Universitaire natuurkunde — jaar 2 · Bachelor Year 2

23De laser: gestimuleerde emissie en gaussische bundels

Een rode stip op een collegescherm, de streepjescodelezer aan de kassa, de bundel die een schijf leest, een autokoets last, het internet onder de oceanen draagt, een hoornvlies verbetert en de afstand tot de maan op een millimeter meet: elk daarvan is een laser, een lichtbron anders dan welke vlam of lamp ook. Haar licht is één kleur tot op een deel op een miljard, blijft over een kamer in een bundel van millimeters, en kan tot een vlek van enkele golflengten breed worden gebundeld, waar haar bestralingssterkte die van het zonneoppervlak een miljoen keer overtreft. Niets daarvan komt van een nieuw soort atoom: het komt van een proces dat Einstein in 1917 aanwees — gestimuleerde emissie, de uitzending van een foton dat gelijk is aan een reeds aanwezig foton — en van het zo schikken van de materie dat dit proces het van de absorptie wint, waarna de versterker tussen twee spiegels wordt geplaatst zodat hij zichzelf voedt. Dit hoofdstuk bouwt de laser in drie stappen: hoe licht en een bevolking atomen energie uitwisselen (de coëfficiënten van Einstein), wanneer de uitwisseling versterkt (bevolkingsinversie en versterking), en wanneer de versterker een oscillator wordt (de holte, haar drempel en haar modes). Het eindigt met de vorm van de bundel die eruit komt, de gaussische bundel, waarvan de taille en de divergentie bepalen wat een laser op afstand en in een brandpunt kan.

Een optische tafel: laser, spiegels, lenzen en een bundel die over de hele kamer een dunne lijn blijft — de gerichtheid die geen lamp kan geven.

23.1 Licht en materie: de drie processen

Definitie 23.1 (Absorptie, spontane en gestimuleerde emissie)

Beschouw atomen met twee energieniveaus $E_1 < E_2$ , bevolkingen (aantal per volume) $N_1$ , $N_2$ , en licht met frequentie $\nu$ waarvoor $h\nu = E_2 - E_1$ , met spectrale energiedichtheid $u(\nu)$ (energie per volume-eenheid en per frequentie-eenheid). Drie processen wisselen energie uit:

absorptie: een atoom in $E_1$ neemt een foton op en stijgt naar $E_2$ , met de snelheid $B_{12}\,u(\nu)\,N_1$ per volume-eenheid en per tijdseenheid;
spontane emissie: een atoom in $E_2$ valt uit zichzelf naar $E_1$ terug en zendt daarbij een foton in een willekeurige richting met een willekeurige fase uit, met de snelheid $A_{21}N_2$ — $1/A_{21} = \tau$ is de levensduur van het niveau;
gestimuleerde emissie: een foton met frequentie $\nu$ dat een atoom in $E_2$ passeert, brengt het tot vallen, waarbij een tweede foton wordt uitgezonden dat gelijk is aan het eerste (dezelfde frequentie, richting, fase en polarisatie), met de snelheid $B_{21}\,u(\nu)\,N_2$ .

$A_{21}$ , $B_{12}$ , $B_{21}$ zijn de coëfficiënten van Einstein van de overgang.

Propositie 23.2 (Betrekkingen van Einstein)

Voor niet-ontaarde niveaus geldt

B_{12} = B_{21} \equiv B, \qquad \frac{A_{21}}{B_{21}} = \frac{8\pi h\nu^3}{c^3}.

Gestimuleerde emissie en absorptie hebben dezelfde coëfficiënt; de spontane snelheid groeit als $\nu^3$ ten opzichte van de gestimuleerde.

Bewijs. Breng de atomen in evenwicht met straling bij temperatuur $T$ . Twee gegevens worden aan latere hoofdstukken ontleend: de bevolkingen van twee niveaus in evenwicht staan in de verhouding $N_2/N_1 = \eu^{-h\nu/k_BT}$ (de boltzmannfactor, Hoofdstuk 29), en de evenwichtsstraling heeft de spectrale dichtheid van Planck $u(\nu) = (8\pi h\nu^3/c^3)/(\eu^{h\nu/k_BT} - 1)$ (Hoofdstuk 26). In evenwicht zijn de bevolkingen van de niveaus stationair: $B_{12}uN_1 = A_{21}N_2 + B_{21}uN_2$ , dus

u = \frac{A_{21}}{B_{12}\,N_1/N_2 - B_{21}} = \frac{A_{21}}{B_{12}\eu^{h\nu/k_BT} - B_{21}}.

Dit moet bij elke $T$ gelijk zijn aan de uitdrukking van Planck: de limiet $T \to \infty$ (waar $u \to \infty$ ) dwingt $B_{12} = B_{21}$ af, en de vergelijking geeft dan $A_{21}/B_{21} = 8\pi h\nu^3/c^3$ . De coëfficiënten zijn eigenschappen van het atoom, zodat de betrekkingen ook buiten het evenwicht gelden. ∎

Opmerking 23.3 (Waarom lampen niet versterken)

In een gas bij $300\,\mathrm{K}$ is voor een zichtbare overgang ( $h\nu \approx 2\,\mathrm{eV}$ , $k_BT \approx 0.025\,\mathrm{eV}$ ) $N_2/N_1 = \eu^{-80} \approx 10^{-35}$ : vrijwel geen enkel atoom is aangeslagen, en licht wordt alleen opgenomen. Een ontlading of een vlam bevolkt $E_2$ , maar nog altijd met $N_2 < N_1$ , en elk uitgezonden foton wordt door absorpties overtroffen; bovendien is de verhouding van spontane tot gestimuleerde emissie in evenwicht, $A_{21}/(B_{21}u) = \eu^{h\nu/k_BT} - 1$ , in het zichtbare astronomisch groot — het licht van een lamp is spontaan: willekeurige fasen, alle richtingen, de volle breedte van de lijn. Alleen bij radio- en microgolffrequenties ( $h\nu \ll k_BT$ ) kan gestimuleerde emissie van nature meedingen; het eerste toestel van deze aard was dan ook de maser, bij $24\,\mathrm{GHz}$ (1954), vóór de optische laser (1960).

De drie processen tussen twee niveaus: absorptie neemt een foton weg; spontane emissie voegt een foton met willekeurige fase en richting toe; gestimuleerde emissie voegt een foton toe dat gelijk is aan het invallende — een kopie.

23.2 Versterking: bevolkingsinversie en versterking

Propositie 23.4 (Versterking van een midden)

Een bundel met intensiteit $I$ bij de frequentie $\nu$ die het midden doorloopt, wint energie door gestimuleerde emissie en verliest energie door absorptie (spontane emissie gaat alle richtingen uit en draagt nauwelijks bij aan de bundel). Over een lengte $\dd z$ geldt

\dd I = \sigma\,(N_2 - N_1)\,I\,\dd z, \qquad I(z) = I(0)\,\eu^{g z}, \qquad g = \sigma(N_2 - N_1),

waarin $\sigma$ (een oppervlak, de werkzame doorsnede van de overgang, $\sigma \propto B\,h\nu/c$ ) de sterkte van de overgang meet. Het midden versterkt ( $g > 0$ ) alleen als

N_2 > N_1 :

een bevolkingsinversie. Zonder die ( $N_2 < N_1$ , het geval van elk midden in evenwicht) wordt de bundel opgenomen.

Bewijs. Per volume-eenheid en per tijdseenheid voegen $B u (N_2 - N_1)$ overgangen een foton $h\nu$ aan de bundel toe (of onttrekken het eraan); met $u = I/c$ (per frequentie-eenheid, over de breedte van de lijn) is het gewonnen vermogen per volume-eenheid $B h\nu (N_2 - N_1) I/c$ , en dat is $\dd I/\dd z$ ; definieer $\sigma = Bh\nu/c$ (maal de lijnvormfactor). ∎

Opmerking 23.5 (Waarom twee niveaus niet kunnen worden geïnverteerd)

Pomp een tweeniveaustelsel zo hard als u wilt met licht bij $\nu$ : de pomp wordt opgenomen wanneer $N_1 > N_2$ en stimuleert emissie wanneer $N_2 > N_1$ , en de bevolkingen naderen hoogstens tot gelijkheid, $N_2 = N_1$ , waar het midden doorzichtig is maar niets wint. Een inversie vergt ten minste drie niveaus: pomp van het grondniveau naar een kortlevend niveau dat snel naar het bovenste laserniveau vervalt, dat langlevend (metastabiel) is en daarom bevolking opslaat. In een drieniveauschema (robijn, de eerste laser) is het onderste laserniveau de grondtoestand, zodat meer dan de helft van de atomen moet worden opgetild vóór de inversie: de pomp is bruut. In een vierniveauschema (He–Ne, Nd:YAG, de meeste lasers) is het onderste laserniveau een aangeslagen niveau dat zich snel naar de grondtoestand leegt; het is te allen tijde vrijwel leeg, en een kleine bevolking in het bovenste niveau is al een inversie — de drempel is laag.

Pompschema’s. Links: drie niveaus — de laserovergang eindigt op het grondniveau, dat voor meer dan de helft moet worden geleegd. Rechts: vier niveaus — het onderste laserniveau loopt meteen leeg naar de grondtoestand, zodat een kleine bovenbevolking al een inversie is.

Propositie 23.6 (Verzadiging van de versterking)

De inversie wordt in stand gehouden door een pomp die atomen aan het bovenste niveau levert met de snelheid $R$ per volume-eenheid, tegen het verval $1/\tau$ en de gestimuleerde emissie $\sigma I (N_2 - N_1)/h\nu$ in. In een vierniveaumidden ( $N_1 \approx 0$ ) is de stationaire toestand

N_2 = \frac{R\tau}{1 + I/I_{\text{s}}}, \qquad g = \frac{g_0}{1 + I/I_{\text{s}}}, \qquad I_{\text{s}} = \frac{h\nu}{\sigma\tau} :

de kleinsignaalversterking $g_0 = \sigma R\tau$ wordt door de bundel zelf verlaagd zodra $I$ de verzadigingsintensiteit $I_{\text{s}}$ nadert — de versterker is niet-lineair, en die niet-lineariteit is wat het vermogen van de laser zal vastleggen.

Bewijs. $\dd N_2/\dd t = R - N_2/\tau - \sigma I N_2/h\nu = 0$ . ∎

23.3 De oscillator: holte, drempel en modes

Definitie 23.7 (Laserholte)

Een laser is een versterkend midden van lengte $\ell$ tussen twee spiegels (weerkaatsingen $R_1$ , $R_2$ ) op afstand $L$ van elkaar: een fabry-pérotholte (Hoofdstuk 21). Eén spiegel, de uitkoppelspiegel, laat gedeeltelijk door ( $T_2 = 1 - R_2$ van enkele procenten) en laat de bundel naar buiten. Licht dat de holte rondgaat, wordt tweemaal door het midden versterkt en verzwakt door de spiegels en door de overige verliezen (verstrooiing, absorptie, buiging).

Stelling 23.8 (Oscillatievoorwaarde)

Een golf met complexe amplitude $\underline s$ herhaalt zichzelf na één heen-en-terugreis als

\underline s\,\cdot\, \eu^{g\ell}\sqrt{R_1}\,\eu^{g\ell}\sqrt{R_2}\, \eu^{-\alpha\cdot 2L}\,\eu^{2\iu kL} = \underline s

( $\alpha$ : de overige verliezen per lengte-eenheid). Vandaar twee voorwaarden.

Amplitude: $R_1R_2\,\eu^{2(g\ell - \alpha L)} \ge 1$ , dat wil zeggen dat de versterking de drempel moet halen

$g_{\text{th}} = \frac{1}{\ell}\Big(\alpha L - \tfrac12\ln(R_1R_2)\Big) \approx \frac{1}{2\ell}\,(T_2 + \text{verliezen per heen-en-terugreis}) ;$
Fase: $2kL = 2\pi p$ , dat wil zeggen $\nu_p = p\,c/2L$ — de laser oscilleert alleen op de longitudinale modes van de holte, op afstand $c/2L$ , en daarvan alleen op die welke onder de versterkingskromme liggen waar $g(\nu) \ge g_{\text{th}}$ .

Bewijs. Amplitude en fase van de factor voor een heen-en-terugreis moeten beide triviaal zijn; de benadering gebruikt $-\ln R \approx 1 - R = T$ voor $T \ll 1$ . ∎

Propositie 23.9 (Stationaire toestand boven de drempel)

Uitgaand van de spontane emissie van één enkel atoom groeit elke mode waarvoor $g_0 > g_{\text{th}}$ exponentieel, heen-en-terugreis na heen-en-terugreis; naarmate haar intensiteit groeit, verzadigt de versterking (Propositie 23.6) tot zij precies gelijk is aan de verliezen:

g(I) = g_{\text{th}} \quad\Longrightarrow\quad I_{\text{holte}} = I_{\text{s}}\Big(\frac{g_0}{g_{\text{th}}} - 1\Big), \qquad P_{\text{out}} = T_2\,I_{\text{holte}}\,A .

De versterking klemt zich vast op de drempelwaarde; elk atoom dat boven de drempel extra wordt gepompt, wordt een uitgangsfoton, zodat het uitgangsvermogen lineair met de pomp boven de drempelpomp groeit.

Opmerking 23.10 (De laser is een terugkoppelingsoscillator)

Vergelijk met de wienbrugoscillator van Hoofdstuk 9: een versterker (het geïnverteerde midden), een frequentieselectieve terugkoppeling (de holte, die alleen haar modes doorlaat), een aanloopvoorwaarde (lusversterking $> 1$ , dat wil zeggen $g_0 > g_{\text{th}}$ ), aanloop uit ruis (hier spontane emissie), en een amplitude die door de niet-lineariteit van de versterker wordt vastgelegd (verzadiging van de versterking). De laser is het optische lid van de familie.

De versterkingskromme van het midden (breedte ), de drempel die door de verliezen wordt gesteld, en de kam van holtemodes op afstand c/2L: alleen de modes onder de kromme en boven de drempel (vet) oscilleren. — De versterkingskromme van het midden (breedte $\Delta\nu$ ), de drempel die door de verliezen wordt gesteld, en de kam van holtemodes op afstand $c/2L$ : alleen de modes onder de kromme en boven de drempel (vet) oscilleren.

Voorbeeld 23.11 (De helium-neonlaser)

Een glazen buis van $30\,\mathrm{cm}$ lang, boring $1\,\mathrm{mm}$ , met helium en neon bij ongeveer een duizendste atmosfeer, doorlopen door een ontlading van enkele milliampères. Elektronen slaan helium aan tot een metastabiel niveau bij $20.6\,\mathrm{eV}$ , dat zijn energie door botsing overdraagt aan een neonniveau op vrijwel dezelfde hoogte; van daar vervalt neon naar een lager niveau (dat snel leegloopt naar de grondtoestand — vier niveaus) door uit te zenden bij $632.8\,\mathrm{nm}$ . De kleinsignaalversterking is minuscuul, enkele procenten per doorgang, zodat de spiegels uitmuntend moeten zijn ( $R_1 = 0.999$ , $R_2 = 0.99$ ) en de buis schoon; de versterkingslijn is dopplerverbreed tot $\Delta\nu \approx 1.5\,\mathrm{GHz}$ , de modes liggen $c/2L = 500\,\mathrm{MHz}$ uit elkaar, zodat er twee of drie modes tegelijk oscilleren. Uitgang $1\,\mathrm{mW}$ voor enkele watt ontlading: rendement $10^{-4}$ ; maar een golflengte die tot $10^{-6}$ vastligt en een bundel die door het hele laboratorium $1\,\mathrm{mm}$ breed blijft.

23.4 De gaussische bundel

Propositie 23.12 (Gaussische bundel)

De bundel die een stabiele holte met gekromde spiegels uitzendt, is (in de grondmode dwars op de as) een gaussische bundel: op de afstand $z$ van zijn nauwste doorsnede (de taille, straal $w_0$ ) is het intensiteitsprofiel

I(r,z) = \frac{2P}{\pi w(z)^2}\,\exp\Big(-\frac{2r^2}{w(z)^2}\Big), \qquad w(z) = w_0\sqrt{1 + \Big(\frac{z}{z_{\text{R}}}\Big)^2}, \qquad z_{\text{R}} = \frac{\pi w_0^2}{\lambda},

waarin $P$ het totale vermogen is en $z_{\text{R}}$ de rayleighlengte: over $\pm z_{\text{R}}$ blijft de bundel binnen $\sqrt2$ van zijn taille, en ver daarbuiten spreidt hij zich met de halve hoek

\theta = \frac{\lambda}{\pi w_0} .

De bundel is een oplossing van de golfvergelijking in de paraxiale benadering; wij nemen zijn vorm aan en gebruiken hem. Zijn golffronten zijn vlak bij de taille en bolvormig ver weg.

Bewijs. Aangenomen op dit niveau (de berekening is de voortplanting in de fourieroptiek van een gaussische verdeling in een opening); zijn kerneigenschap is die welke de buiging in Hoofdstuk 22 al gaf: een opening van grootte $w_0$ spreidt zich over $\lambda/w_0$ , hier met de exacte factor $1/\pi$ . ∎

Een gaussische bundel: de straal w(z) is een hyperbool — vrijwel constant binnen de rayleighlengte, dan een kegel met halve hoek /π w_0. Een kleinere taille betekent een kortere rayleighlengte en een wijdere kegel. — Een gaussische bundel: de straal $w(z)$ is een hyperbool — vrijwel constant binnen de rayleighlengte, dan een kegel met halve hoek $\lambda/\pi w_0$ . Een kleinere taille betekent een kortere rayleighlengte en een wijdere kegel.

Propositie 23.13 (Een bundel bundelen en verbreden)

Een gaussische bundel met straal $w$ (veel groter dan zijn verre veld bij de lens zou hebben, dat wil zeggen vrijwel evenwijdig) die op een lens met brandpuntsafstand $f$ valt, wordt gebundeld tot een taille

w_0' = \frac{\lambda f}{\pi w}

in het brandpunt, met rayleighlengte $\pi w_0'^2/\lambda$ . De piekbestralingssterkte daar is $2P/\pi w_0'^2$ . Omgekeerd maakt een afocale telescoop met vergroting $M$ van een bundel met straal $w$ er een met straal $Mw$ waarvan de divergentie $M$ keer kleiner is: om een bundel ver te zenden, maak hem eerst breed.

Bewijs. De lens maakt van het vlakke golffront een bol die op $f$ convergeert; de buiging van een opening met straal $w$ geeft de hoekspreiding $\lambda/\pi w$ , dus de brandvlek $f\lambda/\pi w$ — in overeenstemming met $\theta = \lambda/\pi w_0'$ achterstevoren gelezen. ∎

Voorbeeld 23.14 (Snijden, lezen, richten)

Een koolstofdioxidelaser van $1\,\mathrm{kW}$ bij $10.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ , bundelstraal $10\,\mathrm{mm}$ , gebundeld door $f = 100\,\mathrm{mm}$ : $w_0' = 34\,\text{µ}\mathrm{m}$ , piekbestralingssterkte $2P/\pi w_0'^2 = 5 \times 10^{11}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ — staal kookt. Een aanwijzer van $1\,\mathrm{mW}$ , $w_0 = 0.5\,\mathrm{mm}$ bij $633\,\mathrm{nm}$ : $\theta = 0.4\,\mathrm{mrad}$ , een vlek van $4\,\mathrm{cm}$ op $50\,\mathrm{m}$ , een bestralingssterkte van $2.5\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ aan de uitgang — boven het zonlicht, en daarom mag zelfs een milliwatt nooit een oog binnendringen: de ooglens zou het tot een vlek van $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ op het netvlies bundelen, bij miljoenen watt per vierkante meter. Een schijflezer bij $650\,\mathrm{nm}$ met een lens met numerieke apertuur $0.6$ bundelt tot ongeveer $\lambda/2\mathrm{NA} \approx 0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ , de grootte van een putje.

Opmerking 23.15 (Wat laserlicht bijzonder maakt)

Gerichtheid: één mode dwars op de as, divergentie op de buigingsgrens. Eenkleurigheid: één of enkele holtemodes, elk smaller dan een megahertz — coherentielengten van meters tot kilometers (Hoofdstuk 18). Ruimtelijke coherentie: de hele bundel is één golf, zodat hij overal met zichzelf interfereert (holografie, interferometrie). Helderheid: een milliwatt in een bundel op de buigingsgrens overstraalt de zon per eenheid ruimtehoek en bandbreedte. Vermogen in pulsen: een joule in een nanoseconde is een gigawatt, in een femtoseconde een petawatt. En omdat de bundel de uitgang van een oscillator is, kan zij bij gigahertz worden gemoduleerd — de draaggolf van de glasvezel (Hoofdstuk 16).

Methode 23.16 (Laserschattingen)

(1) Fotonenergie $h\nu = hc/\lambda$ en het fotontempo $P/h\nu$ . (2) Drempel: $g_{\text{th}}\ell \approx \tfrac12(T_2 + \text{verliezen})$ ; vergelijk met de kleinsignaalversterking $g_0\ell$ van het midden. (3) Modes: $c/2L$ tegen de versterkingsbreedte; tel de oscillerende modes. (4) Vermogen: de versterking klemt zich vast op de drempel; uitgang $\propto$ (pomp $-$ drempelpomp). (5) Bundel: $z_{\text{R}} = \pi w_0^2/\lambda$ , $\theta = \lambda/\pi w_0$ , brandvlek $\lambda f/\pi w$ , piekbestralingssterkte $2P/\pi w_0^2$ . (6) Veiligheid: vergelijk de bestralingssterkte op het netvlies met die van de zon.

23.5 Opgaven

Oefening 23.1 ★

Een He–Ne-laser zendt $1\,\mathrm{mW}$ uit bij $632.8\,\mathrm{nm}$ . Frequentie, fotonenergie in joule en elektronvolt, fotonen per seconde. Holte van $30\,\mathrm{cm}$ : modeafstand; hoeveel modes passen er onder een versterkingskromme van $1.5\,\mathrm{GHz}$ breed?

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.1.

$\nu = 4.74 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ; $h\nu = 3.14 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} = 1.96\,\mathrm{eV}$ ; $3.2 \times 10^{15}\,$ fotonen per seconde; $c/2L = 500\,\mathrm{MHz}$ ; drie modes.

Oefening 23.2 ★

Twee niveaus $2\,\mathrm{eV}$ uit elkaar bij $300\,\mathrm{K}$ : verhouding $N_2/N_1$ (gebruik $k_BT = 0.025\,\mathrm{eV}$ ). Bij welke temperatuur zouden de bevolkingen gelijk zijn? Toon aan dat een inversie met een formeel negatieve temperatuur in de boltzmannverhouding overeenkomt. Dezelfde verhouding voor een microgolfovergang bij $24\,\mathrm{GHz}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.2.

$\eu^{-80} \approx 2 \times 10^{-35}$ ; gelijkheid alleen als $T \to \infty$ ; $N_2 > N_1$ vergt $\eu^{-h\nu/k_BT} > 1$ , dat wil zeggen formeel $T < 0$ . Bij $24\,\mathrm{GHz}$ is $h\nu = 1 \times 10^{-4}\,\mathrm{eV}$ : $N_2/N_1 = 0.996$ .

Oefening 23.3 ★

Gaussische bundel, $w_0 = 0.5\,\mathrm{mm}$ , $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$ : rayleighlengte, divergentie, straal na $100\,\mathrm{m}$ en bij de maan ( $3.8 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ ). Dezelfde bundel na een verbreder van $\times 20$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.3.

$z_{\text{R}} = 1.24\,\mathrm{m}$ ; $\theta = 4.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ ; $w(100\,\mathrm{m}) = 40\,\mathrm{mm}$ ; bij de maan $150\,\mathrm{km}$ . Na $\times 20$ : $w_0 = 10\,\mathrm{mm}$ , $\theta = 2 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}$ , $z_{\text{R}} = 500\,\mathrm{m}$ , $10.2\,\mathrm{mm}$ op $100\,\mathrm{m}$ , $7.7\,\mathrm{km}$ bij de maan.

Oefening 23.4 ★

Holte met $R_1 = 1$ , $R_2 = 0.98$ , midden van $20\,\mathrm{cm}$ lang, overige verliezen $0.5\%$ per doorgang. Drempelversterkingscoëfficiënt. De kleinsignaalversterking van het midden is $0.2\,\mathrm{m}^{-1}$ : gaat hij laseren? Met $R_2 = 0.90$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.4.

$g_{\text{th}} = (0.005 + 0.0101)/0.2 = 0.076\,\mathrm{m}^{-1} < 0.2$ : hij laseert. Met $R_2 = 0.90$ : $(0.005 + 0.053)/0.2 = 0.29\,\mathrm{m}^{-1}$ : hij laseert niet.

Oefening 23.5 ★★

Betrekkingen van Einstein. (a) Schrijf de balans van een tweeniveaubevolking in evenwicht met straling $u(\nu)$ en leid de twee betrekkingen af uit de wet van Planck (gegeven). (b) Bereken $A_{21}/B_{21}u = \eu^{h\nu/k_BT} - 1$ bij $300\,\mathrm{K}$ voor $\lambda = 600\,\mathrm{nm}$ en voor $\lambda = 1\,\mathrm{cm}$ . (c) Waarom werden masers vóór lasers uitgevonden? (d) De levensduur van een niveau is $\tau = 1/A_{21}$ ; als $\tau = 10\,\mathrm{ns}$ bij $600\,\mathrm{nm}$ , wat is dan $\tau$ voor een overgang met dezelfde $B$ bij $6\,\text{µ}\mathrm{m}$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.5.

(a) Zie Propositie 23.2. (b) $600\,\mathrm{nm}$ : $h\nu/k_BT = 80$ , verhouding $5 \times 10^{34}$ ; $1\,\mathrm{cm}$ : $4.8 \times 10^{-3}$ — gestimuleerde emissie overheerst. (c) Bij microgolffrequenties is spontane emissie verwaarloosbaar en geeft een kleine inversie al versterking; de techniek (holten, golfgeleiders) bestond. (d) $A \propto \nu^3$ , dus $\tau \propto \lambda^3$ : $10\,\text{µ}\mathrm{s}$ .

Oefening 23.6 ★★

Verzadiging en uitgangsvermogen. Vierniveaumidden, $\sigma = 3 \times 10^{-17}\,\mathrm{m}^{2}$ , $\tau = 100\,\mathrm{ns}$ , $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$ . (a) Verzadigingsintensiteit. (b) Pomptempo $R$ voor een kleinsignaalversterking $g_0 = 0.1\,\mathrm{m}^{-1}$ . (c) De drempel van de holte is $g_{\text{th}} = 0.02\,\mathrm{m}^{-1}$ : intensiteit in de holte in stationaire toestand; uitgang door $T_2 = 1\%$ uit een bundel met oppervlak $1\,\mathrm{mm}^{2}$ . (d) Toon aan dat het uitgangsvermogen boven de drempel lineair in $R$ is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.6.

(a) $I_{\text{s}} = h\nu/\sigma\tau = 1.0 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ . (b) $R = g_0/\sigma\tau = 3.3 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$ . (c) $I = I_{\text{s}}(5 - 1) = 4.2 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; $P_{\text{uit}} = 0.01 \times 4.2 \times 10^5 \times 10^{-6} = 4.2\,\mathrm{mW}$ . (d) $I = I_{\text{s}}(\sigma R\tau/g_{\text{th}} - 1) = (h\nu/g_{\text{th}})(R - g_{\text{th}}/\sigma\tau)$ : lineair in $R$ boven $R_{\text{th}} = g_{\text{th}}/\sigma\tau$ .

Oefening 23.7 ★★

Modes en stabiliteit. (a) Holtelengte voor eenmodige werking onder een versterkingskromme van $1.5\,\mathrm{GHz}$ . (b) Een holte van $30\,\mathrm{cm}$ zet $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ uit: verschuiving van de frequentie van een mode, vergeleken met de modeafstand en de versterkingsbreedte. (c) Waarom vergrendelen gestabiliseerde He–Ne-lasers in de handel de buislengte door haar te verwarmen? (d) De eigen breedte van de mode is enkele kilohertz: coherentielengte?

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.7.

(a) $c/2L > 1.5\,\mathrm{GHz}$ : $L < 10\,\mathrm{cm}$ . (b) $\delta\nu = \nu\,\delta L/L = 1.6\,\mathrm{GHz}$ : drie modeafstanden, de hele versterkingsbreedte — de mode veegt over de versterkingskromme en draagt over aan haar buur. (c) Een verwarmer houdt de lengte op een kleine fractie van $\lambda$ , met het evenwicht van twee modes als foutsignaal. (d) $c/\delta\nu \approx 100\,\mathrm{km}$ .

Oefening 23.8 ★★

Bundelen. (a) Bundel $w = 1\,\mathrm{mm}$ , $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$ , $f = 50\,\mathrm{mm}$ : taille, rayleighlengte, piekbestralingssterkte voor $1\,\mathrm{mW}$ . (b) Dezelfde bundel in een oog (brandpuntsafstand $17\,\mathrm{mm}$ ): vlek en bestralingssterkte op het netvlies; vergelijk met het beeld van de zon ( $1\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ door een pupil van $3\,\mathrm{mm}$ tot een beeld van $0.15\,\mathrm{mm}$ ). (c) Waarom is een groene aanwijzer van $5\,\mathrm{mW}$ gevaarlijker dan een lamp van $100\,\mathrm{W}$ ? (d) Scherptediepte van de lens van $50\,\mathrm{mm}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.8.

(a) $w_0' = 10\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $z_{\text{R}} = 0.5\,\mathrm{mm}$ , $I = 2P/\pi w_0'^2 = 6.4 \times 10^{6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ . (b) $w_0' = 3.4\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $I = 5.5 \times 10^{7}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; het beeld van de zon: $10^3 \times (3/0.15)^2 = 4 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ — de aanwijzer is honderd keer erger. (c) Het vermogen van de lamp spreidt zich over $4\pi$ en haar beeld op het netvlies is uitgestrekt; het hele vermogen van de aanwijzer landt in enkele micrometers, bij de golflengte van de grootste gevoeligheid. (d) $2z_{\text{R}} = 1\,\mathrm{mm}$ .

Oefening 23.9 ★★

Drie tegen vier niveaus. Robijn: $N = 1.6 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$ chroomionen, levensduur van het bovenste niveau $3\,\mathrm{ms}$ , $\lambda = 694\,\mathrm{nm}$ . (a) Kleinste pompvermogen per volume-eenheid om de helft van de ionen in het bovenste niveau te houden. (b) Voor een staaf van $1\,\mathrm{cm}^{3}$ . (c) Een vierniveaumidden vergt maar $\Delta N = 1 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}$ met $\tau = 230\,\text{µ}\mathrm{s}$ bij $1064\,\mathrm{nm}$ : pompvermogen per volume-eenheid. (d) Bespreek de flitslamp van de robijnlaser tegenover het diodepompen van een Nd:YAG.

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.9.

(a) $(N/2)\,h\nu/\tau = 7.6 \times 10^{8}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$ . (b) $760\,\mathrm{W}$ — continu is uitgesloten: een flitslamp. (c) $10^{22} \times 1.87 \times 10^{-19}/2.3 \times 10^{-4} = 8 \times 10^{6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$ : $8\,\mathrm{W}$ per kubieke centimeter. (d) Honderd keer minder, en continu: enkele watt diodelicht volstaan.

Oefening 23.10 ★★★

De laserdiode. Het uitzendende gebied van een diodelaser is ongeveer $3\,\text{µ}\mathrm{m}$ bij $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $\lambda = 780\,\mathrm{nm}$ . (a) Halve divergentiehoeken in de twee richtingen. (b) Welke richting divergeert meer, en waarom is de bundel elliptisch? (c) Een lens met $f = 5\,\mathrm{mm}$ maakt hem evenwijdig: bundelgrootten in de twee richtingen. (d) Hoe kan de ellips rond worden gemaakt (twee denkbeelden)?

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.10.

(a) $\lambda/\pi w_0$ : $0.17\,\mathrm{rad}$ ( $9.5{}^{\circ}$ ) en $0.5\,\mathrm{rad}$ ( $28{}^{\circ}$ ). (b) De smalle richting divergeert het meest: de ellips in het verre veld staat loodrecht op de zender. (c) $f\theta$ : $0.8\,\mathrm{mm}$ en $2.5\,\mathrm{mm}$ . (d) Een anamorfotisch prismapaar of een cilinderlens; of koppelen in een eenmodige vezel.

Oefening 23.11 ★★★

Aanloop. (a) Schrijf de amplitudevoorwaarde voor een heen-en-terugreis met een netto versterking $G = \eu^{2(g_0 - g_{\text{th}})\ell} = 1.04$ per heen-en-terugreis en een reistijd $2L/c$ met $L = 30\,\mathrm{cm}$ . (b) Van één spontaan foton tot de stationaire toestand van $100\,\mathrm{mW}$ in de holte (hoeveel fotonen in de holte?), hoeveel heen-en-terugreizen en hoe lang? (c) Wat begrenst de groei, en wat gebeurt er met een mode waarvoor $g_0 < g_{\text{th}}$ ? (d) In een meermodige laser dingen de modes om dezelfde atomen: verklaar modespringen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.11.

(a) Intensiteit $\times 1.04$ om de $2\,\mathrm{ns}$ . (b) $N = P\,(2L/c)/h\nu = 6.4 \times 10^8$ fotonen; $\ln(6.4 \times 10^8)/\ln 1.04 \approx 520$ heen-en-terugreizen, ongeveer $1\,\text{µ}\mathrm{s}$ . (c) Verzadiging van de versterking; een mode onder de drempel verliest per heen-en-terugreis meer dan zij wint en blijft op het spontane peil. (d) De modes delen één inversie; de sterkste verzadigt haar en hongert de andere uit; drift van lengte en versterking veranderen de winnaar — de uitgang springt van mode naar mode.

Oefening 23.12 ★★★

Maanafstandsmeting. Pulsen van $100\,\mathrm{mJ}$ bij $532\,\mathrm{nm}$ , $100\,\mathrm{ps}$ lang, door een telescoop van $1\,\mathrm{m}$ gezonden ( $w_0 = 0.5\,\mathrm{m}$ ). (a) Fotonen per puls, piekvermogen. (b) Buigingsdivergentie en vlekstraal op de maan ( $3.8 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ ); de dampkring spreidt de bundel in plaats daarvan tot $1''$ : vlekstraal. (c) Een reflectorveld van $0.1\,\mathrm{m}^{2}$ op de maan zendt het licht terug met zijn eigen buiging ( $\lambda/d$ met hoekkubussen van $d = 4\,\mathrm{cm}$ ): vlek op de aarde, deel dat door de telescoop wordt opgevangen, opgespoorde fotonen per puls. (d) Tijdmeting tot op $100\,\mathrm{ps}$ : afstandsnauwkeurigheid per puls, en na $10^4$ pulsen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.12.

(a) $2.7 \times 10^{17}$ fotonen; $1\,\mathrm{GW}$ . (b) $\theta = 3.4 \times 10^{-7}\,\mathrm{rad}$ , $130\,\mathrm{m}$ ; met seeing $1.8\,\mathrm{km}$ . (c) Deel $0.1/\pi(1800)^2 = 10^{-8}$ : $2.6 \times 10^9$ fotonen; spreiding van de echo $1.3 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}$ , straal $5\,\mathrm{km}$ ; de telescoop vangt $(0.5/5000)^2 = 10^{-8}$ : ongeveer $25$ fotonen, enkele na de optiek. (d) $c \times 100\,\mathrm{ps}/2 = 1.5\,\mathrm{cm}$ ; $\times 1/\sqrt{10^4}$ : $0.15\,\mathrm{mm}$ .

Een helium-neonlaserbuis die op haar gele lijn bij 594\, nm uitzendt: de gloed van de ontlading in de buis, en de bundel die door de uitgangsspiegel vertrekt. Foto: Telementor, CC BY 4.0. — Een helium-neonlaserbuis die op haar gele lijn bij $594\,\mathrm{nm}$ uitzendt: de gloed van de ontlading in de buis, en de bundel die door de uitgangsspiegel vertrekt. Foto: Telementor, CC BY 4.0.

23.6 Vraagstuk: een helium-neonlaser, van de buis tot de maan

Probleem 23.1

Weekendvraagstuk — een laser gebouwd, gekarakteriseerd en gebruikt

De laser op de bank: glazen buis $L = 30\,\mathrm{cm}$ , boringdiameter $1\,\mathrm{mm}$ , helium-neonmengsel, ontlading $5\,\mathrm{mA}$ onder $1.5\,\mathrm{kV}$ ; spiegels $R_1 = 0.999$ , $R_2 = 0.99$ ; golflengte $632.8\,\mathrm{nm}$ ; uitgang $1\,\mathrm{mW}$ . Gegevens: het metastabiele niveau van He ligt op $20.61\,\mathrm{eV}$ , het bovenste laserniveau van Ne op $20.66\,\mathrm{eV}$ met levensduur $100\,\mathrm{ns}$ , het onderste laserniveau op $18.70\,\mathrm{eV}$ met levensduur $10\,\mathrm{ns}$ ; gastemperatuur $400\,\mathrm{K}$ ; molmassa van neon $20\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ; werkzame doorsnede $\sigma = 3 \times 10^{-17}\,\mathrm{m}^{2}$ ; $h = 6.63 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ , $k_B = 1.38 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ , $k_BT$ bij $400\,\mathrm{K}$ $= 0.0345\,\mathrm{eV}$ .

Deel I — Het midden.

Fotonenergie en frequentie van de laserlijn.
De niveaus van He en Ne verschillen $0.05\,\mathrm{eV}$ : vergelijk met $k_BT$ en verklaar waarom de botsingsoverdracht He $\to$ Ne doeltreffend is.
Boltzmannverhouding van het bovenste Ne-niveau tot de grondtoestand bij $400\,\mathrm{K}$ zonder de ontlading: bespreek.
Verklaar, uit de twee levensduren, waarom een inversie tussen de Ne-niveaus gemakkelijk in stand blijft zodra het bovenste niveau wordt gevoed.
Dopplerbreedte van de lijn: de meest waarschijnlijke snelheid van neon bij $400\,\mathrm{K}$ en $\Delta\nu \approx \nu\,v/c$ in orde van grootte (precies $\Delta\nu = 2\nu\sqrt{2k_BT\ln2/Mc^2}$ ).
Met $\Delta N = N_2 - N_1 = 3 \times 10^{15}\,\mathrm{m}^{-3}$ : kleinsignaalversterkingscoëfficiënt en versterking per doorgang over $30\,\mathrm{cm}$ .

Deel II — De holte.

Drempelversterkingscoëfficiënt; marge ten opzichte van vraag 6.
Modeafstand; aantal modes dat kan oscilleren.
Vermogen en bestralingssterkte in de holte, in de boring.
Wat legt de versterking in stationaire toestand vast, en waar gaat de extra pompenergie heen?
Elektrisch vermogen erin en optisch vermogen eruit: rendement; twee redenen waarom het zo laag is.
Aanloop: netto versterking per heen-en-terugreis $2(g_0 - g_{\text{th}})L$ , aantal fotonen in de holte in stationaire toestand, aantal heen-en-terugreizen vanaf één foton, en de aanlooptijd.
De buis warmt op en wordt $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ langer: frequentieverschuiving van een mode; gevolg voor een eenmodige laser.
De buis wordt afgesloten met vensters onder de hoek van Brewster: wat doet dat met de polarisatie van de uitgang, en waarom voegt het geen verlies toe?

Deel III — De bundel.

De holte brengt een taille $w_0 = 0.3\,\mathrm{mm}$ voort: rayleighlengte, divergentie, bundeldiameter op $10\,\mathrm{m}$ afstand.
Piekbestralingssterkte aan de uitgang; vergelijk met zonlicht ( $1\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ ).
Een lens met $f = 50\,\mathrm{mm}$ : taille en piekbestralingssterkte in het brandpunt.
De bundel komt een oog binnen (brandpuntsafstand $17\,\mathrm{mm}$ ): vlek en bestralingssterkte op het netvlies; waarom een knipper voor $1\,\mathrm{mW}$ niet te traag is, en wat “klasse 2” betekent.
Een bundelverbreder van $\times 10$ : nieuwe divergentie en vlekdiameter op $1\,\mathrm{km}$ .
Coherentielengte als de laser op één mode van breedte $1\,\mathrm{MHz}$ loopt; als hij op drie modes over $1\,\mathrm{GHz}$ loopt.

Deel IV — Naar de maan. Een afstandsmeetstation vuurt pulsen van $100\,\mathrm{mJ}$ en $100\,\mathrm{ps}$ bij $532\,\mathrm{nm}$ door een telescoop van $1\,\mathrm{m}$ ; de dampkring spreidt de uitgaande bundel tot $1''$ ( $4.8 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}$ ).

Fotonen per puls en piekvermogen.
Vlekstraal op de maan ( $3.8 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ ); vergelijk met de vlek op de buigingsgrens.
Een reflectorveld van $0.1\,\mathrm{m}^{2}$ onderschept welk deel van de puls, hoeveel fotonen?
De hoekkubussen van $4\,\mathrm{cm}$ van het veld zenden het licht terug met de spreiding $\lambda/d$ : vlekstraal op aarde, deel dat door de telescoop wordt opgevangen, opgespoorde fotonen per puls (neem een algeheel optisch rendement van $0.1$ ).
De heen-en-terugtijd is ongeveer $2.56\,\mathrm{s}$ , gemeten tot op $100\,\mathrm{ps}$ : afstandsnauwkeurigheid per puls; na $10^4$ echo’s; vergelijk met de $3.8\,\mathrm{cm}$ per jaar waarmee de maan zich verwijdert.

Oplossing

Oplossing van Probleem 23.1.

1. $1.96\,\mathrm{eV}$ , $4.74 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ .

2. $0.05\,\mathrm{eV} \approx 1.5\,k_BT$ : de warmtebeweging levert het kleine tekort; de overdracht is vrijwel resonant, dus doeltreffend.

3. $\eu^{-20.66/0.0345} = \eu^{-600} \approx 10^{-260}$ : geen enkel; alleen de ontlading voedt het niveau.

4. Het onderste niveau loopt tien keer sneller leeg dan het bovenste vervalt: het is altijd vrijwel leeg — een vierniveauschema.

5. $v^* = \sqrt{2k_BT/m} = 580\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\nu v^*/c \approx 0.9\,\mathrm{GHz}$ ; de exacte formule geeft $1.5\,\mathrm{GHz}$ .

6. $g_0 = 0.09\,\mathrm{m}^{-1}$ ; $\eu^{0.027}$ : $2.7\%$ per doorgang.

7. $g_{\text{th}} = -\ln(0.999 \times 0.99)/0.6 = 0.018\,\mathrm{m}^{-1}$ ; marge $5$ .

8. $500\,\mathrm{MHz}$ ; drie.

9. $P_{\text{in}} = 1\,\mathrm{mW}/0.01 = 100\,\mathrm{mW}$ ; $1.3 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ .

10. De versterking verzadigt tot $g_{\text{th}}$ ; het overschot wordt uitgangsfotonen (en spontane emissie, warmte).

11. $1\,\mathrm{mW}/7.5\,\mathrm{W} = 1.3 \times 10^{-4}$ : het meeste van de elektronenergie gaat elders heen dan naar het metastabiele helium, en het foton draagt $1.96\,\mathrm{eV}$ van de geïnvesteerde $20.66\,\mathrm{eV}$ .

12. $2 \times 0.072 \times 0.3 = 0.043$ ; $N = 0.1 \times 2 \times 10^{-9}/3.14 \times 10^{-19} = 6.4 \times 10^8$ ; $20.3/0.043 \approx 470$ heen-en-terugreizen; $0.9\,\text{µ}\mathrm{s}$ .

13. $\delta\nu = \nu\,\delta L/L = 1.6\,\mathrm{GHz}$ : de mode doorkruist de hele versterkingskromme — de laser springt naar een andere mode tenzij de lengte wordt gestabiliseerd.

14. De $p$ -polarisatie doorloopt een brewstervlak zonder weerkaatsing; de $s$ -polarisatie verliest zo’n $15\%$ per vlak en haalt de drempel nooit: lineair gepolariseerde uitgang zonder kosten.

15. $z_{\text{R}} = 0.45\,\mathrm{m}$ ; $\theta = 6.7 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ ; $w(10\,\mathrm{m}) = 6.7\,\mathrm{mm}$ : $13\,\mathrm{mm}$ in doorsnede.

16. $2P/\pi w_0^2 = 7\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ : zeven zonnen.

17. $w_0' = 34\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; $5.6 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ .

18. $w_0' = 11\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; $5 \times 10^{6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; het netvlies overleeft $1\,\mathrm{mW}$ gedurende de $0.25\,\mathrm{s}$ van de afweerreflex — klasse 2: zichtbaar, $\le 1\,\mathrm{mW}$ , veilig omdat men knippert.

19. $6.7 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}$ ; $w_0 = 3\,\mathrm{mm}$ , $z_{\text{R}} = 45\,\mathrm{m}$ , $w(1\,\mathrm{km}) = 67\,\mathrm{mm}$ : $13\,\mathrm{cm}$ .

20. $c/\Delta\nu$ : $300\,\mathrm{m}$ ; $30\,\mathrm{cm}$ .

21. $2.7 \times 10^{17}$ ; $1\,\mathrm{GW}$ .

22. $1.8\,\mathrm{km}$ ; alleen buiging: $130\,\mathrm{m}$ .

23. $0.1/\pi(1800)^2 = 10^{-8}$ ; $2.6 \times 10^9$ fotonen.

24. $\lambda/d = 1.3 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}$ , $5\,\mathrm{km}$ ; $(0.5/5000)^2 = 10^{-8}$ : $25$ fotonen, twee of drie opgespoord.

25. $1.5\,\mathrm{cm}$ ; $0.15\,\mathrm{mm}$ ; de verwijdering wordt binnen weken gemeten.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 393 begrippen in de begrippenlijst