Universitaire natuurkunde — jaar 2 · Bachelor Year 2

13Vlakke elektromagnetische golven en polarisatie

Kantel uw hoofd met een polariserende zonnebril op en de schittering op het natte wegdek komt en gaat; draai de bril voor een telefoonscherm en het scherm wordt zwart. Het licht dat uw oog bereikt, is niet alleen een golf met een frequentie en een intensiteit: het heeft ook een trillingsrichting, en elke polarisator, elk scherm, elke 3D-bioscoopbril en elke glasvezelconnector speelt daarmee. Dit hoofdstuk lost de vergelijkingen van Maxwell op in de lege ruimte — de vlakke golf, met haar transversale elektrische en magnetische veld loodrecht op elkaar vastgezet — overziet het spectrum dat die golven bestrijken, en bestudeert de polarisatie: hoe men haar beschrijft, hoe men haar met een polarisator selecteert (de wet van Malus), en hoe men haar met een dubbelbrekend plaatje omvormt.

13.1 Vlakke golven in vacuüm

Stelling 13.1 (Golfvergelijking; vlakke lopende harmonische golven)

In vacuüm, vrij van ladingen en stromen, geven de vergelijkingen van Maxwell

\Delta\vect E = \frac1{c^2}\frac{\partial^2\vect E}{\partial t^2} , \qquad \Delta\vect B = \frac1{c^2}\frac{\partial^2\vect B}{\partial t^2} , \qquad c = \frac1{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}} = 2.998 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} .

De vlakke lopende harmonische golf (VLH-golf) $\underline{\vect E} = \underline{\vect E}_0\,\eu^{\iu(\omega t - \vect k\cdot\vect r)}$ is een oplossing op voorwaarde dat $\omega = ck$ (geen dispersie), en de vergelijkingen van Maxwell eisen dan

\vect k\cdot\vect E = 0 , \qquad \vect B = \frac{\vect k\wedge\vect E}\omega = \frac{\vect u\wedge\vect E}c ,

waarin $\vect u = \vect k/k$ de voortplantingsrichting is: de golf is transversaal, $(\vect E, \vect B, \vect u)$ is een rechtsdraaiend orthogonaal drietal, $\vect E$ en $\vect B$ zijn in fase en $B = E/c$ . Haar intensiteit is $I = \varepsilon_0cE_0^2/2$ en zij draagt de impulsflux $I/c$ (Hoofdstuk 12).

Bewijs. De golfvergelijking werd in Oefening 11.11 afgeleid. Voor $\eu^{\iu(\omega t - \vect k\cdot\vect r)}$ gaat $\partial_t \to \iu\omega$ en $\vect\nabla \to -\iu\vect k$ : $\Delta \to -k^2$ , dus $k^2 = \omega^2/c^2$ ; Maxwell–Gauss geeft $-\iu \vect k\cdot\underline{\vect E} = 0$ , Maxwell–flux geeft $\vect k\cdot\underline{\vect B} = 0$ , Maxwell–Faraday geeft $-\iu\vect k\wedge\underline{\vect E} = -\iu\omega\underline{\vect B}$ , waaruit $\underline{\vect B} = \vect k\wedge\underline{\vect E}/\omega$ volgt, met modulus $kE/\omega = E/c$ en loodrecht op beide; Maxwell–Ampère is dan vanzelf voldaan. ∎

Een vlakke lopende harmonische golf op één ogenblik: E en B staan loodrecht op elkaar en op de looprichting, zijn in fase, en B = E/c; het hele patroon schuift langs u op met c. — Een vlakke lopende harmonische golf op één ogenblik: $\vect E$ en $\vect B$ staan loodrecht op elkaar en op de looprichting, zijn in fase, en $B = E/c$ ; het hele patroon schuift langs $\vect u$ op met $c$ .

Opmerking 13.2 (Het spectrum)

Eén vergelijking, één snelheid, en twintig ordes van grootte aan frequentie. Radiogolven: $30\,\mathrm{kHz}$ – $300\,\mathrm{MHz}$ ( $\lambda$ van $10\,\mathrm{km}$ tot $1\,\mathrm{m}$ ), antennes en schakelingen (Hoofdstuk 17). Microgolven: $300\,\mathrm{MHz}$ – $300\,\mathrm{GHz}$ , radar, ovens, mobiele telefoons, de kosmische achtergrond. Infrarood: tot $400\,\mathrm{THz}$ ( $750\,\mathrm{nm}$ ), de warmtestraling van alles om ons heen (Hoofdstuk 26). Zichtbaar: $400\,\mathrm{THz}$ – $750\,\mathrm{THz}$ , van $750\,\mathrm{nm}$ (rood) tot $400\,\mathrm{nm}$ (violet) — één octaaf, met fotonen van $1.6$ tot $3.1\,\mathrm{eV}$ . Ultraviolet tot $10\,\mathrm{nm}$ ; röntgenstraling tot $10\,\mathrm{pm}$ ( $100\,\mathrm{keV}$ ), uit de binnenste elektronenschillen en uit afgeremde elektronen; gammastraling daarvoorbij, uit atoomkernen. Alleen de bronnen en de detectoren verschillen: de golf is dezelfde.

Het elektromagnetische spectrum op een logaritmische frequentieschaal; de zichtbare band is een splinter — één octaaf op twintig decaden.

13.2 Polarisatie

Definitie 13.3 (Polarisatietoestanden)

Voor een VLH-golf langs $z$ is het veld in een vlak $z =$ const

\vect E = E_{0x}\cos(\omega t - kz)\,\vect e_x + E_{0y}\cos(\omega t - kz - \varphi)\,\vect e_y ,

en beschrijft de punt van $\vect E$ in het algemeen een ellips: elliptische polarisatie. Twee bijzondere gevallen: $\varphi = 0$ of $\pi$ , lineaire polarisatie langs een vaste richting onder de hoek $\arctan(\pm E_{0y}/E_{0x})$ met $x$ ; en $E_{0x} = E_{0y}$ met $\varphi = \pm\pi/2$ , circulaire polarisatie, waarbij $\vect E$ met constante modulus met $\omega$ ronddraait (rechts of links naargelang haar draaizin, gezien tegen de aankomende golf in). Natuurlijk (ongepolariseerd) licht, van een lamp of van de zon, is een opeenvolging van korte golftreinen met willekeurige, snel wisselende polarisaties: gemiddeld is geen enkele richting bevoorrecht. Elke polarisatie ontbindt in twee lineaire (of twee circulaire) componenten.

Bewijs. Met $X = E_x/E_{0x}$ en $Y = E_y/E_{0y}$ : $X = \cos\theta$ , $Y = \cos(\theta - \varphi)$ , zodat $X^2 + Y^2 - 2XY\cos\varphi = \sin^2\varphi$ , een ellips, die ontaardt in de lijnen $Y = \pm X$ voor $\varphi = 0, \pi$ en in een cirkel voor $E_{0x} = E_{0y}$ , $\varphi = \pm\pi/2$ . ∎

Propositie 13.4 (Polarisatoren en de wet van Malus)

Een polarisator laat de component van $\vect E$ langs zijn doorlaatas $\vect p$ door en absorbeert de andere (een folie met uitgelijnde lange moleculen, die in de lengterichting geleiden — de doorgelaten polarisatie staat loodrecht op de moleculen). Lineair gepolariseerd licht met intensiteit $I_0$ waarvan de richting de hoek $\theta$ met $\vect p$ maakt, komt er lineair gepolariseerd langs $\vect p$ uit, met

I = I_0\cos^2\theta \qquad\text{(Malus)} ;

natuurlijk licht komt er met $I_0/2$ uit, gepolariseerd langs $\vect p$ . Twee gekruiste polarisatoren laten niets door; een derde ertussen onder $45{}^{\circ}$ laat $I_0/8$ door.

Bewijs. De doorgelaten amplitude is $E_0\cos\theta$ en $I \propto E_0^2$ . Natuurlijk licht: het gemiddelde van $\cos^2\theta$ over alle $\theta$ , ofwel $\tfrac12$ . Drie polarisatoren: $\tfrac12\cdot\cos^2 45^\circ\cdot\cos^2 45^\circ = \tfrac18$ — de middelste polarisator verzwakt niet alleen, hij draait de polarisatie. ∎

Links: natuurlijk licht door drie polarisatoren onder 0, 45 en 90 — de middelste laat een achtste door een paar dat alleen alles zou tegenhouden. Rechts: de wet van Malus. — Links: natuurlijk licht door drie polarisatoren onder $0^\circ$ , $45^\circ$ en $90^\circ$ — de middelste laat een achtste door een paar dat alleen alles zou tegenhouden. Rechts: de wet van Malus.

Voorbeeld 13.5 (Zonnebrillen, schermen, foto’s)

Licht dat onder een scherende hoek van water of asfalt wordt teruggekaatst, is grotendeels horizontaal gepolariseerd (de hoek van Brewster, Hoofdstuk 15): een zonnebril met een verticale doorlaatas snijdt de schittering weg en houdt de rest. Een lcd-scherm zendt gepolariseerd licht uit: door een polarisator onder $90{}^{\circ}$ wordt het zwart. Het polarisatiefilter van een fotograaf maakt de lucht donkerder (verstrooid licht is gedeeltelijk gepolariseerd, Hoofdstuk 17) en verwijdert spiegelingen in glas.

13.3 Dubbelbreking en golfplaatjes

Propositie 13.6 (Golfplaatjes)

In een dubbelbrekend kristal (calciet, kwarts, mica; en ook een uitgerekt plasticvel) splitst een golf die zich in een gegeven richting voortplant in twee lineaire polarisaties, langs de snelle en de trage as van het plaatje, die zich met verschillende brekingsindices $n_f < n_s$ voortplanten (aangenomen — het kristal reageert langs zijn assen verschillend). Een plaatje met dikte $e$ vertraagt de trage component over de fase

\delta = \frac{2\pi}\lambda(n_s - n_f)\,e .

Een halvegolfplaatje ( $\delta = \pi$ ) maakt van een lineaire polarisatie onder de hoek $\alpha$ met de snelle as een lineaire polarisatie onder $-\alpha$ : het draait haar over $2\alpha$ . Een kwartgolfplaatje ( $\delta = \pi/2$ ) maakt van een lineaire polarisatie onder $45{}^{\circ}$ met zijn assen circulair licht, en van circulair licht weer lineair; onder andere hoeken maakt het elliptisch licht met de assen langs die van het plaatje.

Bewijs. Schrijf het invallende veld als $E_0(\cos\alpha\,\vect e_f + \sin\alpha\,\vect e_s)\cos\omega t$ ; erna is dat $E_0[\cos\alpha\cos\omega t\,\vect e_f + \sin\alpha\cos(\omega t - \delta) \vect e_s]$ . Voor $\delta = \pi$ wisselt de component langs $\vect e_s$ van teken: richting $(\cos\alpha, -\sin\alpha)$ . Voor $\delta = \pi/2$ en $\alpha = 45^\circ$ : $(E_0/\sqrt2)(\cos \omega t, \sin\omega t)$ , een cirkel. ∎

De polarisatietoestanden van een vlakke golf, gezien tegen het aankomende licht in, en een dubbelbrekend plaatje met zijn snelle en trage as.

Voorbeeld 13.7 (Waar plaatjes worden gebruikt)

Een kwartgolfplaatje tussen een polarisator en een spiegel vormt een optische isolator: het licht gaat er circulair uit, komt circulair met de tegengestelde draaizin terug, wordt door het plaatje tot lineair licht onder $90{}^{\circ}$ met de polarisator gemaakt en wordt geabsorbeerd — er keert geen weerkaatsing naar de laser terug. De beelden voor de twee ogen van een 3D-film worden in tegengestelde circulaire polarisaties geprojecteerd en door de sandwiches van kwartgolfplaatje en polarisator in de bril gescheiden, die blijven werken wanneer u uw hoofd kantelt (lineaire polarisatoren zouden dat niet doen). Een doorzichtige liniaal tussen gekruiste polarisatoren toont gekleurde strepen: spanning maakt plastic dubbelbrekend, en ingenieurs lezen uit het patroon de spanningen in een model af.

Methode 13.8 (Een polarisatie door een optisch stelsel volgen)

(1) Kies assen; schrijf het invallende veld als twee componenten met hun faseverschil. (2) Een polarisator: houd de projectie op zijn as (amplitude $\times\cos$ , intensiteit $\times\cos^2$ ; natuurlijk licht $\times\tfrac12$ ). (3) Een plaatje: projecteer op zijn snelle en trage as, vertraag de trage over $\delta$ , en voeg weer samen. (4) Lees het resultaat af: fase $0$ of $\pi$ betekent lineair, $\pm\pi/2$ bij gelijke amplitudes betekent circulair. (5) Om een onbekende bundel te onderzoeken: draai een polarisator (varieert de intensiteit, dan is er een lineair of elliptisch deel), en voeg daarna een kwartgolfplaatje toe (circulair wordt lineair en kan worden gedoofd).

13.4 Oefeningen

Oefening 13.1 ★

Een FM-zender op $100\,\mathrm{MHz}$ geeft bij een ontvanger een intensiteit van $1.0\,\text{µ}\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ . Golflengte, golfgetal, periode; amplitudes $E_0$ en $B_0$ ; energiedichtheid; emk geïnduceerd in een antenne van $1\,\mathrm{m}$ die met $\vect E$ is uitgelijnd; fotonenflux (per vierkante meter en per seconde).

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.1.

$\lambda = 3.0\,\mathrm{m}$ , $k = 2.1\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$ , $T = 10\,\mathrm{ns}$ ; $E_0 = \sqrt{2I/\varepsilon_0c} = 27\,\mathrm{mV}/\mathrm{m}$ , $B_0 = 9 \times 10^{-11}\,\mathrm{T}$ ; $u = I/c = 3.3 \times 10^{-15}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ ; emk $E_0 \times 1\,\mathrm{m} = 27\,\mathrm{mV}$ ; $I/hf = 10^{-6}/6.6 \times 10^{-26} = 1.5 \times 10^{19}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ .

Oefening 13.2 ★

Frequentie en fotonenergie (in eV) voor $\lambda = 1\,\mathrm{km}$ , $10\,\mathrm{cm}$ , $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $550\,\mathrm{nm}$ , $10\,\mathrm{nm}$ , $0.1\,\mathrm{nm}$ en $1\,\mathrm{pm}$ ; noem telkens de band; de golflengte van een gammafoton van $1\,\mathrm{MeV}$ en van de kosmische achtergrond van $2.7\,\mathrm{K}$ (piek nabij $160\,\mathrm{GHz}$ ).

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.2.

$300\,\mathrm{kHz}$ ( $1.2 \times 10^{-9}\,\mathrm{eV}$ , radio); $3\,\mathrm{GHz}$ ( $1.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{eV}$ , microgolf); $30\,\mathrm{THz}$ ( $0.12\,\mathrm{eV}$ , infrarood); $545\,\mathrm{THz}$ ( $2.25\,\mathrm{eV}$ , zichtbaar); $3 \times 10^{16}\,\mathrm{Hz}$ ( $124\,\mathrm{eV}$ , extreem UV); $3 \times 10^{18}\,\mathrm{Hz}$ ( $12\,\mathrm{keV}$ , röntgen); $3 \times 10^{20}\,\mathrm{Hz}$ ( $1.2\,\mathrm{MeV}$ , gamma). $1\,\mathrm{MeV}$ : $1.2\,\mathrm{pm}$ ; $160\,\mathrm{GHz}$ : $1.9\,\mathrm{mm}$ .

Oefening 13.3 ★

Lineair gepolariseerd licht met intensiteit $I_0$ valt op een polarisator onder $30{}^{\circ}$ , daarna op een tweede onder $60{}^{\circ}$ met de eerste, en daarna op een derde onder $90{}^{\circ}$ met de eerste: intensiteit na elk. Hetzelfde met natuurlijk licht. Haal de middelste weg: wat verandert er?

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.3.

$0.75I_0$ , $0.56I_0$ , $0.42I_0$ ; natuurlijk: $0.375$ , $0.28$ , $0.21$ . Zonder de middelste: $0.75 \times \cos^260^\circ = 0.19I_0$ (natuurlijk $0.125I_0$ ): de tussenliggende polarisator laat meer door doordat hij de polarisatie draait.

Oefening 13.4 ★

Ga na dat $\vect E = E_0\cos(\omega t - kz)\,\vect e_x$ , $\vect B = (E_0/c)\cos(\omega t - kz)\,\vect e_y$ voldoet aan de vier vergelijkingen van Maxwell in vacuüm wanneer $\omega = kc$ . Welke vergelijking legt de richting van $\vect B$ vast, welke haar grootte? Wat gebeurt er als men $\vect E$ langs $\vect e_z$ probeert?

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.4.

$\operatorname{div}\vect E = \partial_xE_x = 0$ , $\operatorname{div}\vect B = 0$ ; $\operatorname{\vect{curl}}\vect E = E_0k\sin(\omega t - kz)\,\vect e_y = -\partial_t\vect B$ dan en slechts dan als $\omega = kc$ — Faraday legt zowel de richting ( $\vect e_y$ ) als de grootte ( $E_0/c$ ) van $\vect B$ vast; $\operatorname{\vect{curl}}\vect B = -(E_0k/c)\sin(\omega t - kz)\,\vect e_x = \mu_0\varepsilon_0\partial_t\vect E$ . Een $\vect E$ langs $\vect e_z$ zou $\operatorname{div} \vect E \ne 0$ hebben zonder lading: onmogelijk — de golf is transversaal.

Oefening 13.5 ★★

Circulair licht. (a) Schrijf het veld van een circulair gepolariseerde golf langs $z$ op en toon aan dat $|\vect E|$ constant is terwijl haar richting met $\omega$ ronddraait. (b) Toon aan dat de som van een rechts- en een linkscirculaire golf met gelijke amplitudes lineair gepolariseerd is, langs een richting die door hun onderlinge fase wordt bepaald. (c) Wat geeft circulair licht door een polarisator, en hangt de intensiteit van de hoek van de polarisator af? (d) Hoe kan men circulair licht dan van natuurlijk licht onderscheiden?

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.5.

(a) $\vect E = E_0(\cos(\omega t - kz), \pm\sin(\omega t - kz), 0)$ : modulus $E_0$ , hoek $\pm(\omega t - kz)$ . (b) $(\cos, \sin) + (\cos, -\sin) = (2\cos, 0)$ : lineair langs $x$ ; een onderlinge fase $\varphi$ draait de richting over $\varphi/2$ . (c) $I_0/2$ bij elke hoek. (d) Een kwartgolfplaatje maakt van circulair licht lineair licht, dat een polarisator vervolgens dooft; natuurlijk licht blijft ongepolariseerd.

Oefening 13.6 ★★

Kwarts heeft $n_s - n_f = 0.0091$ bij $589\,\mathrm{nm}$ . (a) Dikte van een kwartgolfplaatje van de laagste orde; en van een halvegolfplaatje. (b) Een kwartgolfplaatje voor $589\,\mathrm{nm}$ gebruikt bij $450\,\mathrm{nm}$ : fasevertraging (verwaarloos de verandering van de brekingsindices); wat komt eruit voor lineair licht onder $45{}^{\circ}$ ? (c) Waarom zijn plaatjes “van hogere orde” (dikte $e + m\lambda/(n_s - n_f)$ ) gevoeliger voor golflengte en temperatuur? (d) Waarom moet de dikte van een plaatje op beter dan een micrometer worden beheerst?

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.6.

(a) $e = \lambda/4(n_s - n_f) = 16\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; halvegolfplaatje $32\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (b) $\delta = (\pi/2)(589/450) = 2.1\,\mathrm{rad}$ : elliptisch licht. (c) $\delta \propto e/\lambda$ : een plaatje van $m + \tfrac14$ golven heeft $\dd\delta/\dd\lambda$ en $\dd\delta/\dd T$ die $4m + 1$ keer groter zijn. (d) $\delta \propto e$ : een micrometer op $16\,\text{µ}\mathrm{m}$ is $6\%$ van $\pi/2$ .

Oefening 13.7 ★★

Halvegolfplaatje. (a) Toon aan dat lineair licht onder de hoek $\alpha$ met de snelle as er lineair onder $-\alpha$ uitkomt. (b) Een plaatje dat over $\beta$ wordt gedraaid, draait de polarisatie dus over $2\beta$ : welke draaiing van het plaatje maakt van een verticale polarisatie een horizontale? (c) Wat doet een halvegolfplaatje met circulair licht? (d) Tussen gekruiste polarisatoren wordt een halvegolfplaatje langzaam gedraaid: schets de doorgelaten intensiteit tegen zijn hoek.

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.7.

(a) De trage component wisselt van teken: $(\cos\alpha, \sin\alpha) \to (\cos\alpha, -\sin\alpha)$ . (b) Een polarisatie onder de hoek $\alpha$ met een plaatje onder $\beta$ komt eruit onder $2\beta - \alpha$ : draaiing $2\beta$ ; $45{}^{\circ}$ . (c) Het keert de draaizin om. (d) $I = I_0\sin^22\beta$ : vier maxima en vier uitdovingen per omwenteling.

Oefening 13.8 ★★

$N$ polarisatoren staan achter elkaar, elk over $\pi/2N$ gedraaid ten opzichte van de vorige, en de laatste onder $90{}^{\circ}$ met de eerste. Doorlating van lineair gepolariseerd licht dat met de eerste is uitgelijnd, voor $N = 1, 2, 5, 10, 100$ ; limiet $N \to \infty$ (gebruik $\cos^{2N}(\pi/2N) \approx 1 - \pi^2/4N$ ). Geef commentaar: een polarisatie kan zonder verlies over $90{}^{\circ}$ worden gedraaid — waarmee?

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.8.

$\cos^{2N}(\pi/2N)$ : $0$ , $0.25$ , $0.61$ , $0.78$ , $0.976$ , $\to 1$ . Een medium dat continu draait (optische activiteit, een vloeibaarkristalcel) draait de polarisatie zonder verlies.

Oefening 13.9 ★★

Gedeeltelijke polarisatie. Een draaiende polarisator voor een bundel geeft een maximale intensiteit $I_{\max}$ en een minimale $I_{\min}$ . (a) Modelleer de bundel als natuurlijk licht $I_n$ plus lineair gepolariseerd licht $I_p$ : druk $I_{\max}$ en $I_{\min}$ uit; de polarisatiegraad $p = I_p/(I_n + I_p) = (I_{\max} - I_{\min})/(I_{\max} + I_{\min})$ . (b) Blauwe hemel op $90{}^{\circ}$ van de zon: $I_{\max}/I_{\min} = 5$ : $p$ . (c) Licht dat van een meer wordt teruggekaatst nabij de hoek van Brewster, $p = 0.9$ : hoeveel kan een polariserende zonnebril daarvan wegnemen? (d) Kan een polarisator alleen gedeeltelijk lineair gepolariseerd licht van gedeeltelijk circulair licht onderscheiden? Wat is daarvoor nodig?

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.9.

(a) $I_{\max} = I_n/2 + I_p$ , $I_{\min} = I_n/2$ ; $p = I_p/(I_n + I_p) = (I_{\max} - I_{\min})/(I_{\max} + I_{\min})$ . (b) $p = 4/6 = 0.67$ . (c) De gekruiste polarisator laat $I_n/2 = 0.05I$ door: $95\%$ weggenomen. (d) Nee — beide geven een constante intensiteit; daarvoor is een kwartgolfplaatje nodig.

Oefening 13.10 ★★★

Twee gekruiste bundels. Twee VLH-golven met gelijke amplitude en frequentie, beide gepolariseerd langs $\vect e_y$ , planten zich in het $xz$ -vlak voort onder de hoeken $\pm\theta$ met $z$ . (a) Schrijf het totale veld op en toon aan dat het een golf is die langs $z$ loopt en waarvan de amplitude langs $x$ gemoduleerd is als $\cos(kx\sin\theta)$ . (b) Afstand tussen de donkere vlakken (interferentiestrepen); getallen voor $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$ , $\theta = 5{}^{\circ}$ , en voor $\theta = 90{}^{\circ}$ (tegen elkaar in lopend). (c) Fasesnelheid van het patroon langs $z$ ; vergelijk met $c$ ; reist er iets sneller dan het licht? (d) Bereken de tijdgemiddelde poyntingvector en toon aan dat haar $x$ -component verdwijnt: de energie stroomt langs $z$ in de heldere vlakken.

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.10.

(a) Fasen $\omega t - k(z\cos\theta \pm x\sin\theta)$ : som $2E_0\cos(kx\sin\theta)\cos(\omega t - kz\cos\theta)\,\vect e_y$ . (b) $\Delta x = \lambda/2\sin\theta$ : $3.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ bij $5{}^{\circ}$ , $\lambda/2 = 316\,\mathrm{nm}$ bij $90{}^{\circ}$ . (c) $v_\varphi = c/\cos\theta > c$ : de fase van een patroon; de energie gaat langs $z$ met $c\cos\theta$ (en elke golf met $c$ ). (d) $B_z = (\sin\theta/c)(E_1 - E_2)$ , $E_y = E_1 + E_2$ : $\langle\Pi_x\rangle \propto \langle E_1^2 - E_2^2\rangle = 0$ ; $\Pi_z \propto \cos\theta(E_1 + E_2)^2$ , maximaal in de heldere vlakken.

Oefening 13.11 ★★★

De vloeibaarkristalpixel. Een getwiste nematische cel tussen gekruiste polarisatoren draait de polarisatie van het licht over $90{}^{\circ}$ wanneer er geen spanning op staat (de uitlijning van de moleculen draait door de cel heen en de polarisatie volgt haar — aangenomen), en helemaal niet wanneer enkele volt hen rechtdraaien. (a) Doorlating in beide toestanden: welke is helder? (b) Echte cellen draaien over $90^\circ \pm 5^\circ$ bij de ontwerpgolflengte: contrastverhouding $I_{\text{helder}}/I_{\text{donker}}$ als de donkere toestand door een restfout van $5{}^{\circ}$ lekt. (c) Waarom lekt een cel die voor $550\,\mathrm{nm}$ is ontworpen in de donkere toestand wat blauw en rood door (denk aan de draaiing als een stapel van vele dunne vertragers die op halvegolfplaatjes lijken)? (d) Een kleurenpixel gebruikt drie zulke cellen met filters; waarom wordt het scherm zwart door een polarisator onder een bepaalde hoek, en wat zegt die hoek u?

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.11.

(a) Zonder spanning: over $90{}^{\circ}$ gedraaid, gaat door de gekruiste polarisator: helder; met spanning: donker. (b) Lek $\sin^25^\circ = 7.6 \times 10^{-3}$ : contrast $130$ . (c) De draaiing werkt als een stapel vertragers waarvan $\delta \propto 1/\lambda$ : precies goed bij $550\,\mathrm{nm}$ , maar aan de uiteinden van het spectrum klopt de draaiing niet meer en lekt er licht door — de donkere toestand ziet er paarsig uit. (d) Wanneer de uitwendige polarisator gekruist staat met de uitgangspolarisator van het scherm; die hoek is de polarisatieas van het scherm.

Oefening 13.12 ★★★

Optische activiteit. In een suikeroplossing lopen de twee circulaire polarisaties met licht verschillende brekingsindices $n_L$ en $n_R$ . (a) Ontbind een lineaire polarisatie in circulaire componenten en toon aan dat de polarisatie na een lengte $\ell$ nog altijd lineair is, maar over $\theta = \pi(n_L - n_R)\ell/\lambda$ gedraaid. (b) Een buis van $1\,\mathrm{dm}$ met een sacharoseoplossing van $0.10\,\mathrm{g}/\mathrm{mL}$ draait natriumlicht over $6.65{}^{\circ}$ : $n_L - n_R$ . (c) Een saccharimeter meet $\theta$ op $0.01{}^{\circ}$ : nauwkeurigheid op de concentratie. (d) Hetzelfde effect wordt in glas opgewekt door een magnetisch veld langs de bundel (het faraday-effect, $\theta = VB\ell$ met $V \approx 4\,\mathrm{rad}\,\mathrm{T}^{-1}\,\mathrm{m}^{-1}$ ): waarom heft een faradayrotator, anders dan een suikerbuis, zijn draaiing niet op wanneer het licht wordt teruggestuurd, en hoe maakt dat er een isolator van?

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.12.

(a) $\vect e_x = \tfrac12[(\vect e_x + \iu\vect e_y) + (\vect e_x - \iu\vect e_y)]$ ; na $\ell$ hebben de twee componenten de fasen $k_L\ell$ en $k_R\ell$ , en voegen zij zich weer samen tot lineair licht onder de hoek $(k_L - k_R)\ell/2 = \pi(n_L - n_R)\ell/\lambda$ . (b) $n_L - n_R = \theta\lambda/\pi\ell = 0.116 \times 589 \times 10^{-9}/0.314 = 2.2 \times 10^{-7}\,$ . (c) $0.01/6.65 \times 0.1 = 1.5 \times 10^{-4}\,\mathrm{g}/\mathrm{mL}$ . (d) De draaiing van Faraday wordt door $\vect B$ bepaald en niet door de looprichting: op de terugweg telt zij erbij op ( $45{}^{\circ}$ $+$ $45{}^{\circ}$ $=$ $90{}^{\circ}$ ), en de ingangspolarisator houdt het terugkerende licht tegen — een isolator.

Een polariserende zonnebril voor een meer gehouden: de schittering, nabij de hoek van Brewster teruggekaatst en horizontaal gepolariseerd, wordt door de verticale doorlaatas van de glazen weggesneden, en de bodem van het meer wordt zichtbaar.

13.5 Vraagstuk: De golf, het scherm en het zeil

Probleem 13.1

Weekendvraagstuk — een laserbundel uit elkaar gehaald in zijn velden, een scherm dat met polarisatie schildert, en een ruimtevaartuig dat op licht zeilt

Deel I — De bundel. Een helium-neonlaser zendt $10\,\mathrm{mW}$ uit bij $632.8\,\mathrm{nm}$ in een bundel met een diameter van $1.0\,\mathrm{mm}$ , lineair gepolariseerd langs $x$ en lopend langs $z$ .

Frequentie, golfgetal, fotonenergie; aantal fotonen dat per seconde wordt uitgezonden.
Intensiteit; amplitudes $E_0$ en $B_0$ ; schrijf $\vect E(z, t)$ en $\vect B(z, t)$ op.
Gemiddelde energiedichtheid en de energie in $1\,\mathrm{m}$ bundel; hoe lang is de bundel die in $1\,\mathrm{ns}$ wordt uitgezonden, en hoeveel golflengten bevat zij?
Poyntingvector: gemiddelde waarde en haar trilling; impuls die per seconde wordt meegevoerd; kracht op een zwarte trefplaat en op een spiegel.
Vergelijk $E_0$ met het veld dat het elektron in een waterstofatoom bindt ( $5 \times 10^{11}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ ) en $B_0$ met het veld van de aarde ( $50\,\text{µ}\mathrm{T}$ ).
Stralingsdruk op een zwarte bundelvanger, in pascal.
Een vrij elektron in de bundel: amplitude van zijn snelheidstrilling in het elektrische veld (verwaarloos eerst de magnetische kracht); verhouding van de magnetische tot de elektrische kracht erop — waarom is de magnetische kracht voor materie in gewoon licht verwaarloosbaar?
Schrijf de velden van dezelfde bundel op als zij circulair gepolariseerd was; wat verandert er aan de intensiteit, aan de poyntingvector en aan haar tijdsafhankelijkheid?
De bundel gaat door een polarisator waarvan de as $30{}^{\circ}$ met $x$ maakt: doorgelaten vermogen; daarna door een tweede die met de eerste gekruist is: vermogen; voeg er een derde tussen onder $45{}^{\circ}$ met de eerste: vermogen.

Deel II — Het scherm. Een vloeibaarkristalscherm: achtergrondverlichting (natuurlijk licht), een polarisator, de cel, en een gekruiste polarisator. Zonder spanning draait de cel de polarisatie over $90{}^{\circ}$ ; met spanning doet zij niets.

Fractie van de intensiteit van de achtergrondverlichting die in de heldere toestand wordt doorgelaten (met volmaakte polarisatoren); en in de donkere toestand.
Bij een tussenliggende spanning gedraagt de cel zich als een vertrager met faseverschil $\delta$ tussen haar assen, die onder $45{}^{\circ}$ met de polarisatoren staan (geen draaiing): toon aan dat de doorlating $\sin^2(\delta/2)$ is — de grijsschaal.
Wat ziet men door een polarisator die $90{}^{\circ}$ van de uitgangspolarisator van het scherm is gedraaid? En onder $45{}^{\circ}$ ?
Een kwartgolfplaatje op het scherm gelijmd onder $45{}^{\circ}$ met zijn polarisator maakt de uitgang circulair: welk voordeel voor een kijker met een polariserende zonnebril?
Volmaakte polarisatoren zouden in de heldere toestand de helft van de achtergrondverlichting doorlaten; echte folies laten er elk $85\%$ van het ideaal door, en de kleurenfilters van een pixel laten een derde van het licht door: fractie van het vermogen van de achtergrondverlichting die de kijker in het wit bereikt; noem de twee plaatsen waar het meeste licht verloren gaat.
Echte gekruiste folies lekken $0.1\%$ van het licht: contrastverhouding van het scherm (helder gedeeld door donker) in een donkere kamer.
De “circulaire polarisatoren” van fotografen zijn een lineaire polarisator gevolgd door een kwartgolfplaatje onder $45{}^{\circ}$ : wat ontvangt de camera, en waarom is dat beter voor de polarisatiegevoelige bundeldeler van haar autofocus dan lineair licht?
Waarom gebruiken 3D-bioscoopbrillen circulaire in plaats van lineaire polarisatie? Wat gebeurt er met de overspraak tussen de ogen als de kijker zijn hoofd $20{}^{\circ}$ kantelt met een lineaire bril (intensiteit die in het verkeerde oog lekt)?

Deel III — Het zeil. Een zonnezeil met oppervlakte $S = 1000\,\mathrm{m}^{2}$ en totale massa $m = 50\,\mathrm{kg}$ , volmaakt spiegelend, op $D = 1.0\,\mathrm{au} = 1.5 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ van de zon ( $I = 1.36\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ ; zwaartekracht van de zon daar $5.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ).

Stralingskracht wanneer het zeil de zon recht aankijkt; versnelling; verhouding tot de zwaartekracht van de zon.
Het zeil wordt over $\theta$ gekanteld ten opzichte van die stand: toon aan dat de kracht loodrecht op het zeil staat en evenredig is met $\cos^2\theta$ (onderschept vermogen $\times\cos\theta$ , impulsverandering langs de normaal $\times\cos\theta$ ).
Om naar buiten te spiraliseren houdt het zeil een krachtcomponent langs zijn baansnelheid: bereken voor $\theta = 35{}^{\circ}$ de tangentiële versnelling; snelheidswinst per jaar; vergelijk met de baansnelheid van de aarde ( $30\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ).
Waarom krijgt hetzelfde zeil nabij Mercurius ( $D = 0.39\,\mathrm{au}$ ) $6.6$ keer zoveel kracht, en waarom blijft de verhouding tot de zwaartekracht ongewijzigd?
De folie van het zeil is $2\,\text{µ}\mathrm{m}$ gealuminiseerd plastic: haar temperatuur in zonlicht als zij $10\%$ absorbeert en via beide vlakken als een zwart lichaam uitstraalt ( $\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}$ ).
Tijd die nodig is om $1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ te winnen met het zeil naar de zon gericht; wat zou een absorberend (zwart) zeil van dezelfde afmeting halen?
Toets de impuls van het licht met fotonen: aantal fotonen dat het zeil per seconde treft (gemiddeld $2\,\mathrm{eV}$ ) en de impuls $hf/c$ van elk; vind de kracht terug.
Vat samen: de drie grootheden die de golf meevoert (energie, impuls, polarisatie) en het toestel uit dit vraagstuk dat elk ervan benut.

Oplossing

Oplossing van Probleem 13.1.

1. $f = 4.74 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ , $k = 9.9 \times 10^{6}\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$ , $hf = 3.1 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} = 1.96\,\mathrm{eV}$ ; $3.2 \times 10^{16}$ fotonen per seconde.

2. $I = 0.01/\pi(0.5 \times 10^{-3})^2 = 1.3 \times 10^{4}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; $E_0 = 3.1\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ , $B_0 = 10\,\text{µ}\mathrm{T}$ ; $\vect E = E_0\cos(\omega t - kz)\vect e_x$ , $\vect B = (E_0/c)\cos(\omega t - kz)\vect e_y$ .

3. $u = I/c = 4.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ ; $P/c = 3.3 \times 10^{-11}\,\mathrm{J}$ per meter bundel; $30\,\mathrm{cm}$ , $4.7 \times 10^5$ golflengten.

4. $\langle\Pi\rangle = I$ langs $z$ , trillend als $\cos^2$ met $2f$ ; $P/c = 3.3 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}$ op zwart, $6.7 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}$ op een spiegel.

5. $E_0/5 \times 10^{11} = 6 \times 10^{-9}$ ; $B_0$ is een vijfde van het veld van de aarde.

6. $I/c = 4.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}$ .

7. $v_0 = eE_0/m\omega = 0.18\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $F_m/F_e = v_0B_0/E_0 = v_0/c = 6 \times 10^{-10}$ : de magnetische kracht op trage ladingen is verwaarloosbaar.

8. $\vect E = E_0[\cos(\omega t - kz)\vect e_x \pm \sin(\omega t - kz)\vect e_y]$ met $E_0 = 2.2\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ (hetzelfde vermogen), $\vect B = \vect e_z\wedge\vect E/c$ : de intensiteit blijft gelijk, maar $\Pi = \varepsilon_0cE_0^2$ is nu constant in de tijd — de energiestroom pulseert niet meer.

9. $10\cos^230^\circ = 7.5\,\mathrm{mW}$ ; $0$ ; $7.5 \times \cos^445^\circ = 1.9\,\mathrm{mW}$ .

10. Helder: $\tfrac12$ ; donker: $0$ .

11. Na de eerste polarisator zijn de componenten op de assen gelijk; na de vertrager staat er een fase $\delta$ tussen; de projectie op de gekruiste richting is $\propto(1 - \eu^{\iu\delta})/2$ : $I \propto \sin^2(\delta/2)$ .

12. Zwart; de halve intensiteit.

13. Een circulaire uitgang oogt door een polariserende zonnebril bij elke hoofdstand even helder.

14. $\tfrac12 \times 0.85 \times 0.85 \times \tfrac13 = 12\%$ ; de eerste polarisator (de helft geabsorbeerd) en de kleurenfilters (twee derde).

15. Helder $0.36$ , donker $\tfrac12 \times 10^{-3}$ : contrast $\approx 700$ .

16. Circulair licht, hoe het filter ook gedraaid staat: de polarisatiegevoelige bundeldeler ontvangt telkens hetzelfde vermogen.

17. Circulaire polarisatie behoudt haar draaizin wanneer het hoofd kantelt; een lineaire bril die $20{}^{\circ}$ gekanteld staat, lekt $\sin^220^\circ = 12\%$ in het verkeerde oog.

18. $F = 2IS/c = 9.1\,\mathrm{mN}$ ; $a = 1.8 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $3\%$ van de zwaartekracht van de zon.

19. Onderschept vermogen $\propto\cos\theta$ , teruggekaatste impulsverandering langs de normaal $2p\cos\theta$ : $F = (2IS/c)\cos^2\theta$ langs de normaal.

20. $F = 9.1 \times \cos^235^\circ = 6.1\,\mathrm{mN}$ , tangentieel deel $F\sin35^\circ = 3.5\,\mathrm{mN}$ : $a_t = 7 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $2.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ per jaar — $7\%$ van de baansnelheid.

21. $(1/0.39)^2 = 6.6$ ; de zwaartekracht schaalt op dezelfde manier.

22. $0.1 \times 1360 = 2\sigma T^4$ : $T = 190\,\mathrm{K}$ — de spiegel blijft koud.

23. $1000/1.8 \times 10^{-4} = 5.6 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$ , twee maanden; een zwart zeil krijgt de halve kracht.

24. $1.36 \times 10^6/3.2 \times 10^{-19} = 4.3 \times 10^{21}\,$ fotonen per seconde, elk met $hf/c = 1.1 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; teruggekaatst: $2Np = 9.1\,\mathrm{mN}$ .

25. Energie ( $u$ , $I$ ): de bundelvanger en de fotodiode. Impuls ( $I/c$ ): het zeil. Polarisatie (Malus, de plaatjes): het scherm en zijn polarisatoren.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Polarisatietoestanden

Bekijk alle 431 begrippen in de begrippenlijst