Universitaire natuurkunde — jaar 2 · Bachelor Year 2

30De schrödingervergelijking en golffuncties

Schiet elektronen één voor één op een paar spleten af en teken op waar elk landt: een stip hier, een stip daar, schijnbaar willekeurig — en na tienduizend stippen de strepen van de proef van Young, alsof elk elektron door beide spleten was gegaan en met zichzelf had geïnterfereerd. Het laatste hoofdstuk van het volume van jaar 1 kwam die vreemdheid tegen: licht komt in fotonen, materie heeft een golflengte $\lambda = h/p$ , en plaats en impuls kunnen niet allebei scherp zijn. Wat het niet gaf, is de vergelijking — de regel die zegt hoe de golf die bij een deeltje hoort evolueert, zoals de wet van Newton zegt hoe een baan evolueert. Die vergelijking is die van Schrödinger (1926), en daarmee wordt de kwantumbeschrijving een berekenbare theorie: men schrijft een golffunctie $\psi(x,t)$ , waarvan de gekwadrateerde modulus de kans is om het deeltje aan te treffen, en men lost een lineaire partiële differentiaalvergelijking op. Dit hoofdstuk formuleert de vergelijking, verklaart wat $\psi$ betekent en wat niet, vindt haar stationaire toestanden en de golfpakketten van het vrije deeltje, en toont waar de mechanica van Newton weer opduikt — voor alles wat zwaarder is dan een molecuul.

Een transmissie-elektronenmicroscoop: elektronen die tot honderd kilovolt zijn versneld hebben een golflengte van enkele picometers, en hun golffunctie, door magnetische lenzen gebundeld, beeldt de atomen van een kristal af.

30.1 Wat het volume van jaar 1 ons naliet

Propositie 30.1 (Deeltjes zijn golven)

Een foton met frequentie $\nu$ heeft de energie $E = h\nu = \hbar\omega$ en de impuls $p = h/\lambda = \hbar k$ ; een materieel deeltje met impuls $p$ gedraagt zich als een golf met golflengte $\lambda = h/p$ (De Broglie), eveneens met $E = \hbar\omega$ en $p = \hbar k$ — elektronenbuiging door kristallen en interferometrie met neutronen en zelfs met moleculen bevestigen het; en geen enkele toestand kan een plaats en een impuls scherper hebben dan $\Delta x\,\Delta p \ge \hbar/2$ (Heisenberg). Met $\hbar = h/2\pi = 1.05 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ : een elektron van $100\,\mathrm{eV}$ heeft $\lambda = 0.12\,\mathrm{nm}$ , de grootte van een atoom; een stofkorrel van $1 \times 10^{-15}\,\mathrm{kg}$ bij $1\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ heeft $\lambda = 7 \times 10^{-16}\,\mathrm{m}$ , kleiner dan een kern — zij gedraagt zich klassiek.

Bewijs. Herhaald uit het volume van jaar 1; de taak is nu de dynamica van de golf. ∎

Een elektronenbuigingspatroon opgenomen in een elektronenmicroscoop (een kikuchipatroon van een kristal): elektronen met een golflengte van enkele picometers, gebogen door de atoomvlakken — materie die zich als een golf gedraagt (NIST).

30.2 De golffunctie

Definitie 30.2 (Golffunctie en de regel van Born)

De toestand van een deeltje dat langs $x$ beweegt, wordt beschreven door een complexe golffunctie $\psi(x,t)$ zodanig dat

\dd\mathcal P = |\psi(x,t)|^2\,\dd x

de kans is om het deeltje tussen $x$ en $x + \dd x$ aan te treffen op het tijdstip $t$ (de regel van Born); vandaar de normering $\int_{-\infty}^{\infty}|\psi|^2\dd x = 1$ , en de verwachtingswaarden $\langle x\rangle = \int x|\psi|^2\dd x$ , $\Delta x^2 = \langle x^2\rangle - \langle x\rangle^2$ . Golffuncties gehoorzamen aan het superpositiebeginsel: als $\psi_1$ en $\psi_2$ mogelijke toestanden zijn, dan ook $\alpha\psi_1 + \beta\psi_2$ (genormeerd), en de kansen bevatten dan de interferentieterm $2\operatorname{Re}(\alpha^*\beta\,\psi_1^*\psi_2)$ . Een overkoepelende fasefactor $\eu^{\iu\theta}$ verandert niets; een betrekkelijke fase tussen twee opgetelde componenten verandert de interferentie.

Opmerking 30.3 (Wat $\psi$ niet is)

$\psi$ is geen klassiek veld dat zich zoals $\vect E$ in de ruimte uitspreidt, noch een wolk materie: het elektron wordt altijd heel aangetroffen, in één punt. $\psi$ is een kansamplitude, het voorwerp dat interfereert; alleen $|\psi|^2$ wordt waargenomen, en alleen statistisch, door de proef op gelijk voorbereide deeltjes te herhalen. De stippen van de dubbele spleet zijn afzonderlijke elektronen; de strepen zijn $|\psi_1 + \psi_2|^2$ .

30.3 De schrödingervergelijking

Stelling 30.4 (Schrödingervergelijking)

Een deeltje met massa $m$ in de potentiële energie $V(x)$ heeft een golffunctie die voldoet aan

\iu\hbar\,\frac{\partial\psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\,\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} + V(x)\,\psi .

Zij is lineair (superpositie), van eerste orde in de tijd (de golffunctie op één ogenblik legt haar op alle latere tijdstippen vast), en complex ( $\psi$ kan niet reëel zijn: de $\iu$ is wezenlijk). Zij is een postulaat, verantwoord door haar gevolgen.

Bewijs. Eerder een motivering dan een bewijs. Een vrij deeltje met scherpe impuls $p = \hbar k$ en energie $E = \hbar\omega$ zou een vlakke golf $\psi = A\eu^{\iu(kx - \omega t)}$ moeten zijn, waarvoor $\iu\hbar\partial_t\psi = \hbar\omega\psi = E\psi$ en $-(\hbar^2/2m)\partial_x^2\psi = (\hbar^2k^2/2m)\psi = (p^2/2m)\psi$ . De klassieke betrekking $E = p^2/2m$ wordt dus weergegeven door de vergelijking $\iu\hbar\partial_t\psi = -(\hbar^2/2m)\partial_x^2\psi$ , en de natuurlijke veralgemening voor $E = p^2/2m + V$ voegt $V\psi$ toe. Merk op dat de vergelijking lineair moet zijn om voor superposities van vlakke golven te gelden, en van eerste orde in de tijd met een $\iu$ opdat $\eu^{-\iu\omega t}$ en niet $\cos\omega t$ de tijdafhankelijkheid is — een reële golfvergelijking zou $E^2 \propto p^4$ geven. ∎

Propositie 30.5 (Behoud van de kans)

De kansdichtheid $\rho = |\psi|^2$ en de kansstroom

j = \frac{\hbar}{m}\operatorname{Im}\Big(\psi^*\frac{\partial\psi}{\partial x}\Big) = \frac{\hbar}{2\iu m}\Big(\psi^*\partial_x\psi - \psi\,\partial_x\psi^*\Big)

voldoen aan $\partial_t\rho + \partial_xj = 0$ : kans wordt noch gemaakt noch vernietigd, en $\int|\psi|^2\dd x$ blijft gelijk aan $1$ . Voor een vlakke golf $A\eu^{\iu kx}$ is $j = |A|^2\hbar k/m = \rho v$ : dichtheid maal snelheid, zoals bij elke stroming.

Bewijs. $\partial_t(\psi^*\psi) = \psi^*\partial_t\psi + \psi\,\partial_t\psi^*$ ; uit de vergelijking en haar toegevoegde, $\partial_t\psi = (\iu\hbar/2m)\partial_x^2\psi - (\iu/\hbar)V\psi$ , $\partial_t\psi^* = -(\iu\hbar/2m)\partial_x^2\psi^* + (\iu/\hbar)V\psi^*$ ; de termen met $V$ vallen weg; de rest is $(\iu\hbar/2m)(\psi^* \partial_x^2\psi - \psi\,\partial_x^2\psi^*) = -\partial_xj$ . ∎

Propositie 30.6 (Impuls, verwachtingswaarden en de klassieke grens)

De impuls van een toestand wordt verkregen met de operator $\hat p = -\iu\hbar\,\partial_x$ (die op een vlakke golf $\hbar k$ geeft): $\langle p\rangle = \int\psi^*(-\iu\hbar\partial_x\psi)\dd x$ , en de energie met $\hat H = -(\hbar^2/2m)\partial_x^2 + V$ . De verwachtingswaarden voldoen aan (Ehrenfest)

\frac{\dd\langle x\rangle}{\dd t} = \frac{\langle p\rangle}{m}, \qquad \frac{\dd\langle p\rangle}{\dd t} = -\Big\langle\frac{\dd V}{\dd x}\Big\rangle :

het midden van het golfpakket volgt de wet van Newton precies wanneer $V$ hoogstens kwadratisch is, en bij benadering telkens wanneer het pakket smal is vergeleken met de schaal waarover $V$ verandert — de klassieke grens, die voor elk macroscopisch voorwerp geldt omdat $\hbar$ zo klein is.

Bewijs. Differentieer $\langle x\rangle = \int x|\psi|^2$ , gebruik $\partial_t\rho = -\partial_xj$ en integreer partieel: $\dd\langle x\rangle/\dd t = \int j\,\dd x = \langle p\rangle/m$ . De tweede betrekking is dezelfde berekening één orde hoger (hier aangenomen). ∎

30.4 Stationaire toestanden

Stelling 30.7 (Stationaire toestanden)

Als $V$ niet van de tijd afhangt, heeft de vergelijking oplossingen van de gescheiden vorm

\psi(x,t) = \varphi(x)\,\eu^{-\iu Et/\hbar}, \qquad -\frac{\hbar^2}{2m}\,\varphi'' + V\varphi = E\varphi

(de tijdonafhankelijke schrödingervergelijking): de stationaire toestanden, met welbepaalde energie $E$ , waarvan de kansdichtheid $|\varphi|^2$ niet beweegt. De energieën $E$ waarvoor $\varphi$ aanvaardbaar is (begrensd, normeerbaar voor een gebonden toestand) zijn de energieniveaus; de algemene oplossing is een superpositie $\psi = \sum_nc_n\varphi_n(x)\eu^{-\iu E_nt/\hbar}$ , en een superpositie van twee niveaus heeft een dichtheid die trilt op de bohrfrequentie $\nu_{21} = (E_2 - E_1)/h$ — de frequentie van het licht dat het atoom uitzendt of opneemt.

Bewijs. Vul $\varphi(x)f(t)$ in: $\iu\hbar f'/f = (-\hbar^2\varphi''/2m + V\varphi)/\varphi$ , een functie van $t$ gelijk aan een functie van $x$ , dus een constante $E$ ; $f = \eu^{-\iu Et/\hbar}$ . Voor twee niveaus is $|c_1\varphi_1\eu^{-\iu E_1t/\hbar} + c_2\varphi_2\eu^{-\iu E_2t/\hbar}|^2 = |c_1\varphi_1|^2 + |c_2\varphi_2|^2 + 2\operatorname{Re}(c_1^*c_2\varphi_1^*\varphi_2\eu^{-\iu(E_2 - E_1)t/\hbar})$ . De volledigheid van de stationaire toestanden wordt aangenomen. ∎

Een stationaire toestand: het ruimtelijke profiel (x) (hier de grondtoestand van een put) vermenigvuldigd met een fasor die met het tempo E/ draait; reële en imaginaire delen draaien in elkaar over terwijl | |2 stilstaat. — Een stationaire toestand: het ruimtelijke profiel $\varphi(x)$ (hier de grondtoestand van een put) vermenigvuldigd met een fasor die met het tempo $E/\hbar$ draait; reële en imaginaire delen draaien in elkaar over terwijl $|\psi|^2$ stilstaat.

Een superpositie van de twee laagste toestanden van een put: de dichtheid klotst van de ene kant naar de andere op de bohrfrequentie (E_2 - E_1)/h — een trillende lading, dus () een stralende dipool op precies de frequentie van de spectraallijn. — Een superpositie van de twee laagste toestanden van een put: de dichtheid klotst van de ene kant naar de andere op de bohrfrequentie $(E_2 - E_1)/h$ — een trillende lading, dus (Hoofdstuk 17) een stralende dipool op precies de frequentie van de spectraallijn.

30.5 Het vrije deeltje: vlakke golven en golfpakketten

Propositie 30.8 (Vrij deeltje)

Voor $V = 0$ zijn de stationaire toestanden de vlakke golven $\eu^{\iu(kx - \omega t)}$ met

E = \hbar\omega = \frac{\hbar^2k^2}{2m}, \qquad v_\varphi = \frac{\omega}{k} = \frac{\hbar k}{2m}, \qquad v_{\text{g}} = \frac{\dd\omega}{\dd k} = \frac{\hbar k}{m} = \frac{p}{m} :

materiegolven zijn dispersief; de fasesnelheid heeft geen fysische betekenis, de groepssnelheid is de snelheid van het deeltje. Een vlakke golf is niet normeerbaar — een deeltje met een volmaakt scherpe impuls is over de hele ruimte uitgespreid — zodat een werkelijk deeltje een golfpakket is, een superpositie van vlakke golven over een band $\Delta k$ , gelokaliseerd over $\Delta x \sim 1/\Delta k$ , dat met $v_{\text{g}}$ beweegt en zich uitspreidt: een gaussisch pakket met beginbreedte $\sigma_0$ heeft op tijdstip $t$ de breedte

\sigma(t) = \sigma_0\sqrt{1 + \Big(\frac{\hbar t}{2m\sigma_0^2}\Big)^2}, \qquad \tau = \frac{2m\sigma_0^2}{\hbar} ,

en voldoet aan $\Delta x\,\Delta p = \hbar/2$ op $t = 0$ (het kleinst toegelaten) en meer daarna.

Bewijs. De dispersierelatie volgt uit de vergelijking; $v_{\text{g}}$ zoals in Hoofdstuk 8. De uitspreidingsformule komt uit de fouriersynthese van het pakket — elke component $\eu^{\iu kx}$ krijgt de fase $\eu^{-\iu\hbar k^2t/2m}$ , en de gaussische integraal met een complexe coëfficiënt geeft een gaussische functie met groeiende breedte; de fourierintegraal is het gereedschap van het wiskundevolume van jaar 3 en wij nemen het resultaat aan. Fysisch: het pakket bevat impulsen gespreid over $\Delta p = \hbar/2\sigma_0$ , dus snelheden gespreid over $\Delta v = \hbar/2m\sigma_0$ , en na $t$ zijn de snellere componenten de tragere $\Delta v\,t$ voorbij — de formule zegt precies dat. ∎

Links: de dispersiekromme van het vrije deeltje, met de groepssnelheid (raaklijn) en de fasesnelheid (koorde naar de oorsprong), de helft daarvan. Rechts: een gaussisch pakket dat met v_ g beweegt en zich uitspreidt — zijn breedte √2 keer groter na = 2m _02/, zijn piek lager, zijn oppervlakte constant. — Links: de dispersiekromme van het vrije deeltje, met de groepssnelheid (raaklijn) en de fasesnelheid (koorde naar de oorsprong), de helft daarvan. Rechts: een gaussisch pakket dat met $v_{\text{g}}$ beweegt en zich uitspreidt — zijn breedte $\sqrt2$ keer groter na $\tau = 2m\sigma_0^2/\hbar$ , zijn piek lager, zijn oppervlakte constant.

Voorbeeld 30.9 (Wie zich uitspreidt)

Een elektron gelokaliseerd binnen $\sigma_0 = 1\,\mathrm{nm}$ : $\tau = 2m\sigma_0^2/\hbar = 1.7 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ — na één nanoseconde is zijn pakket $60\,\text{µ}\mathrm{m}$ breed: een elektron dat met rust wordt gelaten blijft niet zitten; in een atoom gebonden spreidt het zich niet uit omdat de potentiaal het vasthoudt (een stationaire toestand). Een stofkorrel van $1 \times 10^{-15}\,\mathrm{kg}$ tot $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ gelokaliseerd: $\tau = 2 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ , acht maanden; een kogel: langer dan de leeftijd van het heelal. De kwantumuitspreiding is echt, en onzichtbaar voor alles wat men kan zien.

Opmerking 30.10 (Energie en tijd)

Een toestand die maar gedurende $\Delta t$ bestaat — een aangeslagen atoom met levensduur $\tau$ , een golftrein met lengte $c\tau$ — is een superpositie van energieën gespreid over $\Delta E \sim \hbar/\Delta t$ : de fourierbetrekking van Hoofdstuk 18 tussen de duur van een trein en zijn spectrale breedte, nu op $E = \hbar\omega$ toegepast. Een atoomniveau met levensduur $10\,\mathrm{ns}$ heeft een breedte $\Delta E = 7 \times 10^{-8}\,\mathrm{eV}$ , een natuurlijke lijnbreedte van $16\,\mathrm{MHz}$ ; de dopplerbreedte van Hoofdstuk 23 ( $1.5\,\mathrm{GHz}$ ) verbergt haar in een gas, maar niet in een koud atoom of een ion in rust.

Methode 30.11 (Werken met golffuncties)

(1) Normeer; kansen zijn $\int|\psi|^2$ over het gebied. (2) Tijdonafhankelijke $V$ : zoek $\varphi(x)\eu^{-\iu Et/\hbar}$ , los de stationaire vergelijking op, leg de randvoorwaarden op — de niveaus. (3) Tel stationaire toestanden op voor de evolutie; twee niveaus zweven op $(E_2 - E_1)/h$ . (4) Vrije beweging: $v_{\text{g}} = p/m$ , uitspreidingstijd $2m\sigma_0^2/\hbar$ . (5) Stromen: $j = (\hbar/m)\operatorname{Im}(\psi^*\psi')$ ; voor $A\eu^{\iu kx} + B\eu^{-\iu kx}$ is $j = (|A|^2 - |B|^2)\hbar k/m$ (geen kruisterm). (6) Klassieke grens: Ehrenfest, en $\lambda$ tegen de grootte van het toestel.

30.6 Opgaven

Oefening 30.1 ★

Golflengten van De Broglie: een elektron bij $100\,\mathrm{eV}$ , $10\,\mathrm{keV}$ , $100\,\mathrm{keV}$ (gebruik $p = \sqrt{2mE}$ , en zeg dan waarom de laatste een verbetering vergt); een thermisch neutron ( $25\,\mathrm{meV}$ , $m = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ ); een molecuul C $_{60}$ ( $m = 1.2 \times 10^{-24}\,\mathrm{kg}$ ) bij $200\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; een tennisbal. Welke daarvan tonen interferentie?

Oplossing

Oplossing van Oefening 30.1.

$h/\sqrt{2mE}$ : $0.123\,\mathrm{nm}$ , $12.3\,\mathrm{pm}$ , $3.9\,\mathrm{pm}$ (bij $100\,\mathrm{keV}$ is de kinetische energie een vijfde van $mc^2$ ; de relativistische impuls geeft $3.7\,\mathrm{pm}$ ); neutron $0.18\,\mathrm{nm}$ ; C $_{60}$ $2.8\,\mathrm{pm}$ ; tennisbal $\sim 10^{-34}\,\mathrm{m}$ . Alle behalve de bal hebben interferentie getoond.

Oefening 30.2 ★

$\psi(x) = A\eu^{-x^2/2a^2}$ : $A$ (gebruik $\int\eu^{-u^2}\dd u = \sqrt\pi$ ); $\langle x\rangle$ , $\Delta x$ ; kans om het deeltje aan te treffen in $|x| < a$ ( $\operatorname{erf}(1) = 0.84$ ) en in $|x| < 2a$ ( $0.9995$ ).

Oplossing

Oplossing van Oefening 30.2.

$A = (\pi a^2)^{-1/4}$ ; $\langle x\rangle = 0$ , $\Delta x = a/\sqrt2$ ; $0.84$ ; $0.9995$ .

Oefening 30.3 ★

Ga na dat $\varphi(x)\eu^{-\iu Et/\hbar}$ de vergelijking oplost wanneer $\varphi$ de stationaire oplost. Frequentie van de fasor voor $E = 1\,\mathrm{eV}$ ; voor een superpositie van twee niveaus $2\,\mathrm{eV}$ uit elkaar, frequentie en golflengte van de trilling van $|\psi|^2$ — en van het uitgezonden licht.

Oplossing

Oplossing van Oefening 30.3.

Invullen geeft $E\varphi = -(\hbar^2/2m)\varphi'' + V\varphi$ . $E/h = 2.4 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ; $4.8 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ , $620\,\mathrm{nm}$ : het rode licht dat de overgang uitzendt.

Oefening 30.4 ★

Uitspreidingstijd $\tau = 2m\sigma_0^2/\hbar$ en breedte na $1\,\mathrm{ns}$ en $1\,\mathrm{s}$ : een elektron met $\sigma_0 = 1\,\mathrm{nm}$ en $\sigma_0 = 1\,\mathrm{mm}$ ; een proton met $\sigma_0 = 1\,\mathrm{nm}$ ; een korrel van $1 \times 10^{-12}\,\mathrm{kg}$ met $\sigma_0 = 1\,\text{µ}\mathrm{m}$ . Waarom blijven voorwerpen waar men ze neerzet?

Oplossing

Oplossing van Oefening 30.4.

Elektron, $1\,\mathrm{nm}$ : $\tau = 1.7 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ , $60\,\text{µ}\mathrm{m}$ na $1\,\mathrm{ns}$ , $60\,\mathrm{km}$ na $1\,\mathrm{s}$ ; $1\,\mathrm{mm}$ : $\tau = 17\,\mathrm{s}$ , onveranderd na $1\,\mathrm{ns}$ , $+0.2\%$ na $1\,\mathrm{s}$ ; proton, $1\,\mathrm{nm}$ : $\tau = 3.2 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}$ , $30\,\mathrm{nm}$ , $30\,\mathrm{m}$ ; korrel: $\tau = 600$ jaar. Voor zichtbare voorwerpen is $\tau$ astronomisch — en hun omgeving lokaliseert ze voortdurend opnieuw.

Oefening 30.5 ★★

Stroom. (a) Leid de continuïteitsvergelijking af. (b) $j$ voor $A\eu^{\iu kx}$ , voor $A\sin kx$ , voor $A\eu^{\iu kx} + B\eu^{-\iu kx}$ . (c) Waarom is het ontbreken van een kruisterm in het laatste geval de uitspraak dat weerkaatste en invallende fluxen eenvoudig van elkaar worden afgetrokken? (d) Toon aan dat voor een reële golffunctie $j = 0$ : een gebonden stationaire toestand draagt geen stroom.

Oplossing

Oplossing van Oefening 30.5.

(a) Propositie 30.5. (b) $|A|^2\hbar k/m$ ; $0$ ; $(|A|^2 - |B|^2)\hbar k/m$ . (c) De invallende en weerkaatste fluxen worden zonder interferentieterm van elkaar afgetrokken: doorlatings- en weerkaatsingscoëfficiënten kunnen uit fluxen worden gedefinieerd. (d) $\psi^*\psi'$ reëel, het imaginaire deel ervan nul.

Oefening 30.6 ★★

Een gaussisch pakket. $\psi(x,0) = A\eu^{\iu k_0x}\eu^{-x^2/4\sigma^2}$ . (a) $A$ , $\langle x\rangle$ , $\Delta x$ . (b) $\langle p\rangle$ met $\hat p = -\iu\hbar\partial_x$ . (c) Neem $\Delta p = \hbar/2\sigma$ aan en ga $\Delta x\Delta p = \hbar/2$ na. (d) Bewijs $\dd\langle x\rangle/\dd t = \langle p\rangle/m$ uit de continuïteitsvergelijking.

Oplossing

Oplossing van Oefening 30.6.

(a) $A = (2\pi\sigma^2)^{-1/4}$ , $\langle x\rangle = 0$ , $\Delta x = \sigma$ . (b) $\hbar k_0$ . (c) $\sigma \times \hbar/2\sigma = \hbar/2$ . (d) $\dd\langle x\rangle/\dd t = \int x\, \partial_t\rho = -\int x\,\partial_xj = \int j = (\hbar/m)\operatorname{Im}\int\psi^* \psi' = \langle p\rangle/m$ .

Oefening 30.7 ★★

Elektronen in een buis. Elektronen die door $100\,\mathrm{V}$ zijn versneld doorlopen $30\,\mathrm{cm}$ . (a) Snelheid, golflengte, vluchttijd. (b) Fase- en groepssnelheid; welke is die van het elektron? (c) Een pakket dat aanvankelijk $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ breed is: uitspreidingstijd, breedte bij aankomst. (d) Buiging door een opening van $0.3\,\mathrm{mm}$ onderweg: hoekspreiding en vlek op het scherm. Is het stralenbeeld geldig?

Oplossing

Oplossing van Oefening 30.7.

(a) $5.9 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $0.123\,\mathrm{nm}$ , $51\,\mathrm{ns}$ . (b) $v_\varphi = 3.0 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $v_{\text{g}} = 5.9 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : de laatste. (c) $\tau = 1.7\,\text{µ}\mathrm{s} \gg 51\,\mathrm{ns}$ : onveranderd. (d) $\lambda/a = 4 \times 10^{-7}\,\mathrm{rad}$ , $0.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ : stralen voldoen.

Oefening 30.8 ★★

Fasen. (a) Toon aan dat $\psi$ en $\eu^{\iu\theta}\psi$ dezelfde voorspellingen geven. (b) Schrijf voor $\psi = (\psi_1 + \eu^{\iu\alpha}\psi_2)/\sqrt2$ $|\psi|^2$ en toon aan dat $\alpha$ ertoe doet. (c) Wat zijn in de dubbele spleet $\psi_1$ en $\psi_2$ , en wat legt hun betrekkelijke fase in een punt van het scherm vast? (d) Waarom vernietigt het opsporen van de spleet waar het elektron doorging de strepen (kwalitatief)?

Oplossing

Oplossing van Oefening 30.8.

(a) $|\psi|^2$ en elke verwachtingswaarde blijven onveranderd. (b) $\tfrac12(|\psi_1|^2 + |\psi_2|^2) + \operatorname{Re}(\eu^{\iu\alpha}\psi_1^*\psi_2)$ . (c) De golven van de twee spleten; hun betrekkelijke fase is $k(r_2 - r_1)$ . (d) De detector komt voor de twee wegen in verschillende toestanden terecht; de twee componenten interfereren niet meer, en het patroon is de som van twee enkelspleetpatronen.

Oefening 30.9 ★★

Ehrenfest. (a) Toon voor $V = \tfrac12m\omega^2x^2$ aan dat $\langle x\rangle$ precies aan $\ddot{\langle x\rangle} = -\omega^2\langle x\rangle$ voldoet. (b) Voor $V = mgx$ valt $\langle x\rangle$ als een steen. (c) Wanneer geldt voor een algemene $V$ dat $\langle V'(x)\rangle \approx V'(\langle x\rangle)$ ? (d) Een kraaltje van $1\,\mathrm{g}$ in een kom: schat de grootte van zijn pakket die nodig is opdat het “kwantum” zou zijn, en vergelijk met een atoom.

Oplossing

Oplossing van Oefening 30.9.

(a) $\langle V'\rangle = m\omega^2\langle x\rangle$ : exact. (b) $\langle V'\rangle = mg$ : exact. (c) Wanneer het pakket smal is tegenover de schaal waarop $V''$ verandert. (d) Zijn golflengte bij $0.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ is $10^{-29}\,\mathrm{m}$ ; het pakket zou zo breed als de kom moeten zijn om ertoe te doen. De thermische golflengte van een atoom, $0.1\,\mathrm{nm}$ , is zijn eigen grootte.

Oefening 30.10 ★★★

Klotsen. In een doos $0 < x < L$ met ondoordringbare wanden zijn de stationaire toestanden $\varphi_n = \sqrt{2/L}\sin(n\pi x/L)$ , $E_n = n^2h^2/8mL^2$ (Hoofdstuk 31). Neem $\psi = (\varphi_1\eu^{-\iu E_1t/\hbar} + \varphi_2\eu^{-\iu E_2t/\hbar})/\sqrt2$ . (a) $|\psi|^2$ als functie van de tijd. (b) Toon aan dat $\langle x\rangle = L/2 - (16L/9\pi^2)\cos\omega_{21}t$ (gebruik $\int_0^L x\sin(\pi x/L)\sin(2\pi x/L)\dd x = -8L^2/9\pi^2$ ). (c) Elektron, $L = 1\,\mathrm{nm}$ : $E_2 - E_1$ , de frequentie en de golflengte van de trilling. (d) Wat doet een trillende lading (Hoofdstuk 17)? Besluit over spectraallijnen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 30.10.

(a) $\tfrac12(\varphi_1^2 + \varphi_2^2) + \varphi_1\varphi_2\cos\omega_{21}t$ . (b) $L/2 + \cos\omega_{21}t\int x\varphi_1\varphi_2 = L/2 - (16L/9\pi^2)\cos\omega_{21}t$ . (c) $3h^2/8mL^2 = 1.13\,\mathrm{eV}$ , $2.7 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ , $1.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (d) Zij straalt op $\nu_{21}$ : de lijn; een zuivere stationaire toestand heeft geen trillende dipool en straalt niet.

Oefening 30.11 ★★★

Uitspreiding, afgeleid. Het pakket $\psi(x,0) \propto \eu^{-x^2/4\sigma_0^2}$ is de superpositie $\int g(k)\eu^{\iu kx}\dd k$ met $g(k) \propto \eu^{-\sigma_0^2k^2}$ (aangenomen: de fouriergetransformeerde van een gaussische functie is gaussisch, breedte $1/2\sigma_0$ in $k$ ). (a) Schrijf $\psi(x,t)$ door elke component haar fase $\eu^{-\iu\hbar k^2t/2m}$ te geven. (b) Maak het kwadraat in de exponent volledig en neem $\int\eu^{-\alpha k^2 + \beta k}\dd k = \sqrt{\pi/\alpha}\, \eu^{\beta^2/4\alpha}$ aan voor complexe $\alpha$ met positief reëel deel: toon aan dat $|\psi|^2$ een gaussische functie is met breedte $\sigma(t) = \sigma_0\sqrt{1 + (\hbar t/2m \sigma_0^2)^2}$ . (c) Duid $\tau$ via $\Delta v = \Delta p/m$ . (d) Waarom spreidt een pakket fotonen zich in vacuüm niet uit?

Oplossing

Oplossing van Oefening 30.11.

(a) $\psi \propto \int\eu^{-\sigma_0^2k^2}\eu^{\iu(kx - \hbar k^2t/2m)}\dd k$ . (b) $\alpha = \sigma_0^2 + \iu\hbar t/2m$ , $\beta = \iu x$ : $|\psi|^2 \propto \exp[-x^2/2\sigma_0^2(1 + (\hbar t/2m\sigma_0^2)^2)]$ . (c) $\Delta v = \hbar/2m\sigma_0$ , en $\Delta v\,\tau = \sigma_0$ . (d) $\omega = ck$ : geen dispersie, alle componenten met $c$ .

Oefening 30.12 ★★★

Energie–tijd. (a) Een toestand die als $\eu^{-t/2\tau}\eu^{-\iu E_0t/\hbar}$ vervalt (kans $\eu^{-t/\tau}$ ) is een superpositie van energieën: neem aan dat haar energieverdeling een lorentziaan met volle breedte $\Gamma = \hbar/\tau$ is, en geef $\Gamma$ voor $\tau = 10\,\mathrm{ns}$ (atoom), $1 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}$ , $1 \times 10^{-23}\,\mathrm{s}$ (een hadronische resonantie, in MeV). (b) Natuurlijke lijnbreedte van het niveau van $10\,\mathrm{ns}$ in frequentie; vergelijk met de dopplerbreedte $1.5\,\mathrm{GHz}$ . (c) Hoe ziet men de natuurlijke breedte (koude atomen, gevangen ionen)? (d) Breng dat in verband met de coherentielengte van de uitgezonden golftrein.

Oplossing

Oplossing van Oefening 30.12.

(a) $\Gamma = \hbar/\tau$ : $6.6 \times 10^{-8}\,\mathrm{eV}$ ; $6.6 \times 10^{-8}\,\mathrm{eV}$ ; $66\,\mathrm{MeV}$ . (b) $1/2\pi\tau = 16\,\mathrm{MHz}$ , honderd keer minder dan Doppler. (c) In koude atomen en gevangen ionen verdwijnt de dopplerbreedte en wordt de natuurlijke breedte gehaald — de grondslag van frequentiestandaarden. (d) $c\tau = 3\,\mathrm{m}$ , de lengte van de trein.

30.7 Vraagstuk: het elektron in een buis en de uitspreiding van een golfpakket

Probleem 30.1

Weekendvraagstuk — wanneer een elektron een deeltje is, wanneer een golf

Gegevens: $h = 6.63 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ , $\hbar = 1.05 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ , $m_{\text{e}} = 9.11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$ , $e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ , $m_{\text{p}} = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ .

Deel I — De kathodestraalbuis. Elektronen verlaten een hete kathode met verwaarloosbare energie, worden door $U = 20\,\mathrm{kV}$ versneld, gaan door een opening van $0.3\,\mathrm{mm}$ en treffen een scherm op $40\,\mathrm{cm}$ afstand.

Snelheid en impuls (niet-relativistisch); golflengte van De Broglie.
De kinetische energie is $4\%$ van $mc^2$ : is de niet-relativistische behandeling voor dit vraagstuk aanvaardbaar?
Vluchttijd tot het scherm.
Buiging door de opening: hoekspreiding $\sim\lambda/a$ en de vlek die zij op het scherm maakt; vergelijk met een pixel ( $0.3\,\mathrm{mm}$ ).
Heisenberg bij de opening: $\Delta p_y \gtrsim \hbar/2a$ geeft dezelfde spreiding — ga dat na.
Een pakket van $0.3\,\mathrm{mm}$ breed langs de bundel: uitspreidingstijd $2m\sigma_0^2/\hbar$ en breedte bij het scherm.
Afbuigplaten oefenen een dwarskracht uit: hoe beweegt volgens Ehrenfest $\langle y\rangle$ ? Besluit dat de buis een klassiek toestel is.
Fasesnelheid van de elektronengolf; waarom is het geen tegenspraak dat zij van de snelheid van het elektron verschilt?

Deel II — Golfpakketten.

Voor een gaussisch pakket met breedte $\sigma_0$ : $\Delta p$ en de snelheidsspreiding $\Delta v$ .
Uitspreidingstijd voor een elektron met $\sigma_0 = 0.1\,\mathrm{nm}$ , $1\,\mathrm{nm}$ , $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; voor een proton met $1\,\mathrm{nm}$ ; voor een virus ( $1 \times 10^{-17}\,\mathrm{kg}$ ) met $10\,\mathrm{nm}$ .
Een elektron in een waterstofatoom is tot $0.1\,\mathrm{nm}$ gelokaliseerd en spreidt zich niet uit: waarom?
Een vrij elektron van $1\,\mathrm{eV}$ met $\sigma_0 = 1\,\mathrm{nm}$ : hoe ver reist het voordat zijn breedte verdubbelt? Vergelijk met de golflengte.
In een metaal zijn de geleidingselektronen golven met $\lambda \approx 0.5\,\mathrm{nm}$ over het hele kristal: in welke zin zijn zij “gedelokaliseerd”?
Een elektronenmicroscoop bij $100\,\mathrm{keV}$ heeft $\lambda \approx 4\,\mathrm{pm}$ , en lost toch maar $0.1\,\mathrm{nm}$ op: waarom (zijn magnetische lenzen nemen een halve hoek van ongeveer $10\,\mathrm{mrad}$ aan)?
Geef het criterium dat beslist of een voorwerp met een golffunctie dan wel met Newton moet worden behandeld.

Deel III — Stationaire toestanden en overgangen. Een elektron is opgesloten in $0 < x < L = 1\,\mathrm{nm}$ ; $\varphi_n = \sqrt{2/L}\sin(n\pi x/L)$ , $E_n = n^2h^2/8mL^2$ .

$E_1$ , $E_2$ , $E_3$ in elektronvolt; de bohrfrequenties $\nu_{21}$ , $\nu_{31}$ en de golflengten.
Ga na dat $|\varphi_n\eu^{-\iu E_nt/\hbar}|^2$ tijdonafhankelijk is; waar bevindt het elektron zich in de grondtoestand het waarschijnlijkst?
Voor $\psi = (\varphi_1\eu^{-\iu E_1t/\hbar} + \varphi_2\eu^{-\iu E_2t/\hbar})/ \sqrt2$ : $|\psi|^2$ bij $t = 0$ en $t = T_{21}/2$ ; schets.
$\langle x\rangle(t)$ (gegeven $\int_0^Lx\varphi_1\varphi_2\dd x = -16L/9\pi^2$ ): amplitude van het klotsen.
De trillende dipool $e\langle x\rangle$ straalt: op welke frequentie, en wat zegt dat over spectraallijnen en over de stabiliteit van stationaire toestanden?
Energie van de toestand $\psi$ : is zij $E_1$ , $E_2$ , of iets anders? Wat geeft een meting?

Deel IV — Duiding.

Wat is er in de proef met de dubbele spleet en één elektron willekeurig en wat niet?
Schrijf de kansstroom van $A\eu^{\iu kx}$ en breng haar in verband met een bundel van $n$ elektronen per lengte-eenheid met snelheid $v$ .
Waarom moet de schrödingervergelijking complex en van eerste orde in de tijd zijn (twee redenen)?
Vat in vijf regels samen: de golffunctie, de vergelijking, de stationaire toestanden, het pakket, de klassieke grens.

Oplossing

Oplossing van Probleem 30.1.

1. $v = \sqrt{2eU/m} = 8.4 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $p = 7.6 \times 10^{-23}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\lambda = 8.7\,\mathrm{pm}$ .

2. Fouten van enkele procenten: aanvaardbaar voor schattingen ( $\lambda = 8.6\,\mathrm{pm}$ precies).

3. $4.8\,\mathrm{ns}$ .

4. $\lambda/a = 3 \times 10^{-8}\,\mathrm{rad}$ : $12\,\mathrm{nm}$ — $10^4$ keer kleiner dan een pixel.

5. $\Delta\theta = \Delta p_y/p \sim \hbar/2ap = \lambda/4\pi a$ : dezelfde orde.

6. $\tau = 1.6\,\mathrm{ms} \gg 4.8\,\mathrm{ns}$ : onveranderd.

7. $\dd\langle p_y\rangle/\dd t = eE$ precies voor een gelijkmatig veld: $\langle y\rangle$ volgt de klassieke parabool; de buis is een klassiek instrument.

8. $v/2 = 4.2 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; alleen de groepssnelheid is waarneembaar; de fase van een vlakke golf draagt geen signaal (en hangt af van het willekeurige nulpunt van de energie).

9. $\Delta p = \hbar/2\sigma_0$ , $\Delta v = \hbar/2m\sigma_0$ .

10. $1.7 \times 10^{-16}\,\mathrm{s}$ , $1.7 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ , $1.7 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}$ ; proton $3.2 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}$ ; virus $20\,\mathrm{s}$ .

11. Het is in een stationaire toestand: de potentiaal houdt het pakket vast; $|\varphi|^2$ beweegt niet.

12. $v = 5.9 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; verdubbeling bij $t = \sqrt3\tau = 2.9 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ : $17\,\mathrm{nm}$ , zo’n veertien golflengten.

13. Hun golffuncties strekken zich over het hele kristal uit: een bepaalde impuls, geen bepaalde plaats.

14. Oplossend vermogen $\sim\lambda/\alpha = 4\,\mathrm{pm}/0.01 = 0.4\,\mathrm{nm}$ : de afwijkingen van magnetische lenzen begrenzen de opening, niet de golflengte.

15. Vergelijk $\lambda$ met de betrokken afmetingen (openingen, de schaal van $V$ ), en de uitspreidingstijd met de waarnemingstijd.

16. $0.38\,$ , $1.50\,$ , $3.38\,\mathrm{eV}$ ; $\nu_{21} = 2.7 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ( $1.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ ), $\nu_{31} = 7.3 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ( $410\,\mathrm{nm}$ ).

17. De fasor heeft modulus één; bij $x = L/2$ .

18. Bij $t = 0$ hoopt de dichtheid zich op de linkerhelft op, bij $T_{21}/2$ op de rechter.

19. $\langle x\rangle = L/2 - (16L/9\pi^2)\cos\omega_{21}t$ : amplitude $0.18L = 0.18\,\mathrm{nm}$ .

20. Op $\nu_{21}$ : de spectraallijn; een stationaire toestand heeft geen trillende dipool en is stabiel; de superpositie straalt zich omlaag tot $\varphi_1$ .

21. Niet bepaald: $\langle E\rangle = (E_1 + E_2)/2 = 0.94\,\mathrm{eV}$ ; een meting geeft $E_1$ of $E_2$ , elk met kans een half.

22. Willekeurig: waar elk elektron landt; niet willekeurig: het patroon $|\psi|^2$ dat de landingen opbouwen.

23. $j = |A|^2\hbar k/m$ : met $|A|^2 = n$ elektronen per lengte-eenheid, $nv$ elektronen per seconde.

24. Van eerste orde opdat $\psi(x,0)$ een volledige beschrijving is die de toekomst vastlegt; complex opdat een bepaalde energie de enkele tijdafhankelijkheid $\eu^{-\iu Et/\hbar}$ heeft en $E = p^2/2m$ eruit komt.

25. $\psi$ is de amplitude waarvan het kwadraat de kans is; zij voldoet aan de lineaire vergelijking van Schrödinger; stationaire toestanden dragen een fasor en vaste dichtheden; een vrij pakket beweegt met $p/m$ en spreidt zich uit in $2m\sigma_0^2/\hbar$ ; Ehrenfest geeft Newton terug voor het grote.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Golffunctie en de regel van Born

Bekijk alle 393 begrippen in de begrippenlijst