Physics · Boek 4 · Bachelor Year 2

Universitaire natuurkunde — jaar 2

Universitaire natuurkunde — jaar 2 · Bachelor Year 2

10Ladingen, stromen en geleiding

Doe de schakelaar om en de lamp brandt meteen; en toch drijven de elektronen in de koperdraad er met een fractie van een millimeter per seconde naartoe, en zouden zij er uren over doen om aan te komen. Een bliksemschicht voert dertigduizend ampère door een kanaal zo breed als een vinger; de zenuw die die vinger beweegt, voert picoampères. Het volume van jaar 1 behandelde stromen als getallen in draden, I=U/RI = U/R; dit hoofdstuk beschrijft ze als een veld — een stroomdichtheid in elk punt van de materie — schrijft de wet op dat lading nooit wordt gemaakt of vernietigd, en leidt de wet van Ohm af uit het gedrang van de elektronen in een metaal: het microscopische beeld achter de weerstand, de zekering en de hallsensor.

Koper, de geleider van de elektrische wereld: in de aders van deze kabel drijven zo’n 1029 elektronen per kubieke meter met een fractie van een millimeter per seconde.
Koper, de geleider van de elektrische wereld: in de aders van deze kabel drijven zo’n 102910^{29} elektronen per kubieke meter met een fractie van een millimeter per seconde.

10.1 Ladings- en stroomdichtheden

Definitie 10.1 (Ladingsdichtheid; stroomdichtheid)

Op mesoscopische schaal draagt materie een volumeladingsdichtheid ρ(M,t)\rho(M, t) (C/m3\mathrm{C}/\mathrm{m}^{3}): de lading ρ  ⁣dτ\rho\,\dd\tau in  ⁣dτ\dd\tau. Een oppervlak kan een oppervlaktedichtheid σ\sigma (C/m2\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}) dragen, een draad een lineaire dichtheid λ\lambda (C/m\mathrm{C}/\mathrm{m}). Bewegen de dragers van soort ii (lading qiq_i, aantaldichtheid nin_i) met de gemiddelde snelheid v→i\vect v_i, dan is de stroomdichtheid

j→=∑iniqi v→i(A/m2),\vect j = \sum_in_iq_i\,\vect v_i \qquad (\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}) ,

en de stroomsterkte door een georiënteerd oppervlak SS is de flux I=∬Sj→⋅n→  ⁣dSI = \iint_S\vect j\cdot\vect n\,\dd S: de lading die SS per tijdseenheid oversteekt. Voor één soort dragers is j→=ρmv→\vect j = \rho_m\vect v met ρm=nq\rho_m = nq de dichtheid van de beweeglijke lading.

Bewijs. In  ⁣dt\dd t zijn de dragers van soort ii die  ⁣dS\dd S oversteken, die in de scheve cilinder met grondvlak  ⁣dS\dd S en beschrijvende v→i ⁣dt\vect v_i\dd t: aantal niv→i⋅n→  ⁣dS  ⁣dtn_i\vect v_i\cdot\vect n\,\dd S\,\dd t, lading qiq_i maal dat aantal. ∎

Voorbeeld 10.2 (Hoe traag elektronen driften)

Koper heeft één geleidingselektron per atoom: n=ρCuNA/M=8900×6.02×1023/0.0635=8.5×1028 m−3n = \rho_{\text{Cu}}N_A/M = 8900 \times 6.02 \times 10^{23}/0.0635 = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}. Een stroom van 10 A10\,\mathrm{A} in een draad van 1.5 mm21.5\,\mathrm{mm}^{2} geeft j=6.7×106 A/m2j = 6.7 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}, en de driftsnelheid is v=j/ne=6.7×106/(8.5×1028×1.6×10−19)=0.5 mm/sv = j/ne = 6.7 \times 10^6/(8.5 \times 10^{28} \times 1.6 \times 10^{-19}) = 0.5\,\mathrm{mm}/\mathrm{s} — twee uur per meter. De lamp brandt meteen omdat het veld dat de elektronen voortduwt binnen nanoseconden over de hele draad wordt opgebouwd (het loopt met bijna de lichtsnelheid, zoals de kabel van Hoofdstuk 8 liet zien): alle elektronen vertrekken tegelijk, zoals water in een volle slang.

Links: een stroombuis — in een stationair regime steekt dezelfde stroomsterkte elke doorsnede over. Rechts: een elektron in een metaal zigzagt tussen botsingen met ongeveer 106 m/s; het veld voegt daar een trage drift aan toe, tegengesteld aan E, van een fractie van een millimeter per seconde.
Links: een stroombuis — in een stationair regime steekt dezelfde stroomsterkte elke doorsnede over. Rechts: een elektron in een metaal zigzagt tussen botsingen met ongeveer 10610^6 m/s; het veld voegt daar een trage drift aan toe, tegengesteld aan E→\vect E, van een fractie van een millimeter per seconde.

Voorbeeld 10.3 (Ordegrootten)

Bliksem, 30 kA30\,\mathrm{kA} in een kanaal met straal 1 cm1\,\mathrm{cm}: j≈1×108 A/m2j \approx 1 \times 10^{8}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}. Een huisdraad: 10610^6–10710^7. Een elektronenbundel in een beeldbuis, 1 mA1\,\mathrm{mA} over 1 mm21\,\mathrm{mm}^{2}: 10310^3. Een zenuwvezel, 1 nA1\,\mathrm{nA} door 10 µm210\,\text{µ}\mathrm{m}^{2}: 10210^2. De bundel van een deeltjesversneller, 1 A1\,\mathrm{A} in een vlek van 0.1 mm20.1\,\mathrm{mm}^{2}: 10710^7 — in vacuüm, zonder enige botsing.

10.2 Behoud van lading

Stelling 10.4 (Lokaal behoud van lading)

In elk punt geldt

∂ρ∂t+div⁡j→=0;\frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}\vect j = 0 ;

en geïntegreerd over een vast volume VV begrensd door het gesloten oppervlak Σ\Sigma:  ⁣dQV/ ⁣dt=−Iuit\dd Q_V/\dd t = -I_{\text{uit}}, de lading binnenin verandert alleen door wat de rand oversteekt. In een stationair regime (∂tρ=0\partial_t\rho = 0) is div⁡j→=0\operatorname{div}\vect j = 0: de flux van j→\vect j blijft behouden langs een stroombuis, dezelfde stroomsterkte steekt elke doorsnede van een draad over, en de stromen die een knooppunt binnenkomen zijn gelijk aan die welke het verlaten (de knooppuntregel van Kirchhoff).

Bewijs. Woord voor woord de massabalans van Stelling 2.8 met ρ\rho de ladingsdichtheid en j→\vect j haar stroom: de netto uitstroom van lading door de zes zijvlakken van een vast blokje, per volume-eenheid, is div⁡j→\operatorname{div}\vect j, en er wordt geen lading gemaakt. De integraalvorm sommeert de blokjes (de inwendige zijvlakken vallen tegen elkaar weg). Voor een buis tussen twee doorsneden S1S_1 en S2S_2 zonder flux door de zijkant is I1=I2I_1 = I_2; een knooppunt is een klein volume met verscheidene draden: ∑Iin=∑Iuit\sum I_{\text{in}} = \sum I_{\text{uit}}. ∎

Opmerking 10.5 (Waar de stroom ophoudt: de condensator)

Een draad die een condensatorplaat voedt, is een stroombuis die eindigt: de flux van j→\vect j de plaat in is I= ⁣dQ/ ⁣dtI = \dd Q/\dd t, en er hoopt zich lading op — daar is div⁡j→≠0\operatorname{div}\vect j \ne 0 en is het regime niet stationair. En toch loopt aan de andere kant dezelfde stroom II in de draad: iets moet het evenwicht over de spleet dragen. Hoofdstuk 11 geeft het een naam — de verplaatsingsstroom — en maakt van het behoud van lading de sluitsteen van de vergelijkingen van Maxwell.

10.3 Het model van Drude en de wet van Ohm

Propositie 10.6 (Model van Drude; lokale wet van Ohm)

Modelleer de geleidingselektronen van een metaal als vrije deeltjes (massa mm, lading −e-e, dichtheid nn) die het veld E→\vect E voelen en hun driftimpuls gemiddeld om de τ\tau seconden door botsingen met het rooster verliezen — een wrijvingskracht −mv→/τ-m\vect v/\tau op de gemiddelde snelheid:

m ⁣dv→ ⁣dt=−eE→−mτv→.m\frac{\dd\vect v}{\dd t} = -e\vect E - \frac m\tau\vect v .

In een constant veld komt de drift binnen enkele τ\tau tot rust op v→=−eτE→/m\vect v = -e\tau \vect E/m, en is de stroomdichtheid

j→=γ E→,γ=ne2τm:\vect j = \gamma\,\vect E , \qquad \gamma = \frac{ne^2\tau}{m} :

de lokale wet van Ohm, met γ\gamma de geleidbaarheid (S/m\mathrm{S}/\mathrm{m}; haar omgekeerde ρe=1/γ\rho_e = 1/\gamma is de soortelijke weerstand, Ω m\Omega\,\mathrm{m}). De verhouding μ=eτ/m\mu = e\tau/m van de driftsnelheid tot het veld is de beweeglijkheid (m2/(V s)\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s})). Voor een geleider met lengte LL en uniforme doorsnede SS die een uniforme j→\vect j voert, geeft het integreren van E=j/γE = j/\gamma over de lengte U=EL=(L/γS)IU = EL = (L/\gamma S)I: de weerstand R=L/γS=ρeL/SR = L/\gamma S = \rho_eL/S van het volume van jaar 1.

Bewijs. Met v→=−eτE→/m\vect v = -e\tau\vect E/m is j→=−nev→=(ne2τ/m)E→\vect j = -ne\vect v = (ne^2\tau/m)\vect E. Het inschakelverschijnsel v→(t)=v→∞(1−e−t/τ)\vect v(t) = \vect v_\infty(1 - \eu^{-t/\tau}) duurt τ∼1×10−14 s\tau \sim 1 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}, ogenblikkelijk op elke tijdschaal van een schakeling. De weerstand volgt uit ∫E→⋅ ⁣dl→\int\vect E\cdot\dd\vect l tussen de uiteinden. ∎

Voorbeeld 10.7 (Koper, vanuit de gemeten geleidbaarheid)

Koper: γ=6.0×107 S/m\gamma = 6.0 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}, n=8.5×1028 m−3n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}: τ=mγ/ne2=9.1×10−31×6×107/(8.5×1028×2.56×10−38)=2.5×10−14 s\tau = m\gamma/ne^2 = 9.1 \times 10^{-31} \times 6 \times 10^7/(8.5 \times 10^{28} \times 2.56 \times 10^{-38}) = 2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{s} — vijfentwintig femtoseconden tussen twee botsingen. De willekeurige snelheid van de elektronen in een metaal bedraagt ongeveer 1.6×106 m/s1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} (een kwantumeffect, niet de thermische 3kBT/m≈1×105 m/s\sqrt{3k_BT/m} \approx 1 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}), zodat de gemiddelde vrije weglengte ℓ=vτ≈40 nm\ell = v\tau \approx 40\,\mathrm{nm} is, honderd atoomafstanden: de elektronen botsen niet tegen de atomen zelf (een volmaakt kristal is doorzichtig voor hen) maar tegen de defecten en de thermische trillingen ervan — en daarom daalt γ\gamma wanneer een metaal wordt verwarmd of gelegeerd. Beweeglijkheid eτ/m=4.4×10−3 m2/(V s)e\tau/m = 4.4 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s}): 4 mm/s4\,\mathrm{mm}/\mathrm{s} per volt per meter.

Propositie 10.8 (De wet van Ohm bij hoge frequentie)

Voor een sinusvormig veld E→‾ eiωt\underline{\vect E}\,\eu^{\iu\omega t} geeft de vergelijking van Drude j→‾=γ‾(ω)E→‾\underline{\vect j} = \underline\gamma(\omega)\underline{\vect E} met

γ‾(ω)=γ01+iωτ,γ0=ne2τm:\underline\gamma(\omega) = \frac{\gamma_0}{1 + \iu\omega\tau} , \qquad \gamma_0 = \frac{ne^2\tau}{m} :

de geleidbaarheid is reëel en gelijk aan haar gelijkstroomwaarde zolang ωτ≪1\omega\tau \ll 1, dat wil zeggen tot ongeveer 1×1013 Hz1 \times 10^{13}\,\mathrm{Hz} voor koper — door het hele radio- en microgolfgebied heen; in het infrarood en het zichtbare (ωτ≫1\omega\tau \gg 1) wordt zij imaginair, γ‾≈ne2/imω\underline\gamma \approx ne^2/\iu m\omega: de elektronen trillen vrij, uit fase met het veld, en het metaal gedraagt zich als het plasma van Hoofdstuk 14.

Bewijs. iωmv→‾=−eE→‾−mv→‾/τ\iu\omega m\underline{\vect v} = -e\underline{\vect E} - m\underline{\vect v}/\tau, waaruit v→‾=−eτE→‾/m(1+iωτ)\underline{\vect v} = -e\tau\underline{\vect E}/m(1 + \iu\omega\tau) en j→‾=−nev→‾\underline{\vect j} = -ne\underline{\vect v}. ∎

Links: de geleidbaarheid van Drude tegen — reëel en constant bij lage frequentie, imaginair voorbij 1/. Rechts: het halleffect in een geleidende strip — de dragers worden zijwaarts geduwd, laden de randen op, en het transversale hallveld houdt de magnetische kracht in evenwicht. Links: de geleidbaarheid van Drude tegen — reëel en constant bij lage frequentie, imaginair voorbij 1/. Rechts: het halleffect in een geleidende strip — de dragers worden zijwaarts geduwd, laden de randen op, en het transversale hallveld houdt de magnetische kracht in evenwicht.
Links: de geleidbaarheid van Drude tegen ωτ\omega\tau — reëel en constant bij lage frequentie, imaginair voorbij 1/τ1/\tau. Rechts: het halleffect in een geleidende strip — de dragers worden zijwaarts geduwd, laden de randen op, en het transversale hallveld houdt de magnetische kracht in evenwicht.

Opmerking 10.9 (Geleiders, halfgeleiders, elektrolyten)

Dezelfde wet j→=∑niqiμiE→\vect j = \sum n_iq_i\mu_i\vect E geldt voor elke geleider; wat verandert zijn nn en μ\mu. Metalen: n∼1029n \sim 10^{29}, γ∼107\gamma \sim 10^7 S/m. Halfgeleiders: n∼1016n \sim 10^{16}–102310^{23}, bepaald door de dotering en steil stijgend met de temperatuur, met twee soorten dragers (elektronen en gaten) — vandaar thermistors en dioden. Elektrolyten: ionen van beide tekens, μ∼10−8\mu \sim 10^{-8}–10−710^{-7} m2^2/(V s); zeewater γ≈5 S/m\gamma \approx 5\,\mathrm{S}/\mathrm{m}, leidingwater 10−210^{-2}, zuiver water 10−510^{-5}. Isolatoren (glas, polymeren): γ≲10−12\gamma \lesssim 10^{-12} S/m. Het halleffect van het volume van jaar 1, in lokale vorm E→H=−j→∧B→/nq\vect E_H = -\vect j\wedge\vect B/nq, meet nn en het teken van qq: in aluminium of zink blijken de dragers positief te zijn — gaten — en geen enkel klassiek model verklaart dat.

10.4 Energie: de lokale wet van Joule

Propositie 10.10 (Lokale wet van Joule)

Het elektrische veld levert aan de dragers, per volume- en tijdseenheid, het vermogen j→⋅E→\vect j\cdot\vect E; in een ohmse geleider is dat

p=j→⋅E→=γE2=j2γ  (W/m3),p = \vect j\cdot\vect E = \gamma E^2 = \frac{j^2}\gamma \ \ (\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}) ,

volledig door de botsingen in warmte omgezet (de kinetische energie van de drift is verwaarloosbaar en constant). Geïntegreerd over een draad geeft dat ∫j2/γ  ⁣dτ=(L/γS)I2=RI2\int j^2/\gamma\,\dd\tau = (L/\gamma S)I^2 = RI^2.

Bewijs. De kracht qE→q\vect E op elke drager verricht arbeid met het tempo qE→⋅v→q\vect E\cdot\vect v; gesommeerd over de n  ⁣dτn\,\dd\tau dragers: nqv→⋅E→  ⁣dτ=j→⋅E→  ⁣dτnq\vect v\cdot\vect E\,\dd\tau = \vect j\cdot \vect E\,\dd\tau (de magnetische kracht verricht geen arbeid). In de stationaire toestand van Drude is dat vermogen gelijk aan wat de wrijvingsterm dissipeert, dat wil zeggen wat aan het rooster wordt overgedragen. ∎

Voorbeeld 10.11 (Een draad die warm wordt)

De draad van 1.5 mm21.5\,\mathrm{mm}^{2} bij 10 A10\,\mathrm{A}: p=j2/γ=(6.7×106)2/6×107=7.4×105 W/m3p = j^2/\gamma = (6.7 \times 10^6)^2/6 \times 10^7 = 7.4 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}, ofwel 1.1 W1.1\,\mathrm{W} per meter — gemakkelijk door de omringende lucht afgevoerd. Aan zichzelf overgelaten (zonder koeling) zou koper (c=385 J/(kg K)c = 385\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K}), ρ=8900 kg/m3\rho = 8900\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}) met p/ρc=0.2 K/sp/\rho c = 0.2\,\mathrm{K}/\mathrm{s} opwarmen. Bij 100 A100\,\mathrm{A} in dezelfde draad is dat tempo honderd keer groter, 20 K/s20\,\mathrm{K}/\mathrm{s}: zij smelt in een minuut — het beginsel van de zekering, waarvan de dunne draad zo is gemaakt dat hij het eerst smelt.

Propositie 10.12 (Relaxatie van lading in een geleider)

In een ohmse geleider dooft een volumeladingsdichtheid uit als ρ(t)=ρ0e−t/τr\rho(t) = \rho_0\eu^{-t/\tau_r} met

τr=ε0γ:\tau_r = \frac{\varepsilon_0}{\gamma} :

1.5×10−19 s1.5 \times 10^{-19}\,\mathrm{s} voor koper, 2×10−12 s2 \times 10^{-12}\,\mathrm{s} voor zeewater, 10 s10\,\mathrm{s} voor glas. Tot frequenties van de orde 1/τr1/\tau_r draagt een geleider geen volumelading: elke overtollige lading loopt naar zijn oppervlak. Het woord “geleider” hangt dus van de tijdschaal af: zeewater is een geleider voor radiogolven en een isolator voor zichtbaar licht.

Bewijs. Behoud van lading met j→=γE→\vect j = \gamma\vect E en de wet van Gauss in lokale vorm, div⁡E→=ρ/ε0\operatorname{div}\vect E = \rho/\varepsilon_0 (Hoofdstuk 11): ∂tρ=−γdiv⁡E→=−(γ/ε0)ρ\partial_t\rho = -\gamma\operatorname{div}\vect E = -(\gamma/\varepsilon_0)\rho. ∎

Methode 10.13 (Van de lokale naar de integrale wet)

Om de weerstand van een geleider met willekeurige vorm te vinden: (1) gebruik de symmetrie om j→\vect j op te schrijven (stationair: haar flux blijft behouden, dus in een buis is j×j \times doorsnede =I= I); (2) E→=j→/γ\vect E = \vect j/\gamma; (3) integreer E→\vect E langs een lijn van de ene elektrode naar de andere: U=∫E→⋅ ⁣dl→U = \int\vect E\cdot \dd\vect l, en R=U/IR = U/I; (4) controleer met het vermogen van Joule, ∫j2/γ  ⁣dτ=RI2\int j^2/\gamma\, \dd\tau = RI^2. Dezelfde stappen geven de lekstroom van een kabel, de weerstand van de grond rond een bliksemafleider, of die van een kegelvormig contact.

10.5 Oefeningen

Oefening 10.1 ★

Een koperdraad van 2.5 mm22.5\,\mathrm{mm}^{2} voert 16 A16\,\mathrm{A}. Stroomdichtheid, driftsnelheid (n=8.5×1028 m−3n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}), tijd waarin een elektron de 20 m20\,\mathrm{m} naar een stopcontact aflegt; elektrisch veld in de draad (γ=6.0×107 S/m\gamma = 6.0 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}), spanningsval over 20 m20\,\mathrm{m} en verloren vermogen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.1.

j=16/2.5×10−6=6.4×106 A/m2j = 16/2.5 \times 10^{-6} = 6.4 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}; v=j/ne=0.47 mm/sv = j/ne = 0.47\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}; 20 m20\,\mathrm{m} in 4.3×1044.3 \times 10^4 s, twaalf uur. E=j/γ=0.11 V/mE = j/\gamma = 0.11\,\mathrm{V}/\mathrm{m}; U=2.1 VU = 2.1\,\mathrm{V}; P=UI=34 WP = UI = 34\,\mathrm{W}.

Oefening 10.2 ★

Stroomdichtheden: een blikseminslag (30 kA30\,\mathrm{kA}, straal 1 cm1\,\mathrm{cm}); een elektronenbundel (2 mA2\,\mathrm{mA}, 0.5 mm20.5\,\mathrm{mm}^{2}); een zenuwaxon (1 nA1\,\mathrm{nA}, straal 2 µm2\,\text{µ}\mathrm{m}); de ringstroom in de magnetosfeer van de aarde (1 MA1\,\mathrm{MA} door ongeveer 1×1014 m21 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}). Welke overtreffen de draad van de vorige oefening?

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.2.

Bliksem 3×104/π10−4=1×108 A/m23 \times 10^4/\pi10^{-4} = 1 \times 10^{8}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}; bundel 4×103 A/m24 \times 10^{3}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}; axon 10−9/1.3×10−11=80 A/m210^{-9}/1.3 \times 10^{-11} = 80\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}; ringstroom 1×10−8 A/m21 \times 10^{-8}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}. Alleen de bliksem overtreft de 6×1066 \times 10^6 van de draad.

Oefening 10.3 ★

Soortelijke weerstanden bij 20∘C20{}^{\circ}\mathrm{C}: koper 1.7×10−8 Ω m1.7 \times 10^{-8}\,\Omega\,\mathrm{m}, aluminium 2.8×10−8 Ω m2.8 \times 10^{-8}\,\Omega\,\mathrm{m}, ijzer 1.0×10−7 Ω m1.0 \times 10^{-7}\,\Omega\,\mathrm{m}, nichroom 1.1×10−6 Ω m1.1 \times 10^{-6}\,\Omega\,\mathrm{m}. Weerstand van 100 m100\,\mathrm{m} van 2.5 mm22.5\,\mathrm{mm}^{2} in elk; doorsnede aluminium die overeenkomt met 2.5 mm22.5\,\mathrm{mm}^{2} koper, en de massaverhouding (dichtheden 89008900 en 2700 kg/m32700\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}); lengte nichroomdraad van 0.5 mm0.5\,\mathrm{mm} voor een verwarming van 1 kW1\,\mathrm{kW} op 230 V230\,\mathrm{V}.

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.3.

R=ρeL/SR = \rho_eL/S: 0.680.68, 1.11.1, 4.04.0, 44 Ω44\,\Omega. Aluminium: 2.5×2.8/1.7=4.1 mm22.5 \times 2.8/1.7 = 4.1\,\mathrm{mm}^{2}, massaverhouding (4.1×2700)/(2.5×8900)=0.50(4.1 \times 2700)/(2.5 \times 8900) = 0.50 — de helft van de massa. Verwarming: R=2302/1000=53 ΩR = 230^2/1000 = 53\,\Omega, S=0.196 mm2S = 0.196\,\mathrm{mm}^{2}, L=RS/ρe=9.4 mL = RS/\rho_e = 9.4\,\mathrm{m}.

Oefening 10.4 ★

Drude: τ\tau, beweeglijkheid en gemiddelde vrije weglengte (willekeurige snelheid 1.6×106 m/s1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}) voor koper (γ=6.0×107 S/m\gamma = 6.0 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}, n=8.5×1028 m−3n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}) en zilver (γ=6.3×107 S/m\gamma = 6.3 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}, n=5.9×1028 m−3n = 5.9 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}); geleidbaarheid van een siliciummonster met n=1×1022 m−3n = 1 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3} en μ=0.14 m2/(V s)\mu = 0.14\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s}); driftsnelheid in dat monster bij 1 kV/m1\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}.

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.4.

τ=mγ/ne2\tau = m\gamma/ne^2: koper 2.5×10−14 s2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}, μ=eτ/m=4.4×10−3 m2/(V s)\mu = e\tau/m = 4.4 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s}), ℓ=40 nm\ell = 40\,\mathrm{nm}; zilver 3.8×10−14 s3.8 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}, 6.7×10−3 m2/(V s)6.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s}), 61 nm61\,\mathrm{nm}. Silicium: γ=neμ=1022×1.6×10−19×0.14=220 S/m\gamma = ne\mu = 10^{22} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 0.14 = 220\,\mathrm{S}/\mathrm{m}; v=μE=140 m/sv = \mu E = 140\,\mathrm{m}/\mathrm{s}.

Oefening 10.5 ★★

Een condensator met platen SS wordt via een draad door I(t)I(t) opgeladen. (a) Pas de integrale behoudswet toe op een gesloten oppervlak om één plaat: leg het verband tussen II en de plaatlading QQ. (b) Waarom is div⁡j→≠0\operatorname{div}\vect j \ne 0 bij de plaat? (c) Een bolvormige elektrode met straal aa in een geleidend medium zendt een radiale stroom II uit: j→(r)\vect j(r); ga na dat div⁡j→=0\operatorname{div} \vect j = 0 voor r>ar > a (gebruik div⁡j→=1r2∂r(r2jr)\operatorname{div}\vect j = \frac1{r^2}\partial_r(r^2j_r) voor een radiaal veld). (d) Waar “breekt” het behoud van lading dan?

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.5.

(a) Er komt stroom binnen en er gaat er geen uit:  ⁣dQ/ ⁣dt=I\dd Q/\dd t = I. (b) Er hoopt zich lading op: ∂tρ≠0\partial_t \rho \ne 0. (c) j→=(I/4πr2)e→r\vect j = (I/4\pi r^2)\vect e_r: div⁡j→=1r2∂r(I/4π)=0\operatorname{div}\vect j = \frac1{r^2} \partial_r(I/4\pi) = 0. (d) Alleen bij de elektrode, waar de stroom vanuit de draad wordt ingespoten — een bron van de flux.

Oefening 10.6 ★★

Lekstroom van een coaxkabel. De isolatie tussen de geleiders (stralen a=1 mma = 1\,\mathrm{mm}, b=3.5 mmb = 3.5\,\mathrm{mm}) heeft γ=1×10−13 S/m\gamma = 1 \times 10^{-13}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}; er staat een spanning UU tussen, en er loopt een radiale lekstroom II per lengte LL. (a) j→(r)\vect j(r) en E→(r)\vect E(r). (b) Toon aan dat de weerstand van een lengte LL gelijk is aan R=ln⁡(b/a)/2πγLR = \ln(b/a)/2\pi\gamma L; waarde per kilometer. (c) Lekstroom en vermogen per kilometer bij 1 kV1\,\mathrm{kV}. (d) Vergelijk met de capaciteit per lengte 2πε0εr/ln⁡(b/a)2\pi\varepsilon_0\varepsilon_r/\ln(b/a): toon aan dat RC=ε0εr/γRC = \varepsilon_0\varepsilon_r/\gamma en duid dat met de relaxatietijd.

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.6.

(a) j=I/2πrLj = I/2\pi rL, E=j/γE = j/\gamma, radiaal. (b) U=∫abE  ⁣dr=Iln⁡(b/a)/2πγLU = \int_a^bE\,\dd r = I\ln(b/a)/ 2\pi\gamma L: R=ln⁡3.5/(2π×10−13×103)=2×109 ΩR = \ln3.5/(2\pi \times 10^{-13} \times 10^3) = 2 \times 10^{9}\,\Omega per kilometer. (c) 0.5 µA0.5\,\text{µ}\mathrm{A}, 0.5 mW0.5\,\mathrm{mW}. (d) RC=ε0εr/γ=200 sRC = \varepsilon_0\varepsilon_r/\gamma = 200\,\mathrm{s} voor εr=2.3\varepsilon_r = 2.3: de geladen en geïsoleerde kabel ontlaadt zich door haar eigen isolatie met de relaxatietijd van die isolatie.

Oefening 10.7 ★★

Complexe geleidbaarheid van koper (τ=2.5×10−14 s\tau = 2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}). (a) ωτ\omega\tau bij 50 Hz50\,\mathrm{Hz}, 10 GHz10\,\mathrm{GHz} (microgolven), 30 THz30\,\mathrm{THz} (infrarood) en 5×1014 Hz5 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz} (groen licht). (b) Modulus en fase van γ‾/γ0\underline\gamma/\gamma_0 in elk geval. (c) Tot welke frequentie is de wet van Ohm op 1%1\% nauwkeurig? (d) Schrijf γ‾\underline\gamma in het zichtbare op en toon aan dat j→‾\underline{\vect j} in kwadratuur is met E→‾\underline{\vect E}: gemiddeld vermogen van Joule?

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.7.

(a) ωτ\omega\tau: 8×10−128 \times 10^{-12}, 1.6×10−31.6 \times 10^{-3}, 4.74.7, 7979. (b) ∣γ‾∣/γ0=1/1+ω2τ2|\underline\gamma|/\gamma_0 = 1/\sqrt{1 + \omega^2\tau^2}: 11, 11, 0.210.21, 0.0130.013; fase −arctan⁡ωτ-\arctan\omega\tau: 00, −0.09∘-0.09{}^{\circ}, −78∘-78{}^{\circ}, −89∘-89{}^{\circ}. (c) ωτ≤0.14\omega\tau \le 0.14: f≤0.9 THzf \le 0.9\,\mathrm{THz}. (d) γ‾≈ne2/imω\underline\gamma \approx ne^2/\iu m\omega: j→‾\underline{\vect j} loopt 90∘90{}^{\circ} achter op E→‾\underline{\vect E}, ⟨j→⋅E→⟩=0\langle\vect j\cdot\vect E\rangle = 0: geen warmteontwikkeling — de elektronen trillen vrij, zoals in een plasma.

Oefening 10.8 ★★

Een koperen zekeringsdraad van 0.20 mm0.20\,\mathrm{mm} (koper: γ=6.0×107 S/m\gamma = 6.0 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}, ρ=8900 kg/m3\rho = 8900\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}, c=385 J/(kg K)c = 385\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K}), smelt bij 1085∘C1085{}^{\circ}\mathrm{C}, smeltwarmte 205 kJ/kg205\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}). (a) Stroomdichtheid en vermogen van Joule per volume-eenheid bij 10 A10\,\mathrm{A}. (b) Tijd om vanaf 20∘C20{}^{\circ}\mathrm{C} te smelten als er geen warmte ontsnapt (verwaarloos de stijging van de soortelijke weerstand met de temperatuur). (c) Hetzelfde bij 30 A30\,\mathrm{A}. (d) In werkelijkheid verliest de draad warmte aan de lucht: hoe bepaalt dat de nominale stroom van een zekering, en waarom zitten zekeringen in een met zand gevulde patroon?

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.8.

(a) S=3.1×10−8 m2S = 3.1 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{2}, j=3.2×108 A/m2j = 3.2 \times 10^{8}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}, p=j2/γ=1.7×109 W/m3p = j^2/\gamma = 1.7 \times 10^{9}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}. (b) Energie om te smelten per volume-eenheid ρ(cΔT+Lf)=8900(4.1×105+2.05×105)=5.5×109 J/m3\rho(c\Delta T + L_f) = 8900(4.1 \times 10^5 + 2.05 \times 10^5) = 5.5 \times 10^{9}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}: 3.2 s3.2\,\mathrm{s}. (c) Negen keer sneller: 0.36 s0.36\,\mathrm{s}. (d) De nominale stroom is die waarvan de lucht de warmte van Joule net onder het smeltpunt kan afvoeren; het zand blust de vlamboog die anders na het smelten van de draad over de spleet zou blijven geleiden.

Oefening 10.9 ★★

Relaxatie. (a) Leid ∂tρ=−(γ/ε0)ρ\partial_t\rho = -(\gamma/\varepsilon_0)\rho af uit het behoud van lading, de wet van Ohm en div⁡E→=ρ/ε0\operatorname{div}\vect E = \rho/\varepsilon_0. (b) τr\tau_r voor koper, zeewater (γ=5 S/m\gamma = 5\,\mathrm{S}/\mathrm{m}), leidingwater (5×10−2 S/m5 \times 10^{-2}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}), glas (1×10−12 S/m1 \times 10^{-12}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}) en PTFE (1×10−16 S/m1 \times 10^{-16}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}). (c) Tot welke frequentie is elk een “goede geleider” (met lading die binnen een periode relaxeert)? (d) Een opgeladen glazen staaf houdt zijn lading minutenlang: klopt dat daarmee?

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.9.

(a) ∂tρ=−div⁡j→=−γdiv⁡E→=−γρ/ε0\partial_t\rho = -\operatorname{div}\vect j = -\gamma\operatorname{div}\vect E = -\gamma\rho/ \varepsilon_0. (b) ε0/γ\varepsilon_0/\gamma: 1.5×10−19 s1.5 \times 10^{-19}\,\mathrm{s}, 1.8×10−12 s1.8 \times 10^{-12}\,\mathrm{s}, 1.8×10−10 s1.8 \times 10^{-10}\,\mathrm{s}, 9 s9\,\mathrm{s}, 9×1049 \times 10^4 s. (c) f≲1/2πτrf \lesssim 1/2\pi\tau_r: 101810^{18} Hz (het model van Drude faalt lang daarvoor al), 90 GHz90\,\mathrm{GHz}, 0.9 GHz0.9\,\mathrm{GHz}, 0.02 Hz0.02\,\mathrm{Hz}, 2×10−6 Hz2 \times 10^{-6}\,\mathrm{Hz}. (d) Een glazen staaf zou haar lading in een minuut door haar volume verliezen; echt droog glas zit eerder bij 10−1410^{-14} S/m (uren), en meestal is het de vochtigheid aan het oppervlak die haar ontlaadt — in orde van grootte klopt het.

Oefening 10.10 ★★★

Aarding. Een halfbolvormige elektrode met straal a=0.50 ma = 0.50\,\mathrm{m} is gelijk met het maaiveld ingegraven in grond met geleidbaarheid γ=0.010 S/m\gamma = 0.010\,\mathrm{S}/\mathrm{m}; er gaat een stroom II in die zich radiaal in de halfruimte verspreidt. (a) j→(r)\vect j(r), E→(r)\vect E(r), potentiaal V(r)V(r) met V(∞)=0V(\infty) = 0. (b) Weerstand van de aarding, R=1/2πγaR = 1/2\pi\gamma a; waarde. (c) Een blikseminslag van 20 kA20\,\mathrm{kA} treft de staaf: potentiaal van de staaf; potentiaal op r=10 mr = 10\,\mathrm{m} en 10.7 m10.7\,\mathrm{m}; de “stapspanning” tussen de voeten van iemand die daar staat (voeten 0.7 m0.7\,\mathrm{m} uit elkaar, radiaal). (d) Waarom wordt vee, met zijn vier ver uit elkaar staande poten, vaker gedood door inslagen in de buurt dan mensen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.10.

(a) j→=(I/2πr2)e→r\vect j = (I/2\pi r^2)\vect e_r, E=I/2πγr2E = I/2\pi\gamma r^2, V=I/2πγrV = I/2\pi\gamma r. (b) R=V(a)/I=1/2πγa=32 ΩR = V(a) /I = 1/2\pi\gamma a = 32\,\Omega. (c) Vstaaf=640 kVV_{\text{staaf}} = 640\,\mathrm{kV}; V(10)=32 kVV(10) = 32\,\mathrm{kV}, V(10.7)=30 kVV(10.7) = 30\,\mathrm{kV}: 2.1 kV2.1\,\mathrm{kV} tussen de voeten. (d) Voor- en achterpoten liggen 1.5 m1.5\,\mathrm{m} uit elkaar langs de straal: 44–5 kV5\,\mathrm{kV}, en de stroomweg loopt door het hart.

Oefening 10.11 ★★★

Hallsensor. Een strip met dikte tt en breedte ww voert II langs xx in een veld BB langs zz. (a) Toon uit E→H=−j→∧B→/nq\vect E_H = -\vect j\wedge\vect B /nq aan dat de hallspanning over de breedte VH=IB/nqtV_H = IB/nqt is. (b) Koperen strip, t=0.10 mmt = 0.10\,\mathrm{mm}, 1 A1\,\mathrm{A}, 1 T1\,\mathrm{T}: VHV_H. (c) Een gedoteerde halfgeleider met n=1×1022 m−3n = 1 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}, dezelfde meetkunde: VHV_H; waarom sensoren halfgeleiders gebruiken. (d) Een sensor met n=1×1022 m−3n = 1 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3} en t=20 µmt = 20\,\text{µ}\mathrm{m}, gevoed met 1 mA1\,\mathrm{mA}, leest 10 µV10\,\text{µ}\mathrm{V} af: gemeten veld. Wat zegt het teken van VHV_H?

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.11.

(a) EH=jB/nqE_H = jB/nq met j=I/wtj = I/wt: VH=EHw=IB/nqtV_H = E_Hw = IB/nqt. (b) 1/(8.5×1028×1.6×10−19×10−4)=0.7 µV1/(8.5 \times 10^{28} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 10^{-4}) = 0.7\,\text{µ}\mathrm{V}. (c) 6.3 mV6.3\,\mathrm{mV}: VH∝1/nV_H \propto 1/n, en halfgeleiders hebben 10610^6 keer minder dragers. (d) B=VHnqt/I=10−5×1022×1.6×10−19×2×10−5/10−3=0.32 TB = V_Hnqt/I = 10^{-5} \times 10^{22} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 2 \times 10^{-5}/10^{-3} = 0.32\,\mathrm{T}; het teken van VHV_H geeft het teken van de dragers (bij bekende B→\vect B), of de richting van B→\vect B (bij een bekende sensor).

Oefening 10.12 ★★★

Elektrolyt. In water hebben Na+^+- en Cl−^--ionen de beweeglijkheden μ+=5.2×10−8 m2/(V s)\mu_+ = 5.2 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s}) en μ−=7.9×10−8 m2/(V s)\mu_- = 7.9 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s}). (a) Toon aan dat γ=ne(μ++μ−)\gamma = ne(\mu_+ + \mu_-) voor nn ionenparen per volume-eenheid. (b) Zeewater, 0.5 mol/L0.5\,\mathrm{mol}/\mathrm{L} NaCl: γ\gamma; vergelijk met de gemeten 5 S/m5\,\mathrm{S}/\mathrm{m}. (c) Driftsnelheden bij 10 V/m10\,\mathrm{V}/\mathrm{m}; welk ion draagt het grootste deel van de stroom? (d) Een kolom zeewater van 1 cm21\,\mathrm{cm}^{2} bij 10 cm10\,\mathrm{cm} voert 1 A1\,\mathrm{A}: spanning, vermogen, en de tijd om haar 10 K10\,\mathrm{K} op te warmen (c=4.0 kJ/(kg K)c = 4.0\,\mathrm{kJ}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})); waarom elektroforesegels gekoeld worden.

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.12.

(a) j→=neμ+E→+(−ne)(−μ−E→)\vect j = ne\mu_+\vect E + (-ne)(-\mu_-\vect E): beide soorten driften in tegengestelde richtingen en voeren stroom in dezelfde richting. (b) n=0.5×103×6.02×1023=3×1026 m−3n = 0.5 \times 10^3 \times 6.02 \times 10^{23} = 3 \times 10^{26}\,\mathrm{m}^{-3}: γ=3×1026×1.6×10−19×1.31×10−7=6.3 S/m\gamma = 3 \times 10^{26} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 1.31 \times 10^{-7} = 6.3\,\mathrm{S}/\mathrm{m} (bij deze concentratie hinderen de ionen elkaar: 5 S/m5\,\mathrm{S}/\mathrm{m} gemeten). (c) 0.52 µm/s0.52\,\text{µ}\mathrm{m}/\mathrm{s} en 0.79 µm/s0.79\,\text{µ}\mathrm{m}/\mathrm{s}: Cl−^- voert 60%60\%. (d) R=L/γS=200 ΩR = L/\gamma S = 200\,\Omega, U=200 VU = 200\,\mathrm{V}, P=200 WP = 200\,\mathrm{W} in 10 g10\,\mathrm{g} water: 10 K10\,\mathrm{K} in 2 s2\,\mathrm{s} — vandaar de koelplaten van elektroforesebakken.

10.6 Vraagstuk: De koperdraad, van het atoom tot het net

Probleem 10.1

Weekendvraagstuk — één meter huisdraad op vier schalen bekeken: het elektron, de lokale wetten, de schakeling en de hoogspanningslijn

Koper: molaire massa 63.5 g/mol63.5\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}, dichtheid 8900 kg/m38900\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}, één geleidingselektron per atoom, geleidbaarheid γ=6.0×107 S/m\gamma = 6.0 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m} bij 20∘C20{}^{\circ}\mathrm{C}, met stijgende soortelijke weerstand ρe(T)=ρe(20)[1+α(T−20)]\rho_e(T) = \rho_e(20)[1 + \alpha(T - 20)] en α=4.0×10−3 K−1\alpha = 4.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{K}^{-1}; c=385 J/(kg K)c = 385\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K}). Draad: doorsnede S=2.5 mm2S = 2.5\,\mathrm{mm}^{2}, lengte 1 m1\,\mathrm{m}, stroom 16 A16\,\mathrm{A}.

Deel I — De elektronen.

  1. Aantaldichtheid nn van de geleidingselektronen.
  2. Stroomdichtheid en driftsnelheid; hoe lang een elektron nodig heeft om de meter over te steken.
  3. De τ\tau van Drude en de beweeglijkheid; gemiddelde vrije weglengte bij een willekeurige snelheid van 1.6×106 m/s1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}; met hoeveel atoomafstanden (0.26 nm0.26\,\mathrm{nm}) komt dat overeen, en wat zegt dat over waar de elektronen tegenaan botsen?
  4. De thermische trillingen groeien met TT, zodat ruwweg τ∝1/T\tau \propto 1/T: toets dat aan α\alpha nabij kamertemperatuur ( ⁣dρe/ρe= ⁣dT/T\dd\rho_e/\rho_e = \dd T/T zou α=1/293\alpha = 1/293 geven).
  5. Elektrisch veld in de draad; totale spanning over de meter; de kinetische energie van de drift per elektron vergeleken met kBTk_BT — wordt het elektronengas door de stroom verstoord?
  6. Aantal elektronen dat per seconde een doorsnede van de draad passeert.
  7. Lading van de geleidingselektronen in de meter draad; de kracht die het veld op hen samen uitoefent; vergelijk met het gewicht van de draad. Waar belandt die kracht (denk aan de botsingen)?

Deel II — De lokale wetten.

  1. Vermogen van Joule per volume-eenheid en per meter.
  2. De draad in de lucht verliest warmte met een tempo h(T−Ta)h(T - T_a) per oppervlakte-eenheid, met h=10 W/(m2 K)h = 10\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}) (convectie): evenwichtstemperatuurstijging; ga na of de correctie op de soortelijke weerstand ertoe doet.
  3. Dezelfde draad ingegraven in isolatie die slechts h=2 W/(m2 K)h = 2\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}) doorlaat: nieuwe temperatuurstijging, met de correctie op de soortelijke weerstand meegerekend (los de balans op).
  4. Zonder enige koeling: tempo van de temperatuurstijging bij 16 A16\,\mathrm{A} en bij 160 A160\,\mathrm{A} (een kortsluiting); tijd om in het tweede geval het smeltpunt (1085∘C1085{}^{\circ}\mathrm{C}) te bereiken; wat beschermt de installatie?
  5. Bij 50 Hz50\,\mathrm{Hz}: ωτ=?\omega\tau = ? Wordt de wet van Ohm daardoor beïnvloed? (Het huideffect van Hoofdstuk 14 is een andere zaak.)
  6. Schrijf de relaxatietijd ε0/γ\varepsilon_0/\gamma van koper op; wat betekent die voor de ladingsdichtheid binnen de draad, en waar zit de lading die het veld EE in de draad opwekt?

Deel III — Behoud van lading in de schakeling. De draad voedt een condensator C=100 µFC = 100\,\text{µ}\mathrm{F} via een schakelaar; de stroom is I(t)=I0e−t/τcI(t) = I_0\eu^{-t/\tau_c} met I0=16 AI_0 = 16\,\mathrm{A} en τc=1 ms\tau_c = 1\,\mathrm{ms}.

  1. Lading die de plaat bereikt; eindspanning.
  2. Pas  ⁣dQ/ ⁣dt=−Iuit\dd Q/\dd t = -I_{\text{uit}} toe op een gesloten oppervlak om de plaat: aan welke kant loopt er een geleidingsstroom en aan welke niet? Welke grootheid moet daarom in de spleet veranderen?
  3. Op t=0.5 mst = 0.5\,\mathrm{ms}: tempo waarmee de plaatlading verandert; liggen de platen van 1 cm21\,\mathrm{cm}^{2} op 0.1 mm0.1\,\mathrm{mm} in lucht, dan het tempo waarmee het veld ertussen verandert.
  4. Toon aan dat ε0  ⁣dE/ ⁣dt×\varepsilon_0\,\dd E/\dd t \times plaatoppervlak gelijk is aan de stroom in de draad — de grootheid die Hoofdstuk 11 aan de wet van Ampère toevoegt.
  5. De draad wordt doorgeknipt en de twee uiteinden staan 1 mm1\,\mathrm{mm} uit elkaar in lucht: welke stroom loopt er (lucht γ≈1×10−14 S/m\gamma \approx 1 \times 10^{-14}\,\mathrm{S}/\mathrm{m})? Bij welk veld slaat lucht door (3 MV/m3\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}): welke spanning over de spleet geeft een vonk?

Deel IV — De lijn. Een lijn van 230 V230\,\mathrm{V} in koper van 10 mm210\,\mathrm{mm}^{2}, 500 m500\,\mathrm{m} lang (heen en terug: 1 km1\,\mathrm{km} draad), voedt een boerderij die 40 A40\,\mathrm{A} afneemt.

  1. Weerstand, spanningsval en verloren vermogen in de lijn; fractie van het geleverde vermogen.
  2. Hetzelfde vermogen bij 20 kV20\,\mathrm{kV} met aan elk uiteinde een transformator: stroom, val en verlies; besluit waarom transport bij hoge spanning gebeurt.
  3. Op hoogspanningsmasten wordt aluminium gebruikt (γ=3.6×107 S/m\gamma = 3.6 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}, 2700 kg/m32700\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}): doorsnede voor dezelfde weerstand als 10 mm210\,\mathrm{mm}^{2} koper; massa per kilometer voor beide; waarom aluminium daarboven wint en koper in de muur.
  4. Een hallsensor die om de lijn is geklemd, leest haar veld af: hallspanning voor een stroomtang met n=1×1022 m−3n = 1 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3} en t=0.1 mmt = 0.1\,\mathrm{mm}, gevoed met 5 mA5\,\mathrm{mA}, in een veld van 0.1 T0.1\,\mathrm{T} dat door een ijzeren kern is geconcentreerd.
  5. Na een warme dag met veel belasting staat de draad op 80∘C80{}^{\circ}\mathrm{C}: haar weerstand dan, en het extra verlies.
  6. De bliksem treft de lijn: 20 kA20\,\mathrm{kA} gedurende 100 µs100\,\text{µ}\mathrm{s}. Gedissipeerde energie in de 1 km1\,\mathrm{km} draad; temperatuurstijging als er niets ontsnapt; stroomdichtheid — vergelijk met deel I.
  7. Vat samen: de vijf grootheden (nn, τ\tau, γ\gamma, jj, EE) die de draad op elke schaal beschrijven, en de wet die elk paar verbindt.
Oplossing

Oplossing van Probleem 10.1.

1. n=ρNA/M=8.4×1028 m−3n = \rho N_A/M = 8.4 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}.

2. j=6.4×106 A/m2j = 6.4 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}, v=j/ne=0.47 mm/sv = j/ne = 0.47\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}; 35 min35\,\mathrm{min} per meter.

3. τ=mγ/ne2=2.5×10−14 s\tau = m\gamma/ne^2 = 2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}, μ=4.4×10−3 m2/(V s)\mu = 4.4 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s}), ℓ=40 nm\ell = 40\,\mathrm{nm}, 150150 atoomafstanden: de elektronen botsen tegen defecten en thermische trillingen, niet tegen de atomen.

4. ρe∝T\rho_e \propto T geeft α=1/293=3.4×10−3 K−1\alpha = 1/293 = 3.4 \times 10^{-3}\,\mathrm{K}^{-1}, dicht bij de gemeten 4×10−34 \times 10^{-3}.

5. E=0.11 V/mE = 0.11\,\mathrm{V}/\mathrm{m}, U=0.11 VU = 0.11\,\mathrm{V}; 12mv2=1×10−37 J\tfrac12mv^2 = 1 \times 10^{-37}\,\mathrm{J} tegen kBT=4×10−21 Jk_BT = 4 \times 10^{-21}\,\mathrm{J}: het elektronengas merkt niets van de stroom.

6. I/e=1×1020 I/e = 1 \times 10^{20}\, elektronen per seconde.

7. Q=neSL=3.4×104 CQ = neSL = 3.4 \times 10^{4}\,\mathrm{C}; QE=3.6 kNQE = 3.6\,\mathrm{kN}, tegen een gewicht van 0.2 N0.2\,\mathrm{N}. Het veld trekt met de tegengestelde kracht aan het positieve rooster; de elektronen geven hun impuls door botsingen aan het rooster af: de draad als geheel voelt niets.

8. p=j2/γ=6.8×105 W/m3p = j^2/\gamma = 6.8 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}, 1.7 W/m1.7\,\mathrm{W}/\mathrm{m}.

9. Oppervlak πd=5.6×10−3 m2\pi d = 5.6 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2} per meter: ΔT=1.7/(10×5.6×10−3)=30 K\Delta T = 1.7/(10 \times 5.6 \times 10^{-3}) = 30\,\mathrm{K}; de soortelijke weerstand stijgt 12%12\% en het vermogen tot 1.9 W1.9\,\mathrm{W}: ΔT≈35 K\Delta T \approx 35\,\mathrm{K}.

10. ΔT=1.7(1+0.004ΔT)/(2×5.6×10−3)\Delta T = 1.7(1 + 0.004\Delta T)/(2 \times 5.6 \times 10^{-3}): ΔT(1−0.6)=150\Delta T(1 - 0.6) = 150, ΔT≈400 K\Delta T \approx 400\,\mathrm{K} — dicht bij thermisch op hol slaan: ingegraven kabels moeten lager worden belast.

11. p/ρc=0.2 K/sp/\rho c = 0.2\,\mathrm{K}/\mathrm{s}; bij 160 A160\,\mathrm{A} 20 K/s20\,\mathrm{K}/\mathrm{s}: smelten in ongeveer een minuut (minder naarmate ρe\rho_e stijgt); de automaat schakelt binnen milliseconden uit.

12. ωτ=8×10−12\omega\tau = 8 \times 10^{-12}: de wet van Ohm blijft onaangetast.

13. ε0/γ=1.5×10−19 s\varepsilon_0/\gamma = 1.5 \times 10^{-19}\,\mathrm{s}: geen lading binnenin; het veld in de draad wordt gemaakt door ladingen op haar oppervlak, waarvan de dichtheid langs de draad verandert.

14. Q=I0τc=16 mCQ = I_0\tau_c = 16\,\mathrm{mC}, V=Q/C=160 VV = Q/C = 160\,\mathrm{V}.

15. Aan de draadzijde loopt II, aan de spleetzijde geen geleidingsstroom: de lading groeit, en met haar het elektrische veld in de spleet.

16. I=16e−0.5=9.7 AI = 16\eu^{-0.5} = 9.7\,\mathrm{A}; E=Q/ε0AE = Q/\varepsilon_0A,  ⁣dE/ ⁣dt=I/ε0A=9.7/(8.85×10−12×10−4)=1.1×1016 V m−1 s−1\dd E/\dd t = I/\varepsilon_0A = 9.7/(8.85 \times 10^{-12} \times 10^{-4}) = 1.1 \times 10^{16}\,\mathrm{V}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}.

17. ε0A  ⁣dE/ ⁣dt=I\varepsilon_0A\,\dd E/\dd t = I: de verplaatsingsstroom.

18. j=γE=10−14×2.3×105=2×10−9 A/m2j = \gamma E = 10^{-14} \times 2.3 \times 10^5 = 2 \times 10^{-9}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}, 10−1410^{-14} A door de doorsnede: niets; doorslag bij 3 kV3\,\mathrm{kV} over de millimeter.

19. R=1000/(6×107×10−5)=1.7 ΩR = 1000/(6 \times 10^7 \times 10^{-5}) = 1.7\,\Omega; ΔU=67 V\Delta U = 67\,\mathrm{V}; P=2.7 kWP = 2.7\,\mathrm{kW}, 29%29\% van de geleverde 9.2 kW9.2\,\mathrm{kW}.

20. I=0.46 AI = 0.46\,\mathrm{A}, ΔU=0.8 V\Delta U = 0.8\,\mathrm{V}, 0.35 W0.35\,\mathrm{W}: transport bij hoge spanning deelt het verlies door (U2/U1)2(U_2/U_1)^2.

21. 10×6/3.6=17 mm210 \times 6/3.6 = 17\,\mathrm{mm}^{2}; 89 kg/km89\,\mathrm{kg}/\mathrm{km} koper tegen 45 kg/km45\,\mathrm{kg}/\mathrm{km} aluminium: lichter en goedkoper op masten; in de muur past de kleinere doorsnede van koper beter in de buizen en klemmen.

22. VH=IB/nqt=5×10−3×0.1/(1022×1.6×10−19×10−4)=3.1 mVV_H = IB/nqt = 5 \times 10^{-3} \times 0.1/(10^{22} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 10^{-4}) = 3.1\,\mathrm{mV}.

23. +24%+24\%: 2.1 Ω2.1\,\Omega, 3.3 kW3.3\,\mathrm{kW} verlies.

24. RI2t=1.7×4×108×10−4=67 kJRI^2t = 1.7 \times 4 \times 10^8 \times 10^{-4} = 67\,\mathrm{kJ} in 89 kg89\,\mathrm{kg}: 2 K2\,\mathrm{K}. j=2×109 A/m2j = 2 \times 10^{9}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}, driehonderd keer de huishoudelijke waarde.

25. nn (de materie) en τ\tau (de botsingen) geven γ=ne2τ/m\gamma = ne^2\tau/m; γ\gamma verbindt jj en EE (Ohm); jj integreert tot II en EE tot UU (de schakeling); j2/γj^2/\gamma is de warmte.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 431 begrippen in de begrippenlijst