29De boltzmannfactor

Oefening 29.1 ★

Schaalhoogte van lucht bij $288\,\mathrm{K}$ ($M = 29\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$); druk op $3000\,\mathrm{m}$, op $8849\,\mathrm{m}$, op $10\,\mathrm{km}$ (vergelijk met de gemeten $0.26\,\mathrm{bar}$); schaalhoogte van helium alleen; van de marsdampkring (CO$_2$, $210\,\mathrm{K}$, $g = 3.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$).

Oefening 29.2 ★

Bevolkingen: het niveau $n = 2$ van waterstof ($10.2\,\mathrm{eV}$, ontaarding $4$ tegen $1$) bij $300\,\mathrm{K}$, $6000\,\mathrm{K}$, $10\,000\,\mathrm{K}$; het niveau van natrium bij $2.1\,\mathrm{eV}$ in een vlam van $2500\,\mathrm{K}$; een molecuulrotatieniveau bij $1 \times 10^{-3}\,\mathrm{eV}$ bij $300\,\mathrm{K}$; een kernspinniveau gesplitst met $1 \times 10^{-7}\,\mathrm{eV}$ in een magneet bij $300\,\mathrm{K}$.

Oefening 29.3 ★

Snelheden van Maxwell ($v_{\text{p}}$, $\langle v\rangle$, $v_{\text{rms}}$) voor N$_2$ bij $300\,\mathrm{K}$ en $77\,\mathrm{K}$, H$_2$ bij $300\,\mathrm{K}$, en voor een rookdeeltje van $1 \times 10^{-18}\,\mathrm{kg}$. Deel van de moleculen sneller dan $2v_{\text{p}}$ (ongeveer $4.6\%$) en dan $3v_{\text{p}}$ (ongeveer $4 \times 10^{-4}$): bespreek de staart.

Oefening 29.4 ★

Momenten met spin 1/2 $\mu = \mu_B$, $n = 1 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$, $B = 1\,\mathrm{T}$: $x = \mu B/k_BT$ bij $300\,\mathrm{K}$ en $1\,\mathrm{K}$; $M/M_{\text{verz}}$; $M_{\text{verz}}$; de susceptibiliteit bij $300\,\mathrm{K}$. Vergelijk met de verzadigingsmagnetisatie van ijzer ($1.7 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$).

Oefening 29.5 ★★

Twee niveaus. (a) Leid $p_1$, $p_2$, $\langle E\rangle$ af uit $Z$. (b) Toon aan dat $N_2 < N_1$ bij elke positieve temperatuur; wat zou $N_2 > N_1$ voor $T$ betekenen? (c) Entropie $S = -Nk_B\sum p_i\ln p_i$ van het stelsel bij $T \to 0$ en $T \to \infty$. (d) Een defect in een kristal kan in twee standen zitten die $0.05\,\mathrm{eV}$ uit elkaar liggen: bezetting van de bovenste bij $300\,\mathrm{K}$ en bij $77\,\mathrm{K}$.

Oefening 29.6 ★★

Schottky. (a) Leid $C(T)$ van het tweeniveaustelsel af. (b) Bepaal haar maximum getalsmatig ($x = 2.40$) en zijn waarde. (c) Grenzen bij lage en hoge $T$, met hun natuurkundige betekenis. (d) Kernspins van koper in $1\,\mathrm{T}$ hebben $\varepsilon \approx 1 \times 10^{-7}\,\mathrm{eV}$: bij welke temperatuur ligt hun schottkypiek, en waarom doet dat ertoe voor de koudste cryostaten?

Oefening 29.7 ★★

Gelijke verdeling en haar falen. (a) Leid $\langle aq^2\rangle = k_BT/2$ af met de gaussische integraal. (b) $C_V$ van een eenatomig en van een star tweeatomig gas. (c) De trilling van stikstof heeft $h\nu/k_B = 3400\,\mathrm{K}$: bereken met de gemiddelde energie van de oscillator $C_V$ bij $300\,\mathrm{K}$, $1000\,\mathrm{K}$, $3000\,\mathrm{K}$. (d) Einsteinvaste stof: $C$ bij $T = \theta_{\text{E}}$, $\theta_{\text{E}}/4$, $4\theta_{\text{E}}$ in eenheden van $3R$; diamant bij kamertemperatuur.

Oefening 29.8 ★★

Maxwell in bijzonderheden. (a) Toon aan dat de snelheidscomponenten onafhankelijke gaussische verdelingen zijn en leid $f(v)$ af. (b) Bereken $v_{\text{p}}$, $\langle v\rangle$, $v_{\text{rms}}$. (c) Gemiddelde kinetische energie: ga na met de gelijke verdeling. (d) De flux van moleculen die op een wand botsen is $\tfrac14n\langle v\rangle$ per oppervlakte-eenheid en per tijdseenheid (aangenomen): aantal moleculen N$_2$ dat per seconde op $1\,\mathrm{cm}^{2}$ botst bij $1\,\mathrm{bar}$, $300\,\mathrm{K}$; en het tempo waarmee een gaatje van $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ lucht in een vacuümkamer laat (effusie).

Oefening 29.9 ★★

Ontsnapping. (a) Deel van een maxwellgas sneller dan $v$: toon aan dat het ongeveer $(2/\sqrt\pi)\,x\,\eu^{-x^2}$ is voor $x = v/v_{\text{p}} \gg 1$. (b) Helium bij $1000\,\mathrm{K}$ boven $11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$; stikstof. (c) Maan, $v_{\text{ontsn}} = 2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, $400\,\mathrm{K}$: stikstof, en welke temperatuur haar zou vasthouden gedurende de leeftijd van het zonnestelsel (neem $10^{17}$ botsingstijden: ontsnappingsdeel onder $10^{-17}$). (d) Waarom houdt Titan ($2.6\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, $94\,\mathrm{K}$) een dikke stikstofdampkring?

Oefening 29.10 ★★★

Andere potentialen. (a) In een centrifuge die met $\omega$ draait, is de effectieve potentiële energie $-\tfrac12m\omega^2r^2$: dichtheidsprofiel $n(r)$. (b) Uraniumhexafluoride, twee isotopen $\Delta m = 3\,\mathrm{u}$, $\omega = 2\pi \times 1000\,\mathrm{Hz}$, $r = 10\,\mathrm{cm}$, $300\,\mathrm{K}$: verrijkingsfactor van één trap. (c) Colloïdale bolletjes (opdrijfmassa $m' = 2.6 \times 10^{-17}\,\mathrm{kg}$) in water bij $293\,\mathrm{K}$: schaalhoogte van hun bezinkingsevenwicht; hoe gaf dat het getal van Avogadro? (d) Een elektronengas in een veld $E$: waarom is het boltzmannprofiel $\eu^{eEx/k_BT}$ de grondslag van de debyeafschermingslengte $\lambda_{\text{D}} = \sqrt{\varepsilon_0k_BT/ne^2}$ van een plasma (schets het argument)?

Oefening 29.11 ★★★

Planck uit Boltzmann. (a) Bereken $Z$ en $\langle E\rangle$ voor de niveaus $nh\nu$. (b) De twee grensgevallen en hun betekenis. (c) Vermenigvuldig met de dichtheid van de modes $8\pi\nu^2/c^3$ (gegeven) en vind de wet van Planck terug; toon aan dat de wet van Rayleigh–Jeans de gelijke verdeling op elke mode toegepast is. (d) Waarom faalt de klassieke telling, in één zin?

Oefening 29.12 ★★★

Adiabatische demagnetisatie. De entropie van $N$ spins 1/2 is $S = Nk_B[\ln(2\cosh x) - x\tanh x]$, $x = \mu B/k_BT$. (a) Toon aan dat zij alleen van $B/T$ afhangt, met $S \to Nk_B\ln 2$ voor $B/T \to 0$ en $S \to 0$ voor $B/T \to \infty$. (b) Een zout op $1\,\mathrm{K}$ wordt isotherm gemagnetiseerd van $0$ tot $1\,\mathrm{T}$: weggenomen entropie (per spin, met $\mu = \mu_B$). (c) Het veld wordt vervolgens adiabatisch tot $0.01\,\mathrm{T}$ verlaagd: eindtemperatuur. (d) Wat begrenst de methode, en hoe dient dezelfde $\tanh$-kromme als thermometer?