Universitaire natuurkunde — jaar 2 · Bachelor Year 2

19Tweegolfsinterferentie

Een zeepbel bestaat uit een kleurloze vloeistof en schittert toch van kleur; een olievlies op een natte weg toont dezelfde regenboogbanden; de vleugels van een libel glanzen groen en violet. Geen van die kleuren komt van een pigment: zij komen van twee kopieën van dezelfde lichtgolf, weerkaatst aan de twee vlakken van een dunne laag, die met een vertraging aankomen en elkaar ofwel versterken ofwel uitdoven — de interferentie van twee golven. Young maakte er in 1801 het bewijs van dat licht een golf is, met twee spleten en een kaars; dit hoofdstuk zet de formule uiteen, de meetkunde van de strepen van Young, de twee voorwaarden — temporele en ruimtelijke coherentie — waaronder strepen overleven, en de kleuren van dunne lagen.

Een olievlies op een natte weg: twee weerkaatsingen, één van elk vlak, en een dikte die van plaats tot plaats verschilt — elke kleur helder waar 2ne de juiste waarde heeft. — Een olievlies op een natte weg: twee weerkaatsingen, één van elk vlak, en een dikte die van plaats tot plaats verschilt — elke kleur helder waar $2ne$ de juiste waarde heeft.

19.1 De interferentieformule

Stelling 19.1 (Tweegolfsinterferentie)

Twee coherente monochromatische golven met intensiteiten $I_1$ , $I_2$ en faseverschil $\Delta\varphi$ in een punt $M$ geven daar de intensiteit

I(M) = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1I_2}\,\cos\Delta\varphi(M) , \qquad \Delta\varphi = \frac{2\pi}{\lambda_0}\,\delta(M) ,

waarin $\delta$ het optische wegverschil tussen de twee routes van de bron naar $M$ is. De intensiteit is maximaal ( $I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1I_2}$ ) waar $\delta = p\lambda_0$ , met $p$ geheel — de orde van interferentie — en minimaal ( $I_1 + I_2 - 2\sqrt{I_1I_2}$ ) waar $\delta = (p + \tfrac12)\lambda_0$ . Het contrast (de zichtbaarheid) van de strepen is

V = \frac{I_{\max} - I_{\min}}{I_{\max} + I_{\min}} = \frac{2\sqrt{I_1I_2}}{I_1 + I_2} ,

gelijk aan $1$ voor gelijke intensiteiten, waar de minima volmaakt donker zijn: $I = 2I_0(1 + \cos\Delta\varphi) = 4I_0\cos^2(\Delta\varphi/2)$ .

Bewijs. $s = a_1\cos(\omega t - \varphi_1) + a_2\cos(\omega t - \varphi_2)$ ; $\langle s^2\rangle$ als in Hoofdstuk 18, met $\Delta\varphi$ vast gedurende de detectie; $I_i = \tfrac12Ka_i^2$ . Het faseverschil van twee golven die de bron samen verlieten en de optische wegen $L_1$ , $L_2$ aflegden, is $2\pi(L_2 - L_1)/\lambda_0$ (plus $\pi$ voor elke weerkaatsing die het teken omkeert, Hoofdstuk 15). ∎

Opmerking 19.2 (De drie voorwaarden)

Strepen bestaan alleen als (1) de twee golven van dezelfde bron komen (twee kopieën van één trilling, anders is $\Delta\varphi$ willekeurig); (2) het wegverschil kleiner is dan de coherentielengte, $|\delta| < \ell_c$ (temporele coherentie: daarboven horen de kopieën bij verschillende golftreinen); (3) de bron klein genoeg is opdat haar verschillende punten geen verschoven strepenstelsels voortbrengen die elkaar uitwissen (ruimtelijke coherentie, hieronder). En een vierde, doorgaans vervuld: de twee golven mogen geen loodrechte polarisaties hebben (zij zouden in intensiteit optellen, als de zaklampen).

19.2 De spleten van Young

Propositie 19.3 (Verdeling van het golffront: de proef van Young)

Een puntbron $S$ (of een spleet) verlicht twee smalle evenwijdige spleten $S_1$ , $S_2$ op een onderlinge afstand $a$ , even ver van $S$ ; een scherm staat op de afstand $D \gg a$ . In het punt van het scherm op de hoogte $x$ (evenwijdig aan $a$ ) is het wegverschil

\delta = S_2M - S_1M \approx \frac{ax}D ,

en het scherm toont rechte, gelijk verdeelde strepen, helder bij $x_p = p\lambda D/a$ , met de streepafstand

i = \frac{\lambda D}a .

De strepen bestaan overal achter de spleten (zij zijn niet gelokaliseerd); met een lens van brandpuntsafstand $f$ achter de spleten ziet men ze in haar brandvlak met $i = \lambda f/a$ (strepen “op oneindig”). De intensiteit is $4I_0\cos^2(\pi ax/\lambda D)$ .

Bewijs. $S_2M^2 - S_1M^2 = [(x + a/2)^2 - (x - a/2)^2] = 2ax$ en $S_2M + S_1M \approx 2D$ , dus $\delta \approx 2ax/2D$ . Twee orden verschillen $\lambda$ , dat wil zeggen $\Delta x = \lambda D/a$ . Met een lens hebben de twee golven die de spleten onder de hoek $\theta$ met de as verlaten het wegverschil $a\sin\theta \approx a\theta$ en ontmoeten zij elkaar in $x = f\theta$ . ∎

Links: de spleten van Young — twee kopieën van de golf van de bron ontmoeten elkaar op het scherm met het wegverschil ax/D; heldere strepen om de D/a. Rechts: het intensiteitsprofiel, 4I_0 2(π x/i) voor gelijke golven (doorgetrokken) en met verminderd contrast (streepjes). — Links: de spleten van Young — twee kopieën van de golf van de bron ontmoeten elkaar op het scherm met het wegverschil $ax/D$ ; heldere strepen om de $\lambda D/a$ . Rechts: het intensiteitsprofiel, $4I_0\cos^2(\pi x/i)$ voor gelijke golven (doorgetrokken) en met verminderd contrast (streepjes).

Voorbeeld 19.4 (Getallen, en wit licht)

$a = 0.5\,\mathrm{mm}$ , $D = 2\,\mathrm{m}$ , $\lambda = 600\,\mathrm{nm}$ : $i = 2.4\,\mathrm{mm}$ — groot genoeg om te zien, en daarom moeten de spleten van Young dicht bij elkaar staan en het scherm ver weg. Bij wit licht maakt elke kleur haar eigen strepen, die alle in het midden samenvallen ( $\delta = 0$ ): een witte middenstreep, dan gekleurde strepen naarmate de orden uit elkaar lopen (de rode $i$ is $1.8$ keer de violette), en na enkele orden een gelijkmatig witachtig veld — de coherentielengte van wit licht is een micrometer, twee of drie golflengten. Een spectrometer op dat “witte” veld gericht ziet er nog altijd donkere banden bij de golflengten waarvoor $\delta = (p + \tfrac12)\lambda$ : een gekanneleerd spectrum.

Propositie 19.5 (Ruimtelijke coherentie: de bron moet klein zijn)

Elk punt van een uitgebreide bron brengt zijn eigen strepenstelsel voort; een bronpunt dat dwars over $b$ is verplaatst op de afstand $L$ vóór de spleten verschuift de strepen over $x = bD/L$ (het wegverschil wint $ab/L$ ). Een bron van breedte $b$ spreidt de strepen over één streepafstand, en het contrast verdwijnt, wanneer

\frac{ab}L \approx \lambda , \qquad\text{d.w.z.\ wanneer de spleten de bron zien onder een hoek } \frac bL \gtrsim \frac\lambda a .

De twee spleten moeten binnen het coherentiegebied van het licht liggen — het gebied waarover de golf van de bron een welbepaalde fase heeft, van breedte $\lambda L/b$ . Zonlicht ( $b/L = 0.5{}^{\circ} = 9\,\mathrm{mrad}$ ) geeft een coherentiebreedte van $\lambda/0.009 \approx 60\,\text{µ}\mathrm{m}$ : Young had een speldenprik nodig om die te verruimen.

Bewijs. Voor een bronpunt op de hoogte $b$ telt de extra weg $SS_2 - SS_1 \approx -ab/L$ op bij $ax/D$ : het patroon verschuift over $x = bD/L$ . Integratie van de verschoven $\cos^2$ -patronen over een bron van breedte $b$ geeft een contrast $|\operatorname{sinc}(\pi ab/\lambda L)|$ , nul bij $ab/L = \lambda$ . ∎

Ruimtelijke coherentie: de boven- en onderkant van een uitgebreide bron zenden strepenstelsels die ten opzichte van elkaar zijn verschoven; wanneer de verschuiving één streepafstand bereikt, is het patroon uitgewist.

19.3 Dunne lagen: verdeling van de amplitude

Propositie 19.6 (Interferentie in een dunne laag)

Een laag met index $n$ en dikte $e$ in lucht, belicht onder inval $i$ (brekingshoek $r$ ), geeft twee golven terug die aan haar twee vlakken zijn weerkaatst, met het wegverschil

\delta = 2ne\cos r \ (+\tfrac{\lambda_0}2) ,

waarbij de extra halve golflengte de tekenomkering telt van de weerkaatsing op het dichtere midden aan het eerste vlak en niet aan het tweede (Hoofdstuk 15). De strepen zijn helder voor $2ne\cos r = (p + \tfrac12)\lambda_0$ , donker voor $2ne\cos r = p\lambda_0$ — een laag van verdwijnende dikte weerkaatst niets (de zwarte top van een uitlekkende zeepvlies). Voor een laag van gelijkmatige dikte hangen de strepen alleen van $i$ af en worden zij op oneindig gezien (ringen van gelijke helling); voor een wig van langzaam veranderende dikte, bij bijna loodrechte inval bekeken, volgen zij de contouren van gelijke $e$ en zijn zij op de laag gelokaliseerd (strepen van gelijke dikte): een luchtwig met hoek $\alpha$ toont rechte strepen op afstand $\lambda_0/2\alpha$ ; een lens met straal $R$ op een vlakke plaat geeft ringen van Newton, donker bij $r_p = \sqrt{p\lambda_0R}$ .

Bewijs. Meetkunde: de golf die aan het eerste vlak wordt gebroken doorloopt de laag tweemaal ( $2e/\cos r$ in glas, optische weg $2ne/\cos r$ ) terwijl de golf die aan het eerste vlak wordt weerkaatst $2e\tan r\sin i$ in lucht vordert; het verschil is $2ne/\cos r - 2e\tan r\sin i = 2ne\cos r$ met $\sin i = n\sin r$ . Voor de wig is $e = \alpha x$ en liggen opeenvolgende donkere strepen bij $2\alpha x = p\lambda$ ; voor de lens is $e \approx r^2/2R$ . ∎

Links: de twee weerkaatsingen van een dunne laag — één van elk vlak, de tweede vertraagd door de dubbele doorgang. Rechts: een luchtwig tussen twee platen toont rechte strepen van gelijke dikte, één per halve golflengte extra spleet.

Voorbeeld 19.7 (Zeep, olie, libellen)

Een zeepvlies ( $n = 1.33$ ) van $300\,\mathrm{nm}$ dik, loodrecht bekeken: helder voor $2ne = (p + \tfrac12)\lambda$ , dat wil zeggen $\lambda = 798/(p + \tfrac12)$ nm: $532\,\mathrm{nm}$ (groen, $p = 1$ ) binnen het zichtbare, en een donkere band bij $400\,\mathrm{nm}$ ; het vlies lijkt groen. Terwijl het uitlekt en dunner wordt, loopt de kleur door de reeks en eindigt zwart. Een olievlies ( $400\,\mathrm{nm}$ , $n = 1.45$ ) op water ( $1.33$ ): de tweede weerkaatsing, naar een lagere index toe, keert het teken niet om, dus opnieuw $\delta = 2ne + \lambda/2$ en is het vlies helder bij $2ne = (p + \tfrac12)\lambda$ : $464\,\mathrm{nm}$ ( $p = 2$ ), blauw. De iriserende glans van een vlindervleugel, een keverschild of een compactschijf zijn interferenties van dezelfde aard (die van de schijf, van vele golven: Hoofdstuk 21), en daarom veranderen zij met de hoek — $\delta$ hangt van $\cos r$ af — terwijl de kleur van een pigment dat niet doet.

Methode 19.8 (Een interferentievraagstuk oplossen)

(1) Wijs de twee routes van de bron naar $M$ aan en bereken het optische wegverschil $\delta(M)$ , met $\lambda/2$ erbij voor elke weerkaatsing met tekenomkering. (2) $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1I_2}\cos(2\pi\delta/\lambda)$ ; helder bij $\delta = p\lambda$ . (3) De streepafstand uit $\delta(M + \Delta M) - \delta(M) = \lambda$ . (4) Ga de temporele coherentie na ( $\delta_{\max} < \ell_c$ , aantal zichtbare strepen $\sim\lambda/\Delta\lambda$ ) en de ruimtelijke coherentie (bronhoek $< \lambda/a$ ). (5) Zeg waar de strepen zijn gelokaliseerd (overal voor twee puntbronnen; op de laag voor strepen van gelijke dikte; op oneindig voor die van gelijke helling).

19.4 Opgaven

Oefening 19.1 ★

Spleten van Young op $a = 0.40\,\mathrm{mm}$ afstand, scherm op $D = 1.5\,\mathrm{m}$ , $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$ : streepafstand; orde van de streep bij $x = 1.0\,\mathrm{cm}$ ; plaats van de tiende donkere streep; streepafstand met de spleten $2\,\mathrm{mm}$ uit elkaar, en in water ( $n = 1.33$ ).

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.1.

$i = \lambda D/a = 2.4\,\mathrm{mm}$ ; $x/i = 4.2$ ; tiende donkere streep bij $9.5i = 22.5\,\mathrm{mm}$ ; $a = 2\,\mathrm{mm}$ : $0.47\,\mathrm{mm}$ ; in water $\lambda/n$ : $1.8\,\mathrm{mm}$ .

Oefening 19.2 ★

Twee golven met intensiteiten $I_0$ en $I_0/4$ interfereren: $I_{\max}$ , $I_{\min}$ , contrast. Idem voor $I_0$ en $I_0/100$ : waarom zijn er nog strepen zichtbaar bij zulke ongelijke bundels? Eén spleet van een paar van Young wordt bedekt door een grijsfilter dat $50\%$ doorlaat: nieuw contrast.

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.2.

$1.25I_0 \pm I_0$ : $V = 0.8$ . $1.01I_0 \pm 0.2I_0$ : $V = 0.2$ — de interferentieterm gaat als de verhouding van de amplituden, $1/10$ , niet die van de intensiteiten. Filter: $V = 2\sqrt{0.5}/1.5 = 0.94$ .

Oefening 19.3 ★

Een zeepvlies van $250\,\mathrm{nm}$ dik ( $n = 1.33$ ), loodrecht bekeken: zichtbare golflengten die het sterkst en het zwakst worden weerkaatst; zijn kleur. Een vlies van $1.0\,\text{µ}\mathrm{m}$ : hoeveel heldere golflengten in het zichtbare, en wat ziet het oog?

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.3.

$2ne = 665\,\mathrm{nm}$ : helder bij $665/(p + \tfrac12)$ : $443\,\mathrm{nm}$ (blauwviolet); donker bij $665/p$ : $665\,\mathrm{nm}$ (rood): een blauw vlies. $e = 1\,\text{µ}\mathrm{m}$ : $2ne = 2660\,\mathrm{nm}$ , helder bij $760$ , $591$ , $484$ , $409\,\mathrm{nm}$ — vier kleuren tegelijk, een verwassen rozeachtig wit.

Oefening 19.4 ★

Ringen van Newton tussen een lens met straal $R = 2.0\,\mathrm{m}$ en een vlakke plaat, in natriumlicht: stralen van de eerste drie donkere ringen; aantal ringen binnen een straal van $1\,\mathrm{cm}$ ; is het midden helder of donker, en waarom? Wat verandert er als de spleet met water wordt gevuld?

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.4.

$r_p = \sqrt{p\lambda R}$ : $1.09$ , $1.53$ , $1.88\,\mathrm{mm}$ ; $p = r^2/\lambda R = 85$ ringen binnen $1\,\mathrm{cm}$ ; het midden is donker: dikte nul en één tekenomkering. Water: stralen gedeeld door $\sqrt n$ , $98$ ringen.

Oefening 19.5 ★★

Wit licht. Spleten van Young met wit licht ( $400$ – $700\,\mathrm{nm}$ ), $a = 0.5\,\mathrm{mm}$ , $D = 1\,\mathrm{m}$ . (a) Streepafstand voor violet en voor rood; plaats van de tweede rode en de derde violette heldere streep. (b) Vanaf welke orde overlappen de rode en violette strepen van opeenvolgende orden? (c) Welke golflengten ontbreken bij $x = 5\,\mathrm{mm}$ (gekanneleerd spectrum)? (d) Verklaar de reeks kleuren die men van het midden naar buiten ziet.

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.5.

(a) $i = 0.8$ en $1.4\,\mathrm{mm}$ ; tweede rode $2.8\,\mathrm{mm}$ , derde violette $2.4\,\mathrm{mm}$ . (b) Orde $p$ rood bij $1.4p$ mm ontmoet orde $p + 1$ violet bij $0.8(p + 1)$ : vanaf $p = 2$ overlappen de orden. (c) $\delta = ax/D = 2.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ : ontbrekende $\lambda = \delta/(p + \tfrac12)$ : $714$ , $556$ , $455\,\mathrm{nm}$ . (d) Wit midden; dan strepen met een blauwe binnenrand en een rode buitenrand; tegen de derde orde mengen de kleuren zich tot wit.

Oefening 19.6 ★★

Bronbreedte. Een natriumlamp verlicht spleten van Young ( $a = 1.0\,\mathrm{mm}$ ) via een bronspleet op $L = 40\,\mathrm{cm}$ . (a) Grootste breedte van de bronspleet voor goed contrast (neem $ab/L < \lambda/4$ ). (b) De bronspleet wordt tot $0.5\,\mathrm{mm}$ verruimd: contrast (gebruik $|\operatorname{sinc}(\pi ab/\lambda L)|$ ). (c) Waarom kan men niet eenvoudig de kale lamp gebruiken (breedte $1\,\mathrm{cm}$ )? (d) De zon als bron, $9\,\mathrm{mrad}$ groot: grootste spleetafstand die strepen geeft.

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.6.

(a) $b < \lambda L/4a = 59\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (b) $\pi ab/\lambda L = 6.7$ : contrast $|\sin6.7|/6.7 = 0.06$ . (c) Een bron van een centimeter breed beslaat honderden streepafstanden verschuiving: geen strepen. (d) $a < \lambda/\theta = 61\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

Oefening 19.7 ★★

De spiegel van Lloyd. Een puntbron op de hoogte $h = 0.2\,\mathrm{mm}$ boven een vlakke spiegel, scherm op $D = 1.0\,\mathrm{m}$ , $\lambda = 500\,\mathrm{nm}$ : de rechtstreekse golf interfereert met die welke door de spiegel wordt weerkaatst (een virtuele bron op $-h$ ). (a) Streepafstand. (b) De streep aan de rand van de spiegel ( $x = 0$ ) is donker: wat zegt dat over de weerkaatsing? (c) Aantal zichtbare strepen als de coherentielengte van de bron $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ is. (d) Waarom is deze opstelling de “zee-interferometer” van de radioastronoom voor een opkomende ster?

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.7.

(a) $a = 2h = 0.4\,\mathrm{mm}$ : $i = \lambda D/a = 1.25\,\mathrm{mm}$ . (b) Bij $x = 0$ zijn de wegen gelijk en is de streep toch donker: de weerkaatsing voegt $\pi$ toe (tekenomkering bij scherende inval op het dichtere midden). (c) $\delta = ax/D < 50\,\text{µ}\mathrm{m}$ : $100$ strepen. (d) De zee is de spiegel, de antenne op de klip het scherm: terwijl de bron rijst, trekken de strepen voorbij en geven zij haar hoogte.

Oefening 19.8 ★★

Luchtwig. Twee glasplaten van $10\,\mathrm{cm}$ lang raken elkaar aan het ene uiteinde en zijn aan het andere gescheiden door een haar met diameter $d$ ; in natriumlicht telt men $42$ donkere strepen. (a) $d$ . (b) Streepafstand. (c) De spleet wordt met water gevuld: aantal strepen. (d) De platen worden aan het verre uiteinde lichtjes samengedrukt: wat doen de strepen, en welke nauwkeurigheid op $d$ geeft het tellen van een kwart streep?

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.8.

(a) $2d = 42\lambda$ : $d = 12.4\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (b) $100/42 = 2.4\,\mathrm{mm}$ . (c) $2nd = p\lambda$ : $56$ strepen. (d) De strepen bewegen naar het verre uiteinde en spreiden zich terwijl $d$ daalt; een kwart streep is $\lambda/8 = 74\,\mathrm{nm}$ op $d$ .

Oefening 19.9 ★★

Olie op water. Een olievlies ( $n = 1.45$ ) van dikte $e$ drijft op water ( $n = 1.33$ ). (a) Welke van de twee weerkaatsingen keert het teken om? Wegverschil. (b) Voor $e = 400\,\mathrm{nm}$ bij loodrechte inval: weerkaatste golflengten die worden versterkt en uitgedoofd; kleur. (c) Dunste vlies dat violet lijkt ( $420\,\mathrm{nm}$ ). (d) Waarom verschuiven de kleuren naar blauw wanneer het vlies schuin wordt bekeken? (e) Wat verandert er voor een vlies waarvan de index tussen die van de twee middens ligt (een laag op glas)?

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.9.

(a) Alleen de eerste (lucht $\to$ olie, dichter); olie $\to$ water gaat naar een lagere index: $\delta = 2ne + \lambda/2$ , helder bij $2ne = (p + \tfrac12)\lambda$ . (b) $2ne = 1160\,\mathrm{nm}$ : versterkt $773$ (rand van het zichtbare), $464\,\mathrm{nm}$ (blauw); uitgedoofd $1160/p$ : $580\,\mathrm{nm}$ (geel): blauw. (c) $2ne = \lambda/2$ : $e = 72\,\mathrm{nm}$ . (d) $\delta = 2ne\cos r$ daalt met de hoek: de versterkte golflengten schuiven naar het blauw. (e) Dan keren beide weerkaatsingen het teken om, geen extra $\lambda/2$ : helder bij $2ne = p\lambda$ , donker bij $(p + \tfrac12)\lambda$ — de antireflectielaag van een kwartgolf.

Oefening 19.10 ★★★

Een plaatje op één spleet. Een glasplaatje van dikte $e = 20\,\text{µ}\mathrm{m}$ en index $1.5$ bedekt spleet $S_1$ van een paar van Young ( $a = 1\,\mathrm{mm}$ , $D = 2\,\mathrm{m}$ , $\lambda = 500\,\mathrm{nm}$ ). (a) Extra optische weg; over hoeveel strepen en in welke richting verschuift het patroon? (b) Waar gaat bij wit licht de (nu verplaatste) witte middenstreep heen — is zij nog zichtbaar? Coherentielengte $1.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (c) Gebruik het patroon in wit licht om $e$ te meten: hoe? (d) Het plaatje wordt gekanteld: de verschuiving groeit — toon aan dat zij tot eerste orde groeit als $e(n - 1)\theta^2/2 \times (1 + 1/n)$ en schat haar voor $5{}^{\circ}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.10.

(a) $(n - 1)e = 10\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $20$ strepen, naar de bedekte spleet toe (waar de meetkundige weg $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ korter moet worden om $\delta = 0$ te herstellen): $x = (n - 1)eD/a = 2\,\mathrm{cm}$ . (b) De witte streep ligt daar; de dispersie van het glas ( $\Delta n \approx 0.01$ over het zichtbare, dat wil zeggen $0.2\,\text{µ}\mathrm{m}$ weg) blijft onder $\ell_c$ : nog zichtbaar, lichtjes gekleurd. (c) Meet de verschuiving van de witte streep: $e = (\text{verschuiving})\,a/(n - 1)D$ . (d) $e(n - 1)\theta^2 (1 + 1/n)/2 = 63\,\mathrm{nm}$ bij $5{}^{\circ}$ : een achtste streep.

Oefening 19.11 ★★★

De sterinterferometer. Twee spiegels op een onderlinge afstand $a$ vangen het licht van een ster op en brengen het tot interferentie. De ster is een gelijkmatige schijf met hoekdiameter $\theta$ ; elk punt ervan verschuift de strepen, en het contrast verdwijnt voor $a = 1.22\lambda/\theta$ (aangenomen, de schijfversie van $ab/L = \lambda$ ). (a) Betelgeuze, $\theta = 0.047''$ (boogseconden), $\lambda = 570\,\mathrm{nm}$ : basislijn waarbij de strepen verdwijnen (Michelson, 1920, Mount Wilson). (b) Waarom kan één enkele telescoop van $2.5\,\mathrm{m}$ de schijf niet oplossen (zijn grens is $1.22\lambda/d$ )? (c) Moderne interferometers verbinden telescopen op $100\,\mathrm{m}$ afstand: kleinste meetbare diameter. (d) Waarom moeten de twee wegen tot op de coherentielengte gelijk zijn, en hoe lang is die voor een filter van $10\,\mathrm{nm}$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.11.

(a) $\theta = 2.3 \times 10^{-7}\,\mathrm{rad}$ : $a = 1.22\lambda/\theta = 3.1\,\mathrm{m}$ . (b) Zijn grens $1.22\lambda/d = 0.057''$ ligt boven de diameter van de ster, en de dampkring vervaagt tot $1''$ . (c) $1.22\lambda/100 = 7 \times 10^{-9}\,\mathrm{rad} = 1.4\,\mathrm{mas}$ . (d) De strepen vergen $\delta < \ell_c = \lambda^2/\Delta\lambda = 32\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

Oefening 19.12 ★★★

Ringen van gelijke helling. Een evenwijdige plaat van dikte $e = 2.0\,\mathrm{mm}$ en index $1.5$ wordt door een brede natriumbron belicht; het weerkaatste licht wordt door een lens met $f = 50\,\mathrm{cm}$ gebundeld. (a) Toon aan dat de ringen bij de hoeken $i_p$ liggen met $2ne\cos r_p = (p + \tfrac12)\lambda$ (helder) en dat nabij het midden $\cos r \approx 1 - i^2/2n^2$ . (b) Orde in het midden; is het midden helder? (c) Stralen van de eerste drie heldere ringen in het brandvlak. (d) Waarom ziet men deze ringen met een uitgebreide bron terwijl de strepen van Young een smalle nodig hebben? (Lokalisatie op oneindig.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.12.

(a) $\delta = 2ne\cos r + \lambda/2$ ; $\cos r = \sqrt{1 - \sin^2i/n^2} \approx 1 - i^2/2n^2$ . (b) $2ne/\lambda = 10186.8$ : het midden, met $p + \tfrac12$ tussen $10186.5$ en $10187.5$ , is noch helder noch donker. (c) $i_p^2 = 2n^2[1 - (p + \tfrac12)\lambda/ 2ne]$ voor $p = 10186$ , $10185$ , $10184$ : $i = 0.011$ , $0.024$ , $0.032\,\mathrm{rad}$ , $r = fi = 5.4$ , $11.8$ , $15.8\,\mathrm{mm}$ . (d) De hoek $i$ alleen legt de orde vast: elk bronpunt voedt dezelfde ring onder dezelfde hoek, zodat de ringen, op oneindig gezien, een brede bron overleven.

Strepen van gelijke dikte tussen een optisch vlak en een te beproeven staaloppervlak, op een foto van een werktuigkundige uit omstreeks 1915: rechte strepen boven een vlak oppervlak, gebogen waar het versleten is — elke streep een trap van een halve golflengte.

19.5 Vraagstuk: de spiegels van Fresnel en een olievlies

Probleem 19.1

Weekendvraagstuk — een interferometer uit 1816 en een regenboog op een plas: twee manieren om één golf te splitsen en de twee coherenties die beide begrenzen

Deel I — De spiegels van Fresnel. Twee vlakke spiegels die elkaar langs een lijn raken maken een zeer kleine hoek $\alpha = 5.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$ ; een spleetbron $S$ , evenwijdig aan die lijn, staat op $d = 20\,\mathrm{cm}$ ervan, en het scherm op $D = 1.5\,\mathrm{m}$ daarachter. $\lambda = 589\,\mathrm{nm}$ (natrium).

Toon aan dat de twee spiegels twee virtuele beelden $S_1$ , $S_2$ van $S$ geven op een cirkel met straal $d$ rond de raaklijn, gescheiden door $a = 2\alpha d$ ; waarde.
Waarom interfereren de golven van $S_1$ en $S_2$ , terwijl die van twee afzonderlijke lampen dat niet zouden doen?
Streepafstand op het scherm (afstand van de bronnen tot het scherm $\approx d + D$ ); aantal strepen over het $5\,\mathrm{mm}$ brede gebied waar de twee weerkaatste bundels overlappen.
Orde van interferentie aan de rand van dat gebied; ligt zij onder de grens die de coherentielengte van de lamp ( $2\,\mathrm{cm}$ ) stelt?
De bronspleet is $20\,\text{µ}\mathrm{m}$ breed: verschuiving van de strepen voortgebracht door haar twee randen (elk bronpunt wordt in twee virtuele punten afgebeeld; het strepenstelsel verschuift over $bD'/d$ met $D' = d + D$ ); blijft het contrast behouden (vergelijk met $i$ )?
De spleet wordt tot $0.1\,\mathrm{mm}$ verruimd: contrast, met $|\operatorname{sinc}(\pi ab/\lambda d)|$ .
De twee spiegels weerkaatsen $90\%$ en $80\%$ van het licht: contrast van de strepen.
Een glasplaatje van $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ dik ( $n = 1.5$ ) wordt vóór één spiegel geplaatst: verschuiving van het patroon, in strepen; kan zij met natriumlicht worden gevolgd? Met wit licht?
Vervang de natriumlamp door wit licht: beschrijf het scherm; hoeveel gekleurde strepen aan weerszijden van het midden?

Deel II — Het olievlies. Een olievlies ( $n = 1.45$ ) spreidt zich uit over een natte weg ( $n_{\text{water}} = 1.33$ ), belicht door de bewolkte hemel en bij bijna loodrechte inval bekeken.

Weerkaatsingen aan de twee vlakken: welke keren het teken om? Wegverschil; voorwaarde voor een heldere kleur.
Dikte van het dunste gebied dat rood lijkt ( $\lambda = 650\,\mathrm{nm}$ ); groen ( $550\,\mathrm{nm}$ ); violet ( $420\,\mathrm{nm}$ ).
Een gebied van $600\,\mathrm{nm}$ dik: welke zichtbare golflengten worden versterkt, welke uitgedoofd; zijn kleur.
Waarom toont het vlies banden van kleur (wat verandert er langs de weg), en waarom volgen de banden de contouren van gelijke dikte?
Het vlies wordt dunner door verdamping: beschrijf de verandering van de kleurreeks in een gegeven punt; wat ziet men hier wanneer $e \to 0$ — helder of donker? Vergelijk met een zeepvlies in lucht.
De top van een uitlekkend zeepvlies wordt zwart vlak voordat het barst: dikte daar (enkele nanometers) en waarom zwart.
Bij $60{}^{\circ}$ inval bekeken: brekingshoek in de olie, en de verschuiving van de heldere golflengten van vraag 11.
Vanaf welke dikte vervagen de kleuren tot een gelijkmatig grijs, voor daglicht met een coherentielengte van ongeveer $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ ?
Het licht van de hemel is ongepolariseerd en komt uit vele richtingen: waarom wist het patroon niet uit zoals een uitgebreide bron de strepen van Young uitwist? (Lokalisatie op het vlies.)

Deel III — Twee coherenties.

Temporele coherentie: voor de spiegels van Fresnel met natriumlicht, de hoogste zichtbare orde; met een laser ( $\ell_c = 10\,\mathrm{m}$ ).
Ruimtelijke coherentie: de grootste bronbreedte voor de spiegels (uit $ab/d < \lambda/4$ ) en voor de spleten van Young met $a = 1\,\mathrm{mm}$ op $L = 40\,\mathrm{cm}$ .
Verklaar waarom de dunne laag een uitgebreide bron verdraagt terwijl de spleten van Young dat niet doen: schets de twee stralen van de laag voor twee verschillende bronpunten en toon aan dat zij elkaar nog op de laag ontmoeten.
De natriumlijn zelf is $0.02\,\mathrm{nm}$ breed: hoeveel strepen kunnen de spiegels hoogstens tonen (gebruik $N \approx \lambda/\Delta\lambda$ )?
Een student vervangt de natriumlamp door een groene led ( $\Delta\lambda = 30\,\mathrm{nm}$ ): aantal met de spiegels zichtbare strepen.
Met een laser strekken de strepen zich over het hele overlapgebied uit met vol contrast, maar het scherm is “gespikkeld”: waarom?
Zet in één tabel, voor de spiegels en het vlies: hoe de golf wordt gesplitst, waar de strepen zijn gelokaliseerd, wat hun aantal begrenst, en wat een bredere bron doet.

Oplossing

Oplossing van Probleem 19.1.

1. Elke spiegel beeldt $S$ door symmetrie af op de afstand $d$ van de raaklijn; de twee beelden liggen op de cirkel met straal $d$ , op de hoek $2\alpha$ uit elkaar: $a = 2\alpha d = 2\,\mathrm{mm}$ .

2. $S_1$ en $S_2$ zijn twee beelden van dezelfde trilling: hun fasesprongen zijn dezelfde.

3. $i = \lambda(d + D)/a = 589 \times 10^{-9} \times 1.7/2 \times 10^{-3} = 0.50\,\mathrm{mm}$ : tien strepen over $5\,\mathrm{mm}$ .

4. $\delta = ax/(d + D) = 2.9\,\text{µ}\mathrm{m}$ aan de rand, $p = 5$ : ver onder $\ell_c/\lambda = 34\,000$ .

5. Verschuiving $bD'/d = 20 \times 10^{-6} \times 1.7/0.2 = 0.17\,\mathrm{mm}$ , een derde van $i$ , zodat het contrast wordt $|\operatorname{sinc}(\pi ab/\lambda d)| = \operatorname{sinc}(1.07) = 0.82$ .

6. $\pi ab/\lambda d = 5.3$ : $|\sin5.3|/5.3 = 0.16$ .

7. Amplituden $\sqrt{0.9}$ , $\sqrt{0.8}$ : $V = 2\sqrt{0.72}/1.7 = 0.998$ .

8. $(n - 1)e = 5\,\text{µ}\mathrm{m}$ : $8.5$ strepen; met natriumlicht moeiteloos te volgen; in wit licht verschuift de witte streep over $8.5i = 4.2\,\mathrm{mm}$ en is zij er nog altijd (de dispersie van het glas kost een fractie van een micrometer).

9. Een witte middenstreep, twee of drie gekleurde strepen aan elke kant, dan een gelijkmatig wit.

10. Lucht $\to$ olie keert om, olie $\to$ water (lagere index) niet: $\delta = 2ne + \lambda/2$ ; helder voor $2ne = (p + \tfrac12)\lambda$ .

11. $e = \lambda/4n$ : rood $112\,\mathrm{nm}$ , groen $95\,\mathrm{nm}$ , violet $72\,\mathrm{nm}$ .

12. $2ne = 1740\,\mathrm{nm}$ : versterkt $1740/(p + \tfrac12)$ : $696$ (rood), $497$ (blauwgroen), $387\,\mathrm{nm}$ ; uitgedoofd $1740/p$ : $580$ (geel), $435\,\mathrm{nm}$ : een purperachtig mengsel van rood en blauwgroen.

13. De dikte verandert langs de weg; elke kleur is helder waar $2ne$ de juiste waarde heeft, zodat de banden contouren van gelijke dikte zijn.

14. De orden dalen: de kleuren lopen door de reeks naar het dunne uiteinde; bij $e \to 0$ laat de enkele tekenomkering $\delta = \lambda/2$ voor elke kleur over: donker — zoals bij een zeepvlies in lucht.

15. Enkele nanometers: $2ne \ll \lambda$ voor alle kleuren, de twee weerkaatsingen zijn in tegenfase en doven elkaar uit: zwart.

16. $\sin r = \sin60^\circ/1.45$ , $r = 37{}^{\circ}$ , $\cos r = 0.80$ : $2ne\cos r = 1390\,\mathrm{nm}$ , helder bij $928$ , $557$ , $398\,\mathrm{nm}$ : het rood van vraag 12 is groengeel geworden — naar het blauw toe.

17. Zodra $2ne$ groter wordt dan $\ell_c \approx 1\,\text{µ}\mathrm{m}$ , dat wil zeggen voorbij ongeveer $0.4\,\text{µ}\mathrm{m}$ olie, overlappen de orden en vervagen de kleuren tot grijs.

18. De twee stralen die voor welke bronrichting ook door het vlies worden weerkaatst, ontmoeten elkaar terug op het vlies: de strepen zijn daar gelokaliseerd en een brede bron uit vele richtingen voegt slechts gelijke patronen toe.

19. $\ell_c/\lambda$ : $34\,000$ met natrium, $1.7 \times 10^7$ met de laser.

20. $b < \lambda d/4a$ : $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ voor de spiegels, $59\,\text{µ}\mathrm{m}$ voor de spleten.

21. Teken twee bronpunten: voor elk komen de twee weerkaatste stralen in hetzelfde punt van het vlies weer samen, met dezelfde $\delta = 2ne\cos r$ bij bijna loodrechte inval; het patroon van het vlies beweegt niet, dat van Young wel.

22. $\lambda/\Delta\lambda = 589/0.02 \approx 30\,000$ .

23. $550/30 \approx 18$ strepen.

24. Coherent licht dat door de korrels van het scherm wordt verstrooid, interfereert met willekeurige fasen in het oog: spikkels.

25. Spiegels: verdeling van het golffront, strepen overal (niet gelokaliseerd), aantal begrensd door $\ell_c/\lambda$ , een brede bron wist ze uit. Vlies: verdeling van de amplitude, strepen op het vlies, kleuren begrensd door $\ell_c \sim 1\,\text{µ}\mathrm{m}$ , een brede bron is onschadelijk.