Universitaire natuurkunde — jaar 2 · Bachelor Year 2

27Thermodynamische balansen en open systemen

De thermodynamica van het volume van jaar 1 behandelde gesloten systemen — een vaste massa gas in een cilinder, samengedrukt, verwarmd, uitgezet. Maar de machines die onze huizen werkelijk verwarmen, ons voedsel koelen en onze elektriciteit maken, worden door een stroming doorkruist: stoom stroomt door de turbine van een centrale met honderden kilogram per seconde, een koudemiddel loopt door de compressor, de condensor, het ventiel en de verdamper van een warmtepomp, lucht stroomt door de compressor en de verbrandingskamer van een straalmotor. Elk onderdeel is een open systeem, een gebied in de ruimte waar materie in- en uitgaat, en de eerste en de tweede hoofdwet moeten ervoor worden herschreven. Het herschrijven is kort — de sleutel is dat het fluïdum dat het systeem in wordt geduwd, behalve zijn inwendige energie ook de arbeid meedraagt die is verricht om het te duwen, en daarom is enthalpie, niet inwendige energie, de natuurlijke energie van een stroming. Dit hoofdstuk stelt de balansen van massa, energie en entropie op voor open systemen in stationaire stroming, past ze toe op de elementaire werktuigen — straalpijp, smoorventiel, compressor, turbine, warmtewisselaar — en zet die werktuigen samen tot de twee kringlopen die het weekendvraagstuk dimensioneert: een warmtepomp en een stoomcentrale.

De buitenunit van een warmtepomp op een winterochtend: een ventilator trekt koude lucht over de verdamper, en binnen verplaatsen een compressor, een condensor en een ventiel die warmte, drie- of viervoudig vermenigvuldigd, het huis in.

27.1 Open systemen en de massabalans

Definitie 27.1 (Open systeem, controlevolume, stationaire stroming)

Een open systeem is een vast gebied in de ruimte, het controlevolume $\Sigma$ , begrensd door een oppervlak waardoor fluïdum binnenkomt en vertrekt (in- en uitlaatdoorsneden) en waardoor warmte en arbeid met de buitenwereld kunnen worden uitgewisseld; de arbeid die via bewegende delen (een as, een zuiger) anders dan de stroming zelf wordt ontvangen, is de nuttige arbeid $W_{\text{u}}$ (asarbeid). De stroming is stationair wanneer elk veld binnen $\Sigma$ tijdonafhankelijk is: de massa, de energie en de entropie in $\Sigma$ zijn dan constant.

Propositie 27.2 (Massabalans)

Door een doorsnede met oppervlak $S$ waar het fluïdum met dichtheid $\rho$ met de gemiddelde snelheid $c$ loodrecht erop beweegt, stroomt het massadebiet $\dot m = \rho c S$ (in $\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ ). In een stationaire stroming vertrekt wat binnenkomt: $\sum_{\text{in}}\dot m = \sum_{\text{uit}} \dot m$ ; voor één enkele stroom is $\dot m$ bij in- en uitlaat hetzelfde, $\rho_1c_1S_1 = \rho_2c_2S_2$ — de continuïteitsvergelijking van Hoofdstuk 2, over de doorsnede geïntegreerd.

Bewijs. De massa in $\Sigma$ is constant, zodat de fluxen in evenwicht zijn. ∎

27.2 De eerste hoofdwet voor een open systeem

Stelling 27.3 (Energiebalans van een stationaire enkelvoudige stroming)

Voor een stationaire stroming met massadebiet $\dot m$ die in toestand 1 binnenkomt en in toestand 2 vertrekt, en die het nuttige (as)vermogen $P_{\text{u}}$ en het warmtevermogen $P_{\text{th}}$ ontvangt, geldt

\dot m\,\Big[(h_2 - h_1) + \tfrac12(c_2^2 - c_1^2) + g(z_2 - z_1)\Big] = P_{\text{u}} + P_{\text{th}} ,

of, per massa-eenheid fluïdum die het systeem doorkruist,

\Delta h + \Delta\big(\tfrac12c^2\big) + g\,\Delta z = w_{\text{u}} + q .

De enthalpie $h = u + Pv$ vervangt de inwendige energie: $Pv$ is de stromingsarbeid, de arbeid die het stroomopwaartse fluïdum verricht om een massa-eenheid naar binnen te duwen, min die om haar naar buiten te duwen.

Bewijs. Volg het gesloten systeem dat bestaat uit het fluïdum binnen $\Sigma$ op $t$ plus het propje $\dd m = \dot m\,\dd t$ dat op het punt staat binnen te komen; op $t + \dd t$ bestaat het uit het fluïdum binnen $\Sigma$ (dezelfde toestand, stationair) plus het propje $\dd m$ dat is vertrokken. Zijn energie veranderde met $\dd m\,[(u_2 + \tfrac12c_2^2 + gz_2) - (u_1 + \tfrac12c_1^2 + gz_1)]$ . Het ontving $P_{\text{u}}\dd t + P_{\text{th}}\dd t$ , plus de arbeid van de drukkrachten bij de inlaat, $P_1S_1 \times c_1\dd t = P_1v_1\,\dd m$ (die het propje naar binnen duwt), min die bij de uitlaat, $P_2v_2\,\dd m$ . De eerste hoofdwet voor dit gesloten systeem geeft, met $u + Pv = h$ , het resultaat. ∎

Het stationaire open systeem: het gesloten systeem dat gedurende t wordt gevolgd, is de inhoud van plus het binnenkomende propje, dan de inhoud plus het vertrekkende propje; de drukarbeid bij de twee doorsneden maakt van u h = u + Pv. — Het stationaire open systeem: het gesloten systeem dat gedurende $\dd t$ wordt gevolgd, is de inhoud van $\Sigma$ plus het binnenkomende propje, dan de inhoud plus het vertrekkende propje; de drukarbeid bij de twee doorsneden maakt van $u$ $h = u + Pv$ .

Opmerking 27.4 (De eerste hoofdwet gebruiken)

Voor een ideaal gas is $\Delta h = c_p\Delta T$ ; voor een vloeistof $\Delta h \approx c\,\Delta T + v\,\Delta P$ (de tweede term is de arbeid van de pomp); voor een damp leest men $h$ uit tabellen of diagrammen af. De kinetische term is doorgaans verwaarloosbaar: bij $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ is $c^2/2 = 50\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ , tegen $1\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ voor één kelvin lucht — hij telt alleen in straalpijpen en turbineschoepen, waar de snelheden honderden meters per seconde bereiken. De potentiële term, $g\Delta z \approx 10\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ per meter, telt voor water in een stuwdam, nooit in een gaskringloop. Met meerdere in- en uitlaten luidt de balans $\sum_{\text{uit}}\dot m\,h - \sum_{\text{in}}\dot m\,h = P_{\text{u}} + P_{\text{th}}$ (kinetische en potentiële termen verwaarloosd).

27.3 De tweede hoofdwet voor een open systeem

Stelling 27.5 (Entropiebalans van een stationaire stroming)

Voor een stationaire enkelvoudige stroming die de warmtevermogens $P_{\text{th},i}$ uitwisselt met bronnen op de temperaturen $T_i$ , geldt

\dot m\,(s_2 - s_1) = \sum_i\frac{P_{\text{th},i}}{T_i} + \dot S_{\text{c}}, \qquad \dot S_{\text{c}} \ge 0 ;

per massa-eenheid, $\Delta s = s_{\text{uitw}} + s_{\text{c}}$ . Een adiabatische omkeerbare stroming is isentroop; een adiabatische werkelijke stroming heeft $s_2 > s_1$ . Het isentrope rendement van een turbine is $\eta_{\text{T}} = w_{\text{werkelijk}}/w_{\text{s}} = (h_1 - h_2)/(h_1 - h_{2s})$ en dat van een compressor $\eta_{\text{C}} = (h_{2s} - h_1)/(h_2 - h_1)$ , waarin $2s$ de toestand is die isentroop bij dezelfde uitlaatdruk wordt bereikt; beide liggen doorgaans op $0.8$ – $0.9$ . De arbeid die door onomkeerbaarheid verloren gaat, betrokken op de omgevingstemperatuur $T_0$ , is $T_0\,s_{\text{c}}$ per massa-eenheid.

Bewijs. Hetzelfde gesloten systeem als daarnet: zijn entropie verandert met $\dd m\,(s_2 - s_1)$ , het ontvangt $\sum P_{\text{th},i}\dd t/T_i$ van de bronnen, en de rest wordt gemaakt. ∎

27.4 Elementaire werktuigen

Propositie 27.6 (Straalpijp, smoorventiel, compressor, turbine, wisselaar)

Alle adiabatisch tenzij anders vermeld, stationair, kinetische en potentiële termen verwaarloosd tenzij zij het punt zijn.

Straalpijp (geen as, geen warmte): $\tfrac12c_2^2 - \tfrac12c_1^2 = h_1 - h_2$ — enthalpie wordt snelheid; een diffusor doet het omgekeerde.
Smoorventiel (klep, poreuze prop; geen as, geen warmte, kleine snelheden): $h_2 = h_1$ , isenthalp. Voor een ideaal gas is $T_2 = T_1$ ; voor een werkelijk gas daalt de temperatuur in het algemeen (het effect van Joule–Thomson); voor een vloeistof nabij verzadiging verdampt een deel spontaan — het expansieventiel van elke koelkast.
Compressor, pomp, turbine (adiabatische machines): $w_{\text{u}} = h_2 - h_1$ — positief voor een compressor, negatief voor een turbine; voor een vloeistofpomp $w_{\text{u}} \approx v(P_2 - P_1)$ , minuscuul omdat $v$ klein is.
Warmtewisselaar (twee stromen, geen as, als geheel adiabatisch): $\dot m_{\text{a}}(h_{\text{a},2} - h_{\text{a},1}) = -\dot m_{\text{b}}(h_{\text{b},2} - h_{\text{b},1})$ — wat de ene verliest, wint de andere; de uitwisseling maakt entropie tenzij de stromen overal dezelfde temperatuur hebben (tegenstroom vermindert haar).
Mengkamer: $\sum\dot m_{\text{in}}h_{\text{in}} = \dot m_{\text{uit}}h_{\text{uit}}$ .

Bewijs. Elk is de eerste hoofdwet met de gepaste termen op nul gezet. ∎

De elementaire open systemen: elk is de energiebalans met de irrelevante termen geschrapt — geen as in een straalpijp of een smoorventiel, geen warmte in een adiabatische turbine, geen nettowarmte voor een wisselaar als geheel genomen.

Voorbeeld 27.7 (Getallen voor de werktuigen)

Stoom die een turbinestraalpijp binnenkomt bij $h = 3000\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ en vertrekt bij $2800\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ haalt $c = \sqrt{2 \times 200 \times 10^3} = 630\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Lucht adiabatisch samengedrukt van $1\,\mathrm{bar}$ , $293\,\mathrm{K}$ tot $8\,\mathrm{bar}$ : isentroop is $T_2 = 293 \times 8^{0.286} = 531\,\mathrm{K}$ en $w = c_p\Delta T = 239\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ; met $\eta_{\text{C}} = 0.8$ , $299\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ en $590\,\mathrm{K}$ — en daarom worden compressoren tussen de trappen gekoeld. Een autoradiateur die $42\,\mathrm{kW}$ onttrekt aan water dat $10\,\mathrm{K}$ wordt gekoeld ( $1\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ ), verwarmt $2.1\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ lucht met $20\,\mathrm{K}$ . Vloeibaar koudemiddel op $40\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ gesmoord tot $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ komt aan als een nevel met $28\%$ damp: dat spontane verdampen is wat de vloeistof tot de verdampertemperatuur afkoelt.

27.5 Kringlopen

Propositie 27.8 (Koeling en warmtepomp door dampcompressie)

Een koudemiddel loopt door: (1 $\to$ 2) een adiabatische compressor die de damp van de verdamperdruk naar de condensordruk brengt, $w = h_2 - h_1$ ; (2 $\to$ 3) een condensor waar het $q_{\text{cond}} = h_2 - h_3$ aan de warme kant afgeeft (de kamer voor een warmtepomp, de keuken voor een koelkast) en als vloeistof vertrekt; (3 $\to$ 4) een smoorventiel, $h_4 = h_3$ ; (4 $\to$ 1) een verdamper waar het $q_{\text{verd}} = h_1 - h_4$ van de koude kant opneemt. De prestatiecoëfficiënten zijn

\mathrm{COP}_{\text{koeling}} = \frac{h_1 - h_4}{h_2 - h_1}, \qquad \mathrm{COP}_{\text{verwarming}} = \frac{h_2 - h_3}{h_2 - h_1} = \mathrm{COP}_{\text{koeling}} + 1 ,

begrensd door die van Carnot, $T_{\text{c}}/(T_{\text{h}} - T_{\text{c}})$ en $T_{\text{h}}/(T_{\text{h}} - T_{\text{c}})$ ; de kringloop is het gemakkelijkst af te lezen op het $(\log P, h)$ -diagram, waar de twee uitwisselingen en de arbeid horizontale stukken zijn.

Bewijs. De vier balansen van de eerste hoofdwet; de energiebalans van de hele kringloop geeft $q_{\text{cond}} = q_{\text{verd}} + w$ , en daarmee de betrekking tussen de twee prestatiecoëfficiënten. ∎

De dampcompressiekringloop op het ( P, h)-diagram: de condensor en de verdamper zijn isobaren binnen de koepel, het smoorventiel een verticale isenthalp, de compressor een schuine lijn; de lengten van de horizontale stukken zijn de warmten en de arbeid per kilogram. — De dampcompressiekringloop op het $(\log P, h)$ -diagram: de condensor en de verdamper zijn isobaren binnen de koepel, het smoorventiel een verticale isenthalp, de compressor een schuine lijn; de lengten van de horizontale stukken zijn de warmten en de arbeid per kilogram.

Propositie 27.9 (De stoomkringloop (Rankine))

Water loopt door: (1 $\to$ 2) een pomp, $w_{\text{p}} \approx v(P_2 - P_1)$ , enkele $\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ; (2 $\to$ 3) een ketel op hoge druk waar het wordt verwarmd, verdampt en oververhit, $q_{\text{in}} = h_3 - h_2$ ; (3 $\to$ 4) een turbine die de stoom tot de condensordruk laat uitzetten, $w_{\text{t}} = h_3 - h_4$ (duizend $\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ); (4 $\to$ 1) een condensor op lage druk waar de natte stoom weer vloeistof wordt en $q_{\text{uit}} = h_4 - h_1$ aan het koelwater afstaat. Het rendement is

\eta = \frac{w_{\text{t}} - w_{\text{p}}}{q_{\text{in}}} = 1 - \frac{q_{\text{out}}}{q_{\text{in}}} ,

in de praktijk ongeveer $0.35$ – $0.45$ ; de warmte wordt toegevoerd bij een gemiddelde temperatuur $\bar T = q_{\text{in}}/(s_3 - s_2)$ die ver onder de piek van de ketel ligt, en daarom verhogen oververhitting, tussenoververhitting en hoge drukken $\eta$ , en daarom moet de uitlaat droog genoeg blijven ( $x_4 \gtrsim 0.88$ ) om de laatste schoepen druppelerosie te besparen.

Bewijs. Eerste hoofdwet op elk onderdeel, dan op de kringloop: $w_{\text{t}} - w_{\text{p}} = q_{\text{in}} - q_{\text{uit}}$ . ∎

De rankinekringloop op het (T,s)-diagram: pomp (onzichtbaar), verwarming langs de vloeistoflijn, verdamping bij de keteldruk, oververhitting, expansie (isentroop gestreept, werkelijk doorgetrokken, natter of droger eindigend), condensatie. De gemiddelde temperatuur van de warmtetoevoer, niet de piek, bepaalt het rendement. — De rankinekringloop op het $(T,s)$ -diagram: pomp (onzichtbaar), verwarming langs de vloeistoflijn, verdamping bij de keteldruk, oververhitting, expansie (isentroop gestreept, werkelijk doorgetrokken, natter of droger eindigend), condensatie. De gemiddelde temperatuur van de warmtetoevoer, niet de piek, bepaalt het rendement.

Opmerking 27.10 (Andere kringlopen, en een overgangsverschijnsel)

De gasturbine (compressor, verbrandingskamer, turbine: de braytonkringloop) heeft het ideale rendement $1 - r^{-(\gamma-1)/\gamma}$ voor de drukverhouding $r$ en stoot haar uitlaatgas bij enkele honderden graden uit; dat uitlaatgas aan een stoomkringloop voeden (gecombineerde kringloop) haalt $60\%$ . Open systemen hebben ook overgangsverschijnselen: het vullen van een leeggepompte starre tank uit een leiding op $T_0$ eindigt bij $T = \gamma T_0$ (de stromingsarbeid $Pv$ wordt inwendige energie), $120\,\mathrm{K}$ heter voor lucht — de reden waarom een duikfles warm wordt terwijl zij wordt gevuld.

Methode 27.11 (Balansen van open systemen)

(1) Teken het controlevolume; zet inlaten, uitlaten, as en warmte op een rij. (2) Massa: $\sum\dot m_{\text{in}} = \sum\dot m_{\text{uit}}$ . (3) Energie per massa-eenheid: $\Delta h + \Delta c^2/2 + g\Delta z = w_{\text{u}} + q$ , met $\Delta h = c_p\Delta T$ voor gassen, tabellen voor dampen, $v\Delta P$ voor pompen. (4) Entropie: $\Delta s = \sum q_i/T_i + s_{\text{c}}$ , isentrope referentietoestanden, rendementen, $T_0s_{\text{c}}$ verloren. (5) Kringlopen: lees het diagram, tel rond de lus op, vergelijk met Carnot.

27.6 Opgaven

Oefening 27.1 ★

(a) Een tuinslang levert $12\,\mathrm{L}/\mathrm{min}$ door een mondstuk van $1\,\mathrm{cm}$ : uitstroomsnelheid. (b) Warm water op $60\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , $0.1\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ , mengt met koud water op $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , $0.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ : uitlaattemperatuur. (c) Waarom is het mengen onomkeerbaar — bereken de entropie die per seconde wordt gemaakt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.1.

(a) $2 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}/7.85 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{2} = 2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (b) $(0.1 \times 60 + 0.2 \times 10)/0.3 = 26.7\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ . (c) $\dot S_{\text{c}} = 0.1c\ln(299.8/333) + 0.2c\ln(299.8/283) = 4.3\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ : warmte ging van warm naar koud water.

Oefening 27.2 ★

Stoom komt een straalpijp binnen bij $50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ met $h = 3000\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ en vertrekt met $2800\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ : uitstroomsnelheid. Lucht op $300\,\mathrm{K}$ vanuit rust tot $300\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ versneld in een straalpijp ( $c_p = 1005\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ ): temperatuurdaling. Een diffusor vertraagt lucht van $250\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ tot rust: stijging.

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.2.

$\sqrt{2 \times 200 \times 10^3 + 50^2} = 634\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $c^2/2c_p = 45\,\mathrm{K}$ ; $31\,\mathrm{K}$ .

Oefening 27.3 ★

Smoren. (a) Een ideaal gas: wat gebeurt er met $T$ , met $s$ ? (b) Natte stoom bij $10\,\mathrm{bar}$ ( $h_{\text{f}} = 763$ , $h_{\text{fg}} = 2015\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ), dampgehalte $0.9$ , gesmoord tot $1\,\mathrm{bar}$ ( $h_{\text{f}} = 417$ , $h_{\text{fg}} = 2258\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ): eindgehalte — de smoorcalorimeter. (c) Vloeibaar koudemiddel op $40\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ( $h = 256\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ) gesmoord tot $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ( $h_{\text{f}} = 200$ , $h_{\text{g}} = 399\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ): dampfractie.

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.3.

(a) $T$ onveranderd, $s$ stijgt met $r\ln(P_1/P_2)$ . (b) $h = 2576\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ : $x = (2576 - 417)/2258 = 0.956$ — het dampgehalte wordt afgelezen uit de temperatuur van de oververhitte (of net droge) uitlaat. (c) $(256 - 200)/199 = 0.28$ .

Oefening 27.4 ★

(a) Een radiateur koelt $1\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ water van $90\,$ tot $80\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; de lucht ( $c_p = 1005\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ ) warmt op van $20\,$ tot $40\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ : massadebiet en volumedebiet van de lucht. (b) Een stoomturbine, $10\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ , $h$ van $3400\,$ tot $2400\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ : vermogen. (c) Een pomp brengt water van $1\,$ tot $60\,\mathrm{bar}$ : arbeid per kilogram, en vermogen voor $500\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.4.

(a) $41.8\,\mathrm{kW}$ ; $41.8 \times 10^3/(1005 \times 20) = 2.1\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ , $1.7\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ . (b) $10\,\mathrm{MW}$ . (c) $v\Delta P = 5.9\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ; $3\,\mathrm{MW}$ .

Oefening 27.5 ★★

De stromingsarbeid. (a) Leid de eerste hoofdwet voor een open systeem opnieuw af en verklaar waar $Pv$ vandaan komt. (b) Waarom verschijnt de inwendige energie $u$ in een gesloten systeem en $h$ in een stroming? (c) Vergelijk $c^2/2$ bij $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en $300\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ met $c_p\Delta T$ voor $1\,\mathrm{K}$ lucht. (d) Water dat $100\,\mathrm{m}$ door een drukleiding valt: $g\Delta z$ tegen $c\,\Delta T$ voor $1\,\mathrm{K}$ ; besluit hoeveel het water opwarmt als de turbine wordt weggehaald.

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.5.

(a) Stelling 27.3. (b) Een stroming wordt door haar buren naar binnen en naar buiten geduwd: die drukarbeid, $Pv$ per massa-eenheid, wordt bij $u$ gebundeld. (c) $50\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ en $45\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ tegen $1\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ . (d) $981\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ tegen $4180\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ : $0.23\,\mathrm{K}$ .

Oefening 27.6 ★★

Compressoren. Lucht, $1\,\mathrm{bar}$ , $293\,\mathrm{K}$ , tot $8\,\mathrm{bar}$ ; $\gamma = 1.4$ , $c_p = 1005\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ , $r = 287\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ . (a) Isentrope uitlaattemperatuur en arbeid. (b) Met $\eta_{\text{C}} = 0.8$ : arbeid, uitlaattemperatuur, gemaakte entropie. (c) Twee trappen met verhouding $\sqrt8$ met koeling terug naar $293\,\mathrm{K}$ ertussen: uitgespaarde arbeid. (d) De isotherme grens $rT\ln 8$ ; waarom werkelijke compressoren die met vele trappen benaderen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.6.

(a) $531\,\mathrm{K}$ , $239\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ . (b) $299\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ , $590\,\mathrm{K}$ , $c_p\ln(590/531) = 106\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ . (c) Elke trap eindigt op $393\,\mathrm{K}$ : $2 \times 1005 \times 100 = 201\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ , $16\%$ uitgespaard. (d) $rT\ln 8 = 175\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ; met tussenkoeling tussen vele trappen volgt de weg de isotherm van dichtbij.

Oefening 27.7 ★★

Turbine. Stoom bij $60\,\mathrm{bar}$ , $500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ : $h_3 = 3422\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ , $s_3 = 6.88\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ ; condensor $0.05\,\mathrm{bar}$ ( $33\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ): $s_{\text{f}} = 0.476$ , $s_{\text{g}} = 8.394\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ , $h_{\text{f}} = 138$ , $h_{\text{fg}} = 2423\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ . (a) Isentroop dampgehalte en enthalpie bij de uitlaat, arbeid. (b) Met $\eta_{\text{T}} = 0.85$ : arbeid, enthalpie en dampgehalte bij de uitlaat. (c) Gemaakte entropie per kilogram en verloren arbeid bij $T_0 = 306\,\mathrm{K}$ . (d) Waarom een te natte uitlaat een probleem is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.7.

(a) $x = (6.88 - 0.476)/7.918 = 0.81$ , $h_{4s} = 2098\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ , $w_{\text{s}} = 1324\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ . (b) $1125\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ; $h_4 = 2297$ , $x_4 = 0.89$ . (c) $s_4 = 7.53\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ : $s_{\text{c}} = 0.65\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ ; verloren $T_0s_{\text{c}} = 200\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ . (d) Druppels met honderden meters per seconde eroderen de laatste schoepen.

Oefening 27.8 ★★

Warmtepomp. Verdamper $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , condensor $40\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; $h_1 = 399$ (verzadigde damp, $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ), $h_{2s} = 426$ , $h_3 = 256$ , $h_4 = h_3$ ( $\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ); $\eta_{\text{C}} = 0.8$ . (a) $h_2$ en de arbeid. (b) Uitgewisselde warmten, beide prestatiecoëfficiënten. (c) Die van Carnot; verhouding. (d) Massadebiet en elektrisch vermogen voor $8\,\mathrm{kW}$ verwarming; waarom de prestatiecoëfficiënt daalt wanneer de buitenlucht kouder wordt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.8.

(a) $h_2 = 399 + 27/0.8 = 433\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ; $w = 34\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ . (b) $q_{\text{verd}} = 143$ , $q_{\text{cond}} = 177\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ; $\mathrm{COP}_{\text{c}} = 4.2$ , $\mathrm{COP}_{\text{h}} = 5.2$ . (c) $6.8$ en $7.8$ ; twee derde. (d) $0.045\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ , $1.5\,\mathrm{kW}$ ; een koudere verdamper betekent een lagere druk, een grotere drukverhouding (meer arbeid per kilogram) en een lichtere damp (minder massa per slag).

Oefening 27.9 ★★

Entropie in een wisselaar. Warm water $1\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ van $90\,$ tot $50\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ verwarmt koud water $2\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ vanaf $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ . (a) Uitlaattemperatuur van de koude stroom. (b) Entropie die per seconde wordt gemaakt ( $c = 4180\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ ). (c) Verloren vermogen bij $T_0 = 293\,\mathrm{K}$ , vergeleken met de uitgewisselde $167\,\mathrm{kW}$ . (d) Waarom zou een meestroomopstelling meer entropie maken dan tegenstroom voor dezelfde taak?

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.9.

(a) $30\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ . (b) $4180[\ln(323/363) + 2\ln(303/283)] = 83\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ . (c) $24\,\mathrm{kW}$ van $167\,\mathrm{kW}$ . (d) Bij meestroom zijn de temperatuurverschillen groter en kan de warme uitlaat niet onder de koude uitlaat zakken: meer entropie voor dezelfde taak.

Oefening 27.10 ★★★

Een tank vullen. Een starre, leeggepompte, geïsoleerde tank wordt verbonden met een leiding die een ideaal gas op $T_0$ , $P_0$ voert. (a) Schrijf de energiebalans van de tank tijdens het vullen (niet-stationair: zijn energie groeit) en toon aan dat het gas binnenin eindigt op $T = \gamma T_0$ . (b) Lucht op $293\,\mathrm{K}$ : eindtemperatuur. (c) Als de tank aanvankelijk gas op $T_0$ en $P_1 < P_0$ bevatte, beredeneer dan dat de eindtemperatuur tussen $T_0$ en $\gamma T_0$ ligt. (d) Waarom wordt een duikfles warm bij het vullen, en waarom wordt zij traag en in water gevuld?

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.10.

(a) $\dd(mu)/\dd t = \dot m h_0$ integreert tot $mu = mh_0$ : $c_vT = c_pT_0$ , $T = \gamma T_0$ . (b) $410\,\mathrm{K}$ . (c) Het eindgas is een mengsel van het oorspronkelijke gas op $T_0$ en van binnenkomend gas verhit tot $\gamma T_0$ , dus ertussenin. (d) De stromingsarbeid verwarmt het gas; traag vullen in een waterbad laat de warmte eruit zodat de druk bij $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ de gewenste is.

Oefening 27.11 ★★★

Tussenoververhitting. De turbine van Oefening 27.7 wordt gesplitst: expansie tot $10\,\mathrm{bar}$ (isentroop eindpunt: $h = 2850\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ), tussenoververhitting tot $500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ( $h = 3478$ , $s = 7.76\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ ), expansie tot $0.05\,\mathrm{bar}$ , beide trappen isentroop. Pomparbeid $6\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ , $h_2 = 144\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ . (a) Dampgehalte en enthalpie bij de uitlaat van de tweede trap. (b) Totale arbeid en warmte; rendement; vergelijk met de enkele expansie ( $\eta = 0.40$ isentroop). (c) Waarom helpt tussenoververhitting, in termen van de gemiddelde temperatuur van de warmtetoevoer? (d) Wat verhelpt zij nog meer?

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.11.

(a) $x = (7.76 - 0.476)/7.918 = 0.92$ , $h = 2367\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ . (b) $w = 572 + 1111 - 6 = 1677\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ , $q = 3278 + 628 = 3906\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ , $\eta = 0.43$ tegen $0.40$ . (c) De tussenoververhitting voegt warmte toe bij een hoge temperatuur en verhoogt de gemiddelde temperatuur van de warmtetoevoer. (d) De uitlaat is droger ( $0.92$ in plaats van $0.81$ ).

Oefening 27.12 ★★★

Gasturbine en gecombineerde kringloop. Lucht isentroop samengedrukt van $1\,\mathrm{bar}$ , $293\,\mathrm{K}$ tot $12\,\mathrm{bar}$ , bij constante druk verwarmd tot $1500\,\mathrm{K}$ , isentroop uitgezet tot $1\,\mathrm{bar}$ ; $\gamma = 1.4$ , $c_p = 1005\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ . (a) De vier temperaturen. (b) Arbeiden, warmte, rendement; toon aan dat $\eta = 1 - r^{-(\gamma - 1)/\gamma}$ . (c) Het uitlaatgas op $T_4$ maakt stoom voor een rankinekringloop met rendement $0.35$ die $70\%$ terugwint van de warmte van het uitlaatgas boven $373\,\mathrm{K}$ : gecombineerd rendement. (d) Waarom is de gecombineerde kringloop de doeltreffendste warmtecentrale die er is?

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.12.

(a) $293\,\mathrm{K}$ , $596\,\mathrm{K}$ , $1500\,\mathrm{K}$ , $737\,\mathrm{K}$ . (b) $w_{\text{c}} = 305$ , $w_{\text{t}} = 767$ , $q = 909\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ , $\eta = 0.51 = 1 - 12^{-0.286}$ . (c) Warmte van het uitlaatgas boven $373\,\mathrm{K}$ : $366\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ; $0.7 \times 0.35 \times 366 = 90\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ : $\eta = (462 + 90)/909 = 0.61$ . (d) Zij neemt warmte op bij $1500\,\mathrm{K}$ en staat haar af bij $306\,\mathrm{K}$ : het wijdste bereik dat welk werkmedium ook toelaat.

27.7 Vraagstuk: een warmtepomp voor een huis en een stoomcentrale

Probleem 27.1

Weekendvraagstuk — twee machines gedimensioneerd met de balansen voor open systemen

Deel I — De warmtepomp. Gegevens van het koudemiddel ( $\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ , $\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ ): verzadigde damp op $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ( $P = 2.9\,\mathrm{bar}$ ): $h_1 = 399$ , $s_1 = 1.727$ ; verzadigde vloeistof op $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ : $h_{\text{f}} = 200$ , $s_{\text{f}} = 1.00$ ; bij de condensordruk $10.2\,\mathrm{bar}$ ( $T_{\text{verz}} = 40\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ): eindpunt van de isentrope compressie $h_{2s} = 426$ , verzadigde vloeistof $h_3 = 256$ , $s_3 = 1.19$ ; oververhitte damp heeft daar $c_p \approx 1.0\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ . Compressor $\eta_{\text{C}} = 0.8$ ; warmtevraag van het huis $8\,\mathrm{kW}$ .

Schets de kringloop op een $(\log P, h)$ -diagram en noem de vier onderdelen met het proces dat elk verricht.
Toestand 4 na het smoorventiel: enthalpie en dampfractie.
Warmte die per kilogram in de verdamper wordt opgenomen.
Compressorarbeid, isentroop en werkelijk; $h_2$ en een schatting van $T_2$ .
Warmte die in de condensor vrijkomt; beide prestatiecoëfficiënten; ga hun betrekking na.
Prestatiecoëfficiënten van Carnot tussen $0\,$ en $40\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; welk deel daarvan haalt de machine?
Massadebiet van het koudemiddel en elektrisch vermogen (motorrendement $0.9$ ).
Entropie die per kilogram in de compressor en in het smoorventiel wordt gemaakt ( $s_4 = s_{\text{f}} + x\,(s_1 - s_{\text{f}})$ ); welke is erger?

Deel II — Koud weer en ontwerpkeuzen.

Bij $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ buiten loopt de verdamper op $-15\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ : prestatiecoëfficiënt van Carnot voor verwarming; waarom daalt de werkelijke coëfficiënt sneller (denk aan de drukverhouding en aan de dichtheid van de damp)?
Waarom vormt zich rijp op de buitenbatterij, en wat kost de ontdooicyclus?
Vloerverwarming op $35\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ tegenover radiatoren op $55\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ : prestatiecoëfficiënten van Carnot met de verdamper op $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; besluit.
Vergelijk, per kilowattuur brandstof verbrand in een centrale met rendement $0.40$ , de warmte die deze warmtepomp levert ( $\mathrm{COP} = 4$ ) en die van een gasketel met rendement $0.9$ die de brandstof rechtstreeks verbrandt.

Deel III — De stoomcentrale. Ketel $60\,\mathrm{bar}$ , $500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ : $h_3 = 3422$ , $s_3 = 6.88$ ; bij $60\,\mathrm{bar}$ is $T_{\text{verz}} = 276\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , $h_{\text{f}} = 1213$ , $h_{\text{g}} = 2784$ ; condensor $0.05\,\mathrm{bar}$ , $33\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ : $h_{\text{f}} = 138$ , $h_{\text{fg}} = 2423$ , $s_{\text{f}} = 0.476$ , $s_{\text{g}} = 8.394$ ; vloeistof $v = 1 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$ ; turbine $\eta_{\text{T}} = 0.85$ ; netto elektrisch vermogen $600\,\mathrm{MW}$ .

Schets de kringloop op een $(T,s)$ -diagram en noem de processen.
Pomparbeid en $h_2$ .
Warmte die in de ketel wordt toegevoerd, gesplitst in voorverwarming, verdamping en oververhitting.
Isentrope expansie: dampgehalte bij de uitlaat, enthalpie, arbeid.
Werkelijke expansie: arbeid, enthalpie en dampgehalte bij de uitlaat; waarom het dampgehalte ertoe doet.
Rendement van de kringloop; Carnot tussen $773\,$ en $306\,\mathrm{K}$ ; de gemiddelde temperatuur van de warmtetoevoer $\bar T = q_{\text{in}}/(s_3 - s_2)$ en het carnotrendement dat zij zou geven.
Massadebiet van de stoom; warmte die in de condensor wordt afgestaan; koelwaterdebiet voor een stijging van $10\,\mathrm{K}$ , of de massa water die een koeltoren per seconde verdampt ( $2.4\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ ).
Entropie die in de turbine per kilogram en per seconde wordt gemaakt; de arbeid die bij $306\,\mathrm{K}$ verloren gaat, als deel van de turbinearbeid.
Tussenoververhitting bij $10\,\mathrm{bar}$ tot $500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ verhoogt het rendement tot ongeveer $0.43$ en het dampgehalte bij de uitlaat tot $0.92$ : verklaar beide gevolgen kwalitatief.

Deel IV — De hele keten.

De vuurhaard draagt haar warmte aan de stoom over uit rookgassen op ongeveer $1500\,\mathrm{K}$ : entropie die per seconde bij die overdracht wordt gemaakt (warmte bij $1500\,\mathrm{K}$ in stoom op $\bar T$ ); vergelijk met die van de turbine.
De condensor staat zijn warmte af aan water op $306\,\mathrm{K}$ — dat uiteindelijk de omgeving op $293\,\mathrm{K}$ bereikt: entropie die daar per seconde wordt gemaakt.
Rangschik de drie bronnen van onomkeerbaarheid (vuurhaard, turbine, condensor) en zeg waar de inspanning van de ingenieurs heen gaat.
Vat de methode voor open systemen in vijf regels samen.

Oplossing

Oplossing van Probleem 27.1.

1. Compressor (adiabatisch, $w = \Delta h$ ), condensor (isobaar, warmte eruit), smoorventiel (isenthalp), verdamper (isobaar, warmte erin).

2. $h_4 = 256\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ , $x_4 = 0.28$ .

3. $143\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ .

4. $27\,$ en $34\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ; $h_2 = 433$ ; $T_2 \approx 45 + 7 \approx 52\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .

5. $177\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ; $\mathrm{COP}_{\text{h}} = 5.2$ , $\mathrm{COP}_{\text{c}} = 4.2$ ; $5.2 = 4.2 + 1$ .

6. $7.8$ en $6.8$ ; twee derde.

7. $0.045\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ ; $1.5\,\mathrm{kW}$ , $1.7\,\mathrm{kW}$ aan het stopcontact.

8. Compressor: $c_p\ln(325/318) \approx 0.022\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ ; smoorventiel: $s_4 - s_3 = 1.204 - 1.19 = 0.014\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ — de compressor.

9. $313/55 = 5.7$ ; de drukverhouding verdubbelt vrijwel (meer arbeid per kilogram) en de dampdichtheid halveert (minder massa per slag): het vermogen zakt net wanneer het huis meer nodig heeft.

10. De batterij staat onder $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ in vochtige lucht; rijp isoleert haar; het ontdooien keert de kringloop elk uur enkele minuten om en kost enkele procenten.

11. $308/35 = 8.8$ tegen $328/55 = 6.0$ : hoe lager de condensortemperatuur, hoe beter — vloerverwarming.

12. $1\,\mathrm{kWh}$ brandstof $\to$ $0.4\,\mathrm{kWh}$ elektriciteit $\to$ $1.6\,\mathrm{kWh}$ warmte, tegen $0.9\,\mathrm{kWh}$ van de ketel.

13. Pomp, ketel (isobare verwarming, verdamping, oververhitting), turbine, condensor.

14. $6\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ; $h_2 = 144$ .

15. $3278 = 1069 + 1571 + 638$ ( $\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ).

16. $x = 0.81$ , $h_{4s} = 2098$ , $w_{\text{s}} = 1324\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ .

17. $1125\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ , $h_4 = 2297$ , $x_4 = 0.89$ ; nattere stoom erodeert de schoepen en verlaagt het rendement.

18. $\eta = 1119/3278 = 0.34$ ; Carnot $0.60$ ; $\bar T = 3278/6.40 = 512\,\mathrm{K}$ , wat $0.40$ geeft.

19. $536\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ ; $1160\,\mathrm{MW}$ ; $28\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ rivierwater, of $480\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ verdampt.

20. $0.65\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ , $350\,\mathrm{kW}/\mathrm{K}$ ; $200\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ , $18\%$ van de turbinearbeid.

21. De tweede warmtetoevoer gebeurt bij hoge temperatuur (hogere $\bar T$ ), en de tweede expansie begint oververhit en eindigt droger.

22. $1757\,\mathrm{MW} \times (1/512 - 1/1500) = 2.3\,\mathrm{MW}/\mathrm{K}$ — zes keer die van de turbine.

23. $1160\,\mathrm{MW} \times (1/293 - 1/306) = 0.17\,\mathrm{MW}/\mathrm{K}$ .

24. Vuurhaard $\gg$ turbine $>$ condensor: vandaar hogere stoomtemperaturen en -drukken, tussenoververhitting en regeneratie; dan betere schoepen; de condensor komt als laatste.

25. Teken het controlevolume; massa erin is massa eruit; $\Delta h + \Delta c^2/2 + g\Delta z = w_{\text{u}} + q$ met $h$ uit $c_p$ , tabellen of $v\Delta P$ ; $\Delta s = \sum q/T + s_{\text{c}}$ met isentrope referenties en rendementen; zet de onderdelen samen en vergelijk met Carnot.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Open systeem, controlevolume, stationaire stroming

Bekijk alle 393 begrippen in de begrippenlijst