Universitaire natuurkunde — jaar 2 · Bachelor Year 2

12Elektromagnetische energie en de poyntingvector

Een batterij laat een lampje branden via twee koperdraden. Waar reist de energie? Niet in het koper, zo blijkt: de elektronen daar driften met een millimeter per seconde en dragen zo goed als niets. De energie stroomt door de ruimte om de draden heen, in het elektromagnetische veld, en komt de gloeidraad van het lampje via zijn zijkant binnen. De zon levert op precies dezelfde manier een kilowatt aan elke vierkante meter zonnig dak, over honderdvijftig miljoen kilometer vacuüm. Dit hoofdstuk leidt uit de vergelijkingen van Maxwell de balans van de elektromagnetische energie af — hoeveel er in een veld is opgeslagen, en de vector van Poynting, die zegt waar zij heen gaat — en past die toe op een draad, een condensator, een spoel en een lichtbundel.

12.1 De energiebalans van het veld

Stelling 12.1 (Stelling van Poynting)

Definieer de elektromagnetische energiedichtheid en de poyntingvector

u = \frac{\varepsilon_0E^2}2 + \frac{B^2}{2\mu_0} \quad (\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}) , \qquad \vect\Pi = \frac{\vect E\wedge\vect B}{\mu_0} \quad (\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}) .

De vergelijkingen van Maxwell houden dan in elk punt in dat

\frac{\partial u}{\partial t} + \operatorname{div}\vect\Pi = -\vect j\cdot\vect E ,

en, voor elk vast volume $V$ begrensd door $\Sigma$ ,

\frac{\dd}{\dd t}\iiint_Vu\,\dd\tau = -\iint_\Sigma\vect\Pi\cdot\vect n\,\dd S - \iiint_V\vect j\cdot\vect E\,\dd\tau :

de veldenergie binnen $V$ neemt af met wat er door de rand naar buiten stroomt — de flux van $\vect\Pi$ — en met wat het veld aan de ladingen geeft ( $\vect j\cdot\vect E$ , het vermogen van Joule in een geleider). $\vect\Pi$ is de dichtheid van de energieflux: het vermogen dat een eenheidsoppervlak loodrecht erop passeert.

Bewijs. Uit Maxwell–Ampère volgt $\vect j = \operatorname{\vect{curl}}\vect B/\mu_0 - \varepsilon_0\partial_t \vect E$ , zodat $\vect j\cdot\vect E = \vect E\cdot\operatorname{\vect{curl}}\vect B/\mu_0 - \partial_t(\varepsilon_0E^2/2)$ . De identiteit $\operatorname{div}(\vect E\wedge\vect B) = \vect B \cdot\operatorname{\vect{curl}}\vect E - \vect E\cdot\operatorname{\vect{curl}}\vect B$ (ga haar op de componenten na) en Maxwell–Faraday geven $\vect E\cdot\operatorname{\vect{curl}} \vect B = -\operatorname{div}(\vect E\wedge\vect B) - \vect B\cdot\partial_t\vect B = -\mu_0 \operatorname{div}\vect\Pi - \partial_t(B^2/2)$ . Samengenomen: $\vect j\cdot\vect E = -\operatorname{div} \vect\Pi - \partial_tu$ . Integreer over $V$ en pas de divergentiestelling toe. ∎

Opmerking 12.2 (Wat vastligt en wat niet)

De stelling legt alleen de flux van $\vect\Pi$ door gesloten oppervlakken en de totale $u$ vast; elk divergentievrij veld bij $\vect\Pi$ optellen zou niets waarneembaars veranderen. De bovenstaande keuze is de eenvoudigste, zij stemt overeen met de impuls die het licht draagt (hieronder), en zij wordt overal gebruikt. De dichtheden $\varepsilon_0E^2/2$ en $B^2/2\mu_0$ zijn de energieën van de condensator en de spoel van het volume van jaar 1, nu aan elk punt van de ruimte toegekend: een veld van $1\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ (de doorslaggrens van lucht) slaat $4.4\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ op, een veld van $1\,\mathrm{T}$ slaat $0.4\,\mathrm{MJ}/\mathrm{m}^{3}$ op — honderdduizend keer meer, en daarom haalt energieopslag in magneten, en niet in condensatoren, de megajoule.

12.2 Waar de energie stroomt: drie schakelingen

Voorbeeld 12.3 (De weerstandsdraad)

Een cilindrische draad met straal $a$ voert de constante stroom $I$ onder het veld $E = j/\gamma$ langs zijn as; vlak erbuiten is $B = \mu_0I/2\pi a$ (azimutaal). Aan het oppervlak wijst $\vect\Pi = \vect E\wedge\vect B/\mu_0$ radiaal naar binnen, met grootte $EI/2\pi a$ ; haar flux door het zijoppervlak van een lengte $L$ is $EI/2\pi a\times2\pi aL = (EL)I = UI = RI^2$ : de warmte van Joule komt de draad via zijn zijkant binnen, geleverd door het omringende veld, en wordt niet door de elektronen door de draad meegevoerd. Binnenin is $\Pi(r) = (E/\mu_0)(\mu_0Ir/2\pi a^2) = EIr/2\pi a^2$ : de instroom neemt naar de as toe af naarmate de energie laag voor laag wordt afgezet.

Voorbeeld 12.4 (De condensator en de solenoïde)

Een condensator met ronde platen die wordt geladen: $\vect E$ axiaal, $\vect B = \mu_0\varepsilon_0(r/2)\dot E\,\vect e_\theta$ (Hoofdstuk 11), zodat $\vect\Pi = -\varepsilon_0(r/2)E\dot E\,\vect e_r$ , naar binnen gericht; door de cilinder met straal $R$ en hoogte $d$ is haar flux $\varepsilon_0\pi R^2d\,E\dot E = \dd(\tfrac12 \varepsilon_0E^2\,\pi R^2d)/\dd t$ : de elektrische energie komt vanaf de rand binnen. Een solenoïde waarvan de stroom groeit: $\vect B$ axiaal, het geïnduceerde $\vect E = -(r/2) \dot B\,\vect e_\theta$ , $\vect\Pi = -(rB\dot B/2\mu_0)\vect e_r$ , opnieuw naar binnen, met flux $\dd(B^2/2\mu_0\times\text{volume})/\dd t$ . In elk geval bereikt de energie het toestel door het veld erbuiten; de draden geleiden alleen het veld.

Links: een stroomvoerende draad — de poyntingvector, opgebouwd uit de axiale E en de azimutale B, wijst rondom het hele oppervlak de draad in; de warmte van Joule komt via de zijkant binnen. Rechts: een condensator die wordt geladen — de energie stroomt radiaal door de spleet naar binnen, niet door de platen. — Links: een stroomvoerende draad — de poyntingvector, opgebouwd uit de axiale $\vect E$ en de azimutale $\vect B$ , wijst rondom het hele oppervlak de draad in; de warmte van Joule komt via de zijkant binnen. Rechts: een condensator die wordt geladen — de energie stroomt radiaal door de spleet naar binnen, niet door de platen.

Opmerking 12.5 (Energie in een statisch gekruist veld)

Een geladen condensator in het veld van een permanente magneet heeft overal tussen zijn platen $\vect\Pi = \vect E\wedge\vect B/\mu_0 \ne \vect 0$ , hoewel er niets verandert en niets warm wordt. Er is geen tegenspraak: $\vect\Pi$ heeft daar divergentie nul, haar lijnen sluiten zich, en haar flux door elk gesloten oppervlak verdwijnt — de stelling zegt niets over een circulerende stroming die niets aflevert. Alleen fluxen door gesloten oppervlakken zijn fysisch.

Een coaxkabel die vermogen voert: een radiale E en een azimutale B maken een axiale poyntingvector in het diëlektricum; haar flux over de ring tussen de geleiders is precies UI — het vermogen reist door de isolatie, het metaal geleidt het alleen. — Een coaxkabel die vermogen voert: een radiale $\vect E$ en een azimutale $\vect B$ maken een axiale poyntingvector in het diëlektricum; haar flux over de ring tussen de geleiders is precies $UI$ — het vermogen reist door de isolatie, het metaal geleidt het alleen.

12.3 Licht: intensiteit en stralingsdruk

Propositie 12.6 (Energie van een vlakke golf)

Voor een vlakke golf in vacuüm — de oplossing van Hoofdstuk 13, met $\vect B = \vect k\wedge\vect E/\omega$ , $B = E/c$ en $\vect E \perp \vect B$ — zijn de elektrische en de magnetische energiedichtheid gelijk, en geldt

u = \varepsilon_0E^2 , \qquad \vect\Pi = \varepsilon_0cE^2\,\vect u = cu\,\vect u ,

waarin $\vect u$ de voortplantingsrichting is: de energie reist met $c$ . Voor een sinusvormige golf met amplitude $E_0$ is de intensiteit (bestralingssterkte) de gemiddelde flux,

I = \langle\Pi\rangle = \frac{\varepsilon_0cE_0^2}2 = \frac{E_0^2}{2\mu_0c} ,

en de golf draagt een impulsdichtheid $\vect\Pi/c^2$ (aangenomen), zodat zij op een oppervlak dat zij loodrecht treft de stralingsdruk $P = I/c$ uitoefent als het wordt geabsorbeerd, en $2I/c$ als het wordt teruggekaatst.

Bewijs. $B^2/2\mu_0 = E^2/2\mu_0c^2 = \varepsilon_0E^2/2$ ; $\vect E\wedge\vect B/\mu_0 = E^2/\mu_0c = \varepsilon_0cE^2$ langs $\vect k$ ; $\langle\cos^2\rangle = \tfrac12$ . De impulsdichtheid $\vect\Pi/c^2$ volgt uit de lorentzkracht op de ladingen van het absorberende oppervlak (of uit de relativiteit: $p = E/c$ voor licht): de impuls $\Pi S\,\dd t/c^2\times c$ die per tijdseenheid op een oppervlak $S$ aankomt, is een kracht $\Pi S/c$ . ∎

Voorbeeld 12.7 (Zonlicht, laser, magnetron)

Zonlicht boven aan de dampkring, $I = 1.36\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ : $E_0 = \sqrt{2I/\varepsilon_0c} = 1.0\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ , $B_0 = E_0/c = 3.4\,\text{µ}\mathrm{T}$ , energiedichtheid $4.5\,\text{µ}\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ , druk $4.5\,\text{µ}\mathrm{Pa}$ — $0.7\,\mathrm{kg}$ aan kracht op een vierkante kilometer, en toch genoeg om een zonnezeil te sturen en het stof van een komeet in haar staart te blazen. Een laserpen van $1\,\mathrm{mW}$ op een vlek van $1\,\mathrm{mm}^{2}$ : $1\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ , als de zon; gebundeld tot $1\,\text{µ}\mathrm{m}^{2}$ : $1\,\mathrm{GW}/\mathrm{m}^{2}$ , $E_0 = 0.9\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ , dicht bij de doorslag van lucht. Een magnetron van $1\,\mathrm{kW}$ met een staande golf die $30\,\mathrm{L}$ vult: energiedichtheid $\sim 10^{-7}$ J/m $^3$ en $E_0$ van enkele kilovolt per meter.

Een vlakke elektromagnetische golf: E, B en de voortplantingsrichting vormen een rechtsdraaiend drietal; de poyntingvector wijst langs de voortplanting en trilt met de dubbele frequentie, met de intensiteit als gemiddelde waarde. — Een vlakke elektromagnetische golf: $\vect E$ , $\vect B$ en de voortplantingsrichting vormen een rechtsdraaiend drietal; de poyntingvector wijst langs de voortplanting en trilt met de dubbele frequentie, met de intensiteit als gemiddelde waarde.

Methode 12.8 (Energie boekhouden)

(1) Bepaal $\vect E$ en $\vect B$ (statisch, quasistatisch of golven). (2) Vorm $\vect\Pi = \vect E\wedge\vect B/\mu_0$ en $u$ . (3) Kies een gesloten oppervlak om het toestel en bereken de flux van $\vect\Pi$ : die moet gelijk zijn aan het vermogen van Joule plus het tempo waarmee de opgeslagen energie erbinnen verandert — een controle op de velden. (4) Voor een golf is het gemiddelde van $\Pi$ de intensiteit; deel door $c$ voor de druk, en door de fotonenergie $hf$ voor de fotonenflux.

12.4 Oefeningen

Oefening 12.1 ★

Zonlicht op de grond, $I = 1.0\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ : amplitudes $E_0$ en $B_0$ , energiedichtheid, stralingsdruk op een zwart dak en op een spiegel; kracht op een dak van $100\,\mathrm{m}^{2}$ ; fotonenflux per vierkante meter bij een gemiddelde fotonenergie van $2\,\mathrm{eV}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.1.

$E_0 = \sqrt{2I/\varepsilon_0c} = 870\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ , $B_0 = E_0/c = 2.9\,\text{µ}\mathrm{T}$ ; $u = I/c = 3.3\,\text{µ}\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ ; $P = I/c = 3.3\,\text{µ}\mathrm{Pa}$ (zwart), $6.7\,\text{µ}\mathrm{Pa}$ (spiegel); $0.33\,\mathrm{mN}$ op het dak; $I/hf = 1000/3.2 \times 10^{-19} = 3 \times 10^{21}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ .

Oefening 12.2 ★

Een laserpen van $5\,\mathrm{mW}$ met een bundeldiameter van $1.5\,\mathrm{mm}$ : intensiteit, $E_0$ , $B_0$ ; dezelfde bundel gebundeld tot een vlek van $5\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; een gepulste laser van $1\,\mathrm{PW}$ ( $1 \times 10^{15}\,\mathrm{W}$ ) gebundeld tot $10\,\text{µ}\mathrm{m}^{2}$ : $E_0$ , vergeleken met het veld dat het elektron in een waterstofatoom bindt ( $5 \times 10^{11}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ ).

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.2.

Oppervlakte $1.8\,\mathrm{mm}^{2}$ : $I = 2.8\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ , $E_0 = 1.5\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ , $B_0 = 4.9\,\text{µ}\mathrm{T}$ . Gebundeld tot $5\,\text{µ}\mathrm{m}$ : $I = 2.5 \times 10^{8}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , $E_0 = 4.4 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ . Petawatt: $I = 1 \times 10^{26}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , $E_0 = 2.7 \times 10^{14}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ , vijfhonderd keer het atomaire veld — het atoom wordt binnen één cyclus uiteengerukt.

Oefening 12.3 ★

Energiedichtheden: een elektrisch veld van $3\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ (doorslag van lucht); van $100\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ (een dunne isolator); een magnetisch veld van $0.1\,\mathrm{T}$ , $1.5\,\mathrm{T}$ (MRI) en $45\,\mathrm{T}$ (recordmagneet). Energie in een MRI-tunnel van $1\,\mathrm{m}^{3}$ ; het equivalent in liters benzine ( $35\,\mathrm{MJ}/\mathrm{L}$ ).

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.3.

$\tfrac12\varepsilon_0E^2$ : $40\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ , $4.4 \times 10^{4}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ . $B^2/2\mu_0$ : $4\,\mathrm{kJ}/\mathrm{m}^{3}$ , $0.9\,\mathrm{MJ}/\mathrm{m}^{3}$ , $8 \times 10^{8}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ . De MRI-tunnel bevat $0.9\,\mathrm{MJ}$ — $26\,\mathrm{mL}$ benzine.

Oefening 12.4 ★

Een zonnezeil van $100\,\mathrm{m}$ $\times$ $100\,\mathrm{m}$ , volmaakt spiegelend, op de afstand van de aarde ( $I = 1.36\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ ): kracht; versnelling van een vaartuig van $200\,\mathrm{kg}$ ; snelheidswinst in een maand; vergelijk met de zwaartekracht van de zon op het vaartuig op die afstand ( $5.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ ).

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.4.

$F = 2IA/c = 0.09\,\mathrm{N}$ ; $a = 4.5 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $1.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ in een maand; de zon trekt met $1.2\,\mathrm{N}$ : het zeil kan de zwaartekracht niet overwinnen, het laveert er in een baan tegenop.

Oefening 12.5 ★★

Een koperdraad met straal $a = 1\,\mathrm{mm}$ voert $10\,\mathrm{A}$ ( $\gamma = 6 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ). (a) $E$ binnenin, $B$ aan het oppervlak, $\vect\Pi$ aan het oppervlak (richting en grootte). (b) Flux van $\vect\Pi$ een meter draad in; vergelijk met $RI^2$ . (c) $\Pi(r)$ binnen de draad en het vermogen dat tussen $r$ en $r + \dd r$ wordt afgezet; ga na dat het $j^2/\gamma\cdot2\pi r\,\dd r$ is. (d) Waar komt de energie vandaan — beschrijf het veld tussen de batterij en de draad.

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.5.

(a) $j = 3.2 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$ , $E = j/\gamma = 0.053\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ ; $B = \mu_0I/2\pi a = 2\,\mathrm{mT}$ ; $\Pi = EB/\mu_0 = 84\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , radiaal naar binnen. (b) $84 \times 2\pi a = 0.53\,\mathrm{W}$ per meter; $R = 1/\gamma\pi a^2 = 5.3\,\mathrm{m}\Omega/\mathrm{m}$ , $RI^2 = 0.53\,\mathrm{W}$ . (c) $\Pi(r) = EIr/2\pi a^2$ , dus $2\pi r\Pi = EIr^2/a^2$ en de schil ontvangt $\dd(2\pi r\Pi) = 2EIr\,\dd r/a^2 = (j^2/\gamma)2\pi r\,\dd r$ . (d) De oppervlakteladingen van de batterij bouwen een elektrisch veld op langs de hele kring, buiten de draden; $\vect E\wedge\vect B$ voert de energie daar van de batterij naar de belasting.

Oefening 12.6 ★★

Condensator met ronde platen ( $R$ , $d$ ) geladen door $I$ . (a) $\vect E$ , $\vect B$ en $\vect\Pi$ tussen de platen. (b) Flux van $\vect\Pi$ door de zijcilinder; toon aan dat die gelijk is aan $\dd W_e/\dd t$ . (c) Voor $R = 5\,\mathrm{cm}$ , $d = 1\,\mathrm{mm}$ en $I = 1\,\mathrm{A}$ , op het ogenblik dat $E = 1\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ : $\Pi$ aan de rand en het binnenkomende vermogen. (d) Is de magnetische energie verwaarloosbaar?

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.6.

(a) $E = Q/\varepsilon_0\pi R^2$ axiaal, $B = \mu_0Ir/2\pi R^2$ azimutaal, $\vect\Pi = -\varepsilon_0 (r/2)E\dot E\,\vect e_r$ . (b) $\varepsilon_0(R/2)E\dot E\cdot2\pi Rd = \dd(\tfrac12\varepsilon_0E^2\pi R^2d)/ \dd t$ . (c) $\dot E = I/\varepsilon_0\pi R^2 = 1.4 \times 10^{13}\,\mathrm{V}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$ ; $\Pi(R) = 3.2 \times 10^{6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; maal $2\pi Rd = 3.1 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{2}$ : $1.0\,\mathrm{kW}$ $= UI$ met $U = Ed = 1\,\mathrm{kV}$ . (d) Ja: kleiner met factoren van het type $(\omega R/c)^2$ (Hoofdstuk 11).

Oefening 12.7 ★★

Een lange solenoïde ( $n$ , straal $R$ ) waarvan de stroom $I(t)$ toeneemt. (a) Geïnduceerde $\vect E$ binnenin; $\vect\Pi$ ; richting. (b) Flux door het zijoppervlak per lengte-eenheid en $\dd(B^2/2\mu_0\cdot\pi R^2)/\dd t$ . (c) Vlak buiten de solenoïde (waar $\vect B = \vect 0$ ): wat is $\vect\Pi$ daar? Hoe komt de energie er dan in? (Denk aan waar de stroom loopt: de wikkeling is een dunne laag; neem het oppervlak er net binnen.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.7.

(a) $\vect E = -(r/2)\dot B\,\vect e_\theta$ , $\vect\Pi = -(rB\dot B/2\mu_0)\vect e_r$ : naar binnen zolang $B$ groeit. (b) $(RB\dot B/2\mu_0)2\pi R = \dd(\pi R^2B^2/2\mu_0)/\dd t$ . (c) Buiten is $\vect B = \vect 0$ , dus $\vect\Pi = \vect 0$ : de energie wordt bij de wikkeling zelf ingebracht, waar de generator de stroom tegen het geïnduceerde veld in drijft ( $\vect j\cdot\vect E < 0$ daar); vlak binnen de laag is $\vect\Pi$ al de instroom van (a).

Oefening 12.8 ★★

Waar het vermogen van een kabel reist. Een coaxkabel (stralen $a$ , $b$ ) voert een constante stroom $I$ in de kern en terug in de vlechtmantel, onder de spanning $U$ ertussen (volmaakte geleiders). (a) $\vect E$ en $\vect B$ in het diëlektricum ( $a < r < b$ ) uit Gauss en Ampère. (b) $\vect\Pi$ : richting en grootte. (c) Integreer $\vect\Pi$ over de ring $a < r < b$ : toon aan dat het resultaat $UI$ is — het hele vermogen reist door de isolatie. (d) Welke kant kantelt $\vect\Pi$ op bij een licht weerstandbiedende kern, en waaraan is haar flux de kern in gelijk?

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.8.

(a) $E = U/r\ln(b/a)$ radiaal, $B = \mu_0I/2\pi r$ azimutaal. (b) $\vect\Pi = (UI/ 2\pi r^2\ln(b/a))\vect e_z$ , langs de kernstroom. (c) $\int_a^b\Pi\,2\pi r\,\dd r = UI$ . (d) $E$ krijgt een axiale component $j/\gamma$ ; $\vect\Pi$ kantelt naar de kern toe, en haar radiale flux een meter kern in is $RI^2$ per meter.

Oefening 12.9 ★★

Komeetstof. Een bolvormige stofkorrel met straal $a$ en dichtheid $\rho = 2000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ op afstand $D$ van de zon absorbeert het zonlicht ( $I = 1.36\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ op $D_0 = 1.5 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ , zonsmassa $2.0 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ ). (a) Stralingskracht en zwaartekracht; toon aan dat hun verhouding niet van $D$ afhangt. (b) Straal waaronder de korrel wordt weggeblazen. (c) Waarom wijzen komeetstaarten van de zon af, en waarom krommen zij?

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.9.

(a) $F_{\text{str}} = I_0(D_0/D)^2\pi a^2/c$ , $F_g = GM\cdot\tfrac43\pi a^3\rho/D^2$ : verhouding $3I_0D_0^2/4cGM\rho a$ , onafhankelijk van $D$ . (b) De verhouding is $> 1$ voor $a < 3I_0D_0^2/ 4cGM\rho = 0.3\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (c) Fijn stof wordt van de zon weggeduwd terwijl het de baansnelheid van de komeet behoudt, zodat de stofstaart van de zon af wijst en kromt; de ionenstaart, gedreven door de zonnewind, is recht.

Oefening 12.10 ★★★

Een ontladende condensator. De condensator van Oefening 12.6 ontlaadt door de draad van Oefening 12.5 ( $R = 5.3\,\mathrm{m}\Omega$ per meter, lengte $L$ ). (a) Richting van $\vect\Pi$ aan de rand van de condensator nu. (b) Vermogen dat de condensator verlaat en vermogen dat de draad binnenkomt; wat gebeurt er met het verschil (als dat er is)? (c) Schrijf de energiebalans $\dd W_e/\dd t = -RI^2$ op en toets die aan $Q = CU$ , $I = -\dd Q/\dd t$ . (d) Waarom komt de magnetische energie van de kring in het begin en op het eind niet in de balans voor?

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.10.

(a) $\dot E < 0$ : $\vect\Pi$ wijst aan de rand naar buiten. (b) $-\dd W_e/\dd t$ verlaat de condensator en $RI^2$ komt de draad binnen; in het quasistatische regime zijn zij gelijk — er hoopt zich niets tussenin op. (c) $W_e = Q^2/2C$ , $\dd W_e/\dd t = (Q/C)\dd Q/\dd t = -UI = -RI^2$ . (d) $\tfrac12LI^2$ verdwijnt aan beide uiteinden ( $I = 0$ ) en is ertussenin verwaarloosbaar voor een kleine lus.

Oefening 12.11 ★★★

De geladen magneet. Tussen de platen van een geladen condensator ( $\vect E = E\vect e_z$ ) heerst een uniform veld $\vect B = B\vect e_x$ (een magneet). (a) $\vect\Pi$ ; haar divergentie. (b) Neem het gesloten oppervlak van een doosje binnen het gebied: flux van $\vect\Pi$ . (c) Waar gaan de lijnen van $\vect\Pi$ heen, en wat sluit hen? (d) Een voorstel: meet de energiestroom met een kleine absorber in de spleet — zou die warm worden? Waarom niet?

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.11.

(a) $\vect\Pi = (EB/\mu_0)\vect e_y$ , uniform: $\operatorname{div}\vect\Pi = 0$ . (b) Nul. (c) Langs $y$ door de spleet, en zij sluiten zich via de randvelden aan de randen van de platen en van de magneet. (d) Een lichaam in rust in statische velden voert geen stroom: $\vect j\cdot\vect E = 0$ , geen verwarming. De circulerende $\vect\Pi$ is boekhouding, geen stroming die energie afzet.

Oefening 12.12 ★★★

Staande golf. Twee tegen elkaar in lopende vlakke golven met gelijke amplitude vormen $\vect E = 2E_0\cos kx\cos\omega t\,\vect e_y$ , $\vect B = -2(E_0/c) \sin kx\sin\omega t\,\vect e_z$ (toets dat aan Maxwell–Faraday). (a) $\vect\Pi(x, t)$ ; haar tijdgemiddelde. (b) Energiedichtheid; waar is zij elektrisch, waar magnetisch, en hoe klotst zij heen en weer? (c) Een volmaakt geleidende spiegel in $x = 0$ kaatst de invallende golf terug: kracht per oppervlakte-eenheid erop uit het impulsargument, en uit de laplacekracht op haar oppervlaktestroom (gebruik de overgangsrelatie voor $\vect B$ ). (d) Toon aan dat beide gemiddeld $2I/c$ geven.

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.12.

Faraday: $\partial_xE_y = -2E_0k\sin kx\cos\omega t$ is gelijk aan $-\partial_tB_z$ omdat $\omega = kc$ . (a) $\vect\Pi = (E_yB_z/\mu_0)\vect e_x = -(E_0^2/\mu_0c)\sin2kx\sin2\omega t\,\vect e_x$ : gemiddeld nul. (b) $u = 2\varepsilon_0E_0^2(\cos^2kx\cos^2\omega t + \sin^2kx\sin^2\omega t)$ : elektrisch in $x = 0, \lambda/2, \dots$ , magnetisch in $\lambda/4, \dots$ , en twee keer per periode klotsend van de een naar de ander. (c) Impuls: elke golf heeft $I = \varepsilon_0cE_0^2/2$ , en de teruggekaatste keert haar impuls om: $2I/c = \varepsilon_0E_0^2$ . Laplace: in $x = 0$ is $B = (2E_0/c)\sin\omega t$ vlak erbuiten en $0$ erbinnen, dus $j_s = B/\mu_0$ ; de kracht per oppervlakte-eenheid op de laag is $\tfrac12j_sB = B^2/2\mu_0 = 2\varepsilon_0E_0^2\sin^2 \omega t$ . (d) Haar gemiddelde is $\varepsilon_0E_0^2 = 2I/c$ .

Een zonnepark: een kilowatt per vierkante meter poyntingflux komt vanuit de zon door de lege ruimte aan, en een vijfde daarvan vertrekt door de kabels.

12.5 Vraagstuk: De energie van een lijn, een paneel en een oven

Probleem 12.1

Weekendvraagstuk — de elektromagnetische energie volgen van een hoogspanningslijn een huis in, van de zon een zonnepaneel in, en van een magnetron een kop water in

Deel I — De lijn. Een coaxiale voedingskabel (kernstraal $a = 1.0\,\mathrm{cm}$ , mantelstraal $b = 3.0\,\mathrm{cm}$ , diëlektricum $\varepsilon_r = 2.3$ ) voert een gelijkstroom $I = 500\,\mathrm{A}$ bij $U = 20\,\mathrm{kV}$ ; de kern heeft geleidbaarheid $\gamma = 6 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ .

Velden $\vect E(r)$ en $\vect B(r)$ in het diëlektricum (eerst met volmaakte geleiders); waarden in $r = a$ .
Poyntingvector in het diëlektricum; haar flux door de ringvormige doorsnede: ga na dat die gelijk is aan $UI$ .
Energiedichtheden $\varepsilon_0\varepsilon_rE^2/2$ en $B^2/2\mu_0$ in $r = a$ (in een diëlektricum draagt de elektrische energiedichtheid $\varepsilon_r$ ); welke overheerst, en met hoeveel?
Met welke fractie van de lichtsnelheid “beweegt” de energie (neem $\Pi/u$ in $r = a$ )? Vergelijk met $c/\sqrt{\varepsilon_r}$ .
De kern biedt nu weerstand: veld $E_z$ erin; de poyntingvector vlak buiten haar oppervlak krijgt een radiale component: grootte, en het vermogen per meter dat zij aan de kern levert; toets aan $RI^2$ per meter.
Verhouding van de radiale tot de axiale component van $\vect\Pi$ in $r = a$ : wat zegt die over waar de energie heen gaat?
Magnetische energie per meter kabel, $\int B^2/2\mu_0\,\dd\tau$ , en elektrische energie per meter, $\int\varepsilon_0\varepsilon_rE^2/2\,\dd\tau$ ; vind hen terug als $\tfrac12\Lambda I^2$ en $\tfrac12\Gamma U^2$ met de zelfinductie en de capaciteit per meter uit Hoofdstuk 8.
Een lijn van $10\,\mathrm{km}$ : geleverd vermogen, verloren vermogen, fractie. Doe hetzelfde met $U = 200\,\mathrm{kV}$ en $I = 50\,\mathrm{A}$ (hetzelfde vermogen).

Deel II — Het paneel. Zonlicht op het middaguur op een heldere dag: $I = 1.0\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ ; een fotovoltaïsch paneel van $1.6\,\mathrm{m}^{2}$ met een rendement van $20\%$ ; fotonenergie gemiddeld $2.0\,\mathrm{eV}$ . on average.

$E_0$ , $B_0$ , energiedichtheid en fotonenflux in de bundel.
Geleverd elektrisch vermogen; af te voeren warmte; temperatuurstijging als het paneel via beide vlakken warmte verliest met $h = 10\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K})$ .
Stralingsdruk op het paneel (absorberend); kracht; vergelijk met zijn gewicht ( $18\,\mathrm{kg}$ ).
Ontvangen energie per dag ( $6\,\mathrm{h}$ equivalente volle zon) en per jaar; oppervlakte die nodig is om een huishouden van $3500\,\mathrm{kWh}/\mathrm{jaar}$ te voorzien.
Het paneel levert $30\,\mathrm{V}$ bij $10.7\,\mathrm{A}$ : controleer het vermogen; poyntingflux langs de $5\,\mathrm{m}$ tweeaderige kabel naar de omvormer — waar reist dat vermogen, in het beeld van de velden?
Op de baan van de aarde straalt de zon $1.36\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ : totaal vermogen van de zon; de massa die zij per seconde omzet ( $E = mc^2$ , $c = 3 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ).
Aantal fotonen dat het paneel per seconde treft.
Impulsflux van de fotonen bij de aarde: totale stralingskracht van de zon op de aarde (schijf met straal $6400\,\mathrm{km}$ , absorberend); vergelijk met de zwaartekracht ( $3.5 \times 10^{22}\,\mathrm{N}$ ).

Deel III — De oven. Een magnetronoven levert $800\,\mathrm{W}$ bij $2.45\,\mathrm{GHz}$ in een holte van $30\,\mathrm{L}$ ; een kop met $250\,\mathrm{g}$ water absorbeert daarvan $80\%$ .

Golflengte; is de holte groot vergeleken daarmee? Waarom zijn de wanden van metaal?
Tijd om het water van $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ tot $80{}^{\circ}\mathrm{C}$ te verwarmen ( $c = 4.18\,\mathrm{kJ}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ ); geabsorbeerd vermogen per volume-eenheid.
Stroomde het vermogen als een vlakke golf door de doorsnede van $50\,\mathrm{cm}^{2}$ van de kop, dan: intensiteit en $E_0$ ; de werkelijke velden zijn staande golven met vergelijkbare amplitude — hoe ver liggen de warme plekken uit elkaar, en waarom draait het bord?
Energie die in het veld van de holte is opgeslagen als haar kwaliteitsfactor $Q = 2\pi\times\text{(opgeslagen energie)}/\text{(energieverlies per periode)} \approx 10^3$ bedraagt wanneer zij leeg is: opgeslagen energie, gemiddelde energiedichtheid, $E_0$ — vergelijk met de doorslag van lucht ( $3\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ ).
Water absorbeert omdat zijn moleculen dipolen zijn die op $2.45\,\mathrm{GHz}$ worden aangedreven: het lokale joule-achtige vermogen is $\tfrac12\omega\varepsilon_0 \varepsilon''E_0^2$ met $\varepsilon'' \approx 10$ voor water: welke $E_0$ in het water is nodig voor de vermogensdichtheid van vraag 16; klopt dat?
Fotonenergie bij $2.45\,\mathrm{GHz}$ in eV, en het aantal fotonen dat de kop per seconde absorbeert; waarom microgolven wel kunnen verwarmen maar niet ioniseren (ionisatie vraagt zo’n $10\,\mathrm{eV}$ ).
Stralingsdruk van het veld in de holte op de wanden (van de orde van de energiedichtheid $u$ ): moet men zich daar zorgen over maken?
Waarom loopt een lege oven (zonder belasting) kans op schade, in termen van Poynting?
Vat in een tabel samen, voor de lijn, het paneel en de oven: de drager van de energie, de richting van $\vect\Pi$ , het vermogen, en wat het omzet.

Oplossing

Oplossing van Probleem 12.1.

1. $E = U/r\ln(b/a)$ : $1.8\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ in $r = a$ ; $B = \mu_0I/2\pi r$ : $10\,\mathrm{mT}$ in $a$ .

2. $\vect\Pi = (UI/2\pi r^2\ln(b/a))\vect e_z$ ; $\int_a^b\Pi\,2\pi r\,\dd r = UI = 10\,\mathrm{MW}$ .

3. $\tfrac12\varepsilon_0\varepsilon_rE^2 = 34\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ , $B^2/2\mu_0 = 40\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ : vergelijkbaar.

4. $\Pi(a) = EB/\mu_0 = 1.45 \times 10^{10}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , $u = 74\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ : $\Pi/u = 2.0 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = c/\sqrt{\varepsilon_r}$ .

5. $E_z = I/\gamma\pi a^2 = 0.027\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ ; $\Pi_r = E_zB/\mu_0 = 210\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ naar binnen; $\times2\pi a = 13\,\mathrm{W}/\mathrm{m}$ ; $R = 1/\gamma\pi a^2 = 53\,\text{µ}\Omega/\mathrm{m}$ , $RI^2 = 13\,\mathrm{W}/\mathrm{m}$ .

6. $\Pi_r/\Pi_z = E_z/E_r = 1.5 \times 10^{-8}$ : vrijwel alle energie loopt langs de lijn; een zuchtje lekt het koper in.

7. $133\,\mathrm{kW}$ verloren van $10\,\mathrm{MW}$ , $1.3\%$ ; bij $200\,\mathrm{kV}$ : $1.3\,\mathrm{kW}$ , $0.013\%$ .

8. $\int_a^b(B^2/2\mu_0)2\pi r\,\dd r = (\mu_0I^2/4\pi)\ln(b/a) = 27\,\mathrm{mJ}/\mathrm{m} = \tfrac12\Lambda I^2$ met $\Lambda = \mu_0\ln(b/a)/2\pi = 0.22\,\text{µ}\mathrm{H}/\mathrm{m}$ ; elektrisch: $\tfrac12\Gamma U^2$ met $\Gamma = 2\pi\varepsilon_0\varepsilon_r/\ln(b/a) = 117\,\mathrm{pF}/\mathrm{m}$ : $23\,\mathrm{mJ}/\mathrm{m}$ .

9. $E_0 = 870\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ , $B_0 = 2.9\,\text{µ}\mathrm{T}$ , $u = 3.3\,\text{µ}\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ , $3 \times 10^{21}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ .

10. $320\,\mathrm{W}$ elektrisch; $1280\,\mathrm{W}$ warmte over $3.2\,\mathrm{m}^{2}$ aan vlakken: $\Delta T = 1280/32 = 40\,\mathrm{K}$ .

11. $P = I/c = 3.3\,\text{µ}\mathrm{Pa}$ ; $5.3\,\text{µ}\mathrm{N}$ tegen een gewicht van $180\,\mathrm{N}$ .

12. $320 \times 6 = 1.9\,\mathrm{kWh}/\mathrm{dag}$ , $700\,\mathrm{kWh}/\mathrm{jaar}$ ; vijf panelen, $8\,\mathrm{m}^{2}$ .

13. $30 \times 10.7 = 320\,\mathrm{W}$ ; het vermogen stroomt in het veld tussen de twee draden — $\vect E$ over $30\,\mathrm{V}$ , $\vect B$ om de stromen heen — en niet in het koper.

14. $4\pi D^2I = 3.9 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$ ; $P/c^2 = 4.3 \times 10^{9}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ .

15. $5 \times 10^{21} \times 1.6 = 5 \times 10^{21}\,$ fotonen per seconde.

16. $I\pi R_E^2/c = 5.8 \times 10^{8}\,\mathrm{N}$ : $10^{-14}$ van de zwaartekracht.

17. $\lambda = 12.2\,\mathrm{cm}$ ; de holte van $30\,\mathrm{cm}$ is enkele golflengten groot — een resonator met modes, geen vrije bundel; metalen wanden kaatsen de golf terug (indringdiepte van micrometers) en houden haar binnen.

18. $0.25 \times 4180 \times 60 = 63\,\mathrm{kJ}$ bij $640\,\mathrm{W}$ : $98\,\mathrm{s}$ ; $640/2.5 \times 10^{-4} = 2.6\,\mathrm{MW}/\mathrm{m}^{3}$ .

19. $I = 640/5 \times 10^{-3} = 1.3 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , $E_0 = 10\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ ; de warme plekken liggen $\lambda/2 = 6\,\mathrm{cm}$ uit elkaar — vandaar het draaiplateau.

20. $W = QP/\omega = 10^3 \times 800/1.54 \times 10^{10} = 52\,\text{µ}\mathrm{J}$ ; $u = 1.7\,\mathrm{mJ}/\mathrm{m}^{3}$ ; $E_0 = \sqrt{2u/\varepsilon_0} = 20\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ — honderd keer onder de doorslag.

21. $\tfrac12\omega\varepsilon_0\varepsilon''E_0^2 = 2.6 \times 10^{6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$ : $E_0 = 2\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ in het water — van de orde van het veld in de holte, verkleind door de permittiviteit van water: consistent.

22. $hf = 1.6 \times 10^{-24}\,\mathrm{J} = 1 \times 10^{-5}\,\mathrm{eV}$ ; $4 \times 10^{26}$ fotonen per seconde; een miljoen keer te weinig energie per foton om te ioniseren.

23. $\sim u = 2\,\mathrm{mPa}$ : nee.

24. Zonder iets dat haar absorbeert, kan de flux van $\vect\Pi$ nergens anders eindigen dan terug in de magnetron, die oververhit raakt.

25. Lijn: het diëlektricum, $\vect\Pi$ axiaal, $10\,\mathrm{MW}$ , een belasting aan het eind. Paneel: de bundel, $\vect\Pi$ langs de zonnestralen, $1.6\,\mathrm{kW}$ erin, $320\,\mathrm{W}$ eruit, de halfgeleider. Oven: het veld in de holte, $\vect\Pi$ circulerend, $800\,\mathrm{W}$ , de dipolen van het water.