Universitaire natuurkunde — jaar 2 · Bachelor Year 2

7Geluidsgolven in fluïda

Tel de seconden tussen de flits en de donder en deel door drie: dat is de afstand in kilometers. Geluid steekt de lucht over met een derde kilometer per seconde, water met anderhalve kilometer, en een echograaf klokt de echo’s uit het lichaam op een miljoenste seconde nauwkeurig om zijn beeld te tekenen. Dit hoofdstuk past de vloeistofmechanica van Hoofdstukken 3 en 2 toe op een fluïdum in rust dat door een kleine drukrimpel wordt verstoord, en vindt opnieuw de vergelijking van d’Alembert: de geluidssnelheid, wat de energie draagt, hoe luid luid is, hoe geluid zich in de ruimte verspreidt, en waarom een sirene van toonhoogte verandert wanneer zij voorbijgaat.

7.1 De akoestische benadering

Definitie 7.1 (Akoestische verstoring)

Een fluïdum in rust, met uniforme druk $P_0$ en dichtheid $\rho_0$ , wordt verstoord: $P = P_0 + p(M, t)$ , $\rho = \rho_0 + \rho_1(M, t)$ , snelheid $\vect v(M, t)$ . De akoestische benadering houdt alleen de eerste orde in de kleine grootheden $p$ (de overdruk, of akoestische druk), $\rho_1$ en $\vect v$ : $|p| \ll P_0$ , $|\rho_1| \ll \rho_0$ , $v \ll c$ , en de toestandsverandering die elk fluïdumdeeltje ondergaat, gaat zo snel dat het geen warmte uitwisselt: zij is isentroop, met de samendrukbaarheid $\chi_S = \frac1\rho\bigl(\frac{\partial\rho}{\partial P}\bigr)_S$ . De zwaartekracht wordt verwaarloosd.

Stelling 7.2 (Geluidsgolven)

Tot op eerste orde luiden de vergelijking van Euler, het behoud van massa en de isentrope wet

\rho_0\frac{\partial\vect v}{\partial t} = -\operatorname{\vect{grad}}p , \qquad \frac{\partial\rho_1}{\partial t} + \rho_0\operatorname{div}\vect v = 0 , \qquad \rho_1 = \rho_0\chi_Sp ,

en samen geven zij de golfvergelijking voor de overdruk,

\Delta p = \frac1{c^2}\frac{\partial^2p}{\partial t^2} , \qquad c = \frac1{\sqrt{\rho_0\chi_S}} ,

(dezelfde voor $\rho_1$ en voor $\vect v$ ). Voor een ideaal gas is $\chi_S = 1/\gamma P_0$ en

c = \sqrt{\frac{\gamma P_0}{\rho_0}} = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}} :

$343\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ in lucht bij $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ , met $0.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ per kelvin toenemend; $1000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ in helium; $1480\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ in water ( $\chi_S = 4.5 \times 10^{-10}\,\mathrm{Pa}^{-1}$ ).

Bewijs. Euler: de convectieve term $\rho(\vect v\cdot\operatorname{\vect{grad}})\vect v$ is van tweede orde, $\rho\,\partial_t\vect v \approx \rho_0\,\partial_t\vect v$ , en $\operatorname{\vect{grad}}P = \operatorname{\vect{grad}}p$ . Massa: $\partial_t\rho + \operatorname{div}(\rho\vect v) \approx \partial_t\rho_1 + \rho_0\operatorname{div}\vect v$ . Isentrope wet: $\dd\rho = \rho\chi_S\,\dd P$ tot op eerste orde. Neem de divergentie van de eerste vergelijking en de tijdafgeleide van de tweede: $\rho_0\partial_t\operatorname{div}\vect v = -\Delta p = -\partial_t^2\rho_1 = -\rho_0\chi_S \partial_t^2p$ . Voor het ideale gas geeft $PV^\gamma$ constant langs een isentrope toestandsverandering dat $\dd\rho/\rho = \dd P/\gamma P$ , vandaar $\chi_S = 1/\gamma P$ , en $P_0/\rho_0 = RT/M$ . ∎

Opmerking 7.3 (Waarom isentroop)

Newton berekende de geluidssnelheid met de isotherme samendrukbaarheid, $\sqrt{P_0/\rho_0} = 290\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $15\%$ te laag; Laplace zag in dat de verdichtingen te snel gaan opdat er warmte tussen de warme toppen en de koele dalen zou kunnen vloeien — in één periode diffundeert warmte enkele micrometers (Hoofdstuk 25), niets vergeleken met een golflengte — zodat de toestandsverandering adiabatisch en omkeerbaar is en $\gamma$ verschijnt. De geluidssnelheid is dus een rechtstreekse meting van $\gamma$ : $1.40$ voor lucht, $1.67$ voor argon.

Links: een plakje fluïdum dat over (x, t) is verplaatst en door de drukken op zijn vlakken wordt geduwd; zijn verdichting bepaalt de overdruk. Rechts: een vlakke geluidsgolf — afwisselende zones van verdichting en verdunning die met c bewegen, terwijl het fluïdum zelf heen en weer beweegt langs de voortplantingsrichting (een longitudinale golf). — Links: een plakje fluïdum dat over $\xi(x, t)$ is verplaatst en door de drukken op zijn vlakken wordt geduwd; zijn verdichting bepaalt de overdruk. Rechts: een vlakke geluidsgolf — afwisselende zones van verdichting en verdunning die met $c$ bewegen, terwijl het fluïdum zelf heen en weer beweegt langs de voortplantingsrichting (een longitudinale golf).

7.2 Vlakke golven, impedantie, intensiteit

Propositie 7.4 (Vlakke lopende geluidsgolf)

Voor een vlakke golf $p = f(x - ct)$ die naar $+x$ loopt, ligt de snelheid van het fluïdum langs $x$ , in fase met de overdruk, en geldt

p = Z\,v , \qquad Z = \rho_0c = \sqrt{\rho_0/\chi_S} ,

waarin $Z$ de akoestische impedantie van het medium is ( $\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ ): $410\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ voor lucht, $1.5 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ voor water, $\sim1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ voor zacht weefsel, $4 \times 10^{7}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ voor staal. De golf draagt de energiedichtheid en de intensiteit (vermogen per oppervlakte-eenheid, naar $+x$ )

e = \tfrac12\rho_0v^2 + \tfrac12\chi_Sp^2 , \qquad I = p\,v ,

die voldoen aan $\partial_te + \partial_xI = 0$ ; voor de lopende golf zijn de twee helften van $e$ gelijk en is $I = p^2/Z = Zv^2$ . Een sinusvormige golf met drukamplitude $p_m$ heeft de gemiddelde intensiteit $\langle I\rangle = p_m^2/2Z$ .

Bewijs. Voor $p = f(x - ct)$ geldt $\rho_0\partial_tv = -\partial_xp = f'/c\cdot c\dots$ : preciezer, $\rho_0\partial_tv = -f'(x - ct)$ , en $v = f(x - ct)/\rho_0c$ voldoet daaraan. De potentiële term van $e$ is de arbeid die in het samendrukken van het fluïdum is opgeslagen (een isentrope samendrukking van een eenheidsvolume met $\dd V/V = -\chi_S\,\dd p$ slaat $\int p\,\chi_S\dd p = \tfrac12\chi_Sp^2$ op); $I$ is het arbeidstempo van de drukkracht $pS$ op het fluïdum ervoor, dat met $v$ beweegt, per oppervlakte-eenheid. Balans: $\partial_te = \rho_0v\partial_tv + \chi_Sp\partial_tp = -v\partial_xp - p\partial_xv = -\partial_x(pv)$ door de twee gelineariseerde vergelijkingen. ∎

Definitie 7.5 (Geluidsniveau)

Het geluidsniveau van een golf met gemiddelde intensiteit $I$ is

L = 10\log_{10}\frac I{I_0} \ \text{dB} , \qquad I_0 = 1 \times 10^{-12}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}

— de gehoordrempel bij $1\,\mathrm{kHz}$ , die in lucht overeenkomt met de drukamplitude $p_0 \approx 2 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}$ (effectief) $= 2 \times 10^{-10}$ atmosfeer. De intensiteit verdubbelen voegt $3\,\mathrm{dB}$ toe; tien keer zo veel, $10\,\mathrm{dB}$ ; honderd keer de drukamplitude, $40\,\mathrm{dB}$ . Stille kamer $30\,\mathrm{dB}$ , gesprek $60\,\mathrm{dB}$ , drukke straat $80\,\mathrm{dB}$ , rockconcert $110\,\mathrm{dB}$ , pijngrens $120\,\mathrm{dB}$ ( $I = 1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , $p_m = 29\,\mathrm{Pa}$ ).

Voorbeeld 7.6 (Hoe klein een geluid is)

Aan de drempel, bij $1\,\mathrm{kHz}$ : $p_m = 2.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}$ , $v_m = p_m/Z = 7 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , en de uitwijkingsamplitude $\xi_m = v_m/\omega = 1 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}$ — een tiende van een atoomdiameter: het trommelvlies bespeurt bewegingen kleiner dan een atoom. Bij $120\,\mathrm{dB}$ is $\xi_m = 11\,\text{µ}\mathrm{m}$ , nog altijd onzichtbaar, en $p_m/P_0 = 3 \times 10^{-4}$ : zelfs de luidste geluiden zijn minieme verstoringen, en daarom werkt de lineaire theorie zo goed.

Links: in een vlakke lopende geluidsgolf zijn de overdruk en de snelheid van het fluïdum in fase, en loopt de uitwijking een kwart periode achter. Rechts: de decibelschaal — elke stap van 20\, dB vermenigvuldigt de intensiteit met honderd en de drukamplitude met tien. — Links: in een vlakke lopende geluidsgolf zijn de overdruk en de snelheid van het fluïdum in fase, en loopt de uitwijking een kwart periode achter. Rechts: de decibelschaal — elke stap van $20\,\mathrm{dB}$ vermenigvuldigt de intensiteit met honderd en de drukamplitude met tien.

7.3 Bolgolven

Propositie 7.7 (Bolgolven en de omgekeerd-kwadratenwet)

Een kleine bron die in alle richtingen even sterk uitstraalt, brengt de bolgolf

p(r, t) = \frac{A}{r}\,f\Bigl(t - \frac rc\Bigr) ,

voort, waarvan de amplitude als $1/r$ daalt en de intensiteit als $1/r^2$ : voor een bron met akoestisch vermogen $\mathcal P$ is $I = \mathcal P/4\pi r^2$ , d.w.z. $-6\,\mathrm{dB}$ telkens wanneer de afstand verdubbelt. Ver van de bron is de golf plaatselijk vlak, met $v = p/Z$ radiaal.

Bewijs. In bolcoördinaten geldt voor een functie van $r$ alleen $\Delta p = \frac1r\frac{\partial^2(rp)}{\partial r^2}$ (aangenomen; Hoofdstuk 11), zodat $u = rp$ voldoet aan de eendimensionale golfvergelijking $\partial_r^2u = \partial_t^2u/c^2$ , waaruit $u = Af(t - r/c)$ volgt voor de uitgaande golf. Het vermogen dat een bol met straal $r$ passeert, is $4\pi r^2I$ , constant als er niets wordt geabsorbeerd. ∎

Voorbeeld 7.8 (Een sirene, een gesprek)

Een sirene van $10\,\mathrm{W}$ : $I = 10/4\pi r^2$ , $0.8\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ op $1\,\mathrm{m}$ ( $119\,\mathrm{dB}$ , pijn), $79\,\mathrm{dB}$ op $100\,\mathrm{m}$ , $59\,\mathrm{dB}$ op $1\,\mathrm{km}$ — nog altijd hoorbaar boven de stad uit. Een stem straalt ongeveer $10\,\text{µ}\mathrm{W}$ uit: $60\,\mathrm{dB}$ op $1\,\mathrm{m}$ en $40\,\mathrm{dB}$ op $10\,\mathrm{m}$ . Lucht absorbeert ook geluid (meer bij hoge frequentie, enkele decibel per honderd meter bij $10\,\mathrm{kHz}$ ), en daarom rommelt verre donder laag.

7.4 Het dopplereffect

Stelling 7.9 (Dopplereffect)

Een bron zendt uit met frequentie $f$ en beweegt met snelheid $v_s$ langs de lijn die haar met een waarnemer verbindt, die zelf met $v_o$ beweegt; beide snelheden worden positief geteld wanneer zij elkaar naderen, en het geluid loopt met $c$ in de stilstaande lucht. De waarnemer ontvangt de frequentie

f' = f\,\frac{c + v_o}{c - v_s} .

Een bewegende bron duwt haar golffronten vóór zich samen ( $\lambda' = (c - v_s)/f$ ) en spreidt ze erachter uit; een bewegende waarnemer ontmoet golffronten met het tempo $(c + v_o)/\lambda$ . Voor $v_s, v_o \ll c$ geven beide $\Delta f/f \approx (v_s + v_o)/c$ .

Bewijs. Bewegende bron: de golffronten die op $t$ en op $t + 1/f$ worden uitgezonden, liggen in de bewegingsrichting $c/f - v_s/f$ uit elkaar, zodat de golflengte vooruit $\lambda' = (c - v_s)/f$ is en de frequentie die een stilstaande waarnemer ontvangt $c/\lambda'$ . Bewegende waarnemer: de golflengte is $\lambda = c/f$ , maar de fronten passeren met de relatieve snelheid $c + v_o$ . Combineer. ∎

Links: de golffronten van een bewegende bron dringen zich vooraan samen en spreiden zich achteraan uit — een hogere toon bij het naderen, een lagere bij het verwijderen. Rechts: een bron die sneller gaat dan het geluid laat haar golffronten achter zich; hun omhullende is de machkegel, die op de grond als een knal wordt gehoord.

Voorbeeld 7.10 (Sirenes, snelheidsradars, bloedcellen)

Een ambulancesirene van $700\,\mathrm{Hz}$ die met $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ passeert: $755\,\mathrm{Hz}$ bij het naderen, $651\,\mathrm{Hz}$ bij het verwijderen — een val van een zesde octaaf, de vertrouwde “tatuu-tata”-sprong. Een snelheidsradar van de politie meet hetzelfde effect op een radiogolf van $24\,\mathrm{GHz}$ die door een auto wordt teruggekaatst (de golf wordt twee keer verschoven, doordat de auto haar ontvangt en opnieuw uitzendt): $\Delta f = 2fv/c = 4.8\,\mathrm{kHz}$ bij $30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Een echosonde van $5\,\mathrm{MHz}$ op een slagader gericht hoort de bloedcellen bij $\Delta f = 2fv\cos\theta/c \approx 1.6\,\mathrm{kHz}$ voor $0.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ onder $60{}^{\circ}$ : een hoorbaar gefluit waarvan de toonhoogte de bloedsnelheid is. En de spectraallijnen van een zich verwijderend sterrenstelsel zijn naar het rood verschoven met $\Delta\lambda/\lambda = v/c$ — de formule geldt ook voor licht bij lage snelheid, met daarboven de relativistische correctie.

Opmerking 7.11 (Supersonisch)

Wanneer $v_s > c$ faalt de formule ( $f' < 0$ vooruit): geen geluid gaat de bron vooraf. De golffronten die langs de baan zijn uitgezonden, hebben een kegelvormige omhullende met halve tophoek $\theta$ waarvoor $\sin\theta = c/v_s$ (de machkegel); de druksprong die de kegel draagt, is de supersonische knal, die een luisteraar op de grond pas bereikt nadat het vliegtuig voorbij is — bij mach $2$ en $10\,\mathrm{km}$ hoogte is $\theta = 30{}^{\circ}$ en komt de knal $10\,\text{km}/\tan\theta/v_s \approx 25\,\mathrm{s}$ na de overvlucht aan. De knal van een kogel en de punt van een zweep zijn dezelfde kegel.

Methode 7.12 (Ordegrootten in de akoestiek)

Gegeven een geluidsniveau $L$ : $I = I_0\,10^{L/10}$ ; daarna $p_m = \sqrt{2ZI}$ , $v_m = p_m/Z$ , $\xi_m = v_m/\omega$ ; het vermogen van een bron is $4\pi r^2I$ als zij in alle richtingen uitstraalt (half zoveel boven een harde vloer, die in een halfruimte terugkaatst). Van $r_1$ naar $r_2$ gaan verandert $L$ met $20\log_{10}(r_1/r_2)$ . Het optellen van $n$ gelijke, onsamenhangende bronnen voegt $10\log_{10}n$ toe; twee coherente bronnen die in fase in een punt aankomen, voegen $6\,\mathrm{dB}$ toe.

7.5 Oefeningen

Oefening 7.1 ★

Geluidssnelheid in lucht ( $\gamma = 1.40$ , $M = 29\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ) bij $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ , $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ en $-50{}^{\circ}\mathrm{C}$ ( $10\,\mathrm{km}$ hoogte); in helium ( $\gamma = 1.67$ , $M = 4\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ) en koolstofdioxide ( $\gamma = 1.30$ , $M = 44\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ) bij $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ . Waarom klinkt een stem hoog na het inademen van helium?

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.1.

$c = \sqrt{\gamma RT/M}$ : $331\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $343\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $299\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; helium $1010\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; CO $_2$ $268\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . De stembanden trillen met dezelfde frequentie, maar de resonanties van het spraakkanaal (die de klankkleur bepalen) schalen met $c$ en schuiven met een factor drie omhoog: de stem klinkt hoog.

Oefening 7.2 ★

Een gesprek van $60\,\mathrm{dB}$ bij $500\,\mathrm{Hz}$ : intensiteit, drukamplitude, snelheidsamplitude en uitwijkingsamplitude in lucht ( $Z = 410\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ ). Hetzelfde voor $120\,\mathrm{dB}$ . Niveau van twee mensen die tegelijk praten; van honderd.

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.2.

$60\,\mathrm{dB}$ : $I = 1 \times 10^{-6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , $p_m = \sqrt{2ZI} = 29\,\mathrm{mPa}$ , $v_m = p_m/Z = 7 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\xi_m = v_m/\omega = 22\,\mathrm{nm}$ . $120\,\mathrm{dB}$ : $1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , $29\,\mathrm{Pa}$ , $7\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ , $22\,\text{µ}\mathrm{m}$ . Twee: $63\,\mathrm{dB}$ ; honderd: $80\,\mathrm{dB}$ .

Oefening 7.3 ★

Een luidspreker straalt $1.0\,\mathrm{W}$ geluid in alle richtingen even sterk uit. Intensiteit en niveau op $1\,\mathrm{m}$ , $10\,\mathrm{m}$ en $100\,\mathrm{m}$ ; afstand waarop het niveau tot $60\,\mathrm{dB}$ zakt; vermogen dat nodig is voor $100\,\mathrm{dB}$ op $30\,\mathrm{m}$ (een openluchtconcert).

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.3.

$I = 1/4\pi r^2$ : $0.080\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ( $109\,\mathrm{dB}$ ), $89\,\mathrm{dB}$ , $69\,\mathrm{dB}$ ; $I = 10^{-6}$ bij $r = \sqrt{1/4\pi10^{-6}} = 280\,\mathrm{m}$ ; $100\,\mathrm{dB}$ op $30\,\mathrm{m}$ vraagt $4\pi \times 900 \times 10^{-2} = 110\,\mathrm{W}$ aan geluid.

Oefening 7.4 ★

De donder wordt $4.5\,\mathrm{s}$ na de flits gehoord: afstand. De hoorn van een schip echoot na $3.0\,\mathrm{s}$ van een klif terug: afstand. Sonar: een echo van de zeebodem komt na $2.4\,\mathrm{s}$ terug ( $c = 1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ): diepte. Een echo van ultrageluid van $5\,\mathrm{MHz}$ komt na $130\,\text{µ}\mathrm{s}$ terug in weefsel ( $1540\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ): diepte.

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.4.

$4.5 \times 340 = 1.5\,\mathrm{km}$ ; $340 \times 1.5 = 510\,\mathrm{m}$ ; $1500 \times 1.2 = 1.8\,\mathrm{km}$ ; $1540 \times 65 \times 10^{-6} = 10\,\mathrm{cm}$ .

Oefening 7.5 ★★

Een treinhoorn van $500\,\mathrm{Hz}$ ; $c = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (a) Frequentie die iemand op het perron hoort terwijl de trein met $40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ nadert, en nadat hij voorbij is. (b) De persoon zit in een trein die met $40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ naar de hoorn toe rijdt, terwijl de hoorn stilstaat; en daarna bewegen beide met $40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ naar elkaar toe: vergelijk met een relatieve snelheid van $80\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ met één lichaam in rust. (c) Frequentie die de machinist van de trein met de hoorn hoort van de echo tegen een muur voor zich.

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.5.

(a) $500 \times 340/300 = 567\,\mathrm{Hz}$ ; $500 \times 340/380 = 447\,\mathrm{Hz}$ . (b) $500 \times 380/340 = 559\,\mathrm{Hz}$ ; beide: $500 \times 380/300 = 633\,\mathrm{Hz}$ , tegen $654\,\mathrm{Hz}$ (alleen de bron bij $80\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) of $618\,\mathrm{Hz}$ (alleen de waarnemer): de lucht bepaalt het resultaat, niet de relatieve snelheid. (c) De muur ontvangt $567\,\mathrm{Hz}$ en zendt die in rust weer uit; de machinist nadert met $40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $567 \times 380/340 = 633\,\mathrm{Hz}$ .

Oefening 7.6 ★★

Bereken voor een drukamplitude van $1.0\,\mathrm{Pa}$ bij $1\,\mathrm{kHz}$ de snelheids- en uitwijkingsamplitude, de intensiteit en het niveau in lucht, in water ( $Z = 1.5 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ ) en in staal ( $4 \times 10^{7}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ ). Dezelfde druk, heel verschillende intensiteiten: geef commentaar. (Onderwaterniveaus worden ten opzichte van $1\,\text{µ}\mathrm{Pa}$ opgegeven: hoeveel is $1\,\mathrm{Pa}$ op die schaal?)

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.6.

$v_m = p_m/Z$ : $2.4\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ , $0.67\,\text{µ}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $25\,\mathrm{nm}/\mathrm{s}$ ; $\xi_m = v_m/\omega$ : $390\,\mathrm{nm}$ , $0.11\,\mathrm{nm}$ , $4\,\mathrm{pm}$ ; $I = p_m^2/2Z$ : $1.2 \times 10^{-3}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ( $91\,\mathrm{dB}$ ), $3.3 \times 10^{-7}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ( $55\,\mathrm{dB}$ ), $1.3 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ( $41\,\mathrm{dB}$ ). Een stijf medium beweegt bij een gegeven druk nauwelijks en draagt weinig vermogen. $1\,\mathrm{Pa}$ is $120\,\mathrm{dB}$ ten opzichte van $1\,\text{µ}\mathrm{Pa}$ .

Oefening 7.7 ★★

(a) De isotherme snelheid van Newton $\sqrt{P_0/\rho_0}$ voor lucht bij $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ ( $\rho_0 = 1.20\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) en de correctie van Laplace. (b) Gemeten: $343\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ in lucht, $323\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ in argon ( $M = 40\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ) bij $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ : leid voor elk $\gamma$ af; duid dat met het aantal vrijheidsgraden. (c) Schat hoe ver warmte in één periode bij $1\,\mathrm{kHz}$ diffundeert (thermische diffusiecoëfficiënt van lucht $2 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ) en vergelijk met de golflengte.

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.7.

(a) $\sqrt{1.013 \times 10^5/1.2} = 290\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\times\sqrt{1.4}$ : $343\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (b) $\gamma = c^2M/RT$ : $1.40$ voor lucht, $1.71$ voor argon ( $5/3$ binnen de afronding): drie translatievrijheidsgraden ( $\gamma = 1 + 2/3$ ) tegen vijf voor een tweeatomig gas ( $1 + 2/5$ ). (c) $\sqrt{D/f} = \sqrt{2 \times 10^{-8}} = 0.14\,\mathrm{mm} \ll \lambda = 34\,\mathrm{cm}$ : er vloeit geen warmte tussen toppen en dalen.

Oefening 7.8 ★★

Orgelpijpen. In een pijp is de overdruk nul aan een open uiteinde en de snelheid nul aan een gesloten uiteinde. (a) Staande golven in een aan beide zijden open pijp: toon aan dat de modes $f_n = nc/2L$ zijn; in een aan één zijde gesloten pijp $f_n = (2n - 1)c/4L$ . (b) Lengtes voor een grondtoon van $440\,\mathrm{Hz}$ in beide gevallen. (c) Welke harmonischen bevat elke pijp? (d) Het werkelijke open uiteinde ligt ongeveer $0.6$ straal buiten de pijp (eindcorrectie): voor een pijp van $4\,\mathrm{cm}$ , de correctie op $L$ en op $f$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.8.

(a) Open–open: $p = p_m\sin kx\cos\omega t$ met $kL = n\pi$ ; gesloten–open: $p = p_m\cos kx\cos\omega t$ (snelheidsknoop, drukbuik aan het gesloten uiteinde) met $kL = (2n - 1)\pi/2$ . (b) $L = c/2f = 39\,\mathrm{cm}$ ; $c/4f = 19.5\,\mathrm{cm}$ . (c) Alle harmonischen; alleen de oneven harmonischen (de holle klank van de klarinet). (d) $0.6 \times 2 = 1.2\,\mathrm{cm}$ per open uiteinde: $L_{\text{eff}} = 41.4\,\mathrm{cm}$ , $f = 414\,\mathrm{Hz}$ , $6\%$ te laag — de pijp moet op $36.6\,\mathrm{cm}$ worden afgesneden.

Oefening 7.9 ★★

Een elektrische sirene van $2.0\,\mathrm{kW}$ zet $20\%$ van haar vermogen om in geluid dat in een halfruimte wordt uitgestraald (zij staat op een dak). (a) Intensiteit, niveau en drukamplitude op $100\,\mathrm{m}$ . (b) Afstand van de pijngrens ( $120\,\mathrm{dB}$ ); van de $70\,\mathrm{dB}$ -contour, waar zij niet langer alarmeert. (c) De absorptie van de lucht voegt $1\,\mathrm{dB}$ per $100\,\mathrm{m}$ toe bij haar frequentie: afstand van de $70\,\mathrm{dB}$ -contour nu (los numeriek op). (d) Hoeveel van zulke sirenes dekken een stad met een straal van $10\,\mathrm{km}$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.9.

$\mathcal P = 400\,\mathrm{W}$ , $I = \mathcal P/2\pi r^2$ . (a) $6.4 \times 10^{-3}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , $98\,\mathrm{dB}$ , $p_m = 2.3\,\mathrm{Pa}$ . (b) $r = \sqrt{400/2\pi} = 8\,\mathrm{m}$ ; $70\,\mathrm{dB}$ op $2.5\,\mathrm{km}$ . (c) $98 - 20\log(r/100) - (r - 100)/100 = 70$ : $r \approx 950\,\mathrm{m}$ . (d) $\pi(10)^2/\pi(0.95)^2 \approx 110$ sirenes.

Oefening 7.10 ★★★

Energie van een staande geluidsgolf. In een gesloten buis met lengte $L$ is de overdruk $p = p_m\cos(kx)\cos(\omega t)$ , $k = n\pi/L$ . (a) Bepaal $v(x, t)$ uit de gelineariseerde vergelijking van Euler. (b) Kinetische en potentiële energiedichtheid; toon aan dat zij in de tijd in kwadratuur oscilleren en in de ruimte een kwart golflengte verschoven zijn. (c) Totale energie in de buis (doorsnede $S$ ); ga na dat zij constant is. (d) Gemiddelde intensiteit: overal nul — en toch beweegt de energie: beschrijf hoe.

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.10.

(a) $\rho_0\partial_tv = p_mk\sin kx\cos\omega t$ : $v = (p_m/Z)\sin kx\sin\omega t$ . (b) $e_k = \tfrac12\chi_Sp_m^2\sin^2kx\sin^2\omega t$ , $e_p = \tfrac12\chi_Sp_m^2\cos^2kx\cos^2\omega t$ : de een is maximaal wanneer de ander verdwijnt, zowel in de tijd als in de ruimte. (c) $E = S\int_0^L(e_k + e_p)\dd x = \tfrac14\chi_Sp_m^2SL$ , constant. (d) $I = pv = (p_m^2/4Z)\sin2kx\sin2\omega t$ : gemiddeld nul, maar twee keer per periode stroomt er energie van de drukbuiken naar de snelheidsbuiken en terug.

Oefening 7.11 ★★★

Supersonische knal. Een vliegtuig vliegt horizontaal met $v = 1.6\,c$ op een hoogte $h = 12\,\mathrm{km}$ , waar $c = 300\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (a) Leid de machhoek af uit de omhullende van de bolvormige golffronten. (b) Tijd tussen de overvlucht en de knal op de grond (verwaarloos de verandering van $c$ met de hoogte). (c) Breedte op de grond van de strook die de knal hoort terwijl het vliegtuig voorbijkomt, als het spoor van de kegel binnen $\pm30\,\mathrm{km}$ van de baan hoorbaar is: waarom is supersonische vlucht boven land verboden? (d) Een geweerkogel met $800\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : machhoek; wat een waarnemer op $10\,\mathrm{m}$ van de baan hoort, en in welke volgorde.

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.11.

(a) Het front dat op $t = 0$ is uitgezonden, heeft straal $ct$ wanneer de bron $vt$ verder is: de raakkegel heeft $\sin\theta = c/v$ . (b) $\theta = 39{}^{\circ}$ ; de kegel bereikt de grond onder het vliegtuig wanneer dat $h/\tan\theta = 15\,\mathrm{km}$ verder is: $15000/480 = 31\,\mathrm{s}$ na de overvlucht. (c) Een strook van $60\,\mathrm{km}$ breed langs de hele route hoort de knal. (d) $\sin\theta = 340/800$ , $\theta = 25{}^{\circ}$ ; de knal van de kegel komt het eerst aan, de mondingsknal, die met $c$ vanaf het wapen loopt, later.

Oefening 7.12 ★★★

Doppler met ultrageluid. Een sonde zendt met $f = 5.0\,\mathrm{MHz}$ in weefsel ( $c = 1540\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ); rode bloedcellen bewegen met $v$ langs een vat dat de hoek $\theta$ met de bundel maakt. (a) Frequentie die een cel ontvangt (bewegende waarnemer). (b) Zij zendt die frequentie opnieuw uit (verstrooiing) als een bewegende bron: frequentie terug bij de sonde; toon aan dat $\Delta f = 2fv\cos\theta/c$ voor $v \ll c$ . (c) $\Delta f$ voor $v = 0.50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\theta = 60{}^{\circ}$ ; en voor $\theta = 90{}^{\circ}$ — wat doet de gebruiker dan? (d) De sonde kan $50\,\mathrm{Hz}$ onderscheiden: snelheidsresolutie. Waarom wordt het dopplersignaal hoorbaar gemaakt en niet alleen afgebeeld?

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.12.

(a) $f_1 = f(c + v\cos\theta)/c$ . (b) $f_2 = f_1c/(c - v\cos\theta) = f(c + v\cos\theta) /(c - v\cos\theta) \approx f(1 + 2v\cos\theta/c)$ . (c) $2 \times 5 \times 10^6 \times 0.5 \times 0.5/1540 = 1.6\,\mathrm{kHz}$ ; nul bij $90{}^{\circ}$ : kantel de sonde. (d) $\Delta v = 50 \times 1540/ (2 \times 5 \times 10^6 \times 0.5) = 1.5\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ . Het oor volgt toonhoogte en klankkleur in real time: een gladde fluittoon betekent laminaire stroming, een sissend geluid turbulentie achter een vernauwing.

Een echograaf: enkele megahertz geluid, geklokte echo’s en de impedantiesprongen tussen weefsels tekenen het beeld; de gel verdrijft het laagje lucht dat alles zou terugkaatsen.

7.6 Vraagstuk: Van de donder tot de echograaf

Probleem 7.1

Weekendvraagstuk — geluid in de open lucht, in een concertzaal, in het lichaam en van een passerende sirene

Lucht: $\gamma = 1.40$ , $M = 29\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ , $Z = 410\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ bij $15{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; $R = 8.31\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ .

Deel I — Het onweer.

Geluidssnelheid bij $15{}^{\circ}\mathrm{C}$ en bij $30{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; verantwoord de vuistregel “drie seconden per kilometer”.
De donder komt $4.0\,\mathrm{s}$ na de flits aan: afstand van de inslag. De donder duurt enkele seconden hoewel de flits ogenblikkelijk is: waarom?
Dicht bij de inslag haalt het niveau $120\,\mathrm{dB}$ : drukamplitude en snelheidsamplitude van de lucht.
Energie die per vierkante meter muur wordt ontvangen tijdens een donderslag van $2\,\mathrm{s}$ bij $120\,\mathrm{dB}$ .
In een heldere nacht koelt de grond af en is de lucht onderin kouder dan bovenin. Geluidsstralen gehoorzamen tussen de lagen aan de wet van Snellius, $\sin i/c =$ const: buigen stralen die omhoog vertrekken naar beneden of naar boven af? Waarom worden verre geluiden ’s nachts en boven water zo goed gehoord?
Overdag is het omgekeerd: een luisteraar op $3\,\mathrm{km}$ hoort niets. Schat de hoek waarover een horizontale straal na $3\,\mathrm{km}$ is afgebogen als $c$ met $1\,\%$ per $500\,\mathrm{m}$ hoogte daalt (behandel de afbuiging als eenparig: de straal is een cirkel).
Lucht absorbeert hoge frequenties veel sterker dan lage: waarom rommelt verre donder terwijl een inslag dichtbij knalt?

Deel II — Het concert. Een luidspreker ontvangt $100\,\mathrm{W}$ elektrisch vermogen en zet daarvan $2\%$ om in geluid, dat gelijkmatig in de halfruimte vóór hem wordt uitgestraald.

Akoestisch vermogen; intensiteit en niveau op $10\,\mathrm{m}$ .
Drukamplitude daar; snelheids- en uitwijkingsamplitude bij $100\,\mathrm{Hz}$ .
Niveau op $1\,\mathrm{m}$ (is dat veilig?) en afstand waarop de muziek tot $60\,\mathrm{dB}$ zakt.
Tien gelijke luidsprekers verspreid over het podium, niet in fase: niveau op $10\,\mathrm{m}$ . Twee luidsprekers in fase gevoed, op dezelfde afstand van een luisteraar op hun as: niveau daar.
De zaal (volume $10\,000\,\mathrm{m}^{3}$ ) heeft $2000\,\mathrm{m}^{2}$ aan wanden en publiek die $30\%$ absorberen van het geluid dat hen treft: schat de akoestische energie die zich in evenwicht in de zaal bevindt en de nagalmtijd (tijd waarin het niveau $60\,\mathrm{dB}$ zakt nadat de muziek stopt), met de balans tussen het uitgezonden en het geabsorbeerde vermogen ( $I_{\text{wand}} \approx ce/4$ voor een diffuus veld, aangenomen).

Deel III — De echograaf. Zacht weefsel: $c = 1540\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $Z = 1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ ; bot $Z = 7 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ ; lucht $400\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ . Bij loodrechte inval is de drukamplitude die op een grensvlak wordt teruggekaatst $r = (Z_2 - Z_1)/(Z_2 + Z_1)$ maal de invallende (afgeleid in Hoofdstuk 15); weefsel verzwakt geluid met ongeveer $0.5\,\mathrm{dB}$ per centimeter en per megahertz.

Golflengte in weefsel bij $3\,\mathrm{MHz}$ , $5\,\mathrm{MHz}$ en $10\,\mathrm{MHz}$ ; het kleinste detail dat elk kan oplossen is ongeveer één golflengte.
Echovertraging van een orgaan op $12\,\mathrm{cm}$ diepte; maximaal tempo waarmee pulsen kunnen worden verstuurd zonder de echo’s te verwarren; tijd om een beeld van $200$ lijnen op te bouwen.
Fractie van de druk, en van de energie, die op een grensvlak weefsel–lucht wordt teruggekaatst; op een grensvlak weefsel–bot; tussen vet ( $Z = 1.38 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ ) en spier ( $1.70 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ ). Waarom de gel, en waarom werpen botten schaduwen?
Bij $5\,\mathrm{MHz}$ doorloopt de bundel $2\,\mathrm{cm}$ vet voordat hij spier ontmoet: fractie van de uitgezonden energie die van dat grensvlak bij de sonde terugkeert (reflectie plus verzwakking heen en terug), in decibel.
Verzwakking heen en terug in decibel voor het orgaan van vraag 12 bij elk van de drie frequenties; kan de scanner $80\,\mathrm{dB}$ verlies aan, welke frequenties werken dan? Formuleer de afweging tussen resolutie en diepte.
De sonde zendt pulsen van $1\,\text{µ}\mathrm{s}$ bij $5\,\mathrm{MHz}$ : hoeveel golflengten lang is een puls, en hoe begrenst dat de dieptresolutie?
Dopplermodus bij $5\,\mathrm{MHz}$ op een slagader met $0.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , bundel onder $60{}^{\circ}$ : verschuiving; wat de gebruiker hoort.

Deel IV — De sirene.

Een ambulance passeert met $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ en een sirene van $700\,\mathrm{Hz}$ : frequenties die bij het naderen en bij het verwijderen worden gehoord; het interval ertussen in halve tonen (een halve toon is een verhouding $2^{1/12}$ ).
De luisteraar zit in een auto die met $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ naar de naderende ambulance toe rijdt: gehoorde frequentie.
Op welk ogenblik hoort een luisteraar op de stoep precies $700\,\mathrm{Hz}$ ?
De golffronten vóór de ambulance: golflengte; snelheid van het geluid ten opzichte van de ambulance, vooruit en achteruit.
Een radar van $24\,\mathrm{GHz}$ leest een verschuiving van $3.2\,\mathrm{kHz}$ van een auto af: snelheid van de auto (de golf wordt twee keer verschoven).
Vat samen: de zes snelheden van dit vraagstuk (geluid in lucht, in weefsel, de ambulance, de auto, de rode bloedcellen, het licht) en de ene formule die hen allemaal aankan.

Oplossing

Oplossing van Probleem 7.1.

1. $c = \sqrt{1.4 \times 8.31 \times 288/0.029} = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $349\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ bij $30{}^{\circ}\mathrm{C}$ . $1\,\mathrm{km}$ in $2.9\,\mathrm{s}$ .

2. $1.4\,\mathrm{km}$ . Het kanaal is kilometers lang; het geluid van de verschillende delen ervan komt over enkele seconden binnen, met echo’s van wolken en grond.

3. $I = 1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ : $p_m = \sqrt{2ZI} = 29\,\mathrm{Pa}$ , $v_m = 7\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ .

4. $It = 2\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{2}$ .

5. $c$ groeit naar boven; bij constante $\sin i/c$ groeit $i$ , zodat de straal naar de horizontaal en weer omlaag buigt: het geluid wordt langs de grond geleid en draagt ver. Boven water wordt de onderste lucht door het water gekoeld: hetzelfde.

6. De stralen buigen omhoog en laten een schaduwzone achter. Kromtestraal $R = c/(\dd c/\dd z) = 50\,\mathrm{km}$ : na $3\,\mathrm{km}$ is de straal over $3/50 = 0.06\,\mathrm{rad} = 3.4{}^{\circ}$ gedraaid en $90\,\mathrm{m}$ gestegen: de luisteraar zit eronder.

7. De absorptie groeit als $f^2$ : de hoge frequenties van de knal zijn na enkele kilometers verdwenen, het lage gerommel blijft over.

8. $\mathcal P = 2\,\mathrm{W}$ ; $I = 2/2\pi r^2 = 3.2 \times 10^{-3}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ op $10\,\mathrm{m}$ : $95\,\mathrm{dB}$ .

9. $p_m = \sqrt{2 \times 410 \times 3.2 \times 10^{-3}} = 1.6\,\mathrm{Pa}$ ; $v_m = 3.9\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ ; $\xi_m = v_m/2\pi f = 6\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

10. $+20\,\mathrm{dB}$ : $115\,\mathrm{dB}$ op $1\,\mathrm{m}$ — binnen enkele minuten schadelijk. $60\,\mathrm{dB}$ : $r = \sqrt{2/2\pi10^{-6}} = 560\,\mathrm{m}$ .

11. Tien onsamenhangende: $+10\,\mathrm{dB}$ , $105\,\mathrm{dB}$ . Twee in fase: de druk verdubbelt, $+6\,\mathrm{dB}$ , $101\,\mathrm{dB}$ .

12. Balans $\mathcal P = \alpha A\,ce/4$ : $e = 8/(0.3 \times 2000 \times 340) = 3.9 \times 10^{-5}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ , $E = eV = 0.4\,\mathrm{J}$ . Na het stoppen geldt $\dd E/\dd t = -(\alpha Ac /4V)E$ : $\tau = 4V/\alpha Ac = 0.20\,\mathrm{s}$ , en $60\,\mathrm{dB}$ duurt $\tau\ln10^6 = 2.7\,\mathrm{s}$ (de nagalmtijd van Sabine).

13. $\lambda = c/f$ : $0.51\,\mathrm{mm}$ , $0.31\,\mathrm{mm}$ , $0.15\,\mathrm{mm}$ .

14. $2 \times 0.12/1540 = 156\,\text{µ}\mathrm{s}$ ; $6.4\,\mathrm{kHz}$ ; $200$ lijnen in $31\,\mathrm{ms}$ (dertig beelden per seconde).

15. Weefsel–lucht: $r = -0.9995$ , $99.9\%$ van de energie teruggekaatst — vandaar de gel, die het laagje lucht verdrijft. Weefsel–bot: $r = 0.63$ , $40\%$ van de energie; de rest wordt door het bot geabsorbeerd, dat een schaduw werpt. Vet–spier: $r = 0.10$ , $1\%$ van de energie: de zwakke echo’s waaruit het beeld bestaat.

16. Teruggekaatste fractie $1.1\%$ ( $-20\,\mathrm{dB}$ ); heen en terug $4\,\mathrm{cm}$ bij $5\,\mathrm{MHz}$ : $-10\,\mathrm{dB}$ ; samen $-30\,\mathrm{dB}$ , een duizendste.

17. Heen en terug $24\,\mathrm{cm}$ : $36\,\mathrm{dB}$ , $60\,\mathrm{dB}$ , $120\,\mathrm{dB}$ : $3\,\mathrm{MHz}$ en $5\,\mathrm{MHz}$ werken, $10\,\mathrm{MHz}$ niet — diepe organen worden bij lage frequentie met grove resolutie afgebeeld, oppervlakkige bij hoge frequentie fijn.

18. Vijf golflengten, $1.5\,\mathrm{mm}$ lang: twee grensvlakken die dichter dan ongeveer $0.8\,\mathrm{mm}$ (de halve puls) bij elkaar liggen, geven overlappende echo’s.

19. $2 \times 5 \times 10^6 \times 0.4 \times 0.5/1540 = 1.3\,\mathrm{kHz}$ : een fluittoon waarvan de toonhoogte met elke hartslag stijgt en daalt.

20. $v = 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $700 \times 340/315 = 756\,\mathrm{Hz}$ , $700 \times 340/365 = 652\,\mathrm{Hz}$ ; verhouding $1.16$ , $12\log_21.16 = 2.6$ halve tonen.

21. $700 \times 355/315 = 789\,\mathrm{Hz}$ .

22. Op het punt van kortste afstand, wanneer de snelheid van de ambulance loodrecht op de zichtlijn staat (strikt genomen: wanneer het geluid dat nu aankomt, in dat punt is uitgezonden).

23. $\lambda' = (340 - 25)/700 = 0.45\,\mathrm{m}$ (tegen $0.49\,\mathrm{m}$ ); het geluid verwijdert zich van de ambulance met $315\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ vooruit en $365\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ achteruit.

24. $v = c\,\Delta f/2f = 3 \times 10^8 \times 3200/4.8 \times 10^{10} = 20\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 72\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

25. $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $1540\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $0.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $3 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $f' = f(c + v_o)/(c - v_s)$ , één of twee keer toegepast, en voor licht bij lage snelheid.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 431 begrippen in de begrippenlijst