Universitaire natuurkunde — jaar 2 · Bachelor Year 2

18Het scalaire model van het licht

Schijn met twee zaklampen op dezelfde muur en de vlek is eenvoudigweg twee keer zo helder; schijn er twee bundels van één laser op en de vlek valt uiteen in heldere en donkere strepen. De zaklampen tellen hun intensiteiten op, de laserbundels hun amplitudes — en elke interferometer, elk hologram en elk tralie van de komende hoofdstukken berust erop te weten wanneer licht wat doet. Dit hoofdstuk zet het gereedschap klaar: licht als een scalaire golf met een fase, de optische weglengte die die fase langs een straal meet, de manier waarop een bron uitzendt — in korte golftreinen waarvan de coherentielengte beslist of twee golven kunnen interfereren — en de manier waarop een detector het opneemt: een gemiddelde over miljarden perioden dat alleen de intensiteit overhoudt.

18.1 Licht als scalaire golf

Definitie 18.1 (Scalair model; monochromatische golf)

In het grootste deel van de golfoptica speelt het vectorkarakter van het licht geen rol (de gesuperponeerde golven delen één polarisatie, of het licht is ongepolariseerd en de polarisaties middelen weg): het veld wordt vervangen door een reële scalaire trilling

s(M, t) = a(M)\cos\bigl(\omega t - \varphi(M)\bigr) ,

met een amplitude $a(M)$ en een fase $\varphi(M)$ in elk punt, die beide op de schaal van een golflengte traag veranderen. Een monochromatische golf heeft één enkele $\omega$ : een idealisatie, want een echte bron zendt over een band van frequenties uit. Zichtbaar licht: $\lambda_0$ van $400$ tot $750\,\mathrm{nm}$ in vacuüm, $\nu = c/\lambda_0$ van $7.5 \times 10^{14}$ tot $4 \times 10^{14}$ Hz, met perioden van ongeveer $2\,\mathrm{fs}$ .

Definitie 18.2 (Optische weglengte en fase)

In een medium met brekingsindex $n$ loopt de golf met $c/n$ en is haar golflengte $\lambda_0/n$ . De optische weglengte langs een kromme van $A$ naar $B$ is

(AB) = \int_A^Bn\,\dd s ,

en de fase die een monochromatische golf opbouwt terwijl zij langs een straal van $A$ naar $B$ loopt, is

\varphi(B) - \varphi(A) = \frac{2\pi}{\lambda_0}\,(AB) = \omega\,\tau_{AB} ,

waarin $\tau_{AB}$ de looptijd is. Een golffront is een oppervlak van gelijke fase; in een isotroop medium staan de stralen van de meetkundige optica loodrecht op de golffronten (de stelling van Malus–Dupin), en is de optische weglengte tussen twee golffronten langs elke straal dezelfde.

Verantwoording. De fase loopt $2\pi$ op per plaatselijke golflengte $\lambda_0/n$ , dus met $2\pi n\,\dd s/\lambda_0$ per element $\dd s$ ; gesommeerd langs de straal. De golf $a\cos(\omega t - \varphi)$ is een oplossing van de golfvergelijking waarin de energie langs $\operatorname{\vect{grad}}\varphi$ reist, loodrecht op de oppervlakken $\varphi =$ const: dat is de straal, en de uitspraak “de optische weglengte tussen twee golffronten is dezelfde” is de definitie van een golffront, achterstevoren gelezen. De volledige stelling (zij overleeft reflecties en brekingen) wordt aangenomen. ∎

Voorbeeld 18.3 (Stigmatisme; de lens als faseplaat)

Een puntbron $A$ die door een volmaakt (stigmatisch) instrument in $A'$ wordt afgebeeld: alle stralen van $A$ naar $A'$ hebben dezelfde optische weglengte — de golven die langs elke straal aankomen zijn in $A'$ in fase, en daarom stapelen zij zich daar tot een helder punt op. Voor een dunne lens met brandpuntsafstand $f$ is dat een uitspraak over fase: een vlakke golf die langs de as aankomt, moet vertrekken als een bolgolf die naar het brandpunt $F'$ convergeert; omdat een bolgolf met middelpunt op afstand $f$ op afstand $r$ van de as de fase $2\pi r^2/2\lambda f$ vóór ligt op haar waarde op de as (paraxiale benadering, $\sqrt{f^2 + r^2} \approx f + r^2/2f$ ), moet de lens de golf vertragen met $\varphi_L(r) = -\pi r^2/\lambda f$ : zij is in het midden precies zoveel dikker dat alle optische weglengten naar $F'$ gelijk worden. Een lens is een faseplaat; een hologram of een vloeibaarkristalscherm dat dezelfde fasekaart oplegt, is een lens.

Links: een dunne lens maakt van vlakke golffronten bolvormige die op het brandpunt convergeren — alle optische weglengten naar F' zijn gelijk. Rechts: in glas krimpt de golflengte tot _0/n en loopt de fase sneller op: de optische weglengte telt de meetkundige lengte n keer. — Links: een dunne lens maakt van vlakke golffronten bolvormige die op het brandpunt convergeren — alle optische weglengten naar $F'$ zijn gelijk. Rechts: in glas krimpt de golflengte tot $\lambda_0/n$ en loopt de fase sneller op: de optische weglengte telt de meetkundige lengte $n$ keer.

18.2 Hoe licht wordt uitgezonden: coherentie

Propositie 18.4 (Golftreinen; coherentietijd en coherentielengte)

Een klassieke bron (een vlam, een lamp, een ster) is een verzameling atomen die elk op willekeurige ogenblikken en met willekeurige fasen korte golftreinen met duur $\tau_c$ uitzenden: de trilling die zij in een punt voortbrengt, houdt haar fase alleen over $\tau_c$ vast en springt dan. Een trein met duur $\tau_c$ is niet monochromatisch: zijn spectrum beslaat een frequentieband $\Delta\nu \approx 1/\tau_c$ (een wederkerigheid van Fourier, aangenomen: een eindige sinus kan geen enkele frequentie hebben). De coherentietijd $\tau_c$ en de coherentielengte

\ell_c = c\,\tau_c \approx \frac c{\Delta\nu} = \frac{\lambda^2}{\Delta\lambda}

kenmerken de bron: wit licht $\Delta\lambda \approx 300\,\mathrm{nm}$ , $\ell_c \approx 1\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; een spectraallamp ( $\Delta\lambda \sim 0.01\,\mathrm{nm}$ ), $\ell_c \sim 3\,\mathrm{cm}$ ; een laser, meters tot kilometers. Twee golven die van dezelfde bron komen, kunnen alleen interfereren als hun wegverschil kleiner is dan $\ell_c$ — daarboven horen zij bij verschillende treinen, met fasen die niets met elkaar te maken hebben.

Bewijs. $\ell_c = c/\Delta\nu$ en $|\Delta\nu/\nu| = |\Delta\lambda/\lambda|$ met $\nu = c/\lambda$ geven $\ell_c = \lambda^2/\Delta\lambda$ . De spectrale breedte zelf heeft fysische oorzaken: de natuurlijke breedte (stralingsdemping, Hoofdstuk 17), de dopplerverbreding door de thermische beweging van de atomen, en botsingen — elk maakt de trein korter. ∎

De trilling van een klassieke bron: een opeenvolging van golftreinen met duur _c, met willekeurige fasesprongen ertussen; twee kopieën ervan kunnen alleen interfereren als hun vertraging korter is dan _c. — De trilling van een klassieke bron: een opeenvolging van golftreinen met duur $\tau_c$ , met willekeurige fasesprongen ertussen; twee kopieën ervan kunnen alleen interfereren als hun vertraging korter is dan $\tau_c$ .

Opmerking 18.5 (Twee bronnen, één bron)

Twee verschillende lampen (of twee verschillende atomen) zenden treinen uit met onafhankelijke willekeurige fasen: hun onderlinge fase verandert om de $\tau_c \sim 1 \times 10^{-9}\,\mathrm{s}$ , een miljoen keer sneller dan enig oog of enige camera reageert — de interferentieterm middelt naar nul en de intensiteiten tellen op. Interferentie vraagt twee golven die dezelfde fasesprongen onthouden: twee kopieën van één golf, verkregen door haar te splitsen (twee spleten, twee spiegels, de twee vlakken van een laagje) en met een vertraging korter dan $\tau_c$ weer samen te voegen. Een laser, waarvan de treinen microseconden of langer duren, verzacht die beperking enorm; opheffen doet hij haar nooit.

18.3 Detectoren en intensiteit

Propositie 18.6 (Wat een detector meet)

Elke lichtdetector — het oog (reactietijd $\sim0.1\,\mathrm{s}$ ), een fotografische film, een ccd-pixel ( $1\,\mathrm{ms}$ ), een fotodiode ( $1\,\mathrm{ns}$ ) — reageert over een tijd die lang is vergeleken met de periode ( $10^{-15}$ s) en levert de intensiteit, het tijdgemiddelde van het kwadraat van de trilling,

I = K\,\langle s^2\rangle = \tfrac12K\,a^2 ,

( $K$ een constante, die vaak wordt weggelaten; $I$ is evenredig met de bestralingssterkte in $\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ). Het absolute niveau doet er maar in één opzicht toe: licht komt in fotonen met energie $h\nu$ aan, en een detector telt gemiddeld $I/h\nu$ fotonen per oppervlakte- en tijdseenheid.

Bewijs. $\langle\cos^2(\omega t - \varphi)\rangle = \tfrac12$ over elk interval dat veel langer is dan $2\pi/\omega$ . Fotonen: het laatste hoofdstuk van het volume van jaar 1; hier ontmoet de scalaire golf het kwantum. ∎

Voorbeeld 18.7 (Ordegrootten)

Een lamp van $60\,\mathrm{W}$ die $3\,\mathrm{W}$ zichtbaar licht uitstraalt, op $2\,\mathrm{m}$ : $I = 3/4\pi\cdot4 = 60\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$ , $I/h\nu = 1.6 \times 10^{17}$ fotonen per vierkante meter en per seconde, $3 \times 10^{12}$ per seconde door een pupil van $5\,\mathrm{mm}$ — in de $0.1\,\mathrm{s}$ van het oog is er geen spoor van korreligheid. De zwakste ster die het oog ziet, stuurt $\sim 10^3$ fotonen per seconde de pupil in; een staafje vuurt al bij een handvol. Zonlicht: $1\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ , $3 \times 10^{21}$ fotonen per vierkante meter en per seconde.

Tijdschalen van de optica: de periode van de trilling, de duur van de golftreinen van klassieke en van laserbronnen, en de reactietijden van detectoren — alle detectoren middelen over vele perioden, en over vele treinen van een lamp.

Opmerking 18.8 (Coherente en incoherente superpositie)

Twee trillingen $a_1\cos(\omega t - \varphi_1)$ en $a_2\cos(\omega t - \varphi_2)$ in een punt geven $s = s_1 + s_2$ en

I = \tfrac12K\bigl[a_1^2 + a_2^2 + 2a_1a_2\langle\cos(\varphi_1 - \varphi_2)\rangle\bigr] .

Is het faseverschil tijdens de detectie stabiel (coherente golven), dan is $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1I_2}\cos(\varphi_1 - \varphi_2)$ , met de interferentieterm die het volgende hoofdstuk bestudeert. Dwaalt het willekeurig rond (incoherente golven), dan is $\langle\cos\rangle = 0$ en $I = I_1 + I_2$ — de zaklampen.

Methode 18.9 (Een vraagstuk in de optica opzetten)

(1) Schrijf elke golf als $a\cos(\omega t - \varphi)$ met $\varphi = 2\pi(\text{optische weglengte})/\lambda_0$ vanaf de bron (of vanaf een gemeenschappelijk golffront). (2) Beslis over de coherentie: dezelfde bron, wegverschil $< \ell_c$ ? Tel dan de amplitudes op (de complexe notatie is handig: $\underline s = a\eu^{\iu(\omega t - \varphi)}$ , $I = \tfrac12K|\underline s|^2$ ); anders tel de intensiteiten op. (3) Gebruik voor lenzen en spiegels gelijke optische weglengten tussen toegevoegde punten, of het beeld van de faseplaat. (4) Zet om naar wat wordt gemeten: intensiteit, contrast, fotonentellingen, en toets de resolutie van de detector in tijd en ruimte.

18.4 Oefeningen

Oefening 18.1 ★

Een bundel van $600\,\mathrm{nm}$ doorkruist $1.0\,\mathrm{cm}$ glas ( $n = 1.5$ ). Optische weglengte; aantal golflengten erin; extra fase en extra vertraging vergeleken met $1\,\mathrm{cm}$ lucht; dikte glas die de golf ten opzichte van lucht precies één golflengte vertraagt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.1.

$(AB) = 1.5\,\mathrm{cm}$ ; $25\,000$ golflengten; $0.5\,\mathrm{cm}$ meer dan lucht, $8300$ golflengten, $\Delta\varphi = 2\pi \times 8300$ , vertraging $17\,\mathrm{ps}$ ; één golflengte vertraging voor $e = \lambda/(n - 1) = 1.2\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

Oefening 18.2 ★

Coherentietijd en -lengte van: wit licht ( $400$ – $750\,\mathrm{nm}$ ); een natriumlijn met breedte $0.02\,\mathrm{nm}$ bij $589\,\mathrm{nm}$ ; een rode led ( $630\,\mathrm{nm}$ , $\Delta\lambda = 25\,\mathrm{nm}$ ); een multimodige laserdiode ( $\Delta\nu = 100\,\mathrm{GHz}$ ); een gestabiliseerde laser ( $\Delta\nu = 1\,\mathrm{kHz}$ ). Welke zouden strepen kunnen geven bij een wegverschil van $1\,\mathrm{mm}$ ? En van $10\,\mathrm{m}$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.2.

$\ell_c = \lambda^2/\Delta\lambda$ of $c/\Delta\nu$ , $\tau_c = \ell_c/c$ : wit $0.9\,\text{µ}\mathrm{m}$ ( $3\,\mathrm{fs}$ ); natrium $1.7\,\mathrm{cm}$ ( $60\,\mathrm{ps}$ ); led $16\,\text{µ}\mathrm{m}$ ( $50\,\mathrm{fs}$ ); diode $3\,\mathrm{mm}$ ( $10\,\mathrm{ps}$ ); gestabiliseerd $300\,\mathrm{km}$ ( $1\,\mathrm{ms}$ ). Bij $1\,\mathrm{mm}$ : de natriumlamp, de diode en de laser; bij $10\,\mathrm{m}$ : alleen de gestabiliseerde laser.

Oefening 18.3 ★

Een laserpen van $1\,\mathrm{mW}$ bij $650\,\mathrm{nm}$ : fotonen per seconde; een lamp van $100\,\mathrm{W}$ ( $5\,\mathrm{W}$ zichtbaar, gemiddeld $550\,\mathrm{nm}$ ) op $3\,\mathrm{m}$ : fotonen per seconde door een pupil van $6\,\mathrm{mm}$ ; aantal tijdens de $0.1\,\mathrm{s}$ van het oog; relatieve schommeling $1/\sqrt N$ van dat aantal — is het licht korrelig?

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.3.

$10^{-3}/3.06 \times 10^{-19} = 3.3 \times 10^{15}\,$ per seconde. Lamp: $I = 5/4\pi \times 9 = 44\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$ , pupil $28\,\mathrm{mm}^{2}$ : $1.2\,\text{µ}\mathrm{W}$ , $3.5 \times 10^{12}$ fotonen per seconde, $3.5 \times 10^{11}$ in $0.1\,\mathrm{s}$ , schommeling $2 \times 10^{-6}$ : volkomen glad.

Oefening 18.4 ★

Een puntbron op $1.0\,\mathrm{m}$ van een scherm, $\lambda = 500\,\mathrm{nm}$ . Verschil in optische weglengte tussen het midden van het scherm en een punt $1\,\mathrm{cm}$ uit de as (eerst exact, dan met de paraxiale formule $r^2/2d$ ); aantal golflengten; kromtestraal van het golffront bij het scherm; op welke afstand uit de as wijkt de paraxiale formule één golflengte af?

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.4.

Exact $\sqrt{1 + 10^{-4}} - 1 = 49.9988\,\text{µ}\mathrm{m}$ , paraxiaal $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ : honderd golflengten; het golffront is een bol met straal $1\,\mathrm{m}$ ; de vierdegraadsterm $r^4/8d^3$ bereikt $\lambda$ bij $r = (8\lambda d^3)^{1/4} = 4.5\,\mathrm{cm}$ .

Oefening 18.5 ★★

De lens als faseplaat. (a) Een vlakke golf langs de as heeft een uniforme fase op het vlak van een dunne lens; na de lens is de fase $\varphi_L(r) = -\pi r^2/\lambda f$ ten opzichte van het midden. Toon aan dat het uittredende golffront in de paraxiale benadering een bol met straal $f$ is met middelpunt $F'$ . (b) Een puntbron op afstand $d$ vóór de lens stuurt een golf waarvan de fase op het lensvlak $+\pi r^2/\lambda d$ is (ten opzichte van het midden): toon aan dat de golf na de lens convergeert op $d'$ met $1/d' = 1/f - 1/d$ , de lenzenformule. (c) Dikteprofiel van een plan-convexe glazen lens ( $n = 1.5$ ) met brandpuntsafstand $10\,\mathrm{cm}$ : $e(r) = e_0 - r^2/2(n - 1)f$ ; pijlhoogte bij $r = 1\,\mathrm{cm}$ . (d) Een “fresnellens” vouwt het profiel terug telkens wanneer het $\lambda/(n - 1)$ overschrijdt: waarom bundelt zij toch, en waarom maar één kleur volmaakt?

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.5.

(a) Een bol met straal $f$ en middelpunt $F'$ heeft op het lensvlak de fase $-\pi r^2/\lambda f$ ten opzichte van de as (paraxiaal): precies die van de lens. (b) Totale fase $\pi r^2/\lambda\,(1/d - 1/f) = -\pi r^2/\lambda d'$ : een golf die convergeert op $d'$ met $1/d' = 1/f - 1/d$ . (c) Het glas voegt $(n - 1)e(r) \times2\pi/\lambda$ toe: $e(r) = e_0 - r^2/2(n - 1)f$ ; pijlhoogte $10^{-4}/0.1 = 1\,\mathrm{mm}$ . (d) Een fase die modulo $2\pi$ is gedefinieerd, is dezelfde fase — bij de ontwerpgolflengte; bij andere zijn de trappen geen hele golflengten meer.

Oefening 18.6 ★★

Stigmatisme van een spiegel. Een spiegel moet een vlakke golf die langs zijn as aankomt naar een punt $F$ sturen. (a) Schrijf de voorwaarde “gelijke optische weglengten van een vlak golffront naar $F$ voor elk punt van de spiegel” op en toon aan dat zij een parabool $y^2 = 4fx$ definieert met $F$ in haar brandpunt. (b) Waarom is een bolspiegel maar bij benadering stigmatisch (vergelijk $y^2 = 4fx$ met de cirkel met straal $2f$ nabij de top)? (c) Voor een spiegel van $20\,\mathrm{cm}$ met $f = 1\,\mathrm{m}$ : de wegfout van de bol aan de rand, in golflengten van $500\,\mathrm{nm}$ . (d) Waarom verdragen radiotelescopen een bolvorm die optische niet kunnen verdragen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.6.

(a) Van een vlak golffront in $x = -D$ naar $(x, y)$ en dan naar $F(f, 0)$ : $D + x + \sqrt{(x - f)^2 + y^2} = D + f$ , dus $\sqrt{(x - f)^2 + y^2} = f - x$ , $y^2 = 4fx$ , met $F$ in het brandpunt. (b) De cirkel $x = 2f - \sqrt{4f^2 - y^2} \approx y^2/4f + y^4/64f^3$ stemt maar tot tweede orde overeen. (c) $y^4/64f^3 = 1.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ , verdubbeld door de weerkaatsing: $3\,\text{µ}\mathrm{m}$ , zes golflengten — vandaar parabolische spiegels. (d) Bij $\lambda \sim 1\,\mathrm{cm}$ is diezelfde fout een duizendste golflengte.

Oefening 18.7 ★★

Fermat. De optische weglengte van $A$ (in medium $n_1$ ) naar $B$ (in $n_2$ ) via een punt $P$ van het vlakke grensvlak is $n_1AP + n_2PB$ . (a) Toon aan dat zij stationair (minimaal) is voor het punt $P$ dat aan $n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2$ voldoet. (b) Duid dat: naburige wegen hebben dezelfde fase, zodat de golven erlangs optellen — daarom “kiest” het licht de straal van Descartes. (c) Leid de wet van weerkaatsing op dezelfde manier af. (d) Waarom is de weg door een lens van $A$ naar zijn beeld $A'$ langs elke straal dezelfde, en niet slechts stationair?

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.7.

(a) $L(x) = n_1\sqrt{a^2 + x^2} + n_2\sqrt{b^2 + (d - x)^2}$ : $L' = n_1\sin\theta_1 - n_2\sin\theta_2 = 0$ . (b) Nabij de stationaire weg hebben naburige wegen gelijke fasen en tellen hun golven op; elders heffen zij elkaar op. (c) $n_1 = n_2$ : $\sin\theta_1 = \sin\theta_r$ . (d) Stigmatisme betekent dat alle stralen van $A$ naar $A'$ gelijke weglengten hebben: een hele familie stationaire wegen, niet één.

Oefening 18.8 ★★

Waarom twee lampen niet interfereren. Twee natriumlampen verlichten een scherm; in een punt hebben hun golven de amplitudes $a$ en een onderlinge fase $\Delta\varphi$ die om de $\tau_c = 1 \times 10^{-10}\,\mathrm{s}$ willekeurig springt. (a) Intensiteit in dat punt als functie van $\Delta\varphi$ ; haar maximum en minimum. (b) De detector middelt over $\tau_d = 1\,\mathrm{ms}$ : hoeveel onafhankelijke waarden van $\Delta\varphi$ ? Gemiddelde intensiteit; relatieve grootte van de restschommeling van de interferentieterm ( $\sim 1/\sqrt N$ ). (c) Een fotodiode met $\tau_d = 1 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}$ : wat zou die zien? (d) Hoe lukte het het eerste experiment dat interferentie tussen twee onafhankelijke lasers aantoonde (1963)?

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.8.

(a) $I = 2I_0(1 + \cos\Delta\varphi)$ : $4I_0$ en $0$ . (b) $N = 10^7$ : gemiddeld $2I_0$ , met een rest van $\sim 2I_0/\sqrt N = 6 \times 10^{-4}$ daarvan. (c) Gedurende $10\,\mathrm{ps}$ ligt de fase vast: zij zou strepen zien die om de $0.1\,\mathrm{ns}$ verspringen. (d) Lasers met $\tau_c \sim 1\,\text{µ}\mathrm{s}$ en een detector die sneller is dan dat: de strepen bestonden een microseconde lang en werden gefotografeerd.

Oefening 18.9 ★★

Schijnbare diepte. Een muntje ligt op diepte $h$ in water ( $n = 1.33$ ). (a) Toon met de optische weglengte (of met de wet van Descartes bij kleine hoeken) aan dat een oog erboven het op diepte $h/n$ ziet. (b) $h = 1.2\,\mathrm{m}$ : schijnbare diepte; met hoeveel overtreft de optische weglengte van het muntje naar het oog haar meetkundige lengte? (c) Op welke schijnbare hoogte ziet een vis op diepte $h$ een vlieg $1\,\mathrm{m}$ boven het oppervlak? (d) Waarom lijkt een zwembad nog ondieper wanneer men er schuin in kijkt?

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.9.

(a) Bij kleine hoeken is $\tan i \approx n\tan r$ , zodat de stralen uit $h/n$ lijken te komen. (b) $0.90\,\mathrm{m}$ ; de optische weglengte is $n \times 1.2 = 1.6\,\mathrm{m}$ , $0.4\,\mathrm{m}$ meer. (c) $n \times 1 = 1.33\,\mathrm{m}$ . (d) Bij grote hoeken is de breking sterker en de schijnbare diepte kleiner.

Oefening 18.10 ★★★

Contrast en coherentie. Twee kopieën van een golf met een wegverschil $\delta$ worden gesuperponeerd; het spectrum van de bron is gelijkmatig over $[\nu_0 - \Delta\nu/2, \nu_0 + \Delta\nu/2]$ gespreid, en elke frequentie interfereert alleen met zichzelf. (a) Intensiteit van één frequentie: $2I_0 [1 + \cos(2\pi\nu\delta/c)]$ . (b) Integreer over de band en toon aan dat het totaal $2I_0[1 + \operatorname{sinc}(\pi\Delta\nu\,\delta/c)\cos(2\pi\nu_0\delta/c)]$ is, met $\operatorname{sinc}x = \sin x/x$ . (c) Definieer het contrast $V = (I_{\max} - I_{\min})/(I_{\max} + I_{\min})$ van de strepen nabij $\delta$ en toon aan dat $V = |\operatorname{sinc}(\pi\Delta\nu\,\delta/c)|$ : het verdwijnt bij $\delta = c/\Delta\nu = \ell_c$ . (d) Getallen voor een led ( $\Delta\lambda = 25\,\mathrm{nm}$ bij $630\,\mathrm{nm}$ ): de $\delta$ waarbij het contrast voor het eerst verdwijnt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.10.

(a) Twee gelijke golven met faseverschil $2\pi\nu\delta/c$ . (b) Middel over de band:

\frac1{\Delta\nu}\int\cos\frac{2\pi\nu\delta}c\,\dd\nu = \cos\frac{2\pi\nu_0\delta}c\,\operatorname{sinc}\frac{\pi\Delta\nu\,\delta}c .

(c) $I_{\max, \min} = 2I_0(1 \pm |\operatorname{sinc}|)$ : $V = |\operatorname{sinc}(\pi\Delta\nu\delta/c)|$ , nul bij $\delta = c/\Delta\nu$ . (d) $\Delta\nu = c\Delta\lambda/\lambda^2 = 1.9 \times 10^{13}\,\mathrm{Hz}$ : $\delta = 16\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

Oefening 18.11 ★★★

Sterren zien. Het oog bespeurt een flits wanneer er ongeveer $10$ fotonen binnen $0.1\,\mathrm{s}$ één staafje bereiken; de aan het donker aangepaste pupil is $7\,\mathrm{mm}$ ; neem $500\,\mathrm{nm}$ . (a) Minimale fotonenflux en bestralingssterkte bij het oog. (b) De zon geeft $1\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ ; een ster met magnitude $m$ geeft daarvan $10^{-0.4(m + 26.7)}$ : bestralingssterkte van een ster van magnitude 6 (de grens voor het blote oog) en het aantal fotonen per seconde de pupil in; klopt dat met (a)? (c) Een telescoop met een opening van $200\,\mathrm{mm}$ : winst in fotonen, en de magnitude die hij haalt. (d) Waarom spreken astronomen van de “fotonenruis” van een zwak beeld, en hoe schaalt die met de belichtingstijd?

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.11.

(a) $100$ fotonen per seconde op $38\,\mathrm{mm}^{2}$ : $2.6 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ , $\times4 \times 10^{-19}$ J: $1 \times 10^{-12}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ . (b) $10^{-13.1} \times 1000 = 8 \times 10^{-11}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , $2 \times 10^8$ fotonen per vierkante meter en per seconde, $8000$ per seconde de pupil in — ruim boven (a): de werkelijke grens van het oog wordt door de achtergrond bepaald en door de spreiding over vele staafjes. (c) $(200/7)^2 = 800$ , $+7.3$ magnituden: $m \approx 13$ . (d) $N$ fotonen schommelen met $\sqrt N$ : de signaal-ruisverhouding groeit als de wortel uit de belichtingstijd.

Oefening 18.12 ★★★

Voorbij de paraxiale benadering. Een bolgolf uit een punt op afstand $d$ heeft op de transversale afstand $r$ de exacte extra weg $\sqrt{d^2 + r^2} - d$ . (a) Ontwikkel tot de vierde orde: $r^2/2d - r^4/8d^3$ . (b) De kwadratische (paraxiale) term wordt behouden en de vierdegraadsterm weggelaten zodra die laatste onder $\lambda/4$ blijft: toon aan dat dat $r^4 < 2\lambda d^3$ vereist. (c) Getallen: $d = 1\,\mathrm{m}$ , $\lambda = 500\,\mathrm{nm}$ : maximale $r$ ; $d = 1\,\mathrm{cm}$ (een microscoop): maximale $r$ , en de bijbehorende hoek. (d) Commentaar: de “aberraties” van de meetkundige optica zijn juist deze weggelaten termen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.12.

(a) $d(1 + r^2/2d^2 - r^4/8d^4 + \dots) - d$ . (b) $r^4/8d^3 < \lambda/4$ . (c) $r < (2\lambda d^3)^{1/4}$ : $3.2\,\mathrm{cm}$ voor $1\,\mathrm{m}$ ; $1\,\mathrm{mm}$ voor $1\,\mathrm{cm}$ , een hoek van $0.1\,\mathrm{rad}$ . (d) Sferische aberratie ís deze vierdegraadsterm; de overige aberraties zijn haar neven buiten de as.

Natriumlampen onder lage druk in de mist: één gele lijn, een coherentielengte van centimeters — de klassieke bron van het optisch practicum, en van de straten van weleer.

18.5 Vraagstuk: Een natriumlamp en een laserpen

Probleem 18.1

Weekendvraagstuk — twee lichtbronnen uit elkaar gehaald: de gele lamp van de oude straat, de rode pen in de collegezaal, en het ene getal dat beslist of elk van beide strepen kan maken

Deel I — De natriumlamp. Natrium zendt zijn gele doublet uit bij $\lambda_1 = 589.0\,\mathrm{nm}$ en $\lambda_2 = 589.6\,\mathrm{nm}$ . De natuurlijke breedte van elke lijn is $\Delta\nu_{\text{natuur}} = 10\,\mathrm{MHz}$ ; in de lamp zijn de atomen op $500\,\mathrm{K}$ (massa van natrium $23\,\mathrm{u}$ , $k_B = 1.38 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ , $u = 1.66 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ ).

Frequenties van de twee lijnen en hun verschil.
Coherentielengte van één lijn als alleen haar natuurlijke breedte meetelde.
Dopplerverbreding: een atoom dat met $v$ langs de zichtlijn beweegt, zendt uit bij $\nu(1 + v/c)$ ; schat met de thermische effectieve snelheid $\sqrt{k_BT /m}$ langs één as de $\Delta\nu_D$ en vergelijk met de natuurlijke breedte.
Coherentielengte van één dopplerverbrede lijn; in een echte hogedruklamp verbreden botsingen de lijn nog eens tien keer: coherentielengte dan.
De twee lijnen samen: over welk wegverschil gaan hun strepenpatronen van samenvallen naar tegengesteld en weer terug (de “zwevingslengte” $\lambda^2/\Delta\lambda$ )? Hoeveel strepen is dat?
Een student bouwt met de lamp een interferometer met twee bundels en vergroot het wegverschil vanaf nul: beschrijf het contrast dat hij ziet — de zwevingen en de uiteindelijke uitdoving — met de gevonden getallen.
De lamp straalt $1\,\mathrm{W}$ geel licht uit: fotonen per seconde; energie van één foton in eV, en waarom het licht geel is.
Twee natriumlampen naast elkaar: kan hun licht interfereren? Waarom ligt de vraag anders voor de twee lijnen van één lamp?

Deel II — De laserpen. Een rode diodelaser van $1\,\mathrm{mW}$ bij $650\,\mathrm{nm}$ zendt, wanneer zij goedkoop is, verscheidene longitudinale modes uit over $\Delta\lambda = 0.5\,\mathrm{nm}$ ; een gestabiliseerde enkelmodige heeft $\Delta\nu = 1\,\mathrm{MHz}$ .

Coherentielengten van de twee laserpennen.
Fotonen die per seconde worden uitgezonden; gemiddelde afstand tussen de fotonen langs de bundel (in meters); vergelijk met de coherentielengte — wat zegt dat over “fotonen die interfereren”?
Zet de spreiding van $0.5\,\mathrm{nm}$ om in een frequentiebreedte; de trilholte van de diode is $1\,\mathrm{mm}$ lang met $n = 3.5$ : afstand tussen haar longitudinale modes ( $c/2nL$ ) en het aantal modes in de spreiding.
De bundel (diameter $1\,\mathrm{mm}$ ) valt op een fotodiode die van elk foton een elektron maakt: stroom.
De goedkope pen wordt in een interferometer met twee bundels gebruikt met een wegverschil van $2\,\mathrm{mm}$ : strepen of niet? En de gestabiliseerde met $10\,\mathrm{m}$ ?
De diode wordt in werkelijkheid met pulsen van $1\,\mathrm{ns}$ aan en uit geschakeld: kunnen de pulsen van twee opeenvolgende perioden met elkaar interfereren? Wat bepaalt de coherentie hier, de pulslengte of de lijnbreedte?
Waarom oogt het licht van een laser op een muur “gespikkeld”, en dat van de lamp niet?
Een rode led bij $650\,\mathrm{nm}$ heeft $\Delta\lambda = 25\,\mathrm{nm}$ : coherentielengte; waarom geven sommige projectoren de voorkeur aan leds boven lasers?

Deel III — Optische weglengten en detectoren.

Er wordt een glasplaatje van $2\,\mathrm{mm}$ ( $n = 1.5$ ) in één arm van de interferometer geschoven: extra optische weglengte, en het aantal strepen dat langs een merkteken schuift.
Het plaatje wordt $10{}^{\circ}$ gekanteld: extra weg (gebruik $e/\cos r$ voor de lengte in het glas, min de lucht die het vervangt, in eerste benadering $e(n/\cos r - \cos(i - r)/\cos r)$ — of schat eenvoudig met de langere meetkundige weg); orde van grootte van de streepverschuiving.
De detector is een camera met pixels van $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; de strepen liggen $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ uit elkaar: hoeveel pixels per streep, en wat gebeurt er met het gemeten contrast als de afstand tot $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ daalt?
Belichting $10\,\mathrm{ms}$ bij $1\,\text{µ}\mathrm{W}/\mathrm{cm}^{2}$ op één pixel: fotonen per pixel; relatieve fotonenruis.
Twee gelijke coherente golven met intensiteit $I_0$ ontmoeten elkaar met een wegverschil $\delta$ : schrijf de intensiteit $I(\delta)$ op en de periode van de strepen in $\delta$ .
De strepen schuiven met $1\,\mathrm{kHz}$ langs een punt (een trillende spiegel): wat ziet het oog, wat ziet de fotodiode?
De armen van de interferometer lopen door $10\,\mathrm{m}$ lucht ( $n - 1 = 2.9 \times 10^{-4}\,$ ): optische weglengte boven die in vacuüm, in strepen; wat een verandering van $1\,\%$ in de luchtdruk met het patroon doet.
De lamp en de pen geven dezelfde $1\,\text{µ}\mathrm{W}/\mathrm{cm}^{2}$ : welke geeft meer fotonen per seconde, en waarom doet dat er voor de strepen niet toe?
Vat samen: voor elke bron de coherentielengte, wat haar begrenst, en het wegverschil in de interferometer dat zij toelaat.

Oplossing

Oplossing van Probleem 18.1.

1. $\nu_1 = 5.0934 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ , $\nu_2 = 5.0882 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ : $\Delta\nu = 5.2 \times 10^{11}\,\mathrm{Hz}$ .

2. $c/\Delta\nu_{\text{natuur}} = 30\,\mathrm{m}$ .

3. $\sqrt{k_BT/m} = 425\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $\Delta\nu_D \approx 2\nu v/c \approx 1.4\,\mathrm{GHz}$ , honderd keer de natuurlijke breedte.

4. $c/\Delta\nu_D \approx 20\,\mathrm{cm}$ ; met botsingen ongeveer $2\,\mathrm{cm}$ .

5. $\lambda^2/\Delta\lambda = 589^2/0.6$ nm $= 0.58\,\mathrm{mm}$ : van samenvallen naar tegengesteld om de $0.29\,\mathrm{mm}$ ; ongeveer $1000$ strepen per zweving.

6. Het contrast schommelt met een periode van $0.58\,\mathrm{mm}$ in wegverschil (nul bij $0.29$ , $0.87$ , $1.45\,\mathrm{mm}$ , …) binnen een omhullende die over enkele centimeters vervaagt: een vijftigtal zwevingen, en dan niets meer.

7. $3 \times 10^{18}\,$ fotonen per seconde; $2.1\,\mathrm{eV}$ , het geel van het spectrum.

8. Nee: onafhankelijke atomen, willekeurige fasen. De twee lijnen van één lamp komen eveneens van verschillende atomen en interfereren niet met elkaar: de zwevingen zijn twee strepenpatronen die in intensiteit optellen.

9. $\lambda^2/\Delta\lambda = 0.85\,\mathrm{mm}$ ; $c/\Delta\nu = 300\,\mathrm{m}$ .

10. $3.3 \times 10^{15}\,$ per seconde, met een onderlinge afstand $c/N = 90\,\mathrm{nm}$ langs de bundel: tienduizend fotonen binnen één coherentielengte. Interferentie is geen ontmoeting van fotonen: elk foton interfereert met zichzelf.

11. $\Delta\nu = c\Delta\lambda/\lambda^2 = 360\,\mathrm{GHz}$ ; afstand tussen de modes $c/2nL = 43\,\mathrm{GHz}$ : ongeveer acht modes.

12. $e \times 3.3 \times 10^{15} = 0.5\,\mathrm{mA}$ .

13. $2\,\mathrm{mm}$ $>$ $0.85\,\mathrm{mm}$ : geen strepen; $10\,\mathrm{m}$ $<$ $300\,\mathrm{m}$ : wel strepen.

14. Een puls van een nanoseconde is $30\,\mathrm{cm}$ lang, veel langer dan de coherentielengte van $0.85\,\mathrm{mm}$ : de lijnbreedte bepaalt de coherentie, niet de puls; opeenvolgende pulsen interfereren alleen als de fase van de laser de uitperiode overleeft — en dat doet zij niet.

15. Coherent licht dat door de ruwe muur wordt verstrooid, interfereert op het netvlies met willekeurige wegverschillen: spikkels. De coherentie van de lamp, op de schaal van een micrometer, middelt dat allemaal weg.

16. $\lambda^2/\Delta\lambda = 17\,\text{µ}\mathrm{m}$ : veel te kort voor spikkels op een ruwe muur — geen spikkels, een gladder beeld.

17. $(n - 1)e = 1\,\mathrm{mm}$ : $1540$ strepen.

18. $r = 6.65{}^{\circ}$ ; extra weg $\approx e(n/\cos r - \cos(i - r)/\cos r) = 3.021 - 2.010 = 1.011\,\mathrm{mm}$ , $11\,\text{µ}\mathrm{m}$ meer dan ongekanteld: een twintigtal strepen meer.

19. Vijf pixels per streep; bij één pixel per streep integreert de pixel een hele periode en stort het contrast in.

20. $1 \times 10^{-12}\,\mathrm{W}$ op de pixel $\times$ $10\,\mathrm{ms}$ $= 1 \times 10^{-14}\,\mathrm{J}$ : $3 \times 10^4$ fotonen, ruis $0.6\%$ .

21. $I = 2I_0[1 + \cos(2\pi\delta/\lambda)]$ : één streep per golflengte wegverschil.

22. Het oog middelt de beweging van een kilohertz tot een gelijkmatig veld; de fotodiode volgt haar.

23. $(n - 1) \times 10 = 2.9\,\mathrm{mm}$ : $4500$ strepen; een drukverandering van $1\%$ verschuift ze over $45$ strepen — de interferometer is een barometer, tenzij hij wordt leeggepompt.

24. Vrijwel hetzelfde fotonentempo ( $2.1\,\mathrm{eV}$ tegen $1.9\,\mathrm{eV}$ ); de strepen hangen van amplitudes en fasen af, en het aantal fotonen alleen van de ruis.

25. Lamp: centimeters, begrensd door doppler- en botsingsverbreding, strepen tot ongeveer $1\,\mathrm{cm}$ ; goedkope pen: $0.85\,\mathrm{mm}$ , begrensd door haar verscheidene modes; gestabiliseerde laser: $300\,\mathrm{m}$ , begrensd door haar lijnbreedte.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 431 begrippen in de begrippenlijst