Universitaire natuurkunde — jaar 2 · Bachelor Year 2

22Fraunhoferbuiging en ruimtelijke filtering

Knijp de ogen toe naar een straatlantaarn door de spleet tussen twee vingers en de lantaarn rekt zich uit tot een band van strepen; kijk door de fijnste telescoop naar een ster en u ziet geen punt maar een schijfje omringd door flauwe cirkels. Licht dat door een opening gaat, spreidt zich uit — hoe smaller de opening, hoe wijder de spreiding — en geen lens kan het strakker bundelen dan die spreiding toelaat. Dit is buiging, de reden waarom een microscoop geen virus kan zien, waarom het oplossend vermogen van een telescoop met zijn diameter groeit, en waarom een laserbundel niet evenwijdig kan blijven. Dit hoofdstuk berekent het buigingspatroon van een opening in het verre veld, de grens die het aan elk optisch instrument stelt, de manier waarop het met interferentie samengaat, en het denkbeeld — van Abbe — dat het brandvlak van een lens tot een plaats maakt waar een beeld kan worden gefilterd.

22.1 Het beginsel van Huygens–Fresnel en het fraunhoferregime

Definitie 22.1 (Beginsel van Huygens–Fresnel)

Elk punt van een golffront (of van een opening die door een golf wordt belicht) werkt als een tweede bron die een bolvormig golfje uitzendt, in fase met de golf daar; de golf daarachter is de coherente som van de golfjes. Voor een opening $\Sigma$ belicht door een vlakke golf met amplitude $a$ is de amplitude die een ver punt bereikt $\underline s(M) = K\iint_\Sigma\eu^{-\iu\varphi(P, M)}\dd S$ , met $\varphi(P, M)$ de fase van de weg van het openingspunt $P$ naar $M$ ( $K$ een constante). Fraunhoferbuiging (in het verre veld) is het geval waarin $M$ op oneindig ligt — of in het brandvlak van een lens — zodat de stralen van alle punten van de opening naar $M$ evenwijdig zijn, in de richting $\vect u$ , en

\varphi(P, M) = \varphi_0 - \frac{2\pi}\lambda\,\vect{OP}\cdot\vect u , \qquad \underline s(\vect u) \propto \iint_\Sigma\eu^{\iu(2\pi/\lambda)\vect{OP}\cdot\vect u}\dd S .

Het patroon wordt op oneindig waargenomen, of in het brandpunt $F'$ van een lens, waar de richting $\vect u$ met kleine hoeken $(\alpha, \beta)$ op het punt $(f\alpha, f\beta)$ wordt afgebeeld.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Opmerking 22.2 (Wanneer is het ver genoeg?)

Voor een opening van grootte $D$ op afstand $L$ zonder lens bekeken, zijn de stralen evenwijdig genoeg wanneer de kwadratische term van Oefening 18.12 verwaarloosbaar is, $D^2/L \ll \lambda$ — het fresnelgetal $D^2/\lambda L \ll 1$ . Een spleet van $0.1\,\mathrm{mm}$ bij $500\,\mathrm{nm}$ vergt $L \gg 2\,\mathrm{cm}$ ; een opening van $1\,\mathrm{cm}$ , $L \gg 200\,\mathrm{m}$ — vandaar de lens, die het oneindige naar haar brandvlak brengt. Dichterbij (fresnelbuiging) zijn de patronen ingewikkelder; de schaduw van een rechte rand heeft bijvoorbeeld strepen langs haar belichte zijde.

22.2 De enkele spleet en de ronde opening

Propositie 22.3 (Buiging door een spleet)

Een spleet van breedte $b$ (lang langs $y$ ), belicht bij loodrechte inval, zendt in de richting $\theta$ (in het vlak loodrecht op de spleet) de intensiteit

I(\theta) = I_0\,\operatorname{sinc}^2\Bigl(\frac{\pi b\sin\theta}\lambda\Bigr) , \qquad \operatorname{sinc}x = \frac{\sin x}x :

een helder middenmaximum met hoekhalfbreedte $\lambda/b$ (eerste nullen bij $\sin\theta = \pm\lambda/b$ ), dat $90\%$ van het licht bevat, en nevenmaxima bij ongeveer $\sin\theta = \pm1.43\lambda/b$ , $\pm2.46\lambda/b$ , …, met betrekkelijke intensiteiten $4.7\%$ , $1.6\%$ , …— hoe smaller de spleet, hoe wijder het patroon. In het brandvlak van een lens met brandpuntsafstand $f$ is het middenmaximum $2\lambda f/b$ breed.

Bewijs. $\underline s(\theta) \propto \int_{-b/2}^{b/2}\eu^{\iu kx\sin\theta}\dd x = b\,\operatorname{sinc}(kb\sin\theta/2)$ met $k = 2\pi/\lambda$ ; kwadrateer. Nullen waar $b\sin\theta = m\lambda$ , $m \ne 0$ : de golfjes van de twee helften van de spleet doven elkaar dan paarsgewijs uit. ∎

Links: de golfjes van over de spleet, opgeteld in de richting . Rechts: het fraunhoferpatroon van de spleet, sinc2: een middenlob twee keer zo breed als de andere en veel helderder. — Links: de golfjes van over de spleet, opgeteld in de richting $\theta$ . Rechts: het fraunhoferpatroon van de spleet, $\operatorname{sinc}^2$ : een middenlob twee keer zo breed als de andere en veel helderder.

Propositie 22.4 (Ronde opening; de airyschijf)

Een ronde opening met diameter $D$ geeft een heldere middenschijf, de airyschijf, omringd door flauwe ringen; de eerste donkere ring ligt bij

\sin\theta = 1.22\,\frac\lambda D ,

en de schijf bevat $84\%$ van het licht. Elk instrument met een intreepupil van diameter $D$ — oog, camera, telescoop, microscoopobjectief — maakt van een puntbron een airyschijf met die hoekstraal; twee punten zijn opgelost (criterium van Rayleigh) als hun hoekafstand $1.22\lambda/D$ overtreft: het oplossend vermogen van het instrument.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Voorbeeld 22.5 (Oog, telescoop, microscoop)

Het oog ( $D = 3\,\mathrm{mm}$ , $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$ ): $1.22\lambda/D = 2.2 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ , ongeveer $45''$ — een bijzonderheid van $1\,\mathrm{mm}$ op $4\,\mathrm{m}$ , wat inderdaad ongeveer de scherpte van een goed oog is: de evolutie heeft de cellen van het netvlies op de buigingsgrens afgestemd. Een telescoop van $2.4\,\mathrm{m}$ : $0.06''$ , duizend keer beter, als de dampkring het toelaat (vanaf de grond doet zij dat niet: $1''$ “seeing”, vandaar ruimtetelescopen en adaptieve optiek). Een radioschotel van $100\,\mathrm{m}$ bij $\lambda = 21\,\mathrm{cm}$ : $9'$ , slechter dan het oog; interferometers over werelddelen herstellen het oplossend vermogen. Een microscoopobjectief met openingshoek $\alpha$ lost $0.61\lambda/n\sin\alpha$ op — ongeveer $0.2\,\text{µ}\mathrm{m}$ in het zichtbare, welke vergroting ook: de grens die de microscopie naar elektronen en naar röntgenstralen dreef.

Links en midden: de airyschijf van een puntbron, en twee bronnen op de grens van Rayleigh — het midden van de ene op de eerste donkere ring van de andere. Rechts: hun profielen (geschetst met sinc2-vormen), gescheiden door 1.22 /D. — Links en midden: de airyschijf van een puntbron, en twee bronnen op de grens van Rayleigh — het midden van de ene op de eerste donkere ring van de andere. Rechts: hun profielen (geschetst met $\operatorname{sinc}^2$ -vormen), gescheiden door $1.22\lambda/D$ .

22.3 Buiging en interferentie samen

Propositie 22.6 (Spleten van Young met eindige breedte; de omhullende van het tralie)

Twee spleten van breedte $b$ waarvan de middens $a$ uit elkaar liggen geven

I(\theta) = 4I_0\,\operatorname{sinc}^2\Bigl(\frac{\pi b\sin\theta}\lambda\Bigr)\cos^2\Bigl(\frac{\pi a\sin\theta}\lambda\Bigr) :

strepen van Young (afstand $\lambda/a$ in $\sin\theta$ ) onder de omhullende van de enkele spleet (breedte $2\lambda/b$ ); $a/b$ strepen vullen de middenlob, en de strepen bij $a\sin\theta = p\lambda$ die op een nul van de omhullende vallen ( $b\sin\theta = m\lambda$ ) ontbreken. Een tralie van $N$ spleten met breedte $b$ heeft evenzo zijn hoofdmaxima door dezelfde omhullende gemoduleerd — die de blaze van Hoofdstuk 21 naar de gebruikte orde kantelt.

Bewijs. De openingsintegraal splitst zich in een som over de twee spleten van dezelfde integraal, over $\pm a/2$ verschoven: $\underline s \propto b\,\operatorname{sinc}(\pi b\sin\theta/\lambda) \times2\cos(\pi a\sin\theta/\lambda)$ . Voor $N$ spleten is de tweede factor de som van $N$ golven. ∎

Twee spleten met a = 4b: strepen van Young onder de omhullende van de enkele spleet (streepjes); de strepen van de vierde orde vallen op de nullen van de omhullende en ontbreken. — Twee spleten met $a = 4b$ : strepen van Young onder de omhullende van de enkele spleet (streepjes); de strepen van de vierde orde vallen op de nullen van de omhullende en ontbreken.

22.4 Het fouriervlak en ruimtelijke filtering

Propositie 22.7 (De lens als fourieranalysator)

Een dia met doorlaatfunctie $t(x, y)$ in het voorste brandvlak van een lens, belicht door een vlakke golf, brengt in het achterste brandvlak de amplitude voort

\underline s(X, Y) \propto \iint t(x, y)\,\eu^{-\iu2\pi(xX + yY)/\lambda f}\dd x\,\dd y

— haar tweedimensionale fouriergetransformeerde, waarbij elk punt $(X, Y)$ van het fouriervlak het licht opvangt dat onder de hoeken $(X/f, Y/f)$ wordt gebogen, dat wil zeggen de ruimtelijke frequenties $(X/\lambda f, Y/\lambda f)$ van het voorwerp: fijne bijzonderheden (hoge frequenties) ver van de as, grove dichtbij. Een tweede lens vormt het beeld opnieuw uit dat vlak; alles wat daar wordt tegengehouden of veranderd, wordt uit het beeld gefilterd (ruimtelijke filtering, de theorie van Abbe over de microscoop): een speldenprik op de as houdt alleen de lage frequenties over (gladstrijken, het “schoonmaken” van een laserbundel); een schermpje op de as neemt de gelijkmatige achtergrond weg en behoudt de randen (donkerveld, strioscopie); een kwartgolfplaatje op de as maakt van fasevoorwerpen, anders onzichtbaar, intensiteitscontrast (fasecontrast, Zernike).

Justification. In de fraunhoferintegraal is $\vect{OP}\cdot\vect u = x\alpha + y\beta$ met de richting afgebeeld op $(X, Y) = (f\alpha, f\beta)$ ; de doorlaatfunctie weegt elke tweede bron. (De fouriertransformatie zelf wordt bestudeerd in het wiskundevolume van jaar 3; hier is zij alleen de naam van deze integraal.) Voor een periodiek voorwerp met periode $d$ is de getransformeerde het stel tralieorden bij $X = p\lambda f/d$ : het beeld kan de periode alleen tonen als ten minste de orden $\pm1$ door de lens gaan — de voorwaarde van Abbe, die opnieuw de oplossingsgrens van de microscoop is. ∎

De 4f-opstelling: de eerste lens vormt de fouriergetransformeerde van het voorwerp in haar brandvlak (een periodiek voorwerp geeft daar afzonderlijke orden), de tweede vormt het beeld opnieuw; een masker in het fouriervlak filtert het beeld. — De $4f$ -opstelling: de eerste lens vormt de fouriergetransformeerde van het voorwerp in haar brandvlak (een periodiek voorwerp geeft daar afzonderlijke orden), de tweede vormt het beeld opnieuw; een masker in het fouriervlak filtert het beeld.

Voorbeeld 22.8 (Een bundel schoonmaken, het onzichtbare zien)

Een laserbundel draagt stof en rimpelingen mee: bundel hem door een speldenprik van enkele micrometers — de grootte van de middenairyschijf van de zuivere gaussische bundel — en al het overige, dat daarbuiten ligt, wordt tegengehouden; de opnieuw gebundelde straal is glad: een ruimtelijk filter. Een levende cel is doorzichtig; zij verandert alleen de fase van het licht. Het blokkeren van de asvlek maakt haar randen helder op zwart; het plaatje van Zernike verschuift het ongebogen licht over een kwart golf zodat het in intensiteit met het gebogen licht interfereert: het binnenste van de cel verschijnt, en de biologie kreeg haar microscoop (Nobelprijs 1953).

Methode 22.9 (Buigingsschattingen)

(1) Hoekspreiding $\sim\lambda/b$ voor een opening van grootte $b$ ( $1.22\lambda/D$ voor een cirkel); de grootte van het patroon op afstand $L$ of brandpuntsafstand $f$ is $\lambda L/b$ , $\lambda f/b$ . (2) Ga de fraunhofervoorwaarde $b^2/\lambda L \ll 1$ na of gebruik een lens. (3) Combineer: buigingsomhullende $\times$ interferentiestrepen. (4) Oplossing: twee punten vergen $\Delta\theta > 1.22\lambda/D$ ; een periodiek voorwerp vergt dat zijn eerste orden de pupil binnenkomen. (5) Het beeld van het fouriervlak: wat te blokkeren om welke bijzonderheid weg te nemen.

22.5 Opgaven

Oefening 22.1 ★

Een spleet van $0.10\,\mathrm{mm}$ belicht door een He–Ne-laser ( $633\,\mathrm{nm}$ ); scherm op $2.0\,\mathrm{m}$ . Breedte van het middenmaximum; plaats van de eerste twee nevenmaxima; fresnelgetal — staat het scherm ver genoeg? Dezelfde spleet met een lens met $f = 50\,\mathrm{cm}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.1.

$2\lambda L/b = 25\,\mathrm{mm}$ ; nevenmaxima bij $1.43\lambda L/b = 18\,\mathrm{mm}$ en $2.46\lambda L/b = 31\,\mathrm{mm}$ ; fresnelgetal $b^2/\lambda L = 8 \times 10^{-3}$ : ver genoeg. Met de lens, $2\lambda f/b = 6.3\,\mathrm{mm}$ .

Oefening 22.2 ★

Oplossend vermogen (Rayleigh) van: het oog ( $3\,\mathrm{mm}$ , $550\,\mathrm{nm}$ ); een amateurtelescoop van $10\,\mathrm{cm}$ ; de hubblespiegel van $2.4\,\mathrm{m}$ ; een radioschotel van $64\,\mathrm{m}$ bij $6\,\mathrm{cm}$ ; een cameralens van $50\,\mathrm{mm}$ bij $f/8$ (pupil $6\,\mathrm{mm}$ ): grootte van de airyschijf op de sensor, vergeleken met een pixel van $4\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.2.

$1.22\lambda/D$ : oog $2.2 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ ( $46''$ ); $10\,\mathrm{cm}$ : $1.4''$ ; Hubble $0.058''$ ; schotel $1.22 \times 0.06/64 = 1.1 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad} = 3.9'$ ; camera: $1.1 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad} \times 50\,\mathrm{mm} = 5.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ straal, een schijf van $11\,\text{µ}\mathrm{m}$ — drie pixels: buiging begrenst een sensor bij $f/8$ nu al.

Oefening 22.3 ★

Twee spleten van breedte $b = 0.05\,\mathrm{mm}$ , middens $a = 0.25\,\mathrm{mm}$ uit elkaar, $\lambda = 500\,\mathrm{nm}$ , lens $f = 1\,\mathrm{m}$ : streepafstand; breedte van de middenomhullende; aantal strepen daarin; welke orden ontbreken?

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.3.

$\lambda f/a = 2\,\mathrm{mm}$ ; omhullende $2\lambda f/b = 20\,\mathrm{mm}$ ; tien strepen; de orden $p = 5, 10, \dots$ ( $a/b = 5$ ) ontbreken.

Oefening 22.4 ★

Een laserbundel met diameter $2\,\mathrm{mm}$ bij $633\,\mathrm{nm}$ plant zich voort tot de maan ( $3.8 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ ): buigingshoek $\sim1.22\lambda/D$ , diameter van de vlek; met een telescoop van $3.5\,\mathrm{m}$ als zender; waarom zijn de echo’s van de maanafstandsmeting zo flauw (de retroreflector, $1\,\mathrm{m}$ , zendt het licht terug met zijn eigen buiging)?

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.4.

$\theta = 1.22\lambda/D = 3.9 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ : een vlek van $290\,\mathrm{km}$ breed; met $3.5\,\mathrm{m}$ , $170\,\mathrm{m}$ . De eigen buiging van de reflector, $\lambda/1\,\mathrm{m}$ , spreidt de echo over $600\,\mathrm{m}$ : van de $10^{17}$ verzonden fotonen komt een handvol terug.

Oefening 22.5 ★★

De spleet in bijzonderheden. (a) Voer de fraunhoferintegraal voor de spleet uit en verkrijg $\operatorname{sinc}^2$ . (b) Toon aan dat de nevenmaxima bij $\tan x = x$ liggen ( $x = \pi b\sin\theta/\lambda$ ), het eerste nabij $x = 1.43\pi$ , en bereken zijn betrekkelijke intensiteit. (c) Aandeel van de energie in de middenlob (neem aan dat $\int_{-\pi}^\pi\operatorname{sinc}^2 = 0.903\pi$ en $\int_{-\infty}^\infty\operatorname{sinc}^2 = \pi$ ). (d) De spleet wordt onder inval $\theta_0$ belicht: toon aan dat het patroon hetzelfde is, gecentreerd op de richting $\theta_0$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.5.

(a) $\int_{-b/2}^{b/2}\eu^{\iu kx\sin\theta}\dd x = b\,\operatorname{sinc}(kb\sin\theta/2)$ . (b) $\dd(\sin x/x)/\dd x = 0$ geeft $\tan x = x$ ; $x = 4.49 = 1.43\pi$ , $\operatorname{sinc}^2 = 0.047$ . (c) $0.903$ . (d) De fase wordt $kx(\sin\theta - \sin\theta_0)$ : hetzelfde patroon rond $\theta_0$ .

Oefening 22.6 ★★

Microscoop. Een objectief met numerieke apertuur $n\sin\alpha = 1.4$ (olie-immersie) bij $500\,\mathrm{nm}$ : kleinste opgeloste afstand $0.61\lambda/n\sin \alpha$ ; met blauw licht ( $400\,\mathrm{nm}$ ); in het ultraviolet ( $250\,\mathrm{nm}$ ); waarom helpt een oculair van $1000\times$ niet (de eigen grens van het oog op $25\,\mathrm{cm}$ is $0.1\,\mathrm{mm}$ )? Wat veranderen elektronenmicroscopen ( $\lambda = 4\,\mathrm{pm}$ bij $100\,\mathrm{keV}$ )?

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.6.

$0.61\lambda/\mathrm{NA}$ : $220\,\mathrm{nm}$ ; $170\,\mathrm{nm}$ ; $110\,\mathrm{nm}$ . Voorbij zowat $500\times$ vergroot het oculair alleen de vervaging (lege vergroting). Elektronen bij $4\,\mathrm{pm}$ met $\mathrm{NA} \approx 0.01$ : $0.2\,\mathrm{nm}$ — atomen.

Oefening 22.7 ★★

Rechthoekig en rond. (a) Een rechthoekige opening $b \times h$ : toon aan dat het patroon $\operatorname{sinc}^2(\pi b\sin\theta_x/\lambda)\operatorname{sinc}^2(\pi h \sin\theta_y/\lambda)$ is: een kruis, wijder langs de smalste zijde. (b) Een vierkant van $0.2\,\mathrm{mm}$ met $f = 1\,\mathrm{m}$ : grootte van het middenvierkant. (c) Voor een cirkel van dezelfde breedte ligt de eerste nul bij $1.22\lambda/D$ in plaats van $\lambda/b$ : waarom verder naar buiten (denk aan het licht dat zich nabij het midden van een schijf verzamelt)? (d) De secundaire spiegel van een telescoop wordt door vier spaken gehouden: wat voegen zij toe aan het beeld van een heldere ster?

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.7.

(a) De integraal valt uiteen in $x$ en $y$ . (b) $2\lambda f/b = 5\,\mathrm{mm}$ . (c) De koorden van een schijf zijn buiten het midden korter dan haar diameter: haar werkzame breedte is kleiner, haar patroon wijder. (d) Vier buigingspieken in een kruis.

Oefening 22.8 ★★

Abbe. Een tralie met periode $d = 2\,\text{µ}\mathrm{m}$ wordt bekeken met een microscoopobjectief met openingshoek $\alpha$ in lucht, $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$ . (a) Hoeken van zijn orden $\pm1$ , $\pm2$ . (b) Kleinste $\sin\alpha$ opdat het beeld de periode toont (de orden $\pm1$ moeten binnenkomen). (c) Met $\sin\alpha = 0.4$ : wat toont het beeld — is het een getrouw tralie? (d) Schuine belichting laat de orde nul en één eerste orde door: kleinste $\sin\alpha$ dan, en de winst.

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.8.

(a) $\sin\theta = \pm0.275$ ( $16{}^{\circ}$ ), $\pm0.55$ ( $33{}^{\circ}$ ). (b) $\sin\alpha \ge 0.275$ . (c) Alleen de orden $0$ , $\pm1$ : een sinusvormig beeld met de juiste periode, niet de scherpe balken. (d) $\sin\alpha \ge \lambda/2d = 0.14$ : het dubbele oplossend vermogen.

Oefening 22.9 ★★

Ruimtelijk filter. Een laserbundel van $2\,\mathrm{mm}$ ( $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$ ) wordt door een lens met $f = 20\,\mathrm{mm}$ door een speldenprik gebundeld. (a) Diameter van de middenairyschijf in het brandpunt; gekozen diameter van de speldenprik om haar door te laten (neem $1.5\times$ ). (b) Een stofje van $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ op de bundel buigt licht onder welke hoek, en waar landt dat licht in het brandvlak — door de speldenprik of niet? (c) Verloren vermogen als de bundel gaussisch is en de speldenprik er $99\%$ van doorlaat; waarom is de uittredende bundel glad? (d) Waarom moet de speldenprik tot op enkele micrometers gecentreerd zijn?

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.9.

(a) $2.44\lambda f/D = 15\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; speldenprik $23\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (b) $\lambda/50\,\text{µ}\mathrm{m} = 1.3 \times 10^{-2}\,\mathrm{rad}$ : $0.25\,\mathrm{mm}$ buiten de as, tegengehouden. (c) $1\%$ ; de speldenprik behoudt alleen de lage ruimtelijke frequenties. (d) Enkele micrometers uit het midden en de speldenprik snijdt de vlek zelf aan.

Oefening 22.10 ★★★

Babinet. Twee aanvullende schermen (een spleet, en een ondoorzichtig strookje van dezelfde breedte) worden door een vlakke golf belicht. (a) Toon aan dat hun fraunhoferpatronen, weg van de richting van de invallende bundel, gelijk zijn (de som van de twee amplituden is die van de onbelemmerde golf, nul buiten de as). (b) Het patroon van een haar met diameter $80\,\text{µ}\mathrm{m}$ op $2\,\mathrm{m}$ met een laser: streepafstand, en de diameter van de haar daaruit — een standaardmeting. (c) Wat wordt er op de as zelf gezien? (d) Waarom brengen kleine druppeltjes in een dunne wolk een krans van gekleurde ringen rond de maan voort, en wat geeft de straal van de ring?

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.10.

(a) De amplituden tellen op tot de onbelemmerde golf, die buiten de as nul is: $|\underline s_{\text{spleet}}| = |\underline s_{\text{strook}}|$ daar. (b) Strepen op $\lambda L/b = 16\,\mathrm{mm}$ afstand; meet de afstand, verkrijg $b$ . (c) De schaduw van het strookje ligt in de heldere ongebogen bundel. (d) Druppeltjes met diameter $d$ buigen als gaten: ringen bij $1.22\lambda/d$ , rood aan de buitenkant; de straal geeft $d$ .

Oefening 22.11 ★★★

Donkerveld en fasecontrast. Een doorzichtig voorwerp heeft $t(x) = \eu^{\iu\varphi(x)} \approx 1 + \iu\varphi(x)$ met $|\varphi| \ll 1$ . (a) Intensiteit van zijn gewone beeld: toon aan dat zij tot eerste orde gelijkmatig is — onzichtbaar. (b) In het fouriervlak is de “1” de asvlek en $\iu\varphi$ het gebogen licht eromheen: als een schermpje de asvlek blokkeert, is de beeldintensiteit $\propto\varphi^2$ — donkerveld; haar zwakte. (c) Als de asvlek in plaats daarvan over $\pi/2$ wordt vertraagd (vermenigvuldigd met $\iu$ ): beeld $\propto|1 + \varphi|^2 \approx 1 + 2\varphi$ — fasecontrast, lineair in $\varphi$ . (d) Waarom is het plaatje van Zernike vaak ook absorberend (het verzwakt de asvlek)?

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.11.

(a) $|1 + \iu\varphi|^2 = 1 + \varphi^2$ : tot eerste orde gelijkmatig. (b) Zonder het aslicht, $|\iu\varphi|^2 = \varphi^2$ : tweede orde, flauw. (c) $|\iu + \iu\varphi|^2 = 1 + 2\varphi + \dots$ : lineair. (d) De asvlek overstraalt het gebogen licht; haar verzwakking maakt de twee amplituden gelijk en verhoogt het contrast.

Oefening 22.12 ★★★

Oplossing van het spleetbeeld van een spectrograaf en het tralie. Een tralie van breedte $W$ is de opening van de spectrograaf: toon aan dat het buigingspatroon van die opening, $\operatorname{sinc}^2(\pi W\sin\theta/\lambda)$ (voor de bundel die bij $\theta \approx 0$ vertrekt), de hoekhalfbreedte $\lambda/W$ heeft, en dat dit, via de dispersie $p/a\cos \theta$ in golflengte omgezet, $\Delta\lambda = \lambda/pN$ is — het oplossend vermogen van Hoofdstuk 21, gezien als buiging. (b) Een telescoop met diameter $D$ en een tralie van breedte $W$ : het tralie moet breder zijn dan $D\,f_{\text{bots}}/f_{\text{tel}}$ : waarom? (c) Verklaar in één zin waarom elk “oplossend vermogen” in de optiek $\sim$ (grootte van de opening)/ $\lambda$ is. (d) Wat voegt de spleet toe, en wanneer overheerst zij?

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.12.

(a) Halfbreedte $\lambda/W$ ; gedeeld door $p/a\cos\theta$ : $\Delta\lambda = \lambda a\cos\theta/pW \approx \lambda/pN$ . (b) De gebundelde straal heeft de diameter $Df_{\text{bots}}/f_{\text{tel}}$ ; een kleiner tralie zou licht en oplossend vermogen verspillen. (c) Een oplossing is altijd de hoek waarover de fase over de opening één golflengte verandert, $\lambda/(\text{grootte})$ . (d) Haar beeldbreedte, die overheerst zodra zij breder is dan de buigingsbreedte van het tralie — het gewone geval.

Een laserbundel door een smalle spleet: op het verre scherm de brede heldere middenband en de flauwere, smallere nevenmaxima van het fraunhoferpatroon.

22.6 Vraagstuk: wat kan worden opgelost

Probleem 22.1

Weekendvraagstuk — de buigingsgrens op vier schalen: het oog, een telescoop, een microscoop, en de laserbundel die moet worden schoongemaakt voordat hij wordt gebruikt

Deel I — Het oog. Pupil $D = 3\,\mathrm{mm}$ overdag, $7\,\mathrm{mm}$ ’s nachts; $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$ ; de kegeltjes van het netvlies liggen in de fovea $2\,\text{µ}\mathrm{m}$ uit elkaar, de brandpuntsafstand van het oog is $17\,\mathrm{mm}$ .

Hoekstraal van de airyschijf overdag; haar lineaire straal op het netvlies; vergelijk met de afstand tussen de kegeltjes — is het netvlies op de optiek afgestemd?
Kleinste scheiding van twee punten die op $25\,\mathrm{cm}$ wordt opgelost; op $10\,\mathrm{m}$ ; kunt u een tekst van $1\,\mathrm{mm}$ op armlengte lezen?
’s Nachts opent de pupil zich tot $7\,\mathrm{mm}$ : buigingsgrens dan; waarom wordt het zien toch slechter (afwijkingen van de lens bij volle opening, staafjes grover dan kegeltjes)?
Twee autokoplampen op $1.5\,\mathrm{m}$ afstand: afstand waarop zij tot één licht versmelten.
Een gaatje van $1\,\mathrm{mm}$ voor het oog gehouden: wat doet de buiging, en waarom helpt een speldenprik een bijziend oog toch (scherptediepte)?

Deel II — De telescoop. Een telescoop van $1\,\mathrm{m}$ , $f = 10\,\mathrm{m}$ , met een camera met pixels van $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$ .

Buigingsgrens in boogseconden; airystraal op de detector; pixels per airyschijf.
De dampkring vervaagt beelden tot $1''$ : hoeveel van het oplossend vermogen van de telescoop gaat verloren? Diameter van de telescoop waarvoor de buigingsgrens gelijk is aan de seeing.
Adaptieve optiek verbetert de dampkring bij $2.2\,\text{µ}\mathrm{m}$ : buigingsgrens daar; waarom is het in het infrarood gemakkelijker?
Een dubbelster met componenten op $0.15''$ afstand: opgelost met adaptieve optiek bij $2.2\,\text{µ}\mathrm{m}$ ? Bij $550\,\mathrm{nm}$ vanuit de ruimte?
De maan is $3.8 \times 10^{5}\,\mathrm{km}$ ver: kleinste krater die deze telescoop zou kunnen oplossen (alleen buiging); en de voetafdruk van een maanlander ( $4\,\mathrm{m}$ )?
Lichtopbrengst van de telescoop ten opzichte van het nachtoog ( $7\,\mathrm{mm}$ ); wat levert dat op, en wat niet?
Het licht van een ster door de vier spaken die de secundaire spiegel houden: beschrijf het beeld.

Deel III — De microscoop. Objectief met numerieke apertuur $\mathrm{NA} = n\sin\alpha = 0.9$ (droog) of $1.4$ (olie), $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$ ; de opgeloste afstand is $0.61\lambda/\mathrm{NA}$ .

Opgeloste afstand met elk objectief; aantal lijnparen per millimeter.
Een bacterie van $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ met inwendige structuur op $0.2\,\text{µ}\mathrm{m}$ : wat wordt met elk gezien? Een virus van $0.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ ?
Abbe: een periodieke structuur met periode $d$ wordt alleen afgebeeld als haar eerste orden bij $\sin\theta = \lambda/d$ het objectief binnenkomen: kleinste $d$ voor $\mathrm{NA} = 1.4$ ; vergelijk met $0.61\lambda/\mathrm{NA}$ .
Waarom verbetert olie tussen het preparaat en het objectief het oplossend vermogen?
Ultraviolet bij $250\,\mathrm{nm}$ en een elektronenmicroscoop bij $4\,\mathrm{pm}$ : opgeloste afstanden in dezelfde formule (voor elektronen is de praktische NA $0.01\,$ ): vergelijk.
Een cel is doorzichtig: in helderveld is haar beeld leeg. Verklaar in twee zinnen wat het fasecontrastplaatje in het fouriervlak van het objectief doet.

Deel IV — De bundel. Een laser bij $532\,\mathrm{nm}$ , bundeldiameter $1.5\,\mathrm{mm}$ , moet tot $30\,\mathrm{mm}$ worden verbreed en schoongemaakt.

Buigingshalfhoek van de ruwe bundel ( $\sim1.22\lambda/D$ ); zijn diameter na $100\,\mathrm{m}$ zonder optiek.
Een lens met $f_1 = 10\,\mathrm{mm}$ bundelt hem: diameter van de brandvlek; gekozen diameter van de speldenprik ( $1.5\times$ de vlek).
Een tweede lens met $f_2$ maakt bij $30\,\mathrm{mm}$ weer evenwijdig: $f_2$ ; nieuwe buigingshoek; diameter na $1\,\mathrm{km}$ .
Stof van $100\,\text{µ}\mathrm{m}$ op de eerste lens buigt onder welke hoek; waar valt dat licht in het vlak van de speldenprik, en wat gebeurt ermee?
De speldenprik laat $99\%$ van een gaussische bundel door: verloren vermogen, en waar het heen gaat.
Waarom moet de verbrede bundel groter zijn om evenwijdig te blijven (breng $\lambda/D$ in verband met de afstand waarover de bundel verdubbelt, $\sim D^2/\lambda$ )?
Vat de vier grenzen van dit vraagstuk samen in één tabel: opening, golflengte, $\lambda/D$ , wat zij begrenst.

Oplossing

Oplossing van Probleem 22.1.

1. $1.22\lambda/D = 2.2 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ ; $\times17\,\mathrm{mm} = 3.8\,\text{µ}\mathrm{m}$ : twee kegelafstanden — het netvlies bemonstert op de grens van de optiek.

2. $56\,\text{µ}\mathrm{m}$ op $25\,\mathrm{cm}$ , $2.2\,\mathrm{mm}$ op $10\,\mathrm{m}$ ; $1\,\mathrm{mm}$ op $50\,\mathrm{cm}$ is tien keer de grens: moeiteloos.

3. $9.6 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}$ ; de afwijkingen van de lens bij volle opening en de grovere, samengevoegde staafjes doen de winst teniet.

4. $1.5/2.2 \times 10^{-4} = 7\,\mathrm{km}$ .

5. De buiging verslechtert tot $6.7 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ , maar de vervagingscirkel van een onscherp oog krimpt met de opening: de scherptediepte wint.

6. $6.7 \times 10^{-7}\,\mathrm{rad}$ ( $0.14''$ ); $\times10\,\mathrm{m} = 6.7\,\text{µ}\mathrm{m}$ straal: een schijf van $1.3$ pixels.

7. $1''$ $= 4.9 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}$ , zeven keer de grens; $D = 1.22\lambda/4.9 \times 10^{-6} = 14\,\mathrm{cm}$ haalt de seeing al.

8. $2.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}$ ( $0.55''$ ); de fasefouten van de dampkring zijn een kleiner deel van een langere golflengte: minder, tragere verbeteringen.

9. $0.15 < 0.55$ : nee; bij $550\,\mathrm{nm}$ vanuit de ruimte, $0.14''$ : net.

10. $6.7 \times 10^{-7} \times 3.8 \times 10^8 = 250\,\mathrm{m}$ ; de lander, nee.

11. Een kruis van vier buigingspieken.

12. $(1000/7)^2 = 2 \times 10^4$ : flauwere voorwerpen, geen scherpere.

13. $370\,\mathrm{nm}$ en $240\,\mathrm{nm}$ : $2700$ en $4200$ lijnparen per millimeter.

14. De bacterie, ja; haar structuur van $0.2\,\text{µ}\mathrm{m}$ op de grens met olie, droog niet; het virus, nee.

15. $d \ge \lambda/\mathrm{NA} = 390\,\mathrm{nm}$ bij loodrechte belichting, $200\,\mathrm{nm}$ met schuin licht — de $0.61\lambda/\mathrm{NA}$ van twee punten ligt ertussen.

16. De index van de olie verhoogt $n\sin\alpha$ en onderdrukt de totale weerkaatsing die de steile stralen in het dekglaasje zou vangen.

17. $110\,\mathrm{nm}$ ; elektronen: $0.61 \times 4\,\text{pm}/0.01 = 0.24\,\mathrm{nm}$ .

18. Het plaatje vertraagt het ongebogen licht over een kwart golf zodat het interfereert met het licht dat door de fasestructuur van de cel is gebogen; het fasepatroon wordt een intensiteitspatroon.

19. $4.3 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ ; $1.5 + 2 \times 43 = 88\,\mathrm{mm}$ .

20. $2.44\lambda f_1/D = 8.7\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; speldenprik $13\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

21. $f_2 = 20f_1 = 200\,\mathrm{mm}$ ; $2.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}$ ; $30 + 44 = 74\,\mathrm{mm}$ na een kilometer.

22. $\lambda/100\,\text{µ}\mathrm{m} = 5.3 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$ : $53\,\text{µ}\mathrm{m}$ buiten de as bij de speldenprik — tegengehouden.

23. $1\%$ , opgenomen door de plaat met de speldenprik.

24. Een bundel met diameter $D$ verdubbelt over $\sim D^2/\lambda$ : $4\,\mathrm{m}$ voor $1.5\,\mathrm{mm}$ , $1.7\,\mathrm{km}$ voor $30\,\mathrm{mm}$ .

25. Oog $3\,\mathrm{mm}$ , telescoop $1\,\mathrm{m}$ , objectief (NA $1.4$ ), bundel $30\,\mathrm{mm}$ : in elk stelt $\lambda/D$ de kleinste hoek, de fijnste bijzonderheid, de traagste spreiding.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Beginsel van Huygens–Fresnel

Bekijk alle 393 begrippen in de begrippenlijst