Universitaire scheikunde — jaar 1 · Bachelor Year 1

1Kwantumgetallen en elektronenconfiguraties

Vul een glazen buis met waterstof onder lage druk, stuur er een elektrische ontlading door en bekijk de roze gloed door een prisma. Het licht wordt niet uitgespreid tot een regenboog. Het valt uiteen in vier scherpe lijnen — één rode, één blauwgroene, twee violette — en daartussen niets. Een hete vaste stof straalt bij alle golflengten; een waterstofatoom zendt er maar een handvol uit. De verklaring, gevonden tussen 1913 en 1926, is dat de energie van een elektron in een atoom niet elke waarde kan aannemen: ze is gekwantiseerd. Dit hoofdstuk geeft de regels van die kwantisering zoals een chemicus ze gebruikt — vier kwantumgetallen, drie opvulregels — en leidt daaruit de elektronenconfiguratie van elk atoom en elk ion af, de sleutel tot het periodiek systeem van het volgende hoofdstuk.

Wat je al weet

Boek 1 (jaar 10) verdeelde de elektronen van de eerste twintig elementen over schillen en subschillen, 1s, 2s, 2p, 3s, 3p, en noemde de elektronen van de buitenste schil de valentie-elektronen. Uit de natuurkunde gebruiken we als bekend dat licht met golflengte $\lambda$ bestaat uit fotonen met energie $E = h\nu = hc/\lambda$ , waarin $h$ de constante van Planck is en $c$ de lichtsnelheid.

Lagedruknatriumlampen langs een straat. Hun licht is bijna één enkele oranjegele lijn: net als waterstof zendt een aangeslagen natriumatoom alleen fotonen met een paar welbepaalde energieën uit.

1.1 Gekwantiseerde energieën: het spectrum van waterstof

Definitie 1.1 (Energieniveau, grondtoestand, aangeslagen toestand)

De energie van een elektron dat in een atoom gebonden is, kan alleen bepaalde waarden aannemen: de energieniveaus van het atoom. Het nulpunt van de energie ligt bij een elektron dat in rust is, oneindig ver van de kern (het atoom is geïoniseerd), zodat elk niveau van een gebonden elektron negatief is. Het laagste niveau is de grondtoestand; elk ander niveau is een aangeslagen toestand.

Een atoom gaat van een niveau met energie $E_{\text{hoog}}$ naar een lager niveau $E_{\text{laag}}$ door één foton uit te zenden, en van het lagere naar het hogere niveau door er één te absorberen, met energie

h\nu = \frac{hc}{\lambda} = E_{\text{hoog}} - E_{\text{laag}} .

Een lijnenspectrum is dus een afbeelding van de verschillen tussen de niveaus.

Stelling 1.2 (Energieniveaus van het waterstofatoom)

De energieniveaus van het waterstofatoom zijn

E_n = -\frac{E_R}{n^2}, \qquad n = 1, 2, 3, \dots, \qquad E_R = 13.6\,\mathrm{eV},

waarin $E_R$ de rydbergenergie is (gecorrigeerd voor de beweging van de kern). De grondtoestand is $E_1 = -13.6\,\mathrm{eV}$ en de ionisatie-energie van het atoom is $E_R$ .

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Opmerking 1.3 (Waar de formule vandaan komt)

De formule volgt uit het oplossen van de schrödingervergelijking van het elektron in het veld van het proton; die oplossing, en de vormen van de golffuncties die ze oplevert, worden afgeleid in het deel van jaar 2. Niels Bohr had in 1913 dezelfde niveaus gevonden met een eenvoudiger model van cirkelbanen, dat inmiddels verlaten is.

Propositie 1.4 (De formule van Rydberg)

De lijnen die waterstof uitzendt, hebben golflengten gegeven door

\frac{1}{\lambda} = R_H\left(\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}\right), \qquad n_2 > n_1 \ge 1, \qquad R_H = \frac{E_R}{hc},

voor de overgang van niveau $n_2$ naar niveau $n_1$ . De lijnen die op hetzelfde niveau $n_1$ eindigen, vormen een reeks: Lyman voor $n_1 = 1$ (ultraviolet), Balmer voor $n_1 = 2$ (zichtbaar), Paschen voor $n_1 = 3$ (infrarood).

Bewijs. Het foton draagt de energie weg die het atoom verliest: $hc/\lambda = E_{n_2} - E_{n_1} = -E_R/n_2^2 + E_R/n_1^2 = E_R\,(1/n_1^2 - 1/n_2^2)$ . Delen door $hc$ geeft de formule. ∎

Voorbeeld 1.5 (De rode lijn van waterstof)

Voor de overgang $3 \to 2$ : $\Delta E = 13.6\,(1/4 - 1/9) = 1.89\,\mathrm{eV}$ . Met $hc = 1240\,\mathrm{eV}\,\mathrm{nm}$ (uit de waarden van $h$ , $c$ en $e$ ) is $\lambda = 1240/1.89 = 656\,\mathrm{nm}$ : de rode lijn. De andere balmerlijnen, $4 \to 2$ , $5 \to 2$ , $6 \to 2$ , liggen bij 486, 434 en $410\,\mathrm{nm}$ ; de volgende, $7 \to 2$ bij $397\,\mathrm{nm}$ , ligt al in het ultraviolet. De gemeten golflengten, 656.3, 486.1, 434.0 en $410.2\,\mathrm{nm}$ , stemmen hiermee overeen tot op minder dan één op tweeduizend; het kleine resterende verschil komt doordat in lucht en niet in vacuüm gemeten wordt.

De energieniveaus van waterstof, E_n = -13.6\, eV/n2, op schaal getekend (berekend uit de rydbergconstante); de niveaus n = 4, 5, … dringen zich onder nul samen. Elke pijl is één uitgezonden foton; pijlen die op hetzelfde niveau eindigen, vormen een reeks. — De energieniveaus van waterstof, $E_n = -13.6\,\mathrm{eV}/n^2$ , op schaal getekend (berekend uit de rydbergconstante); de niveaus $n = 4, 5, \dots$ dringen zich onder nul samen. Elke pijl is één uitgezonden foton; pijlen die op hetzelfde niveau eindigen, vormen een reeks.

De balmerlijnen, berekend met de formule van Rydberg (golflengten in vacuüm), op de zichtbare band. Verdere lijnen dringen zich samen naar de reeksgrens bij 364.7\, nm, in het ultraviolet. — De balmerlijnen, berekend met de formule van Rydberg (golflengten in vacuüm), op de zichtbare band. Verdere lijnen dringen zich samen naar de reeksgrens bij $364.7\,\mathrm{nm}$ , in het ultraviolet.

Geschiedenis — Het atoom van Bohr, 1913

In 1913 stelde Niels Bohr, een 28-jarige Deense natuurkundige die in Manchester werkte, voor dat het elektron van waterstof alleen langs bepaalde banen om de kern kon draaien, en dat er licht werd uitgezonden wanneer het van de ene baan naar een lagere sprong. Zijn model gaf de balmerlijnen exact, en ook de waarde van de rydbergconstante uit $h$ , $e$ en de massa van het elektron. De banen overleefden de kwantummechanica van 1925–1926 niet, de gekwantiseerde niveaus wel. Bohr kreeg in 1922 de Nobelprijs voor Natuurkunde.

1.2 Vier kwantumgetallen

In een atoom met veel elektronen worden de energieën niet meer door één enkele formule gegeven, maar elk elektron wordt nog steeds beschreven door een klein stel gehele getallen, zijn kwantumgetallen.

Definitie 1.6 (Kwantumgetallen)

De toestand van een elektron in een atoom wordt aangeduid met vier getallen:

het hoofdkwantumgetal $n = 1, 2, 3, \dots$ , dat vooral de energie en de grootte bepaalt;
het nevenkwantumgetal (of azimutaal kwantumgetal) $l = 0, 1, \dots, n-1$ , dat de vorm bepaalt; $l = 0, 1, 2, 3$ worden geschreven als s, p, d, f;
het magnetisch kwantumgetal $m_l = -l, -l+1, \dots, l$ , dat de oriëntatie bepaalt ( $2l + 1$ waarden);
het spinkwantumgetal $m_s = +\tfrac12$ of $-\tfrac12$ , een intrinsieke eigenschap van het elektron, getekend als een pijl omhoog of omlaag.

Definitie 1.7 (Atoomorbitaal, schil, subschil)

Een atoomorbitaal is de één-elektrontoestand die wordt aangeduid met de drie getallen $(n, l, m_l)$ ; hij wordt getekend als één hokje, . De orbitalen met dezelfde $n$ vormen een elektronenschil; die met dezelfde $n$ en $l$ vormen een subschil, benoemd met $n$ en de letter van $l$ : 2p is de subschil $n = 2$ , $l = 1$ , die uit drie orbitalen bestaat ( $m_l = -1, 0, 1$ ).

Opmerking 1.8 (Vormen)

Een s-orbitaal is bolvormig; een p-orbitaal heeft twee lobben langs een as, en de drie 2p-orbitalen wijzen langs $x$ , $y$ en $z$ . De wiskundige beschrijving van die vormen — golffuncties, hun radiale en hoekdelen, hun knopen — hoort bij het deel van jaar 2. In dit boek is een orbitaal een hokje dat ten hoogste twee elektronen bevat.

Propositie 1.9 (Capaciteit van een subschil en van een schil)

Een subschil met nevenkwantumgetal $l$ bevat $2l + 1$ orbitalen en kan $2(2l + 1)$ elektronen bevatten: 2 in s, 6 in p, 10 in d, 14 in f. De schil $n$ bevat $n^2$ orbitalen en kan $2n^2$ elektronen bevatten.

Bewijs. Bij een gegeven $l$ neemt $m_l$ de $2l + 1$ waarden van $-l$ tot $l$ aan, en elke orbitaal bevat twee elektronen met tegengestelde spin (Propositie 1.12 hieronder). Bij een gegeven $n$ loopt $l$ van $0$ tot $n - 1$ , zodat het aantal orbitalen gelijk is aan

\sum_{l=0}^{n-1} (2l+1) = 2\,\frac{(n-1)n}{2} + n = n^2 ,

en het aantal elektronen $2n^2$ : 2, 8, 18, 32 voor $n = 1$ tot 4. ∎

Voorbeeld 1.10 (De derde schil)

Voor $n = 3$ : $l = 0$ (3s, één orbitaal), $l = 1$ (3p, drie orbitalen), $l = 2$ (3d, vijf orbitalen, $m_l = -2, \dots, 2$ ): negen orbitalen en ten hoogste 18 elektronen. Een elektron in 3d heeft bijvoorbeeld de kwantumgetallen $(3, 2, -1, +\tfrac12)$ .

1.3 Configuraties opbouwen

Definitie 1.11 (Elektronenconfiguratie)

De elektronenconfiguratie van een atoom of ion is de lijst van zijn bezette subschillen, met het aantal elektronen in elk ervan als exponent geschreven: $1\text{s}^2 2\text{s}^2 2\text{p}^4$ voor zuurstof. De elektronen met de hoogste $n$ , samen met die van een onvolledig gevulde d- of f-subschil, zijn de valentie-elektronen; de andere zijn de rompelektronen. Een configuratie wordt afgekort door de configuratie van het voorafgaande edelgas tussen vierkante haken te schrijven: zuurstof is $[\ce{He}]\,2\text{s}^2 2\text{p}^4$ .

Drie regels geven de configuratie in de grondtoestand.

Propositie 1.12 (Uitsluitingsprincipe van Pauli)

Twee elektronen van hetzelfde atoom hebben nooit dezelfde vier kwantumgetallen. Eén orbitaal bevat dus ten hoogste twee elektronen, en die hebben dan tegengestelde spin: .

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Propositie 1.13 (Regel van Klechkowski)

In de grondtoestand van een neutraal atoom worden de subschillen gevuld in volgorde van toenemende $n + l$ , en bij gelijke $n + l$ in volgorde van toenemende $n$ :

1\text{s},\ 2\text{s},\ 2\text{p},\ 3\text{s},\ 3\text{p},\ 4\text{s},\ 3\text{d},\ 4\text{p},\ 5\text{s},\ 4\text{d},\ 5\text{p},\ 6\text{s},\ 4\text{f},\ 5\text{d},\ 6\text{p},\ 7\text{s},\ 5\text{f},\ 6\text{d},\ 7\text{p}.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Opmerking 1.14 (Een empirische regel)

De regel van Klechkowski (ook regel van Madelung genoemd) is een samenvatting van waargenomen configuraties, geen wet: hij beschrijft de volgorde waarin de subschillen zich vullen naarmate de kernlading toeneemt. In een atoom met veel elektronen stoten de elektronen elkaar af, zodat de energie van een subschil zowel van $l$ als van $n$ afhangt: een 4s-elektron, dat een deel van zijn tijd dicht bij de kern doorbrengt, komt in kalium en calcium onder 3d te liggen.

Het schema van Klechkowski. De subschillen met dezelfde n + l liggen op één diagonaal; wie de diagonalen in volgorde doorloopt, krijgt de opvulvolgorde 1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 4s, 3d, 4p, 5s, … — Het schema van Klechkowski. De subschillen met dezelfde $n + l$ liggen op één diagonaal; wie de diagonalen in volgorde doorloopt, krijgt de opvulvolgorde 1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 4s, 3d, 4p, 5s, …

Propositie 1.15 (Regel van Hund)

Wanneer de elektronen van een subschil over meerdere orbitalen met dezelfde energie verdeeld kunnen worden, heeft de grondtoestand het grootste aantal parallelle spins: de elektronen bezetten afzonderlijke orbitalen, met spin omhoog, voordat een orbitaal dubbel bezet wordt.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Definitie 1.16 (Ongepaard elektron)

Een ongepaard elektron is een elektron dat alleen in zijn orbitaal zit. Een deeltje met ongepaarde elektronen wordt door een magneet aangetrokken (het is paramagnetisch, een eigenschap die in de natuurkunde bestudeerd wordt).

Methode 1.17 (Een configuratie in de grondtoestand schrijven)

Zo schrijf je de configuratie van een atoom met atoomnummer $Z$ :

verdeel $Z$ elektronen over de subschillen in de volgorde van Klechkowski, en vul elke subschil (2, 6, 10, 14) vóór de volgende;
schrijf het resultaat in volgorde van toenemende $n$ (3d bij $n = 3$ gegroepeerd), en kort af met de romp van het voorafgaande edelgas;
teken voor de laatste, onvolledig gevulde subschil de hokjes en pas de regel van Hund toe om de ongepaarde elektronen te tellen.

Voorbeeld 1.18 (Koolstof, stikstof, zuurstof, ijzer)

De methode geeft voor vier atomen:

atoom	configuratie	laatste subschil	ongepaard
$\ce{C}$ ( $Z = 6$ )	$[\ce{He}]\,2\text{s}^2 2\text{p}^2$	2p:	2
$\ce{N}$ ( $Z = 7$ )	$[\ce{He}]\,2\text{s}^2 2\text{p}^3$	2p:	3
$\ce{O}$ ( $Z = 8$ )	$[\ce{He}]\,2\text{s}^2 2\text{p}^4$	2p:	2
$\ce{Fe}$ ( $Z = 26$ )	$[\ce{Ar}]\,3\text{d}^6 4\text{s}^2$	3d:	4

Voor ijzer vult de volgorde van Klechkowski 4s ( $Z = 19, 20$ ) vóór 3d ( $Z = 21$ tot 30); de configuratie wordt met 3d eerst geschreven.

Kwantumhokjes. Elk hokje is één orbitaal; een pijl is één elektron met zijn spin. Stikstof volgt de regel van Hund; chroom is een van de uitzonderingen van . — Kwantumhokjes. Elk hokje is één orbitaal; een pijl is één elektron met zijn spin. Stikstof volgt de regel van Hund; chroom is een van de uitzonderingen van Propositie 1.21.

1.4 Ionen, uitzonderingen en de vorm van het systeem

Propositie 1.19 (Configuraties van ionen)

Een eenatomig anion heeft de configuratie van het atoom, met de extra elektronen op de volgende plaatsen van de volgorde van Klechkowski; een kation van een hoofdgroepelement verliest de elektronen met de hoogste $n$ . Een kation van een overgangsmetaal verliest zijn $n$ s-elektronen vóór zijn $(n-1)$ d-elektronen: $\ce{Fe^{2+}}$ is $[\ce{Ar}]\,3\text{d}^6$ en $\ce{Fe^{3+}}$ is $[\ce{Ar}]\,3\text{d}^5$ , niet $[\ce{Ar}]\,3\text{d}^4 4\text{s}^2$ .

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Opmerking 1.20 (Opvulvolgorde is geen verwijderingsvolgorde)

4s wordt in kalium en calcium vóór 3d gevuld, en toch wordt het in de ionen van de overgangsmetalen het eerst geleegd. Dat is geen tegenspraak: de volgorde van de energieën van de subschillen verandert met de kernlading en het aantal elektronen, en in een atoom of ion van een overgangsmetaal ligt de 3d-subschil onder 4s. De regel van Klechkowski beschrijft alleen neutrale atomen.

Propositie 1.21 (Twee uitzonderingen in de eerste overgangsreeks)

De waargenomen configuraties in de grondtoestand van chroom en koper zijn

\ce{Cr}: [\ce{Ar}]\,3\text{d}^5 4\text{s}^1, \qquad \ce{Cu}: [\ce{Ar}]\,3\text{d}^{10} 4\text{s}^1 ,

in plaats van de $3\text{d}^4 4\text{s}^2$ en $3\text{d}^9 4\text{s}^2$ die de regel van Klechkowski voorspelt: een half gevulde of volle d-subschil is bijzonder stabiel, en de niveaus 4s en 3d liggen dicht bij elkaar.

Voorbeeld 1.22 (Koper en zijn ionen)

$\ce{Cu}$ is $[\ce{Ar}]\,3\text{d}^{10} 4\text{s}^1$ ; $\ce{Cu+}$ is $[\ce{Ar}]\,3\text{d}^{10}$ , zonder ongepaard elektron; $\ce{Cu^{2+}}$ is $[\ce{Ar}]\,3\text{d}^9$ , met één. $\ce{Zn^{2+}}$ , $[\ce{Ar}]\,3\text{d}^{10}$ , heeft er geen.

Propositie 1.23 (Configuraties en het periodiek systeem)

Periode $n$ van het periodiek systeem begint met het vullen van $n$ s en eindigt met het vullen van $n$ p. De subschillen die daartussen gevuld worden, zijn volgens de regel van Klechkowski $(n-2)$ f en $(n-1)$ d. De perioden bevatten dus $2, 8, 8, 18, 18, 32, 32$ elementen, en de edelgassen hebben $Z = 2, 10, 18, 36, 54, 86, 118$ .

Bewijs. De perioden 1 tot 3 bevatten alleen $n$ s (en $n$ p voor $n \ge 2$ ): $2$ , daarna tweemaal $2 + 6 = 8$ . In de perioden 4 en 5 komt $(n-1)$ d erbij: $2 + 10 + 6 = 18$ . In de perioden 6 en 7 ook $(n-2)$ f: $2 + 14 + 10 + 6 = 32$ . De edelgassen sluiten elke periode af: $2$ , $2 + 8 = 10$ , $18$ , $18 + 18 = 36$ , $54$ , $54 + 32 = 86$ , $118$ . ∎

Het periodiek systeem, gekleurd naar de laatste subschil die gevuld wordt: het s-, p-, d- en f-blok. De breedte van elk blok is de capaciteit van zijn subschil, 2, 6, 10 en 14.

1.5 Oefeningen

Oefening 1.1 ★

Welke van deze viertallen $(n, l, m_l, m_s)$ kunnen een elektron in een atoom beschrijven? Leg elke afwijzing uit. (a) $(2, 2, 0, +\tfrac12)$ ; (b) $(3, 1, -1, -\tfrac12)$ ; (c) $(1, 0, 0, 0)$ ; (d) $(4, 3, -3, +\tfrac12)$ ; (e) $(3, 0, 1, -\tfrac12)$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.1.

(a) Onmogelijk: $l \le n - 1 = 1$ . (b) Mogelijk (een 3p-elektron). (c) Onmogelijk: $m_s = \pm\tfrac12$ . (d) Mogelijk (een 4f-elektron). (e) Onmogelijk: voor $l = 0$ kan $m_l$ alleen 0 zijn.

Oefening 1.2 ★

Hoeveel orbitalen, en ten hoogste hoeveel elektronen, bevatten de subschillen 3d, 4f en 5p, en de schil $n = 2$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.2.

3d: 5 orbitalen, 10 elektronen; 4f: 7 orbitalen, 14 elektronen; 5p: 3 orbitalen, 6 elektronen; schil $n = 2$ : $n^2 = 4$ orbitalen, $2n^2 = 8$ elektronen.

Oefening 1.3 ★

Schrijf de configuraties in de grondtoestand van $\ce{O}$ , $\ce{P}$ , $\ce{K}$ , $\ce{Ca}$ en $\ce{Br}$ ( $Z = 8, 15, 19, 20, 35$ ) voluit en afgekort, en geef van elk het aantal valentie-elektronen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.3.

$\ce{O}$ : $1\text{s}^2 2\text{s}^2 2\text{p}^4 = [\ce{He}]\,2\text{s}^2 2\text{p}^4$ , 6 valentie-elektronen. $\ce{P}$ : $1\text{s}^2 2\text{s}^2 2\text{p}^6 3\text{s}^2 3\text{p}^3 = [\ce{Ne}]\,3\text{s}^2 3\text{p}^3$ , 5. $\ce{K}$ : $[\ce{Ar}]\,4\text{s}^1$ , 1. $\ce{Ca}$ : $[\ce{Ar}]\,4\text{s}^2$ , 2. $\ce{Br}$ : $[\ce{Ar}]\,3\text{d}^{10} 4\text{s}^2 4\text{p}^5$ , 7 (de volle 3d-subschil hoort bij de romp).

Oefening 1.4 ★

Teken de kwantumhokjes van de valentiesubschillen van stikstof, zwavel en chloor, en tel hun ongepaarde elektronen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.4.

$\ce{N}$ , 2p: , 3 ongepaard. $\ce{S}$ , 3p: , 2 ongepaard. $\ce{Cl}$ , 3p: , 1 ongepaard. In elk geval is 2s of 3s vol, .

Oefening 1.5 ★★

Geef de configuraties van $\ce{Na+}$ , $\ce{Mg^{2+}}$ , $\ce{Al^{3+}}$ , $\ce{F-}$ , $\ce{O^{2-}}$ , $\ce{Cl-}$ , $\ce{S^{2-}}$ en $\ce{Ca^{2+}}$ . Met welk edelgas is elk ervan iso-elektronisch?

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.5.

$\ce{Na+}$ , $\ce{Mg^{2+}}$ , $\ce{Al^{3+}}$ , $\ce{F-}$ , $\ce{O^{2-}}$ : $1\text{s}^2 2\text{s}^2 2\text{p}^6$ , iso-elektronisch met neon. $\ce{Cl-}$ , $\ce{S^{2-}}$ , $\ce{Ca^{2+}}$ : $[\ce{Ne}]\,3\text{s}^2 3\text{p}^6$ , iso-elektronisch met argon.

Oefening 1.6 ★★

Schrijf de configuraties van $\ce{Ti^{2+}}$ , $\ce{Mn^{2+}}$ , $\ce{Co^{2+}}$ , $\ce{Ni^{2+}}$ en $\ce{Zn^{2+}}$ ( $Z = 22, 25, 27, 28, 30$ ) en geef van elk het aantal ongepaarde elektronen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.6.

De 4s-elektronen vertrekken eerst (Propositie 1.19). $\ce{Ti^{2+}}$ : $[\ce{Ar}]\,3\text{d}^2$ , 2 ongepaard; $\ce{Mn^{2+}}$ : $3\text{d}^5$ , 5; $\ce{Co^{2+}}$ : $3\text{d}^7$ , 3 (); $\ce{Ni^{2+}}$ : $3\text{d}^8$ , 2; $\ce{Zn^{2+}}$ : $3\text{d}^{10}$ , 0.

Oefening 1.7 ★★

Bereken de energie en de golflengte van het foton dat bij de overgang $4 \to 3$ van waterstof wordt uitgezonden. In welk deel van het spectrum ligt het? Neem $E_R = 13.6\,\mathrm{eV}$ en $hc = 1240\,\mathrm{eV}\,\mathrm{nm}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.7.

$\Delta E = 13.6\,(1/9 - 1/16) = 13.6 \times 7/144 = 0.661\,\mathrm{eV}$ ; $\lambda = 1240/0.661 = 1876\,\mathrm{nm} \approx 1.88\,\text{µ}\mathrm{m}$ : infrarood (eerste lijn van de paschenreeks).

Oefening 1.8 ★★

Identificeer de elementen waarvan de configuratie in de grondtoestand eindigt op (a) $3\text{s}^2 3\text{p}^4$ ; (b) $4\text{s}^2 3\text{d}^{10} 4\text{p}^5$ ; (c) $5\text{s}^1$ ; (d) $4\text{s}^2 3\text{d}^3$ . Geef de vier kwantumgetallen van één elektron van de laatste subschil van (a).

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.8.

(a) $[\ce{Ne}]\,3\text{s}^2 3\text{p}^4$ : zwavel, $Z = 16$ . (b) $[\ce{Ar}]\,3\text{d}^{10} 4\text{s}^2 4\text{p}^5$ : broom, $Z = 35$ . (c) $[\ce{Kr}]\,5\text{s}^1$ : rubidium, $Z = 37$ . (d) $[\ce{Ar}]\,3\text{d}^3 4\text{s}^2$ : vanadium, $Z = 23$ . Een 3p-elektron van zwavel: bijvoorbeeld $(3, 1, -1, +\tfrac12)$ .

Oefening 1.9 ★★

Leg met de regel van Klechkowski uit waarom het negentiende elektron van kalium in 4s terechtkomt en niet in 3d, en waarom periode 3 acht elementen bevat en geen achttien.

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.9.

Voor 4s is $n + l = 4 + 0 = 4$ ; voor 3d is $n + l = 3 + 2 = 5$ : 4s komt eerst. Na 3p ( $n + l = 4$ ) is de volgende subschil 4s ( $n + l = 4$ , grotere $n$ ), die periode 4 opent; 3d ( $n + l = 5$ ) komt pas na 4s. Periode 3 bevat dus alleen 3s en 3p: $2 + 6 = 8$ elementen.

Oefening 1.10 ★★★

Een ion met één enkel elektron en een kern met lading $Ze$ heeft de niveaus $E_n = -Z^2 E_R/n^2$ (aangenomen). Bereken voor $\ce{He+}$ ( $Z = 2$ ) de ionisatie-energie en de golflengte van de overgang $2 \to 1$ . Vergelijk met waterstof.

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.10.

Ionisatie-energie $Z^2E_R = 4 \times 13.6 = 54.4\,\mathrm{eV}$ , vier keer die van waterstof. $2 \to 1$ : $\Delta E = 54.4\,(1 - 1/4) = 40.8\,\mathrm{eV}$ , $\lambda = 1240/40.8 = 30.4\,\mathrm{nm}$ , vier keer korter dan de waterstoflijn bij $121.6\,\mathrm{nm}$ : elke energie wordt met $Z^2 = 4$ vermenigvuldigd.

Oefening 1.11 ★★★

Zeg van elke configuratie of het een grondtoestand, een aangeslagen toestand of onmogelijk is, en waarom: (a) $1\text{s}^2 2\text{s}^1 2\text{p}^1$ ; (b) $1\text{s}^2 2\text{s}^2 2\text{p}^7$ ; (c) $1\text{s}^2 2\text{p}^2$ ; (d) $[\ce{Ne}]\,3\text{s}^2 3\text{p}^3$ ; (e) $1\text{s}^3$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.11.

(a) Aangeslagen toestand van beryllium (grondtoestand $1\text{s}^2 2\text{s}^2$ ). (b) Onmogelijk: 2p bevat ten hoogste 6 elektronen. (c) Aangeslagen toestand van beryllium. (d) Grondtoestand van fosfor. (e) Onmogelijk: een s-subschil bevat twee elektronen (Pauli).

Oefening 1.12 ★★★

IJzer(III)zouten worden sterker door een magneet aangetrokken dan ijzer(II)zouten, en zinkzouten helemaal niet. Rangschik $\ce{Fe^{2+}}$ , $\ce{Fe^{3+}}$ , $\ce{Mn^{2+}}$ , $\ce{Cu^{2+}}$ en $\ce{Zn^{2+}}$ naar het aantal ongepaarde elektronen, en verklaar de waarneming, in de veronderstelling dat de aantrekking met dat aantal toeneemt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.12.

$\ce{Fe^{3+}}$ $3\text{d}^5$ : 5; $\ce{Mn^{2+}}$ $3\text{d}^5$ : 5; $\ce{Fe^{2+}}$ $3\text{d}^6$ : 4; $\ce{Cu^{2+}}$ $3\text{d}^9$ : 1; $\ce{Zn^{2+}}$ $3\text{d}^{10}$ : 0. Rangorde: $\ce{Fe^{3+}} = \ce{Mn^{2+}} > \ce{Fe^{2+}} > \ce{Cu^{2+}} > \ce{Zn^{2+}}$ . IJzer(III) heeft één ongepaard elektron meer dan ijzer(II) en wordt dus sterker aangetrokken; zink(II) heeft er geen en wordt dus niet aangetrokken.

1.6 Probleem: lijnen van een lamp, en een wereld met drie spins

Probleem 1.1

Weekendprobleem — van de vier lijnen van een waterstoflamp naar de lengte van de perioden, en hoe het periodiek systeem eruit zou zien als een elektron drie spintoestanden had

Neem overal $E_R = 13.6\,\mathrm{eV}$ en $hc = 1240\,\mathrm{eV}\,\mathrm{nm}$ . De zichtbare band loopt van ongeveer 400 tot $700\,\mathrm{nm}$ .

Deel I — De waterstoflamp.

Bereken de energieën $E_1$ tot $E_4$ van het waterstofatoom.
Bereken de energie en de golflengte van het foton dat bij de overgang $3 \to 2$ wordt uitgezonden. Welke kleur heeft het?
Bereken de golflengten van de overgangen $4 \to 2$ , $5 \to 2$ en $6 \to 2$ .
Waarom toont een waterstoflamp precies vier zichtbare lijnen? Bereken de golflengte van $7 \to 2$ om het antwoord te staven.
Bereken de reeksgrens van de balmerreeks.
Bereken de golflengte van de eerste lymanlijn, $2 \to 1$ . Waarom is die niet te zien?
Wat is de grootste golflengte van een foton dat een waterstofatoom in de grondtoestand kan ioniseren?

Deel II — Toestanden tellen.

Som de waarden van $l$ en $m_l$ op voor $n = 3$ ; hoeveel orbitalen bevat de schil?
Toon aan dat de schil $n$ $2n^2$ elektronen bevat; pas toe op $n = 4$ .
Schrijf de volgorde van Klechkowski op tot 7p.
Leid de lengten van de zeven perioden af.
Leg uit waarom de 3d-subschil niet in periode 3 voorkomt.
Leid de atoomnummers van de edelgassen af.

Deel III — De overgangsmetalen.

Schrijf de configuratie van ijzer ( $Z = 26$ ) en teken zijn 3d-hokjes. Hoeveel ongepaarde elektronen zijn er?
Dezelfde vragen voor $\ce{Fe^{2+}}$ en $\ce{Fe^{3+}}$ . Welk van de twee heeft een half gevulde subschil?
De waargenomen configuratie van chroom is $[\ce{Ar}]\,3\text{d}^5 4\text{s}^1$ . Vergelijk met de voorspelling, en tel in beide gevallen de ongepaarde elektronen.
Geef de configuraties van $\ce{Cu}$ , $\ce{Cu+}$ en $\ce{Cu^{2+}}$ .
Welk van $\ce{Cu+}$ en $\ce{Cu^{2+}}$ heeft ongepaarde elektronen?
Welk van $\ce{Sc^{3+}}$ , $\ce{Ti^{3+}}$ , $\ce{Mn^{2+}}$ ( $Z = 21, 22, 25$ ) heeft de meeste ongepaarde elektronen?

Deel IV — Een wereld met drie spins. Stel je een heelal voor waarin $n$ , $l$ en $m_l$ dezelfde regels volgen als in het onze, de volgorde van Klechkowski ongewijzigd is en het uitsluitingsprincipe geldt, maar het spingetal $m_s$ drie waarden kan aannemen.

Hoeveel elektronen kan één orbitaal bevatten? Een subschil met getal $l$ ? Een schil $n$ ?
Geef de capaciteiten van 1s, 2s, 2p, 3s en 3p.
Een edelgas sluit een periode af met een volle p-subschil (of 1s voor het eerste). Wat is het atoomnummer van het eerste edelgas?
Welk atoomnummer zou zich gedragen als een alkalimetaal, met één enkel elektron voorbij het eerste edelgas?
Hoeveel elementen zou de tweede periode bevatten?
Bereken het atoomnummer van het tweede edelgas van deze wereld.

Oplossing

Oplossing van Probleem 1.1.

1. $E_1 = -13.6\,\mathrm{eV}$ , $E_2 = -3.40\,\mathrm{eV}$ , $E_3 = -1.51\,\mathrm{eV}$ , $E_4 = -0.85\,\mathrm{eV}$ . 2. $\Delta E = 3.40 - 1.51 = 1.89\,\mathrm{eV}$ , $\lambda = 1240/1.89 = 656\,\mathrm{nm}$ : rood. 3. $4 \to 2$ : $2.55\,\mathrm{eV}$ , $486\,\mathrm{nm}$ (blauwgroen); $5 \to 2$ : $2.86\,\mathrm{eV}$ , $434\,\mathrm{nm}$ (violet); $6 \to 2$ : $3.022\,\mathrm{eV}$ , $410\,\mathrm{nm}$ (violet). 4. $7 \to 2$ : $3.12\,\mathrm{eV}$ , $397\,\mathrm{nm}$ , al ultraviolet; de hogere overgangen zijn nog korter, en $3 \to 2$ is de langste balmergolflengte. De lymanlijnen liggen allemaal in het ultraviolet en de paschenlijnen allemaal in het infrarood, dus zijn er maar vier lijnen zichtbaar. 5. $\infty \to 2$ : $3.40\,\mathrm{eV}$ , $\lambda = 365\,\mathrm{nm}$ . 6. $\Delta E = 13.6 \times 3/4 = 10.2\,\mathrm{eV}$ , $\lambda = 122\,\mathrm{nm}$ : ver ultraviolet, onzichtbaar voor het oog en geabsorbeerd door glas en lucht. 7. Het foton moet minstens $13.6\,\mathrm{eV}$ aanbrengen: $\lambda \le 1240/13.6 = 91.2\,\mathrm{nm}$ . 8. $l = 0$ ( $m_l = 0$ ), $l = 1$ ( $m_l = -1, 0, 1$ ), $l = 2$ ( $m_l = -2, \dots, 2$ ): $1 + 3 + 5 = 9$ orbitalen. 9. $\sum_{l=0}^{n-1}(2l+1) = n^2$ orbitalen met elk twee elektronen: $2n^2$ ; voor $n = 4$ is dat 32. 10. 1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 4s, 3d, 4p, 5s, 4d, 5p, 6s, 4f, 5d, 6p, 7s, 5f, 6d, 7p. 11. Elke periode loopt van $n$ s tot $n$ p: 2, 8, 8, 18, 18, 32, 32. 12. 3d ( $n + l = 5$ ) komt na 4s ( $n + l = 4$ ), dat periode 4 opent. 13. $Z = 2, 10, 18, 36, 54, 86, 118$ . 14. $[\ce{Ar}]\,3\text{d}^6 4\text{s}^2$ ; 3d: , 4 ongepaarde elektronen. 15. $\ce{Fe^{2+}}$ $[\ce{Ar}]\,3\text{d}^6$ : 4 ongepaard; $\ce{Fe^{3+}}$ $[\ce{Ar}]\,3\text{d}^5$ : 5 ongepaard, een half gevulde subschil. 16. Voorspeld $3\text{d}^4 4\text{s}^2$ : 4 ongepaard; waargenomen $3\text{d}^5 4\text{s}^1$ : 6 ongepaard (5 in 3d, 1 in 4s). 17. $\ce{Cu}$ $[\ce{Ar}]\,3\text{d}^{10} 4\text{s}^1$ , $\ce{Cu+}$ $[\ce{Ar}]\,3\text{d}^{10}$ , $\ce{Cu^{2+}}$ $[\ce{Ar}]\,3\text{d}^9$ .

18. $\ce{Cu^{2+}}$ , met één ongepaard elektron; $\ce{Cu+}$ heeft er geen. 19. $\ce{Sc^{3+}}$ $[\ce{Ar}]$ : 0; $\ce{Ti^{3+}}$ $[\ce{Ar}]\,3\text{d}^1$ : 1; $\ce{Mn^{2+}}$ $[\ce{Ar}]\,3\text{d}^5$ : 5. $\ce{Mn^{2+}}$ heeft er de meeste. 20. Drie elektronen per orbitaal; $3(2l + 1)$ per subschil; $3n^2$ per schil. 21. 1s: 3; 2s: 3; 2p: 9; 3s: 3; 3p: 9. 22. De eerste periode is af wanneer 1s vol is: $Z = 3$ . 23. $Z = 4$ , één elektron in 2s voorbij de edelgasromp. 24. 2s en 2p: $3 + 9 = 12$ elementen. 25. $3 + 12 = 15$ : het tweede edelgas van de wereld met drie spins heeft $Z = 15$ .

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 852 begrippen in de begrippenlijst