Universitaire natuurkunde — jaar 2 · Bachelor Year 2

4Viskeuze stromingen

Kantel een pot honing en hij loopt in een traag, dik lint uit; kantel een pot water en het is weg. Trek een lepel door beide: de honing verzet zich, en blijft zich bij elke snelheid verzetten; het water merkt er nauwelijks iets van tot u snel beweegt, en dan gaat het kolken. Het verschil is de viscositeit — de inwendige wrijving van een fluïdum — en de strijd tussen viscositeit en traagheid, samengevat in één getal, dat van Reynolds, beslist of een stroming in ordelijke lagen kruipt of in turbulentie omslaat. Dit hoofdstuk voegt de viskeuze kracht toe aan de vergelijking van Euler, lost de twee laminaire stromingen op die elke ingenieur gebruikt, en legt uit waarom de viscositeit zich bij een hoog reynoldsgetal in een dunne laag aan de wand verstopt en toch elke auto, elk schip en elk vliegtuig het grootste deel van zijn brandstof kost.

Honing loopt in een dun, gestaag lint uit dat bij de landing oprolt: een viscositeit tienduizend keer die van water maakt traagheid onbelangrijk — een kruipstroming.

4.1 Viscositeit en de vergelijking van Navier–Stokes

Definitie 4.1 (Newtoniaanse viscositeit)

In een vlakke afschuifstroming $\vect v = v_x(y)\,\vect e_x$ oefent het fluïdum boven een vlak $y =$ const op het fluïdum eronder (door een oppervlakte-element $\dd S$ ) de tangentiële kracht

\dd\vect F = \eta\,\frac{\dd v_x}{\dd y}\,\dd S\;\vect e_x ,

uit, waarmee het de tragere laag vooruittrekt en zelf wordt teruggetrokken. De schuifspanning is $\tau = \eta\,\dd v_x/\dd y$ ; de coëfficiënt $\eta$ (eenheid $\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ) is de dynamische viscositeit van het fluïdum, en $\nu = \eta/\rho$ ( $\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ) zijn kinematische viscositeit. Een fluïdum waarvoor $\eta$ niet van de afschuifsnelheid afhangt, heet newtoniaans: water, lucht, oliën, alcohol; bloed, verf, ketchup en polymeersmelten zijn het niet. Ordegrootten bij $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ : lucht $\eta = 1.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ( $\nu = 1.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ), water $1.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ( $\nu = 1.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ), olijfolie $0.08\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ , glycerol $1.5\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ , honing $\sim10\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ . Vloeistoffen worden dunner bij verwarming, gassen dikker.

Propositie 4.2 (Viskeuze krachtdichtheid; hechtvoorwaarde)

In de vlakke afschuifstroming bedraagt de netto viskeuze kracht op een plakje fluïdum tussen $y$ en $y + \dd y$ , per volume-eenheid, $\eta\,\dd^2v_x/\dd y^2$ : viscositeit werkt als een volumekrachtdichtheid $\eta\,\Delta\vect v$ (met de laplaciaan component voor component genomen), een resultaat dat voor elke onsamendrukbare stroming geldt. Aan een vaste wand kleeft het fluïdum: zijn snelheid is die van de wand (de hechtvoorwaarde), en daarom blijft er stof op een ventilatorblad zitten en voelt een wand een viskeuze weerstand.

Bewijs. Het plakje wordt van boven met $\eta\,v_x'(y + \dd y)\dd S$ getrokken en van onder met $-\eta\,v_x'(y)\dd S$ : netto $\eta v_x''\,\dd y\,\dd S$ . De algemene vorm wordt aangenomen (zij volgt uit het schrijven van de spanning als een symmetrische lineaire functie van de snelheidsgradiënten). De hechtvoorwaarde is experimenteel. ∎

Stelling 4.3 (Vergelijking van Navier–Stokes)

Een onsamendrukbaar newtoniaans fluïdum voldoet aan

\rho\Bigl(\frac{\partial\vect v}{\partial t} + (\vect v\cdot\operatorname{\vect{grad}}) \vect v\Bigr) = -\operatorname{\vect{grad}}P + \rho\vect g + \eta\,\Delta\vect v , \qquad \operatorname{div}\vect v = 0 ,

met de hechtvoorwaarde op elke wand. De vergelijking van Euler is het geval $\eta = 0$ .

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Links: vlakke stroming van Couette tussen een vaste plaat en een plaat die met U beweegt — een lineair profiel, met dezelfde schuifspanning op elke laag. Rechts: de viskeuze krachten op een plakje fluïdum; zij heffen elkaar op tenzij het snelheidsprofiel gekromd is. — Links: vlakke stroming van Couette tussen een vaste plaat en een plaat die met $U$ beweegt — een lineair profiel, met dezelfde schuifspanning op elke laag. Rechts: de viskeuze krachten op een plakje fluïdum; zij heffen elkaar op tenzij het snelheidsprofiel gekromd is.

Voorbeeld 4.4 (Schuifspanning op een tafel)

Een oliefilm van $0.1\,\mathrm{mm}$ ( $\eta = 0.1\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ) tussen een plaat en een tafel, met de plaat glijdend op $1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $\tau = \eta U/h = 1\,\mathrm{kPa}$ , een kracht van $100\,\mathrm{N}$ op een tiende vierkante meter — het beginsel van het gesmeerde lager, waar de viskeuze weerstand de honderd keer grotere droge wrijving vervangt. Honing op een lepel, $10\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ , $1\,\mathrm{mm}$ dik, aflopend met $1\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ : $\tau = 10\,\mathrm{Pa}$ , precies het gewicht van een millimeter honing per oppervlakte-eenheid — en daarom loopt zij juist met die snelheid af.

4.2 Het reynoldsgetal

Definitie 4.5 (Reynoldsgetal)

Voor een stroming met karakteristieke snelheid $U$ en lengte $L$ is het reynoldsgetal

\mathrm{Re} = \frac{\rho UL}{\eta} = \frac{UL}{\nu}

de verhouding van de ordegrootten van de traagheidsterm $\rho(\vect v\cdot\operatorname{\vect{grad}})\vect v \sim \rho U^2/L$ en de viskeuze term $\eta\Delta\vect v \sim \eta U/L^2$ in de vergelijking van Navier–Stokes. Bij $\mathrm{Re} \ll 1$ is de traagheid verwaarloosbaar en kruipt de stroming (viskeus, omkeerbaar, glad); bij $\mathrm{Re} \gg 1$ is de viscositeit verwaarloosbaar behalve nabij wanden en is de stroming die van een volmaakt fluïdum — totdat zij, voorbij een drempel van orde $10^3$ (ongeveer $2000$ tot $3000$ in een buis, op de diameter gebaseerd), turbulent wordt: niet-stationair, chaotisch, vol wervels op elke schaal. Daartussenin heet een stroming laminair: stationair en in lagen.

Voorbeeld 4.6 (Reynoldsgetallen van alledaagse stromingen)

Een bacterie ( $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $30\,\text{µ}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , water): $\mathrm{Re} = 3 \times 10^{-5}$ — zij leeft in een wereld zonder traagheid, waar het stilzetten van haar zweepstaart haar binnen een atoomdiameter tot stilstand brengt. Bloed in een haarvat: $10^{-3}$ ; een vallende stofkorrel: $10^{-2}$ ; een goudvis: $10^3$ ; een zwemmer: $10^6$ ; een auto op $30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $4\,\mathrm{m}$ ): $8 \times 10^6$ ; een verkeersvliegtuig: $10^8$ ; de Golfstroom: $10^{11}$ . Twee stromingen met dezelfde meetkunde en hetzelfde reynoldsgetal zijn gelijkvormig: daarom kan een scheepsmodel van $1\,\mathrm{m}$ in een sleeptank worden beproefd, of een vliegtuig in een windtunnel.

4.3 Laminaire stromingen: Couette, Poiseuille, Stokes

Propositie 4.7 (Stroming van Poiseuille in een buis)

In een horizontale cilindrische buis met straal $R$ en lengte $L$ , gedreven door het drukverschil $\Delta P = P_1 - P_2$ tussen haar uiteinden, is de stationaire laminaire stroming

v(r) = \frac{\Delta P}{4\eta L}\,(R^2 - r^2) , \qquad D_V = \frac{\pi R^4}{8\eta L}\,\Delta P :

een parabolisch profiel, maximaal op de as, met een gemiddelde snelheid $\langle v\rangle = v_{\max}/2$ . Het debiet is evenredig met de drukval (wet van Poiseuille), met de hydraulische weerstand $R_h = \Delta P/D_V = 8\eta L/\pi R^4$ — en met de vierde macht van de straal. De schuifspanning aan de wand is $\tau_w = \Delta P\,R/2L = 4\eta\langle v \rangle/R$ . Geldig zolang $\mathrm{Re} = 2R\langle v\rangle/\nu \lesssim 2000$ .

Bewijs. Stationair, $\vect v = v(r)\vect e_z$ (zodat de convectieve term wegvalt: $\vect v \cdot\operatorname{\vect{grad}}$ werkt langs $z$ , waarlangs niets verandert). Navier–Stokes langs $z$ : $0 = -\partial_zP + \eta\Delta v$ , en radiaal $\partial_rP = 0$ : $P$ hangt alleen van $z$ af, $\Delta v$ alleen van $r$ , zodat beide leden gelijk zijn aan een constante, $\partial_zP = -\Delta P/L$ . In cilindercoördinaten is $\Delta v = \frac1r\frac{\dd}{\dd r}\bigl(r\frac{\dd v}{\dd r}\bigr)$ (hier gesteld; het is de balans van de viskeuze krachten op een cilinderschil, $2\pi rL\,\eta v'$ in $r$ en in $r + \dd r$ ). Twee keer integreren met $v$ eindig op de as en $v(R) = 0$ geeft de parabool; $D_V = \int_0^Rv\,2\pi r\,\dd r$ . De wandspanning is $-\eta v'(R)$ ; even goed houdt de drukkracht $\pi R^2\Delta P$ de wandwrijving $2\pi RL\tau_w$ in evenwicht. ∎

Links: de stroming van Poiseuille — het parabolische profiel in een buis, gedreven door de drukval P_1 - P_2. Rechts: de krachtenbalans op een cilinderschil fluïdum: het drukverschil op haar eindvlakken wordt in evenwicht gehouden door de viskeuze spanningen op haar binnen- en buitenoppervlak. — Links: de stroming van Poiseuille — het parabolische profiel in een buis, gedreven door de drukval $P_1 - P_2$ . Rechts: de krachtenbalans op een cilinderschil fluïdum: het drukverschil op haar eindvlakken wordt in evenwicht gehouden door de viskeuze spanningen op haar binnen- en buitenoppervlak.

Voorbeeld 4.8 (De vierde macht)

Een injectienaald met inwendige diameter $0.4\,\mathrm{mm}$ en lengte $3\,\mathrm{cm}$ , water, duimdruk $20\,\mathrm{kPa}$ : $D_V = \pi(2 \times 10^{-4})^4 \times 2 \times 10^4/(8 \times 10^{-3} \times 0.03) = 0.42\,\mathrm{mL}/\mathrm{s}$ ; een twee keer zo brede naald geeft zestien keer meer. Een slagader die door een plaque tot $70\%$ van haar straal is vernauwd, biedt $(1/0.7)^4 = 4.2$ keer zo veel weerstand: het lichaam compenseert dat door de druk stroomopwaarts te verhogen, en dat is een deel van de reden waarom aderverkalking en hoge bloeddruk samengaan.

Propositie 4.9 (Weerstand van Stokes)

Een bol met straal $R$ die met snelheid $v$ door een fluïdum beweegt bij $\mathrm{Re} = 2\rho vR/\eta \ll 1$ , ondervindt de weerstand

F = 6\pi\eta Rv ,

tegengesteld aan zijn snelheid. Een bol met dichtheid $\rho_s$ die valt in een fluïdum met dichtheid $\rho$ bereikt de eindsnelheid $v_\infty = \dfrac{2R^2(\rho_s - \rho)g}{9\eta}$ — de wet van de bezinking, van centrifuges en van de oliedruppels van Millikan.

Bewijs. De weerstand wordt aangenomen (zij is de exacte oplossing van de vergelijkingen van de kruipstroming om een bol, voor twee derde viskeuze wrijving en voor een derde druk). Eindsnelheid: gewicht min opwaartse kracht, $\tfrac43\pi R^3(\rho_s - \rho)g$ , is gelijk aan de weerstand; controleer achteraf altijd $\mathrm{Re} \ll 1$ . ∎

Voorbeeld 4.10 (Mist, regen en stof)

Een mistdruppel met diameter $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ valt in lucht met $2 \times (5 \times 10^{-6})^2 \times 10^4/(9 \times 1.8 \times 10^{-5}) = 3\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ ( $\mathrm{Re} = 2 \times 10^{-3}$ ): de kleinste opwaartse luchtstroom houdt haar in de lucht, en daarom blijven wolken drijven. Een regendruppel van $1\,\mathrm{mm}$ zou $30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ geven en $\mathrm{Re} \approx 2000$ : Stokes geldt dan niet meer, en de kwadratische weerstand van de volgende paragraaf geeft de waargenomen $4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Een stofkorrel van $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ ( $\rho_s = 2500\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) bezinkt met $8\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ , een meter in twee minuten — fijner stof blijft uren hangen.

4.4 Hoog reynoldsgetal: grenslagen en weerstand

Propositie 4.11 (De grenslaag)

Bij een hoog reynoldsgetal is de stroming om een lichaam overal die van een volmaakt fluïdum, behalve in een dunne grenslaag langs de wand, waarin de snelheid van haar buitenwaarde $U$ tot nul daalt (hechting). Langs een vlakke plaat groeit haar dikte als

\delta(x) \sim \sqrt{\frac{\nu x}{U}} = \frac{x}{\sqrt{\mathrm{Re}_x}} , \qquad \mathrm{Re}_x = \frac{Ux}{\nu} ,

met $x$ de afstand tot de voorrand; de laag zelf wordt turbulent voorbij $\mathrm{Re}_x \sim 5 \times 10^5$ . De viskeuze wrijving op de wand, en het loslaten van de laag achter een stomp lichaam (dat een turbulent zog met lage druk achterlaat), zijn de twee bronnen van weerstand.

Bewijs. Ordegrootte: een fluïdumdeeltje doet er de tijd $x/U$ over om langs de plaat te reizen, en ondertussen dringt de invloed van de wand het fluïdum binnen — de viskeuze term $\nu\,\partial^2v/\partial y^2$ is een diffusie van impuls met diffusiecoëfficiënt $\nu$ , die de afstand $\sqrt{\nu t}$ bereikt in de tijd $t$ (Hoofdstuk 24). Vandaar $\delta \sim \sqrt{\nu x /U}$ . De volledige theorie (van Prandtl) wordt aangenomen. ∎

Propositie 4.12 (Weerstand bij een hoog reynoldsgetal)

De weerstand op een lichaam met frontaal oppervlak $S$ dat met $v$ door een fluïdum beweegt, wordt geschreven als

F = \tfrac12\rho v^2\,S\,C_x ,

waarin de weerstandscoëfficiënt $C_x$ van de vorm en van $\mathrm{Re}$ afhangt. Voor een bol is $C_x = 24/\mathrm{Re}$ bij $\mathrm{Re} \ll 1$ (Stokes, met $\mathrm{Re}$ op de diameter gebaseerd), daarna ongeveer $0.4$ – $0.5$ , vrijwel constant, van $\mathrm{Re} \approx 10^3$ tot $2 \times 10^5$ , waar zij plotseling tot ongeveer $0.1$ valt (de weerstandscrisis: de grenslaag wordt turbulent, blijft langer aan het oppervlak kleven en het zog krimpt — de putjes van een golfbal lokken dat vroeger uit). Gestroomlijnde lichamen hebben $C_x \approx 0.05$ ; een auto $0.3$ ; een fietser $0.9$ ; een vlakke plaat dwars op de stroming $1.2$ . Het vermogen om met $v$ te bewegen is $Fv \propto v^3$ .

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Links: de weerstandscoëfficiënt van een bol tegen het reynoldsgetal (logaritmische schalen): de wet van Stokes bij lage Re, een plateau bij 0.45, en de weerstandscrisis nabij Re = 2 × 105. Rechts: de grenslaag die langs een vlakke plaat dikker wordt; daarbuiten is de stroming die van een volmaakt fluïdum. — Links: de weerstandscoëfficiënt van een bol tegen het reynoldsgetal (logaritmische schalen): de wet van Stokes bij lage $\mathrm{Re}$ , een plateau bij $0.45$ , en de weerstandscrisis nabij $\mathrm{Re} = 2 \times 10^5$ . Rechts: de grenslaag die langs een vlakke plaat dikker wordt; daarbuiten is de stroming die van een volmaakt fluïdum.

Voorbeeld 4.13 (Een fietser, een auto)

Een fietser ( $SC_x = 0.35\,\mathrm{m}^{2}$ ) op $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $F = 0.5 \times 1.2 \times 100 \times 0.35 = 21\,\mathrm{N}$ , $P = 210\,\mathrm{W}$ — een inspanning die vol te houden is; op $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $54\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ) zou zij $710\,\mathrm{W}$ vergen, en daarom rijden sprinters in het wiel. Een auto ( $SC_x = 0.7\,\mathrm{m}^{2}$ ) op $130\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ : $550\,\mathrm{N}$ , $20\,\mathrm{kW}$ tegen de lucht alleen — het brandstofverbruik op de snelweg is grotendeels luchtweerstand.

Opmerking 4.14 (Oppervlaktespanning)

Aan de grenzen van een vloeistof leeft een tweede kracht: haar vrije oppervlak gedraagt zich als een gespannen vlies met spanning $\gamma$ ( $\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ; water $0.072\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ), omdat de moleculen aan het oppervlak de helft van hun buren missen. De druk binnen een druppel met straal $R$ overtreft de druk erbuiten met de laplacedruk $2\gamma/R$ ( $1.4\,\mathrm{kPa}$ in een druppel van $0.1\,\mathrm{mm}$ , $14\,\mathrm{bar}$ in een van $10\,\mathrm{nm}$ ); de oppervlaktespanning wint het van de zwaartekracht beneden de capillaire lengte $\sqrt{\gamma/\rho g} = 2.7\,\mathrm{mm}$ voor water — de maat van dauwdruppels, van de meniscus in een glas, van de stijging in een capillair buisje ( $h = 2\gamma/\rho gr$ , Jurin). Daarom lopen kleine insecten over water, daarom kleven de haren van een penseel samen als hij nat is, en daarom breekt een vloeistofstraal in druppels uiteen.

Methode 4.15 (Welk regime?)

Bereken vóór elke berekening aan een viskeuze stroming eerst $\mathrm{Re}$ . $\mathrm{Re} \ll 1$ : Stokes en kruipstroming, weerstand $\propto v$ , drukvallen $\propto$ debiet. $\mathrm{Re}$ tot $\sim\!2000$ in een buis: laminair, Poiseuille. Daarboven: turbulent — Poiseuille onderschat het verlies dan sterk; gebruik de empirische wet $\Delta P = \lambda(L/D)\,\tfrac12\rho\langle v\rangle^2$ met $\lambda \approx 0.3/\mathrm{Re}^{1/4}$ voor gladde buizen, en $F = \tfrac12\rho v^2SC_x$ voor lichamen. Ga in elk geval achteraf na dat de $\mathrm{Re}$ die uit het antwoord volgt, overeenstemt met het veronderstelde regime.

4.5 Oefeningen

Oefening 4.1 ★

Een plaat van $0.50\,\mathrm{m}^{2}$ glijdt met $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ over een oliefilm van $0.20\,\mathrm{mm}$ ( $\eta = 0.25\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ). Schuifspanning, kracht op de plaat, gedissipeerd vermogen; vergelijk met droge wrijving ( $f = 0.3$ ) als de plaat $10\,\mathrm{kg}$ weegt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.1.

$\tau = \eta U/h = 0.25 \times 2/2 \times 10^{-4} = 2.5\,\mathrm{kPa}$ ; $F = 1.25\,\mathrm{kN}$ ; $P = Fv = 2.5\,\mathrm{kW}$ . Droge wrijving: $0.3 \times 98 = 29\,\mathrm{N}$ — hier verzet de dunne, sterk afgeschoven film zich veel meer; de viskeuze weerstand groeit als $U/h$ , zodat smering loont bij lagere snelheden en dikkere films (en zij loopt nooit vast).

Oefening 4.2 ★

Reynoldsgetallen van: (a) een bacterie van $2\,\text{µ}\mathrm{m}$ bij $30\,\text{µ}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ in water; (b) een zwemmer ( $1.8\,\mathrm{m}$ , $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ); (c) een auto ( $4\,\mathrm{m}$ , $30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) in lucht; (d) bloed in de aorta ( $2.5\,\mathrm{cm}$ , $0.33\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\nu = 3.3 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ); (e) olie ( $\eta = 0.1\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ , $\rho = 900\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) bij $0.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ in een buis van $1\,\mathrm{cm}$ . Geef het regime van elk.

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.2.

(a) $2 \times 10^{-6} \times 3 \times 10^{-5}/10^{-6} = 6 \times 10^{-5}$ , kruipend. (b) $1.8 \times 1.5/10^{-6} = 2.7 \times 10^6$ , turbulent. (c) $4 \times 30/1.5 \times 10^{-5} = 8 \times 10^6$ , turbulent. (d) $0.025 \times 0.33/3.3 \times 10^{-6} = 2500$ , net laminair. (e) $900 \times 0.5 \times 0.01/0.1 = 45$ , laminair.

Oefening 4.3 ★

Water wordt met $20\,\mathrm{kPa}$ door een naald van $0.40\,\mathrm{mm}$ (inwendige diameter) en $3.0\,\mathrm{cm}$ geperst. Debiet; tijd om $5\,\mathrm{mL}$ in te spuiten; maximale snelheid en reynoldsgetal; schuifspanning aan de wand. En met een naald van $0.80\,\mathrm{mm}$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.3.

$D_V = \pi R^4\Delta P/8\eta L = \pi(2 \times 10^{-4})^4 \times 2 \times 10^4/(8 \times 10^{-3} \times 0.03) = 0.42\,\mathrm{mL}/\mathrm{s}$ ; $12\,\mathrm{s}$ voor $5\,\mathrm{mL}$ . $v_{\max} = \Delta PR^2/ 4\eta L = 6.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\langle v\rangle = 3.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\mathrm{Re} = 2R\langle v \rangle/\nu = 1300$ : laminair. $\tau_w = \Delta PR/2L = 67\,\mathrm{Pa}$ . Bij $0.8\,\mathrm{mm}$ : zestien keer het debiet, $6.7\,\mathrm{mL}/\mathrm{s}$ — maar $\mathrm{Re} \approx 10^4$ : de stroming wordt turbulent en de winst is kleiner.

Oefening 4.4 ★

Eindsnelheden in lucht ( $\eta = 1.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ) van (a) een stuifmeelkorrel van $20\,\text{µ}\mathrm{m}$ ( $\rho_s = 1100\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ), (b) een rookdeeltje van $2\,\text{µ}\mathrm{m}$ ( $\rho_s = 2000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ), (c) een motregendruppel van $0.2\,\mathrm{mm}$ . Controleer telkens $\mathrm{Re}$ ; tijd om $1\,\mathrm{m}$ te vallen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.4.

$v_\infty = 2R^2\Delta\rho\,g/9\eta$ . (a) $1.3\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ , $\mathrm{Re} = 0.02$ , $75\,\mathrm{s}$ per meter. (b) $0.24\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ , $\mathrm{Re} = 3 \times 10^{-5}$ , $70\,\mathrm{min}$ per meter. (c) $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ maar $\mathrm{Re} = 16$ : Stokes overschat (de werkelijke snelheid is ongeveer $0.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ), ongeveer een seconde per meter.

Oefening 4.5 ★★

Een waterleiding met diameter $30\,\mathrm{cm}$ voert $0.10\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ over $1.0\,\mathrm{km}$ . (a) Gemiddelde snelheid en reynoldsgetal. (b) Drukval als de wet van Poiseuille zou gelden. (c) Werkelijke val met $\lambda = 0.3/\mathrm{Re}^{1/4}$ ; verhouding tot (b); pompvermogen. (d) Hetzelfde debiet in twee evenwijdige leidingen van $21\,\mathrm{cm}$ (dezelfde totale doorsnede): val en vermogen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.5.

(a) $\langle v\rangle = 0.1/0.0707 = 1.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\mathrm{Re} = 4.2 \times 10^5$ . (b) $8\eta LD_V/\pi R^4 = 500\,\mathrm{Pa}$ . (c) $\lambda = 0.3/25.5 = 0.0118$ , $\Delta P = 0.0118 \times 3333 \times 1000 = 39\,\mathrm{kPa}$ : $80$ keer meer; $P = \Delta PD_V = 3.9\,\mathrm{kW}$ . (d) Dezelfde snelheid, $\mathrm{Re} = 3 \times 10^5$ , $\lambda = 0.0128$ , $\Delta P = 0.0128 \times 4717 \times 1000 = 60\,\mathrm{kPa}$ , $6\,\mathrm{kW}$ : meer wand per eenheid debiet, meer verlies.

Oefening 4.6 ★★

Cellen met diameter $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ en dichtheid $1050\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ in water. (a) Bezinksnelheid onder de zwaartekracht; tijd om $5\,\mathrm{cm}$ te zakken. (b) In een centrifuge bij $1000\,g$ . (c) Minimaal toerental voor $1000\,g$ op $10\,\mathrm{cm}$ straal. (d) Waarom kunnen de grootste deeltjes het eerst worden afgescheiden?

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.6.

(a) $v = 2 \times 25 \times 10^{-12} \times 50 \times 9.81/(9 \times 10^{-3}) = 2.7\,\text{µ}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $5\,\mathrm{cm}$ in $1.8 \times 10^4$ s, vijf uur. (b) $2.7\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ , $18\,\mathrm{s}$ . (c) $\Omega = \sqrt{1000g/r} = 313\,\mathrm{rad}/\mathrm{s} = 3000\,\mathrm{rpm}$ . (d) $v \propto R^2$ : grote deeltjes slaan het eerst neer; opeenvolgende centrifugegangen met stijgend toerental scheiden de maten.

Oefening 4.7 ★★

Een fietser ( $SC_x = 0.35\,\mathrm{m}^{2}$ , rolweerstand $4\,\mathrm{N}$ ) rijdt $12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (a) Luchtweerstand en totaal vermogen. (b) Bij $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (c) Tegen $5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ tegenwind bij $12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ grondsnelheid. (d) In het wiel rijden verlaagt $C_x$ met $30\%$ : bespaard vermogen. (e) Een helling van $5\%$ af zonder trappen (massa $80\,\mathrm{kg}$ ): eindsnelheid.

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.7.

(a) $F = 0.6 \times 144 \times 0.35 = 30\,\mathrm{N}$ , $+4\,\mathrm{N}$ : $P = 34 \times 12 = 410\,\mathrm{W}$ . (b) $47 + 4 = 51\,\mathrm{N}$ , $770\,\mathrm{W}$ . (c) Relatieve snelheid $17\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $61 + 4 = 65\,\mathrm{N}$ , maal de grondsnelheid: $780\,\mathrm{W}$ . (d) Luchtweerstand $21\,\mathrm{N}$ : $300\,\mathrm{W}$ , een besparing van $110\,\mathrm{W}$ . (e) $mg\sin\alpha = 39\,\mathrm{N} = 4 + 0.21v^2$ : $v = 13\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $47\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

Oefening 4.8 ★★

Kwadratische weerstand. (a) Eindsnelheid van een golfbal ( $46\,\mathrm{g}$ , $43\,\mathrm{mm}$ , $C_x = 0.25$ ) en van een parachutist ( $80\,\mathrm{kg}$ , $SC_x = 0.7\,\mathrm{m}^{2}$ , en daarna $25\,\mathrm{m}^{2}$ met open parachute). (b) Bewegingsvergelijking voor een val uit rust met kwadratische weerstand; toon aan dat $v = v_\infty\tanh(gt/v_\infty)$ . (c) Tijd en afstand waarin de parachutist $90\%$ van $v_\infty$ bereikt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.8.

(a) Golfbal: $\tfrac12\rho C_xS = 2.2 \times 10^{-4}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}$ , $v_\infty = \sqrt{0.45/2.2 \times 10^{-4}} = 45\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; parachutist $\sqrt{785/0.42} = 43\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; met parachute $\sqrt{785/15} = 7.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (b) $m\dot v = mg - kv^2$ , d.w.z. $\dot v = g(1 - v^2/v_\infty^2)$ , met als oplossing vanuit rust $v_\infty\tanh(gt/v_\infty)$ . (c) $\tanh x = 0.9$ bij $x = 1.47$ : $t = 1.47 \times 43/9.81 = 6.5\,\mathrm{s}$ ; $z = (v_\infty^2/g)\ln\cosh x = 190 \times 0.83 = 160\,\mathrm{m}$ .

Oefening 4.9 ★★

Viscosimeter van Couette. Een cilinder met straal $5.0\,\mathrm{cm}$ en hoogte $10\,\mathrm{cm}$ draait met $10\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ binnen een vaste cilinder; de spleet van $1.0\,\mathrm{mm}$ is gevuld met de te onderzoeken vloeistof; het benodigde koppel is $2.0 \times 10^{-2}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ . (a) Behandel de spleet als vlakke stroming van Couette: afschuifsnelheid en schuifspanning. (b) Viscositeit. (c) Reynoldsgetal van de stroming in de spleet; is zij laminair? (d) Waarom wordt de spleet dun gemaakt?

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.9.

(a) Afschuifsnelheid $\Omega R/e = 0.5/10^{-3} = 500\,\mathrm{s}^{-1}$ ; $\Gamma = \tau\cdot2\pi Rh \cdot R$ : $\tau = 0.02/(2\pi \times 2.5 \times 10^{-3} \times 0.1) = 12.7\,\mathrm{Pa}$ . (b) $\eta = 12.7/500 = 2.5 \times 10^{-2}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ . (c) $\mathrm{Re} = \rho Ue/\eta \approx 1000 \times 0.5 \times 10^{-3}/0.025 = 20$ : laminair. (d) Een dunne spleet maakt de afschuifsnelheid uniform (de vlakke benadering) en houdt de stroming laminair.

Oefening 4.10 ★★★

Een vaatnetwerk. Bloed ( $\eta = 3.5\,\mathrm{mPa}\,\mathrm{s}$ ) stroomt met $5.0\,\mathrm{L}/\mathrm{min}$ . (a) Hydraulische weerstand van de aorta (straal $1.25\,\mathrm{cm}$ , lengte $40\,\mathrm{cm}$ ) en drukval erlangs. (b) De $10^{10}$ haarvaten (straal $4\,\text{µ}\mathrm{m}$ , lengte $1\,\mathrm{mm}$ ) staan parallel: weerstand van één, van alle samen, en de drukval over het haarvatbed. (c) De arteriolen ( $10^8$ , straal $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ , lengte $2\,\mathrm{mm}$ ): dezelfde vragen; waar zit de weerstand van de bloedsomloop? (d) De totale val is $13\,\mathrm{kPa}$ : vermogen van de linkerkamer van het hart, en welke fractie van de $100\,\mathrm{W}$ van het lichaam. (e) Een geneesmiddel verwijdt de arteriolen met $10\%$ : gevolg voor de totale weerstand.

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.10.

$D_V = 8.3 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ . (a) $R_h = 8\eta L/\pi R^4 = 8 \times 3.5 \times 10^{-3} \times 0.4/(\pi \times 2.4 \times 10^{-8}) = 1.5 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}$ , $\Delta P = 12\,\mathrm{Pa}$ . (b) Eén haarvat $3.5 \times 10^{16}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}$ ; $10^{10}$ parallel: $3.5 \times 10^{6}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}$ ; $\Delta P = 290\,\mathrm{Pa}$ ( $2\,\mathrm{mmHg}$ ). (c) Eén arteriole $8 \times 3.5 \times 10^{-3} \times 2 \times 10^{-3}/(\pi \times 10^{-20}) = 1.8 \times 10^{15}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}$ ; het geheel: $1.8 \times 10^{7}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}$ ; $\Delta P = 1.5\,\mathrm{kPa}$ : de arteriolen overheersen de twee andere (de drukval zit in de kleine vaten, niet in de grote). (d) $P = 13000 \times 8.3 \times 10^{-5} = 1.1\,\mathrm{W}$ , ongeveer $1\%$ . (e) $(1/1.1)^4 = 0.68$ : een derde van de arteriolaire weerstand weg — zo verlagen vaatverwijders de bloeddruk.

Oefening 4.11 ★★★

Grenslaag en wrijvingsweerstand. Een vlakke plaat met lengte $L$ en breedte $b$ beweegt met de rand vooruit met $U$ . In het laminaire regime is de schuifspanning aan de wand $\tau_w = 0.332\,\rho U^2/\sqrt{\mathrm{Re}_x}$ (Blasius). (a) Toon aan dat de wrijvingskracht op één vlak $F = 0.664\,\rho U^2bL/\sqrt{\mathrm{Re}_L}$ is. (b) Dikte van de grenslaag aan de achterrand van een plaat van $1\,\mathrm{m}$ in water bij $0.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , en de kracht op een plaat van $1\,\mathrm{m}^{2}$ (beide vlakken). (c) Bij $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $\mathrm{Re}_L$ , en waarom de formule dan niet meer geldt. (d) De romp van een schip ( $100\,\mathrm{m}$ , $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ): schat de dikte van de grenslaag aan de achtersteven met de turbulente wet $\delta \approx 0.37x/\mathrm{Re}_x^{1/5}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.11.

(a) $F = b\int_0^L\tau_w\,\dd x = 0.332\rho U^2b\sqrt{\nu/U}\int_0^L\dd x/\sqrt x = 0.664\rho U^2b\sqrt{\nu L/U} = 0.664\rho U^2bL/\sqrt{\mathrm{Re}_L}$ . (b) $\mathrm{Re}_L = 3 \times 10^5$ (laminair); $\delta \approx 5\sqrt{\nu L/U} = 9\,\mathrm{mm}$ ; $F = 0.664 \times 1000 \times 0.09 \times 1/548 = 0.11\,\mathrm{N}$ per vlak, $0.22\,\mathrm{N}$ . (c) $\mathrm{Re}_L = 10^7$ : de laag is voorbij de eerste centimeters turbulent en de laminaire formule faalt (de werkelijke weerstand is enkele malen groter). (d) $\mathrm{Re}_x = 10^9$ : $\delta \approx 0.37 \times 100/63 = 0.6\,\mathrm{m}$ .

Oefening 4.12 ★★★

Een afstromende film. Een vloeistoffilm met dikte $h$ stroomt stationair langs een verticale wand omlaag onder de zwaartekracht; de lucht oefent geen spanning uit op haar vrije oppervlak. (a) Schrijf Navier–Stokes op voor $\vect v = v(y)\vect e_z$ ( $y$ de afstand tot de wand, $z$ omlaag) en de randvoorwaarden. (b) Toon aan dat $v(y) = \dfrac{\rho g}{2\eta}(2hy - y^2)$ en bereken het debiet per eenheid breedte $q = \rho gh^3/3\eta$ . (c) Een verse laag verf ( $\eta = 0.5\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ , $\rho = 1200\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) van $0.2\,\mathrm{mm}$ dik: snelheid aan het oppervlak en debiet; hoe ver beweegt het oppervlak in $10\,\mathrm{min}$ ? Waarom zakt verf uit als zij te dik wordt aangebracht? (d) Honing ( $\eta = 10\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ) van $2\,\mathrm{mm}$ dik op een verticale lepel: snelheid aan het oppervlak.

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.12.

(a) $0 = \rho g + \eta v''(y)$ , $v(0) = 0$ (hechting), $v'(h) = 0$ (geen spanning aan het vrije oppervlak). (b) Twee keer integreren: $v = (\rho g/2\eta)(2hy - y^2)$ ; $q = \int_0^hv\,\dd y = \rho gh^3/3\eta$ . (c) $v_s = \rho gh^2/2\eta = 1200 \times 9.81 \times 4 \times 10^{-8}/1 = 0.47\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ ; $q = 6.3 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ; $28\,\mathrm{cm}$ in tien minuten — een newtoniaanse verf van die dikte zou eraf lopen; echte verven worden dunner bij afschuiving en zijn thixotroop, en zakken toch uit als zij te dik zijn, omdat $v_s \propto h^2$ . (d) $1400 \times 9.81 \times 4 \times 10^{-6}/20 = 2.7\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ .

Een wervelstraat van von Kármán in de wolken stroomafwaarts van een eiland, gezien vanuit de ruimte: het zog van een cilinder bij een reynoldsgetal van enkele honderden, getekend op een schaal van honderd kilometer (NASA).

4.6 Vraagstuk: Bloed, ruwe olie en regen

Probleem 4.1

Weekendvraagstuk — dezelfde viskeuze wetten in een slagader, in een pijpleiding van duizend kilometer, en in een vallende druppel

Deel I — Bloed. Bloed: $\rho = 1060\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , $\eta = 3.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ (als newtoniaans behandeld); hartminuutvolume $D_V = 5.0\,\mathrm{L}/\mathrm{min}$ .

Aorta, straal $1.25\,\mathrm{cm}$ : gemiddelde snelheid, reynoldsgetal, regime.
Als de stroming in de aorta die van Poiseuille was, wat zouden dan de maximale snelheid en de schuifspanning aan de wand zijn? (Het endotheel voelt spanningen van orde $1\,\mathrm{Pa}$ .)
Een haarvat met straal $4.0\,\text{µ}\mathrm{m}$ voert bloed met $0.30\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ : reynoldsgetal; drukval over zijn lengte van $1.0\,\mathrm{mm}$ , in pascal en in millimeters kwik ( $1\,\mathrm{mmHg}$ = $133\,\mathrm{Pa}$ ).
Tijd waarin een rode bloedcel het haarvat doorloopt; waarom is dat de juiste orde voor gasuitwisseling?
Arteriolen (straal $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ , lengte $2.0\,\mathrm{mm}$ , $10^8$ parallel): weerstand van het geheel en de drukval erover bij het volle hartminuutvolume.
De totale val van slagader naar ader is $13\,\mathrm{kPa}$ : mechanisch vermogen dat de linkerkamer levert. Vergelijk met een lichaam van $100\,\mathrm{W}$ .
Een stenose verkleint de straal van een kransslagader over een korte lengte met $40\%$ : factor waarmee haar weerstand stijgt; waarom de hartspier stroomafwaarts in rust nog wel, maar bij inspanning niet meer voldoende doorbloed kan zijn.
Bij zware inspanning bereikt het hartminuutvolume $25\,\mathrm{L}/\mathrm{min}$ : reynoldsgetal in de aorta, en regime.
Bloed is niet newtoniaans: zijn schijnbare viscositeit daalt bij een hoge afschuifsnelheid en stijgt bij een lage. Welk van de bovenstaande vaten wordt daardoor het sterkst beïnvloed, en in welke richting?

Deel II — De pijpleiding. Een pijpleiding voor ruwe olie: diameter $D = 1.2\,\mathrm{m}$ , lengte $L = 1300\,\mathrm{km}$ , debiet $D_V = 3.0\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ ; olie $\rho = 850\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , $\eta = 2.0 \times 10^{-2}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ als zij warm wordt gehouden. Turbulente wrijving: $\Delta P = \lambda (L/D)\tfrac12\rho\langle v\rangle^2$ , $\lambda = 0.316/\mathrm{Re}^{1/4}$ .

Gemiddelde snelheid en reynoldsgetal; regime.
Drukval per kilometer en over de hele leiding.
De buis verdraagt $80\,\mathrm{bar}$ : minimaal aantal pompstations langs de leiding.
Totaal pompvermogen; energie per kubieke meter geleverde olie, vergeleken met de energie-inhoud van de olie ( $36\,\mathrm{GJ}/\mathrm{m}^{3}$ ).
Welke val zou de wet van Poiseuille voorspellen? Geef commentaar op de kosten van turbulentie (en op waarom in sommige pijpleidingen polymeren worden ingespoten die de turbulentie uitstellen).
In de winter zou de onverwarmde olie $\eta = 2.0\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ bereiken: nieuw reynoldsgetal en regime; drukval over de leiding met de passende wet. Conclusie voor het ontwerp (de echte leiding is geïsoleerd en de olie wordt warm gehouden).
Doorlooptijd van de olie van het ene uiteinde naar het andere.
Schuifspanning aan de wand in het warme, turbulente geval, uit de drukval; totale wrijvingskracht op de buiswand.
Hetzelfde debiet in een buis van $1.0\,\mathrm{m}$ : met welke factor verandert de turbulente drukval?
Een zandkorrel van $0.10\,\mathrm{mm}$ ( $\rho_s = 2650\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) wordt in de warme olie meegevoerd: bezinksnelheid volgens Stokes, reynoldsgetal van de korrel, tijd om door de buis te bezinken. Vergelijk met de turbulente snelheidsschommelingen, enkele procenten van $\langle v \rangle$ : bezinkt het zand in de draaiende pijpleiding? En in een stilgelegde?

Deel III — Druppels. Lucht: $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , $\eta = 1.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ; water $\rho_w = 1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , $\gamma = 0.072\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ .

Wolkendruppel, diameter $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ : eindsnelheid volgens Stokes, reynoldsgetal, tijd om $1\,\mathrm{km}$ te vallen; waarom de wolk blijft hangen.
Motregen, $0.20\,\mathrm{mm}$ : snelheid volgens Stokes en reynoldsgetal; is Stokes nog betrouwbaar?
Regendruppel, $2.0\,\mathrm{mm}$ : toon aan dat Stokes faalt, en bepaal de eindsnelheid met $C_x = 0.5$ . Tijd om van $1\,\mathrm{km}$ te vallen.
Stijgt of daalt de wolkendruppel in een opwaartse stroom van $1\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ ? Welke opwaartse stroom zou de motregendruppel dragen?
Laplacedruk binnen de drie druppels; vergelijk telkens met de dynamische druk $\tfrac12\rho v_\infty^2$ , en verklaar waarom grote regendruppels afplatten en boven ongeveer $5\,\mathrm{mm}$ uiteenvallen.
Geef in één tabel voor de acht stromingen van dit vraagstuk het reynoldsgetal en de wet die het beheerst.

Oplossing

Oplossing van Probleem 4.1.

1. $S = 4.9\,\mathrm{cm}^{2}$ , $\langle v\rangle = 83/4.9 = 0.17\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\mathrm{Re} = 1060 \times 0.17 \times 0.025/3.5 \times 10^{-3} = 1300$ : laminair (de pulserende pieken halen $\sim 5000$ ).

2. $v_{\max} = 0.34\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\tau_w = 4\eta\langle v\rangle/R = 0.19\,\mathrm{Pa}$ .

3. $\mathrm{Re} = 1060 \times 3 \times 10^{-4} \times 8 \times 10^{-6}/3.5 \times 10^{-3} = 7 \times 10^{-4}$ ; $\Delta P = 8\eta L\langle v\rangle/R^2 = 8 \times 3.5 \times 10^{-3} \times 10^{-3} \times 3 \times 10^{-4}/1.6 \times 10^{-11} = 525\,\mathrm{Pa} = 3.9\,\mathrm{mmHg}$ .

4. $1/0.3 = 3.3\,\mathrm{s}$ : lang genoeg opdat zuurstof de enkele micrometers naar het weefsel kan diffunderen (Hoofdstuk 24).

5. Eén arteriole $8\eta L/\pi R^4 = 1.8 \times 10^{15}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}$ ; $10^8$ parallel: $1.8 \times 10^{7}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}$ ; $\Delta P = 1.8 \times 10^7 \times 8.3 \times 10^{-5} = 1.5\,\mathrm{kPa} = 11\,\mathrm{mmHg}$ .

6. $P = \Delta P\,D_V = 13000 \times 8.3 \times 10^{-5} = 1.1\,\mathrm{W}$ , ongeveer $1\%$ van het vermogen van het lichaam.

7. $(1/0.6)^4 = 7.7$ . In rust verwijden de vaten stroomafwaarts zich en compenseren dat; bij inspanning stijgt de vraag vier- tot vijfvoudig en kan de vernauwde slagader die niet leveren: angina pectoris.

8. Vijf keer de snelheid: $\mathrm{Re} \approx 6500$ , turbulent — de geruisen die een stethoscoop tijdens inspanning hoort.

9. In de trage stroming met lage afschuiving in kleine aders en haarvaten klonteren de rode bloedcellen samen en stijgt de schijnbare viscositeit (in de snelle aorta juist andersom); alle schattingen van de drukval in kleine vaten zijn dus ondergrenzen.

10. $\langle v\rangle = 3/1.13 = 2.65\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\mathrm{Re} = 850 \times 2.65 \times 1.2/0.02 = 1.35 \times 10^5$ : turbulent.

11. $\lambda = 0.316/19.2 = 0.0165$ ; $\Delta P/L = (0.0165/1.2) \times \tfrac12 \times 850 \times 7.0 = 41\,\mathrm{Pa}/\mathrm{m} = 41\,\mathrm{kPa}/\mathrm{km}$ ; $534\,\mathrm{bar}$ over de leiding.

12. $534/80 = 6.7$ : minstens zeven stations.

13. $P = \Delta P\,D_V = 5.34 \times 10^7 \times 3 = 160\,\mathrm{MW}$ ; $53\,\mathrm{MJ}/\mathrm{m}^{3}$ , $0.15\%$ van de energie van de olie.

14. $\Delta P = 32\eta L\langle v\rangle/D^2 = 32 \times 0.02 \times 1.3 \times 10^6 \times 2.65/1.44 = 15\,\mathrm{bar}$ : vijfendertig keer minder. Turbulentie is duur; enkele delen per miljoen aan lange polymeren stellen haar uit en verlagen de val met tientallen procenten.

15. $\mathrm{Re} = 1350$ : laminair; Poiseuille: $\Delta P = 32 \times 2 \times 1.3 \times 10^6 \times 2.65/1.44 = 1500\,\mathrm{bar}$ — onmogelijk; de olie moet warm worden gehouden, vandaar de isolatie en de verwarming.

16. $1.3 \times 10^6/2.65 = 4.9 \times 10^{5}\,\mathrm{s} = 5.7\,\mathrm{dagen}$ .

17. $\tau_w = (\Delta P/L)D/4 = 41 \times 0.3 = 12\,\mathrm{Pa}$ ; $F = \tau_w\pi DL = 6 \times 10^{7}\,\mathrm{N}$ .

18. $\Delta P \propto \lambda\langle v\rangle^2/D \propto D^{-4.75}$ : $1.2^{4.75} = 2.4$ .

19. $v = 2R^2\Delta\rho\,g/9\eta = 2 \times 2.5 \times 10^{-9} \times 1800 \times 9.81/ 0.18 = 0.49\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ ; $\mathrm{Re} = 2 \times 10^{-3}$ ; $41\,\mathrm{min}$ om $1.2\,\mathrm{m}$ over te steken. Turbulente schommelingen van enkele centimeters per seconde houden de korrel zwevend zolang de olie loopt; in een stilgelegde leiding bezinkt zij binnen het uur.

20. $v = 2 \times 2.5 \times 10^{-11} \times 1000 \times 9.81/1.62 \times 10^{-4} = 3.0\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ ; $\mathrm{Re} = 2 \times 10^{-3}$ ; $1\,\mathrm{km}$ in $3.3 \times 10^5$ s, vier dagen: elke opwaartse stroom boven enkele millimeters per seconde houdt de druppel vast.

21. $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\mathrm{Re} = 16$ : Stokes overschat met ongeveer een factor twee (in werkelijkheid $0.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ).

22. Stokes zou $120\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en $\mathrm{Re} \sim 10^4$ geven: absurd. Kwadratische weerstand, $\tfrac43\pi R^3\rho_wg = \tfrac12\rho v^2\pi R^2C_x$ : $v = \sqrt{8R \rho_wg/3\rho C_x} = 6.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $\mathrm{Re} = 900$ , consistent); $150\,\mathrm{s}$ vanaf $1\,\mathrm{km}$ .

23. $1\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ $>$ $3\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ : de druppel stijgt; de motregendruppel heeft ongeveer $1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ nodig, wat convectieve wolken leveren.

24. $2\gamma/R$ : $29\,\mathrm{kPa}$ , $1.4\,\mathrm{kPa}$ , $144\,\mathrm{Pa}$ ; dynamische drukken $\tfrac12\rho v^2$ : $5 \times 10^{-6}$ , $0.3$ en $26\,\mathrm{Pa}$ . De verhouding bereikt $0.2$ bij $2\,\mathrm{mm}$ ; bij $5\,\mathrm{mm}$ ( $v \approx 9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\tfrac12\rho v^2 = 49\,\mathrm{Pa}$ tegen $58\,\mathrm{Pa}$ ) plat de aerodynamische druk de druppel af en breekt hem: geen regendruppel wordt groter dan ongeveer $5\,\mathrm{mm}$ .

25. Aorta $10^3$ (laminair, dicht bij de overgang); haarvat $10^{-3}$ (Poiseuille); arteriole $10^{-2}$ (Poiseuille); warme pijpleiding $10^5$ (turbulent, $\lambda(\mathrm{Re})$ ); koude pijpleiding $10^3$ (Poiseuille); zand in olie $10^{-3}$ (Stokes); wolkendruppel $10^{-3}$ (Stokes); regendruppel $10^3$ (kwadratische weerstand, $C_x \approx 0.5$ ).

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 393 begrippen in de begrippenlijst