.5 \times 5 \times 10^4/2\pi \times 10^8 = 1.2 \times 10^{-4}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , $E_0 = \sqrt{2\Pi/\varepsilon_0c} = 0.30\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ . (c) $0.30\,\mathrm{V}$ . (d) Arus baliknya mengalir dalam tanahnya; tanah yang berhambatan menambahkan rugi lalu merusak cerminnya; radial yang ditanam memberinya lintasan tembaga.

Latihan 17.12 ★★★

Hamburan dan indeksnya. Bagi gas encer gelombang yang terhambur ke depan dari semua molekulnya bertambah secara koheren lalu membangun indeks biasnya, $n - 1 = N\alpha/2\varepsilon_0$ dengan $\alpha = e^2/m\omega_0^2$ yaitu keterpolarannya; penampang lintang Rayleighnya adalah $\sigma = (8\pi/3)r_e^2(\omega/\omega_0)^4$ . (a) Nyatakanlah $\sigma$ dalam $n$ , $N$ dan $\lambda$ : $\sigma = 8\pi^3(n^2 - 1)^2/3N^2\lambda^4$ . (b) Bagi udara ( $n - 1 = 2.9 \times 10^{-4}$ , $N = 2.5 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$ ) pada $550\,\mathrm{nm}$ : tentukanlah $\sigma$ dan jalan bebas reratanya $1/N\sigma$ . (c) Kedalaman optik tegak atmosfernya (tinggi setaranya $8\,\mathrm{km}$ ); bandingkanlah dengan $0.1$ Latihan 17.8. (d) Mengapa hubungan ini (Rayleigh, 1899) memberi nilai bilangan Avogadro?

Solusi

Solusi Latihan 17.12.

(a) $p_0 = \alpha E_0$ memberi $\sigma = \alpha^2\omega^4/6\pi\varepsilon_0^2c^4$ ; dengan $\alpha = \varepsilon_0(n^2 - 1)/N$ dan $\omega = 2\pi c/\lambda$ : $\sigma = 8\pi^3(n^2 - 1)^2/3N^2\lambda^4$ . (b) $n^2 - 1 = 5.8 \times 10^{-4}$ : $\sigma = 4.9 \times 10^{-31}\,\mathrm{m}^{2}$ , jalan bebas reratanya $1/N\sigma = 80\,\mathrm{km}$ . (c) $8/80 = 0.1$ . (d) $\sigma$ diukur dari pelemahan langitnya, $n$ diketahui: $N$ menyusul, maka bilangan Avogadro.

17.5 Soal: Tiang, langit dan elektron

Soal 17.1

Soal akhir pekan — tiga antena: sebuah tiang siaran, sebuah molekul udara dalam cahaya matahari, dan sebuah elektron bebas

Bagian I — Tiangnya. Sebuah pemancar gelombang menengah pada $f = 1.0\,\mathrm{MHz}$ memancarkan $\mathcal P = 100\,\mathrm{kW}$ dari sebuah tiang seperempat gelombang di atas tanah yang menghantar ( $R_{\text{rad}} = 36\,\Omega$ , berpola dwikutub tegak di seluruh setengah ruang atasnya, seperti dalam Latihan 17.11).

Panjang gelombang dan tinggi tiangnya; amplitudo arus di kakinya; tegangan pada $R_{\text{rad}}$ .
Amplitudo momen dwikutub setaranya, dengan memperlakukan tiangnya sebagai dwikutub pendek dengan $p_0 = I_0\ell_{\text{ef}}/\omega$ , $\ell_{\text{ef}} \approx \lambda/2\pi$ bagi tiang seperempat gelombangnya (diterima tanpa bukti).
Intensitas rerata pada $10\,\mathrm{km}$ dan $100\,\mathrm{km}$ dalam bidang mendatarnya (ambillah pola setengah bola atasnya, yang maksimal di cakrawalanya, $\langle\Pi\rangle = 1.5\mathcal P/2\pi r^2$ ); amplitudo medannya.
Ggl pada cambuk tegak $1\,\mathrm{m}$ pada $100\,\mathrm{km}$ ; pada sebuah antena batang ferit (kumparan berlilitan $N = 100$ , $1\,\mathrm{cm}^{2}$ , permeabilitas efektif $100$ ) yang menghadap $\vect B$ gelombangnya: bandingkanlah.
Daya yang diterima sebuah penerima tersesuaikan berantena berluas efektif $A = 1.5\lambda^2/4\pi$ (milik dwikutubnya) pada $100\,\mathrm{km}$ .
Penghantar tiangnya mempunyai hambatan rugi total $2\,\Omega$ : tentukanlah efisiensinya; daya yang hilang sebagai kalor.
Adakah sebuah penerima pada $10\,\mathrm{km}$ berada dalam zona radiasi? Dan yang pada $100\,\mathrm{m}$ dari tiangnya?
Mengapa sinyal gelombang menengah mencapai lebih jauh pada malam hari? (Ingatlah lapisan D Bab 14.)

Bagian II — Langitnya. Udara di permukaan laut: $N = 2.5 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$ , penampang lintang Rayleighnya $\sigma = 4.6 \times 10^{-31}\,\mathrm{m}^{2}\,(550\,\text{nm}/\lambda)^4$ ; cahaya matahari $1.0\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ di tanahnya; tebal setara atmosfernya pada kerapatan permukaan lautnya adalah $8\,\mathrm{km}$ .

Penampang lintangnya pada $450\,\mathrm{nm}$ dan $650\,\mathrm{nm}$ ; nisbahnya.
Jalan bebas rerata ketiga warnanya; kedalaman optik tegaknya $\tau = N\sigma H$ ; bagian tiap warnanya yang terhambur keluar dari berkas langsungnya di zenit.
Daya yang terhambur tiap meter kubik udara di tanahnya oleh cahaya hijaunya (ambillah $300\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ cahaya matahari di sekitar $550\,\mathrm{nm}$ ); ke dalam sudut ruang berapa, dengan pola apa?
Sebuah kolom udara berpenampang $1\,\mathrm{m}^{2}$ yang dipandang pada $90{}^{\circ}$ dari Matahari: taksirlah intensitas cahaya langit yang tiba pada pengamatnya dari kolom itu (daya yang terhambur ke arahnya tiap satuan sudut ruang, sepanjang $8\,\mathrm{km}$ ), lalu bandingkanlah dengan Matahari langsungnya; berordekah kecerahan langitnya dengan benar (sekitar $1 \times 10^{-5}\,$ dari Matahari)?
Derajat polarisasi cahaya dari kolom itu; mengapa nilainya lebih rendah dalam kenyataan, dan bagaimana sebagian serangga memakainya?
Pada matahari terbenam lintasannya $38$ atmosfer: tentukanlah bagian yang diteruskan dari biru dan merahnya; warna Mataharinya; mengapa langit di atas kepala tetap biru.
Mengapa langit hitam di Bulan bahkan pada siang bolong?
Di Mars udaranya seratus kali lebih tipis tetapi penuh debu halus (butir semikrometer): mengapa langit Mars berwarna karamel dan matahari terbenamnya biru?

Bagian III — Elektronnya.

Penampang lintang Thomson dari $r_e$ .
Dalam tabung sinar-X sebuah elektron $100\,\mathrm{keV}$ ( $v = 1.6 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , perlakukanlah secara tak relativistik) dihentikan sepanjang $2\,\text{µ}\mathrm{m}$ dalam wolfram: tentukanlah percepatannya, daya Larmornya, lamanya, energi yang terpancar dan bagiannya dari energi kinetiknya.
Panjang gelombang terpendek yang dapat dipancarkan tabungnya (sebuah foton yang mengambil seluruh energi elektronnya).
Tabungnya berjalan pada $20\,\mathrm{mA}$ : tentukanlah daya terpancarnya; kalor dalam anodanya; mengapa anodanya berputar.
Sebuah elektron klasik yang mengelilingi sebuah proton pada jari-jari Bohr ( $5.3 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}$ , kelajuan $2.2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ): tentukanlah percepatannya, daya Larmornya, dan waktu untuk memancarkan habis $13.6\,\mathrm{eV}$ -nya — yaitu umur atom klasiknya.
Atom yang sungguhan bertahan selamanya: sebutkanlah apa yang terlewat fisika klasik di sini, dan apa yang akan dikatakan Bab 30 tentang sebuah keadaan tegar.
Sebuah elektron dalam sinkrotron berjari-jari $100\,\mathrm{m}$ pada $v \approx c$ : rumus Larmor tak relativistiknya memberi daya berapa? (Daya yang sebenarnya $\gamma^4$ kali lebih besar, dengan $\gamma \sim 10^4$ : yaitu sumber cahaya sinkrotron.)
Elektron yang sama dalam keadaan diam dalam $1\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ cahaya matahari: tentukanlah daya yang dipancarkannya ulang (Thomson); jumlah elektron semacam itu yang diperlukan untuk menghamburkan satu watt.
Ringkaslah ketiga antenanya dalam sebuah tabel: momen dwikutub, frekuensi, daya, pola.

Solusi

Solusi Soal 17.1.

1. $\lambda = 300\,\mathrm{m}$ , $h = 75\,\mathrm{m}$ ; $I_0 = \sqrt{2 \times 10^5/36} = 75\,\mathrm{A}$ ; $V = RI_0 = 2.7\,\mathrm{kV}$ .

2. $\ell_{\text{ef}} = 48\,\mathrm{m}$ : $p_0 = 75 \times 48/6.3 \times 10^6 = 5.7 \times 10^{-4}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m}$ .

3. $\langle\Pi\rangle = 1.5 \times 10^5/2\pi r^2$ : $2.4 \times 10^{-4}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ dan $2.4 \times 10^{-6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; $E_0 = 0.42\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ dan $0.042\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ .

4. Cambuknya: $42\,\mathrm{mV}$ . Batangnya: $N\mu_{\text{ef}}A\omega B_0 = 10^4 \times 10^{-4} \times 6.3 \times 10^6 \times 1.4 \times 10^{-10} = 0.9\,\mathrm{mV}$ — lebih kecil, tetapi ringkas dan selektif.

5. $A = 1.5\lambda^2/4\pi = 1.1 \times 10^{4}\,\mathrm{m}^{2}$ : $P = \Pi A = 26\,\mathrm{mW}$ .

6. $36/38 = 95\%$ ; $5\,\mathrm{kW}$ kalor.

7. $r/\lambda = 33$ pada $10\,\mathrm{km}$ : zona radiasi; pada $100\,\mathrm{m}$ , $r \approx \lambda/3$ : daerah peralihannya, yang di dalamnya medan kuasi-statiknya masih berarti.

8. Pada siang hari lapisan D menyerap gelombang yang jika tidak akan mencapai lapisan pemantulnya; pada malam hari ia lenyap dan gelombang langitnya membawa pemancarnya beratus kilometer.

9. $\sigma(450) = 1.0 \times 10^{-30}\,\mathrm{m}^{2}$ , $\sigma(650) = 2.4 \times 10^{-31}\,\mathrm{m}^{2}$ : nisbahnya $4.4$ .

10. Jalan bebas reratanya $39$ , $87$ , $170\,\mathrm{km}$ ; $\tau = 0.21$ , $0.09$ , $0.05$ : $19\%$ , $9\%$ , $5\%$ terhambur.

11. $N\sigma I = 2.5 \times 10^{25} \times 4.6 \times 10^{-31} \times 300 = 3.5\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{3}$ , ke dalam $4\pi$ dengan pola $(1 + \cos^2\chi)$ bagi cahaya alami.

12. Kolomnya menghamburkan $3.5 \times 10^{-3} \times 8000 = 28\,\mathrm{W}$ dari $300\,\mathrm{W}$ -nya ( $9\%$ ); tersebar di seluruh setengah bolanya, langitnya menyerahkan sekitar $4\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{sr}^{-1}$ , melawan Matahari yang $300/6.8 \times 10^{-5} = 4 \times 10^{6}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{sr}^{-1}$ : sepersejuta tiap steradian — ordenya benar.

13. Terpolarisasi penuh pada $90{}^{\circ}$ dalam hamburan tunggal; hamburan ganda dan tanahnya menurunkannya menjadi sekitar $75\%$ ; lebah dan semut membaca polanya untuk menemukan Matahari di balik awan.

14. $\tau \times 38$ : birunya $8$ ( $T = 3 \times 10^{-4}$ ), merahnya $1.8$ ( $T = 0.17$ ): sebuah Matahari merah pekat; di atas kepala, cahayanya tiba sesudah lintasan pendek dan biru.

15. Tak ada atmosfer, tak ada yang menghamburkan: langitnya hitam di samping Mataharinya.

16. Debu semikrometer menghamburkan seperti partikel Mie: ke depan dan merah, sehingga memberi langit karamel; dekat Matahari terbenamnya cahaya yang terhambur ke depan berwarna biru.

17. $8\pi r_e^2/3 = 6.65 \times 10^{-29}\,\mathrm{m}^{2}$ .

18. $a = v^2/2d = 6.4 \times 10^{21}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $\mathcal P = e^2a^2/6\pi\varepsilon_0c^3 = 2 \times 10^{-10}\,\mathrm{W}$ selama $2d/v = 2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ : $6 \times 10^{-24}\,\mathrm{J}$ , $10^{-10}$ dari $100\,\mathrm{keV}$ — hasil yang sebenarnya dekat $1\%$ , sebab pengeremannya terjadi dalam perjumpaan dekat yang keras dengan intinya, bukan dalam perlambatan yang lembut dan seragam.

19. $hc/E = 12.4\,\mathrm{pm}$ .

20. $2\,\mathrm{kW}$ dalam berkasnya, sekitar $20\,\mathrm{W}$ sinar-X; dua kilowatt kalor dalam satu bintik — anodanya berputar untuk menyebarkannya.

21. $a = v^2/r = 9 \times 10^{22}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $\mathcal P = 5 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}$ ; $13.6\,\mathrm{eV}$ habis dalam $5 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}$ .

22. Muatan klasik dalam gerak terikat memancar terus-menerus; mekanika kuantum mempunyai keadaan tegar yang tidak memancar, dan sebuah keadaan terendah yang tak punya tempat untuk jatuh.

23. $a = c^2/R = 9 \times 10^{14}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : $5 \times 10^{-24}\,\mathrm{W}$ menurut Larmor, $\gamma^4 \sim 10^{16}$ kali lebih banyak dalam kenyataan: berpuluh kilowatt cahaya sinkrotron dari berkas yang tersimpan.

24. $\sigma_TI = 6.7 \times 10^{-26}\,\mathrm{W}$ ; $1.5 \times 10^{25}$ elektron bagi satu watt.

25. Tiangnya: $5.7 \times 10^{-4}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m}$ pada $1\,\mathrm{MHz}$ , $100\,\mathrm{kW}$ , sebuah donat tegak. Molekulnya: $\sim$ $1 \times 10^{-35}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m}$ pada $500\,\mathrm{THz}$ , $1 \times 10^{-28}\,\mathrm{W}$ , sebuah donat terhadap medannya. Elektron bebasnya: Thomson, $1 \times 10^{-25}\,\mathrm{W}$ dalam cahaya matahari, dengan pola yang sama.