Fisika Universitas — Tahun 2 · Bachelor Year 2

30Persamaan Schrödinger dan Fungsi Gelombang

Tembakkanlah elektron satu demi satu ke sepasang celah lalu rekamlah tempat jatuh masing-masingnya: sebuah titik di sini, sebuah titik di sana, tampaknya acak — dan sesudah sepuluh ribu titik, muncullah rumbai percobaan Young, seakan-akan tiap elektronnya telah melewati kedua celahnya lalu berinterferensi dengan dirinya sendiri. Bab terakhir jilid Tahun 1 menjumpai keanehan ini: cahaya datang dalam foton, materi mempunyai panjang gelombang $\lambda = h/p$ , dan kedudukan dan momentumnya tak dapat keduanya tajam. Yang tak diberikannya adalah persamaan-nya — yaitu kaidah yang mengatakan bagaimana gelombang yang berkaitan dengan sebuah partikel berkembang, sebagaimana hukum Newton mengatakan bagaimana sebuah lintasan berkembang. Persamaan itu adalah persamaan Schrödinger (1926), dan dengannya lukisan kuantumnya menjadi sebuah teori yang dapat dihitung: orang menuliskan sebuah fungsi gelombang $\psi(x,t)$ , yang kuadrat modulusnya adalah peluang menemukan partikelnya, lalu menyelesaikan sebuah persamaan diferensial parsial yang linear. Bab ini menyatakan persamaannya, menjelaskan apa arti $\psi$ dan apa yang bukan artinya, mencari keadaan tegar dan paket gelombang partikel bebasnya, lalu menunjukkan di mana mekanika Newton muncul kembali — bagi segala yang lebih berat daripada sebuah molekul.

Sebuah mikroskop elektron transmisi: elektron yang dipercepat sampai seratus kilovolt mempunyai panjang gelombang beberapa pikometer, dan fungsi gelombangnya, yang difokuskan lensa magnet, mencitrakan atom sebuah hablur.

30.1 Apa yang ditinggalkan jilid Tahun 1 bagi kita

Proposisi 30.1 (Partikel adalah gelombang)

Sebuah foton berfrekuensi $\nu$ mempunyai energi $E = h\nu = \hbar\omega$ dan momentum $p = h/\lambda = \hbar k$ ; sebuah partikel bermateri bermomentum $p$ berperilaku sebagai sebuah gelombang berpanjang gelombang $\lambda = h/p$ (de Broglie), dengan $E = \hbar\omega$ dan $p = \hbar k$ juga — difraksi elektron oleh hablur, interferometri neutron dan bahkan molekul mengukuhkannya; dan tak ada keadaan yang dapat mempunyai kedudukan dan momentum yang lebih tajam daripada $\Delta x\,\Delta p \ge \hbar/2$ (Heisenberg). Dengan $\hbar = h/2\pi = 1.05 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ : sebuah elektron pada $100\,\mathrm{eV}$ mempunyai $\lambda = 0.12\,\mathrm{nm}$ , seukuran sebuah atom; sebutir debu $1 \times 10^{-15}\,\mathrm{kg}$ pada $1\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ mempunyai $\lambda = 7 \times 10^{-16}\,\mathrm{m}$ , lebih kecil daripada sebuah inti — ia berperilaku klasik.

Bukti. Diingat kembali dari jilid Tahun 1; tugasnya kini adalah dinamika gelombangnya. ∎

Sebuah pola difraksi elektron yang direkam dalam sebuah mikroskop elektron (sebuah pola Kikuchi dari sebuah hablur): elektron berpanjang gelombang beberapa pikometer, yang didifraksikan bidang atomnya — materi yang berperilaku sebagai gelombang (NIST).

30.2 Fungsi gelombang

Definisi 30.2 (Fungsi gelombang dan kaidah Born)

Keadaan sebuah partikel yang bergerak sepanjang $x$ dilukiskan sebuah fungsi gelombang kompleks $\psi(x,t)$ sedemikian sehingga

\dd\mathcal P = |\psi(x,t)|^2\,\dd x

adalah peluang menemukan partikelnya antara $x$ dan $x + \dd x$ pada saat $t$ (yaitu kaidah Born); maka penormalannya $\int_{-\infty}^{\infty}|\psi|^2\dd x = 1$ , dan nilai harapnya $\langle x\rangle = \int x|\psi|^2\dd x$ , $\Delta x^2 = \langle x^2\rangle - \langle x\rangle^2$ . Fungsi gelombang menuruti asas tumpang tindih: jika $\psi_1$ dan $\psi_2$ merupakan keadaan yang mungkin, begitu pula $\alpha\psi_1 + \beta\psi_2$ (yang dinormalkan), dan peluangnya lalu memuat suku interferensi $2\operatorname{Re}(\alpha^*\beta\,\psi_1^*\psi_2)$ . Sebuah faktor fase menyeluruh $\eu^{\iu\theta}$ tak mengubah apa pun; sebuah fase nisbi antara dua komponen yang ditumpangkan mengubah interferensinya.

Catatan 30.3 (Apa yang bukan $\psi$ )

$\psi$ bukan sebuah medan klasik yang tersebar dalam ruang seperti $\vect E$ , bukan pula sebuah awan materi: elektronnya selalu ditemukan utuh, di satu titik. $\psi$ adalah sebuah amplitudo peluang, yaitu objek yang berinterferensi; hanya $|\psi|^2$ yang teramati, dan hanya secara statistik, lewat mengulangi percobaannya pada partikel yang disiapkan serupa. Titik celah gandanya adalah elektron tunggal; rumbainya adalah $|\psi_1 + \psi_2|^2$ .

30.3 Persamaan Schrödinger

Teorema 30.4 (Persamaan Schrödinger)

Sebuah partikel bermassa $m$ dalam energi potensial $V(x)$ mempunyai sebuah fungsi gelombang yang menuruti

\iu\hbar\,\frac{\partial\psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\,\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} + V(x)\,\psi .

Ia linear (tumpang tindih), berorde pertama dalam waktu (fungsi gelombangnya pada satu saat menetapkannya pada semua waktu kemudian), dan kompleks ( $\psi$ tak dapat nyata: $\iu$ -nya hakiki). Ia sebuah postulat, yang dibenarkan oleh akibatnya.

Bukti. Sebuah motivasi alih-alih sebuah bukti. Sebuah partikel bebas bermomentum tajam $p = \hbar k$ dan berenergi $E = \hbar\omega$ seharusnya berupa sebuah gelombang bidang $\psi = A\eu^{\iu(kx - \omega t)}$ , yang baginya $\iu\hbar\partial_t\psi = \hbar\omega\psi = E\psi$ dan $-(\hbar^2/2m)\partial_x^2\psi = (\hbar^2k^2/2m)\psi = (p^2/2m)\psi$ . Hubungan klasiknya $E = p^2/2m$ dengan demikian dihasilkan ulang persamaan $\iu\hbar\partial_t\psi = -(\hbar^2/2m)\partial_x^2\psi$ , dan perumuman alaminya bagi $E = p^2/2m + V$ menambahkan $V\psi$ . Perhatikanlah bahwa persamaannya harus linear agar berlaku bagi tumpang tindih gelombang bidangnya, dan berorde pertama dalam waktu dengan sebuah $\iu$ agar $\eu^{-\iu\omega t}$ dan bukan $\cos\omega t$ yang menjadi kebergantungan waktunya — sebuah persamaan gelombang yang nyata akan memberi $E^2 \propto p^4$ . ∎

Proposisi 30.5 (Kekekalan peluang)

Rapat peluangnya $\rho = |\psi|^2$ dan arus peluang

j = \frac{\hbar}{m}\operatorname{Im}\Big(\psi^*\frac{\partial\psi}{\partial x}\Big) = \frac{\hbar}{2\iu m}\Big(\psi^*\partial_x\psi - \psi\,\partial_x\psi^*\Big)

menuruti $\partial_t\rho + \partial_xj = 0$ : peluangnya tak diciptakan maupun dimusnahkan, dan $\int|\psi|^2\dd x$ tetap sama dengan $1$ . Bagi sebuah gelombang bidang $A\eu^{\iu kx}$ , $j = |A|^2\hbar k/m = \rho v$ : kerapatan dikalikan kecepatan, seperti bagi sebarang aliran.

Bukti. $\partial_t(\psi^*\psi) = \psi^*\partial_t\psi + \psi\,\partial_t\psi^*$ ; dari persamaannya dan konjugatnya, $\partial_t\psi = (\iu\hbar/2m)\partial_x^2\psi - (\iu/\hbar)V\psi$ , $\partial_t\psi^* = -(\iu\hbar/2m)\partial_x^2\psi^* + (\iu/\hbar)V\psi^*$ ; suku $V$ -nya saling meniadakan dan sisanya adalah $(\iu\hbar/2m)(\psi^* \partial_x^2\psi - \psi\,\partial_x^2\psi^*) = -\partial_xj$ . ∎

Proposisi 30.6 (Momentum, nilai harap dan limit klasiknya)

Momentum sebuah keadaan diperoleh lewat operator $\hat p = -\iu\hbar\,\partial_x$ (yang memberi $\hbar k$ pada sebuah gelombang bidang): $\langle p\rangle = \int\psi^*(-\iu\hbar\partial_x\psi)\dd x$ , dan energinya lewat $\hat H = -(\hbar^2/2m)\partial_x^2 + V$ . Nilai harapnya menuruti (Ehrenfest)

\frac{\dd\langle x\rangle}{\dd t} = \frac{\langle p\rangle}{m}, \qquad \frac{\dd\langle p\rangle}{\dd t} = -\Big\langle\frac{\dd V}{\dd x}\Big\rangle :

pusat paket gelombangnya menuruti hukum Newton secara eksak ketika $V$ paling banter kuadratik, dan secara hampiran kapan pun paketnya sempit dibandingkan dengan skala yang sepanjangnya $V$ berubah — yaitu limit klasiknya, yang berlaku bagi sebarang objek makroskopis karena $\hbar$ begitu kecil.

Bukti. Turunkanlah $\langle x\rangle = \int x|\psi|^2$ , pakailah $\partial_t\rho = -\partial_xj$ lalu integralkanlah bagian demi bagian: $\dd\langle x\rangle/\dd t = \int j\,\dd x = \langle p\rangle/m$ . Hubungan keduanya adalah perhitungan yang sama satu orde lebih tinggi (diterima tanpa bukti di sini). ∎

30.4 Keadaan tegar

Teorema 30.7 (Keadaan tegar)

Jika $V$ tak bergantung waktu, persamaannya mempunyai penyelesaian berbentuk terpisah

\psi(x,t) = \varphi(x)\,\eu^{-\iu Et/\hbar}, \qquad -\frac{\hbar^2}{2m}\,\varphi'' + V\varphi = E\varphi

(yaitu persamaan Schrödinger tak bergantung waktu): yaitu keadaan tegar, yang berenergi $E$ terdefinisi baik, yang rapat peluangnya $|\varphi|^2$ tak beranjak. Energi $E$ yang $\varphi$ -nya dapat diterima (terbatas, dapat dinormalkan bagi sebuah keadaan terikat) adalah aras energi-nya; penyelesaian umumnya adalah sebuah tumpang tindih $\psi = \sum_nc_n\varphi_n(x)\eu^{-\iu E_nt/\hbar}$ , dan sebuah tumpang tindih dua aras mempunyai kerapatan yang berayun pada frekuensi Bohr $\nu_{21} = (E_2 - E_1)/h$ — yaitu frekuensi cahaya yang dipancarkan atau diserap atomnya.

Bukti. Sisipkanlah $\varphi(x)f(t)$ : $\iu\hbar f'/f = (-\hbar^2\varphi''/2m + V\varphi)/\varphi$ , sebuah fungsi $t$ yang sama dengan sebuah fungsi $x$ , maka sebuah tetapan $E$ ; $f = \eu^{-\iu Et/\hbar}$ . Bagi dua aras, $|c_1\varphi_1\eu^{-\iu E_1t/\hbar} + c_2\varphi_2\eu^{-\iu E_2t/\hbar}|^2 = |c_1\varphi_1|^2 + |c_2\varphi_2|^2 + 2\operatorname{Re}(c_1^*c_2\varphi_1^*\varphi_2\eu^{-\iu(E_2 - E_1)t/\hbar})$ . Kelengkapan keadaan tegarnya diterima tanpa bukti. ∎

Sebuah keadaan tegar: profil ruangnya (x) (di sini keadaan dasar sebuah sumur) dikalikan sebuah fasor yang berputar dengan laju E/; bagian nyata dan khayalnya berputar saling masuk sementara | |2 tetap diam. — Sebuah keadaan tegar: profil ruangnya $\varphi(x)$ (di sini keadaan dasar sebuah sumur) dikalikan sebuah fasor yang berputar dengan laju $E/\hbar$ ; bagian nyata dan khayalnya berputar saling masuk sementara $|\psi|^2$ tetap diam.

Sebuah tumpang tindih kedua keadaan terendah sebuah sumur: kerapatannya berkecipak dari satu sisi ke sisi lainnya pada frekuensi Bohr (E_2 - E_1)/h — sebuah muatan yang berayun, maka () sebuah dwikutub yang memancar tepat pada frekuensi garis spektrumnya. — Sebuah tumpang tindih kedua keadaan terendah sebuah sumur: kerapatannya berkecipak dari satu sisi ke sisi lainnya pada frekuensi Bohr $(E_2 - E_1)/h$ — sebuah muatan yang berayun, maka (Bab 17) sebuah dwikutub yang memancar tepat pada frekuensi garis spektrumnya.

30.5 Partikel bebas: gelombang bidang dan paket gelombang

Proposisi 30.8 (Partikel bebas)

Bagi $V = 0$ keadaan tegarnya adalah gelombang bidang $\eu^{\iu(kx - \omega t)}$ dengan

E = \hbar\omega = \frac{\hbar^2k^2}{2m}, \qquad v_\varphi = \frac{\omega}{k} = \frac{\hbar k}{2m}, \qquad v_{\text{g}} = \frac{\dd\omega}{\dd k} = \frac{\hbar k}{m} = \frac{p}{m} :

gelombang materi bersifat dispersif; kecepatan fasenya tak mempunyai makna fisis, dan kecepatan grup-nya adalah kecepatan partikelnya. Sebuah gelombang bidang tak dapat dinormalkan — sebuah partikel bermomentum tajam sempurna tersebar di seluruh ruang — sehingga sebuah partikel yang sungguhan adalah sebuah paket gelombang, yaitu sebuah tumpang tindih gelombang bidang pada sebuah pita $\Delta k$ , yang terlokalkan sepanjang $\Delta x \sim 1/\Delta k$ , bergerak dengan $v_{\text{g}}$ dan menyebar: sebuah paket Gauss berlebar awal $\sigma_0$ mempunyai pada saat $t$ lebar

\sigma(t) = \sigma_0\sqrt{1 + \Big(\frac{\hbar t}{2m\sigma_0^2}\Big)^2}, \qquad \tau = \frac{2m\sigma_0^2}{\hbar} ,

dan memenuhi $\Delta x\,\Delta p = \hbar/2$ pada $t = 0$ (yaitu minimum yang dibolehkan) dan lebih daripadanya kemudian.

Bukti. Hubungan dispersinya menyusul dari persamaannya; $v_{\text{g}}$ seperti dalam Bab 8. Rumus penyebarannya datang dari sintesis Fourier paketnya — tiap komponen $\eu^{\iu kx}$ memungut fase $\eu^{-\iu\hbar k^2t/2m}$ , dan integral Gauss dengan sebuah koefisien kompleks memberi sebuah Gauss berlebar tumbuh; integral Fouriernya adalah perkakas jilid matematika Tahun 3 dan kita menerima hasilnya. Secara fisis: paketnya memuat momentum yang tersebar pada $\Delta p = \hbar/2\sigma_0$ , maka kecepatan yang tersebar pada $\Delta v = \hbar/2m\sigma_0$ , dan sesudah $t$ komponen yang lebih cepat telah melampaui yang lebih lambat sebesar $\Delta v\,t$ — rumusnya mengatakan tepat inilah. ∎

Kiri: kurva dispersi partikel bebasnya, dengan kecepatan grupnya (garis singgung) dan kecepatan fasenya (talibusur ke titik asalnya), separuhnya. Kanan: sebuah paket Gauss yang bergerak dengan v_ g lalu menyebar — lebarnya √2 kali lebih besar sesudah = 2m _02/, puncaknya lebih rendah, luasnya tetap. — Kiri: kurva dispersi partikel bebasnya, dengan kecepatan grupnya (garis singgung) dan kecepatan fasenya (talibusur ke titik asalnya), separuhnya. Kanan: sebuah paket Gauss yang bergerak dengan $v_{\text{g}}$ lalu menyebar — lebarnya $\sqrt2$ kali lebih besar sesudah $\tau = 2m\sigma_0^2/\hbar$ , puncaknya lebih rendah, luasnya tetap.

Contoh 30.9 (Siapa yang menyebar)

Sebuah elektron yang terlokalkan dalam $\sigma_0 = 1\,\mathrm{nm}$ : $\tau = 2m\sigma_0^2/\hbar = 1.7 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ — sesudah senanosekon paketnya selebar $60\,\text{µ}\mathrm{m}$ : sebuah elektron yang ditinggal sendirian tak tinggal diam; yang terikat dalam sebuah atom ia tak menyebar karena potensialnya menahannya (yaitu sebuah keadaan tegar). Sebutir debu $1 \times 10^{-15}\,\mathrm{kg}$ yang terlokalkan sampai $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ : $\tau = 2 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ , delapan bulan; sebutir peluru: lebih lama daripada umur alam semesta. Penyebaran kuantumnya nyata, dan tak tampak bagi apa pun yang dapat dilihat orang.

Catatan 30.10 (Energi dan waktu)

Sebuah keadaan yang hanya ada selama $\Delta t$ — sebuah atom tereksitasi berumur $\tau$ , sebuah deret gelombang sepanjang $c\tau$ — adalah sebuah tumpang tindih energi yang tersebar pada $\Delta E \sim \hbar/\Delta t$ : yaitu hubungan Fourier Bab 18 antara durasi sebuah deret dan lebar spektrumnya, yang kini diterapkan pada $E = \hbar\omega$ . Sebuah aras atomik berumur $10\,\mathrm{ns}$ mempunyai lebar $\Delta E = 7 \times 10^{-8}\,\mathrm{eV}$ , yaitu sebuah lebar garis alami $16\,\mathrm{MHz}$ ; lebar Doppler Bab 23 ( $1.5\,\mathrm{GHz}$ ) menyembunyikannya dalam sebuah gas, tetapi tidak dalam sebuah atom dingin atau sebuah ion yang diam.

Metode 30.11 (Bekerja dengan fungsi gelombang)

(1) Normalkanlah; peluangnya adalah $\int|\psi|^2$ pada daerahnya. (2) $V$ yang tak bergantung waktu: carilah $\varphi(x)\eu^{-\iu Et/\hbar}$ , selesaikanlah persamaan tegarnya, paksakanlah syarat batasnya — itulah arasnya. (3) Tumpangkanlah keadaan tegarnya bagi perkembangannya; dua arasnya berlayang pada $(E_2 - E_1)/h$ . (4) Gerak bebas: $v_{\text{g}} = p/m$ , waktu penyebarannya $2m\sigma_0^2/\hbar$ . (5) Arus: $j = (\hbar/m)\operatorname{Im}(\psi^*\psi')$ ; bagi $A\eu^{\iu kx} + B\eu^{-\iu kx}$ , $j = (|A|^2 - |B|^2)\hbar k/m$ (tanpa suku silang). (6) Limit klasik: Ehrenfest, dan $\lambda$ terhadap ukuran radasnya.

30.6 Latihan

Latihan 30.1 ★

Tentukanlah panjang gelombang de Broglie: sebuah elektron pada $100\,\mathrm{eV}$ , $10\,\mathrm{keV}$ , $100\,\mathrm{keV}$ (pakailah $p = \sqrt{2mE}$ , lalu katakanlah mengapa yang terakhir menuntut sebuah koreksi); sebuah neutron termal ( $25\,\mathrm{meV}$ , $m = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ ); sebuah molekul C $_{60}$ ( $m = 1.2 \times 10^{-24}\,\mathrm{kg}$ ) pada $200\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; sebuah bola tenis. Mana di antaranya yang menunjukkan interferensi?

Solusi

Solusi Latihan 30.1.

$h/\sqrt{2mE}$ : $0.123\,\mathrm{nm}$ , $12.3\,\mathrm{pm}$ , $3.9\,\mathrm{pm}$ (pada $100\,\mathrm{keV}$ energi kinetiknya seperlima $mc^2$ ; momentum relativistiknya memberi $3.7\,\mathrm{pm}$ ); neutronnya $0.18\,\mathrm{nm}$ ; C $_{60}$ $2.8\,\mathrm{pm}$ ; bola tenisnya $\sim 10^{-34}\,\mathrm{m}$ . Semuanya kecuali bolanya telah menunjukkan interferensi.

Latihan 30.2 ★

$\psi(x) = A\eu^{-x^2/2a^2}$ : tentukanlah $A$ (pakailah $\int\eu^{-u^2}\dd u = \sqrt\pi$ ); $\langle x\rangle$ , $\Delta x$ ; peluang menemukan partikelnya dalam $|x| < a$ ( $\operatorname{erf}(1) = 0.84$ ) dan dalam $|x| < 2a$ ( $0.9995$ ).

Solusi

Solusi Latihan 30.2.

$A = (\pi a^2)^{-1/4}$ ; $\langle x\rangle = 0$ , $\Delta x = a/\sqrt2$ ; $0.84$ ; $0.9995$ .

Latihan 30.3 ★

Periksalah bahwa $\varphi(x)\eu^{-\iu Et/\hbar}$ menyelesaikan persamaannya ketika $\varphi$ menyelesaikan yang tegar. Tentukanlah frekuensi fasornya bagi $E = 1\,\mathrm{eV}$ ; bagi sebuah tumpang tindih dua aras yang terpisah $2\,\mathrm{eV}$ , frekuensi dan panjang gelombang ayunan $|\psi|^2$ -nya — dan panjang gelombang cahaya yang dipancarkan.

Solusi

Solusi Latihan 30.3.

Penyulihannya memberi $E\varphi = -(\hbar^2/2m)\varphi'' + V\varphi$ . $E/h = 2.4 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ; $4.8 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ , $620\,\mathrm{nm}$ : yaitu cahaya merah yang dipancarkan transisinya.

Latihan 30.4 ★

Tentukanlah waktu penyebaran $\tau = 2m\sigma_0^2/\hbar$ dan lebarnya sesudah $1\,\mathrm{ns}$ dan $1\,\mathrm{s}$ : bagi sebuah elektron ber- $\sigma_0 = 1\,\mathrm{nm}$ dan $\sigma_0 = 1\,\mathrm{mm}$ ; bagi sebuah proton ber- $\sigma_0 = 1\,\mathrm{nm}$ ; bagi sebutir $1 \times 10^{-12}\,\mathrm{kg}$ dengan $\sigma_0 = 1\,\text{µ}\mathrm{m}$ . Mengapa benda tetap di tempat ia ditaruh?

Solusi

Solusi Latihan 30.4.

Elektron, $1\,\mathrm{nm}$ : $\tau = 1.7 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ , $60\,\text{µ}\mathrm{m}$ sesudah $1\,\mathrm{ns}$ , $60\,\mathrm{km}$ sesudah $1\,\mathrm{s}$ ; $1\,\mathrm{mm}$ : $\tau = 17\,\mathrm{s}$ , tak berubah sesudah $1\,\mathrm{ns}$ , $+0.2\%$ sesudah $1\,\mathrm{s}$ ; proton, $1\,\mathrm{nm}$ : $\tau = 3.2 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}$ , $30\,\mathrm{nm}$ , $30\,\mathrm{m}$ ; butirnya: $\tau = 600$ tahun. Bagi benda yang tampak $\tau$ itu astronomis — dan sekelilingnya terus melokalkannya.

Latihan 30.5 ★★

Arus. (a) Turunkanlah persamaan kontinuitasnya. (b) Tentukanlah $j$ bagi $A\eu^{\iu kx}$ , bagi $A\sin kx$ , bagi $A\eu^{\iu kx} + B\eu^{-\iu kx}$ . (c) Mengapa ketiadaan sebuah suku silang pada hal yang terakhir merupakan pernyataan bahwa fluks pantul dan datangnya sekadar berkurangan? (d) Tunjukkanlah bahwa bagi sebuah fungsi gelombang yang nyata $j = 0$ : sebuah keadaan tegar yang terikat tak mengemban arus.

Solusi

Solusi Latihan 30.5.

(a) Proposisi 30.5. (b) $|A|^2\hbar k/m$ ; $0$ ; $(|A|^2 - |B|^2)\hbar k/m$ . (c) Fluks datang dan pantulnya berkurangan tanpa suku interferensi: koefisien penerusan dan pemantulannya dapat didefinisikan dari fluksnya. (d) $\psi^*\psi'$ nyata, dan bagian khayalnya nol.

Latihan 30.6 ★★

Sebuah paket Gauss. $\psi(x,0) = A\eu^{\iu k_0x}\eu^{-x^2/4\sigma^2}$ . (a) Tentukanlah $A$ , $\langle x\rangle$ , $\Delta x$ . (b) $\langle p\rangle$ dengan $\hat p = -\iu\hbar\partial_x$ . (c) Dengan menerima $\Delta p = \hbar/2\sigma$ , periksalah $\Delta x\Delta p = \hbar/2$ . (d) Buktikanlah $\dd\langle x\rangle/\dd t = \langle p\rangle/m$ dari persamaan kontinuitasnya.

Solusi

Solusi Latihan 30.6.

(a) $A = (2\pi\sigma^2)^{-1/4}$ , $\langle x\rangle = 0$ , $\Delta x = \sigma$ . (b) $\hbar k_0$ . (c) $\sigma \times \hbar/2\sigma = \hbar/2$ . (d) $\dd\langle x\rangle/\dd t = \int x\, \partial_t\rho = -\int x\,\partial_xj = \int j = (\hbar/m)\operatorname{Im}\int\psi^* \psi' = \langle p\rangle/m$ .

Latihan 30.7 ★★

Elektron dalam sebuah tabung. Elektron yang dipercepat menembus $100\,\mathrm{V}$ menyeberangi $30\,\mathrm{cm}$ . (a) Tentukanlah kelajuannya, panjang gelombangnya, waktu terbangnya. (b) Kecepatan fase dan grupnya; yang mana kecepatan elektronnya? (c) Sebuah paket yang mula-mula selebar $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ : berapa waktu penyebarannya, lebarnya saat tiba. (d) Difraksi oleh sebuah apertur $0.3\,\mathrm{mm}$ di jalannya: berapa sebaran sudut dan bintiknya pada layarnya. Sahihkah gambaran sinarnya?

Solusi

Solusi Latihan 30.7.

(a) $5.9 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $0.123\,\mathrm{nm}$ , $51\,\mathrm{ns}$ . (b) $v_\varphi = 3.0 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $v_{\text{g}} = 5.9 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : yang terakhir. (c) $\tau = 1.7\,\text{µ}\mathrm{s} \gg 51\,\mathrm{ns}$ : tak berubah. (d) $\lambda/a = 4 \times 10^{-7}\,\mathrm{rad}$ , $0.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ : sinarnya baik-baik saja.

Latihan 30.8 ★★

Fase. (a) Tunjukkanlah bahwa $\psi$ dan $\eu^{\iu\theta}\psi$ memberi ramalan yang sama. (b) Bagi $\psi = (\psi_1 + \eu^{\iu\alpha}\psi_2)/\sqrt2$ , tuliskanlah $|\psi|^2$ lalu tunjukkanlah bahwa $\alpha$ berarti. (c) Dalam celah gandanya, apa itu $\psi_1$ dan $\psi_2$ , dan apa yang menetapkan fase nisbinya di sebuah titik layarnya? (d) Mengapa mendeteksi celah mana yang dilewati elektronnya merusak rumbainya (secara kualitatif)?

Solusi

Solusi Latihan 30.8.

(a) $|\psi|^2$ dan setiap nilai harapnya tak berubah. (b) $\tfrac12(|\psi_1|^2 + |\psi_2|^2) + \operatorname{Re}(\eu^{\iu\alpha}\psi_1^*\psi_2)$ . (c) Gelombang dari kedua celahnya; fase nisbinya adalah $k(r_2 - r_1)$ . (d) Detektornya berakhir dalam keadaan yang berbeda bagi kedua lintasannya; kedua komponennya tak lagi berinterferensi, dan polanya menjadi jumlah dua pola celah tunggal.

Latihan 30.9 ★★

Ehrenfest. (a) Bagi $V = \tfrac12m\omega^2x^2$ , tunjukkanlah bahwa $\langle x\rangle$ menuruti secara eksak $\ddot{\langle x\rangle} = -\omega^2\langle x\rangle$ . (b) Bagi $V = mgx$ , $\langle x\rangle$ jatuh seperti sebuah batu. (c) Bagi sebuah $V$ yang umum, kapan $\langle V'(x)\rangle \approx V'(\langle x\rangle)$ ? (d) Sebuah manik $1\,\mathrm{g}$ dalam sebuah mangkuk: taksirlah ukuran paketnya yang diperlukan agar ia menjadi “kuantum” lalu bandingkanlah dengan sebuah atom.

Solusi

Solusi Latihan 30.9.

(a) $\langle V'\rangle = m\omega^2\langle x\rangle$ : eksak. (b) $\langle V'\rangle = mg$ : eksak. (c) Ketika paketnya sempit terhadap skala yang padanya $V''$ berubah. (d) Panjang gelombangnya pada $0.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ adalah $10^{-29}\,\mathrm{m}$ ; paketnya harus selebar mangkuknya agar berarti. Panjang gelombang termal sebuah atom, $0.1\,\mathrm{nm}$ , adalah ukurannya sendiri.

Latihan 30.10 ★★★

Berkecipak. Dalam sebuah kotak $0 < x < L$ berdinding yang tak tertembus keadaan tegarnya adalah $\varphi_n = \sqrt{2/L}\sin(n\pi x/L)$ , $E_n = n^2h^2/8mL^2$ (Bab 31). Ambillah $\psi = (\varphi_1\eu^{-\iu E_1t/\hbar} + \varphi_2\eu^{-\iu E_2t/\hbar})/\sqrt2$ . (a) Tentukanlah $|\psi|^2$ sebagai fungsi waktu. (b) Tunjukkanlah $\langle x\rangle = L/2 - (16L/9\pi^2)\cos\omega_{21}t$ (pakailah $\int_0^L x\sin(\pi x/L)\sin(2\pi x/L)\dd x = -8L^2/9\pi^2$ ). (c) Elektron, $L = 1\,\mathrm{nm}$ : tentukanlah $E_2 - E_1$ , frekuensi dan panjang gelombang ayunannya. (d) Apa yang dilakukan sebuah muatan yang berayun (Bab 17)? Simpulkanlah tentang garis spektrumnya.

Solusi

Solusi Latihan 30.10.

(a) $\tfrac12(\varphi_1^2 + \varphi_2^2) + \varphi_1\varphi_2\cos\omega_{21}t$ . (b) $L/2 + \cos\omega_{21}t\int x\varphi_1\varphi_2 = L/2 - (16L/9\pi^2)\cos\omega_{21}t$ . (c) $3h^2/8mL^2 = 1.13\,\mathrm{eV}$ , $2.7 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ , $1.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (d) Ia memancar pada $\nu_{21}$ : itulah garisnya; sebuah keadaan tegar murni tak mempunyai dwikutub berayun lalu tak memancar.

Latihan 30.11 ★★★

Penyebaran, yang diturunkan. Paket $\psi(x,0) \propto \eu^{-x^2/4\sigma_0^2}$ adalah tumpang tindih $\int g(k)\eu^{\iu kx}\dd k$ dengan $g(k) \propto \eu^{-\sigma_0^2k^2}$ (diterima tanpa bukti: transformasi Fourier sebuah Gauss adalah sebuah Gauss, berlebar $1/2\sigma_0$ dalam $k$ ). (a) Tuliskanlah $\psi(x,t)$ dengan memberi tiap komponennya fasenya $\eu^{-\iu\hbar k^2t/2m}$ . (b) Lengkapkanlah kuadratnya dalam eksponennya lalu terimalah $\int\eu^{-\alpha k^2 + \beta k}\dd k = \sqrt{\pi/\alpha}\, \eu^{\beta^2/4\alpha}$ bagi $\alpha$ kompleks yang bagian nyatanya positif: tunjukkanlah bahwa $|\psi|^2$ adalah sebuah Gauss berlebar $\sigma(t) = \sigma_0\sqrt{1 + (\hbar t/2m \sigma_0^2)^2}$ . (c) Tafsirkanlah $\tau$ lewat $\Delta v = \Delta p/m$ . (d) Mengapa sebuah paket foton dalam hampa tak menyebar?

Solusi

Solusi Latihan 30.11.

(a) $\psi \propto \int\eu^{-\sigma_0^2k^2}\eu^{\iu(kx - \hbar k^2t/2m)}\dd k$ . (b) $\alpha = \sigma_0^2 + \iu\hbar t/2m$ , $\beta = \iu x$ : $|\psi|^2 \propto \exp[-x^2/2\sigma_0^2(1 + (\hbar t/2m\sigma_0^2)^2)]$ . (c) $\Delta v = \hbar/2m\sigma_0$ , dan $\Delta v\,\tau = \sigma_0$ . (d) $\omega = ck$ : tanpa dispersi, semua komponennya pada $c$ .

Latihan 30.12 ★★★

Energi–waktu. (a) Sebuah keadaan yang meluruh sebagai $\eu^{-t/2\tau}\eu^{-\iu E_0t/\hbar}$ (peluangnya $\eu^{-t/\tau}$ ) adalah sebuah tumpang tindih energi: dengan menerima bahwa sebaran energinya adalah sebuah Lorentz berlebar penuh $\Gamma = \hbar/\tau$ , berikanlah $\Gamma$ bagi $\tau = 10\,\mathrm{ns}$ (atom), $1 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}$ , $1 \times 10^{-23}\,\mathrm{s}$ (sebuah resonansi hadron, dalam MeV). (b) Tentukanlah lebar garis alami aras $10\,\mathrm{ns}$ -nya dalam frekuensi; bandingkanlah dengan lebar Doppler $1.5\,\mathrm{GHz}$ . (c) Bagaimana orang melihat lebar alaminya (atom dingin, ion terperangkap)? (d) Kaitkanlah dengan panjang koherensi deret gelombang yang dipancarkan.

Solusi

Solusi Latihan 30.12.

(a) $\Gamma = \hbar/\tau$ : $6.6 \times 10^{-8}\,\mathrm{eV}$ ; $6.6 \times 10^{-8}\,\mathrm{eV}$ ; $66\,\mathrm{MeV}$ . (b) $1/2\pi\tau = 16\,\mathrm{MHz}$ , seratus kali lebih kecil daripada Dopplernya. (c) Dalam atom dingin dan ion terperangkap lebar Dopplernya lenyap dan lebar alaminya tercapai — yaitu dasar baku frekuensinya. (d) $c\tau = 3\,\mathrm{m}$ , yaitu panjang deretnya.

30.7 Soal: Elektron dalam sebuah tabung dan penyebaran sebuah paket gelombang

Soal 30.1

Soal akhir pekan — kapan sebuah elektron menjadi partikel, kapan menjadi gelombang

Data: $h = 6.63 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ , $\hbar = 1.05 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ , $m_{\text{e}} = 9.11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$ , $e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ , $m_{\text{p}} = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ .

Bagian I — Tabung sinar katodenya. Elektron meninggalkan sebuah katode panas dengan energi yang dapat diabaikan, dipercepat menembus $U = 20\,\mathrm{kV}$ , melewati sebuah apertur $0.3\,\mathrm{mm}$ , lalu menumbuk sebuah layar $40\,\mathrm{cm}$ jauhnya.

Kelajuan dan momentumnya (tak relativistik); panjang gelombang de Brogliennya.
Energi kinetiknya $4\%$ dari $mc^2$ : dapat diterimakah garapan tak relativistiknya bagi soal ini?
Waktu terbangnya ke layarnya.
Difraksi oleh aperturnya: berapa sebaran sudutnya $\sim\lambda/a$ dan bintik yang dihasilkannya pada layarnya; bandingkanlah dengan sebuah piksel ( $0.3\,\mathrm{mm}$ ).
Heisenberg di aperturnya: $\Delta p_y \gtrsim \hbar/2a$ memberi sebaran yang sama — periksalah.
Sebuah paket selebar $0.3\,\mathrm{mm}$ sepanjang berkasnya: berapa waktu penyebarannya $2m\sigma_0^2/\hbar$ dan lebarnya di layarnya.
Keping pembelok menerapkan sebuah gaya melintang: menurut Ehrenfest, bagaimana $\langle y\rangle$ beranjak? Simpulkanlah bahwa tabungnya adalah sebuah piranti klasik.
Kecepatan fase gelombang elektronnya; mengapa bukan paradoks bahwa ia berbeda dari kelajuan elektronnya?

Bagian II — Paket gelombang.

Bagi sebuah paket Gauss berlebar $\sigma_0$ : tentukanlah $\Delta p$ dan sebaran kecepatannya $\Delta v$ .
Waktu penyebaran bagi sebuah elektron ber- $\sigma_0 = 0.1\,\mathrm{nm}$ , $1\,\mathrm{nm}$ , $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; bagi sebuah proton ber- $1\,\mathrm{nm}$ ; bagi sebuah virus ( $1 \times 10^{-17}\,\mathrm{kg}$ ) ber- $10\,\mathrm{nm}$ .
Sebuah elektron dalam sebuah atom hidrogen terlokalkan sampai $0.1\,\mathrm{nm}$ lalu tak menyebar: mengapa?
Sebuah elektron bebas pada $1\,\mathrm{eV}$ ber- $\sigma_0 = 1\,\mathrm{nm}$ : sejauh apa ia menempuh sebelum lebarnya berlipat dua? Bandingkanlah dengan panjang gelombangnya.
Dalam sebuah logam, elektron hantarannya adalah gelombang ber- $\lambda \approx 0.5\,\mathrm{nm}$ di seluruh hablurnya: dalam arti apa mereka “terdelokalkan”?
Sebuah mikroskop elektron pada $100\,\mathrm{keV}$ mempunyai $\lambda \approx 4\,\mathrm{pm}$ , namun hanya mengurai $0.1\,\mathrm{nm}$ : mengapa (lensa magnetnya menerima setengah sudut sekitar $10\,\mathrm{mrad}$ )?
Berikanlah kriteria yang memutuskan apakah sebuah objek harus digarap dengan sebuah fungsi gelombang atau dengan Newton.

Bagian III — Keadaan tegar dan transisi. Sebuah elektron terkurung dalam $0 < x < L = 1\,\mathrm{nm}$ ; $\varphi_n = \sqrt{2/L}\sin(n\pi x/L)$ , $E_n = n^2h^2/8mL^2$ .

Tentukanlah $E_1$ , $E_2$ , $E_3$ dalam elektronvolt; frekuensi Bohrnya $\nu_{21}$ , $\nu_{31}$ dan panjang gelombangnya.
Periksalah bahwa $|\varphi_n\eu^{-\iu E_nt/\hbar}|^2$ tak bergantung waktu; di mana elektronnya paling mungkin dalam keadaan dasarnya?
Bagi $\psi = (\varphi_1\eu^{-\iu E_1t/\hbar} + \varphi_2\eu^{-\iu E_2t/\hbar})/ \sqrt2$ : tentukanlah $|\psi|^2$ pada $t = 0$ dan $t = T_{21}/2$ ; sketsalah.
Tentukanlah $\langle x\rangle(t)$ (mengingat $\int_0^Lx\varphi_1\varphi_2\dd x = -16L/9\pi^2$ ): berapa amplitudo kecipaknya.
Dwikutub berayun $e\langle x\rangle$ memancar: pada frekuensi yang mana, dan apa yang dikatakannya tentang garis spektrum dan tentang kemantapan keadaan tegarnya?
Energi keadaan $\psi$ -nya: adakah ia $E_1$ , $E_2$ , atau sesuatu yang lain? Apa yang diberikan sebuah pengukuran?

Bagian IV — Tafsirannya.

Dalam percobaan celah ganda elektron tunggalnya, apa yang acak dan apa yang tidak?
Tuliskanlah arus peluang $A\eu^{\iu kx}$ lalu kaitkanlah ia dengan sebuah berkas $n$ elektron tiap satuan panjang berkelajuan $v$ .
Mengapa persamaan Schrödinger harus kompleks dan berorde pertama dalam waktu (dua alasan)?
Ringkaslah dalam lima baris: fungsi gelombangnya, persamaannya, keadaan tegarnya, paketnya, limit klasiknya.

Solusi

Solusi Soal 30.1.

1. $v = \sqrt{2eU/m} = 8.4 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $p = 7.6 \times 10^{-23}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\lambda = 8.7\,\mathrm{pm}$ .

2. Galatnya beberapa persen: dapat diterima bagi taksiran ( $\lambda = 8.6\,\mathrm{pm}$ secara eksak).

3. $4.8\,\mathrm{ns}$ .

4. $\lambda/a = 3 \times 10^{-8}\,\mathrm{rad}$ : $12\,\mathrm{nm}$ — $10^4$ kali lebih kecil daripada sebuah piksel.

5. $\Delta\theta = \Delta p_y/p \sim \hbar/2ap = \lambda/4\pi a$ : ordenya sama.

6. $\tau = 1.6\,\mathrm{ms} \gg 4.8\,\mathrm{ns}$ : tak berubah.

7. $\dd\langle p_y\rangle/\dd t = eE$ secara eksak bagi sebuah medan yang seragam: $\langle y\rangle$ menuruti parabola klasiknya; tabungnya adalah sebuah instrumen klasik.

8. $v/2 = 4.2 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; hanya kecepatan grupnya yang teramati; fase sebuah gelombang bidang tak mengemban sinyal (dan bergantung pada nol energinya yang sembarang).

9. $\Delta p = \hbar/2\sigma_0$ , $\Delta v = \hbar/2m\sigma_0$ .

10. $1.7 \times 10^{-16}\,\mathrm{s}$ , $1.7 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ , $1.7 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}$ ; protonnya $3.2 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}$ ; virusnya $20\,\mathrm{s}$ .

11. Ia berada dalam sebuah keadaan tegar: potensialnya menahan paketnya; $|\varphi|^2$ tak beranjak.

12. $v = 5.9 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; berlipat dua pada $t = \sqrt3\tau = 2.9 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ : $17\,\mathrm{nm}$ , sekitar empat belas panjang gelombang.

13. Fungsi gelombangnya terentang di seluruh hablurnya: sebuah momentum yang tentu, tanpa kedudukan yang tentu.

14. Resolusinya $\sim\lambda/\alpha = 4\,\mathrm{pm}/0.01 = 0.4\,\mathrm{nm}$ : yaitu aberasi lensa magnetnya yang membatasi aperturnya, bukan panjang gelombangnya.

15. Bandingkanlah $\lambda$ dengan ukuran yang berperan (apertur, skala $V$ ), dan waktu penyebarannya dengan waktu pengamatannya.

16. $0.38\,$ , $1.50\,$ , $3.38\,\mathrm{eV}$ ; $\nu_{21} = 2.7 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ( $1.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ ), $\nu_{31} = 7.3 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ( $410\,\mathrm{nm}$ ).

17. Fasornya bermodulus satu; di $x = L/2$ .

18. Pada $t = 0$ kerapatannya menumpuk pada paruh kirinya, pada $T_{21}/2$ pada kanannya.

19. $\langle x\rangle = L/2 - (16L/9\pi^2)\cos\omega_{21}t$ : amplitudonya $0.18L = 0.18\,\mathrm{nm}$ .

20. Pada $\nu_{21}$ : yaitu garis spektrumnya; sebuah keadaan tegar tak mempunyai dwikutub berayun lalu mantap; tumpang tindihnya memancar sepanjang jalannya turun ke $\varphi_1$ .

21. Tak tentu: $\langle E\rangle = (E_1 + E_2)/2 = 0.94\,\mathrm{eV}$ ; sebuah pengukuran memberi $E_1$ atau $E_2$ , masing-masingnya berpeluang setengah.

22. Yang acak: tempat tiap elektronnya jatuh; yang tak acak: pola $|\psi|^2$ yang dibangun jatuhnya.

23. $j = |A|^2\hbar k/m$ : dengan $|A|^2 = n$ elektron tiap satuan panjang, $nv$ elektron tiap sekon.

24. Orde pertama agar $\psi(x,0)$ menjadi sebuah lukisan lengkap yang menetapkan masa depannya; kompleks agar sebuah energi yang tentu mempunyai kebergantungan waktu tunggal $\eu^{-\iu Et/\hbar}$ dan $E = p^2/2m$ keluar.

25. $\psi$ adalah amplitudo yang kuadratnya adalah peluangnya; ia menuruti persamaan linear Schrödinger; keadaan tegarnya mengemban sebuah fasor dan kerapatan yang tetap; sebuah paket bebas bergerak dengan $p/m$ lalu menyebar dalam $2m\sigma_0^2/\hbar$ ; Ehrenfest mengembalikan Newton bagi yang besar.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Fungsi gelombang dan kaidah Born

Lihat semua 393 istilah di glosarium