Universitaire natuurkunde — jaar 2 · Bachelor Year 2

15Reflectie en transmissie aan grensvlakken

De echoscopist perst een gel tussen de sonde en de huid: zonder die gel zou het geluid tegen het laagje lucht kaatsen en nooit het lichaam binnenkomen. Een cameralens is bedekt met een laagje van een kwart golflengte dik, en haar oppervlakken houden op met spiegelen. Een radiogolf ontmoet de ionosfeer en keert terug; licht ontmoet een zilveren spiegel en keert terug; een puls bereikt het einde van een kabel en komt omgekeerd of rechtop terug, naargelang wat daar is aangesloten. Elke golf die een verandering van medium ontmoet, splitst in een teruggekaatst en een doorgelaten deel, en één idee beslist over de verdeling: de continuïteitsvoorwaarden aan het grensvlak, geschreven met de impedanties van de twee media. Dit hoofdstuk past dat toe op geluid, op licht tussen twee diëlektrica, op een plasma, op een metaal en op een kabel, en leidt er de wetten van weerkaatsing en breking uit af, en de ene hoek waaronder glas niets terugkaatst.

Een meervoudig gecoate cameralens: de flauwe paarse en groene spiegelingen zijn wat er overblijft van de vier procent die elk kaal glasoppervlak zou teruggeven.

15.1 Loodrechte inval: de impedantieregel

Stelling 15.1 (Reflectie en transmissie bij loodrechte inval)

Een vlakke golf loopt in medium 1 naar het vlakke grensvlak $x = 0$ met medium 2; elk medium wordt gekenmerkt door een impedantie $Z_i$ (de verhouding van de twee veldgrootheden die aan het grensvlak continu zijn — druk en snelheid voor geluid, $E$ en $H = B/\mu_0$ voor licht, spanning en stroom voor een lijn). De continuïteit van beide grootheden in $x = 0$ geeft, voor de “krachtachtige” grootheid (druk, $E$ , $v$ ),

r = \frac{Z_2 - Z_1}{Z_2 + Z_1} , \qquad t = \frac{2Z_2}{Z_2 + Z_1} , \qquad R = r^2 , \quad T = \frac{4Z_1Z_2}{(Z_1 + Z_2)^2} , \quad R + T = 1 .

(Voor de “stroomachtige” grootheid — snelheid, $H$ , stroom — wisselt $r$ van teken.) Er wordt niets teruggekaatst wanneer $Z_1 = Z_2$ (aangepaste media); vrijwel alles wanneer $Z_2 \gg Z_1$ ( $r \to +1$ ) of $Z_2 \ll Z_1$ ( $r \to -1$ ).

Bewijs. Invallend $p_i = A\cos(\omega t - k_1x)$ , teruggekaatst $p_r = rA\cos(\omega t + k_1x)$ , doorgelaten $p_t = tA\cos(\omega t - k_2x)$ , met dezelfde frequentie. De bijbehorende stroomgrootheden zijn $p/Z_1$ , $-p_r/Z_1$ (een golf die achteruit loopt draagt $v = -p/Z$ ) en $p_t/Z_2$ . Continuïteit in $x = 0$ : $1 + r = t$ en $(1 - r)/Z_1 = t/Z_2$ ; los op. Energieën: de intensiteiten zijn $p^2/Z$ , dus $R = r^2$ en $T = t^2Z_1/Z_2$ . ∎

Voorbeeld 15.2 (Geluid aan drie grensvlakken)

Lucht ( $Z = 410\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ ) naar water ( $1.5 \times 10^6$ ): $r = 0.9995$ , $T = 1.1 \times 10^{-3}$ — $99.9\%$ teruggekaatst; een zwemmer hoort vrijwel niets van de wereld erboven, en de echosonde heeft haar gel nodig. Weefsel ( $1.6 \times 10^6$ ) naar bot ( $7 \times 10^6$ ): $r = 0.63$ , $T = 0.6$ . Vet ( $1.38 \times 10^6$ ) naar spier ( $1.70 \times 10^6$ ): $r = 0.10$ , $R = 1\%$ — de zwakke echo’s waaruit een beeld bestaat. Een snaar die aan een muur vastzit ( $Z_2 \to \infty$ ): $r = +1$ voor de kracht, $-1$ voor de snelheid, en de puls keert omgekeerd terug (Hoofdstuk 6).

Propositie 15.3 (Licht bij loodrechte inval; antireflectielaag)

Voor licht tussen twee doorzichtige media met brekingsindices $n_1$ en $n_2$ (de impedantie van een diëlektricum is $Z = \sqrt{\mu_0/\varepsilon_0}/n$ , omgekeerd evenredig met $n$ ) geldt voor het elektrische veld

r = \frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2} , \qquad R = \Bigl(\frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2}\Bigr)^2 :

$4\%$ aan elk oppervlak lucht–glas, $2\%$ voor water, $17\%$ voor diamant. Een laagje met brekingsindex $n = \sqrt{n_1n_2}$ en dikte $\lambda/4n$ tussen de media doet de reflectie bij $\lambda$ verdwijnen (de kwartgolf-antireflectielaag): de golven die aan haar twee vlakken worden teruggekaatst, hebben gelijke amplitudes en tegengestelde fasen. Datzelfde laagje met een hoge brekingsindex, of een stapel afwisselende kwartgolflagen, doet het omgekeerde en bouwt een spiegel die $99.99\%$ terugkaatst — de spiegels van lasers.

Bewijs. Continuïteit van de tangentiële $\vect E$ en $\vect B$ (geen oppervlaktestroom): $E_i + E_r = E_t$ en $B_i - B_r = B_t$ met $B = nE/c$ in elk medium, dus de impedantieregel met $Z \propto 1/n$ . De laag: de twee teruggekaatste amplitudes zijn $(n_1 - n)/(n_1 + n)$ en $(n - n_2)/(n + n_2)$ , gelijk wanneer $n^2 = n_1n_2$ ; een heen-en-terugreis in de laag voegt de fase $2\times2\pi n(\lambda/4n)/\lambda = \pi$ toe, zodat zij elkaar opheffen (de meervoudige reflecties, die klein zijn, zitten in de exacte behandeling van Oefening 15.5). ∎

Links: loodrechte inval op een grensvlak — de amplitudes volgen uit de continuïteit van de twee veldgrootheden, via de impedanties. Rechts: de kwartgolf-antireflectielaag — de twee teruggekaatste golven heffen elkaar op.

15.2 Schuine inval: de wetten van Descartes en de hoek van Brewster

Stelling 15.4 (Wetten van weerkaatsing en breking)

Een vlakke golf met golfvector $\vect k_i$ ontmoet het vlakke grensvlak tussen twee media waarin golven met $v_1$ en $v_2$ lopen. De continuïteitsvoorwaarden moeten in elk punt van het grensvlak en op elk ogenblik gelden: de teruggekaatste en de doorgelaten golf moeten dezelfde frequentie en dezelfde tangentiële golfvector hebben als de invallende. Vandaar dat de drie golfvectoren in één vlak liggen (het invalsvlak), dat de hoek van weerkaatsing gelijk is aan de hoek van inval, en dat

\frac{\sin\theta_1}{v_1} = \frac{\sin\theta_2}{v_2} \qquad (n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2 \text{ voor licht}) .

Wanneer $v_2 > v_1$ en $\sin\theta_1 > v_1/v_2$ bestaat er geen reële $\theta_2$ : totale interne weerkaatsing; het veld in medium 2 is dan een evanescente golf, $\propto\eu^{-x/\ell}\eu^{\iu(\omega t - k_ty)}$ , die langs het grensvlak loopt en er loodrecht op uitdooft over $\ell = \lambda_2/2\pi \sqrt{\sin^2\theta_1(v_2/v_1)^2 - 1}$ , een fractie van een golflengte; zij voert geen energie weg — totale reflectie.

Bewijs. Met $\vect k = (k_x, k_y, 0)$ en het grensvlak $x = 0$ moeten de fasen $\omega t - k_yy$ van de drie golven voor alle $y$ en $t$ overeenstemmen: dezelfde $\omega$ , dezelfde $k_y = (\omega/v_1)\sin\theta_1 = (\omega/v_1)\sin\theta_r = (\omega/v_2)\sin \theta_2$ . Is $(\omega/v_2)^2 - k_y^2 < 0$ , dan is $k_{2x}$ imaginair, $k_{2x} = -\iu/\ell$ : evanescentie; haar poyntingvector langs $x$ is gemiddeld nul. ∎

Propositie 15.5 (De hoek van Brewster; polarisatie door weerkaatsing)

Voor licht dat op een diëlektricum valt, hangt de teruggekaatste amplitude van de polarisatie af (de coëfficiënten van Fresnel, in het algemeen aangenomen): voor de polarisatie in het invalsvlak (p) verdwijnt zij bij de hoek van Brewster

\tan\theta_B = \frac{n_2}{n_1} ,

waarbij de teruggekaatste en de gebroken straal loodrecht op elkaar staan; licht dat onder $\theta_B$ wordt teruggekaatst, is dan volledig gepolariseerd loodrecht op het invalsvlak (s), en in de buurt van die hoek gedeeltelijk — de schittering op water en wegen die een polariserende zonnebril wegneemt. Voor glas ( $n = 1.5$ ) is $\theta_B = 56{}^{\circ}$ , voor water $53{}^{\circ}$ .

Bewijs. De teruggekaatste golf wordt uitgestraald door de dipolen van medium 2, die door de gebroken golf langs haar $\vect E$ aan het trillen worden gebracht, welke bij p-polarisatie in het invalsvlak ligt, loodrecht op de gebroken straal. Een dipool straalt niet langs zijn eigen as (Hoofdstuk 17); wanneer de teruggekaatste richting evenwijdig is met die as — dus loodrecht op de gebroken straal, $\theta_1 + \theta_2 = \pi/2$ — wordt er niets teruggekaatst. Dan is $\sin\theta_2 = \cos\theta_1$ en geeft Descartes $\tan\theta_1 = n_2/n_1$ . De s-polarisatie heeft haar $\vect E$ loodrecht op het invalsvlak, nooit langs de teruggekaatste straal: zij wordt altijd gedeeltelijk teruggekaatst. ∎

Links: het aanpassen van de fase langs het grensvlak geeft de wetten van weerkaatsing en breking. Rechts: bij de hoek van Brewster zouden de dipolen van het tweede medium, aangedreven langs het p-gepolariseerde gebroken veld, langs hun eigen as moeten stralen om de teruggekaatste straal te voeden — dat kunnen zij niet, en alleen de s-polarisatie wordt teruggekaatst.

Links: de reflectiefactor van een oppervlak lucht–glas (n = 1.5) voor de twee polarisaties — R_p verdwijnt bij de hoek van Brewster en beide stijgen naar 1 bij scherende inval. Rechts: voorbij de grenshoek is het doorgelaten veld evanescent, kleeft het aan het grensvlak en dooft het binnen een golflengte uit. — Links: de reflectiefactor van een oppervlak lucht–glas ( $n = 1.5$ ) voor de twee polarisaties — $R_p$ verdwijnt bij de hoek van Brewster en beide stijgen naar $1$ bij scherende inval. Rechts: voorbij de grenshoek is het doorgelaten veld evanescent, kleeft het aan het grensvlak en dooft het binnen een golflengte uit.

15.3 Plasma’s, metalen en de volmaakte geleider

Propositie 15.6 (Weerkaatsing op een plasma en op een metaal)

(i) Een golf met $\omega < \omega_p$ die loodrecht op een plasma valt, wordt volledig teruggekaatst: de “brekingsindex” $\underline n = -\iu\sqrt{\omega_p^2/\omega^2 - 1}$ is imaginair, $r = (1 - \underline n)/(1 + \underline n)$ heeft modulus $1$ , en het veld dringt door als de evanescente $\eu^{-\kappa x}$ van Hoofdstuk 14. (ii) Een goede geleider heeft $\underline n = (1 - \iu)c/\omega\delta$ , met een enorme modulus: $r \approx -1$ , en de reflectiefactor is $R \approx 1 - 2\omega\delta/c = 1 - \sqrt{8\varepsilon_0\omega/\gamma}$ (Hagen–Rubens): $0.99999$ voor koper bij $10\,\mathrm{GHz}$ , $0.99$ in het verre infrarood. (iii) De volmaakte geleider ( $\gamma \to \infty$ , $\delta \to 0$ ): $r = -1$ exact voor $\vect E$ , de totale tangentiële $\vect E$ verdwijnt aan het oppervlak, en de invallende en de teruggekaatste golf vormen de staande golf

\vect E = -2E_0\sin kx\sin\omega t\,\vect e_y , \qquad \vect B = 2\frac{E_0}c\cos kx\cos\omega t\,\vect e_z ,

met knopen van $\vect E$ (buiken van $\vect B$ ) in $x = 0, -\lambda/2, \dots$ ; het veld wordt gedragen door een oppervlaktestroom $\vect j_s = \vect n\wedge\vect B/ \mu_0 = (2E_0/\mu_0c)\cos\omega t\,\vect e_y$ , en de laplacekracht erop is de stralingsdruk $2I/c$ .

Bewijs. (i) en (ii): de impedantieregel met $Z \propto 1/\underline n$ en de complexe brekingsindices van Hoofdstuk 14; voor (ii) is $r = (1 - \underline n)/(1 + \underline n) \approx -1 + 2/\underline n$ en $R = |r|^2 \approx 1 - 4\operatorname{Re}(1/ \underline n) = 1 - 2\omega\delta/c$ . (iii) Met $\vect E = \vect 0$ binnenin geeft de overgangsrelatie $\vect E_{2t} = \vect E_{1t}$ dat $E_{\text{tot}}(0) = 0$ , dus $r = -1$ ; tel de invallende $E_0\cos(\omega t - kx)$ en de teruggekaatste $-E_0\cos(\omega t + kx)$ op; $\vect B$ volgt uit Faraday; de sprong van $\vect B$ aan het oppervlak is $\mu_0\vect j_s \wedge\vect n$ ; de gemiddelde kracht per oppervlakte-eenheid $\tfrac12\langle j_sB\rangle$ op de laag is $\varepsilon_0E_0^2 = 2I/c$ (Hoofdstuk 12). ∎

Weerkaatsing op een volmaakte geleider: het elektrische veld heeft een knoop aan het oppervlak en de knopen van de staande golf liggen om de halve golflengte; het magnetische veld heeft daar een buik, gedragen door de oppervlaktestroom.

Voorbeeld 15.7 (Spiegels, radar, magnetrons)

Een metalen spiegel kaatst via dit mechanisme terug: het binnenkomende veld drijft een stroom in een huid van enkele nanometers diep ( $23\,\mathrm{nm}$ voor zilver bij $500\,\mathrm{nm}$ ), die de teruggekaatste golf opnieuw uitstraalt; de ontbrekende $5\%$ verwarmt het metaal — en daarom wordt een spiegel voor een krachtige laser gekoeld, en daarom neemt de ovenwand van Hoofdstuk 14 $6\%$ van het vermogen op. Een radar ziet een vliegtuig aan de golf die zijn huid opnieuw uitstraalt; een onzichtbaar vliegtuig vervangt vlak metaal door absorbers en door vormen die van de radar af kaatsen. De knopen van de staande golf, die in een oven $\lambda/2 = 6\,\mathrm{cm}$ uit elkaar liggen, zijn de koude plekken.

15.4 Het einde van een kabel

Propositie 15.8 (Afsluiting van een transmissielijn)

Een lijn met karakteristieke impedantie $Z_c$ eindigt in $x = \ell$ op een belasting met impedantie $\underline Z_L$ : de spanningsgolf wordt teruggekaatst met $\underline r = (\underline Z_L - Z_c)/(\underline Z_L + Z_c)$ — niets bij een aangepaste belasting $Z_L = Z_c$ , $r = -1$ bij een kortsluiting, $r = +1$ bij een open uiteinde. Een niet-aangepaste lijn draagt een gedeeltelijk staande golf waarvan de verhouding van de maximale tot de minimale spanning de staandegolfverhouding $(1 + |r|)/(1 - |r|)$ is. Een korte puls sturen en de echo klokken lokaliseert een fout (tijddomeinreflectometrie) en leest uit het teken van de echo af wat voor fout het is.

Bewijs. Aan de belasting geldt $v = Z_Li$ met $v = v_i + v_r$ en $i = (v_i - v_r)/Z_c$ (Hoofdstuk 8); opnieuw de impedantieregel. Staandegolfverhouding: $|v|$ varieert langs de lijn tussen $|v_i|(1 + |r|)$ en $|v_i|(1 - |r|)$ . ∎

Methode 15.9 (Elk grensvlak)

(1) Bepaal de twee grootheden die over het grensvlak continu zijn en de impedantie van elk medium als hun verhouding in een lopende golf. (2) Schrijf invallend $+$ teruggekaatst aan de ene kant en doorgelaten aan de andere, met gelijke frequenties en gelijke tangentiële golfvectoren (Descartes). (3) Leg de continuïteit op: twee vergelijkingen, twee onbekenden $r$ en $t$ . (4) Energie: $R = |r|^2$ , $T = 1 - R$ voor verliesvrije media. (5) Toets de grensgevallen: gelijke impedanties (geen reflectie), oneindige of nul impedantie ( $|r| = 1$ , teken van $r$ ), en voor lagen de fasen van de opeenvolgende reflecties.

15.5 Oefeningen

Oefening 15.1 ★

Akoestische impedanties: lucht $410\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ , water $1.5 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ , staal $4.0 \times 10^{7}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ , zacht weefsel $1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ , bot $7 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ . Reflectiecoëfficiënten (voor de druk) en teruggekaatste energiefracties voor lucht–water, water–staal, weefsel–bot en weefsel–lucht. Waarom hoort een vis u niet, en waarom hoort een duiker de motor van de boot juist zo goed?

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.1.

$r = (Z_2 - Z_1)/(Z_2 + Z_1)$ , $R = r^2$ : lucht–water $0.9995$ , $99.9\%$ ; water–staal $0.93$ , $86\%$ ; weefsel–bot $0.63$ , $40\%$ ; weefsel–lucht $-0.9995$ , $99.9\%$ . Uw stem, in de lucht, wordt door het oppervlak teruggekaatst; de motor doet de romp trillen, die van staal is en het water raakt, en $14\%$ van die trilling rechtstreeks doorgeeft.

Oefening 15.2 ★

Reflectiefactor bij loodrechte inval voor lucht–water ( $n = 1.33$ ), lucht–glas ( $1.52$ ), lucht–diamant ( $2.42$ ) en glas–water. Een cameralens met $10$ oppervlakken lucht–glas, ongecoat: fractie van het doorgelaten licht, en de fractie die als spookbeelden rondzwerft; met coatings die $0.5\%$ per oppervlak overlaten.

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.2.

$R = ((n - 1)/(n + 1))^2$ : $2.0\%$ , $4.3\%$ , $17\%$ ; glas–water $0.44\%$ . $0.957^{10} = 0.64$ : een derde van het licht verloren, grotendeels als spookbeelden; gecoat: $0.995^{10} = 0.95$ .

Oefening 15.3 ★

Hoek van Brewster voor lucht–glas ( $1.52$ ), lucht–water en water–glas (licht dat van water naar glas gaat). Polarisatie van het teruggekaatste licht onder die hoek; is het doorgelaten licht volledig gepolariseerd? Onder welke hoek moet een fotograaf naar een etalageruit kijken om de spiegelingen te doden, en met welke stand van de polarisator?

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.3.

$\tan\theta_B = n_2/n_1$ : $56.7{}^{\circ}$ , $53.1{}^{\circ}$ , $48.8{}^{\circ}$ . Het teruggekaatste licht is gepolariseerd loodrecht op het invalsvlak; het doorgelaten licht is slechts gedeeltelijk gepolariseerd (de s-component wordt maar gedeeltelijk teruggekaatst). Kijk onder $57{}^{\circ}$ met de normaal naar de ruit, met de as van de polarisator in het invalsvlak (horizontaal voor een verticale ruit die men van opzij bekijkt).

Oefening 15.4 ★

Grenshoeken van de totale reflectie voor glas–lucht, water–lucht en diamant–lucht; een glazen prisma van $45{}^{\circ}$ als spiegel; diepte van de evanescente golf voor glas–lucht bij een inval van $45{}^{\circ}$ en $60{}^{\circ}$ ( $\lambda = 600\,\mathrm{nm}$ ); waarom schittert een diamant zo?

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.4.

$\arcsin(1/n)$ : $41.1{}^{\circ}$ , $48.8{}^{\circ}$ , $24.4{}^{\circ}$ ; $45^\circ > 41^\circ$ : het prisma kaatst volledig terug. $\ell = \lambda/2\pi\sqrt{n^2\sin^2\theta - 1}$ : $270\,\mathrm{nm}$ bij $45{}^{\circ}$ , $115\,\mathrm{nm}$ bij $60{}^{\circ}$ . De kleine grenshoek van diamant vangt het binnenkomende licht op tot het via de bovenste facetten weer naar buiten komt — de schittering.

Oefening 15.5 ★★

Antireflectielaag. Een glassoort met $n_2 = 1.52$ wordt met magnesiumfluoride, $n = 1.38$ , gecoat. (a) Ideale brekingsindex voor één laag; dikte voor $550\,\mathrm{nm}$ . (b) Restreflectie met MgF $_2$ bij $550\,\mathrm{nm}$ : de amplitude is $r = (r_1 + r_2\eu^{-\iu\varphi})/(1 + r_1r_2 \eu^{-\iu\varphi})$ met $r_1 = (n_1 - n)/(n_1 + n)$ , $r_2 = (n - n_2)/(n + n_2)$ en $\varphi = \pi$ bij de ontwerpgolflengte (meervoudige reflecties inbegrepen): bereken $R$ . (c) $R$ bij $400\,\mathrm{nm}$ en $700\,\mathrm{nm}$ (dezelfde laag): welke kleur heeft de restspiegeling van een gecoate lens? (d) Waarom gebruiken lenzen van hoge kwaliteit meerdere lagen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.5.

(a) $\sqrt{1.52} = 1.23$ ; $e = 550/4 \times 1.38 = 100\,\mathrm{nm}$ . (b) $r_1 = -0.160$ , $r_2 = -0.048$ , $\varphi = \pi$ : $r = (r_1 - r_2)/(1 - r_1r_2) = -0.112$ , $R = 1.3\%$ (tegen $4.3\%$ ). (c) $400\,\mathrm{nm}$ : $\varphi = 1.375\pi$ , $R \approx 2.2\%$ ; $700\,\mathrm{nm}$ : $\varphi = 0.79\pi$ , $R \approx 1.6\%$ : blauw en rood worden sterker teruggekaatst dan groen — de paarsige glans van een gecoate lens. (d) Meerdere lagen vlakken $R$ over het zichtbare af.

Oefening 15.6 ★★

De echosonde. Het keramiek van de transducent heeft $Z_1 = 30 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ , het weefsel $Z_2 = 1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ , $f = 5\,\mathrm{MHz}$ . (a) Rechtstreeks doorgelaten energie; de rest kaatst in het keramiek heen en weer — wat doet dat met de pulslengte? (b) Impedantie en dikte van een aanpassende kwartgolflaag (geluidssnelheid in de laag $3000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ). (c) Met een luchtfilm van $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ voor de sonde: doorgelaten energie (twee grensvlakken, zonder resonantie) — vandaar de gel. (d) De gel heeft $Z \approx Z_2$ : welke fractie passeert het grensvlak gel–huid nu?

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.6.

(a) $T = 4 \times 30 \times 1.6/31.6^2 = 19\%$ ; de rest galmt na, en de puls blijft naklinken. (b) $Z = \sqrt{Z_1Z_2} = 6.9 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ , $e = v/4f = 0.15\,\mathrm{mm}$ . (c) $T_1 = 4 \times 30 \times 10^6 \times 410/(30 \times 10^6)^2 = 5.5 \times 10^{-5}$ , $T_2 = 4 \times 1.6 \times 10^6 \times 410/(1.6 \times 10^6)^2 = 1.0 \times 10^{-3}$ : $5.6 \times 10^{-8}$ . (d) $4 \times 1.5 \times 1.6/ 3.1^2 = 0.999$ .

Oefening 15.7 ★★

Plasmaspiegel. Een golf van $3\,\mathrm{MHz}$ treft de ionosfeer ( $n_e = 1 \times 10^{12}\,\mathrm{m}^{-3}$ ) loodrecht. (a) $\underline n$ ; $r$ ; ga na dat $|r| = 1$ en geef de fase van $r$ . (b) Indringdiepte. (c) Staande golf onder de laag: plaats van de eerste knoop van $\vect E$ . (d) De golf komt in werkelijkheid schuin aan op een laag waarvan de dichtheid met de hoogte groeit: leg kwalitatief uit waarom zij wordt teruggebogen voordat zij het niveau bereikt waar $\omega = \omega_p$ (gebruik Descartes met een dalende brekingsindex), en waarom een golf met een hogere frequentie ontsnapt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.7.

(a) $\omega_p/\omega = 3$ : $\underline n = -\iu\sqrt8 = -2.83\iu$ ; $r = (1 + 2.83\iu)/(1 - 2.83 \iu)$ , $|r| = 1$ , fase $2\arctan2.83 = 141{}^{\circ}$ . (b) $c/\sqrt{\omega_p^2 - \omega^2} = 5.6\,\mathrm{m}$ . (c) $E \propto \cos(kx + \varphi/2)$ : eerste knoop bij $kx = -(\pi + \varphi)/2$ , $x \approx -45\,\mathrm{m}$ onder de laag. (d) De brekingsindex daalt met de hoogte, zodat Descartes de straal van de verticaal wegbuigt; zij keert om waar $n(z) = \sin\theta_0$ , d.w.z. $\omega_p^2 = \omega^2\cos^2\theta_0$ , onder het niveau waar $\omega = \omega_p$ ; een frequentie waarvan $\omega\cos\theta_0$ de maximale $\omega_p$ van de laag overtreft, ontsnapt.

Oefening 15.8 ★★

Metalen spiegels. Koper ( $\gamma = 6 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ): reflectiefactor $1 - \sqrt{8\varepsilon_0\omega/\gamma}$ bij $10\,\mathrm{GHz}$ , bij $30\,\mathrm{THz}$ (CO $_2$ -laser) en, formeel, bij $5 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ — waarom faalt de formule daar (vergelijk $\omega\tau$ )? Geabsorbeerd vermogen van een CO $_2$ -laserbundel van $1\,\mathrm{kW}$ op een koperen spiegel; waarom zulke spiegels watergekoeld zijn.

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.8.

$\sqrt{8\varepsilon_0\omega/\gamma}$ : $2.7 \times 10^{-4}$ ( $R = 0.9997$ ), $1.5 \times 10^{-2}$ ( $0.985$ ), $0.06$ ( $0.94$ ) — maar bij $5 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ is $\omega\tau = 80$ : koper is dan een plasma en geen ohmse geleider, en kaatst ongeveer $60\%$ terug, gekleurd. $15\,\mathrm{W}$ geabsorbeerd uit de CO $_2$ -bundel: enkele honderden kelvin per minuut op een kleine spiegel, vandaar het water.

Oefening 15.9 ★★

Een lijn van $50\,\Omega$ wordt afgesloten met $75$ , $25$ , $0$ , $\infty$ en $50\,\Omega$ : reflectiecoëfficiënt, staandegolfverhouding, teruggekaatste vermogensfractie. Een zender van $100\,\mathrm{W}$ voedt een antenne van $75\,\Omega$ via een kabel van $50\,\Omega$ : vermogen dat de antenne bereikt (eerste doorgang), en waar de rest blijft. Er komt na $1.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ een rechtopstaande echo terug ( $c_{\text{lijn}} = 2 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ): waar zit de fout en wat is het?

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.9.

$r = 0.2$ , $-1/3$ , $-1$ , $+1$ , $0$ ; staandegolfverhouding $1.5$ , $2$ , $\infty$ , $\infty$ , $1$ ; teruggekaatst $4\%$ , $11\%$ , $100\%$ , $100\%$ , $0$ . $96\,\mathrm{W}$ bereikt de antenne, $4\,\mathrm{W}$ keert naar de zender terug (en wordt daar deels opnieuw teruggekaatst). $1.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ : $120\,\mathrm{m}$ ; een rechtopstaande echo: een open keten — een doorgesneden kabel.

Oefening 15.10 ★★★

Fresnel voor de s-polarisatie. Een golf met $\vect E$ loodrecht op het invalsvlak ontmoet het grensvlak $n_1 \to n_2$ onder $\theta_1$ . (a) Schrijf de drie velden $\vect E$ op en de tangentiële componenten van $\vect B = \vect k\wedge\vect E/\omega$ . (b) Leg de continuïteit van de tangentiële $\vect E$ en $\vect B$ op en leid $r_s = \dfrac{n_1\cos\theta_1 - n_2\cos\theta_2} {n_1\cos\theta_1 + n_2\cos\theta_2}$ af. (c) Toets de limiet van loodrechte inval en die van scherende inval. (d) Voor glas bij $45{}^{\circ}$ : $R_s$ ; vergelijk met $R_p = \bigl(\frac{n_2\cos\theta_1 - n_1\cos\theta_2}{n_2\cos\theta_1 + n_1\cos\theta_2}\bigr)^2$ (aangenomen) en met de $4\%$ bij loodrechte inval.

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.10.

(a) $\vect E = E\vect e_z$ ; $\vect k\wedge\vect e_z = (k_y, -k_x, 0)$ , zodat de tangentiële $B_y = -(n/c)\cos\theta\,E$ is voor de invallende en de doorgelaten golf en $+(n_1/c)\cos\theta_1E_r$ voor de teruggekaatste. (b) $1 + r = t$ en $n_1\cos\theta_1 (1 - r) = n_2\cos\theta_2t$ : $r_s$ zoals gegeven. (c) $\theta = 0$ : $(n_1 - n_2)/(n_1 + n_2)$ ; $\theta_1 \to 90^\circ$ : $r_s \to -1$ . (d) $\cos\theta_2 = 0.882$ : $r_s = -0.30$ , $R_s = 9.2\%$ ; $R_p = 0.85\%$ ; tegen $4.3\%$ bij loodrechte inval.

Oefening 15.11 ★★★

Verstoorde totale reflectie. Licht in glas ( $n = 1.5$ ) wordt onder $45{}^{\circ}$ volledig teruggekaatst aan een vlak glas–lucht; er wordt een tweede glasoppervlak op een afstand $d$ in de lucht gebracht. (a) Uitdooflengte $\ell$ van de evanescente golf voor $\lambda = 600\,\mathrm{nm}$ . (b) Neem aan dat de door de spleet doorgelaten intensiteit ruwweg $\eu^{-2d/\ell}$ is, en bepaal $d$ voor $50\%$ en voor $1\%$ doorlating. (c) Wat doet een vingertop die op het glas wordt gedrukt met de reflectie (vingerafdruklezers)? (d) Waarom is dit het optische evenbeeld van het tunnelen van Hoofdstuk 31?

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.11.

(a) $270\,\mathrm{nm}$ . (b) $d = 0.35\ell = 95\,\mathrm{nm}$ ; $2.3\ell = 620\,\mathrm{nm}$ . (c) De richels raken het glas en laten het licht de huid in: donkere richels, heldere groeven op de detector. (d) De evanescente golf is de exponentieel uitdovende golffunctie in het verboden gebied; een tweede medium binnen de uitdooflengte vangt haar op — optisch tunnelen.

Oefening 15.12 ★★★

Twee spiegels. Twee evenwijdige volmaakte geleiders in $x = 0$ en $x = L$ sluiten een staande golf in. (a) Toon aan dat alleen $L = m\lambda/2$ mogelijk is: de modes van de trilholte, $f_m = mc/2L$ . (b) Voor $L = 15\,\mathrm{cm}$ de eerste drie modes; welke ligt nabij $2.45\,\mathrm{GHz}$ ? (c) Oppervlaktestromen op de twee spiegels en de kracht op elk (naar binnen of naar buiten?), voor een veldamplitude $E_0 = 20\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ erbinnen. (d) De spiegels zijn nu van koper: bereken met de oppervlakteweerstand $R_s = 1/\gamma\delta$ van Hoofdstuk 14 het vermogen dat per oppervlakte-eenheid verloren gaat bij $2.45\,\mathrm{GHz}$ met $H_0 = E_0/\mu_0c$ (de magnetische buik), en de tijd waarin de opgeslagen energie (gemiddeld $\tfrac12\varepsilon_0E_0^2$ per volume-eenheid, over de lengte $L$ ) uitdooft — de kwaliteitsfactor $Q = 2\pi f\,\times$ opgeslagen energie / verloren vermogen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.12.

(a) Knopen van $\vect E$ aan beide spiegels: $\sin kL = 0$ , $L = m\lambda/2$ , $f_m = mc/2L$ . (b) $1$ , $2$ , $3\,\mathrm{GHz}$ : geen bij $2.45\,\mathrm{GHz}$ — de driedimensionale modes van een echte oven liggen veel dichter. (c) $j_s = H_0 = E_0/\mu_0c = 53\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ op elk, en de druk $\mu_0j_s^2/2 = 1.8\,\mathrm{mPa}$ duwt de spiegels uit elkaar. (d) $\delta = 1.3\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $R_s = 12.5\,\mathrm{m}\Omega$ ; $\tfrac12R_sH_0^2 = 18\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ per spiegel; gemiddeld opgeslagen energie $\tfrac14\varepsilon_0E_0^2 \times L = 1.3 \times 10^{-7}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{2}$ ; $Q = 2\pi f \times 1.3 \times 10^{-7}/35 \approx 6 \times 10^4$ .

15.6 Vraagstuk: Coatings, gel en de radarabsorber

Probleem 15.1

Weekendvraagstuk — grensvlakken laten verdwijnen: de gecoate lens, de aangepaste transducent, het radarabsorberende scherm, en de spiegel die niet te laten verdwijnen is

Deel I — De gecoate lens. Een zoomlens heeft $16$ oppervlakken lucht–glas met brekingsindex $1.52$ ; licht bij $550\,\mathrm{nm}$ .

Reflectiefactor van één ongecoat oppervlak; doorlating van de hele lens; fractie van het licht dat als strooireflecties ronddwaalt.
Ideale coating van één laag: brekingsindex en dikte; waarom is er geen gangbare vaste stof met die brekingsindex, en hoe groot is de restreflectie met MgF $_2$ ( $1.38$ )?
Met $16$ oppervlakken van elk $1.3\%$ : doorlating; en bij $0.3\%$ (meerdere lagen): doorlating. Waarom geven oude lenzen “vlakke” beelden met weinig contrast?
De coating is voor $550\,\mathrm{nm}$ ontworpen: toon aan dat bij $440\,\mathrm{nm}$ de fase $\varphi$ van de heen-en-terugreis $1.25\pi$ is, en schat de reflectiefactor daar (de formule met twee reflecties, $R \approx r_1^2 + r_2^2 + 2r_1r_2\cos\varphi$ , met $r_1 = -0.16$ en $r_2 = -0.05$ ). Welke kleur heeft de spiegeling?
Een diëlektrische spiegel stapelt kwartgolflagen van $1.38$ en $2.35$ : de amplitudes die van opeenvolgende grensvlakken worden teruggekaatst, tellen nu in fase op; reflectie van één paar (twee grensvlakken) en waarom $20$ paren $99.9\%$ halen.
In de gecoate lens wordt de teruggekaatste golf “opgeheven”: waar is haar energie gebleven?
Zo’n spiegel kaatst één band golflengten terug en laat de rest door: waarom, en welke kleur oogt hij in doorlating als hij groen terugkaatst?

Deel II — De sonde en de gel. Keramiek $Z_1 = 30 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ , aanpassingslaag, gel, huid $Z = 1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ , $f = 5\,\mathrm{MHz}$ .

Rechtstreekse doorlating keramiek–weefsel in energie; en met de kwartgolflaag met de ideale impedantie (waarde) bij $f$ .
De laag is een kwart golf bij $5\,\mathrm{MHz}$ : doorlating bij $3\,\mathrm{MHz}$ en $7\,\mathrm{MHz}$ (gebruik de schatting met twee reflecties en de werkelijke fase van de heen-en-terugreis): wat doet dat met de bandbreedte van de sonde, en waarom is een korte puls (nodig voor de dieptresolutie) daarmee in strijd?
Een luchtfilm van $5\,\text{µ}\mathrm{m}$ tussen sonde en huid: amplitudedoorlating door de twee grensvlakken (vermenigvuldig de $t$ ’s, verwaarloos de resonantie); doorgelaten energie; in dB.
Hetzelfde met gel ( $Z = 1.5 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ ).
De nagalm in het keramiek zelf: de puls kaatst in het keramiek heen en weer met $r \approx 0.9$ per reflectie aan het weefselvlak (en $\approx 1$ aan de achterkant); aantal heen-en-terugreizen tot de amplitude tot $1\%$ is gezakt, en waarom het keramiek aan de achterkant met een absorber wordt belegd.
Echo van een botoppervlak van $1\,\mathrm{mm}$ op $5\,\mathrm{cm}$ diepte: energiefractie die bij de sonde terugkeert (reflectie aan het bot, twee doorgangen met een verzwakking van $0.5\,\mathrm{dB}/\mathrm{cm}/\mathrm{MHz}$ ); waarom bot een akoestische schaduw werpt.

Deel III — De radarabsorber. Een radar op $10\,\mathrm{GHz}$ belicht een metalen plaat. Om die te verbergen wordt er een dun weerstandvel met oppervlakteweerstand $R_s$ ( $\Omega$ per vierkant) op een afstand $d$ ervoor geplaatst, met lucht ertussen. De impedantie van de vrije ruimte is $Z_0 = \sqrt{\mu_0/\varepsilon_0} = 377\,\Omega$ .

Reflectiefactor van de kale metalen plaat (volmaakte geleider), en de fase van $r$ .
Behandel de luchtspleet als een transmissielijn met impedantie $Z_0$ die door de plaat is kortgesloten: toon aan dat de impedantie die men bij het vel ziet, kijkend naar de plaat, gelijk is aan $\underline Z_{\text{in}} = \iu Z_0 \tan(2\pi d/\lambda)$ (schrijf de staande golf $v = v_i(\eu^{-\iu kx} - \eu^{\iu kx})$ vanaf de kortsluiting en neem $v/i$ in $x = -d$ ); voor $d = \lambda/4$ is zij oneindig (een open keten).
Het vel met weerstand $R_s$ , parallel aan die open keten, biedt de binnenkomende golf $R_s$ aan: reflectiecoëfficiënt $(R_s - Z_0)/(R_s + Z_0)$ ; besluit dat een vel van $377\,\Omega$ per vierkant op $\lambda/4$ niets terugkaatst (het scherm van Salisbury). Waarde van $d$ bij $10\,\mathrm{GHz}$ .
Waar gaat de energie heen? Toets dat met het vermogen dat in het vel wordt gedissipeerd, $|v|^2/2R_s$ per oppervlakte-eenheid, tegen de invallende intensiteit.
Bij $8\,\mathrm{GHz}$ en $12\,\mathrm{GHz}$ met hetzelfde scherm: $\underline Z_{\text{in}}$ , de totale impedantie $R_s \parallel \underline Z_{\text{in}}$ en de reflectiefactor; bandbreedte van de truc.
De radar belicht het scherm nu onder $30{}^{\circ}$ met de normaal: wat verandert er aan de fase van de heen-en-terugreis door de spleet, en wat doet dat met de aanpassing?
Waarom gebruiken echte onzichtbaarheidscoatings meerdere verliesgevende lagen en gevormde oppervlakken in plaats van één scherm van Salisbury?

Deel IV — De spiegel die blijft.

Zilver bij $500\,\mathrm{nm}$ gedraagt zich als een plasma ( $\omega_p = 1.4 \times 10^{16}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ): $\underline n$ , $r$ (modulus en fase), indringdiepte. Waarom kan geen enkele kwartgolflaag een metaal doen ophouden met terugkaatsen?
Een groene laser van $1\,\mathrm{kW}$ op een zilveren spiegel ( $R = 0.97$ ): geabsorbeerd vermogen en het tempo van de temperatuurstijging van een spiegel van $10\,\mathrm{g}$ ( $c = 235\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ ) als er niets koelt.
Staande golf voor het zilver: afstand tussen de knopen van $\vect E$ en plaats van de eerste (gebruik de fase van $r$ ); wat ontvangt een stofkorrel die in een knoop ligt?
De bundel van vraag 22 is $1\,\mathrm{cm}^{2}$ : intensiteit, veldamplitude, en de oppervlaktestroomdichtheid die de spiegel moet dragen (schatting voor een volmaakte geleider, $j_s = 2E_0/\mu_0c$ ).
Vergelijk de drie “spiegels” van dit vraagstuk — het metaal, het plasma en de diëlektrische stapel — op het mechanisme dat de golf terugstuurt, de fase van $r$ , en wat hun reflectiefactor begrenst.

Oplossing

Oplossing van Probleem 15.1.

1. $R = 4.3\%$ ; $0.957^{16} = 0.50$ ; de helft van het licht dwaalt af.

2. $n = 1.23$ , $e = 112\,\mathrm{nm}$ ; geen enkele duurzame vaste stof heeft zo’n lage brekingsindex (MgF $_2$ , $1.38$ , is de laagste): rest $1.3\%$ .

3. $0.987^{16} = 0.81$ ; $0.997^{16} = 0.95$ . Strooireflecties versluieren het beeld: sluier en weinig contrast.

4. $\varphi = \pi \times 550/440 = 1.25\pi$ : $R \approx 0.0256 + 0.0025 + 2 \times 0.008 \times \cos1.25\pi = 1.7\%$ — meer dan bij $550\,\mathrm{nm}$ , net als aan de rode kant: een magenta spiegeling.

5. Elk grensvlak kaatst $|r| = 0.97/3.73 = 0.26$ terug; de kwartgolfafstand zet opeenvolgende reflecties in fase, zodat de amplitudes optellen in plaats van elkaar op te heffen; de reflectiefactor van de stapel is $1 - 4(n_L/n_H)^{2N} \approx 1 - 10^{-9}$ voor $N = 20$ .

6. De voorwaarde van gelijke fase geldt alleen nabij de ontwerpgolflengte (een band van zo’n $\pm15\%$ ); de rest gaat erdoor: een groene spiegel oogt magenta in doorlating.

7. In de doorgelaten golf: interferentie herverdeelt, $R + T = 1$ .

8. $19\%$ ; met $Z_m = \sqrt{Z_1Z_2} = 6.9 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ : $100\%$ bij $5\,\mathrm{MHz}$ .

9. $r_1 = 0.63$ , $r_2 = 0.62$ ; bij $3\,\mathrm{MHz}$ is de fase van de heen-en-terugreis $0.6\pi$ , bij $7\,\mathrm{MHz}$ $1.4\pi$ : $R \approx 0.39 + 0.39 - 0.24 = 0.54$ , $T \approx 0.46$ in beide gevallen: de aanpassing houdt alleen stand in een band rond $5\,\mathrm{MHz}$ , terwijl een korte puls een brede band nodig heeft — een compromis.

10. $t_1 = 2 \times 410/30 \times 10^6 = 2.7 \times 10^{-5}$ , $t_2 = 2.0$ : $t = 5.5 \times 10^{-5}$ , $T = t^2Z_1/Z_3 = 5.6 \times 10^{-8}$ : $-72\,\mathrm{dB}$ .

11. $t = 0.095 \times 1.03 = 0.098$ , $T = 0.098^2 \times 30/1.6 = 0.18$ : de gel verwijdert alleen de lucht.

12. $0.9^N = 0.01$ : $N = 44$ heen-en-terugreizen — een lange uitgalm; de belegging aan de achterkant slikt de achterwaartse golf en doodt haar.

13. $R = 0.40$ aan het bot; $2 \times 5 \times 0.5 \times 5 = 25\,\mathrm{dB}$ verzwakking: $0.40 \times 3.2 \times 10^{-3} = 1.3 \times 10^{-3}$ ( $-29\,\mathrm{dB}$ ); het bot absorbeert wat het niet terugkaatst: er komt niets van achter het bot terug.

14. $R = 1$ , $r = -1$ .

15. Kortsluiting in $x = 0$ : $v = -2\iu v_i\sin kx$ , $i = (2v_i/Z_0)\cos kx$ ; in $x = -d$ : $v/i = \iu Z_0\tan kd$ ; oneindig bij $d = \lambda/4$ .

16. $R_s \parallel \infty = R_s$ : $r = (R_s - Z_0)/(R_s + Z_0) = 0$ voor $377\,\Omega$ ; $d = 7.5\,\mathrm{mm}$ .

17. Het vel ziet het volledige invallende veld: $|v|^2/2R_s = E_0^2/2Z_0$ , de invallende intensiteit — alles geabsorbeerd.

18. $8\,\mathrm{GHz}$ : $kd = 72^\circ$ , $Z_{\text{in}} = \iu1160\,\Omega$ , $R_s \parallel Z_{\text{in}} = (340 + 111\iu)\,\Omega$ , $R = |r|^2 = 2.6\%$ ( $-16\,\mathrm{dB}$ ); $12\,\mathrm{GHz}$ : $kd = 108^\circ$ , dezelfde modulus: $-16\,\mathrm{dB}$ . Bruikbaar over ongeveer $\pm20\%$ .

19. Bij schuine inval wordt de effectieve kwartgolf korter ( $d\cos\theta$ ) en verandert de golfimpedantie met de hoek: de aanpassing gaat verloren.

20. Eén scherm werkt bij één frequentie en onder één hoek; verlopende verliesgevende lagen en gevormde oppervlakken absorberen en buigen over een brede band af.

21. $\underline n = -\iu\sqrt{(\omega_p/\omega)^2 - 1} = -3.6\iu$ ; $|r| = 1$ , fase $2\arctan3.6 = 149{}^{\circ}$ ; diepte $c/3.6\omega = 22\,\mathrm{nm}$ . De golf komt het metaal nooit binnen om in twee vergelijkbare reflecties te worden gesplitst: er is niets waartegen een kwartgolflaag een reflectie met modulus één kan wegstrepen.

22. $30\,\mathrm{W}$ ; $30/(0.01 \times 235) = 13\,\mathrm{K}/\mathrm{s}$ .

23. Knopen om de $\lambda/2 = 250\,\mathrm{nm}$ ; $E \propto \cos(kx + \varphi/2)$ met $\varphi = 149^\circ$ : eerste knoop in $x = -(90^\circ + 74.5^\circ)\lambda/360^\circ = -230\,\mathrm{nm}$ ; een korrel die daar ligt, zit in het donker.

24. $I = 1 \times 10^{7}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , $E_0 = \sqrt{2I/\varepsilon_0c} = 87\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ , $j_s = 2E_0/\mu_0c = 460\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ .

25. Metaal: oppervlaktestromen in een indringdiepte, $r \approx -1$ , begrensd door het verlies van Joule van die stromen. Plasma: evanescente indringing, $|r| = 1$ met een frequentieafhankelijke fase, begrensd door botsingen. Diëlektrische stapel: vele zwakke reflecties die in fase optellen, $r \to 1$ in een band, begrensd door het aantal lagen en de bandbreedte.