Universitaire natuurkunde — jaar 2 · Bachelor Year 2

21Meergolvige interferentie en tralies

Kantel een compactschijf onder een lamp en zij werpt een regenboog: haar spiraal van putjes, anderhalve micrometer uit elkaar, is een tralie — duizenden kleine weerkaatsende strookjes, die elk een kopie van de golf terugzenden, alle interfererend. Twee golven geven de zachte $\cos^2$ -strepen van de vorige hoofdstukken; duizend geven strepen die duizend keer smaller zijn, scherp genoeg om twee golflengten te scheiden die één deel op honderdduizend verschillen. Dat is het instrument waarmee de samenstelling van de zon en de snelheid van sterrenstelsels werden afgelezen, en dat in elke spectrometer zit. Dit hoofdstuk telt $N$ golven op, leidt de tralievergelijking af, haar dispersie en haar oplossend vermogen, en ontmoet het andere meergolvige werktuig, de fabry-pérotholte die de resonator van de laser zal worden.

Een compactschijf in zonlicht: haar spiraal van putjes, 1.6\, µ m uit elkaar, is een weerkaatsingstralie, en elke orde spreidt het witte licht tot een spectrum. — Een compactschijf in zonlicht: haar spiraal van putjes, $1.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ uit elkaar, is een weerkaatsingstralie, en elke orde spreidt het witte licht tot een spectrum.

21.1 Interferentie van $N$ golven

Stelling 21.1 ( $N$ gelijke golven met rekenkundig oplopende fase)

$N$ coherente golven met gelijke amplitude $a$ , die elk over de fase $\varphi$ bij de vorige achterblijven, tellen op tot een golf met amplitude $A(\varphi)$ en intensiteit

A = a\,\frac{\sin(N\varphi/2)}{\sin(\varphi/2)} , \qquad I(\varphi) = I_0\,\frac{\sin^2(N\varphi/2)}{\sin^2(\varphi/2)} :

hoofdmaxima met intensiteit $N^2I_0$ waar $\varphi = 2\pi p$ (alle golven in fase), met hoekhalfbreedte $2\pi/N$ in $\varphi$ (de eerste nullen liggen bij $\varphi = 2\pi p \pm 2\pi/N$ ), gescheiden door $N - 2$ nevenmaxima die niet hoger zijn dan ongeveer $4.5\%$ van de hoofdmaxima bij grote $N$ . Hoe meer golven, hoe scherper en helderder de pieken: de breedte krimpt als $1/N$ , de hoogte groeit als $N^2$ , de energie (hun product) als $N$ .

Bewijs. Complexe amplituden $a\eu^{\iu k\varphi}$ , $k = 0, \dots, N - 1$ : een meetkundige reeks, $a(1 - \eu^{\iu N\varphi})/(1 - \eu^{\iu\varphi}) = a\eu^{\iu(N - 1)\varphi/2}\sin(N\varphi/2) /\sin(\varphi/2)$ . Nullen waar $\sin(N\varphi/2) = 0$ maar $\sin(\varphi/2) \ne 0$ : $\varphi = 2\pi m/N$ , met $m$ geen veelvoud van $N$ . In het fasorbeeld sluiten de $N$ pijlen zich bij de nullen tot een regelmatige veelhoek en liggen zij bij de hoofdmaxima op één lijn. ∎

Links: de fasorsom van vijf gelijke golven — een regelmatige waaier waarvan de koorde de resultante is; hij sluit zich tot een vijfhoek, en verdwijnt, bij = 2π/5. Rechts: de intensiteit voor 2, 5 en 12 golven, genormeerd op haar piek: de hoofdmaxima verscherpen als 1/N. — Links: de fasorsom van vijf gelijke golven — een regelmatige waaier waarvan de koorde de resultante is; hij sluit zich tot een vijfhoek, en verdwijnt, bij $\varphi = 2\pi/5$ . Rechts: de intensiteit voor $2$ , $5$ en $12$ golven, genormeerd op haar piek: de hoofdmaxima verscherpen als $1/N$ .

21.2 Het buigingstralie

Propositie 21.2 (Tralievergelijking)

Een tralie is een stel van $N$ gelijke, gelijk verdeelde, evenwijdige spleten (of groeven) met periode $a$ . Een vlakke golf die onder de hoek $\theta_0$ met de normaal invalt, wordt door elke spleet opnieuw uitgezonden; in de richting $\theta$ hebben de golven van naburige spleten het wegverschil $\delta = a(\sin\theta - \sin\theta_0)$ , en versterken zij elkaar in de richtingen

a\,(\sin\theta_p - \sin\theta_0) = p\lambda , \qquad p = 0, \pm1, \pm2, \dots

— de orden van het tralie. De orde nul is de onafgebogen bundel voor elke golflengte; elke andere orde spreidt de golflengten, met de hoekdispersie

\frac{\dd\theta}{\dd\lambda} = \frac{p}{a\cos\theta} ,

groter voor een fijner tralie en een hogere orde; de hoogste orde is $|p| \le a(1 + |\sin\theta_0|)/\lambda$ . Een weerkaatsingstralie (groeven getrokken op een spiegel) gehoorzaamt dezelfde vergelijking met de weerkaatste hoeken.

Bewijs. De fase tussen opeenvolgende spleten is $\varphi = 2\pi\delta/\lambda$ ; de hoofdmaxima van Stelling 21.1 liggen bij $\delta = p\lambda$ . Differentieer $a\sin\theta = p\lambda + a\sin\theta_0$ bij vaste $p$ , $\theta_0$ . ∎

Links: het tralie — naburige spleten zenden opnieuw uit met het wegverschil a bij loodrechte inval. Rechts: op een scherm de witte orde nul en de spectra van de orden ±1, ±2, violet het dichtst bij het midden, breder (en uiteindelijk overlappend) naarmate p groeit. — Links: het tralie — naburige spleten zenden opnieuw uit met het wegverschil $a\sin\theta$ bij loodrechte inval. Rechts: op een scherm de witte orde nul en de spectra van de orden $\pm1$ , $\pm2$ , violet het dichtst bij het midden, breder (en uiteindelijk overlappend) naarmate $p$ groeit.

Voorbeeld 21.3 (Een tralie voor het practicum en een cd)

Een tralie met $600$ lijnen per millimeter ( $a = 1.67\,\text{µ}\mathrm{m}$ ) bij loodrechte inval zendt licht van $500\,\mathrm{nm}$ naar $\sin\theta = 0.3$ , $\theta = 17.5{}^{\circ}$ in de eerste orde, $36.9{}^{\circ}$ in de tweede, en heeft geen derde orde ( $3 \times 0.3 > 1$ ); zijn spectrum van de eerste orde loopt van $13.9{}^{\circ}$ ( $400\,\mathrm{nm}$ ) tot $24.8{}^{\circ}$ ( $700\,\mathrm{nm}$ ). Een compactschijf, $a = 1.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ , is zo’n tralie in weerkaatsing — vandaar de regenboog, en het feit dat een dvd ( $a = 0.74\,\text{µ}\mathrm{m}$ ) hem wijder spreidt. Het rood van de tweede orde ( $700\,\mathrm{nm}$ bij $\sin\theta = 0.84$ ) overlapt het violet van de derde: voorbij de eerste overlappen de orden, een ongemak dat met filters of een prisma wordt verholpen.

21.3 Oplossend vermogen

Propositie 21.4 (Oplossend vermogen van een tralie)

Twee dicht bijeen liggende golflengten $\lambda$ en $\lambda + \Delta\lambda$ zijn in orde $p$ net opgelost wanneer het hoofdmaximum van de ene op de eerste nul van de andere valt (het criterium van Rayleigh), wat gebeurt voor

\frac\lambda{\Delta\lambda} = pN :

is het oplossend vermogen de orde maal het aantal belichte lijnen. Men kan het ook schrijven als $W(\sin\theta - \sin\theta_0)/\lambda$ met $W = Na$ de breedte van het tralie: het grootste wegverschil over het tralie, in golflengten — en daarom gebruiken grote spectrografen tralies van tientallen centimeters breed en werken zij onder scherende hoeken.

Bewijs. Het maximum van orde $p$ voor $\lambda + \Delta\lambda$ ligt bij $\varphi = 2\pi p$ voor die golflengte, dat wil zeggen bij $\delta = p(\lambda + \Delta\lambda)$ ; de eerste nul van het maximum voor $\lambda$ ligt bij $\delta = p\lambda + \lambda/N$ . Gelijkstellen: $p\Delta\lambda = \lambda/N$ . Dan $pN = Na(\sin\theta - \sin\theta_0)/\lambda$ . ∎

Voorbeeld 21.5 (De natriumlijnen scheiden)

De doublet, $\Delta\lambda = 0.6\,\mathrm{nm}$ bij $589\,\mathrm{nm}$ , vergt $R = 1000$ : duizend lijnen in de eerste orde, $2\,\mathrm{mm}$ van een tralie met $600\,\mathrm{lijnen}/\mathrm{mm}$ . Haar eigen lijnbreedte, $0.02\,\mathrm{nm}$ , vergt $R = 30\,000$ : een tralie van $5\,\mathrm{cm}$ in de eerste orde, of $2.5\,\mathrm{cm}$ in de tweede — en een tralie van $10\,\mathrm{cm}$ met $1200\,\mathrm{lijnen}/\mathrm{mm}$ in de tweede orde haalt $240\,000$ en lost $0.0025\,\mathrm{nm}$ op: de breedte van een lijn verbreed door de warmtebeweging van de atomen, en de dopplerverschuiving van een ster die met $1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ beweegt.

Het criterium van Rayleigh: de piek van de ene golflengte op de eerste nul van de andere; de som (streepjes) toont een dal van ongeveer 20\% tussen twee opgeloste lijnen. — Het criterium van Rayleigh: de piek van de ene golflengte op de eerste nul van de andere; de som (streepjes) toont een dal van ongeveer $20\%$ tussen twee opgeloste lijnen.

21.4 De fabry-pérotholte

Propositie 21.6 (Meergolvige interferentie door verdeling van de amplitude)

Twee evenwijdige gedeeltelijk weerkaatsende spiegels (intensiteitsweerkaatsing $R$ ) op afstand $L$ laten een golf bij loodrechte inval alleen door voor zover de golven die $0, 1, 2, \dots$ keer ertussen zijn gekaatst in fase optellen: met $\varphi = 4\pi L/\lambda$ de fase van een heen-en-terugreis is de doorgelaten intensiteit (de functie van Airy)

\frac{I_t}{I_0} = \frac1{1 + F\sin^2(\varphi/2)} , \qquad F = \frac{4R}{(1 - R)^2} :

scherpe pieken van volledige doorlating bij $2L = p\lambda$ (de resonanties van de holte, in frequentie gescheiden door het vrije spectrale bereik $c/2L$ ), met betrekkelijke breedte $1/\mathcal F$ met de finesse $\mathcal F = \pi \sqrt R/(1 - R)$ — $30$ voor $R = 0.9$ , $300$ voor $R = 0.99$ . Zij evenaart het tralie in oplossend vermogen ( $p\mathcal F$ met $p = 2L/\lambda \sim 10^5$ , dus $R \sim 10^7$ ) en is, op zichzelf gesloten, de resonator van de laser (Hoofdstuk 23).

Bewijs. Elke heen-en-terugreis vermenigvuldigt de amplitude met $R\eu^{\iu\varphi}$ (op een constante fase na); de doorgelaten amplitude is $t^2a\sum(R\eu^{\iu\varphi})^k = t^2a/(1 - R\eu^{\iu\varphi})$ met $t^2 = 1 - R$ ; haar gekwadrateerde modulus is $(1 - R)^2/ (1 - 2R\cos\varphi + R^2) = (1 - R)^2/[(1 - R)^2 + 4R\sin^2(\varphi/2)]$ . Pieken bij $\varphi = 2\pi p$ ; halve maximumwaarde waar $F\sin^2(\varphi/2) = 1$ , dat wil zeggen $\Delta\varphi \approx 4/\sqrt F = 2(1 - R)/\sqrt R$ , tegen de $2\pi$ tussen de pieken. ∎

De airydoorlating van een fabry-pérotholte: volledige doorlating bij de resonanties 2L = p, met pieken die smaller worden naarmate de weerkaatsing van de spiegels groeit. — De airydoorlating van een fabry-pérotholte: volledige doorlating bij de resonanties $2L = p\lambda$ , met pieken die smaller worden naarmate de weerkaatsing van de spiegels groeit.

Methode 21.7 (Tralieberekeningen)

(1) Periode $a = 1/(\text{lijnen per mm})$ ; tralievergelijking met de tekens van de hoeken. (2) Zet de orden op een rij die bestaan ( $|\sin\theta| \le 1$ ) en ga hun overlap na ( $p\lambda_{\max}$ tegen $(p + 1)\lambda_{\min}$ ). (3) Dispersie $p/a\cos\theta$ , met de brandpuntsafstand omgezet in een plaats op de detector: $\dd x = f\,\dd\theta$ . (4) Oplossend vermogen $pN$ met $N$ het aantal werkelijk belichte lijnen; vergelijk $\lambda/R$ met de op te lossen structuur. (5) Voeg voor werkelijke instrumenten de breedte van de ingangsspleet toe (zij vervaagt de lijnen) en de pixels van de detector.

21.5 Opgaven

Oefening 21.1 ★

Een tralie met $500$ lijnen per millimeter bij loodrechte inval, $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$ : hoeken van de orden; hoogste orde; hoekbreedte van het zichtbare spectrum van de eerste orde ( $400$ – $700\,\mathrm{nm}$ ); hetzelfde tralie bij $30{}^{\circ}$ inval: orden aan elke kant.

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.1.

$a = 2\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $\sin\theta_p = 0.275p$ : $16.0{}^{\circ}$ , $33.4{}^{\circ}$ , $55.6{}^{\circ}$ ; geen vierde orde. Zichtbaar van de eerste orde van $11.5{}^{\circ}$ tot $20.5{}^{\circ}$ : $9{}^{\circ}$ . Bij $30{}^{\circ}$ : $\sin\theta = 0.5 + 0.275p$ : $p = +1$ ( $51{}^{\circ}$ ) aan de ene kant, $p = -1$ tot $-5$ ( $13^\circ$ , $-3^\circ$ , $-19^\circ$ , $-37^\circ$ , $-61^\circ$ ) aan de andere.

Oefening 21.2 ★

De natriumdoublet met een tralie van $600$ lijnen/mm en een lens met $f = 50\,\mathrm{cm}$ : hoekscheiding en lineaire scheiding van de twee lijnen op de detector in de eerste en de tweede orde; pixelgrootte die nodig is om ze apart te zien.

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.2.

$a = 1.67\,\text{µ}\mathrm{m}$ . Orde 1: $\theta = 20.7{}^{\circ}$ , $\Delta\theta = \Delta\lambda/a\cos\theta = 3.9 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ , $0.19\,\mathrm{mm}$ ; orde 2: $\theta = 45{}^{\circ}$ , $1.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$ , $0.51\,\mathrm{mm}$ . Pixels van $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ of kleiner.

Oefening 21.3 ★

Oplossend vermogen van een tralie van $2\,\mathrm{cm}$ met $600$ lijnen/mm in de orden $1$ , $2$ , $3$ ; kleinste opgeloste $\Delta\lambda$ bij $550\,\mathrm{nm}$ ; scheidt het de natriumdoublet? De H $\alpha$ -lijn van waterstof van haar deuteriumtweeling ( $0.18\,\mathrm{nm}$ uit elkaar)?

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.3.

$N = 12\,000$ : $R = 12\,000$ , $24\,000$ , $36\,000$ ; $\Delta\lambda = 0.046$ , $0.023$ , $0.015\,\mathrm{nm}$ ; de doublet ( $0.6\,\mathrm{nm}$ ) en het paar H/D ( $0.18\,\mathrm{nm}$ , dat $R = 3600$ vergt) worden gemakkelijk gescheiden.

Oefening 21.4 ★

Een compactschijf ( $a = 1.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ ) en een dvd ( $a = 0.74\,\text{µ}\mathrm{m}$ ) belicht bij loodrechte inval: hoeken van violet en rood in de eerste orde; welke orden bestaan voor elk; waarom toont de cd twee regenbogen en de dvd er één?

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.4.

Cd: violet $14.5{}^{\circ}$ , rood $25.9{}^{\circ}$ ; rood bestaat tot orde 2, violet tot orde 4: twee (deels overlappende) regenbogen. Dvd: violet $32.7{}^{\circ}$ , rood $71{}^{\circ}$ ; rood heeft alleen de eerste orde: één regenboog, wijder.

Oefening 21.5 ★★

Het patroon van $N$ spleten. (a) Toon aan dat er tussen twee hoofdmaxima $N - 1$ nullen en $N - 2$ nevenmaxima liggen. (b) Voor grote $N$ , intensiteit van het eerste nevenmaximum ten opzichte van het hoofdmaximum (bij $N\varphi/2 \approx 3\pi/2$ ): ongeveer $1/22$ . (c) Schets het patroon voor $N = 3$ en $N = 6$ en geef de hoogten van de nevenmaxima voor $N = 3$ . (d) Aandeel van de totale energie in de hoofdmaxima voor grote $N$ (vergelijk de integralen van de piek, breedte $\propto 1/N$ , hoogte $\propto N^2$ , met de rest).

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.5.

(a) Nullen bij $\varphi = 2\pi m/N$ , $m = 1, \dots, N - 1$ : $N - 1$ nullen, $N - 2$ maxima ertussen. (b) Bij $N\varphi/2 = 3\pi/2$ is $I \approx I_0/\sin^2(3\pi/2N) \approx I_0(2N/3\pi)^2$ : $4/9\pi^2 = 0.045$ van $N^2I_0$ . (c) $N = 3$ : één enkel nevenmaximum bij $\varphi = \pi$ met hoogte $I_0$ , een negende van het hoofdmaximum $9I_0$ ; $N = 6$ : vier nevenmaxima van enkele procenten. (d) De middenlob van $\sin^2x/x^2$ bevat $90\%$ van de energie.

Oefening 21.6 ★★

Overlappende orden. (a) Toon aan dat orde $p$ van $\lambda_{\max}$ orde $p + 1$ van $\lambda_{\min}$ overlapt wanneer $p\lambda_{\max} > (p + 1)\lambda_{\min}$ ; voor $400$ – $700\,\mathrm{nm}$ , vanaf welke orde? (b) Vrij spectraal bereik in orde $p$ : $\Delta\lambda_{\text{FSR}} = \lambda/p$ . (c) Een spectrograaf werkt in orde $20$ nabij $500\,\mathrm{nm}$ (een echelletralie): vrij spectraal bereik; hoe wordt de overlap weggenomen (dwarsdisperser)? (d) Het vrije spectrale bereik van de fabry-pérot is $c/2L$ : schrijf het in golflengte en vergelijk het met dat van het tralie.

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.6.

(a) $p > \lambda_{\min}/(\lambda_{\max} - \lambda_{\min}) = 1.33$ : vanaf $p = 2$ . (b) $\lambda/p$ . (c) $25\,\mathrm{nm}$ ; een prisma dwars op het tralie stapelt de orden boven elkaar. (d) $\Delta\lambda = \lambda^2/2L$ , een fractie van een nanometer — honderden keren kleiner dan die van een tralie.

Oefening 21.7 ★★

Geblazeerd tralie. Een weerkaatsingstralie heeft zijn groeven gekanteld over de blazehoek $\beta$ , zodat elk facet spiegelend weerkaatst in de richting waar men de orde $p$ wil. (a) Voor de littrowopstelling ( $\theta = \theta_0 = \beta$ ): toon aan dat $2a\sin\beta = p\lambda$ ; blazehoek voor $500\,\mathrm{nm}$ in de eerste orde met $1200$ lijnen/mm. (b) Waarom zendt de blaze het meeste licht in één orde (denk aan de omhullende van de buiging van één facet, Hoofdstuk 22)? (c) Hetzelfde tralie is geblazeerd voor $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ : in welke orde is het doeltreffend bij $500\,\mathrm{nm}$ ? (d) Oplossend vermogen van een tralie van $10\,\mathrm{cm}$ in littrow bij $\beta = 64{}^{\circ}$ , $\lambda = 500\,\mathrm{nm}$ (gebruik $R = 2W\sin\beta/\lambda$ ).

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.7.

(a) $\sin\beta = \lambda/2a = 0.3$ , $\beta = 17.5{}^{\circ}$ . (b) Het ene facet buigt in een brede lob rond zijn spiegelende richting; de orden die daarbinnen vallen krijgen het licht. (c) Orde 2 ( $2 \times 500\,\mathrm{nm} = 1\,\text{µ}\mathrm{m}$ onder dezelfde hoek). (d) $R = 2W\sin\beta/\lambda = 3.6 \times 10^5$ .

Oefening 21.8 ★★

De spleet. De ingangsspleet van een spectrometer, van breedte $s$ , wordt met vergroting $1$ op de detector afgebeeld; het tralie ( $600$ lijnen/mm, $5\,\mathrm{cm}$ , orde $1$ , $f = 50\,\mathrm{cm}$ ) disperseert. (a) Breedte van een lijn op de detector door de spleet alleen voor $s = 50\,\text{µ}\mathrm{m}$ , in nm. (b) Breedte door het oplossend vermogen van het tralie. (c) Welke overheerst; spleetbreedte waarbij de twee gelijk zijn. (d) Waarom de spleet niet nog verder sluiten?

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.8.

(a) $\dd\lambda/\dd x = a\cos\theta/pf = 3.1\,\mathrm{nm}/\mathrm{mm}$ : $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ is $0.16\,\mathrm{nm}$ . (b) $R = 30\,000$ : $0.018\,\mathrm{nm}$ . (c) De spleet, met een factor negen; gelijk bij $s = 6\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (d) Buiging aan de spleet en een uitgehongerde detector.

Oefening 21.9 ★★

Fabry-pérot. Spiegels $R = 0.95$ , $L = 5\,\mathrm{mm}$ , $\lambda = 600\,\mathrm{nm}$ . (a) Orde $p$ , vrij spectraal bereik in frequentie en in golflengte. (b) Finesse; breedte van een doorlatingspiek in frequentie en golflengte. (c) Oplossend vermogen $p\mathcal F$ ; vergelijk met het tralie van $10\,\mathrm{cm}$ . (d) Waarom wordt een fabry-pérot altijd met een voorfilter of een tralie gebruikt?

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.9.

(a) $p = 2L/\lambda = 16\,700$ ; VSB $c/2L = 30\,\mathrm{GHz}$ , $\lambda^2/2L = 0.036\,\mathrm{nm}$ . (b) $\mathcal F = \pi\sqrt{0.95}/0.05 = 61$ ; $0.5\,\mathrm{GHz}$ , $0.6\,\mathrm{pm}$ . (c) $p\mathcal F = 10^6$ , vier keer dat van het tralie van $10\,\mathrm{cm}$ . (d) Zijn vrije spectrale bereik is een fractie van een nanometer: de orden overlappen tenzij het licht tot één ervan wordt voorgefilterd.

Oefening 21.10 ★★★

De grens van een tralie. (a) Toon aan dat $R = pN = W(\sin\theta - \sin\theta_0) /\lambda \le 2W/\lambda$ : het oplossend vermogen kan de breedte van het tralie in golflengten, maal twee, niet overtreffen. (b) Duid dat: het grootste wegverschil tussen de uiterste stralen. (c) Een tralie van $30\,\mathrm{cm}$ bij $500\,\mathrm{nm}$ : uiterste $R$ ; kleinste door dopplerverschuiving oplosbare snelheid ( $\Delta\lambda/\lambda = v/c$ ). (d) Waarom halen sterrenkundigen niettemin $1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (denk aan het meten van de plaats van een lijn tot op een fractie van haar breedte, met vele lijnen)?

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.10.

(a) $|\sin\theta - \sin\theta_0| \le 2$ . (b) De uiterste stralen verschillen in weg $W(\sin\theta - \sin\theta_0)$ , hoogstens $2W$ . (c) $2 \times 0.3/5 \times 10^{-7} = 1.2 \times 10^6$ ; $c/R = 250\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (d) Het midden van een lijn wordt tot op een honderdste van haar breedte bepaald, en duizend lijnen middelen uit met $\sqrt{1000}$ : meters per seconde, met heldhaftige stabiliteit.

Oefening 21.11 ★★★

Bragg. Een kristal is een driedimensionaal tralie: röntgenstralen die door opeenvolgende atoomvlakken op afstand $d$ worden weerkaatst, onder de scherende hoek $\theta$ , interfereren opbouwend wanneer $2d\sin\theta = p\lambda$ (Bragg). (a) Leid dat af uit het wegverschil tussen twee vlakken. (b) K $\alpha$ -straling van koper ( $0.154\,\mathrm{nm}$ ) op steenzout ( $d = 0.282\,\mathrm{nm}$ ): de bragghoeken. (c) Waarom geven zichtbare golflengten geen braggweerkaatsing van kristallen, en wat zegt het omgekeerde (geen röntgenbuiging van glas) over glas? (d) Waarom moet $\lambda < 2d$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.11.

(a) De golf die door het onderste vlak wordt weerkaatst legt $2d\sin\theta$ meer af. (b) $\sin\theta = 0.273p$ : $15.8{}^{\circ}$ , $33.1{}^{\circ}$ , $55.0{}^{\circ}$ . (c) $\lambda \gg 2d$ : geen enkele hoek voldoet aan de vergelijking; glas heeft geen regelmatige vlakken, vandaar alleen diffuse ringen — het is amorf. (d) $\sin\theta \le 1$ .

Oefening 21.12 ★★★

Fasegestuurde reeks. $N$ gelijke antennes op een lijn, op afstand $a$ , gevoed met dezelfde amplitude en een fasestap $\psi$ tussen buren. (a) Toon aan dat het uitgestraalde veld in de richting $\theta$ dat van de som van $N$ golven is met $\varphi = 2\pi a\sin\theta/\lambda - \psi$ : de hoofdbundel wijst waar $\sin\theta = \lambda\psi/2\pi a$ . (b) Halfbreedte van de hoofdbundel, $\Delta\theta \approx \lambda/Na\cos\theta$ . (c) Waarom moet $a \le \lambda/2$ om bij het sturen een tweede hoofdbundel (een tralielob) te vermijden? (d) Een radar met $64$ elementen op $\lambda/2$ , $\lambda = 3\,\mathrm{cm}$ : bundelbreedte; tijd om $90^\circ$ af te tasten in stappen van één bundelbreedte als de fasen in $1\,\text{µ}\mathrm{s}$ omschakelen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.12.

(a) Buren verschillen in fase $2\pi a\sin\theta/\lambda$ door de weg en $-\psi$ door de voeding; het hoofdmaximum bij $\varphi = 0$ . (b) Eerste nul bij $\Delta\varphi = 2\pi/N$ : $\Delta\theta = \lambda/Na\cos\theta$ . (c) Een tweede hoofdmaximum bij $\varphi = \pm2\pi$ vergt $|\sin\theta \pm \lambda/a| \le 1$ : alleen als $a \le \lambda/2$ is dat voor elke stuurhoek onmogelijk. (d) $Na = 0.96\,\mathrm{m}$ : $1.8{}^{\circ}$ ; $50$ stappen, $50\,\text{µ}\mathrm{s}$ .

21.6 Vraagstuk: een spectrograaf voor een ster

Probleem 21.1

Weekendvraagstuk — de spectrograaf ontwerpen die het licht van een ster afleest: het tralie, de detector, de lijnen van waterstof, en de schommeling van een planeet

Een spectrograaf: ingangsspleet, collimator met brandpuntsafstand $f_1 = 1.0\,\mathrm{m}$ , een weerkaatsingstralie met $1200$ lijnen/mm en breedte $W = 12\,\mathrm{cm}$ , een camera met $f_2 = 1.0\,\mathrm{m}$ , een detector met pixels van $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ . Hij werkt in de eerste orde, rond $550\,\mathrm{nm}$ , met het tralie bij $20{}^{\circ}$ inval.

Deel I — Het tralie.

Periode van het tralie; aantal belichte lijnen als de bundel de hele breedte bedekt.
Buigingshoek van $550\,\mathrm{nm}$ in de eerste orde; van $400\,\mathrm{nm}$ en $700\,\mathrm{nm}$ ; hoekbreedte van het zichtbare spectrum.
Hoekdispersie bij $550\,\mathrm{nm}$ ; lineaire dispersie op de detector in nm per mm en nm per pixel.
Oplossend vermogen; kleinste opgeloste $\Delta\lambda$ bij $550\,\mathrm{nm}$ ; in pixels.
Valt het violet van de tweede orde op het zichtbare van de eerste orde? Welk filter neemt het weg?
Lengte van de detector die nodig is voor het hele zichtbare spectrum in de eerste orde.
Het tralie is geblazeerd bij $17{}^{\circ}$ : voor welke golflengte is het bij deze inval in de eerste orde het doeltreffendst (gebruik de littrowschatting $2a\sin\beta = \lambda$ )?
Het tralie geeft $80\%$ van het licht terug bij de blazegolflengte en de telescoop plus optiek $40\%$ : aandeel van de fotonen van de ster dat de detector bereikt.

Deel II — Lijnen.

De balmerlijnen van waterstof van de ster: H $\alpha$ $656.3\,\mathrm{nm}$ , H $\beta$ $486.1\,\mathrm{nm}$ , H $\gamma$ $434.0\,\mathrm{nm}$ : hun plaatsen op de detector ten opzichte van $550\,\mathrm{nm}$ .
H $\alpha$ van een deuteriumatoom is $0.18\,\mathrm{nm}$ korter: gescheiden? Over hoeveel pixels?
De natriumdoublet in het spectrum van de ster: scheiding in pixels; en de breedte van elke lijn als de dampkring van de ster haar tot $0.05\,\mathrm{nm}$ verbreedt.
De ingangsspleet is $100\,\text{µ}\mathrm{m}$ breed, afgebeeld met vergroting $f_2/f_1$ : haar breedte op de detector in pixels en in nm; is de spectrograaf spleetbegrensd of traliebegrensd?
Het licht van de telescoop komt als een schijf van $1''$ aan de hemel, die de telescoop ( $f = 20\,\mathrm{m}$ ) $100\,\text{µ}\mathrm{m}$ breed maakt bij de spleet: aandeel van het licht dat verloren gaat als de spleet tot $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ wordt versmald (neem de schijf gelijkmatig).
Waarom geeft een smallere spleet scherpere lijnen maar ruisiger spectra?

Deel III — De ster beweegt.

Een ster wijkt met $30\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ : dopplerverschuiving van H $\alpha$ in nm en in pixels.
De baanbeweging van de aarde voegt over het jaar $\pm30\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ toe: waarom moet die worden afgetrokken, en tot welke nauwkeurigheid als men $100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ wil?
Een planeet laat haar ster met $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ schommelen: verschuiving in nm en in pixels; ligt zij onder de oplossing? Verklaar hoe het meten van het midden van een lijn tot op een honderdste van haar breedte, over duizend lijnen, haar terugwint (statistische winst $\sqrt{N}$ ).
De temperatuur van het instrument verandert $1\,\mathrm{K}$ , en het tralie (glas, uitzetting $1 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$ ) zet uit: verschuiving van de lijnen in pixels; welke stabiliteit is nodig voor $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ?
Een ijklamp (thorium–argon) zet honderden bekende lijnen op dezelfde detector: verklaar haar rol.

Deel IV — Alternatieven.

Hetzelfde tralie met $300$ lijnen/mm getrokken en in de vierde orde gebruikt (met een dwarsdisperser om de orden te sorteren): buigingshoek, oplossend vermogen, dispersie en vrij spectraal bereik bij $550\,\mathrm{nm}$ ; wat is er veranderd, wat niet?
Een fabry-pérotetalon ( $L = 1\,\mathrm{mm}$ , $R = 0.9$ ) vóór de spleet geplaatst: vrij spectraal bereik in nm, finesse, piekbreedte; hoe ziet zijn kam van doorlatingspieken er op de detector uit, en waarvoor dient hij?
Een prisma van $60{}^{\circ}$ in glas met $\dd n/\dd\lambda = -1 \times 10^{-4}\,\mathrm{nm}^{-1}$ heeft nabij de minimale afwijking de hoekdispersie $\dd D/\dd\lambda \approx 2\,\dd n/\dd\lambda$ : vergelijk met die van het tralie; waarom hebben tralies prisma’s vervangen?
Waarom worden de grootste sterrenkundige spectrografen gebouwd met tralies van een meter breed en onder grote hoeken gebruikt (de grens $2W/\lambda$ )?
Een ster van magnitude 8 levert $1 \times 10^{4}\,$ fotonen per seconde en per nanometer bij de telescoop: fotonen per pixel per seconde op de detector, en de signaal-ruisverhouding van een belichting van $100\,\mathrm{s}$ (alleen fotonruis).
Vat samen: de drie getallen die een spectrograaf beschrijven (dispersie, oplossend vermogen, vrij spectraal bereik) en wat elk ervan bepaalt.

Oplossing

Oplossing van Probleem 21.1.

1. $a = 0.833\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; $N = 144\,000$ .

2. $\sin\theta = \sin20^\circ - \lambda/a$ (de orde ligt aan de andere kant van de normaal): $550\,\mathrm{nm}$ bij $18.5{}^{\circ}$ , $400\,\mathrm{nm}$ bij $7.9{}^{\circ}$ , $700\,\mathrm{nm}$ bij $29.9{}^{\circ}$ : $22{}^{\circ}$ spectrum.

3. $1/a\cos\theta = 1.27 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}/\mathrm{nm}$ ; $f_2\times$ : $1.27\,\mathrm{mm}/\mathrm{nm}$ , dat wil zeggen $0.79\,\mathrm{nm}/\mathrm{mm}$ , $0.012\,\mathrm{nm}$ per pixel.

4. $R = N = 144\,000$ : $0.0038\,\mathrm{nm}$ , een derde pixel.

5. $400\,\mathrm{nm}$ van de tweede orde landt waar $800\,\mathrm{nm}$ van de eerste orde zou landen, voorbij het rood: geen overlap in het zichtbare; de overlap zou bij $350\,\mathrm{nm}$ beginnen, wat een glasfilter wegneemt.

6. $22{}^{\circ}$ $\times$ $1\,\mathrm{m}$ $= 38\,\mathrm{cm}$ : een detector bestrijkt een strook; het tralie wordt gedraaid om die te kiezen.

7. $\lambda = 2a\sin17^\circ = 490\,\mathrm{nm}$ .

8. $0.8 \times 0.4 = 32\%$ .

9. Hoeken $26.5{}^{\circ}$ , $14.0{}^{\circ}$ , $10.3{}^{\circ}$ : $+14$ , $-8$ en $-14\,\mathrm{cm}$ vanaf de plaats van $550\,\mathrm{nm}$ .

10. $0.18\,\mathrm{nm}$ is $15$ pixels: gescheiden.

11. $50$ pixels uit elkaar, elk $4$ pixels breed.

12. $100\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $6.7$ pixels, $0.08\,\mathrm{nm}$ — twintig keer de grens van het tralie: spleetbegrensd.

13. Het beeld is $97\,\text{µ}\mathrm{m}$ breed: een spleet van $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ laat de helft van het licht door.

14. Minder licht bij dezelfde scherpte: de fotonruis groeit.

15. $\Delta\lambda = \lambda v/c = 0.066\,\mathrm{nm}$ , $5.5$ pixels.

16. De snelheid van de aarde verschuift elke lijn door het jaar heen over ten hoogste $\pm5.5$ pixels; zij is uit de efemeriden bekend tot veel beter dan de $0.3\%$ die voor $100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ nodig is.

17. $2.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{nm}$ , $0.002$ pixel — ver onder de lijnbreedte. Een zwaartepunt tot op een honderdste van een lijn van $7\,\mathrm{px}$ is $0.07\,\mathrm{px}$ ; duizend lijnen geven $\sqrt{1000}$ : $0.002$ pixel — het signaal, maar net. Werkelijke instrumenten voegen oplossend vermogen en stabiliteit toe.

18. $\Delta\sin\theta = (\lambda/a) \times 10^{-5} = 6.6 \times 10^{-6}$ , $\Delta\theta = 7 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}$ , $7\,\text{µ}\mathrm{m}$ : een halve pixel per kelvin — millikelvins voor $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

19. Haar lijnen, op hetzelfde ogenblik op dezelfde pixels opgenomen, geven de golflengteschaal en volgen elke drift.

20. $a = 3.33\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $N = 36\,000$ , dezelfde hoek ( $18.5{}^{\circ}$ ), $R = 4N = 144\,000$ , dezelfde dispersie, VSB $\lambda/4 = 137\,\mathrm{nm}$ : oplossend vermogen en dispersie hangen alleen van $W$ en de hoek af; het vrije spectrale bereik kromp.

21. VSB $\lambda^2/2L = 0.15\,\mathrm{nm}$ ( $12$ pixels); $\mathcal F = 30$ ; pieken $0.005\,\mathrm{nm}$ breed: een kam van scherpe lijnen over de detector, een golflengteliniaal.

22. $2 \times 10^{-4}$ tegen $1.3 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}/\mathrm{nm}$ : zes keer minder, en het oplossend vermogen van een prisma ( $b\,\dd n/\dd\lambda \sim 10^4$ ) en zijn niet-lineaire schaal verliezen ook; tralies werken bovendien in het ultraviolet.

23. $R \le 2W/\lambda$ : $4 \times 10^6$ voor een meter bij $500\,\mathrm{nm}$ — breedte en hoek zijn de enige wegen omhoog.

24. $10^4 \times 0.012 \times 0.32 = 38$ fotonen per pixel per seconde; $3800$ in $100\,\mathrm{s}$ : SRV $\approx 60$ .

25. Dispersie, bepaald door $p/a\cos\theta$ en de brandpuntsafstand van de camera; oplossend vermogen, door de belichte breedte en de hoeken ( $pN$ ); vrij spectraal bereik, door de orde ( $\lambda/p$ ).

21.1 Interferentie van NNN golven

21.2 Het buigingstralie

21.3 Oplossend vermogen

21.4 De fabry-pérotholte

21.5 Opgaven

21.6 Vraagstuk: een spectrograaf voor een ster

21.1 Interferentie van $N$ golven