Universitaire natuurkunde — jaar 2 · Bachelor Year 2

26Warmtestraling

Alles wat warm is, gloeit. Een hand, een muur, een glas water op kamertemperatuur stralen onzichtbaar, bij golflengten nabij $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ , enkele honderden watt per vierkante meter; verhit een pook en bij $600\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ gloeit hij dofrood, bij $1000\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ oranje, bij $2500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ — de gloeidraad van een lamp — wit; het oppervlak van de zon straalt bij $5800\,\mathrm{K}$ geelwit, zestig megawatt per vierkante meter, en dat licht is, na acht minuten reizen, wat de aarde op een temperatuur houdt waar water vloeibaar is. Straling is de derde wijze van warmteoverdracht en de enige die de lege ruimte oversteekt; zij is ook de plaats waar de klassieke natuurkunde faalde en Planck in 1900 het kwantum moest invoeren. Dit hoofdstuk formuleert de wet die hij vond, leidt eruit de twee uitkomsten af die men voortdurend gebruikt — de verschuiving van Wien en de wet van Stefan–Boltzmann — en past ze toe op de uitwisselingen tussen lichamen, op de zon en de aarde, en op het éénlaagsmodel van het broeikaseffect dat ons klimaat bepaalt.

Staal in de smederij: de kleur van de gloed — dofrood, oranje, geel, wit — is een thermometer, omdat het spectrum van warmtestraling alleen van de temperatuur afhangt.

26.1 Warmtestraling en het zwarte lichaam

Definitie 26.1 (Warmtestraling, absorptievermogen, zwart lichaam)

Elk lichaam op temperatuur $T$ zendt elektromagnetische straling uit door de warmtebeweging van zijn ladingen: zijn warmtestraling. Zijn oppervlak ontvangt ook straling uit zijn omgeving en neemt daarvan een deel $\alpha$ op (het absorptievermogen, tussen $0$ en $1$ , in het algemeen afhankelijk van de golflengte), en weerkaatst of laat de rest door. Een zwart lichaam neemt alles op ( $\alpha = 1$ bij elke golflengte). Een klein gaatje in de wand van een gesloten holte is het praktische zwarte lichaam: straling die er binnenkomt wordt aan de wanden opgenomen voordat zij de weg naar buiten kan vinden.

Propositie 26.2 (Evenwichtsstraling en de wet van Kirchhoff)

Binnen een gesloten holte waarvan de wanden op $T$ staan, is de straling in evenwicht met de wanden en universeel: isotroop, ongepolariseerd, met een spectrale energiedichtheid $u_\nu(T)$ (energie per volume-eenheid en per frequentie-eenheid) die alleen van $T$ en $\nu$ afhangt, niet van het materiaal of de vorm van de holte. De straling die uit een klein gaatje in zo’n holte vertrekt, is de zwartlichaamstraling bij $T$ . Een oppervlak dat het deel $\alpha_\nu$ opneemt van de straling die het ontvangt bij de frequentie $\nu$ , zendt bij die frequentie het deel $\varepsilon_\nu = \alpha_\nu$ uit van wat een zwart lichaam bij dezelfde temperatuur zou uitzenden (zijn emissievermogen): goede opnemers zijn goede uitzenders.

Bewijs. Universaliteit: verbind twee holten op dezelfde $T$ door een gat met een filter dat één frequentie doorlaat; als de dichtheden verschilden, zou er energie van de ene naar de andere stromen bij gelijke temperaturen, in strijd met de tweede hoofdwet. Kirchhoff: plaats het oppervlak in de holte op zijn eigen $T$ ; in evenwicht moet het bij elke frequentie precies uitzenden wat het opneemt, $\varepsilon_\nu u_\nu = \alpha_\nu u_\nu$ . ∎

26.2 De wet van Planck

Stelling 26.3 (Wet van Planck)

De spectrale energiedichtheid van zwartlichaamstraling bij de temperatuur $T$ is

u_\nu(T) = \frac{8\pi h\nu^3}{c^3}\,\frac{1}{\eu^{h\nu/k_BT} - 1},

en het vermogen dat een zwart oppervlak per oppervlakte-eenheid en per golflengte-eenheid uitstraalt (zijn spectrale exitantie) is

M_\lambda(T) = \frac{2\pi hc^2}{\lambda^5}\,\frac{1}{\eu^{hc/\lambda k_BT} - 1}.

Twee grensgevallen: voor $h\nu \ll k_BT$ is $u_\nu \approx 8\pi\nu^2 k_BT/c^3$ (Rayleigh–Jeans: elke mode van de holte draagt de klassieke energie $k_BT$ — een wet die tot oneindig integreert, de “ultraviolette catastrofe”); voor $h\nu \gg k_BT$ is $u_\nu \approx (8\pi h\nu^3/c^3) \eu^{-h\nu/k_BT}$ (Wien: de boltzmannfactor van een foton met energie $h\nu$ , Hoofdstuk 29).

Bewijs. Aangenomen: het tellen van de modes van de holte ( $8\pi\nu^2/c^3$ per volume- en frequentie-eenheid, twee polarisaties) hoort bij het volume van jaar 3, en de gemiddelde energie van een mode, $h\nu/(\eu^{h\nu/k_BT} - 1)$ in plaats van de klassieke $k_BT$ , is de kwantumhypothese: energie wordt met de mode in quanta $h\nu$ uitgewisseld, zodat modes met $h\nu \gg k_BT$ bevroren zijn. De betrekking $M_\lambda\,\dd\lambda = (c/4)\,u_\nu\,\dd\nu$ is de meetkundige factor die in Stelling 26.5 wordt berekend. ∎

Het spectrum van Planck bij drie temperaturen: de piek verschuift naar kortere golflengten als 1/T (Wien) en de oppervlakte groeit als T4 (Stefan). Alleen de heetste kromme legt veel van haar vermogen in de zichtbare band. — Het spectrum van Planck bij drie temperaturen: de piek verschuift naar kortere golflengten als $1/T$ (Wien) en de oppervlakte groeit als $T^4$ (Stefan). Alleen de heetste kromme legt veel van haar vermogen in de zichtbare band.

De functie van Planck en haar twee grensgevallen: klassieke equipartitie bij lage frequentie, de exponentiële boltzmannafsnijding bij hoge frequentie; de piek ligt bij x = 2.82 (per frequentie-eenheid). — De functie van Planck en haar twee grensgevallen: klassieke equipartitie bij lage frequentie, de exponentiële boltzmannafsnijding bij hoge frequentie; de piek ligt bij $x = 2.82$ (per frequentie-eenheid).

Propositie 26.4 (Verschuivingswet van Wien)

De spectrale exitantie $M_\lambda$ piekt bij

\lambda_{\max}\,T = \frac{hc}{4.965\,k_B} = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K} .

Een lichaam op $300\,\mathrm{K}$ straalt vooral nabij $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; de zon ( $5800\,\mathrm{K}$ ) nabij $0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ , in het groen, waar het oog het gevoeligst is — niet toevallig.

Bewijs. Met $x = hc/\lambda k_BT$ is $M_\lambda \propto x^5/(\eu^x - 1)$ ; $\dd/\dd x = 0$ geeft $5(\eu^x - 1) = x\eu^x$ , dat wil zeggen $x = 5(1 - \eu^{-x})$ , waarvan de wortel verschillend van nul $x = 4.965$ is. ∎

Stelling 26.5 (Wet van Stefan–Boltzmann)

Een zwart oppervlak op $T$ straalt per oppervlakte-eenheid het totale vermogen

M = \int_0^\infty M_\lambda\,\dd\lambda = \sigma T^4, \qquad \sigma = \frac{2\pi^5k_B^4}{15h^3c^2} = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}^{4} ;

de energiedichtheid van de evenwichtsstraling is $u = (4\sigma/c)T^4$ en haar druk $P = u/3$ . Een grijs oppervlak met emissievermogen $\varepsilon$ straalt $\varepsilon\sigma T^4$ .

Bewijs. Integreer de dichtheid van Planck: $u = \int u_\nu\,\dd\nu = (8\pi h/c^3)(k_BT/h)^4 \int_0^\infty x^3\,\dd x/(\eu^x - 1)$ en de integraal is $\pi^4/15$ (aangenomen uit de analyse): $u = (8\pi^5k_B^4/15h^3c^3)\,T^4$ . Het vermogen dat een gat met eenheidsoppervlak in de holtewand verlaat, is $cu/4$ : de straling is isotroop, de fotonen die naar het gat bewegen binnen de ruimtehoek $\dd\Omega$ onder de hoek $\theta$ met haar normaal dragen de flux $c\,u\,(\dd\Omega/4\pi)\cos\theta$ , en $\int\cos\theta\,\dd\Omega/4\pi$ over het naar buiten gerichte halfrond is $1/4$ . Dus $M = cu/4 = \sigma T^4$ . De druk is, zoals voor elk isotroop gas van deeltjes die met $c$ bewegen, $u/3$ . ∎

Voorbeeld 26.6 (Ordes van grootte)

Bij $300\,\mathrm{K}$ : $\sigma T^4 = 460\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ — een mens van $1.7\,\mathrm{m}^{2}$ straalt $800\,\mathrm{W}$ uit, maar ontvangt bijna evenveel van de wanden op $293\,\mathrm{K}$ ; het nettoverlies, $\sigma A(T^4 - T_0^4) \approx 100\,\mathrm{W}$ , is het volledige stofwisselingsvermogen van het lichaam, en daarom heeft men kleren nodig in een kamer die mild aanvoelt. Het zonneoppervlak: $\sigma (5800)^4 = 6.4 \times 10^{7}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , totaal $3.9 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$ . De gloeidraad van een lamp bij $2800\,\mathrm{K}$ : $3.5 \times 10^{6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , $60\,\mathrm{W}$ uit een halve vierkante centimeter wolfraam. De kosmische achtergrond, $2.7\,\mathrm{K}$ : piek bij $1\,\mathrm{mm}$ , $3 \times 10^{-6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , en $400$ fotonen per kubieke centimeter van het heelal.

26.3 Uitwisselingen door straling

Propositie 26.7 (Netto-uitwisseling en de stralingscoëfficiënt)

Een klein grijs lichaam (emissievermogen $\varepsilon$ , oppervlak $S$ , temperatuur $T$ ) binnen een grote omgeving op $T_0$ verliest het nettovermogen

P = \varepsilon\sigma S\,(T^4 - T_0^4) \ \approx\ 4\varepsilon\sigma T_0^3\,S\,(T - T_0) = h_{\text{r}}S(T - T_0) \quad\text{voor } |T - T_0| \ll T_0 ,

waarin $h_{\text{r}} = 4\varepsilon\sigma T_0^3 \approx 6\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ bij kamertemperatuur — vergelijkbaar met natuurlijke convectie: in een kamer draagt straling ongeveer de helft van de warmte die een lichaam of een radiator verlaat. Tussen twee grote evenwijdige zwarte platen is de netto-fluxdichtheid $\sigma(T_1^4 - T_2^4)$ ; voor grijze platen met emissievermogens $\varepsilon_1$ , $\varepsilon_2$ is zij $\sigma(T_1^4 - T_2^4)/(1/\varepsilon_1 + 1/\varepsilon_2 - 1)$ , en elk dun stralingsscherm dat ertussen wordt gezet deelt haar verder — het beginsel van de thermosfles en van het goudfolie op satellieten.

Bewijs. Het lichaam zendt $\varepsilon\sigma T^4$ uit en neemt het deel $\alpha = \varepsilon$ op van de zwarte straling $\sigma T_0^4$ die de omhulling vult (Kirchhoff). Lineariseer $T^4 - T_0^4 \approx 4T_0^3(T - T_0)$ . Voor de grijze platen telt men de veelvuldige weerkaatsingen op (een meetkundige reeks). ∎

Voorbeeld 26.8 (Vorst onder een heldere hemel, en de warmtebeeldcamera)

In een heldere nacht straalt de hemel als een lichaam op ongeveer $250\,\mathrm{K}$ (de droge hogere dampkring), terwijl de lucht bij de grond op $278\,\mathrm{K}$ staat. Een blad of een autodak ( $\varepsilon = 0.95$ ) brengt zijn stralingsverlies naar de hemel in evenwicht met convectie van de lucht ( $h = 5\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ ): $\varepsilon\sigma(T^4 - 250^4) = h(278 - T)$ geeft $T \approx 266\,\mathrm{K}$ — vorst bij $-7\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ op het gras terwijl de thermometer $+5$ aanwijst. Een wolk (die bij $275\,\mathrm{K}$ straalt) tilt $T$ naar $277\,\mathrm{K}$ : geen vorst. Een warmtebeeldcamera meet de stralingsdichtheid nabij $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ en zet die om in een temperatuur in de veronderstelling $\varepsilon \approx 0.95$ ; een gepolijst metaal ( $\varepsilon = 0.1$ ) weerkaatst vooral de kamer en lijkt op de temperatuur van de kamer te staan, wat de zijne ook is — vandaar de zwarte tape die thermografen op glimmende delen plakken.

26.4 De zon, de aarde en de broeikas

Propositie 26.9 (Zonneconstante en effectieve temperatuur)

De zon (straal $R_\odot$ , oppervlaktetemperatuur $T_\odot$ ) levert op de afstand $d$ de fluxdichtheid $S = \sigma T_\odot^4 (R_\odot/d)^2 = 1361\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ boven de dampkring van de aarde (de zonneconstante). Een planeet met albedo $A$ (het weerkaatste deel) neemt $(1 - A)S\pi R^2$ op en straalt dat in de stationaire toestand van haar hele oppervlak $4\pi R^2$ uit als een zwart lichaam op haar effectieve temperatuur

T_{\text{e}} = \Big(\frac{(1 - A)S}{4\sigma}\Big)^{1/4} = 255\,\mathrm{K} \quad\text{voor de aarde } (A = 0.30) .

Bewijs. Energiebehoud: opgenomen $=$ uitgezonden, de doorsnede $\pi R^2$ voor de onderschepte bundel, de volle bol voor de uitzending (dag en nacht, gespreid door draaiing en circulatie). ∎

De broeikas met één laag: zonlicht doorkruist de dampkring en verwarmt de grond; het infrarood van de grond wordt door de laag opgenomen, die half omhoog en half omlaag straalt — het oppervlak moet dan twee keer uitstralen wat het van de zon ontvangt.

Propositie 26.10 (Broeikasmodel met één laag)

Omgeef de planeet met een dunne laag dampkring die doorzichtig is voor zonlicht maar al het infrarood opneemt dat het oppervlak uitzendt, en die als een zwart lichaam op $T_{\text{a}}$ zowel omhoog als omlaag straalt. In de stationaire toestand geldt

T_{\text{a}} = T_{\text{e}}, \qquad T_{\text{s}} = 2^{1/4}\,T_{\text{e}} = 303\,\mathrm{K} .

Als de laag maar het deel $\varepsilon$ van het infrarood opneemt, is $T_{\text{s}}^4 = T_{\text{e}}^4/(1 - \varepsilon/2)$ ; de waargenomen $288\,\mathrm{K}$ komt overeen met $\varepsilon \approx 0.78$ . Het oppervlak is warmer dan de effectieve temperatuur omdat het, naast de zon, het infrarood ontvangt dat de dampkring terugstuurt — het broeikaseffect, $33\,\mathrm{K}$ op aarde, zonder hetwelk de oceanen bevroren zouden zijn.

Bewijs. Balans van de laag: neemt $\sigma T_{\text{s}}^4$ op, zendt $2\sigma T_{\text{a}}^4$ uit. Balans van de planeet vanuit de ruimte gezien: zendt $\sigma T_{\text{a}}^4 = (1 - A)S/4 = \sigma T_{\text{e}}^4$ uit. Balans van het oppervlak: ontvangt $(1 - A)S/4 + \sigma T_{\text{a}}^4 = 2\sigma T_{\text{e}}^4$ , zendt $\sigma T_{\text{s}}^4$ uit. Vervang voor de gedeeltelijke laag het opgenomen en uitgezonden infrarood door $\varepsilon\sigma T_{\text{s}}^4$ en $\varepsilon\sigma T_{\text{a}}^4$ en laat het deel $1 - \varepsilon$ van de oppervlaktestraling rechtstreeks ontsnappen. ∎

De spectra van de zon en de aarde (elk op zijn eigen piek genormeerd) overlappen nauwelijks: de dampkring kan doorzichtig zijn voor het ene en ondoorzichtig voor het andere. Gearceerd: de belangrijkste infraroodabsorptiebanden van waterdamp en koolstofdioxide; daartussen het venster van 8\,–13\, µ m waardoor het oppervlak rechtstreeks naar de ruimte straalt. — De spectra van de zon en de aarde (elk op zijn eigen piek genormeerd) overlappen nauwelijks: de dampkring kan doorzichtig zijn voor het ene en ondoorzichtig voor het andere. Gearceerd: de belangrijkste infraroodabsorptiebanden van waterdamp en koolstofdioxide; daartussen het venster van $8\,$ – $13\,\text{µ}\mathrm{m}$ waardoor het oppervlak rechtstreeks naar de ruimte straalt.

Opmerking 26.11 (Waarom de broeikas selectief is)

Zonlicht piekt bij $0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ , de straling van de aarde bij $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ : de twee spectra overlappen nauwelijks, zodat een gas doorzichtig kan zijn voor het eerste en absorberend voor het tweede. Stikstof en zuurstof nemen geen van beide op; waterdamp, koolstofdioxide, methaan en ozon hebben trillingsbanden in het infrarood en zijn de broeikasgassen. Het venster tussen $8\,$ en $13\,\text{µ}\mathrm{m}$ is waar de warmtebeeldcamera doorheen kijkt, waar de $250\,\mathrm{K}$ van de nachthemel op slaat, en wat verven voor stralingskoeling benutten. Het glas van een echte kas doet hetzelfde (doorzichtig bij $0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ , ondoorzichtig bij $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ ), maar vooral houdt het convectie tegen — de naam is een beetje onbillijk.

Methode 26.12 (Stralingsschattingen)

(1) $\lambda_{\max} = 2900\,\text{µ}\mathrm{m}\,\mathrm{K}/T$ zegt waar het spectrum ligt; (2) $\varepsilon\sigma T^4$ per oppervlakte-eenheid; (3) uitwisselingen: uitgezonden min opgenomen, gelineariseerd als $h_{\text{r}} = 4\varepsilon\sigma T^3$ nabij kamertemperatuur; (4) een planeet: $(1 - A)S/4 = \sigma T_{\text{e}}^4$ , dan de lagen; (5) vergelijk met geleiding en convectie — straling wint bij hoge temperatuur ( $T^4$ ) en in vacuüm; (6) let op emissievermogens: glimmende metalen $0.05\,$ , verven, huid, water, bodem $\approx 0.9$ – $0.98$ in het infrarood, welke zichtbare kleur zij ook hebben.

26.5 Opgaven

Oefening 26.1 ★

$\lambda_{\max}$ en $\sigma T^4$ voor: de zon ( $5800\,\mathrm{K}$ ), een mens ( $310\,\mathrm{K}$ ), de gloeidraad van een lamp ( $2800\,\mathrm{K}$ ), de kosmische achtergrond ( $2.73\,\mathrm{K}$ ), vloeibare stikstof ( $77\,\mathrm{K}$ ), een roodgloeiende pook ( $900\,\mathrm{K}$ ). Welke zijn zichtbaar?

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.1.

$\lambda_{\max}$ : $0.50\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $9.4\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $1.04\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $1.06\,\mathrm{mm}$ , $38\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $3.2\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; $\sigma T^4$ : $6.4 \times 10^{7}\,$ , $520\,$ , $3.5 \times 10^{6}\,$ , $3.1 \times 10^{-6}\,$ , $2.0\,$ , $3.7 \times 10^{4}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ . Zichtbaar: de zon en de gloeidraad; de pook gloeit dofrood met de kortgolvige staart, een tienduizendste van zijn vermogen.

Oefening 26.2 ★

Uit $T_\odot = 5772\,\mathrm{K}$ , $R_\odot = 6.96 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ , $d = 1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ : de zonneconstante, de lichtkracht van de zon, het vermogen dat de aarde onderschept ( $R = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ ), en hetzelfde verdeeld over $8 \times 10^9$ mensen. Vergelijk met het wereldwijde vermogensverbruik ( $2 \times 10^{13}\,\mathrm{W}$ ).

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.2.

$S = \sigma T_\odot^4(R_\odot/d)^2 = 1360\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; $L = 4\pi d^2S = 3.8 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$ ; $\pi R^2S = 1.7 \times 10^{17}\,\mathrm{W}$ ; $2 \times 10^{7}\,\mathrm{W}$ per persoon — negenduizend keer het wereldverbruik.

Oefening 26.3 ★

Een mens: huid op $306\,\mathrm{K}$ , $\varepsilon = 0.98$ , $1.7\,\mathrm{m}^{2}$ , in een kamer op $293\,\mathrm{K}$ . Uitgezonden vermogen, opgenomen vermogen, nettoverlies; de stralingscoëfficiënt $h_{\text{r}}$ ; vergelijk met de $100\,\mathrm{W}$ van de stofwisseling en besluit over kleren en over een kamer van $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ met koude wanden.

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.3.

Uitgezonden $830\,\mathrm{W}$ , opgenomen $700\,\mathrm{W}$ , netto $130\,\mathrm{W}$ ; $h_{\text{r}} = 4\varepsilon\sigma T_0^3 = 5.6\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ . Meer dan de stofwisseling: kleren snijden het weg; wanden op $15\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ voegen zo’n $50\,\mathrm{W}$ verlies toe — men voelt zich koud in warme lucht tussen koude wanden.

Oefening 26.4 ★

Een lamp van $60\,\mathrm{W}$ : wolfraamdraad op $2800\,\mathrm{K}$ , $\varepsilon = 0.35$ . Stralend oppervlak; lengte van een draad van $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ met dat oppervlak; ongeveer $8\%$ van het vermogen is zichtbaar: lichtvermogen; een led die hetzelfde licht geeft bij $30\%$ rendement.

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.4.

$A = P/\varepsilon\sigma T^4 = 49\,\mathrm{mm}^{2}$ ; $\ell = A/\pi d = 31\,\mathrm{cm}$ ; $4.8\,\mathrm{W}$ licht; een led van $16\,\mathrm{W}$ .

Oefening 26.5 ★★

De twee grensgevallen. (a) Ontwikkel de $u_\nu$ van Planck voor $h\nu \ll k_BT$ en wijs de energie per mode aan. (b) Toon aan dat de wet van Rayleigh–Jeans een oneindige totale energie geeft. (c) Bij $300\,\mathrm{K}$ , de frequentie waar $h\nu = k_BT$ ; besluit dat warmtestraling in radio- en microgolven klassiek is. (d) Duid $\eu^{-h\nu/k_BT}$ in het grensgeval van Wien.

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.5.

(a) $\eu^x - 1 \approx x$ : $u_\nu = (8\pi\nu^2/c^3)\,k_BT$ — $k_BT$ per mode. (b) $\int\nu^2\dd\nu$ divergeert. (c) $\nu = k_BT/h = 6 \times 10^{12}\,\mathrm{Hz}$ ( $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ ): radio- en microgolven bij $300\,\mathrm{K}$ zitten diep in het klassieke regime (de ruis van een weerstand is $k_BT$ per bandbreedte-eenheid). (d) De kans om het kwantum $h\nu$ bij $T$ aangeslagen te vinden: een boltzmannfactor.

Oefening 26.6 ★★

Wien. (a) Leid $x = 5(1 - \eu^{-x})$ af en los het getalsmatig op tot drie cijfers. (b) Waarde van $\lambda_{\max}T$ . (c) Toon aan dat $u_\nu$ piekt bij $h\nu = 2.82\,k_BT$ , en dat dit niet overeenkomt met $c/\lambda_{\max}$ : waarom niet? (d) Temperatuur van een ster waarvan het spectrum bij $290\,\mathrm{nm}$ piekt; haar kleur voor het oog.

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.6.

(a) $x = 4.965$ . (b) $hc/4.965k_B = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K}$ . (c) $x^3/(\eu^x - 1)$ piekt waar $3(1 - \eu^{-x}) = x$ : $2.82$ ; de dichtheden per frequentie-eenheid en per golflengte-eenheid zijn verschillende functies ( $\dd\nu = c\,\dd\lambda/\lambda^2$ ) en piekten op verschillende plaatsen. (d) $10\,000\,\mathrm{K}$ ; blauwachtig wit.

Oefening 26.7 ★★

Stefan. (a) Voer de integratie van de wet van Planck uit, gegeven $\int_0^\infty x^3\dd x/(\eu^x - 1) = \pi^4/15$ , en de waarde van $\sigma$ . (b) Verantwoord de factor $c/4$ tussen de dichtheid en de exitantie. (c) Gegeven $\int_0^\infty x^2\dd x/(\eu^x - 1) = 2.404$ , het aantal fotonen per volume-eenheid bij $T$ , en de gemiddelde fotonenergie in eenheden van $k_BT$ . (d) Fotonen per kubieke centimeter bij $300\,\mathrm{K}$ en bij $2.73\,\mathrm{K}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.7.

(a) $u = (8\pi^5k_B^4/15h^3c^3)T^4$ , $\sigma = cu/4T^4 = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}^{4}$ . (b) Isotropie en de projectie $\cos\theta$ : $\int\cos\theta\,\dd\Omega/4\pi = 1/4$ over een halfrond. (c) $n = 8\pi \times 2.404\,(k_BT/hc)^3 = 60.4\,(k_BT/hc)^3$ ; gemiddelde energie $(\pi^4/15)/2.404 = 2.70\,k_BT$ . (d) $5 \times 10^8$ en $400$ per kubieke centimeter.

Oefening 26.8 ★★

Schermen. Twee grote zwarte platen op $T_1$ , $T_2$ . (a) Nettoflux. (b) Er wordt een dun zwart blad tussen gezet: zijn temperatuur en de nieuwe flux. (c) $n$ bladen. (d) Grijze platen met emissievermogen $\varepsilon$ : toon aan dat de flux $\sigma(T_1^4 - T_2^4)/(2/\varepsilon - 1)$ is en bereken haar voor gepolijste oppervlakken ( $\varepsilon = 0.05$ ) bij $300\,\mathrm{K}$ en $77\,\mathrm{K}$ — de thermosfles.

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.8.

(a) $\sigma(T_1^4 - T_2^4)$ . (b) $T_{\text{s}}^4 = (T_1^4 + T_2^4)/2$ ; de helft. (c) $1/(n + 1)$ . (d) Optelling van de weerkaatsingen geeft $\sigma(T_1^4 - T_2^4)/(2/\varepsilon - 1)$ ; $\varepsilon = 0.05$ : $460\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/39 = 12\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ — een fles van $0.05\,\mathrm{m}^{2}$ verliest $0.6\,\mathrm{W}$ , wat een kwart kilogram stikstof per dag laat verdampen.

Oefening 26.9 ★★

Nachtvorst. Oppervlak $\varepsilon = 0.95$ , hemel op $250\,\mathrm{K}$ , lucht op $278\,\mathrm{K}$ met $h = 5\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ . (a) Schrijf de balans en los haar op voor de oppervlaktetemperatuur. (b) Onder een wolk op $275\,\mathrm{K}$ . (c) Waarom belet wind vorst? (d) Waarom ontsnapt een auto die onder een boom staat eraan?

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.9.

(a) $\varepsilon\sigma(T^4 - 250^4) = h(278 - T)$ : $T \approx 266\,\mathrm{K}$ . (b) $277\,\mathrm{K}$ . (c) Een grotere $h$ pint het oppervlak op de lucht vast. (d) Het bladerdak op $278\,\mathrm{K}$ vervangt de hemel van $250\,\mathrm{K}$ .

Oefening 26.10 ★★★

Planeten. (a) Effectieve temperaturen van Venus ( $S = 2600\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , $A = 0.75$ ), de aarde, Mars ( $S = 590\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , $A = 0.25$ ). (b) Hun oppervlaktetemperaturen zijn $737\,\mathrm{K}$ , $288\,\mathrm{K}$ , $215\,\mathrm{K}$ : broeikasopwarming van elk. (c) Toon in het model met $n$ ondoorzichtige lagen aan dat $T_{\text{s}}^4 = (n + 1)T_{\text{e}}^4$ ; hoeveel lagen voor Venus? (d) De maan: $A = 0.12$ , geen dampkring, trage draaiing — temperatuur van het subsolaire punt, en waarom de nachtzijde tot $100\,\mathrm{K}$ zakt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.10.

(a) $231\,\mathrm{K}$ , $255\,\mathrm{K}$ , $210\,\mathrm{K}$ . (b) $506\,\mathrm{K}$ , $33\,\mathrm{K}$ , $5\,\mathrm{K}$ . (c) Elke ondoorzichtige laag straalt omhoog en omlaag; de balansen geven van bovenaf $T_k^4 = (k + 1)T_{\text{e}}^4$ : $n \approx 100$ voor Venus. (d) $((1 - A)S/\sigma)^{1/4} = 381\,\mathrm{K}$ ; zonder dampkring draagt niets warmte naar de nachtzijde, en het regoliet slaat weinig op: het oppervlak straalt de warmte van zijn dag in ongeveer een dag weg en komt tot rust nabij $100\,\mathrm{K}$ .

Oefening 26.11 ★★★

Klimaatgevoeligheid zonder terugkoppelingen. (a) Lineariseer de planetaire balans: een kleine extra forcering $\Delta F$ (in $\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ) aan de bovenkant van de dampkring verhoogt de effectieve temperatuur met $\Delta T = \Delta F/4\sigma T_{\text{e}}^3$ . Bereken $4\sigma T_{\text{e}}^3$ . (b) Het verdubbelen van de koolstofdioxide is een forcering van ongeveer $3.7\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ : $\Delta T$ in dit model. (c) De gemengde laag van de oceaan ( $50\,\mathrm{m}$ water) slaat de warmte op: tijdconstante van het antwoord. (d) Waarom maken de terugkoppelingen van waterdamp en ijsalbedo de werkelijke gevoeligheid groter dan (b)?

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.11.

(a) $4\sigma T_{\text{e}}^3 = 3.8\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ . (b) $1.0\,\mathrm{K}$ . (c) $C = 2.1 \times 10^{8}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ , $\tau = C/4\sigma T_{\text{e}}^3 \approx 5.6 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ , twee jaar. (d) Warmere lucht houdt meer waterdamp vast (een broeikasgas) en smelt ijs (lager albedo): beide versterken de aanvankelijke opwarming.

Oefening 26.12 ★★★

Pyrometrie. (a) Toon in het grensgeval van Wien aan dat de verhouding van de stralingsdichtheden bij twee golflengten, $\lambda_1$ en $\lambda_2$ , $T$ geeft onafhankelijk van een grijs emissievermogen. (b) Een stalen staaf: $M_{0.65}/M_{0.9} = 0.10$ : temperatuur. (c) Een warmtebeeldcamera bij $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ veronderstelt $\varepsilon = 0.95$ ; zij kijkt naar gepolijst aluminium ( $\varepsilon = 0.1$ ) op $350\,\mathrm{K}$ in een kamer op $293\,\mathrm{K}$ : welke temperatuur meldt zij in het gelineariseerde regime? (d) Waarom leest een geverfd oppervlak naast het aluminium, op dezelfde $350\,\mathrm{K}$ , wel juist af?

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.12.

(a)

\frac{M_1}{M_2} = \Big(\frac{\lambda_2}{\lambda_1}\Big)^5\exp\Big[-\frac{hc}{k_BT}\Big(\frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_2}\Big)\Big] :

$\varepsilon$ valt weg. (b) $T = 14\,388\,\text{µ}\mathrm{m}\,\mathrm{K} \times 0.427/(5\ln 1.385 + \ln 10) = 1570\,\mathrm{K}$ . (c) Ontvangen $\propto 0.1 \times 350 + 0.9 \times 293 = 299$ ; gemeld $(299 - 0.05 \times 293)/0.95 \approx 299\,\mathrm{K}$ : zij mist de $350\,\mathrm{K}$ . (d) Zijn emissievermogen is het veronderstelde.

De twee zwarte lichamen van dit hoofdstuk: de zon, bij 5800\, K, gezien door het Solar Dynamics Observatory in het extreme ultraviolet, en de aarde, bij 288\, K, gefotografeerd door de bemanning van Apollo 17 — pieken bij 0.5\, µ m en bij 10\, µ m (NASA). — De twee zwarte lichamen van dit hoofdstuk: de zon, bij $5800\,\mathrm{K}$ , gezien door het Solar Dynamics Observatory in het extreme ultraviolet, en de aarde, bij $288\,\mathrm{K}$ , gefotografeerd door de bemanning van Apollo 17 — pieken bij $0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ en bij $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ (NASA).

26.6 Vraagstuk: de energiebalans van de aarde en de gloeilamp

Probleem 26.1

Weekendvraagstuk — zwarte lichamen van de zon tot de gloeidraad

Gegevens: $\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}^{4}$ , $\lambda_{\max}T = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K}$ , $h = 6.63 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ , $k_B = 1.38 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ , $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; zon: $R_\odot = 6.96 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ , $d = 1.50 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ ; aarde: $R = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ , albedo $0.30$ .

Deel I — De zon als zwart lichaam.

Het zonnespectrum piekt bij $0.50\,\text{µ}\mathrm{m}$ : oppervlaktetemperatuur.
Exitantie van het oppervlak en totale lichtkracht.
Zonneconstante bij de aarde; energiedichtheid en druk van het zonlicht daar.
Gemiddelde fotonenergie ( $\approx 2.7\,k_BT$ ) en aantal zonnefotonen per seconde en per vierkante meter bij de aarde.
De zon straalt al $4.5 \times 10^9$ jaar met dit tempo: uitgezonden energie; vergelijk met $Mc^2$ voor $M = 2 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ .

Deel II — De aarde zonder dampkring.

Vermogen dat de aarde opneemt; effectieve temperatuur.
Waarom deelt de balans door $4$ ? Wat zou de temperatuur zijn in het subsolaire punt van een niet-draaiende aarde zonder dampkring ( $A = 0.30$ )?
De maan ( $A = 0.12$ ): subsolaire temperatuur; en waarom haar nachtzijde tot $100\,\mathrm{K}$ zakt (denk aan de warmte die tijdens de dag van twee weken in het regoliet wordt opgeslagen, werkzaam $1 \times 10^{6}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ ).
Golflengte van de emissiepiek van de aarde; vergelijk met die van de zon.
Als meer ijs of wolken het albedo tot $0.35$ verhoogden, met hoeveel zou de effectieve temperatuur dalen?

Deel III — De broeikas.

Schrijf de drie balansen (ruimte, laag, oppervlak) van het éénlaagsmodel op en verkrijg $T_{\text{s}} = 2^{1/4}T_{\text{e}}$ .
Met een laag die het deel $\varepsilon$ van het infrarood opneemt: $T_{\text{s}}(\varepsilon)$ ; de waarde van $\varepsilon$ die $288\,\mathrm{K}$ geeft.
Welke gassen nemen op, welke niet, en in welke golflengteband; wat is het atmosferische venster?
Het infrarood dat de dampkring naar de grond terugstuurt, in $\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , in het model met $\varepsilon = 0.78$ ; vergelijk met het opgenomen zonlicht.
Een forcering van $3.7\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ (verdubbelde koolstofdioxide): temperatuurverandering $\Delta T = \Delta F/4\sigma T_{\text{e}}^3$ zonder terugkoppelingen.
Warmtecapaciteit van een gemengde oceaanlaag van $50\,\mathrm{m}$ per vierkante meter en de tijdconstante van het antwoord.
Waarom koelen wolken het oppervlak (albedo) én verwarmen zij het (infrarood); welk effect wint ’s nachts?

Deel IV — De gloeilamp. Een lamp van $60\,\mathrm{W}$ heeft een wolfraamdraad op $2800\,\mathrm{K}$ , $\varepsilon = 0.35$ ; het deel van het vermogen van een zwart lichaam dat in het zichtbare valt ( $0.4$ – $0.7\,\text{µ}\mathrm{m}$ ) is $0.08$ bij $2800\,\mathrm{K}$ en $0.14$ bij $3200\,\mathrm{K}$ .

Stralend oppervlak van de gloeidraad; lengte van een draad van $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ die het heeft; waarom is hij opgerold?
Piekgolflengte; zichtbaar vermogen; lichtrendement.
Weerstand van de gloeidraad in bedrijf bij $230\,\mathrm{V}$ ; de soortelijke weerstand van wolfraam is bij kamertemperatuur ongeveer tien keer kleiner: stroom bij het inschakelen, en een gevolg daarvan.
Bij $3200\,\mathrm{K}$ : het oppervlak dat voor dezelfde $60\,\mathrm{W}$ nodig is en het zichtbare vermogen; waarom niet elke lamp op $3200\,\mathrm{K}$ laten lopen (het verdampingstempo van het wolfraam verdubbelt ruwweg om de $50\,\mathrm{K}$ )?
Wat doet de halogeenkringloop, en waarom laat zij een hetere gloeidraad toe?
Waar gaat de rest van de $60\,\mathrm{W}$ heen, en waarom bereikt het glas van de lamp $150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ?
De afkoeltijd van de gloeidraad na het uitschakelen: schat die uit zijn massa ( $20\,\mathrm{mg}$ , $c = 140\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ ) en zijn uitgestraalde vermogen.
Vat samen: wat de temperatuur van een zwart lichaam vastlegt, en wat de gloeidraad, de zon en de aarde gemeen hebben.

Oplossing

Oplossing van Probleem 26.1.

1. $5800\,\mathrm{K}$ .

2. $6.4 \times 10^{7}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; $3.9 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$ .

3. $L/4\pi d^2 = 1.37 \times 10^{3}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; $u = S/c = 4.6 \times 10^{-6}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ ; $P = S/c = 4.6 \times 10^{-6}\,\mathrm{Pa}$ indien opgenomen, het dubbele indien weerkaatst.

4. $2.7k_BT = 2.2 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$ ( $1.35\,\mathrm{eV}$ ); $6 \times 10^{21}$ fotonen per seconde en per vierkante meter.

5. $3.9 \times 10^{26} \times 1.4 \times 10^{17} = 5.5 \times 10^{43}\,\mathrm{J}$ ; $Mc^2 = 1.8 \times 10^{47}\,\mathrm{J}$ : drie tienduizendsten van haar massa.

6. $1.2 \times 10^{17}\,\mathrm{W}$ ; $T_{\text{e}} = 255\,\mathrm{K}$ .

7. Onderschept op $\pi R^2$ , uitgezonden van $4\pi R^2$ dankzij draaiing en winden; alleen het subsolaire punt: $((1 - A)S/\sigma)^{1/4} = 360\,\mathrm{K}$ .

8. $381\,\mathrm{K}$ ; ’s nachts loopt de opgeslagen warmte ( $\sim C\Delta T$ ) door straling weg met de tijdconstante $C/4\sigma T^3 \approx 1\,\mathrm{dag}$ , kort tegen de veertien dagen duisternis: de grond zakt tot waar zijn straling het straaltje van onderaf evenaart, $100\,\mathrm{K}$ .

9. $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ , twintig keer die van de zon.

10. $(0.65/0.70)^{1/4} = 0.982$ : $4.7\,\mathrm{K}$ lager, $250\,\mathrm{K}$ .

11. Ruimte: $\sigma T_{\text{a}}^4 = \sigma T_{\text{e}}^4$ ; laag: $\sigma T_{\text{s}}^4 = 2\sigma T_{\text{a}}^4$ ; oppervlak: $\sigma T_{\text{s}}^4 = \sigma T_{\text{e}}^4 + \sigma T_{\text{a}}^4$ . Dus $T_{\text{s}} = 2^{1/4}T_{\text{e}} = 303\,\mathrm{K}$ .

12. $T_{\text{s}}^4 = T_{\text{e}}^4/(1 - \varepsilon/2)$ ; $(288/255)^4 = 1.63$ geeft $\varepsilon = 0.77$ .

13. Waterdamp, koolstofdioxide, methaan en ozon nemen op in het infrarood (trillingsbanden: H $_2$ O rond $6\,\text{µ}\mathrm{m}$ en voorbij $17\,\text{µ}\mathrm{m}$ , CO $_2$ bij $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ ); N $_2$ en O $_2$ niet (geen dipool); het venster is $8\,$ – $13\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

14. $T_{\text{a}}^4 = T_{\text{s}}^4/2$ : $\varepsilon\sigma T_{\text{a}}^4 \approx 150\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , tegen $238\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ opgenomen zonlicht (een dampkring met meer lagen stuurt meer terug, zo’n $330\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ).

15. $3.7/3.8 \approx 1\,\mathrm{K}$ .

16. $2.1 \times 10^{8}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ ; $\tau \approx 5.6 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ , twee jaar.

17. Zij weerkaatsen zonlicht en stralen infrarood omlaag; ’s nachts werkt alleen het tweede: bewolkte nachten zijn warmer.

18. $49\,\mathrm{mm}^{2}$ ; $31\,\mathrm{cm}$ ; opgerold om te passen en om de convectieverliezen naar het vulgas te beperken.

19. $1.04\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; $4.8\,\mathrm{W}$ ; $8\%$ .

20. $R = V^2/P = 880\,\Omega$ ; koud $88\,\Omega$ : $2.6\,\mathrm{A}$ in plaats van $0.26\,\mathrm{A}$ — lampen begeven het bij het inschakelen.

21. $49 \times (2800/3200)^4 = 29\,\mathrm{mm}^{2}$ ; $8.4\,\mathrm{W}$ zichtbaar; acht verdubbelingen van de verdamping, $250$ keer kortere levensduur — uren.

22. Verdampt wolfraam bindt zich aan het halogeen en keert terug naar de hete gloeidraad in plaats van het glas te zwarten: een hetere gloeidraad bij normale levensduur, in een klein kwartsomhulsel.

23. $55\,\mathrm{W}$ infrarood en geleiding door het gas; het glas neemt een deel van het infrarood op.

24. $C = 2.8 \times 10^{-3}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ ; met $P \propto T^4$ is de tijd om $T$ te halveren $7CT_0/3P \approx 0.3\,\mathrm{s}$ — en de gloed volgt het net met $0.04\,\mathrm{s}$ achterstand, en daarom flikkert zij nauwelijks.

25. De temperatuur legt de vorm en de piek van het spectrum vast ( $\lambda_{\max}T$ ), en het totaal ( $\sigma T^4$ ); gloeidraad, zon en aarde zijn drie zwarte lichamen, bij $2800\,$ , $5800\,$ en $288\,\mathrm{K}$ , die elk in evenwicht brengen wat zij ontvangen met $\sigma T^4$ .

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Warmtestraling, absorptievermogen, zwart lichaam

Bekijk alle 393 begrippen in de begrippenlijst