Universitaire natuurkunde — jaar 2 · Bachelor Year 2

3Volmaakte fluïda: Euler en Bernoulli

Houd een vel papier aan de rand vast en blaas er overheen: het komt omhoog. Zet de douche aan en het gordijn buigt naar binnen. Een vleugel houdt driehonderd ton in de lucht omdat de lucht sneller over haar bovenkant stroomt dan eronder. Alle drie zeggen hetzelfde: waar een fluïdum sneller beweegt, is de druk lager. Dit hoofdstuk schrijft de tweede wet van Newton op voor een fluïdumdeeltje in het eenvoudigste model — het volmaakte fluïdum, dat druk ondervindt maar geen wrijving — en leidt er de stelling van Bernoulli uit af, de energiebalans van een stroomlijn, met toepassingen van de debietmeter in een buis tot de snelheidsmeter van een vliegtuig.

3.1 De vergelijking van Euler

Propositie 3.1 (Drukkracht op een fluïdumdeeltje)

De resultante van de drukkrachten die het omringende fluïdum uitoefent op een deeltje met volume $\dd\tau$ is

\dd\vect F_P = -\operatorname{\vect{grad}}P\,\dd\tau :

druk werkt als een volumekracht met dichtheid $-\operatorname{\vect{grad}}P$ , die van hoge naar lage druk duwt.

Bewijs. Op het blokje van Stelling 2.8 ontvangen de zijvlakken in $x$ en $x + \dd x$ de krachten $+P(x)\dd y\dd z$ en $-P(x + \dd x)\dd y\dd z$ langs $x$ : netto $-\partial_xP\,\dd x\dd y\dd z$ ; evenzo voor $y$ en $z$ . ∎

Definitie 3.2 (Volmaakt fluïdum)

Een volmaakt fluïdum is er een waarin de druk de enige contactkracht tussen naburige deeltjes is — loodrecht op elk oppervlak, zonder tangentiële (viskeuze) spanning. Het is een idealisatie die, zoals het volgende hoofdstuk uitlegt, geldig is ver van wanden en bij een hoog reynoldsgetal: water in een buis weg van de wand, lucht om een vleugel buiten de dunne grenslaag, een golf op zee.

Stelling 3.3 (Vergelijking van Euler)

In een galileïsch stelsel voldoet een volmaakt fluïdum met dichtheid $\rho$ onder de zwaartekracht in elk punt aan

\rho\Bigl(\frac{\partial\vect v}{\partial t} + (\vect v\cdot\operatorname{\vect{grad}}) \vect v\Bigr) = -\operatorname{\vect{grad}}P + \rho\vect g ,

waaraan rechts elke andere volumekrachtdichtheid $\vect f_v$ (elektrisch, of traagheidskracht in een niet-galileïsch stelsel) wordt toegevoegd. In rust herleidt zij zich tot de hydrostatische wet $\operatorname{\vect{grad}}P = \rho\vect g$ van het volume van jaar 1.

Bewijs. Tweede wet van Newton voor het deeltje met massa $\rho\,\dd\tau$ : zijn versnelling is de materiële afgeleide (Stelling 2.4), de krachten zijn de resultante van de druk en het gewicht $\rho\vect g\,\dd\tau$ ; deel door $\dd\tau$ . ∎

Voorbeeld 3.4 (Een tank die versnelt)

Water in een tank op een vrachtwagen die met $\vect a$ versnelt, is in rust in het stelsel van de vrachtwagen; daar geeft Euler met de traagheidskracht $-\rho\vect a$ dat $\operatorname{\vect{grad}}P = \rho(\vect g - \vect a)$ : de druk neemt toe langs de “effectieve zwaartekracht” $\vect g - \vect a$ , het vrije oppervlak (een isobaar) staat er loodrecht op en helt naar achteren over de hoek $\arctan(a/g)$ — $11{}^{\circ}$ voor $a = 2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . In een emmer die met $\Omega$ draait, geeft de middelpuntvliedende kracht $\rho\Omega^2r\,\vect e_r$ dat $P = P_0 + \tfrac12\rho\Omega^2r^2 - \rho gz$ , en is het vrije oppervlak de paraboloïde $z = \Omega^2r^2/2g$ .

Links: de drukkrachten op de zijvlakken van een fluïdumblokje heffen elkaar niet op wanneer P verandert — hun resultante is - gradP per volume-eenheid. Midden en rechts: twee fluïda in rust in een versneld stelsel; het vrije oppervlak staat overal loodrecht op de effectieve zwaartekracht. — Links: de drukkrachten op de zijvlakken van een fluïdumblokje heffen elkaar niet op wanneer $P$ verandert — hun resultante is $-\operatorname{\vect{grad}}P$ per volume-eenheid. Midden en rechts: twee fluïda in rust in een versneld stelsel; het vrije oppervlak staat overal loodrecht op de effectieve zwaartekracht.

3.2 De stelling van Bernoulli

Stelling 3.5 (Bernoulli)

Voor een volmaakt, onsamendrukbaar fluïdum met uniforme dichtheid in stationaire stroming is, in een galileïsch stelsel met uniforme zwaartekracht, de grootheid

P + \tfrac12\rho v^2 + \rho gz

constant langs elke stroomlijn. Is de stroming bovendien rotatievrij, dan is het dezelfde constante in het hele fluïdum. De term $\tfrac12\rho v^2$ is de dynamische druk; $P + \tfrac12\rho v^2$ is de stuwdruk, de druk die het fluïdum zou bereiken als het langs zijn stroomlijn tot stilstand werd gebracht.

Bewijs. Stationaire Euler met $(\vect v\cdot\operatorname{\vect{grad}})\vect v = \operatorname{\vect{grad}}(v^2/2) + \vect\omega\wedge\vect v$ en $\rho\vect g = -\operatorname{\vect{grad}}(\rho gz)$ , met $\rho$ uniform:

\operatorname{\vect{grad}}\bigl(P + \tfrac12\rho v^2 + \rho gz\bigr) = -\rho\, \vect\omega\wedge\vect v .

Het rechterlid staat loodrecht op $\vect v$ , zodat de gradiënt van de grootheid van Bernoulli geen component langs de stroomlijn heeft: de grootheid is er constant langs. Is $\vect\omega = \vect 0$ , dan verdwijnt de gradiënt overal. ∎

Opmerking 3.6 (Wat Bernoulli zegt en niet zegt)

Gedeeld door $\rho$ luidt de stelling: de mechanische energie per massa-eenheid, $v^2/2 + gz$ , plus $P/\rho$ blijft behouden langs de baan van een deeltje. De drukterm is de arbeid die de druk van het fluïdum erachter op het deeltje verricht, min de arbeid die het op het fluïdum ervoor verricht: de energiestelling voor een deeltje dat zonder wrijving door een drukveld wordt geduwd. Vier voorwaarden: volmaakt fluïdum (geen viskeus verlies), stationair, onsamendrukbaar, en langs een stroomlijn. Twee punten op verschillende stroomlijnen mag men alleen in een rotatievrije stroming vergelijken. De stelling zegt niet “snelle lucht zuigt”: zij zegt dat een deeltje dat (door een drukval) is versneld, nu een lagere druk heeft — de oorzaak is het drukveld, de snelheid is het gevolg.

Opmerking 3.7 (Samendrukbare fluïda)

Voor een gas verandert de dichtheid, maar is de stroming stationair, volmaakt en isentroop, dan geeft hetzelfde bewijs het behoud van $h + v^2/2 + gz$ langs een stroomlijn, waarin $h$ de enthalpie per massa-eenheid is ( $h = c_PT$ voor een ideaal gas): de vorm die in Hoofdstuk 27 voor mondstukken en turbines wordt gebruikt. Bij snelheden ver onder de geluidssnelheid ( $v \lesssim 100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ in lucht) verandert de dichtheid met minder dan $5\%$ en is de onsamendrukbare stelling nauwkeurig.

3.3 Toepassingen

Propositie 3.8 (De venturimeter)

In een horizontale buis die van doorsnede $S_1$ naar $S_2 < S_1$ vernauwt, stijgt de snelheid ( $v_2 = v_1S_1/S_2$ , behoud van massa) en daalt de druk:

P_1 - P_2 = \tfrac12\rho(v_2^2 - v_1^2) = \tfrac12\rho v_1^2\Bigl(\frac{S_1^2}{S_2^2} - 1\Bigr) , \qquad D_V = S_1v_1 = S_1S_2\sqrt{\frac{2(P_1 - P_2)}{\rho(S_1^2 - S_2^2)}} .

Het drukverschil met een manometer meten geeft het debiet: een venturimeter. Hetzelfde effect drijft een carburateur aan, een verfspuit, de luchtinlaat van een bunsenbrander en de “zuiging” van een voorbijrijdende trein.

Bewijs. Bernoulli langs een centrale stroomlijn op constante hoogte, met $v_2 = v_1S_1/S_2$ ; los op naar $v_1$ . ∎

Propositie 3.9 (De pitotbuis)

Een buis die naar de stroming gericht is en aan het verre uiteinde gesloten, brengt het fluïdum aan haar monding tot stilstand (een stuwpunt); een tweede opening opzij, evenwijdig aan de stroming, leest de statische druk $P$ af. Het verschil is de dynamische druk:

P_{\text{stuw}} - P = \tfrac12\rho v^2 , \qquad v = \sqrt{2(P_{\text{stuw}} - P)/\rho} .

Elk vliegtuig meet zo zijn luchtsnelheid.

Bewijs. Bernoulli langs de stroomlijn die in het stuwpunt eindigt, waar $v = 0$ ; de zijopeningen verstoren de stroming niet, die er met de onverstoorde $v$ en $P$ passeert. ∎

Propositie 3.10 (Formule van Torricelli)

Een groot open vat loopt leeg door een klein gat op diepte $h$ onder het vrije oppervlak; de straal vertrekt met

v = \sqrt{2gh} ,

de snelheid van de vrije val vanaf het oppervlak. Het debiet is $D_V \approx \alpha s\sqrt{2gh}$ met $s$ de oppervlakte van het gat en $\alpha \approx 0.6$ de contractiecoëfficiënt van een scherprandige opening (de stroomlijnen blijven voorbij het gat naar elkaar toe lopen).

Bewijs. Bernoulli van het vrije oppervlak (in rust, want het vat is groot: $v_{\text{opp}} = v\,s/S \ll v$ ; druk $P_0$ ) naar de straal (druk $P_0$ vlak buiten het gat): $P_0 + \rho gh = P_0 + \tfrac12\rho v^2$ . De stroming is quasi-stationair: $h$ verandert langzaam. ∎

Drie toepassingen van de stelling van Bernoulli. Links: de venturimeter — de manometer leest de drukval in de vernauwing af, en daarmee het debiet. Midden: de pitotbuis — de stuwdruk aan de monding overtreft de statische druk aan de zijopeningen met de dynamische druk. Rechts: de uitstroming van Torricelli met de snelheid van de vrije val.

Voorbeeld 3.11 (Getallen)

Een venturi van $5\,\mathrm{cm}$ die tot $2.5\,\mathrm{cm}$ vernauwt op een waterleiding, met $\Delta h = 20\,\mathrm{cm}$ water ( $2.0\,\mathrm{kPa}$ ): $v_1 = \sqrt{2 \times 2000/ (1000 \times 15)} = 0.52\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $D_V = 1.0\,\mathrm{L}/\mathrm{s}$ . Een verkeersvliegtuig op $11\,\mathrm{km}$ ( $\rho = 0.36\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) bij $250\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : dynamische druk $11\,\mathrm{kPa}$ , $11\%$ van de omgevingsdruk — de pitotbuis werkt nog altijd, met een correctie voor samendrukbaarheid. Een watertoren $40\,\mathrm{m}$ boven de kranen: $4\,\mathrm{bar}$ bij gesloten kraan, een straal van $28\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ als zij wijd opengaat (in de praktijk veel minder: de leidingen zijn niet volmaakt).

Propositie 3.12 (Draagkracht op een vleugel)

In de stroming om een vleugel gaat de lucht sneller over de bovenkant dan onder de onderkant; de druk is daarom boven lager dan onder, en de resultante is de draagkracht $F_L = \tfrac12\rho v^2SC_L$ ( $S$ het vleugeloppervlak, $C_L \approx 0.3$ – $1.5$ de draagkrachtcoëfficiënt, afhankelijk van het profiel en de invalshoek). Het snelheidsverschil komt neer op een circulatie $\Gamma$ van de snelheid om het profiel, en de draagkracht per eenheid spanwijdte is $F_L' = \rho v\Gamma$ (Kutta–Joukowski, aangenomen). Een tollende bal sleept lucht met zich mee en wordt op dezelfde manier zijwaarts gedragen: het magnuseffect van een gesneden tennisbal of een gekrulde vrije trap.

Bewijs. Bernoulli op de stroomlijnen vlak boven en vlak onder, die van dezelfde stroomopwaartse toestand vertrekken: $P_{\text{onder}} - P_{\text{boven}} = \tfrac12\rho (v_{\text{boven}}^2 - v_{\text{onder}}^2)$ ; integreer over de koorde. Waarom de bovenstroming sneller is — de scherpe achterrand dwingt het achterste stuwpunt daarheen en legt de circulatie vast (de voorwaarde van Kutta) — ligt buiten het bereik van het model van het volmaakte fluïdum alleen; daarvoor is de grenslaag van het volgende hoofdstuk nodig. ∎

Links: stroomlijnen om een vleugel — dicht opeen en snel boven, traag onder; het drukverschil is de draagkracht. Rechts: een vloeistofkolom met totale lengte L die in een U-buis oscilleert, de eenvoudigste niet-stationaire toepassing van de vergelijking van Euler. — Links: stroomlijnen om een vleugel — dicht opeen en snel boven, traag onder; het drukverschil is de draagkracht. Rechts: een vloeistofkolom met totale lengte $L$ die in een U-buis oscilleert, de eenvoudigste niet-stationaire toepassing van de vergelijking van Euler.

Propositie 3.13 (Een niet-stationaire stroming: de U-buis)

Een vloeistofkolom met totale lengte $L$ vult een U-buis met uniforme doorsnede; over $z$ uit haar evenwicht gebracht, oscilleert zij volgens

\ddot z + \frac{2g}{L}\,z = 0 , \qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{2g}} ,

als een slinger met lengte $L/2$ . Algemener integreert Euler voor een niet-stationaire maar rotatievrije stroming met potentiaal $\varphi$ tot $\rho\,\partial_t\varphi + P + \tfrac12\rho v^2 + \rho gz = C(t)$ , met dezelfde constante in het hele fluïdum (niet-stationaire Bernoulli).

Bewijs. De snelheid $v = \dot z$ is uniform langs de buis (onsamendrukbaar, uniforme doorsnede). Projecteer Euler op de as van de buis en integreer langs de kolom van het ene vrije oppervlak naar het andere: de druktermen vallen weg ( $P_0$ aan beide uiteinden), $\int\rho\,\partial_tv\,\dd s = \rho L\ddot z$ , de convectieve term $\rho\,\Delta(v^2/2)$ verdwijnt (dezelfde snelheid aan beide uiteinden), en de zwaartekrachtterm geeft $\rho g\cdot2z$ . Vandaar $\rho L\ddot z = -2\rho gz$ . De algemene uitspraak volgt uit $\partial_t\vect v = \operatorname{\vect{grad}} \partial_t\varphi$ voor $\vect v = \operatorname{\vect{grad}}\varphi$ . ∎

Voorbeeld 3.14 (Een leiding op gang brengen)

Een horizontale buis met lengte $\ell$ voert van een reservoir met constante vervalhoogte $h$ naar een open uiteinde; de afsluiter gaat open op $t = 0$ . Met $v$ uniform langs de buis geeft Euler, geïntegreerd van het reservoiroppervlak tot de uitmonding, $\ell\,\dd v/\dd t = gh - \tfrac12v^2$ , met als oplossing $v = V\tanh(Vt/2\ell)$ met $V = \sqrt{2gh}$ : de stroming bereikt de snelheid van Torricelli met de tijdconstante $2\ell/V$ — $13\,\mathrm{s}$ voor een drukleiding van $400\,\mathrm{m}$ onder $200\,\mathrm{m}$ vervalhoogte.

Methode 3.15 (Bernoulli gebruiken)

(1) Ga de vier voorwaarden na; beslis of de stroming rotatievrij is (uniforme aanstroming om een hindernis: ja; stroming in een buis met een snelheidsprofiel: nee — blijf op één stroomlijn). (2) Kies twee punten op een stroomlijn waar zo veel mogelijk grootheden bekend zijn: een vrij oppervlak ( $P = P_0$ , $v \approx 0$ als de doorsnede groot is), een straal in de open lucht ( $P = P_0$ ), een stuwpunt ( $v = 0$ ). (3) Voeg het behoud van massa $vS =$ const toe om de snelheden te koppelen. (4) Integreer voor niet-stationaire stromingen in plaats daarvan Euler langs de lijn.

3.4 Oefeningen

Oefening 3.1 ★

Water stroomt in een horizontale buis met diameter $8\,\mathrm{cm}$ met $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ bij een druk van $3.0\,\mathrm{bar}$ . Het gaat over in een doorsnede van $4\,\mathrm{cm}$ : snelheid en druk daar; en in een doorsnede van $2\,\mathrm{cm}$ : druk — wat gebeurt er als die negatief zou uitkomen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.1.

$v_2 = 1.5 \times 4 = 6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $P_2 = 3.0 \times 10^5 - 500(36 - 2.25) = 2.83\,\mathrm{bar}$ . Bij $2\,\mathrm{cm}$ : $v = 24\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $P = 3.0 \times 10^5 - 500 (576 - 2.25) = 0.13\,\mathrm{bar}$ — dicht bij de dampdruk. Een negatieve uitkomst betekent dat het veronderstelde debiet onmogelijk is: het water caviteert en de stroming wordt afgeknepen.

Oefening 3.2 ★

De pitotbuis van een vliegtuig op $5\,\mathrm{km}$ ( $\rho = 0.74\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) leest een dynamische druk van $15\,\mathrm{kPa}$ af. Ware luchtsnelheid. De snelheidsmeter is geijkt op de dichtheid op zeeniveau ( $1.22\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ): welke “aangewezen snelheid” toont hij, en waarom vinden piloten dat verschil nuttig in plaats van hinderlijk?

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.2.

$v = \sqrt{2 \times 15000/0.74} = 201\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; aangewezen $\sqrt{2 \times 15000/ 1.22} = 157\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . De aangewezen luchtsnelheid meet de dynamische druk, en dat is wat de vleugel voelt: de overtreksnelheid is op elke hoogte dezelfde aangewezen snelheid.

Oefening 3.3 ★

In een vat staat het water $3.0\,\mathrm{m}$ diep; op $1.0\,\mathrm{m}$ boven de vloer wordt een gat van $1.0\,\mathrm{cm}^{2}$ geprikt. Uitstroomsnelheid; debiet (contractie $0.6$ ); waar treft de straal de vloer? Op welke diepte moet een tweede gat worden geprikt om hetzelfde punt te bereiken?

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.3.

Diepte $2.0\,\mathrm{m}$ : $v = \sqrt{2g \times 2} = 6.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $D_V = 0.6 \times 10^{-4} \times 6.3 = 0.38\,\mathrm{L}/\mathrm{s}$ ; valtijd $\sqrt{2/g} = 0.45\,\mathrm{s}$ , worp $2.8\,\mathrm{m}$ . De worp $= 2\sqrt{h(H - h)}$ is symmetrisch in $h \leftrightarrow H - h$ : een gat op diepte $1.0\,\mathrm{m}$ ( $2\,\mathrm{m}$ boven de vloer) treft hetzelfde punt.

Oefening 3.4 ★

Een wind van $30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ waait over een plat dak van $100\,\mathrm{m}^{2}$ ; de lucht onder het dak staat stil op atmosferische druk ( $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ). Drukverschil en resulterende kracht op het dak; vergelijk met het gewicht van het dak ( $50\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{2}$ ). Welke kant op wordt het geduwd?

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.4.

$\Delta P = \tfrac12 \times 1.2 \times 900 = 540\,\mathrm{Pa}$ , met de laagste druk buiten: netto kracht $54\,\mathrm{kN}$ omhoog; het dak weegt $49\,\mathrm{kN}$ : het licht op. (Echte daken bezwijken eerst aan hun randen, waar de stroming loslaat.)

Oefening 3.5 ★★

Een gesloten rechthoekige tank van $2.0\,\mathrm{m}$ lang, half met water gevuld, staat op een vrachtwagen. (a) Bij een versnelling van $3.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : hoek van het vrije oppervlak en het hoogteverschil van het water tussen de achter- en de voorwand. (b) Drukverschil tussen de twee hoeken op de bodem. (c) Bij remmen met $6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ — bereikt het water het deksel $0.8\,\mathrm{m}$ boven de bodem? (d) Dezelfde vrachtwagen die een bocht met straal $40\,\mathrm{m}$ neemt bij $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : helling van het oppervlak.

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.5.

(a) $\tan\theta = 3/9.81$ , $\theta = 17{}^{\circ}$ ; $2 \times 0.306 = 0.61\,\mathrm{m}$ (achteraan hoger). (b) $\Delta P = \rho aL = 6.0\,\mathrm{kPa}$ . (c) $\tan\theta = 0.61$ , verschil $1.22\,\mathrm{m}$ : de voorkant stijgt $0.61\,\mathrm{m}$ boven het gemiddelde van $0.40\,\mathrm{m}$ : $1.01\,\mathrm{m}$ $>$ $0.8\,\mathrm{m}$ , het water raakt het deksel. (d) $a = v^2/R = 5.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : $\theta = 30{}^{\circ}$ , de buitenbochtzijde hoger.

Oefening 3.6 ★★

Een emmer met straal $15\,\mathrm{cm}$ met water tot $20\,\mathrm{cm}$ diep wordt om zijn as gedraaid met $2.0\,\mathrm{omw}/\mathrm{s}$ . (a) Vorm en vergelijking van het vrije oppervlak. (b) Hoogteverschil tussen rand en middelpunt. (c) Hoogte van het water in het middelpunt en aan de rand, met behoud van volume. (d) Bij welk toerental valt het midden van de bodem droog? (e) Waarom vormt dezelfde paraboloïde een volmaakte telescoopspiegel (een draaiende plas kwik)?

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.6.

(a) Paraboloïde $z = z_0 + \Omega^2r^2/2g$ , $\Omega = 4\pi = 12.6\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ . (b) $\Omega^2R^2/2g = 158 \times 0.0225/19.6 = 0.18\,\mathrm{m}$ . (c) De gemiddelde hoogte van een paraboloïde over de schijf ligt halverwege: middelpunt $0.20 - 0.09 = 0.11\,\mathrm{m}$ , rand $0.29\,\mathrm{m}$ . (d) Het midden valt droog wanneer $\Omega^2R^2/4g = h_0$ : $\Omega = \sqrt{4gh_0}/R = 18.7\,\mathrm{rad}/\mathrm{s} = 3.0$ omwentelingen per seconde. (e) Een paraboloïde bundelt evenwijdige stralen in één punt, op $f = g/2\Omega^2$ ; vloeibarespiegeltelescopen laten kwik draaien.

Oefening 3.7 ★★

Hevel. Een buis voert water uit een vat over een top $2.0\,\mathrm{m}$ boven het vrije oppervlak naar een uitmonding $3.0\,\mathrm{m}$ eronder. (a) Uitstroomsnelheid en, voor een buis van $2\,\mathrm{cm}$ , het debiet. (b) Druk in de top. (c) Maximale hoogte van de top opdat de hevel werkt (de dampdruk van water, $2.3\,\mathrm{kPa}$ , mag niet worden bereikt). (d) Waarom werkt de hevel niet als de buis vol lucht zit?

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.7.

(a) $v = \sqrt{2g \times 3} = 7.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $D_V = \pi \times 10^{-4} \times 7.7 = 2.4\,\mathrm{L}/\mathrm{s}$ . (b) $P = P_0 - \rho g(2) - \tfrac12\rho v^2 = 100 - 19.6 - 29.4 = 51\,\mathrm{kPa}$ . (c) $P_0 - \rho gh_c - \tfrac12\rho v^2 \ge 2.3\,\mathrm{kPa}$ : $h_c \le 7.0\,\mathrm{m}$ . (d) Lucht is samendrukbaar en licht: er is geen doorlopende vloeistofkolom om de druk over te brengen, en het water aan beide zijden blijft gewoon staan.

Oefening 3.8 ★★

Een licht vliegtuig van $1000\,\mathrm{kg}$ vliegt op zeeniveau met $60\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ op een vleugel van $15\,\mathrm{m}^{2}$ . (a) Gemiddeld drukverschil tussen de twee vlakken van de vleugel; draagkrachtcoëfficiënt. (b) Is de snelheid onder de vleugel $58\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , hoeveel is zij dan erboven (neem dezelfde stroomopwaartse toestand)? (c) Circulatie om het profiel uit de formule van Kutta–Joukowski, voor een spanwijdte van $10\,\mathrm{m}$ . (d) Overtreksnelheid als $C_L$ niet groter dan $1.4$ kan worden.

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.8.

(a) $\Delta P = mg/S = 654\,\mathrm{Pa}$ ; $\tfrac12\rho v^2 = 2.2\,\mathrm{kPa}$ , $C_L = 0.30$ . (b) $v_{\text{boven}}^2 = 58^2 + 2 \times 654/1.22$ : $66.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (c) $F_L' = 981\,\mathrm{N}/\mathrm{m} = \rho v\Gamma$ : $\Gamma = 13.4\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ . (d) $v = \sqrt{2mg/ \rho SC_L} = \sqrt{19620/25.6} = 28\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Oefening 3.9 ★★

Stenose. Bloed ( $\rho = 1060\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) stroomt met $0.50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ in een slagader met doorsnede $0.50\,\mathrm{cm}^{2}$ bij $13\,\mathrm{kPa}$ boven de atmosferische druk. Een plaque vernauwt haar tot $0.10\,\mathrm{cm}^{2}$ . (a) Snelheid en druk in de vernauwing. (b) Het weefsel buiten de slagader staat op ongeveer $1\,\mathrm{kPa}$ : kan de slagader dichtklappen? (c) Vernauwt zij verder, dan stijgt de snelheid nog meer: verklaar het op hol slaan en waarom zo’n vernauwing kan gaan fladderen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.9.

(a) $v_2 = 2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\Delta P = \tfrac12 \times 1060 \times (6.25 - 0.25) = 3.2\,\mathrm{kPa}$ , $P_2 = 9.8\,\mathrm{kPa}$ . (b) Nog altijd boven $1\,\mathrm{kPa}$ : nee. (c) Bij $0.05\,\mathrm{cm}^{2}$ is $v = 5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en $\Delta P = 13\,\mathrm{kPa}$ : $P_2 \approx 0$ , onder de weefseldruk — de wand klapt dicht, de stroming stopt, de druk herstelt zich, de wand gaat weer open: een gefladder (het geruis dat een arts hoort).

Oefening 3.10 ★★★

Stuwtemperatuur. Voor een ideaal gas in een stationaire isentrope stroming blijft $c_PT + v^2/2$ langs een stroomlijn behouden. (a) Toon aan dat de lucht die aan de neus van een vliegtuig tot stilstand komt, $T_0 = T(1 + \tfrac{\gamma - 1}{2}M^2)$ bereikt, met $M = v/c$ het machgetal en $c = \sqrt{\gamma RT/M_{\text{mol}}}$ de geluidssnelheid. (b) Neustemperatuur van een verkeersvliegtuig bij $M = 0.85$ in lucht van $220\,\mathrm{K}$ ; van een supersonisch vliegtuig bij $M = 2$ ; van een terugkeercapsule bij $M = 25$ (heeft de formule dan nog zin?). (c) Toon aan dat de onsamendrukbare formule van Pitot de snelheid bij $M = 0.85$ overschat, en ruwweg met hoeveel (ontwikkel $P_0/P = (T_0/T)^{\gamma/(\gamma - 1)}$ tot tweede orde in $M^2$ ).

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.10.

(a) $c_PT_0 = c_PT + v^2/2$ met $c_P = \gamma R/(\gamma - 1)M_{\text{mol}}$ en $c^2 = \gamma RT/M_{\text{mol}}$ : $v^2/2c_PT = \tfrac12(\gamma - 1)M^2$ . (b) $M = 0.85$ : $T_0 = 220 \times 1.145 = 252\,\mathrm{K}$ ; $M = 2$ : $220 \times 1.8 = 396\,\mathrm{K}$ ; $M = 25$ : $220 \times 126 = 28\,000\,\mathrm{K}$ — zinledig: de lucht dissocieert en ioniseert, $c_P$ is niet constant (echte stuwtemperaturen bedragen enkele duizenden kelvin). (c) $P_0/P = (1 + \tfrac{\gamma - 1}2M^2)^{\gamma/(\gamma - 1)} \approx 1 + \tfrac{\gamma}2M^2 + \tfrac{\gamma}8M^4$ , en $\gamma PM^2 = \rho v^2$ : $P_0 - P = \tfrac12\rho v^2(1 + M^2/4)$ . Leest men $v$ af uit $\sqrt{2(P_0 - P)/\rho}$ , dan overschat men haar met $\sqrt{1 + M^2/4} - 1 \approx 9\%$ bij $M = 0.85$ .

Oefening 3.11 ★★★

Aanloopverschijnsel. Een buis met lengte $\ell = 50\,\mathrm{m}$ en uniforme doorsnede voert van een groot reservoir (vervalhoogte $h = 5.0\,\mathrm{m}$ boven de uitmonding) naar een afsluiter aan het open uiteinde. De afsluiter gaat open op $t = 0$ . (a) Integreer Euler langs de buis tot $\ell\,\dd v/\dd t = gh - v^2/2$ . (b) Los die op: $v = V\tanh(Vt/2\ell)$ met $V = \sqrt{2gh}$ . (c) Tijd om $90\%$ van de eindsnelheid te bereiken. (d) De afsluiter wordt nu vanuit volle stroming abrupt in $0.5\,\mathrm{s}$ gesloten: schat de gemiddelde vertraging en de overdruk aan de afsluiter uit $\rho\ell\,\dd v/\dd t$ — en waarom een echte sluiting veel meer oplevert (volgende hoofdstukken).

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.11.

(a) Van het oppervlak ( $v \approx 0$ , $P_0$ , hoogte $h$ ) tot de uitmonding ( $v$ , $P_0$ , hoogte $0$ ), met $\int\partial_tv\,\dd s = \ell\,\dd v/\dd t$ . (b) $\dd v/(V^2 - v^2) = \dd t/2\ell$ , $V^2 = 2gh$ : $\operatorname{artanh}(v/V) = Vt/2\ell$ . (c) $V = 9.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\tanh x = 0.9$ bij $x = 1.47$ : $t = 2\ell x/V = 15\,\mathrm{s}$ . (d) $\dd v/\dd t \approx -20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : $\Delta P = \rho\ell \times 20 = 9.9\,\mathrm{bar}$ . Water is licht samendrukbaar: een snelle sluiting stuurt een drukgolf op pad, $\Delta P = \rho c\Delta v \approx 140\,\mathrm{bar}$ .

Oefening 3.12 ★★★

Het vrije oppervlak van een wervel. Water draait als de puntwervel van Hoofdstuk 2, $v_\theta = \Gamma/2\pi r$ , rotatievrij, met een vrij oppervlak op $z = 0$ ver weg. (a) Waarom mag Bernoulli tussen twee willekeurige punten worden toegepast? (b) Vorm van het vrije oppervlak $z(r)$ . (c) Gebruik binnen een kern van Rankine ( $r < a$ , $v_\theta = \Omega r$ , met rotatie) in plaats daarvan Euler in het meedraaiende stelsel, of rechtstreeks: toon aan dat $z = z(a) + \Omega^2(r^2 - a^2)/2g$ . (d) Totale diepte van de trechter voor een badwervel met $\Gamma = 0.03\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ en $a = 5\,\mathrm{mm}$ ; voor een tornado ( $\Gamma = 3 \times 10^{4}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , $a = 60\,\mathrm{m}$ , in lucht: druk het resultaat dan liever uit als een drukval in het middelpunt).

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.12.

(a) Stationair, volmaakt, onsamendrukbaar en rotatievrij: één constante voor de hele stroming. (b) Op het oppervlak is $P = P_0$ : $\tfrac12\rho v^2 + \rho gz = 0$ , $z = -\Gamma^2/8\pi^2gr^2$ . (c) Radiale Euler: $\partial_rP = \rho\Omega^2r$ , verticaal hydrostatisch: het oppervlak voldoet aan $z(r) - z(a) = \Omega^2(r^2 - a^2)/2g$ . (d) Bad: $\Omega = \Gamma/2\pi a^2 = 191\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ; $z(a) = -\Omega^2a^2/ 2g = -4.7\,\mathrm{cm}$ , en de kern voegt nog eens $4.7\,\mathrm{cm}$ toe: $9.3\,\mathrm{cm}$ diep. Tornado: $\Delta P = \tfrac12\rho v_{\max}^2$ buiten plus evenveel binnen: $\rho v_{\max}^2 = 1.2 \times 6400 = 7.7\,\mathrm{kPa}$ onder de omgevingsdruk in het middelpunt.

Twee drukleidingen voeren het water van een bergmeer naar een turbinehuis: een vervalhoogte van tweehonderd meter, die de stelling van Bernoulli omzet in een straal van zestig meter per seconde.

3.5 Vraagstuk: De stuwdam, de drukleiding en de turbine

Probleem 3.1

Weekendvraagstuk — een waterkrachtcentrale van het stuwmeer tot de straal: drukken, snelheden, vermogens, verliezen en de waterslag

In een stuwmeer staat het water $150\,\mathrm{m}$ diep achter een dam; het vrije oppervlak ligt $H = 200\,\mathrm{m}$ boven de mondstukken van een turbine. Een drukleiding (een stalen buis) met diameter $D = 3.0\,\mathrm{m}$ en lengte $\ell = 400\,\mathrm{m}$ voert het ontwerpdebiet $D_V = 60\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ naar het turbinehuis, waar een mondstuk het omzet in een vrije straal op atmosferische druk $P_0 = 1.0\,\mathrm{bar}$ , die op de schoepen van een peltonwiel slaat. $\rho = 1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; het fluïdum is volmaakt tenzij anders vermeld.

Deel I — In rust en bij het ontwerpdebiet.

Druk aan de voet van de dam, en de kracht op een verticale strook van de dam van $1\,\mathrm{m}$ breed, van boven tot onder.
Druk in de drukleiding bij het turbinehuis, met de turbineafsluiters dicht.
Snelheid in de drukleiding bij het ontwerpdebiet; dynamische druk daar; druk aan het uiteinde van de drukleiding bij het turbinehuis (vóór het mondstuk), met Bernoulli vanaf het oppervlak van het stuwmeer.
Snelheid van de vrije straal; doorsnede en diameter van het mondstuk.
Kinetisch vermogen dat de straal meevoert; toon aan dat het gelijk is aan $\rho gD_VH$ en bereken het.
Massa en kinetische energie van het water dat bij het ontwerpdebiet in de drukleiding zit; doorlooptijd van een deeltje door de buis.
Toon aan dat de vervalhoogte $H$ bij het ontwerpdebiet verdeeld is over de druk onder aan de drukleiding en de kinetische energie van het water, en dat het mondstuk de eerste in de tweede omzet: wat is de druk vlak na het mondstuk?
Een volmaakt fluïdum heeft geen drukverlies, een echt fluïdum wel: het verlies in een buis is $\Delta P = \lambda(\ell/D)\,\tfrac12\rho v^2$ met $\lambda \approx 0.015$ voor glad staal. Drukverlies in meters waterkolom, en de fractie van het vermogen die verloren gaat.
Een ingenieur stelt een drukleiding van $2\,\mathrm{m}$ voor om staal te sparen. Doe vraag 7 opnieuw; geef commentaar.

Deel II — Het debiet meten. In de drukleiding is een venturi ingebouwd, met een keel van $2.0\,\mathrm{m}$ .

Snelheid in de keel en drukval tussen de buis en de keel bij het ontwerpdebiet.
De val wordt op een kwikmanometer afgelezen ( $\rho_{\text{Hg}} = 13\,600\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ): hoogteverschil.
Toon aan dat het debiet evenredig is met de wortel uit de manometeraflezing, en geef de aflezing bij de helft van het ontwerpdebiet.
Waarom moeten de drukaftakkingen gelijk liggen met de wand en niet in de stroming uitsteken?
Een deel van de buis loopt om topografische redenen over een top $6\,\mathrm{m}$ boven het oppervlak van het stuwmeer. Druk daar bij het ontwerpdebiet; wat gebeurt er, en wat moet de ontwerper doen?

Deel III — Niet-stationaire regimes. Het stuwmeer heeft een oppervlakte $A = 2.0\,\mathrm{km}^{2}$ .

Snelheid waarmee het peil van het stuwmeer bij het ontwerpdebiet daalt, in centimeters per uur.
De turbine wordt stilgelegd en het mondstuk (doorsnede uit vraag 4) blijft open naar de lucht: het stuwmeer loopt door de zwaartekracht leeg. Schrijf de massabalans op en bepaal het peil $h(t)$ (quasi-stationaire stroming volgens Torricelli).
Tijd waarin het peil $10\,\mathrm{m}$ daalt; vergelijk met de tijd bij constant ontwerpdebiet.
De centrale opstarten: de drukleiding is vol, het mondstuk gaat open op $t = 0$ . Neem de snelheid uniform langs de drukleiding, verwaarloos de vorm van het mondstuk, integreer Euler langs de buis tot $\ell\,\dd v/\dd t = gH - v^2/2$ , los die op, en geef de tijdconstante.
Wat is tijdens dat opstarten, op het ogenblik dat $v$ de helft van haar eindwaarde is, de druk onder aan de drukleiding? Verklaar het teken van het verschil met de stationaire waarde.

Deel IV — De afsluiter dichtdoen.

De afsluiter bij de turbine wordt in $\tau = 10\,\mathrm{s}$ gesloten; neem aan dat het water in de drukleiding eenparig vertraagt. Schat met Euler langs de buis de overdruk aan de afsluiter, in bar.
Bij een snelle sluiting is het water niet onsamendrukbaar: een drukgolf loopt met $c = 1400\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ de buis op (de geluidssnelheid in water in een stalen buis — Hoofdstuk 7), en de overdruk is $\Delta P = \rho c\,\Delta v$ (Joukowsky). Waarde bij een plotselinge stop vanuit het ontwerpdebiet; vergelijk met de statische druk. Hoe lang doet de golf erover om het stuwmeer te bereiken en terug te komen, en wat zegt dat over de betekenis van “snel”?
Om de drukleiding te beschermen wordt een waterslottoren — een verticale open schacht met doorsnede $A_s = 100\,\mathrm{m}^{2}$ — aangesloten waar een horizontale tunnel met lengte $L = 2000\,\mathrm{m}$ en doorsnede $A = 7.0\,\mathrm{m}^{2}$ vanuit het stuwmeer op de drukleiding uitkomt. Na een plotselinge sluiting blijft het water in de tunnel bewegen en stijgt het peil $z$ in de schacht. Schrijf het behoud van massa tussen tunnel en schacht op.
Integreer Euler langs de tunnel (volmaakt fluïdum) om aan te tonen dat $z$ voldoet aan $\ddot z + \dfrac{gA}{LA_s}z = 0$ ; periode van de oscillatie.
Maximale peilstijging in de schacht na een sluiting vanuit het ontwerpdebiet (energieredenering: de kinetische energie van het tunnelwater wordt potentiële energie in de schacht).
Vat samen: de vijf drukken die men in deze centrale tegenkomt (statisch bij de dam, statisch bij de turbine, dynamisch in de buis, waterslag, waterslot) en de wet die elk ervan geeft.

Oplossing

Oplossing van Probleem 3.1.

1. $\rho g \times 150 = 14.7\,\mathrm{bar}$ boven de atmosferische druk; $\tfrac12\rho gH_d^2 \times 1\,\mathrm{m} = 1.1 \times 10^{8}\,\mathrm{N}$ .

2. $\rho gH = 19.6\,\mathrm{bar}$ overdruk, $20.6\,\mathrm{bar}$ absoluut.

3. $v = 60/7.07 = 8.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\tfrac12\rho v^2 = 0.36\,\mathrm{bar}$ ; $P = P_0 + \rho gH - \tfrac12\rho v^2 = 20.3\,\mathrm{bar}$ absoluut.

4. $v_j = \sqrt{2gH} = 62.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $s = 60/62.6 = 0.96\,\mathrm{m}^{2}$ , $d = 1.1\,\mathrm{m}$ .

5. $\tfrac12\rho D_Vv_j^2 = \tfrac12\rho D_V(2gH) = \rho gD_VH = 118\,\mathrm{MW}$ .

6. $m = \rho S\ell = 2.8 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}$ , $E_k = \tfrac12mv^2 = 1.0 \times 10^{8}\,\mathrm{J}$ ; doorlooptijd $\ell/v = 47\,\mathrm{s}$ .

7. $\rho gH = (P - P_0) + \tfrac12\rho v^2$ : $19.3\,\mathrm{bar}$ aan druk en $0.36\,\mathrm{bar}$ aan kinetische energie; in het mondstuk daalt de druk tot $P_0$ terwijl $\tfrac12\rho v^2$ tot $\rho gH$ stijgt: vlak erna is $P = P_0$ .

8. $\Delta h = \lambda(\ell/D)v^2/2g = 0.015 \times 133 \times 3.67 = 7.3\,\mathrm{m}$ , $3.7\%$ van het vermogen.

9. $v = 19.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $v^2/2g = 18.6\,\mathrm{m}$ , $\Delta h = 0.015 \times 200 \times 18.6 = 56\,\mathrm{m}$ : $28\%$ verloren — wat aan staal wordt bespaard, wordt elke seconde aan energie betaald.

10. $v_t = 60/\pi = 19.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\Delta P = 500(19.1^2 - 8.49^2) = 146\,\mathrm{kPa}$ .

11. $\Delta P = (\rho_{\text{Hg}} - \rho)g\,\Delta h$ : $\Delta h = 146000/(12600 \times 9.81) = 1.18\,\mathrm{m}$ .

12. $\Delta P \propto v^2 \propto D_V^2$ : $D_V \propto \sqrt{\Delta h}$ ; het halve debiet geeft een kwart, $0.30\,\mathrm{m}$ .

13. Een uitstekende aftakking staat in de stroming of verstoort haar en leest een deel van de dynamische druk af (een pitotbuis), niet de statische druk.

14. $P = P_0 - \rho g \times 6 - \tfrac12\rho v^2 = 100 - 59 - 36 = 5\,\mathrm{kPa}$ : vlak bij de dampdruk, opgeloste lucht komt vrij en het water kan gaan koken (cavitatie), waardoor de kolom breekt. Verlaag de top, of plaats een ontluchter met een vacuümpomp, of verminder het debiet.

15. $D_V/A = 60/2 \times 10^6 = 3 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 11\,\mathrm{cm}/\mathrm{h}$ .

16. $A\,\dd h/\dd t = -s\sqrt{2gh}$ : $\sqrt h = \sqrt{h_0} - (s/A)\sqrt{g/2}\,t$ .

17. $\Delta t = (A/s)\sqrt{2/g}(\sqrt{200} - \sqrt{190}) = 2.09 \times 10^6 \times 0.45 \times 0.36 = 3.4 \times 10^{5}\,\mathrm{s} = 3.9\,\mathrm{dagen}$ ; bij constant ontwerpdebiet $10A/D_V = 3.3 \times 10^{5}\,\mathrm{s}$ : vrijwel hetzelfde, omdat het mondstuk juist op de stroming van Torricelli bij $h \approx H$ is gedimensioneerd.

18. $\ell\,\dd v/\dd t = gH - v^2/2$ : $v = V\tanh(Vt/2\ell)$ , $V = 62.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , tijdconstante $2\ell/V = 13\,\mathrm{s}$ .

19. Bij $v = V/2$ : $\dd v/\dd t = (gH - V^2/8)/\ell = 3.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $P = P_0 + \rho gH - \tfrac12\rho v^2 - \rho\ell\,\dd v/\dd t = 1.0 + 19.6 - 4.9 - 14.7 = 1.0\,\mathrm{bar}$ : het grootste deel van de vervalhoogte is bezig de kolom te versnellen, zodat de druk onderaan ver onder haar stationaire waarde ligt.

20. $|\dd v/\dd t| = 8.49/10 = 0.85\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : $\Delta P = \rho\ell \times 0.85 = 3.4\,\mathrm{bar}$ .

21. $\Delta P = 1000 \times 1400 \times 8.49 = 119\,\mathrm{bar}$ , zes keer de statische druk. De heen-en-terugreis van de golf duurt $2\ell/c = 0.57\,\mathrm{s}$ : een sluiting die sneller is dan dat, is “plotseling” en krijgt de volle overdruk van Joukowsky; tragere sluitingen krijgen minder.

22. $Av = A_s\,\dd z/\dd t$ .

23. Euler langs de tunnel, van het stuwmeer (druk $P_0 + \rho g\times$ diepte) tot de voet van de schacht (druk $P_0 + \rho g (\text{diepte} + z)$ ): $\rho L\,\dd v/\dd t = -\rho gz$ ; met $v = (A_s/A)\dot z$ : $\ddot z + (gA/LA_s)z = 0$ ; $T = 2\pi\sqrt{LA_s/gA} = 2\pi\sqrt{2000 \times 100/ 68.7} = 340\,\mathrm{s} \approx 5.7\,\mathrm{min}$ .

24. $\tfrac12\rho ALv^2 = \tfrac12\rho gA_sz_{\max}^2$ met $v = 60/7 = 8.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $z_{\max} = v\sqrt{AL/gA_s} = 32\,\mathrm{m}$ .

25. Dam: hydrostatica, $\rho gh$ . Turbine met gesloten afsluiters: hetzelfde, $\rho gH$ . Drukleiding in bedrijf: Bernoulli, $\tfrac12\rho v^2$ genomen uit de statische vervalhoogte. Waterslag: samendrukbaarheid, $\rho c\Delta v$ . Waterslot: niet-stationaire Euler langs de tunnel, een oscillatie met periode $2\pi\sqrt{LA_s/gA}$ .

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Volmaakt fluïdum

Bekijk alle 393 begrippen in de begrippenlijst