Universitaire natuurkunde — jaar 2 · Bachelor Year 2

17Dipoolstraling en verstrooiing

Waarom is de hemel blauw, en waarom is hij het blauwst haaks op de zon — en daar bovendien gepolariseerd, zoals bijen en fotografen weten? Waarom moet een radiomast tientallen meters hoog zijn, en waarom straalt hij recht omhoog niets uit? Beide vragen hebben hetzelfde antwoord: een trillende elektrische lading straalt elektromagnetische golven uit, met een vermogen dat als de vierde macht van de frequentie groeit en een patroon dat langs de trillingsas verdwijnt. Dit hoofdstuk formuleert het veld van de oscillerende dipool, het eenvoudigste stralende stelsel, leidt daaruit de antenne en de straling van een versnelde lading af, en past het toe op de moleculen van de lucht, die elk een minuscule antenne zijn die het zonlicht opnieuw uitzendt: rayleighverstrooiing.

Een zendmast onder een blauwe hemel: een verticale dipool van tientallen meters die naar de horizon straalt, en daarboven de hemel die door miljarden moleculaire dipolen wordt verlicht die de zon opnieuw uitstralen.

17.1 Het veld van een oscillerende dipool

Stelling 17.1 (Stralingsveld van een elektrische dipool)

Een dipool met moment $\vect p(t) = p_0\cos\omega t\,\vect e_z$ en afmeting $a$ , in de oorsprong, straalt. In de stralingszone — op afstanden $r \gg \lambda = 2\pi c/\omega \gg a$ — is zijn veld, in bolcoördinaten $(r, \theta, \varphi)$ om de as van de dipool,

\vect E(M, t) = -\frac{\mu_0\,\omega^2p_0}{4\pi}\,\frac{\sin\theta}r\,\cos\bigl(\omega(t - r/c)\bigr)\,\vect e_\theta , \qquad \vect B = \frac{\vect e_r\wedge\vect E}c :

een bolgolf die plaatselijk vlak is — $(\vect E, \vect B, \vect e_r)$ een rechtsdraaiend drietal met $B = E/c$ — vertraagd met de looptijd $r/c$ , met een amplitude die als $1/r$ daalt, evenredig met de versnelling $\ddot p = -\omega^2p$ van de dipool en met $\sin\theta$ : maximaal in het equatorvlak, nul langs de as; gepolariseerd in het vlak dat de as bevat.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Opmerking 17.2 (De formule lezen)

De exacte oplossing van de vergelijkingen van Maxwell (uit de vertraagde potentialen, buiten het bereik van dit volume) bevat ook termen in $1/r^2$ en $1/r^3$ ; de laatste is het quasistatische dipoolveld van het volume van jaar 1, $\vect E \propto p/4\pi\varepsilon_0r^3$ , dat in de nabijheidszone $r \ll \lambda$ overheerst; bij $r \sim \lambda/2\pi$ zijn de twee vergelijkbaar, en daarvoorbij overleeft alleen de term in $1/r$ . Elke factor heeft een reden. $1/r$ : het vermogen door een bol, $\propto E^2r^2$ , mag niet van $r$ afhangen. $\omega^2p_0$ : het veld van een lading in rust of in eenparige beweging straalt niet; het is de versnelling die straalt. $\sin\theta$ : een waarnemer op de as ziet de lading langs zijn zichtlijn heen en weer gaan, zonder transversale versnelling; in het equatorvlak is de hele versnelling transversaal. Vertraging: het veld in $M$ op het tijdstip $t$ weerspiegelt wat de dipool op $t - r/c$ deed.

Links: het stralingsveld van een dipool in een ver punt M — transversaal, langs e_, met een azimutale B; langs de as wordt niets uitgestraald. Rechts: het stralingsdiagram, een torus 2 waarvan de doorsnede is getekend. — Links: het stralingsveld van een dipool in een ver punt $M$ — transversaal, langs $\vect e_\theta$ , met een azimutale $\vect B$ ; langs de as wordt niets uitgestraald. Rechts: het stralingsdiagram, een torus $\propto\sin^2\theta$ waarvan de doorsnede is getekend.

17.2 Uitgestraald vermogen

Propositie 17.3 (Vermogen van een dipool; formule van Larmor)

De gemiddelde poyntingvector van het veld van de dipool is radiaal,

\langle\vect\Pi\rangle = \frac{\mu_0\,\omega^4p_0^2}{32\pi^2c}\,\frac{\sin^2\theta}{r^2}\,\vect e_r ,

en het totale gemiddelde uitgestraalde vermogen is

\mathcal P = \frac{\mu_0\,\omega^4p_0^2}{12\pi c} = \frac{p_0^2\omega^4}{12\pi\varepsilon_0c^3} .

Voor één enkele lading $q$ met versnelling $a$ (niet-relativistisch) is het ogenblikkelijke vermogen $\mathcal P = q^2a^2/6\pi\varepsilon_0c^3$ (Larmor).

Bewijs. $\langle\Pi\rangle = \langle E^2\rangle/\mu_0c$ met $\langle\cos^2\rangle = \tfrac12$ ; integreer over de bol:

\int\sin^2\theta\,r^2\dd\Omega = 2\pi r^2\int_0^\pi\sin^3\theta\,\dd\theta = \tfrac83\pi r^2 , \qquad \mathcal P = \frac{\mu_0\omega^4p_0^2}{32\pi^2c}\cdot\frac{8\pi}3 = \frac{\mu_0\omega^4p_0^2}{12\pi c} .

Larmor: $p = qz$ , dus $\ddot p = qa$ ; het gemiddelde $\tfrac12\omega^4p_0^2 = \langle\ddot p^2\rangle$ vervangen door het ogenblikkelijke $q^2a^2$ geeft $\mathcal P = \mu_0q^2a^2/6\pi c$ . ∎

Voorbeeld 17.4 (Een antenne en een draad)

Een korte draad met lengte $\ell \ll \lambda$ die de stroom $I_0\cos\omega t$ voert, is een dipool met $\dot p = I_0\ell\cos\omega t$ , dus $p_0 = I_0\ell/\omega$ : hij straalt $\mathcal P = \mu_0\omega^2I_0^2\ell^2/12\pi c = \tfrac12R_{\text{str}}I_0^2$ uit, met de stralingsweerstand $R_{\text{str}} = \dfrac{2\pi}3\sqrt{\dfrac{\mu_0}{\varepsilon_0}} \Bigl(\dfrac\ell\lambda\Bigr)^2 \approx 790\,(\ell/\lambda)^2\ \Omega$ — het vermogen verlaat de kring alsof het door een weerstand gaat, zonder dat er iets warm wordt. Een draad van $1\,\mathrm{m}$ bij $1\,\mathrm{MHz}$ ( $\lambda = 300\,\mathrm{m}$ ): $R_{\text{str}} = 9\,\mathrm{m}\Omega$ , minder dan zijn koperweerstand, een slechte antenne; bij $100\,\mathrm{MHz}$ : $88\,\Omega$ (de formule voor een korte dipool wordt hier opgerekt), een goede. De halvegolfdipool, $\ell = \lambda/2$ met een sinusvormige stroomverdeling, heeft $R_{\text{str}} = 73\,\Omega$ (aangenomen) en een diagram dat dicht bij dat van de elementaire dipool ligt — de standaardantenne, van zendmasten tot de sprietantennes op oude televisies. Een netdraad van $1\,\mathrm{m}$ bij $50\,\mathrm{Hz}$ : $R_{\text{str}} \approx 2 \times 10^{-11}\,\Omega$ — de quasistationaire schakelingen van Hoofdstuk 11 stralen niets uit.

Links: de stroomverdeling op een halvegolfdipool, maximaal bij de voeding en nul aan de uiteinden. Rechts: de stralingsweerstand van een korte dipool, 790( / )2 ohm, en de 73\, van de halvegolfdipool. — Links: de stroomverdeling op een halvegolfdipool, maximaal bij de voeding en nul aan de uiteinden. Rechts: de stralingsweerstand van een korte dipool, $790(\ell/\lambda)^2$ ohm, en de $73\,\Omega$ van de halvegolfdipool.

Voorbeeld 17.5 (Een elektron dat straalt)

In een röntgenbuis wordt een elektron van $50\,\mathrm{keV}$ ( $v = 1.2 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) in $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ wolfraam gestopt: $a \sim v^2/2d = 7 \times 10^{21}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , vermogen volgens Larmor $1.2 \times 10^{-4}\,\mathrm{W}$ gedurende $1.6 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ : $2 \times 10^{-18}\,\mathrm{J}$ , ongeveer $0.02\%$ van zijn energie uitgestraald als de “remstraling” van de buis — de rest is warmte, en de anode wordt gekoeld. Het klassieke elektron van een waterstofatoom, met een versnelling $v^2/r = 9 \times 10^{22}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , zou $5 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}$ uitstralen en in $1 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}$ de kern in spiraliseren: de klassieke fysica verbiedt atomen, en Hoofdstuk 30 redt ze.

17.3 Rayleighverstrooiing: de blauwe hemel

Propositie 17.6 (Verstrooiing door een gebonden elektron)

Een golf met amplitude $E_0$ en frequentie $\omega$ valt op een atoom dat als een elastisch gebonden elektron met resonantie $\omega_0 \gg \omega$ is gemodelleerd (Hoofdstuk 14): het elektron trilt met amplitude $eE_0/m\omega_0^2$ , het atoom wordt een dipool $p_0 = e^2E_0/m\omega_0^2$ in fase met het veld, en straalt het vermogen $\mathcal P = p_0^2\omega^4/12\pi \varepsilon_0c^3$ opnieuw uit. De verhouding van dat vermogen tot de invallende intensiteit is de verstrooiingsdoorsnede

\sigma = \frac{\mathcal P}{\varepsilon_0cE_0^2/2} = \frac{8\pi}3\,r_e^2\Bigl(\frac\omega{\omega_0}\Bigr)^4 , \qquad r_e = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0mc^2} = 2.8 \times 10^{-15}\,\mathrm{m} :

de wet van Rayleigh, $\sigma \propto \omega^4 \propto 1/\lambda^4$ . Voor een vrij elektron ( $\omega_0 = 0$ ) is de doorsnede $\sigma_T = 8\pi r_e^2/3 = 6.65 \times 10^{-29}\,\mathrm{m}^{2}$ , onafhankelijk van de frequentie (thomsonverstrooiing).

Bewijs. Uit het model van Lorentz met $\omega \ll \omega_0$ en verwaarloosbare demping volgt $\underline{\vect r} = -e\underline{\vect E}/m\omega_0^2$ ; vul $p_0$ in het vermogen in en deel door $I = \varepsilon_0cE_0^2/2$ ; $r_e$ vat de constanten samen. Voor het vrije elektron is $\vect r = e\vect E/m\omega^2$ (in tegenfase), $p_0 = e^2E_0/m\omega^2$ , en vallen de $\omega^4$ tegen elkaar weg. ∎

Voorbeeld 17.7 (Blauwe hemel, rode zonsondergang, witte wolken)

Violet licht ( $400\,\mathrm{nm}$ ) wordt $(700/400)^4 = 9.4$ keer sterker verstrooid dan rood: de hemel, verlicht door verstrooid zonlicht, is blauw (niet violet: de zon zendt minder violet uit en het oog ziet het slecht). Bij zonsondergang doorkruist het directe licht veertig keer meer lucht dan op het middaguur en verliest het zijn blauw aan de hemel van andere plaatsen: het wordt rood. Elk luchtmolecuul verstrooit met $\sigma \approx 5 \times 10^{-31}\,\mathrm{m}^{2}$ bij $550\,\mathrm{nm}$ ; met $n = 2.5 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$ is de gemiddelde vrije weglengte $1/n\sigma$ gelijk aan $80\,\mathrm{km}$ : op weg naar beneden door de dampkring wordt een tiende van het groene licht verstrooid, en een derde van het violette. Wolkendruppels, veel groter dan $\lambda$ , zijn geen rayleighverstrooiers: zij verstrooien alle kleuren even sterk — wit.

Propositie 17.8 (Polarisatie door verstrooiing)

Natuurlijk licht dat langs $x$ loopt, wekt dipolen op in het $yz$ -vlak. Een waarnemer die langs $y$ kijkt (op $90{}^{\circ}$ van de bundel), ontvangt geen straling van de dipoolcomponenten langs $y$ (zijn zichtlijn) en volle straling van die langs $z$ : het verstrooide licht is lineair gepolariseerd langs $z$ , loodrecht op het vlak dat de bundel en de zichtlijn bevat. Onder andere hoeken is het gedeeltelijk gepolariseerd, met de graad $(1 - \cos^2\chi)/(1 + \cos^2\chi)$ voor de verstrooiingshoek $\chi$ .

Bewijs. Het invallende natuurlijke licht heeft een $\vect E$ met gemiddeld gelijke componenten langs $y$ en $z$ ; de dipool langs $y$ straalt niet naar $y$ ( $\sin \theta = 0$ ), die langs $z$ straalt $\propto\sin\theta = 1$ . Onder de hoek $\chi$ is de bijdrage van de $y$ -component in intensiteit met $\cos^2\chi$ verkleind. ∎

Zonlicht verstrooid door een luchtmolecuul: de opgewekte dipool heeft componenten loodrecht op de bundel; een waarnemer op 90 ontvangt alleen de component loodrecht op zijn zichtlijn — lineair gepolariseerd licht. Daar is de hemel het blauwst en het sterkst gepolariseerd. — Zonlicht verstrooid door een luchtmolecuul: de opgewekte dipool heeft componenten loodrecht op de bundel; een waarnemer op $90{}^{\circ}$ ontvangt alleen de component loodrecht op zijn zichtlijn — lineair gepolariseerd licht. Daar is de hemel het blauwst en het sterkst gepolariseerd.

Opmerking 17.9 (Waarom het blauwe licht ons überhaupt bereikt)

In een volmaakt uniform medium zouden de golven die door naburige moleculen worden verstrooid, in elke richting behalve vooruit destructief interfereren (de brekingsindex ís die vooruit verstrooide golf). Het zijn de schommelingen van de dichtheid van de lucht — moleculen liggen niet op een rooster — die een netto verstrooide intensiteit overlaten, evenredig met het aantal moleculen, zoals hierboven voor één molecuul is berekend (Einstein, 1910). Diezelfde willekeur maakt het licht van de hemel van punt tot punt onsamenhangend.

Methode 17.10 (Stralingsschattingen)

(1) Bepaal de dipool: $p_0 = q\,\times$ amplitude, of $I_0\ell/\omega$ voor een draad. (2) Veld op afstand $r$ : $E \approx \mu_0\omega^2p_0\sin\theta/4\pi r$ ; vermogen: $\mu_0\omega^4p_0^2/12\pi c$ . (3) Gebruik voor een versnelde lading Larmor; voor een antenne de stralingsweerstand. (4) Bereken voor verstrooiing de opgewekte dipool uit het antwoord van het medium (model van Lorentz) en deel het uitgestraalde vermogen door de invallende intensiteit. (5) Denk aan de nullen: niets langs de trillingsas, vandaar de polarisatie op $90{}^{\circ}$ en de hoek van Brewster uit Hoofdstuk 15.

17.4 Oefeningen

Oefening 17.1 ★

Een korte antenne van $1.0\,\mathrm{m}$ voert $2.0\,\mathrm{A}$ (amplitude) bij $100\,\mathrm{MHz}$ . Dipoolamplitude $p_0$ ; veldamplitude op $1\,\mathrm{km}$ in het equatorvlak en op $30{}^{\circ}$ met de as; uitgestraald vermogen; stralingsweerstand.

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.1.

$p_0 = I_0\ell/\omega = 3.2 \times 10^{-9}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m}$ ; $E = \mu_0\omega^2p_0\sin\theta/4\pi r$ : $0.13\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ bij $\theta = 90^\circ$ , $0.063\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ bij $30{}^{\circ}$ ; $\mathcal P = \mu_0\omega^4p_0^2/12\pi c = 175\,\mathrm{W}$ ; $R_{\text{str}} = 2\mathcal P/I_0^2 = 88\,\Omega$ .

Oefening 17.2 ★

Stralingsweerstand van een draad van $1\,\mathrm{m}$ bij $100\,\mathrm{kHz}$ , $1\,\mathrm{MHz}$ , $10\,\mathrm{MHz}$ en $100\,\mathrm{MHz}$ ; vergelijk met zijn koperweerstand (diameter $1\,\mathrm{mm}$ , met het huideffect bij de hogere frequenties, $\delta = 0.2\,\mathrm{mm}$ bij $100\,\mathrm{kHz}$ ); rendement (uitgestraald gedeeld door totaal) in elk geval. Waarom hebben langegolfzenders masten van honderden meters hoog?

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.2.

$790(\ell/\lambda)^2$ : $8.8 \times 10^{-5}\,\Omega$ , $8.8 \times 10^{-3}\,\Omega$ , $0.88\,\Omega$ , $88\,\Omega$ . Koper: $0.026$ , $0.084$ , $0.27$ , $0.84\,\Omega$ (huideffect): rendementen $0.3\%$ , $10\%$ , $77\%$ , $99\%$ . Bij lange golflengten heeft alleen een mast die een behoorlijke fractie van $\lambda$ is, een stralingsweerstand boven zijn verliezen.

Oefening 17.3 ★

Verhouding van de rayleighverstrooiing van licht van $400\,\mathrm{nm}$ , $550\,\mathrm{nm}$ en $700\,\mathrm{nm}$ ; van de radargolflengten $3\,\mathrm{cm}$ en $10\,\mathrm{cm}$ door regendruppels (als die klein genoeg waren — dat zijn zij niet helemaal); waarom gebruikt een weerradar korte golflengten om regen te zien en lange om er doorheen te kijken?

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.3.

$400 : 550 : 700 = 9.4 : 2.6 : 1$ . $(10/3)^4 = 120$ : de radar van $3\,\mathrm{cm}$ ziet kleine druppels honderd keer beter; die van $10\,\mathrm{cm}$ kijkt door de regen heen naar wat erachter zit.

Oefening 17.4 ★

Polarisatiegraad van hemellicht op $30{}^{\circ}$ , $60{}^{\circ}$ , $90{}^{\circ}$ en $120{}^{\circ}$ van de zon; waar aan de hemel moet een fotograaf een polarisator op richten voor het diepste blauw, en wat gebeurt er als de zon in het zenit staat? Waarom is het werkelijke maximum maar ongeveer $75\%$ (denk aan meervoudige verstrooiing en aan wat de grond terugkaatst)?

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.4.

$\sin^2\chi/(1 + \cos^2\chi)$ : $0.14$ , $0.60$ , $1$ , $0.60$ . Richt op $90{}^{\circ}$ van de zon (een grote cirkel over de hemel); staat de zon in het zenit, dan ligt de hele horizon op $90{}^{\circ}$ en is de polarisatie erlangs gericht. Meervoudige verstrooiing, de weerkaatsing van de grond en de anisotropie van de moleculen voegen ongepolariseerd licht toe: hoogstens ongeveer $75\%$ .

Oefening 17.5 ★★

(a) Integreer de poyntingvector van de dipool over een bol en ga $\mathcal P = \mu_0\omega^4p_0^2/12\pi c$ na. (b) Fractie van het vermogen dat binnen $30{}^{\circ}$ van het equatorvlak wordt uitgestraald. (c) Halfvermogenshoek: bij welke $\theta$ is de intensiteit de helft van haar maximum? (d) De “richtingswinst” van de dipool, de maximale intensiteit gedeeld door het isotrope gemiddelde: toon aan dat die $1.5$ is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.5.

(a) $\int\sin^2\theta\,\dd\Omega = 8\pi/3$ . (b) $\int_{60^\circ}^{120^\circ}\sin^3\theta\,\dd\theta/ (4/3) = 0.917/1.333 = 69\%$ . (c) $\sin^2\theta = \tfrac12$ : $\theta = 45{}^{\circ}$ , een bundel van $90{}^{\circ}$ breed. (d) Maximum $1$ tegen het gemiddelde $2/3$ : $1.5$ .

Oefening 17.6 ★★

Dichtbij en veraf. (a) Schrijf het quasistatische veld van een dipool bij $\theta = 90^\circ$ op, $E_{\text{nz}} = p/4\pi\varepsilon_0r^3$ , en het stralende veld; op welke afstand $r_0$ zijn hun amplitudes gelijk? Druk $r_0$ in $\lambda$ uit. (b) Voor een antenne van $1\,\mathrm{MHz}$ : $r_0$ ; welk veld voelt een ontvanger op $10\,\mathrm{m}$ , en op $10\,\mathrm{km}$ ? (c) Een mobiele telefoon van $1\,\mathrm{GHz}$ die $2\,\mathrm{cm}$ van het hoofd wordt gehouden: nabijheidszone of stralingszone? (d) Waarom voert het nabije veld netto geen vermogen af?

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.6.

(a) $p/4\pi\varepsilon_0r^3 = \omega^2p/4\pi\varepsilon_0c^2r$ bij $r_0 = c/\omega = \lambda/2\pi$ . (b) $48\,\mathrm{m}$ : op $10\,\mathrm{m}$ het quasistatische veld, op $10\,\mathrm{km}$ het uitgestraalde. (c) $r_0 = 4.8\,\mathrm{cm}$ : het hoofd zit in de nabijheidszone. (d) In de nabijheidszone zijn $\vect E$ en $\vect B$ in kwadratuur: de poyntingvector is gemiddeld nul, energie wordt opgeslagen en teruggegeven, zoals in een condensator.

Oefening 17.7 ★★

Thomson en de corona. (a) Bereken $\sigma_T$ . (b) De zonnecorona heeft $n_e \approx 1 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{-3}$ over $10^9$ m: fractie van het licht van de fotosfeer die naar ons wordt verstrooid; waarom is de corona wit en alleen tijdens een eclips zichtbaar? (c) Röntgenstraling van $10\,\mathrm{keV}$ op een koolstofatoom ( $6$ elektronen, bindingsenergieën onder $300\,\mathrm{eV}$ ): waarom verstrooien de elektronen alsof zij vrij zijn, en wat is de doorsnede van het atoom? (d) Waarom verschilt een medische röntgenfoto van bot en van vlees vooral door absorptie en niet door thomsonverstrooiing?

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.7.

(a) $8\pi r_e^2/3 = 6.65 \times 10^{-29}\,\mathrm{m}^{2}$ . (b) $n_e\sigma_TL = 10^{14} \times 6.65 \times 10^{-29} \times 10^9 = 7 \times 10^{-6}$ : een miljoenste van de fotosfeer, kleurloos omdat thomsonverstrooiing dat is, en verdronken in het verstrooide zonlicht van de hemel behalve tijdens een eclips. (c) $10\,\mathrm{keV}$ $\gg$ $300\,\mathrm{eV}$ : de elektronen reageren alsof zij vrij zijn, $6\sigma_T = 4 \times 10^{-28}\,\mathrm{m}^{2}$ . (d) Foto-elektrische absorptie groeit als $Z^4$ en licht het calcium eruit; verstrooiing is per elektron in bot en vlees hetzelfde.

Oefening 17.8 ★★

Zonsondergang. De optische dikte van de dampkring voor rayleighverstrooiing in het zenit is $\tau(\lambda) = 0.1\,(550\,\text{nm}/\lambda)^4$ (het directe licht wordt met $\eu^{-\tau}$ verzwakt). (a) Doorlating in het zenit voor $400\,\mathrm{nm}$ , $550\,\mathrm{nm}$ en $700\,\mathrm{nm}$ . (b) Bij zonsondergang is de weg $38$ keer langer: doorlatingen; verhouding rood/blauw. (c) Waarom wordt de maan rood tijdens een maansverduistering? (d) Waarom is de hemel bij de horizon witachtig in plaats van diepblauw?

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.8.

(a) $\tau = 0.36$ , $0.10$ , $0.038$ : $T = 0.70$ , $0.90$ , $0.96$ . (b) $\tau \times 38 = 13.6$ , $3.8$ , $1.45$ : $T = 1 \times 10^{-6}$ , $0.02$ , $0.23$ ; rood gedeeld door blauw $\sim 2 \times 10^5$ . (c) De dampkring van de aarde buigt het licht van de zonsondergang de schaduw in, verrood door dezelfde verstrooiing. (d) Bij de horizon is de weg lang: het blauw wordt uit het verstrooide licht zelf weggestrooid, en meervoudige verstrooiing voegt wit toe.

Oefening 17.9 ★★

Twee antennes. Twee verticale dipolen op een afstand $d$ langs $x$ worden met dezelfde amplitude gevoed. (a) In fase, $d = \lambda/2$ : in welke horizontale richtingen tellen hun verre velden op, en in welke heffen zij elkaar op? (dwarsstraler). (b) In tegenfase, $d = \lambda/2$ : hetzelfde (langsstraler). (c) In kwadratuur, $d = \lambda/4$ : toon aan dat de rij maar naar één kant straalt. (d) Waarom gebruiken AM-zenders verscheidene masten, en hoe stuurt een fasegestuurde radar haar bundel zonder te bewegen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.9.

(a) Langs de lijn van het paar geeft het wegverschil $\lambda/2$ uitdoving; dwars erop optelling. (b) In tegenfase: het omgekeerde — straling langs de lijn (langsstraler), niets dwars. (c) Naar $+x$ : een looptijdfase $-\pi/2$ plus een voedingsfase $+\pi/2$ , dus in fase; naar $-x$ : $-\pi$ , dus uitdoving: een cardioïde, eenzijdig. (d) Masten vormen het dekkingsgebied en beschermen buurzenders; een fasegestuurde rij richt zich door de voedingsfasen te veranderen, in microseconden.

Oefening 17.10 ★★★

Stralingsdemping. Het elektron van Lorentz (Hoofdstuk 14) dat met $\omega_0$ en amplitude $x_0$ trilt, straalt volgens de formule van Larmor. (a) Gemiddeld uitgestraald vermogen; energie van de oscillator $\tfrac12m\omega_0^2x_0^2$ ; toon aan dat de energie uitdooft met de snelheid $\Gamma = e^2\omega_0^2/6\pi\varepsilon_0mc^3$ . (b) Waarde van $\Gamma$ voor de natriumlijn ( $589\,\mathrm{nm}$ ): vergelijk met de $\Gamma$ die in Oefening 14.9 is gebruikt. (c) Levensduur $1/\Gamma$ en de natuurlijke breedte van de lijn, $\Delta\lambda = \lambda^2\Gamma/2\pi c$ . (d) Kwaliteitsfactor $\omega_0/\Gamma$ van de atomaire oscillator.

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.10.

(a) $\langle\mathcal P\rangle = e^2\omega_0^4x_0^2/12\pi\varepsilon_0c^3$ , $W = \tfrac12m\omega_0^2x_0^2$ : $\Gamma = \mathcal P/W = e^2\omega_0^2/6\pi\varepsilon_0mc^3$ . (b) $\omega_0 = 3.2 \times 10^{15}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ : $\Gamma = 6.4 \times 10^{7}\,\mathrm{s}^{-1}$ — de gebruikte waarde. (c) $16\,\mathrm{ns}$ ; $\Delta\lambda = \lambda^2\Gamma/2\pi c = 1.2 \times 10^{-14}\,\mathrm{m}$ , een honderdste picometer ( $10\,\mathrm{MHz}$ ). (d) $Q = 5 \times 10^7$ .

Oefening 17.11 ★★★

De mast. Een AM-zender straalt $50\,\mathrm{kW}$ uit bij $1\,\mathrm{MHz}$ vanaf een verticale mast met hoogte $\lambda/4$ op een geleidende grond (die als spiegel werkt, zodat de mast de helft van een halvegolfdipool is: $R_{\text{str}} \approx 36\,\Omega$ , en het vermogen gaat alleen de bovenste halfruimte in). (a) Hoogte; stroom aan de voet. (b) Veldamplitude op $10\,\mathrm{km}$ in het horizontale vlak (gebruik het dipooldiagram, $\mathcal P$ over de bovenste halve bol $= \int\langle\Pi\rangle\dd S$ ; neem $\langle\Pi\rangle = 1.5\, \mathcal P/2\pi r^2$ aan de horizon als redelijke schatting). (c) Emk in een ontvangende spriet van $1\,\mathrm{m}$ daar. (d) Waarom doet de geleidbaarheid van de grond ertoe, en waarom liggen er radiale koperdraden onder de mast ingegraven?

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.11.

(a) $75\,\mathrm{m}$ ; $I_0 = \sqrt{2\mathcal P/R} = 53\,\mathrm{A}$ . (b) $\langle\Pi\rangle = 1.5 \times 5 \times 10^4/2\pi \times 10^8 = 1.2 \times 10^{-4}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , $E_0 = \sqrt{2\Pi/\varepsilon_0c} = 0.30\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ . (c) $0.30\,\mathrm{V}$ . (d) De retourstromen lopen door de grond; een weerstandbiedende bodem voegt verliezen toe en bederft de spiegel; ingegraven radiale draden geven hun een koperen weg.

Oefening 17.12 ★★★

Verstrooiing en de brekingsindex. Voor een ijl gas tellen de vooruit verstrooide golven van alle moleculen coherent op en bouwen zij de brekingsindex op, $n - 1 = N\alpha/2\varepsilon_0$ met $\alpha = e^2/m\omega_0^2$ de polariseerbaarheid; de doorsnede van Rayleigh is $\sigma = (8\pi/3)r_e^2(\omega/\omega_0)^4$ . (a) Druk $\sigma$ uit in $n$ , $N$ en $\lambda$ : $\sigma = 8\pi^3(n^2 - 1)^2/3N^2\lambda^4$ . (b) Voor lucht ( $n - 1 = 2.9 \times 10^{-4}$ , $N = 2.5 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$ ) bij $550\,\mathrm{nm}$ : $\sigma$ en de gemiddelde vrije weglengte $1/N\sigma$ . (c) Verticale optische dikte van de dampkring (equivalente hoogte $8\,\mathrm{km}$ ); vergelijk met de $0.1$ uit Oefening 17.8. (d) Waarom gaf deze betrekking (Rayleigh, 1899) een waarde voor het getal van Avogadro?

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.12.

(a) $p_0 = \alpha E_0$ geeft $\sigma = \alpha^2\omega^4/6\pi\varepsilon_0^2c^4$ ; met $\alpha = \varepsilon_0(n^2 - 1)/N$ en $\omega = 2\pi c/\lambda$ : $\sigma = 8\pi^3(n^2 - 1)^2/3N^2\lambda^4$ . (b) $n^2 - 1 = 5.8 \times 10^{-4}$ : $\sigma = 4.9 \times 10^{-31}\,\mathrm{m}^{2}$ , gemiddelde vrije weglengte $1/N\sigma = 80\,\mathrm{km}$ . (c) $8/80 = 0.1$ . (d) $\sigma$ wordt uit de verzwakking van de hemel gemeten en $n$ is bekend: daaruit volgt $N$ , en dus het getal van Avogadro.

17.5 Vraagstuk: De mast, de hemel en het elektron

Probleem 17.1

Weekendvraagstuk — drie antennes: een zendmast, een luchtmolecuul in de zon, en een vrij elektron

Deel I — De mast. Een middengolfzender op $f = 1.0\,\mathrm{MHz}$ straalt $\mathcal P = 100\,\mathrm{kW}$ uit vanaf een kwartgolfmast op een geleidende grond ( $R_{\text{str}} = 36\,\Omega$ , met het diagram van een verticale dipool over de bovenste halfruimte, zoals in Oefening 17.11).

Golflengte en hoogte van de mast; stroomamplitude aan de voet; spanning over $R_{\text{str}}$ .
Amplitude van het equivalente dipoolmoment, waarbij de mast als korte dipool wordt behandeld met $p_0 = I_0\ell_{\text{eff}}/\omega$ en $\ell_{\text{eff}} \approx \lambda/2\pi$ voor de kwartgolfmast (aangenomen).
Gemiddelde intensiteit op $10\,\mathrm{km}$ en $100\,\mathrm{km}$ in het horizontale vlak (neem het diagram van de bovenste halve bol, maximaal aan de horizon, $\langle\Pi\rangle = 1.5\mathcal P/2\pi r^2$ ); veldamplitudes.
Emk in een verticale spriet van $1\,\mathrm{m}$ op $100\,\mathrm{km}$ ; en in een ferrietstaafantenne (een spoel van $N = 100$ windingen, $1\,\mathrm{cm}^{2}$ , effectieve permeabiliteit $100$ ) die naar de $\vect B$ van de golf is gericht: vergelijk.
Vermogen dat een aangepaste ontvanger opneemt met een antenne met effectief oppervlak $A = 1.5\lambda^2/4\pi$ (dat van de dipool) op $100\,\mathrm{km}$ .
De geleiders van de mast hebben samen een verliesweerstand van $2\,\Omega$ : rendement; vermogen dat als warmte verloren gaat.
Zit een ontvanger op $10\,\mathrm{km}$ in de stralingszone? En een op $100\,\mathrm{m}$ van de mast?
Waarom reiken middengolfsignalen ’s nachts verder? (Denk aan de D-laag van Hoofdstuk 14.)

Deel II — De hemel. Lucht op zeeniveau: $N = 2.5 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$ , doorsnede van Rayleigh $\sigma = 4.6 \times 10^{-31}\,\mathrm{m}^{2}\,(550\,\text{nm}/\lambda)^4$ ; zonlicht $1.0\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ op de grond; de equivalente dikte van de dampkring bij de dichtheid op zeeniveau is $8\,\mathrm{km}$ .

Doorsnede bij $450\,\mathrm{nm}$ en $650\,\mathrm{nm}$ ; verhouding.
Gemiddelde vrije weglengte van de drie kleuren; verticale optische dikte $\tau = N\sigma H$ ; fractie van elke kleur die uit de directe bundel wordt verstrooid in het zenit.
Vermogen dat per kubieke meter lucht aan de grond uit het groene licht wordt verstrooid (neem $300\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ zonlicht rond $550\,\mathrm{nm}$ ); in welke ruimtehoek, met welk diagram?
Een luchtkolom met een doorsnede van $1\,\mathrm{m}^{2}$ , bekeken op $90{}^{\circ}$ van de zon: schat de intensiteit van het hemellicht dat de waarnemer uit die kolom bereikt (verstrooid vermogen naar hem toe per eenheid ruimtehoek, over de $8\,\mathrm{km}$ ), en vergelijk met de directe zon; is de helderheid van de hemel van de juiste orde (ongeveer $1 \times 10^{-5}\,$ van die van de zon)?
Polarisatiegraad van het licht uit die kolom; waarom is die in werkelijkheid lager, en hoe gebruiken sommige insecten haar?
Bij zonsondergang is de weg $38$ dampkringen: doorgelaten fracties van blauw en rood; kleur van de zon; waarom de hemel recht boven blauw blijft.
Waarom is de hemel op de maan zwart, zelfs op klaarlichte dag?
Op Mars is de lucht honderd keer ijler maar vol fijn stof (korrels van een micrometer): waarom is de Marshemel botergeel en haar zonsondergang blauw?

Deel III — Het elektron.

Doorsnede van Thomson uit $r_e$ .
In een röntgenbuis wordt een elektron van $100\,\mathrm{keV}$ ( $v = 1.6 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , niet-relativistisch behandeld) over $2\,\text{µ}\mathrm{m}$ in wolfraam gestopt: versnelling, vermogen volgens Larmor, duur, uitgestraalde energie en haar fractie van de kinetische energie.
Kortste golflengte die de buis kan uitzenden (een foton dat de hele energie van het elektron opneemt).
De buis loopt op $20\,\mathrm{mA}$ : uitgestraald vermogen; warmte in de anode; waarom de anode draait.
Een klassiek elektron dat op de bohrstraal om een proton cirkelt ( $5.3 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}$ , snelheid $2.2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ): versnelling, vermogen volgens Larmor, en de tijd om zijn $13.6\,\mathrm{eV}$ weg te stralen — de levensduur van het klassieke atoom.
Echte atomen bestaan eeuwig: noem wat de klassieke fysica hier mist, en wat Hoofdstuk 30 over een stationaire toestand zal zeggen.
Een elektron in een synchrotron met straal $100\,\mathrm{m}$ bij $v \approx c$ : welk vermogen geeft de niet-relativistische formule van Larmor? (Het werkelijke vermogen is $\gamma^4$ keer groter, met $\gamma \sim 10^4$ : de synchrotronlichtbron.)
Datzelfde elektron in rust in de $1\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ zonlicht: vermogen dat het opnieuw uitstraalt (Thomson); aantal van zulke elektronen dat nodig is om een watt te verstrooien.
Vat de drie antennes samen in een tabel: dipoolmoment, frequentie, vermogen, diagram.

Oplossing

Oplossing van Probleem 17.1.

1. $\lambda = 300\,\mathrm{m}$ , $h = 75\,\mathrm{m}$ ; $I_0 = \sqrt{2 \times 10^5/36} = 75\,\mathrm{A}$ ; $V = RI_0 = 2.7\,\mathrm{kV}$ .

2. $\ell_{\text{eff}} = 48\,\mathrm{m}$ : $p_0 = 75 \times 48/6.3 \times 10^6 = 5.7 \times 10^{-4}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m}$ .

3. $\langle\Pi\rangle = 1.5 \times 10^5/2\pi r^2$ : $2.4 \times 10^{-4}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ en $2.4 \times 10^{-6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; $E_0 = 0.42\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ en $0.042\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ .

4. Spriet: $42\,\mathrm{mV}$ . Ferrietstaaf: $N\mu_{\text{eff}}A\omega B_0 = 10^4 \times 10^{-4} \times 6.3 \times 10^6 \times 1.4 \times 10^{-10} = 0.9\,\mathrm{mV}$ — minder, maar compact en selectief.

5. $A = 1.5\lambda^2/4\pi = 1.1 \times 10^{4}\,\mathrm{m}^{2}$ : $P = \Pi A = 26\,\mathrm{mW}$ .

6. $36/38 = 95\%$ ; $5\,\mathrm{kW}$ warmte.

7. $r/\lambda = 33$ op $10\,\mathrm{km}$ : stralingszone; op $100\,\mathrm{m}$ is $r \approx \lambda/3$ : het overgangsgebied, waar het quasistatische veld nog meetelt.

8. Overdag absorbeert de D-laag de golf die anders de weerkaatsende lagen zou bereiken; ’s nachts is zij verdwenen en draagt de ruimtegolf de zender honderden kilometers ver.

9. $\sigma(450) = 1.0 \times 10^{-30}\,\mathrm{m}^{2}$ , $\sigma(650) = 2.4 \times 10^{-31}\,\mathrm{m}^{2}$ : verhouding $4.4$ .

10. Gemiddelde vrije weglengten $39$ , $87$ en $170\,\mathrm{km}$ ; $\tau = 0.21$ , $0.09$ , $0.05$ : $19\%$ , $9\%$ en $5\%$ verstrooid.

11. $N\sigma I = 2.5 \times 10^{25} \times 4.6 \times 10^{-31} \times 300 = 3.5\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{3}$ , in $4\pi$ met het diagram $(1 + \cos^2\chi)$ voor natuurlijk licht.

12. De kolom verstrooit $3.5 \times 10^{-3} \times 8000 = 28\,\mathrm{W}$ van haar $300\,\mathrm{W}$ ( $9\%$ ); uitgesmeerd over de halve bol levert de hemel zo’n $4\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{sr}^{-1}$ , tegen de $300/6.8 \times 10^{-5} = 4 \times 10^{6}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{sr}^{-1}$ van de zon: een miljoenste per steradiaal — de juiste orde.

13. Bij enkelvoudige verstrooiing volledig gepolariseerd op $90{}^{\circ}$ ; meervoudige verstrooiing en de grond brengen dat tot zo’n $75\%$ terug; bijen en mieren lezen het patroon om de zon achter de wolken te vinden.

14. $\tau \times 38$ : blauw $8$ ( $T = 3 \times 10^{-4}$ ), rood $1.8$ ( $T = 0.17$ ): een diep rode zon; recht boven komt het licht na een korte weg aan en is het blauw.

15. Geen dampkring, niets om te verstrooien: de hemel is zwart naast de zon.

16. Stof van een micrometer verstrooit als miedeeltjes: vooruit en rood, wat een botergele hemel geeft; vlak bij de ondergaande zon is het vooruit verstrooide licht blauw.

17. $8\pi r_e^2/3 = 6.65 \times 10^{-29}\,\mathrm{m}^{2}$ .

18. $a = v^2/2d = 6.4 \times 10^{21}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $\mathcal P = e^2a^2/6\pi\varepsilon_0c^3 = 2 \times 10^{-10}\,\mathrm{W}$ gedurende $2d/v = 2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ : $6 \times 10^{-24}\,\mathrm{J}$ , $10^{-10}$ van $100\,\mathrm{keV}$ — de werkelijke opbrengst ligt bij $1\%$ , omdat het afremmen in heftige nabije ontmoetingen met kernen gebeurt en niet in een zachte eenparige vertraging.

19. $hc/E = 12.4\,\mathrm{pm}$ .

20. $2\,\mathrm{kW}$ in de bundel, ongeveer $20\,\mathrm{W}$ röntgenstraling; twee kilowatt warmte op één vlek — de anode draait om die te spreiden.

21. $a = v^2/r = 9 \times 10^{22}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $\mathcal P = 5 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}$ ; $13.6\,\mathrm{eV}$ weg in $5 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}$ .

22. Klassieke ladingen in gebonden beweging stralen onafgebroken; de kwantummechanica heeft stationaire toestanden die dat niet doen, en een laagste toestand waar niets onder ligt.

23. $a = c^2/R = 9 \times 10^{14}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : $5 \times 10^{-24}\,\mathrm{W}$ volgens Larmor, in werkelijkheid $\gamma^4 \sim 10^{16}$ keer meer: tientallen kilowatt synchrotronlicht uit een opgeslagen bundel.

24. $\sigma_TI = 6.7 \times 10^{-26}\,\mathrm{W}$ ; $1.5 \times 10^{25}$ elektronen voor een watt.

25. Mast: $5.7 \times 10^{-4}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m}$ bij $1\,\mathrm{MHz}$ , $100\,\mathrm{kW}$ , een verticale torus. Molecuul: $\sim$ $1 \times 10^{-35}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m}$ bij $500\,\mathrm{THz}$ , $1 \times 10^{-28}\,\mathrm{W}$ , een torus om het veld. Vrij elektron: Thomson, $1 \times 10^{-25}\,\mathrm{W}$ in zonlicht, hetzelfde diagram.