Universitaire natuurkunde — jaar 2 · Bachelor Year 2

20De michelsoninterferometer

In 1887 splitsten Michelson en Morley een lichtbundel in tweeën, zonden de helften langs loodrechte armen, voegden ze weer samen en keken naar de strepen voor de verschuiving die de beweging van de aarde door de ether zou moeten voortbrengen: er bewoog niets, en de natuurkunde veranderde. In 2015 tekende hetzelfde instrument — twee armen, nu vier kilometer lang en tot een duizendtal gevouwen — een zwaartekrachtsgolf op die hun lengten met een duizendste van de diameter van een proton veranderde. Tussen die twee data mat de michelsoninterferometer de meter in golflengten, loste hij spectraallijnen op en werd hij het standaardgereedschap van de precisieoptiek. Dit hoofdstuk beschrijft hem in zijn twee gedaanten — de luchtwig en de evenwijdige plaat — en toont hoe zijn strepen lengten, indices en spectra meten.

20.1 Het instrument

Definitie 20.1 (De michelsoninterferometer)

Een bundelsplitser $Sp$ — een glasplaat met een halfweerkaatsend vlak — onder $45{}^{\circ}$ verdeelt een invallende bundel in tweeën: de ene gaat naar spiegel $M_1$ , de andere naar $M_2$ , beide loodrecht op hun bundels; na weerkaatsing keert elk naar $Sp$ terug, waar de helft ervan naar de waarnemer wordt gezonden, waar de twee helften interfereren. Een compensatieplaat $C$ , gelijk aan de splitser en evenwijdig eraan, staat in de arm die het glas van de splitser anders maar één keer zou doorlopen, zodat beide bundels dezelfde glasdikte doorlopen: het wegverschil is dan een zuiver verschil van luchtwegen, hetzelfde voor elke golflengte — wat strepen in wit licht vereisen. De afstanden van de spiegels tot $Sp$ zijn $d_1$ en $d_2$ ; één spiegel staat op een micrometerschroef en op kantelschroeven.

Propositie 20.2 (Gelijkwaardige opstelling)

Vanuit de waarnemer gezien is de interferometer gelijkwaardig aan de spiegel $M_2$ en het beeld $M_1'$ van $M_1$ in de splitser: een dunne luchtlaag tussen twee weerkaatsende vlakken, van dikte $e = |d_1 - d_2|$ , waarvan de twee weerkaatsingen interfereren (verdeling van de amplitude):

$M_1' \parallel M_2$ : een luchtplaat van dikte $e$ — ringen van gelijke helling, gelokaliseerd op oneindig, $\delta = 2e\cos i$ ;
$M_1'$ lichtjes over $\alpha$ gekanteld ten opzichte van $M_2$ : een luchtwig — rechte strepen van gelijke dikte, gelokaliseerd op de spiegels (bij de wig), $\delta = 2\alpha x$ bij loodrechte inval, afstand $\lambda/2\alpha$ .

Bij contact ( $e = 0$ , $\alpha = 0$ ) is het veld gelijkmatig, en voor wit licht is dat de ene plaats waar de kleuren overeenstemmen: de “witte streep”.

Bewijs. De arm van $M_1$ op de arm van $M_2$ vouwen door weerkaatsing in $Sp$ brengt de twee bundels op één lijn met twee spiegels op afstand $e$ ; de twee terugkerende golven zijn die welke door de twee vlakken van de luchtlaag zijn weerkaatst (geen extra $\lambda/2$ : beide weerkaatsen op metaal, en de splitser behandelt ze symmetrisch, op een constante fase na die het hele patroon verschuift). De uitkomsten voor dunne lagen van Hoofdstuk 19 gelden dan met $n = 1$ . ∎

Links: de michelsoninterferometer — splitser, compensatieplaat, twee spiegels, één bundel weer samengevoegd naar de waarnemer. Rechts: de gelijkwaardige luchtlaag tussen M_2 en het beeld M_1' van M_1, evenwijdig (ringen) of gekanteld (rechte strepen). — Links: de michelsoninterferometer — splitser, compensatieplaat, twee spiegels, één bundel weer samengevoegd naar de waarnemer. Rechts: de gelijkwaardige luchtlaag tussen $M_2$ en het beeld $M_1'$ van $M_1$ , evenwijdig (ringen) of gekanteld (rechte strepen).

20.2 De twee strepenstelsels

Propositie 20.3 (Ringen van de luchtplaat)

Met $M_1' \parallel M_2$ en een uitgebreide bron ziet de waarnemer (of een lens met brandpuntsafstand $f$ en een scherm in haar brandvlak) concentrische ringen; de ring onder de hoek $i$ heeft de orde $p = 2e\cos i/\lambda$ ; heldere ringen waar $p$ geheel is. Het midden heeft de hoogste orde, $p_0 = 2e/\lambda$ ; daar dichtbij is $\cos i \approx 1 - i^2/2$ , zodat de $k$ -de heldere ring vanaf het midden (geteld vanaf de eerste, op $\varepsilon = p_0 - \lfloor p_0\rfloor$ onder de orde van het midden) de straal heeft

r_k = f\,i_k = f\sqrt{\frac{(k - 1 + \varepsilon)\lambda}e} :

ringen dichter opeen bij grotere $e$ (meer, dunnere ringen), uiteenlopend als $e \to 0$ tot er, bij contact, één gelijkmatig veld overblijft. Een spiegel over $\lambda/2$ verplaatsen verandert $p_0$ met één: er wordt een ring geboren in (of opgeslokt door) het midden voor elke halve golflengte verplaatsing.

Bewijs. $\delta = 2e\cos i$ voor de evenwijdige plaat (Hoofdstuk 19, $n = 1$ , geen extra $\lambda/2$ voor twee metaalweerkaatsingen); $2e(1 - i^2/2) = (p_0 - k + 1 - \varepsilon)\lambda$ met $2e = p_0\lambda$ geeft $ei^2 = (k - 1 + \varepsilon)\lambda$ . ∎

Propositie 20.4 (Strepen van de luchtwig)

Met $M_1'$ over een kleine hoek $\alpha$ gekanteld en bijna loodrechte inval is het wegverschil in het punt van de spiegels op afstand $x$ van de raaklijn $\delta = 2\alpha x$ : rechte strepen evenwijdig aan die lijn, op afstand $\lambda/2\alpha$ , gelokaliseerd op de spiegels (men bekijkt ze door op $M_2$ scherp te stellen, of projecteert ze op een scherm met een lens die $M_2$ en het scherm toevoegt). De streep van orde nul ligt op de raaklijn, dezelfde voor elke golflengte: bij wit licht is zij wit (of zwart, naargelang de fasen van de splitser), geflankeerd door enkele gekleurde strepen — het kenmerk waaraan men het contact vindt.

Bewijs. Strepen van gelijke dikte van een luchtwig, $e(x) = \alpha x$ . Lokalisatie: voor een uitgebreide bron komen de stralen door een gegeven punt van de wig daar weer samen, met dezelfde $\delta$ bij bijna loodrechte inval. ∎

De twee strepenstelsels van de michelson, en het contrast van de strepen van de natriumdoublet tegen de dikte van de plaat: het verdwijnt om de 0.29\, mm (de eerste keer bij 0.145\, mm), wanneer de strepen van de twee lijnen in tegenfase zijn. — De twee strepenstelsels van de michelson, en het contrast van de strepen van de natriumdoublet tegen de dikte van de plaat: het verdwijnt om de $0.29\,\mathrm{mm}$ (de eerste keer bij $0.145\,\mathrm{mm}$ ), wanneer de strepen van de twee lijnen in tegenfase zijn.

20.3 Meten met de michelson

Propositie 20.5 (Lengten, indices, spectra)

Het tellen van $N$ strepen die het midden passeren terwijl een spiegel over $\Delta e$ beweegt geeft $\Delta e = N\lambda/2$ : lengten in golflengten (een micrometerschroef geijkt tot $0.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; de meter zelf werd zo gemeten). Een doorzichtige plaat van dikte $\ell$ en index $n$ in één arm geplaatst voegt $2(n - 1)\ell$ toe aan $\delta$ en verschuift het patroon over $2(n - 1)\ell/\lambda$ strepen: indices (en hun verandering met druk of temperatuur, in een gascel). Bij een doublet met golflengten $\lambda$ en $\lambda + \Delta\lambda$ raken de twee strepenstelsels uit de pas en weer in de pas naarmate $e$ groeit, waarbij het contrast om de

\Delta e = \frac{\lambda^2}{2\Delta\lambda} :

verdwijnt: de splitsing van dicht bijeen liggende lijnen. Meer in het algemeen tekent het contrast als functie van $e$ het spectrum van de bron uit (het contrast sterft uit over $e \sim \ell_c/2$ ): de intensiteit in het midden opnemen terwijl $e$ wordt afgetast is fouriertransformatiespectroscopie, de methode van infraroodspectrometers.

Bewijs. De orde in het midden is $2e/\lambda$ ; elke lijn heeft haar eigen orde. De twee stelsels vallen weer samen wanneer $2e/\lambda - 2e/(\lambda + \Delta\lambda) = 1$ , dat wil zeggen $2e\Delta\lambda /\lambda^2 = 1$ ; halverwege zijn zij in tegenfase. De algemene uitspraak is de contrastformule van Oefening 18.10. ∎

Voorbeeld 20.6 (Natrium, en de meter)

De natriumdoublet ( $\Delta\lambda = 0.6\,\mathrm{nm}$ bij $589\,\mathrm{nm}$ ): de ringen vervagen en verscherpen om de $\Delta e = 589^2/(2 \times 0.6)$ nm $= 0.29\,\mathrm{mm}$ — een klassieke meting van $\Delta\lambda$ tot op enkele procenten met een schroef. Michelson (1892) telde de strepen van de rode cadmiumlijn over de lengte van de standaardmeter: $1\,553\,163.5$ golflengten, de eerste band tussen de meter en een atoom; vandaag wordt de meter door $c$ en de seconde gedefinieerd, en controleren interferometers eindmaten in de productie tot op nanometers.

De intensiteit in het midden van de ringen terwijl de dikte van de plaat groeit, voor een bron met eindige coherentielengte: de strepen vervagen over e _c/2; de omhullende is de fouriergetransformeerde van het spectrum. — De intensiteit in het midden van de ringen terwijl de dikte van de plaat groeit, voor een bron met eindige coherentielengte: de strepen vervagen over $e \sim \ell_c/2$ ; de omhullende is de fouriergetransformeerde van het spectrum.

Opmerking 20.7 (De armen die niets maten, en die welke een golf maten)

Michelson en Morley verwachtten dat de snelheid $v$ van de aarde door de ether de heen-en-terugtijd langs de arm evenwijdig eraan zou veranderen met $(L/c)(v/c)^2$ ten opzichte van de loodrechte arm, een streepverschuiving van $2L(v/c)^2/\lambda \approx 0.4$ streep voor $L = 11\,\mathrm{m}$ en $v = 30\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; het draaien van het toestel had het patroon over dat bedrag moeten laten zwaaien. Zij konden $0.01$ streep zien; zij zagen niets. De zwaartekrachtsgolfdetectoren van vandaag zijn michelsons met armen van $4\,\mathrm{km}$ , waarin het licht in elke arm zowat driehonderd keer heen en weer kaatst, en met een laser die stabiel genoeg is om een verandering van armlengte $\Delta L/L \sim 10^{-21}$ af te lezen — $10^{-18}$ m, een duizendste van een proton — tegen de ruis van seismische beweging en van de fotonen zelf.

Methode 20.8 (Een michelson gebruiken)

(1) Stel de gedaante vast: evenwijdige plaat (ringen op oneindig; waarnemen met een lens of met het oog op oneindig) of wig (strepen op de spiegels; scherpstellen op $M_2$ ). (2) Schrijf $\delta = 2e\cos i$ of $2\alpha x$ en de orde. (3) Vertaal elke meting in strepen: $\Delta e = N\lambda/2$ , $2(n - 1)\ell$ voor een plaat, $\lambda^2/2\Delta\lambda$ voor een doublet. (4) Gebruik de contactstand ( $e = 0$ , witte streep) als volstrekt ijkpunt; merk op dat de stralen van de ringen krimpen als $e$ groeit. (5) Grenzen van de coherentie: ringen zijn zichtbaar zolang $2e < \ell_c$ ; de wig vergt bijna loodrechte inval.

20.4 Opgaven

Oefening 20.1 ★

Een michelson in natriumlicht ( $\lambda = 589\,\mathrm{nm}$ ): de spiegel wordt over $0.10\,\mathrm{mm}$ verplaatst: aantal ringen dat het midden passeert; verplaatsing die met $250$ strepen overeenkomt; nauwkeurigheid op $e$ als een tiende streep kan worden afgelezen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.1.

$N = 2\Delta e/\lambda = 340$ ; $250$ strepen: $\Delta e = 125\lambda = 74\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; een tiende streep is $\lambda/20 = 30\,\mathrm{nm}$ .

Oefening 20.2 ★

Evenwijdige plaat van dikte $e = 0.50\,\mathrm{mm}$ , lens $f = 1.0\,\mathrm{m}$ , $\lambda = 589\,\mathrm{nm}$ : orde in het midden; is het midden helder? Stralen van de eerste drie heldere ringen; wat gebeurt er met de ringen als $e$ tot $0.05\,\mathrm{mm}$ wordt verkleind?

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.2.

$p_0 = 2e/\lambda = 1697.8$ : geen geheel getal, het midden is niet helder ( $\varepsilon = 0.8$ ). $r_k = f\sqrt{(k - 1 + \varepsilon)\lambda/e}$ : $3.1$ , $4.6$ , $5.7\,\mathrm{cm}$ . Bij $0.05\,\mathrm{mm}$ groeien de stralen met $\sqrt{10}$ : weinig, brede ringen.

Oefening 20.3 ★

Luchtwig met $\alpha = 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ , $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$ : streepafstand; aantal strepen over $2\,\mathrm{cm}$ spiegel; de wighoek wordt verdubbeld: wat gebeurt er? Hoe vindt men het contact met wit licht?

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.3.

$\lambda/2\alpha = 3.2\,\mathrm{mm}$ ; zes strepen over $2\,\mathrm{cm}$ ; $\alpha$ verdubbelen halveert de afstand. Contact: verplaats de spiegel tot de strepen in wit licht (een witte, geflankeerd door gekleurde) verschijnen — zij bestaan alleen binnen een micrometer van $\delta = 0$ .

Oefening 20.4 ★

Een glasplaat van $0.10\,\mathrm{mm}$ dik wordt in één arm geplaatst: streepverschuiving voor $n = 1.52$ bij $589\,\mathrm{nm}$ ; de verschuiving wordt tot op $0.2$ streep gemeten: nauwkeurigheid op $n$ . Waarom zou dezelfde meting niet met wit licht kunnen worden gedaan als de plaat $1\,\mathrm{cm}$ dik was?

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.4.

$2(n - 1)e/\lambda = 177$ strepen; $0.2$ streep geeft $\Delta n = 0.2\lambda/2e = 6 \times 10^{-4}\,$ . Een centimeter glas voegt millimeters dispersieve weg toe: de kleuren stemmen nergens meer overeen, geen witte streep.

Oefening 20.5 ★★

Natriumdoublet. (a) Dikte $e$ tussen twee opeenvolgende verdwijningen van de ringen, voor $\Delta\lambda = 0.597\,\mathrm{nm}$ . (b) Een student meet $17$ verdwijningen over $5.00\,\mathrm{mm}$ : $\Delta\lambda$ en de nauwkeurigheid ervan. (c) Orden van de twee lijnen bij $e = 0.29\,\mathrm{mm}$ : ga na dat zij $\tfrac12$ verschillen. (d) Waarom is het contrast nooit precies nul (de twee lijnen hebben intensiteiten in de verhouding $2 : 1$ ): minimaal contrast.

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.5.

(a) $\lambda^2/2\Delta\lambda = 0.291\,\mathrm{mm}$ . (b) $5.00/17 = 0.294\,\mathrm{mm}$ : $\Delta\lambda = \lambda^2/2\Delta e = 0.590\,\mathrm{nm}$ ; $0.1\%$ : $\pm0.0006\,\mathrm{nm}$ . (c) Bij $e = 0.145\,\mathrm{mm}$ (de eerste verdwijning): $p_1 = 492.4$ , $p_2 = 491.9$ — een halve orde uit elkaar; bij $0.29\,\mathrm{mm}$ verschillen zij één orde. (d) De zwakkere strepen blijven over: $V_{\min} = (I_1 - I_2)/(I_1 + I_2) = 1/3$ .

Oefening 20.6 ★★

Index van lucht. Een cel van $10.0\,\mathrm{cm}$ in één arm wordt leeggepompt, dan langzaam met lucht op $1\,\mathrm{bar}$ gevuld; $94$ strepen trekken voorbij ( $\lambda = 589\,\mathrm{nm}$ ). (a) $n - 1$ voor lucht. (b) Voorbijtrekkende strepen bij een verandering van $1\,\%$ in druk; temperatuurcoëfficiënt als $n - 1 \propto \rho$ . (c) Waarom is dat van belang voor de stabiliteit van elke interferometer in lucht? (d) Nauwkeurigheid op $n - 1$ uit een tiende streep.

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.6.

(a) $2(n - 1)\ell = 94\lambda$ : $n - 1 = 2.77 \times 10^{-4}\,$ . (b) $0.94$ streep per procent; $\dd(n - 1)/\dd T = -(n - 1)/T = -9.5 \times 10^{-7}\,\mathrm{K}^{-1}$ . (c) Enkele millibar of een graad in één arm doen de strepen bewegen: vandaar vacuüm of gelijke armen. (d) $0.1/94$ : $\pm3 \times 10^{-7}\,$ .

Oefening 20.7 ★★

Coherentielengte. Met een kwiklamp bij lage druk (groene lijn, $546\,\mathrm{nm}$ , breedte $0.01\,\mathrm{nm}$ ) vervagen de ringen naarmate $e$ groeit. (a) Coherentielengte; dikte $e$ waarbij het contrast verwaarloosbaar wordt. (b) Idem met een lamp bij hoge druk ( $\Delta\lambda = 1\,\mathrm{nm}$ ). (c) Met een He–Ne-laser ( $\Delta\nu = 1\,\mathrm{MHz}$ ): kan men nog ringen zien bij $e = 10\,\mathrm{m}$ ? (d) Wat begrenst strepen in wit licht tot $\pm2$ orden rond het contact?

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.7.

(a) $\ell_c = \lambda^2/\Delta\lambda = 3\,\mathrm{cm}$ : ringen vervagen voorbij $e \approx 1.5\,\mathrm{cm}$ . (b) $0.3\,\mathrm{mm}$ , $e \approx 0.15\,\mathrm{mm}$ . (c) $\ell_c = 300\,\mathrm{m}$ : ja. (d) $\ell_c \approx 1\,\text{µ}\mathrm{m}$ : $2e < 1\,\text{µ}\mathrm{m}$ , een paar orden.

Oefening 20.8 ★★

Compensatieplaat. Zonder $C$ doorloopt de ene bundel het glas van de splitser ( $e_g = 5\,\mathrm{mm}$ , $n = 1.52$ ) drie keer en de andere één keer. (a) Extra optische weg; kan hij voor monochromatisch licht door een spiegel te verplaatsen worden gecompenseerd? (b) Waarom niet voor wit licht (dispersie: $n$ verandert $0.01$ over het zichtbare)? (c) Welke tolerantie op de evenwijdigheid van $C$ en $Sp$ behoudt de witte streep (neem een overblijvend dikteverschil $< 0.3\,\text{µ}\mathrm{m}$ )? (d) Moderne splitsers zijn dunne vliesjes of kubussen: waarom is $C$ dan onnodig?

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.8.

(a) $2(n - 1)e_g = 5.2\,\mathrm{mm}$ ; ja, met $2.6\,\mathrm{mm}$ spiegelverplaatsing. (b) De glasweg verandert met $\lambda$ over $2e_g\Delta n = 100\,\text{µ}\mathrm{m} \gg \ell_c$ : geen nulpunt dat van de golflengte onafhankelijk is. (c) $2(n - 1)\Delta e_g < 0.3\,\text{µ}\mathrm{m}$ : $\Delta e_g < 0.3\,\text{µ}\mathrm{m}$ — een onderlinge kanteling onder $1.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}$ over $2\,\mathrm{cm}$ . (d) Een vliesje is enkele micrometers dik; een kubus is symmetrisch: beide bundels zien hetzelfde glas.

Oefening 20.9 ★★

Michelson–Morley. Armen van $L = 11\,\mathrm{m}$ (gevouwen), $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$ , baansnelheid van de aarde $v = 30\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . (a) In de ethertheorie duurt de heen-en-terugreis langs de arm evenwijdig aan $\vect v$ $2L/c(1 - v^2/c^2)$ en die langs de loodrechte $2L/c\sqrt{1 - v^2/c^2}$ : verschil, tot laagste orde. (b) Streepverschuiving die wordt verwacht bij het draaien van het toestel over $90{}^{\circ}$ (de rollen van de armen wisselen). (c) Zij konden $0.01$ streep opsporen: bovengrens op $v$ . (d) Wat zegt een nulresultaat, en wat besloot Einstein daaruit?

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.9.

(a) $\Delta t \approx Lv^2/c^3 = 4.1 \times 10^{-15}\,\mathrm{s}$ , een weg van $1.2\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (b) Het verwisselen van de armen verdubbelt hem: $2Lv^2/c^2\lambda = 0.4$ streep. (c) $v < 30\sqrt{0.01/0.4} = 4.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . (d) Er wordt geen beweging door een ether gezien; de lichtsnelheid is langs beide armen dezelfde — het postulaat van de relativiteit.

Oefening 20.10 ★★★

Fourierspectroscopie. De intensiteit in het midden van de ringen is $I(e) = \int S(\nu)[1 + \cos(4\pi\nu e/c)]\dd\nu$ voor een bron met spectrum $S(\nu)$ . (a) Voor één enkele lijn: $I(e)$ ; periode in $e$ . (b) Voor een gaussische lijn van breedte $\Delta\nu$ : toon aan dat de strepen een gaussische omhullende hebben van breedte $\sim c/2\Delta\nu$ in $e$ (neem aan dat de fouriergetransformeerde van een gaussische functie weer gaussisch is). (c) Oplossend vermogen: twee lijnen op $\Delta\nu$ afstand zijn gescheiden als de aftasting $e_{\max} \approx c/2\Delta\nu$ bereikt; voor $e_{\max} = 10\,\mathrm{cm}$ , het oplossend vermogen $\lambda/\Delta\lambda$ bij $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (d) Waarom verdient deze methode in het infrarood de voorkeur (signaal, “multiplex”voordeel)?

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.10.

(a) $I = S_0[1 + \cos(4\pi\nu_0e/c)]$ , periode $\lambda/2$ in $e$ . (b) Elke frequentie geeft een streep met een iets andere periode; een gaussische band van breedte $\Delta\nu$ telt op tot strepen met een gaussische omhullende van breedte $\sim c/2\Delta\nu$ . (c) $R = \nu/\Delta\nu = 2e_{\max}/\lambda = 2 \times 10^5$ . (d) Alle golflengten vallen tegelijk op één detector (Fellgett) door een wijde opening (Jacquinot): veel meer signaal dan een spleetspectrometer in het fotonarme infrarood.

Oefening 20.11 ★★★

Zwaartekrachtsgolfdetector. Armen $L = 4\,\mathrm{km}$ , licht dat tot $N = 300$ heen-en-terugreizen wordt hergebruikt, $\lambda = 1064\,\mathrm{nm}$ , de golf verandert de armen met $\Delta L/L = 10^{-21}$ in tegengestelde zin. (a) Verandering van het wegverschil; faseverschuiving. (b) Het instrument wordt op een donkere streep gehouden en meet de kleine intensiteit $I = I_0\sin^2(\Delta\varphi/2)$ : intensiteitsverandering voor het signaal. (c) Met $100\,\mathrm{W}$ rondlopend licht bij $1064\,\mathrm{nm}$ , fotonen per seconde; de fotonruis in $1\,\mathrm{ms}$ ( $\sqrt N$ ) tegen het signaal: is het op te sporen? Wat levert meer vermogen op? (d) Waarom zijn de armen kilometers lang, en waarom hangen de spiegels vrij?

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.11.

(a) De weg van elke arm verandert met $2N\Delta L$ , in tegengestelde zin: $\Delta\delta = 4N\Delta L = 4.8 \times 10^{-15}\,\mathrm{m}$ , $\Delta\varphi = 2\pi\Delta\delta/\lambda = 2.8 \times 10^{-8}\,\mathrm{rad}$ . (b) Nabij een donkere streep ziet de detector een intensiteit evenredig met $\Delta\varphi^2$ — of, met een kleine verschuiving, met $\Delta\varphi$ : een betrekkelijke verandering van de orde $10^{-8}$ . (c) $5 \times 10^{20}$ fotonen per seconde, $5 \times 10^{17}$ per milliseconde, betrekkelijke ruis $1.4 \times 10^{-9}$ : het signaal is twintig keer de ruis; meer vermogen verlaagt de ruis als $1/\sqrt P$ . (d) $\Delta L \propto L$ ; de slingerophangingen filteren de beweging van de bodem boven hun resonantie weg.

Oefening 20.12 ★★★

Lokalisatie. (a) Toon aan dat voor de wig de twee stralen die een punt $P$ van $M_2$ verlaten naar een waarnemer op oneindig (inval $i$ ) het wegverschil $2e(P)\cos i$ hebben plus een term $\propto\alpha i$ die verdwijnt voor $i = 0$ : de strepen liggen alleen bij loodrechte inval op de spiegels. (b) Een uitgebreide bron belicht de wig met invalshoeken tot $i_{\max}$ : waaraan moet $i_{\max}$ voldoen opdat de strepen scherp blijven ( $2e\,i_{\max}^2/2 < \lambda/4$ aan de rand van het veld, $e = 20\,\text{µ}\mathrm{m}$ )? (c) Voor de evenwijdige plaat bewegen de ringen niet wanneer het oog beweegt: waarom? (d) Een student ziet strepen die verschuiven wanneer zij haar hoofd beweegt: in welke gedaante bevindt zij zich, en wat moet zij bijstellen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.12.

(a) Voor een punt $P$ op diepte $e(P)$ en inval $i$ is $\delta = 2e(P)\cos i$ plus een term $\propto\alpha i$ van de gekantelde tweede weerkaatsing, die bij loodrechte inval verdwijnt: alleen daar bereiken beide stralen uit $P$ het oog — lokalisatie op de spiegels. (b) $ei^2 < \lambda/4$ : $i_{\max} < \sqrt{\lambda/4e} = 0.09\,\mathrm{rad}$ . (c) De ringen hangen alleen van $i$ af: elke oogstand ziet hetzelfde hoekpatroon. (d) De wig buiten de spiegels bekeken; stel scherp op $M_2$ of verminder de kanteling.

Een michelsoninterferometer op een practicumbank: laser, splitserkubus, twee spiegels, en op het scherm de ringen van gelijke helling van de luchtplaat.

De LIGO-interferometer te Hanford: een michelsoninterferometer met armen van vier kilometer lang, die in 2015 een verandering van armlengte van een duizendste van de diameter van een proton opnam — de doorgang van een zwaartekrachtsgolf (LIGO Laboratory).

20.5 Vraagstuk: de natriumdoublet en de index van lucht

Probleem 20.1

Weekendvraagstuk — een volledige meetsessie op een michelsoninterferometer: het contact vinden, lengten aflezen, de gele lijn splitsen, de lucht wegen

De interferometer heeft een micrometerschroef die $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ afleest; de natriumlamp geeft $\lambda_1 = 589.0\,\mathrm{nm}$ en $\lambda_2 = 589.6\,\mathrm{nm}$ met intensiteiten $2 : 1$ ; een witte lamp en een He–Ne-laser ( $632.8\,\mathrm{nm}$ ) zijn eveneens beschikbaar.

Deel I — Opstellen.

Met de laser ziet de student twee vlekken van de twee armen op een kaart; zij legt ze met de kantelschroeven op elkaar en ziet dan rechte strepen: welke gedaante is dit, en wat zegt hun afstand over de overblijvende kanteling (afstand $2\,\mathrm{mm}$ )?
Bij het draaien aan de kantelschroeven buigen de strepen krom en worden zij dan ringen: waarom verschijnen er ringen, en waar staat $M_1'$ nu?
Zij verplaatst de spiegel en telt $158$ ringen die door het midden worden opgeslokt: verplaatsing; in welke zin verandert $e$ ?
Terwijl zij doorgaat, lopen de ringen uiteen en groeit de middenvlek tot zij het veld vult: wat heeft zij bereikt? De natriumlamp vervangt de laser en zij ziet niets bijzonders: waarom niet, en waarom toont wit licht in dat punt een heldere middenstreep, geflankeerd door gekleurde?
Zij kantelt $M_1$ bij contact heel lichtjes en ziet, in wit licht, rechte gekleurde strepen: verklaar dat, en zeg hoeveel zij er aan elke kant van de witte mag verwachten.
De laservlekken zijn $10\,\mathrm{mm}$ groot en zij wil tien ringen in het veld van een lens met $f = 20\,\mathrm{cm}$ ( $\lambda = 632.8\,\mathrm{nm}$ ): benodigde dikte $e$ (gebruik de straal van de $k$ -de ring).
Waarom moet de compensatieplaat evenwijdig aan de splitser staan, en wat zou zij in wit licht zien als die werd weggenomen?

Deel II — De doublet.

Vanaf het contact met de natriumlamp verhoogt zij $e$ : het contrast van de ringen daalt, verdwijnt, keert terug. Dikte van de eerste verdwijning; van de $n$ -de.
Zij tekent $12$ verdwijningen op tussen $e = 0.15\,\mathrm{mm}$ en $e = 3.35\,\mathrm{mm}$ (de eerste en de laatste op de schroef afgelezen): $\Delta\lambda$ ; nauwkeurigheid als elke aflezing tot op $5\,\text{µ}\mathrm{m}$ klopt.
Orden $p_1$ en $p_2$ van de twee lijnen bij de eerste verdwijning; bij de eerste terugkeer van vol contrast.
Minimaal contrast bij een verdwijning, gegeven de intensiteitsverhouding $2 : 1$ (de strepen van de zwakkere lijn blijven over).
Hoeveel verdwijningen kan zij tellen voordat de natuurlijke breedte van de lijnen (elk $0.02\,\mathrm{nm}$ ) alles uitwist?
Wat zou een lamp met drie lijnen op gelijke afstand tonen?

Deel III — De lucht. Een cel van lengte $\ell = 5.00\,\mathrm{cm}$ met glazen vensters wordt in één arm geplaatst en leeggepompt; er wordt langzaam lucht ingelaten terwijl de laserstrepen worden geteld.

Optisch wegverschil dat ontstaat door de cel tot $1\,\mathrm{atm}$ te vullen als $n - 1 = 2.9 \times 10^{-4}\,$ ; aantal strepen.
Zij telt $46$ strepen: haar waarde van $n - 1$ .
Zij laat maar $0.20\,\mathrm{bar}$ binnen: verwachte strepen ( $n - 1 \propto$ druk).
De kamer warmt tijdens de meting $3\,\mathrm{K}$ op, en de $40\,\mathrm{cm}$ open luchtweg in elke arm verandert van index met $-1 \times 10^{-6}\,$ per kelvin: streepdrift; is dat een probleem voor deel II, voor deel III?
Waarom verschuiven de vensters van de cel de meting niet (zij staan er tijdens de hele telling)?
De proef wordt met CO $_2$ herhaald ( $n - 1 = 4.5 \times 10^{-4}\,$ ): strepen voor een volle cel; hoe zou het gas alleen uit de telling kunnen worden herkend?

Deel IV — Grenzen.

De schroef wordt tot op $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ afgelezen: nauwkeurigheid van een lengte gemeten door strepen te tellen over $1\,\mathrm{cm}$ , tegenover die met de schroef alleen.
Een trilling met amplitude $50\,\mathrm{nm}$ bij $100\,\mathrm{Hz}$ schudt één spiegel: streepbeweging; wat ziet het oog, wat ziet een camera bij $25$ beelden per seconde?
De frequentie van de laser drift $1 \times 10^{-8}\,$ in betrekkelijke waarde tijdens een telling over $e = 1\,\mathrm{cm}$ : fout in strepen.
Een eindmaat van $10\,\mathrm{mm}$ is door interferometrie tot op $\lambda/20$ gewaarborgd: volstrekte en betrekkelijke nauwkeurigheid.
Waarom is de michelson het instrument bij uitstek voor lengten, en het tralie (volgend hoofdstuk) voor spectra?
Vat de vier gemeten grootheden samen (een lengte, een doubletsplitsing, een index, een coherentielengte) en de streepwaarneming die elk ervan gaf.

Oplossing

Oplossing van Probleem 20.1.

1. Wigstrepen; $\lambda/2\alpha = 2\,\mathrm{mm}$ : $\alpha = 1.6 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ .

2. $M_1'$ is evenwijdig aan $M_2$ geworden: de luchtplaat, waarvan de strepen van gelijke helling ringen zijn.

3. $158\lambda/2 = 50\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; ringen die in het midden worden opgeslokt: $e$ neemt af.

4. Contact, $e = 0$ . Natriumlicht toont daar geen kenmerk (één golflengte, gelijkmatig veld hoe dan ook); wit licht toont de ene stand waar elke kleur $\delta = 0$ heeft, geflankeerd door kleuren naarmate de orden uiteenlopen.

5. $\delta = 2\alpha x$ : een witte streep op de raaklijn en een of twee gekleurde aan elke kant ( $2\alpha x < \ell_c \approx 1\,\text{µ}\mathrm{m}$ ).

6. $r_{10} = f\sqrt{10\lambda/e} = 5\,\mathrm{mm}$ : $e = 10\lambda f^2/r^2 = 1.0\,\mathrm{cm}$ .

7. Evenwijdig doorlopen de twee bundels bij elke golflengte gelijk glas; zonder $C$ laat de dispersie van $5\,\mathrm{mm}$ glas geen gemeenschappelijk nulpunt: geen witte streep.

8. $\lambda^2/4\Delta\lambda = 0.145\,\mathrm{mm}$ ; daarna om de $\lambda^2/2\Delta\lambda = 0.291\,\mathrm{mm}$ .

9. $11$ intervallen over $3.20\,\mathrm{mm}$ : $0.291\,\mathrm{mm}$ , $\Delta\lambda = 0.597\,\mathrm{nm}$ ; $\pm10\,\text{µ}\mathrm{m}$ op $3.2\,\mathrm{mm}$ : $\pm0.002\,\mathrm{nm}$ .

10. $492.4$ en $491.9$ (een halve orde uit elkaar); bij de terugkeer, $984.7$ en $983.7$ .

11. $1/3$ .

12. $\ell_c = \lambda^2/\Delta\lambda = 1.7\,\mathrm{cm}$ : $2e < 1.7\,\mathrm{cm}$ , ongeveer $29$ .

13. Drie strepenstelsels: vol contrast om de $\lambda^2/2\Delta\lambda$ , met twee gedeeltelijke dalen ertussen — het patroon van drie spleten.

14. $2(n - 1)\ell = 29\,\text{µ}\mathrm{m}$ : $46$ strepen.

15. $n - 1 = 46\lambda/2\ell = 2.91 \times 10^{-4}\,$ .

16. $9.2$ strepen.

17. Gelijke armen: de drift is beide gemeen en heft zich op; een ongelijkheid van $1\,\mathrm{cm}$ geeft $2 \times 0.01 \times 3 \times 10^{-6} = 0.1\,\mathrm{franje}$ — onschadelijk voor beide delen.

18. Zij zijn er, onveranderd, gedurende de hele telling: een vaste verschuiving.

19. $71$ strepen; de telling geeft $n - 1$ , een kenmerk van het gas.

20. $31\,600$ strepen over een centimeter, tot op een tiende afgelezen: $30\,\mathrm{nm}$ , $3 \times 10^{-6}$ ; de schroef geeft een micrometer.

21. $\delta$ zwaait over $\pm100\,\mathrm{nm}$ , $\pm0.16$ streep bij $100\,\mathrm{Hz}$ : het oog ziet verminderd contrast; bij $25$ beelden per seconde bemonstert de camera vier perioden per beeld en ziet zij een bevroren of traag zwevend patroon.

22. $10^{-8} \times 31\,600 = 3 \times 10^{-4}$ streep: niets.

23. $\lambda/20 = 32\,\mathrm{nm}$ op $10\,\mathrm{mm}$ : $3 \times 10^{-6}$ .

24. Hij vergelijkt een lengte rechtstreeks met een golflengte, streep na streep; het tralie spreidt alle golflengten tegelijk over een wijd bereik.

25. Lengte: ringen in het midden geteld. Doublet: het periodieke verlies van contrast. Index: strepen die voorbijtrekken terwijl de cel zich vult. Coherentielengte: de dikte waarbij de ringen vervagen.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

De michelsoninterferometer

Bekijk alle 393 begrippen in de begrippenlijst