Universitaire natuurkunde — jaar 2 · Bachelor Year 2

25Warmtegeleiding

Raak op dezelfde koude ochtend een metalen rail en een houten bank aan: de rail voelt kouder, hoewel een thermometer voor beide dezelfde temperatuur geeft. Zet een pan op het fornuis en het handvat wordt pas na een tijdje warm; graaf in de zomer twee meter diep en de grond is nog koud van de winter; een processor die honderd watt op een vierkante centimeter afvoert smelt niet omdat er een blok geribd aluminium op staat. Dat alles is warmtegeleiding, het transport van inwendige energie door de materie heen door de beweging van haar moleculen, zonder enige stroming van materie — en dat alles gehoorzaamt aan één wet, die van Fourier, en één vergelijking, de warmtevergelijking, die de diffusievergelijking van het vorige hoofdstuk is met de temperatuur in plaats van de dichtheid. Dit hoofdstuk stelt de wet en de vergelijking op uit een energiebalans, lost ze op in de gevallen die ertoe doen (stationaire muren en hun warmteweerstanden, periodieke verwarming en de warmtegolf, koelribben), voert de uitwisseling met een fluïdum in (de wet van Newton en het biotgetal), en berekent de entropie die geleiding maakt — want warmte stroomt alleen bergaf.

Een geribde koellichaam op een processor: honderd watt geleid uit een vierkante centimeter silicium, door een metalen voet gespreid, en aan de lucht overgedragen door ribben die het oppervlak dertig keer vermenigvuldigen.

25.1 De wet van Fourier

Definitie 25.1 (Warmtestroomdichtheid)

De warmtestroomdichtheid $\vect{j}_Q$ (in $\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ) is de vector zodanig dat de energie die door geleiding door een georiënteerd oppervlakte-element $\dd\vect S$ gedurende $\dd t$ wordt overgedragen $\vect{j}_Q\cdot\dd\vect S\,\dd t$ is; de warmteflux (een vermogen, in watt) door een oppervlak $S$ is $\Phi = \iint_S\vect{j}_Q\cdot\dd\vect S$ .

Stelling 25.2 (Wet van Fourier)

In een midden in rust waarvan de temperatuur niet gelijkmatig is, geldt

\vect{j}_Q = -\lambda\,\vect{\operatorname{grad}}\,T ,

waarin de warmtegeleidingscoëfficiënt $\lambda > 0$ (in $\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ ) van het materiaal afhangt en, zwak, van de temperatuur. Warmte stroomt de temperatuurgradiënt af, van warm naar koud — de tweede hoofdwet ingebouwd in een lineaire wet.

Bewijs. Fenomenologisch, zoals de wet van Fick, en met dezelfde microscopische verantwoording: de moleculen (of de vrije elektronen van een metaal, of de roostertrillingen) dragen hun energie op een toevalswandeling mee, en er komt meer van de warme kant. ∎

Voorbeeld 25.3 (Geleidingscoëfficiënten)

Metalen (elektronen dragen zowel de warmte als de stroom — de geleidingen volgen elkaar): koper $400\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ , aluminium $240\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ , staal $50\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ . Isolerende vaste stoffen: beton $1.5\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ , glas $1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ , baksteen $0.8\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ , hout $0.15\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ . Vloeistoffen: water $0.6\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ . Gassen: lucht $0.026\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ — en de beste isolatoren, glaswol of schuim bij $0.04\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ , zijn grotendeels stilstaande lucht, zo ingesloten dat zij niet kan stromen. Vier ordes van grootte van koper tot lucht.

25.2 De energiebalans en de warmtevergelijking

Stelling 25.4 (Plaatselijke energiebalans)

In een vaste stof (of een fluïdum in rust) met dichtheid $\rho$ en soortelijke warmte $c$ , met een vermogen $p$ dat per volume-eenheid vrijkomt (joulewarmte, een scheikundige of kernreactie, opgenomen straling), geldt

\rho c\,\frac{\partial T}{\partial t} = -\operatorname{div}\vect{j}_Q + p , \qquad\text{in één dimensie}\quad \rho c\,\frac{\partial T}{\partial t} = -\frac{\partial j_Q}{\partial x} + p .

Bewijs. Eerste hoofdwet voor de plak tussen $x$ en $x + \dd x$ (doorsnede $S$ , vast volume, dus geen arbeid): haar inwendige energie $\rho c\,T\,S\,\dd x$ verandert in $\dd t$ met de ontvangen warmte, $[j_Q(x) - j_Q(x+\dd x)]S\,\dd t = -\partial_x j_Q\,\dd x\,S\,\dd t$ , plus $p\,S\,\dd x\,\dd t$ . In drie dimensies is de warmte die door een gesloten oppervlak een vast volume binnenkomt $-\iint\vect{j}_Q\cdot\dd\vect S = -\iiint\operatorname{div}\vect{j}_Q\,\dd\tau$ . ∎

Stelling 25.5 (Warmtevergelijking)

Voor gelijkmatige $\lambda$ , $\rho$ , $c$ geldt

\frac{\partial T}{\partial t} = a\,\Delta T + \frac{p}{\rho c}, \qquad a = \frac{\lambda}{\rho c} \quad\text{(de \emph{thermische diffusiviteit}, in $\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$)} .

Alles wat over de diffusievergelijking is gezegd, geldt: lineariteit, onomkeerbaarheid, gladstrijken, en de schalen $L \sim \sqrt{at}$ , $t \sim L^2/a$ .

Bewijs. Vul de wet van Fourier in de balans in: $\rho c\,\partial_t T = \lambda\Delta T + p$ . ∎

Voorbeeld 25.6 (Diffusiviteiten en tijden)

Koper $a = 1.1 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , lucht $2 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , beton en baksteen $\approx 5 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , water $1.4 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , hout $1 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ . Warmte doorloopt een centimeter koper in een seconde, een centimeter baksteen in drie minuten, een muur van $20\,\mathrm{cm}$ in een dag (en daarom vlakken dikke muren de dag-nachtcyclus af), de halve dikte van $1.5\,\mathrm{cm}$ van een biefstuk in een kwartier (baktijden schalen als het kwadraat van de dikte), en een kilometer rots in $10^{12}\,\mathrm{s}$ , dertigduizend jaar — de aarde koelt nog altijd af sinds haar vorming.

25.3 Stationair regime: warmteweerstanden

Propositie 25.7 (Warmteweerstand van een plaat)

In het stationaire regime zonder bronnen heeft een plaat met dikte $e$ , oppervlak $S$ en geleidingscoëfficiënt $\lambda$ , tussen de temperaturen $T_1$ en $T_2$ , een lineair profiel en draagt zij de flux

\Phi = \frac{T_1 - T_2}{R_{\text{th}}}, \qquad R_{\text{th}} = \frac{e}{\lambda S}\quad\text{(in $\mathrm{K}/\mathrm{W}$)} :

haar warmteweerstand. De temperatuur speelt de rol van potentiaal, de flux die van stroom: weerstanden in serie (lagen van een muur) tellen op, weerstanden in parallel (muur en raam) tellen hun omgekeerden op. Voor een cilinderschil (de isolatie van een buis) tussen de stralen $r_1 < r_2$ en met lengte $\ell$ is $R_{\text{th}} = \ln(r_2/r_1)/2\pi\lambda\ell$ ; voor een bolschil, $(1/r_1 - 1/r_2)/4\pi\lambda$ .

Bewijs. $\dd^2T/\dd x^2 = 0$ : affien profiel, $j_Q = \lambda(T_1 - T_2)/e$ gelijkmatig, $\Phi = j_QS$ . In cilindermeetkunde is $\Phi = -\lambda\,2\pi r\ell\,\dd T/\dd r$ bij elke $r$ hetzelfde (geen opeenhoping), zodat $T = A - (\Phi/2\pi\lambda\ell)\ln r$ ; in bolmeetkunde geeft $\Phi = -4\pi r^2\lambda\,\dd T/\dd r$ dat $T = A + \Phi/4\pi\lambda r$ . ∎

Propositie 25.8 (Uitwisseling met een fluïdum: de wet van Newton)

Een vast oppervlak op $T_{\text{s}}$ in aanraking met een fluïdum op $T_{\text{f}}$ (weg van het oppervlak) verliest de fluxdichtheid

j_Q = h\,(T_{\text{s}} - T_{\text{f}}) ,

waarin de warmteoverdrachtscoëfficiënt $h$ (in $\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ ) de geleiding door het dunne fluïdumlaagje dat aan de wand kleeft en de convectie die het vernieuwt samenvat: $h \approx 5$ – $25\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ voor lucht bij natuurlijke of lichte convectie, $50$ – $500\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ voor gedwongen lucht, $10^3$ – $10^4$ voor water. Het oppervlak voegt dan een filmweerstand $1/hS$ in serie met de muur toe.

Bewijs. Fenomenologisch: de beweging van het fluïdum wordt niet berekend, zij wordt samengevat in $h$ (gemeten, of gegeven door de correlaties van de vloeistofmechanica). ∎

Een samengestelde muur en zijn warmtekring: film, baksteen, wol, film in serie. Rechts: het temperatuurprofiel — vrijwel het hele verval valt over de laag met de grootste weerstand, de wol, hoewel zij de dunste is.

Voorbeeld 25.9 (Een muur en een raam)

Per vierkante meter: baksteen $20\,\mathrm{cm}$ bij $0.8\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ , $R = 0.25\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ ; de twee films, $1/8 + 1/25 = 0.165\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ : totaal $0.415$ , dat wil zeggen $U = 1/R = 2.4\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ en, voor een verschil van $20\,\mathrm{K}$ , $48\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ . Voeg $10\,\mathrm{cm}$ glaswol toe, $R = 2.5\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ : het totaal is $2.9$ , $U = 0.34\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ — zeven keer minder. Een enkele ruit glas, $4\,\mathrm{mm}$ bij $1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ , is helemaal film: $R = 0.004 + 0.165$ , $U \approx 6\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ ; een laag stilstaande lucht van $12\,\mathrm{mm}$ tussen twee ruiten voegt $0.012/0.026 = 0.46\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ toe en deelt het verlies door meer dan drie.

Definitie 25.10 (Biotgetal)

Voor een vaste stof van grootte $L$ die met een fluïdum uitwisselt, vergelijkt het biotgetal

\mathrm{Bi} = \frac{hL}{\lambda} = \frac{\text{inwendige weerstand } L/\lambda S}{\text{filmweerstand } 1/hS}

die twee. Is $\mathrm{Bi} \ll 1$ , dan is de vaste stof op elk ogenblik gelijkmatig van temperatuur en koelt zij als geheel af, exponentieel met de tijdconstante $\tau = \rho c V/hS$ ; is $\mathrm{Bi} \gg 1$ , dan staat het oppervlak op de temperatuur van het fluïdum en geleidt het inwendige in zijn eigen tempo $L^2/a$ .

25.4 Periodieke verwarming: de warmtegolf

Propositie 25.11 (Warmtegolf in een halfruimte)

Als het oppervlak $x = 0$ van een halfruimte op $T(0,t) = T_0 + \theta_0\cos\omega t$ wordt gehouden, is de temperatuur binnenin, in het ingestelde regime,

T(x,t) = T_0 + \theta_0\,\eu^{-x/\delta}\cos\Big(\omega t - \frac{x}{\delta}\Big), \qquad \delta = \sqrt{\frac{2a}{\omega}} :

een golf die met de snelheid $\omega\delta = \sqrt{2a\omega}$ naar binnen loopt en per radiaal fase over één indringdiepte $\delta$ wordt gedempt — met $\eu^{-2\pi} = 2 \times 10^{-3}$ per golflengte. Snelle trillingen dringen minder ver door dan trage.

Bewijs. Zoek $\underline T = \theta_0\eu^{\iu(\omega t - \underline k x)}$ : $\iu\omega = -a\underline k^2$ , dus $\underline k^2 = -\iu\omega/a$ , $\underline k = (1 - \iu)\sqrt{\omega/2a} = (1 - \iu)/\delta$ (de wortel die voor $x > 0$ uitdooft). Neem het reële deel. ∎

De warmtegolf op drie ogenblikken: de trilling aan het oppervlak dringt door als een gedempte golf, waarvan de amplitude als -x/ daalt (streepjes) en de fase x/ achterblijft — bij x = π is de temperatuur tegengesteld aan die van het oppervlak. — De warmtegolf op drie ogenblikken: de trilling aan het oppervlak dringt door als een gedempte golf, waarvan de amplitude als $\eu^{-x/\delta}$ daalt (streepjes) en de fase $x/\delta$ achterblijft — bij $x = \pi\delta$ is de temperatuur tegengesteld aan die van het oppervlak.

Voorbeeld 25.12 (De bodem, de kelder en de wijn)

Bodem, $a \approx 5 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ . Dagelijkse cyclus, $\omega = 2\pi/86\,400\,\mathrm{s}$ : $\delta = 12\,\mathrm{cm}$ — een halve meter diep is de dag verdwenen. Jaarlijkse cyclus: $\delta = 2.2\,\mathrm{m}$ ; op die diepte is de zomer-winterschommeling van $10\,\mathrm{K}$ gedaald tot $3.7\,\mathrm{K}$ en blijft zij één radiaal achter, twee maanden: de kelder is het koudst in maart en het warmst in september, en op $5\,\mathrm{m}$ scheelt hij $1\,\mathrm{K}$ met constant — de kelder die wijn bewaart. Dezelfde wiskunde geeft de indringdiepte van het elektromagnetisme (Hoofdstuk 14): dezelfde vergelijking, dezelfde $\sqrt{2/(\text{diffusiviteit} \times\omega)}$ .

25.5 Ribben

Propositie 25.13 (De koelrib)

Een dunne staaf of plaat (doorsnede $S$ , omtrek $p$ , geleidingscoëfficiënt $\lambda$ ) die bij $x = 0$ aan een muur op $T_0$ vastzit, in een fluïdum op $T_{\text{f}}$ met de coëfficiënt $h$ , heeft een overtemperatuur $\theta = T - T_{\text{f}}$ die voldoet aan

\frac{\dd^2\theta}{\dd x^2} = m^2\theta, \qquad m = \sqrt{\frac{hp}{\lambda S}} ;

voor een lange rib is $\theta = \theta_0\eu^{-mx}$ en voert de rib $\Phi = \sqrt{hp\lambda S}\,\theta_0$ af — evenveel als een kaal oppervlak van $\sqrt{\lambda S/hp} = 1/m$ lang, met een temperatuur die tot $\theta_0/\eu$ is gedaald bij $x = 1/m$ . Voor een rib van eindige lengte $L$ (adiabatische tip) is $\theta = \theta_0\cosh m(L-x)/\cosh mL$ en is haar rendement — de flux gedeeld door die van een isotherme rib op $\theta_0$ — gelijk aan $\eta = \tanh(mL)/mL$ .

Bewijs. Stationaire balans van de schijf $[x, x + \dd x]$ : geleid naar binnen, $-\lambda S\theta'(x)$ ; naar buiten, $-\lambda S\theta'(x + \dd x)$ ; verloren aan het fluïdum, $hp\,\theta\,\dd x$ : $\lambda S\theta'' = hp\theta$ . De flux aan de voet is $-\lambda S\theta'(0)$ : $\lambda Sm\theta_0$ voor de lange rib, $\lambda Sm\theta_0\tanh mL$ voor de eindige, te vergelijken met $hpL\theta_0$ . Het biotgetal over de dikte van de rib, $ht/\lambda$ , moet klein zijn voor de eendimensionale behandeling. ∎

Links: de temperatuur langs een rib, voor een lange rib en twee eindige (adiabatische tip) — voorbij mx 2 voegt een rib weinig toe. Rechts: de balans van een schijf: geleiding langs de rib, convectie naar buiten door de omtrek. — Links: de temperatuur langs een rib, voor een lange rib en twee eindige (adiabatische tip) — voorbij $mx \approx 2$ voegt een rib weinig toe. Rechts: de balans van een schijf: geleiding langs de rib, convectie naar buiten door de omtrek.

Voorbeeld 25.14 (Een koellichaam)

Aluminium ribben van $1\,\mathrm{mm}$ dik ( $p/S \approx 2/t = 2000\,\mathrm{m}^{-1}$ ), $30\,\mathrm{mm}$ hoog, in gedwongen lucht $h = 50\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ : $m = \sqrt{2h/\lambda t} = 20\,\mathrm{m}^{-1}$ , $mL = 0.6$ , $\eta = 0.89$ — de ribben werken op $89\%$ van hun oppervlak. Dertig ervan, $60\,\mathrm{mm}$ breed, bieden $0.11\,\mathrm{m}^{2}$ waar het kale vierkant van $60\,\mathrm{mm}$ $0.0036\,\mathrm{m}^{2}$ bood: een weerstand $1/\eta hA = 0.2\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ in plaats van $5.6\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ ; $100\,\mathrm{W}$ verhogen de voet met $20\,\mathrm{K}$ in plaats van $560\,\mathrm{K}$ . Langere ribben winnen weinig ( $\tanh$ verzadigt), dunnere verliezen rendement: $mL \approx 1$ is het compromis van de ingenieur.

25.6 Entropie die door geleiding wordt gemaakt

Propositie 25.15 (Entropieproductie)

Een flux $\Phi$ die van een lichaam op $T_{\text{h}}$ naar een lichaam op $T_{\text{c}} < T_{\text{h}}$ door een stationaire muur wordt geleid, maakt entropie met het tempo

\dot S_{\text{c}} = \Phi\Big(\frac{1}{T_{\text{c}}} - \frac{1}{T_{\text{h}}}\Big) > 0 ;

plaatselijk maakt geleiding $\sigma_s = \lambda\,(\vect{\operatorname{grad}}\,T)^2/T^2 \ge 0$ per volume-eenheid en per tijdseenheid — nul alleen waar de temperatuur gelijkmatig is. Warmtegeleiding is onomkeerbaar: dezelfde energie, geleverd bij een lagere temperatuur, kan minder arbeid verrichten.

Bewijs. De toestand van de muur verandert niet, dus haar entropie is constant: het warme lichaam verliest $\Phi/T_{\text{h}}$ per tijdseenheid, het koude wint $\Phi/T_{\text{c}}$ ; het verschil wordt gemaakt. Plaatselijk geeft de entropiebalans $\partial_t(\rho s) + \operatorname{div}(\vect{j}_Q/T) = \sigma_s$ met $\rho T\partial_t s = -\operatorname{div}\vect{j}_Q$ dat $\sigma_s = \vect{j}_Q\cdot\vect{\operatorname{grad}}(1/T) = -\vect{j}_Q\cdot \vect{\operatorname{grad}}\,T/T^2 = \lambda(\vect{\operatorname{grad}}\,T)^2/T^2$ . ∎

Methode 25.16 (Geleidingsschattingen)

(1) Stationair: bouw de warmtekring — platen $e/\lambda S$ , films $1/hS$ , schillen $\ln(r_2/r_1)/2\pi\lambda\ell$ ; serie en parallel. (2) Overgangsverschijnsel: $\mathrm{Bi} = hL/\lambda$ ; is die klein, dan $\tau = \rho cV/hS$ ; is hij groot, dan $t \sim L^2/a$ . (3) Periodiek: $\delta = \sqrt{2a/\omega}$ , demping $\eu^{-x/\delta}$ , achterstand $x/\delta$ . (4) Bronnen: $p$ per volume-eenheid, parabolische profielen. (5) Ribben: $m = \sqrt{hp/\lambda S}$ , $\eta = \tanh(mL)/mL$ . (6) Entropie: $\Phi(1/T_{\text{c}} - 1/T_{\text{h}})$ .

25.7 Opgaven

Oefening 25.1 ★

Een bakstenen muur van $20\,\mathrm{cm}$ dik ( $\lambda = 0.8\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ ), $100\,\mathrm{m}^{2}$ , tussen $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ binnen en $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ buiten (oppervlakken op die temperaturen): fluxdichtheid, totale flux; met $10\,\mathrm{cm}$ glaswol ( $0.04\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ ) erbij.

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.1.

$j = \lambda\Delta T/e = 80\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; $8\,\mathrm{kW}$ ; met wol $R = 0.25 + 2.5 = 2.75\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ : $7.3\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , $730\,\mathrm{W}$ .

Oefening 25.2 ★

Diffusiviteiten: koper ( $\lambda = 400$ , $\rho = 8900$ , $c = 385\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ ), beton ( $1.5$ , $2300$ , $900$ ), hout ( $0.15$ , $600$ , $2500$ ). Tijden waarin warmte $1\,\mathrm{cm}$ en $20\,\mathrm{cm}$ van elk doorloopt; de aardkorst van $30\,\mathrm{km}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.2.

$a$ : $1.2 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , $7 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , $1 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ . $1\,\mathrm{cm}$ : $0.9\,\mathrm{s}$ , $140\,\mathrm{s}$ , $1000\,\mathrm{s}$ ; $20\,\mathrm{cm}$ : $6\,\mathrm{min}$ , $15\,\mathrm{h}$ , $5\,\mathrm{dagen}$ ; korst ( $a \sim 1 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ): $10^{15}\,\mathrm{s}$ , dertig miljoen jaar.

Oefening 25.3 ★

Enkel glas ( $4\,\mathrm{mm}$ , $\lambda = 1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ ) met films $h_{\text{i}} = 8$ , $h_{\text{o}} = 25\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ ; dubbel glas met een laag stilstaande lucht van $12\,\mathrm{mm}$ ( $0.026\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ ): $U$ -waarden en fluxen voor $20\,\mathrm{K}$ . Waarom is werkelijk dubbel glas ongeveer twee keer slechter dan deze schatting, en wat doen argon en laagemissieve coatings?

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.3.

Enkel: $R = 0.169$ , $U = 5.9\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ , $118\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; dubbel: $R = 0.63$ , $U = 1.6\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ , $32\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ . De spleet convecteert en de ruiten wisselen door straling uit (ongeveer de helft van de werkelijke overdracht); argon geleidt minder en convecteert minder, een laagemissieve coating onderdrukt de straling.

Oefening 25.4 ★

Koken: $a = 1.4 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ voor vlees. Tijd waarin het midden van een biefstuk van $3\,\mathrm{cm}$ de pan voelt; van een braadstuk van $12\,\mathrm{cm}$ . Een kalkoen die twee keer zo zwaar is: hoeveel langer (de afmeting schaalt als de derdemachtswortel uit de massa)?

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.4.

$L^2/a$ met de halve dikte: $27\,\mathrm{min}$ ; braadstuk: $16\times$ , $7\,\mathrm{h}$ ; $t \propto L^2 \propto m^{2/3}$ : $\times 1.6$ .

Oefening 25.5 ★★

Inwendige bron. Een cilinder met straal $R$ geeft $p$ per volume-eenheid af; oppervlak op $T_{\text{s}}$ . (a) Toon aan dat $T(r) = T_{\text{s}} + p(R^2 - r^2)/4\lambda$ . (b) Koperdraad, $R = 1\,\mathrm{mm}$ , $j = 1 \times 10^{7}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$ , $\gamma = 6 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ : $p$ en het verschil tussen midden en oppervlak. (c) Kernbrandstofstaaf, $R = 5\,\mathrm{mm}$ , $p = 3 \times 10^{8}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$ , $\lambda = 3\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ : dezelfde vraag. (d) Bespreek.

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.5.

(a) $(rT')'/r = -p/\lambda$ met $T'(0) = 0$ . (b) $p = j^2/\gamma = 1.7 \times 10^{6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$ ; $pR^2/4\lambda = 1 \times 10^{-3}\,\mathrm{K}$ . (c) $625\,\mathrm{K}$ . (d) Een draad is isotherm; het midden van een brandstoftablet ligt honderden kelvin boven zijn oppervlak — de vermogensdichtheid van een reactor wordt door geleiding in de brandstof begrensd.

Oefening 25.6 ★★

De grond. (a) Leid $\delta = \sqrt{2a/\omega}$ af. (b) Bodem, $a = 5 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ : dagelijkse en jaarlijkse indringdiepten. (c) Diepte waarop de jaarlijkse amplitude een tiende van die aan het oppervlak is; fase-achterstand daar. (d) Een waterleiding mag niet bevriezen waar de wintertemperatuur aan het oppervlak tot $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ zakt rond een gemiddelde van $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ : kleinste diepte (jaargolf).

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.6.

(a) Propositie 25.11. (b) $12\,\mathrm{cm}$ ; $2.2\,\mathrm{m}$ . (c) $\delta\ln 10 = 5.2\,\mathrm{m}$ ; achterstand $2.3\,\mathrm{rad}$ , $130$ dagen. (d) De amplitude van $20\,\mathrm{K}$ moet halveren: $x = \delta\ln 2 = 1.5\,\mathrm{m}$ .

Oefening 25.7 ★★

Biot. (a) Koperen bol, straal $1\,\mathrm{cm}$ , in lucht ( $h = 10\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ ): biotgetal, tijdconstante van zijn afkoeling. (b) Een aardappel ( $\lambda = 0.5\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ , $a = 1.4 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , straal $3\,\mathrm{cm}$ ) in een oven met $h = 20\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ : biotgetal; welke tijd bepaalt het garen? (c) Waarom wordt de kop van een thermokoppel klein gemaakt? (d) Waarom koelt een kop koffie sneller af als men roert of blaast — welke weerstand verandert er?

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.7.

(a) $\mathrm{Bi} = hR/3\lambda \approx 10^{-4}$ ; $\tau = \rho cR/3h = 1100\,\mathrm{s}$ . (b) $\mathrm{Bi} = 1.2$ : geen van beide grensgevallen; de inwendige tijd $R^2/a \approx 6000\,\mathrm{s}$ bepaalt. (c) Kleine $R$ : minuscule $\tau$ en klein biotgetal. (d) De filmweerstand $1/h$ , de overheersende, daalt.

Oefening 25.8 ★★

Een rib. (a) Leid $\theta'' = m^2\theta$ en de oplossing voor de lange rib af. (b) Aluminium rib, $1\,\mathrm{mm}$ dik, $30\,\mathrm{mm}$ hoog, natuurlijke convectie $h = 20\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ : $m$ , $mL$ , rendement. (c) Met welke factor vermenigvuldigt de rib het uitwisselingsoppervlak van haar voetafdruk, en de flux? (d) Waarom is een zeer lange of zeer dunne rib metaalverspilling?

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.8.

(a) Propositie 25.13. (b) $m = \sqrt{2h/\lambda t} = 13\,\mathrm{m}^{-1}$ , $mL = 0.39$ , $\eta = 0.95$ . (c) Oppervlak $\times 2L/t = 60$ , flux $\times 57$ . (d) Voorbij $mL \approx 2$ staat de extra lengte op de temperatuur van het fluïdum; een dunnere rib heeft een grotere $m$ en een lager rendement.

Oefening 25.9 ★★

Buizen. (a) Leid de weerstand van een cilinderschil af. (b) Een stoomleiding, buitenstraal $5\,\mathrm{cm}$ op $150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , omwikkeld met $5\,\mathrm{cm}$ glaswol, lucht op $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ met $h = 10\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ eromheen: verlies per meter, vergeleken met de kale buis. (c) Toon aan dat de totale weerstand van isolatie plus film een minimum heeft bij de kritieke straal $r_{\text{c}} = \lambda/h$ . (d) Koelt of verwarmt de mantel van een elektrische draad met straal $1\,\mathrm{mm}$ en een kunststofmantel ( $\lambda = 0.2\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ ) het koper?

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.9.

(a) Propositie 25.7. (b) Wol $\ln 2/2\pi\lambda = 2.76\,\mathrm{K}\,\mathrm{m}/\mathrm{W}$ , buitenfilm $1/2\pi r_2h = 0.16$ : $45\,\mathrm{W}/\mathrm{m}$ ; kaal, $2\pi r_1h\Delta T = 410\,\mathrm{W}/\mathrm{m}$ . (c) $\dd/\dd r[\ln(r/r_1)/2\pi\lambda + 1/2\pi hr] = 0$ bij $r = \lambda/h$ . (d) $r_{\text{c}} = 2\,\mathrm{cm} > 1\,\mathrm{mm}$ : de mantel vergroot het verlies — hij koelt het koper.

Oefening 25.10 ★★★

Entropie. De muur van Oefening 25.1 (kaal) tussen $293\,\mathrm{K}$ en $273\,\mathrm{K}$ . (a) Entropie die per seconde wordt gemaakt. (b) Bereken $\int\sigma_s\,\dd V$ met het lineaire profiel en ga na dat het overeenstemt. (c) Gemaakte entropie na isolatie. (d) De arbeid die een omkeerbare machine uit de $8\,\mathrm{kW}$ tussen deze temperaturen had kunnen halen, en wat daarvan na de muur overblijft.

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.10.

(a) $8000(1/273 - 1/293) = 2.0\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ . (b) $\sigma_s = \lambda T'^2/T^2$ met $T' = 100\,\mathrm{K}/\mathrm{m}$ ; $\int\sigma_s\,\dd x = \lambda T'(1/T_{\text{c}} - 1/T_{\text{h}}) = j(1/T_{\text{c}} - 1/T_{\text{h}})$ ; maal $100\,\mathrm{m}^{2}$ : hetzelfde. (c) $0.18\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ . (d) $\Phi(1 - T_{\text{c}}/T_{\text{h}}) = 550\,\mathrm{W}$ ; niets — de warmte zit nu op $T_{\text{c}}$ ( $T_{\text{c}}\dot S_{\text{c}} = 550\,\mathrm{W}$ ).

Oefening 25.11 ★★★

Waarom metaal koud aanvoelt. (a) Bereken voor de warmtegolf de flux aan het oppervlak $j_Q(0,t)$ en toon aan dat hij $\pi/4$ op de oppervlaktetemperatuur voorloopt, met de amplitude $\sqrt{\lambda\rho c\,\omega}\,\theta_0$ . De grootheid $b = \sqrt{\lambda\rho c}$ is de effusiviteit. (b) Twee halfruimten op $T_1$ en $T_2$ worden in aanraking gebracht: neem aan dat elk daarna een erfc-profiel volgt met de gemeenschappelijke oppervlaktetemperatuur $T_{\text{c}}$ , en toon met de continuïteit van de flux bij het contact aan dat $T_{\text{c}} = (b_1T_1 + b_2T_2)/(b_1 + b_2)$ . (c) Huid ( $b \approx 1000\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}/\mathrm{s}^{1/2}$ , $33\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ) die koper ( $b = 37000$ ) of hout ( $b = 400$ ) op $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ aanraakt: contacttemperaturen. (d) Waarom voelt een tegelvloer kouder dan een tapijt op dezelfde temperatuur, en waarom is het gevoel maar tijdelijk?

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.11.

(a) $j_Q(0,t) = -\lambda\partial_xT = \lambda\theta_0\sqrt2/\delta\,\cos(\omega t + \pi/4) = \sqrt{\lambda\rho c\omega}\,\theta_0\cos(\omega t + \pi/4)$ . (b) De flux van elke kant bij het contact is $b_i|T_i - T_{\text{c}}|/\sqrt{\pi t}$ ; gelijkstellen geeft $T_{\text{c}} = (b_1T_1 + b_2T_2)/(b_1 + b_2)$ . (c) Koper $20.3\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , hout $29\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ . (d) Tegel $b \approx 1500$ , tapijt $\approx 100$ ; de formule geldt zolang beide lichamen halfoneindig lijken; zodra de warmtefronten de bloedvoorziening en de verre zijde van het voorwerp bereiken, hangt de stationaire toestand af van de werkelijk geleverde warmte.

Oefening 25.12 ★★★

Een plaat afkoelen. Een plaat $-L < x < L$ op $T_0$ wordt op $t = 0$ in een bad op $T_{\text{f}}$ gedompeld met $h \to \infty$ . (a) Toon aan dat $\theta = T - T_{\text{f}}$ de oplossingen $\cos(k_nx)\,\eu^{-ak_n^2t}$ toelaat met $k_n = (2n+1)\pi/2L$ . (b) Ontwikkel de beginvoorwaarde in een fourierreeks op deze modes en schrijf de volledige oplossing. (c) Welke mode overleeft na de eerste ogenblikken, en wat is de tijdconstante? (d) Tijd waarin het midden van een biefstuk van $3\,\mathrm{cm}$ ( $a = 1.4 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ) tot op $1\%$ bij het bad komt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.12.

(a) Vul in; $\theta(\pm L) = 0$ geeft $\cos k_nL = 0$ . (b) $a_n = 4\theta_0(-1)^n/(2n+1)\pi$ ; $\theta = \sum a_n\cos(k_nx)\eu^{-ak_n^2t}$ . (c) $n = 0$ , $\tau = 4L^2/\pi^2a$ . (d) $\tau = 650\,\mathrm{s}$ ; midden $(4/\pi)\eu^{-t/\tau} = 0.01$ : $t = 4.8\tau \approx 52\,\mathrm{min}$ .

25.8 Vraagstuk: een huis isoleren, een processor koelen

Probleem 25.1

Weekendvraagstuk — geleiding op de schaal van een gebouw en van een chip

Gegevens: baksteen $\lambda = 0.8\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ , $\rho = 1800\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , $c = 840\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ ; glaswol $0.04\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ ; glas $1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ ; stilstaande lucht $0.026\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ ; aluminium $240\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ , $\rho = 2700\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , $c = 900\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ ; silicium $150\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ ; warmtegeleidende pasta $5\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ ; bodem $a = 5 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , $\lambda = 1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ ; films $h_{\text{i}} = 8$ , $h_{\text{o}} = 25\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ .

Deel I — Het huis. Een huis heeft $100\,\mathrm{m}^{2}$ muren (baksteen $20\,\mathrm{cm}$ ) en $20\,\mathrm{m}^{2}$ enkel glas ( $4\,\mathrm{mm}$ ); binnen $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , buiten $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .

Weerstand per vierkante meter van de baksteen alleen; fluxdichtheid als haar vlakken op de twee temperaturen stonden.
Met de twee films: $R$ en $U = 1/R$ per vierkante meter; idem met $10\,\mathrm{cm}$ glaswol erbij.
$U$ van het enkele glas; van een dubbel glas met $12\,\mathrm{mm}$ stilstaande lucht.
Totaal verlies van het huis vóór en na het isoleren van de muren en het verdubbelen van de ramen.
Over een stookseizoen van $2500$ graaddagen (de integraal van het temperatuurverschil over het seizoen, in $\mathrm{K}\,\mathrm{dag}$ ), verloren energie vóór en na, in kilowattuur.
Temperatuur van het binnenoppervlak van de muur, kaal en geïsoleerd; waarom voelt een koude muur oncomfortabel en beschimmelt hij?
Diffusietijd door de baksteen; wat doet die met de dag-nachtcyclus?

Deel II — De grond onder het huis.

Leid de indringdiepte $\delta = \sqrt{2a/\omega}$ van een warmtegolf af.
Dagelijkse en jaarlijkse $\delta$ in de bodem.
Diepte waarop de dagelijkse schommeling tot $1\%$ is gedaald; jaarlijkse amplitude op $2.2\,\mathrm{m}$ en op $5\,\mathrm{m}$ voor een oppervlakteschommeling van $10\,\mathrm{K}$ .
Fase-achterstand op $2.2\,\mathrm{m}$ , in dagen: wanneer is de kelder het koudst?
Warmteflux aan het oppervlak van de jaargolf (amplitude en fase); vergelijk haar amplitude met de geothermische flux $0.06\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ .
De geothermische gradiënt is $30\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$ : ga hem na met de flux en $\lambda$ , en verklaar waarom hij in de seizoenen van de kelder onzichtbaar is.

Deel III — De processor. Een chip voert $100\,\mathrm{W}$ af in een die van $1\,\mathrm{cm}^{2}$ , $0.5\,\mathrm{mm}$ dik; een laag pasta van $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ over $10\,\mathrm{cm}^{2}$ verbindt hem met een aluminium koellichaam: voet $60\,\mathrm{mm}$ $\times$ $60\,\mathrm{mm}$ $\times$ $5\,\mathrm{mm}$ , dertig ribben van $60\,\mathrm{mm}$ breed, $30\,\mathrm{mm}$ hoog, $1\,\mathrm{mm}$ dik; een ventilator geeft $h = 50\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ ; omgeving $25\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .

Fluxdichtheid door de die; weerstand van de die.
Weerstand van de pasta; en als een luchtspleet van $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ haar verving.
Ribparameter $m$ , $mL$ , rendement; ga het biotgetal over de dikte van de rib na.
Totaal ribbenoppervlak en de weerstand van de ribben; weerstand van de voet (geleiding door $5\,\mathrm{mm}$ ); junctietemperatuur.
Idem zonder ribben (kaal vierkant van $60\,\mathrm{mm}$ ): besluit.
De ventilator valt stil ( $h = 10\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ ): junctietemperatuur; wat doet de processor bij $100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ?
Massa en warmtecapaciteit van het koellichaam; zijn tijdconstante $RC$ ; en die van de die alleen ( $0.1\,\mathrm{g}$ , $700\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ ).
Waarom hebben goede koellichamen een koperen voet of heatpipes?

Deel IV — Entropie.

Entropie die per seconde wordt gemaakt door de kale schil van het huis (vraag 4) tussen $293\,\mathrm{K}$ en $273\,\mathrm{K}$ ; na isolatie.
Entropie die wordt gemaakt doordat de $100\,\mathrm{W}$ van de chip van de junctie naar de omgeving gaat; en door de omzetting van elektrische arbeid in warmte in de die.
Toon aan dat voor een plaat $\int\sigma_s\,\dd V = \Phi(1/T_{\text{c}} - 1/T_{\text{h}})$ .
Vat in vijf regels samen wat een muur, een rib, een kelder en een chip bepaalt.

Oplossing

Oplossing van Probleem 25.1.

1. $0.25\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ ; $80\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ .

2. $R = 0.415$ , $U = 2.4\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ ; geïsoleerd $R = 2.9$ , $U = 0.34\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ .

3. $5.9\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ ; $1.6\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ .

4. $4800 + 2360 = 7.2\,\mathrm{kW}$ ; $680 + 640 = 1.3\,\mathrm{kW}$ .

5. $UA = 358\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ : $358 \times 2500 \times 86400 = 7.7 \times 10^{10}\,\mathrm{J} = 21\,500\,\mathrm{kWh}$ ; daarna, $66\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ : $4000\,\mathrm{kWh}$ .

6. $20 - 48/8 = 14\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; $20 - 6.8/8 = 19.2\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; een koude muur straalt minder naar het lichaam en kan het dauwpunt bereiken.

7. $a = 5.3 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ; $e^2/a = 7.5 \times 10^{4}\,\mathrm{s} \approx 21\,\mathrm{h}$ : de muur middelt de dag uit (de dagelijkse $\delta = 12\,\mathrm{cm}$ is kleiner dan haar dikte).

8. Zoek $\theta_0\eu^{\iu(\omega t - \underline kx)}$ : $\underline k = (1 - \iu)/\delta$ .

9. $12\,\mathrm{cm}$ ; $2.2\,\mathrm{m}$ .

10. $4.6\delta = 54\,\mathrm{cm}$ ; $3.7\,\mathrm{K}$ ; $1.1\,\mathrm{K}$ .

11. Eén radiaal, $58$ dagen: half maart (het minimum aan het oppervlak valt half januari).

12. Amplitude $\lambda\theta_0\sqrt2/\delta = 6.3\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , voorlopend met $\pi/4$ ( $45$ dagen); honderd keer de geothermische flux.

13. $\lambda \times 0.03\,\mathrm{K}/\mathrm{m} \approx 0.03\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , de juiste orde; het is een gestage $0.1\,\mathrm{K}$ over de hoogte van de kelder, begraven in de seizoensschommeling.

14. $1 \times 10^{6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; $R = 0.033\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ .

15. $0.01\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ ; lucht: $1.9\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ , $190\,\mathrm{K}$ .

16. $m = 20\,\mathrm{m}^{-1}$ , $mL = 0.61$ , $\eta = 0.89$ ; $\mathrm{Bi} = ht/2\lambda = 10^{-4}$ .

17. $A = 0.108\,\mathrm{m}^{2}$ ; $R_{\text{ribben}} = 1/\eta hA = 0.21\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ ; voet $0.006\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ ; totaal $0.26\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ : $26\,\mathrm{K}$ , junctie op $51\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .

18. $1/hS = 5.6\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ : $560\,\mathrm{K}$ — onmogelijk.

19. $R_{\text{ribben}} \approx 0.94\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ , totaal $\approx 1\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ : $125\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ — hij knijpt terug en valt dan uit.

20. $V = 7.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{3}$ , $0.19\,\mathrm{kg}$ , $C = 175\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ ; $\tau = RC \approx 46\,\mathrm{s}$ ; die: $C = 0.07\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ , $\tau \approx 3\,\mathrm{ms}$ .

21. De warmte moet zich van $1\,\mathrm{cm}^{2}$ tot $36\,\mathrm{cm}^{2}$ spreiden: koper halveert die spreidingsweerstand; een heatpipe verplaatst warmte door verdamping en condensatie met een werkzame geleiding die honderd keer die van koper is.

22. $7200(1/273 - 1/293) = 1.8\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ ; $0.33\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ .

23. $100(1/298 - 1/324) = 0.027\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ ; $100/324 = 0.31\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ — tien keer meer: arbeid in warmte omzetten is de grote onomkeerbaarheid.

24. $\int\lambda T'^2/T^2\,\dd x = \lambda T'\,[-1/T] = j(1/T_{\text{c}} - 1/T_{\text{h}})$ .

25. Muur: weerstanden in serie, de slechtste geleider regeert. Rib: $m = \sqrt{hp/\lambda S}$ , $mL \approx 1$ . Kelder: $\delta = \sqrt{2a/\omega}$ , demping en achterstand samen. Chip: een keten van weerstanden van die tot lucht, waarbij het oppervlak van de ribben het werk doet. Overal: warmte stroomt bergaf, en maakt daarbij entropie.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 393 begrippen in de begrippenlijst