Universitaire scheikunde — jaar 3 · Bachelor Year 3

8NMR in de diepte: pulsen, relaxatie en 2D

Een MRI-scanner in een ziekenhuis en de NMR-spectrometer van een scheikundefaculteit werken volgens hetzelfde principe. Beide plaatsen waterstofkernen in een sterk magneetveld, kantelen hun magnetisatie met een korte puls radiogolven, en luisteren naar het zwakke signaal dat ze induceert terwijl ze precedeert en relaxeert. De scanner maakt van het signaal een beeld van zacht weefsel; de spectrometer een lijst van chemische verschuivingen en koppelingen, en, met meerdere pulsen na elkaar, tweedimensionale kaarten die laten zien welk atoom aan welk gebonden is. Dit hoofdstuk legt uit wat de pulsen doen, waarom het signaal uitdooft, en hoe tweedimensionale spectra gelezen worden — de methode waarmee de meeste nieuwe organische structuren tegenwoordig opgehelderd worden.

Wat je al weet

Het deel van jaar 1 interpreteerde ${}^1$ H-NMR-spectra: chemische verschuiving, afscherming, equivalente protonen, integratie, spin-spinkoppeling, koppelingsconstanten en multipletten. Het deel van jaar 2 voegde ${}^{13}$ C-NMR toe met breedbandontkoppeling en DEPT, waarvan het de pulssequentie als gegeven aannam; de pulsen worden hier uitgelegd. Hoofdstuk 2 behandelde spin als een impulsmoment. Uit de natuurkunde: een magnetisch moment in een veld heeft de energie $-\boldsymbol\mu\cdot\mathbf B$ , en bezettingen van niveaus volgen de boltzmannfactor $\eu^{-\Delta E/kT}$ , uitgewerkt in Hoofdstuk 10.

Links: een MRI-scanner in een ziekenhuis. Rechts: een NMR-laboratorium; elke supergeleidende magneet staat in zijn cryostaat, die bijgevuld wordt met vloeibaar helium en vloeibare stikstof uit de dewarvaten links. Foto Shandchem, CC BY 2.0.

8.1 Kernspins in een magneetveld

Definitie 8.1 (Kernspinkwantumgetal, gyromagnetische verhouding)

Een kern heeft een spinimpulsmoment met kwantumgetal $I$ , zijn kernspinkwantumgetal ( $I = 0$ voor $\ce{^{12}C}$ , $\ce{^{16}O}$ ; $\frac12$ voor $\ce{^1H}$ , $\ce{^{13}C}$ , $\ce{^{15}N}$ , $\ce{^{19}F}$ , $\ce{^{31}P}$ ; 1 voor $\ce{^2H}$ , $\ce{^{14}N}$ ), en een magnetisch moment $\boldsymbol\mu = \gamma\hat{\mathbf I}$ dat ermee evenredig is; $\gamma$ is de gyromagnetische verhouding. Langs een veld $B_0$ (as $z$ ) neemt $\hat I_z$ de waarden $m_I\hbar$ aan, $m_I = -I, \dots, I$ .

Propositie 8.2 (Zeemanniveaus)

In een veld $B_0$ zijn de niveaus $E_m = -m_I\gamma\hbar B_0$ ; de overgangen $\Delta m_I = \pm1$ absorberen bij de frequentie

\nu_0 = \frac{\gamma B_0}{2\pi}.

Bewijs. $E = -\boldsymbol\mu\cdot\mathbf B = -\gamma B_0\hat I_z$ , met eigenwaarden $-\gamma B_0m_I\hbar$ . Naburige niveaus verschillen met $\gamma\hbar B_0 = h\nu_0$ . ∎

Definitie 8.3 (Larmorfrequentie)

$\nu_0 = \gamma B_0/2\pi$ is de larmorfrequentie van de kern: de resonantiefrequentie, en ook de frequentie waarmee zijn magnetisch moment om het veld precedeert.

Voorbeeld 8.4 (De gangbare kernen)

Voor een kern met spin $\frac12$ en moment $\mu$ is $\gamma/2\pi = \mu/(Ih) = 2\mu/h$ . Met de gemeten momenten: $\ce{^1H}$ $42.58\,\mathrm{MHz}/\mathrm{T}$ , $\ce{^{19}F}$ $40.08\,\mathrm{MHz}/\mathrm{T}$ , $\ce{^{31}P}$ $17.25\,\mathrm{MHz}/\mathrm{T}$ , $\ce{^{13}C}$ $10.71\,\mathrm{MHz}/\mathrm{T}$ , $\ce{^{15}N}$ $-4.32\,\mathrm{MHz}/\mathrm{T}$ . Een “spectrometer van $400\,\mathrm{MHz}$ ” heeft $B_0 = 9.4\,\mathrm{T}$ : zijn protonen resoneren bij $400.2\,\mathrm{MHz}$ , zijn koolstofkernen bij $100.7\,\mathrm{MHz}$ .

Propositie 8.5 (Een minuscuul bezettingsverschil)

Voor spin $\frac12$ bij temperatuur $T$ is het overschot aan kernen in het lagere niveau

\frac{N_\alpha - N_\beta}{N} \approx \frac{\gamma\hbar B_0}{2kT}.

Bewijs. $N_\beta/N_\alpha = \eu^{-\Delta E/kT} \approx 1 - \Delta E/kT$ , omdat $\Delta E \ll kT$ ; dus $(N_\alpha - N_\beta)/(N_\alpha + N_\beta) \approx \Delta E/2kT$ , met $\Delta E = \gamma\hbar B_0$ . ∎

Voor protonen bij $9.4\,\mathrm{T}$ en $300\,\mathrm{K}$ is het overschot $3.2 \times 10^{-5}$ : slechts drie kernen op honderdduizend dragen bij. Omdat zowel het overschot als de in de spoel geïnduceerde spanning groeien met $\gamma$ en $B_0$ , groeit het signaal ruwweg als $\gamma^3B_0^2$ : de reden voor steeds sterkere magneten, en voor de lage gevoeligheid van kernen met een kleine $\gamma$ en een lage natuurlijke abundantie, zoals $\ce{^{13}C}$ .

8.2 Pulsen en het vrije-inductieverval

Definitie 8.6 (Netto magnetisatie, roterend assenstelsel)

De netto magnetisatie $\mathbf M$ van een monster is de som van zijn kernmagnetische momenten per volume-eenheid; in evenwicht is ze $M_0$ langs $\mathbf B_0$ . Het roterend assenstelsel is een stel assen $x'$ , $y'$ , $z$ dat om $z$ draait met de frequentie van de aangelegde radiogolven; daarin ziet men de precessie bij $\nu_0$ vertraagd tot de offset $\nu_0 - \nu_{\mathrm{rf}}$ .

Propositie 8.7 (Precessie)

Een magnetisatie in een veld gehoorzaamt aan $\dd\mathbf M/\dd t = \gamma\,\mathbf M\times\mathbf B$ ; in een statisch veld $B_0\mathbf e_z$ draait haar transversale component om $z$ met de hoekfrequentie $\omega_0 = \gamma B_0$ , terwijl $M_z$ constant blijft.

Gedeeltelijk bewijs. De vergelijking is de klassieke krachtmomentvergelijking voor een magnetisch moment met een impulsmoment, hier uit de natuurkunde overgenomen. Met $\mathbf B = B_0\mathbf e_z$ : $\dot M_x = \gamma B_0M_y$ , $\dot M_y = -\gamma B_0M_x$ , $\dot M_z = 0$ , met als oplossing $M_x + \iu M_y \propto \eu^{-\iu\gamma B_0t}$ : een rotatie met $\omega_0$ (met de klok mee gezien vanaf $+z$ voor $\gamma > 0$ ). ∎

Definitie 8.8 (Radiofrequente puls, kantelhoek)

Een radiofrequente puls is een korte stoot radiogolven bij $\nu_{\mathrm{rf}} \approx \nu_0$ , waarvan het magneetveld $B_1$ , vast in het roterende assenstelsel langs $x'$ , $\mathbf M$ om $x'$ doet draaien. De gedraaide hoek is de kantelhoek $\theta = \gamma B_1t_p$ voor een puls met duur $t_p$ : een puls van $90^\circ$ brengt $\mathbf M$ in het $x'y'$ -vlak, een puls van $180^\circ$ keert haar om.

De magnetisatie in het roterende assenstelsel. Een puls van 90 om x' draait M van z naar y' (met > 0 volgt de rotatie de linkerhandregel om B_1, de gebruikelijke conventie); een puls van 180 keert haar om. — De magnetisatie in het roterende assenstelsel. Een puls van $90^\circ$ om $x'$ draait $\mathbf M$ van $z$ naar $y'$ (met $\gamma > 0$ volgt de rotatie de linkerhandregel om $\mathbf B_1$ , de gebruikelijke conventie); een puls van $180^\circ$ keert haar om.

Definitie 8.9 (Vrije-inductieverval)

Na een puls van $90^\circ$ precedeert de transversale magnetisatie met de larmorfrequentie en induceert ze een oscillerende spanning in de spoel rond het monster, die uitsterft naarmate de magnetisatie relaxeert: het vrije-inductieverval (FID).

Stelling 8.10 (Van de FID naar het spectrum)

De fouriergetransformeerde van een uitdovende oscillatie $\eu^{-t/T_2}\cos(2\pi\nu t)$ ( $t \ge 0$ ) is, nabij $\nu$ , een lorentzlijn met een volle breedte op halve hoogte van $1/(\pi T_2)$ .

Bewijs. Schrijf het signaal als $\eu^{-t/T_2}\eu^{2\pi\iu\nu t}$ en integreer: $\int_0^\infty\eu^{-t/T_2}\eu^{2\pi\iu(\nu - f)t}\dd t = \frac{1}{1/T_2 - 2\pi\iu(\nu - f)}$ , waarvan het reële deel $\frac{T_2}{1 + 4\pi^2T_2^2(f - \nu)^2}$ is. Het is maximaal bij $f = \nu$ en daalt tot de helft wanneer $2\pi T_2|f - \nu| = 1$ , dus bij $f - \nu = \pm1/(2\pi T_2)$ : een volle breedte $1/(\pi T_2)$ . ∎

Links: de FID van twee lijnen (offsets 100 en 250\, Hz, T_2 = 0.10\, s), met zwevingen doordat de twee frequenties interfereren binnen een exponentiële omhullende (gestreept). Rechts: de fouriergetransformeerde, twee lorentzlijnen van 3.2\, Hz breed. — Links: de FID van twee lijnen (offsets 100 en $250\,\mathrm{Hz}$ , $T_2 = 0.10\,\mathrm{s}$ ), met zwevingen doordat de twee frequenties interfereren binnen een exponentiële omhullende (gestreept). Rechts: de fouriergetransformeerde, twee lorentzlijnen van $3.2\,\mathrm{Hz}$ breed.

Propositie 8.11 (Signaalmiddeling)

Het optellen van $N$ FID’s vermenigvuldigt het signaal met $N$ en de toevallige ruis met $\sqrt N$ : de signaal-ruisverhouding groeit als $\sqrt N$ .

Bewijs. Het signaal telt coherent op. De ruis van onafhankelijke opnamen heeft elk gemiddelde nul en variantie $\sigma^2$ ; de variantie van een som van $N$ onafhankelijke termen is $N\sigma^2$ (de wet van de onzekerheidsvoortplanting uit het deel van jaar 2), dus haar standaardafwijking is $\sqrt N\sigma$ . ∎

DEPT, dat ${}^{13}$ C-signalen sorteert volgens het aantal gebonden waterstofatomen, past een reeks pulsen toe op zowel protonen als koolstofkernen, gescheiden door wachttijden van $1/2J$ : de grote protonmagnetisatie wordt via de koppeling over één binding overgedragen op de koolstofkern, wat het koolstofsignaal met ongeveer $\gamma_H/\gamma_C \approx 4$ vermenigvuldigt, en de hoek van de laatste protonpuls weegt CH, $\ce{CH2}$ en $\ce{CH3}$ verschillend. Hetzelfde idee — magnetisatie tussen kernen verplaatsen via hun koppelingen — ligt ten grondslag aan de tweedimensionale experimenten hieronder.

8.3 Relaxatie

Definitie 8.12 (Longitudinale en transversale relaxatietijd)

De terugkeer van $M_z$ naar $M_0$ na een verstoring is exponentieel, met de longitudinale relaxatietijd $T_1$ (spin-roosterrelaxatie: energie afgestaan aan de omgeving). Het verval van de transversale magnetisatie naar nul is exponentieel met de transversale relaxatietijd $T_2 \le T_1$ (spin-spinrelaxatie: verlies van fasecoherentie tussen spins).

Propositie 8.13 (Inversieherstel)

Na een puls van $180^\circ$ is $M_z(t) = M_0(1 - 2\eu^{-t/T_1})$ ; ze gaat door nul bij $t_{\mathrm{nul}} = T_1\ln2$ .

Bewijs. De relaxatievergelijking $\dd M_z/\dd t = (M_0 - M_z)/T_1$ met $M_z(0) = -M_0$ heeft als oplossing $M_0 - 2M_0\eu^{-t/T_1}$ , die nul wordt wanneer $\eu^{-t/T_1} = \frac12$ . ∎

Methode 8.14 ( $T_1$ meten en een kwantitatieve wachttijd instellen)

Voer de sequentie $180^\circ$ – $\tau$ – $90^\circ$ –opname uit voor een reeks wachttijden $\tau$ , met minstens $5T_1$ tussen de scans.
Pas elk signaal aan op $M_0(1 - 2\eu^{-\tau/T_1})$ , of lees het nulpunt af: $T_1 = t_{\mathrm{nul}}/\ln2$ .
Wacht voor kwantitatieve integratie met pulsen van $90^\circ$ minstens $5T_1$ van de traagste kern tussen de scans: dan ontbreekt $\eu^{-5} < 1\,\%$ van de magnetisatie.

Relaxatie (modelwaarden). De omgekeerde longitudinale magnetisatie herstelt zich via nul bij T_1 2; de transversale magnetisatie vervalt sneller, met T_2. — Relaxatie (modelwaarden). De omgekeerde longitudinale magnetisatie herstelt zich via nul bij $T_1\ln2$ ; de transversale magnetisatie vervalt sneller, met $T_2$ .

Definitie 8.15 (Spinecho)

In de sequentie $90^\circ$ – $\tau$ – $180^\circ$ – $\tau$ worden spins die door inhomogeniteiten van het veld in fase uit elkaar gedreven zijn, op het tijdstip $2\tau$ opnieuw gefocust, wat een spinecho oplevert; zijn amplitude vervalt met de echte $T_2$ , vrij van de inhomogeniteit van de magneet.

Definitie 8.16 (Nucleair overhausereffect)

Het verzadigen of verstoren van één spin verandert, via hun dipolaire relaxatie, de intensiteit van het signaal van een andere spin die ruimtelijk dichtbij ligt: het nucleair overhausereffect (NOE). De opbouwsnelheid is evenredig met $r^{-6}$ , zodat het alleen gezien wordt tussen kernen die minder dan ongeveer $0.5\,\mathrm{nm}$ van elkaar liggen, gebonden of niet.

8.4 Tweedimensionale NMR

Definitie 8.17 (Tweedimensionaal spectrum, kruispiek, diagonaalpiek)

Een tweedimensionaal spectrum wordt opgenomen door een pulssequentie te herhalen met een oplopende wachttijd $t_1$ vóór de opnametijd $t_2$ ; een dubbele fouriertransformatie geeft een kaart van de intensiteit als functie van twee frequenties. Een kruispiek bij $(\delta_1, \delta_2)$ toont dat de kernen bij $\delta_1$ en $\delta_2$ verbonden zijn (door een koppeling of door nabijheid); een diagonaalpiek bij $(\delta, \delta)$ hoort bij één enkele kern.

Definitie 8.18 (COSY, HSQC, HMBC, NOESY)

COSY (correlatiespectroscopie) correleert protonen die met elkaar gekoppeld zijn, meestal over drie bindingen (H–C–C–H). HSQC (heteronucleaire enkelkwantumcoherentie) correleert elke koolstofkern met de protonen die er rechtstreeks aan gebonden zijn. HMBC (heteronucleaire correlatie over meerdere bindingen) correleert koolstofkernen met protonen op twee of drie bindingen afstand, over quaternaire koolstofatomen en heteroatomen heen. NOESY correleert protonen die ruimtelijk dicht bij elkaar liggen, via het nucleaire overhausereffect.

Pulssequenties (tijd naar rechts; gevulde blokjes: pulsen, aangeduid met hun kantelhoek in graden; blauw: het opgenomen signaal). De spinecho bereikt zijn maximum 2 na de eerste puls. — Pulssequenties (tijd naar rechts; gevulde blokjes: pulsen, aangeduid met hun kantelhoek in graden; blauw: het opgenomen signaal). De spinecho bereikt zijn maximum $2\tau$ na de eerste puls.

Methode 8.19 (Een structuur ophelderen met tweedimensionale spectra)

Stel uit de formule, de ${}^1$ H-integralen en het ${}^{13}$ C/DEPT-spectrum de lijst op van de CH-, $\ce{CH2}$ -, $\ce{CH3}$ - en quaternaire koolstofatomen.
HSQC: koppel elk protonsignaal aan zijn koolstofatoom.
COSY: verbind de geprotoneerde koolstofatomen tot spinsystemen (ketens van buren).
HMBC: verbind de spinsystemen over quaternaire koolstofatomen, carbonylgroepen en heteroatomen heen, waar COSY zwijgt.
NOESY: leg relatieve configuraties en conformaties vast uit contacten door de ruimte.
Toets elk signaal aan de voorgestelde structuur.

Tweedimensionale spectra van ethylbutanoaat, CH3CH2CH2COOCH2CH3, getekend bij zijn gemeten verschuivingen. COSY: zwart, diagonaalpieken; rood, kruispieken tussen protonen op naburige koolstofatomen — twee spinsystemen, ethyl en propyl, zonder kruispiek over het esterzuurstofatoom heen. Rechts: HSQC-pieken (vierkantjes) verbinden elk proton met zijn koolstofatoom; HMBC-pieken (cirkeltjes) tonen dat de OCH_2-protonen (4.13\, ppm) en de CH_2C=O-protonen (2.28\, ppm) beide het carbonylkoolstofatoom bij 173.6\, ppm bereiken. — Tweedimensionale spectra van ethylbutanoaat, $\ce{CH3CH2CH2COOCH2CH3}$ , getekend bij zijn gemeten verschuivingen. COSY: zwart, diagonaalpieken; rood, kruispieken tussen protonen op naburige koolstofatomen — twee spinsystemen, ethyl en propyl, zonder kruispiek over het esterzuurstofatoom heen. Rechts: HSQC-pieken (vierkantjes) verbinden elk proton met zijn koolstofatoom; HMBC-pieken (cirkeltjes) tonen dat de OCH $_2$ -protonen ( $4.13\,\mathrm{ppm}$ ) en de CH $_2$ C=O-protonen ( $2.28\,\mathrm{ppm}$ ) beide het carbonylkoolstofatoom bij $173.6\,\mathrm{ppm}$ bereiken.

8.5 Andere kernen en dynamica

Fluor-19 en fosfor-31, met spin $\frac12$ , voor 100 % aanwezig en met een grote $\gamma$ , zijn bijna even gemakkelijk waar te nemen als protonen; hun brede verschuivingsbereiken maken ze tot nauwkeurige sondes van hun omgeving (geneesmiddelen, fosfaten, liganden zoals de fosfanen van Hoofdstuk 20). Stikstof-15 is zeldzaam en zwak, en wordt meestal indirect waargenomen via de protonen die eraan gebonden zijn. Koppeling tussen verschillende kernen wordt weggewerkt door ontkoppeling, zoals voor ${}^{13}$ C in het deel van jaar 2.

Definitie 8.20 (Coalescentietemperatuur)

Wanneer een kern uitwisselt tussen twee omgevingen waarvan de verschuivingen $\Delta\nu$ (in hertz) uit elkaar liggen, verbreden zijn twee lijnen naarmate de uitwisseling sneller wordt, en smelten ze samen tot één bij de coalescentietemperatuur $T_c$ .

Propositie 8.21 (Snelheid bij coalescentie)

Voor twee even sterk bezette plaatsen zonder koppeling is de uitwisselingssnelheidsconstante bij coalescentie $k_c = \pi\Delta\nu/\sqrt2$ .

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

De afleiding, uit de blochvergelijkingen met uitwisseling, hoort thuis in meer gevorderde cursussen. Met de vergelijking van Eyring (Hoofdstuk 12) geeft de snelheid de barrière: dynamische NMR meet rotaties om amidebindingen, ringflips en uitwisselingen van liganden met barrières van 40 tot $100\,\mathrm{kJ}/\mathrm{mol}$ .

Voorbeeld 8.22 (Een MRI-beeld)

Bij beeldvorming met magnetische resonantie maakt een veldgradiënt de larmorfrequentie van de waterprotonen afhankelijk van de positie, zodat de fouriergetransformeerde van het signaal een kaart is van waar ze zich bevinden. Het contrast komt van de relaxatie: de herhalingstijd en de echotijden worden gekozen om het beeld te wegen naar $T_1$ of naar $T_2$ , die van weefsel tot weefsel verschillen; contrastmiddelen met gadolinium verkorten de $T_1$ van het water in hun buurt (Hoofdstuk 24).

In het laboratorium — Een spectrometer klaarmaken

Het monster, opgelost in een gedeutereerd oplosmiddel, wordt in de probe neergelaten. De spectrometer lockt op het deuteriumsignaal om de trage drift van het veld te compenseren; de probe wordt afgestemd en aangepast op de frequentie van elke kern; het veld wordt homogeen gemaakt over het monster door de shimspoelen bij te regelen tot de lijnen smal zijn. Het veld van de magneet is permanent: stalen gereedschap, bankkaarten en pacemakers blijven buiten de gemarkeerde veiligheidslijn.

Geschiedenis — Van resonantie naar twee dimensies

Felix Bloch en Edward Purcell detecteerden in 1946 kernmagnetische resonantie in macroscopische materie (Nobelprijs voor de Natuurkunde, 1952). Richard Ernst voerde in 1966 de gepulste fouriertransformatie-NMR in en, naar een idee van Jean Jeener, in de jaren 1970 de tweedimensionale spectroscopie (Nobelprijs voor de Scheikunde, 1991).

8.6 Oefeningen

Oefening 8.1 ★

Bereken de larmorfrequenties van $\ce{^1H}$ , $\ce{^{13}C}$ en $\ce{^{19}F}$ bij $14.1\,\mathrm{T}$ ( $\gamma/2\pi = 42.58$ , 10.71 en $40.08\,\mathrm{MHz}/\mathrm{T}$ ).

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.1.

$\nu_0 = (\gamma/2\pi)B_0$ : $\ce{^1H}$ $600.4\,\mathrm{MHz}$ , $\ce{^{13}C}$ $151.0\,\mathrm{MHz}$ , $\ce{^{19}F}$ $565.1\,\mathrm{MHz}$ .

Oefening 8.2 ★

Bereken het relatieve overschot aan protonen in het lagere niveau bij $9.4\,\mathrm{T}$ en $300\,\mathrm{K}$ . Hoeveel verandert het bij $4\,\mathrm{K}$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.2.

$h\nu_0/2kT = 6.626\times10^{-34} \times 400.2\times10^6/(2 \times 1.381\times10^{-23} \times 300) = 3.2 \times 10^{-5}$ . Bij $4\,\mathrm{K}$ is het 75 keer groter, $2.4 \times 10^{-3}$ (de benadering geldt nog).

Oefening 8.3 ★

Een puls van $90^\circ$ duurt $10\,\text{µ}\mathrm{s}$ voor protonen. Hoe groot is $\gamma B_1/2\pi$ ? Hoe lang duurt een puls van $180^\circ$ , en wat doet een puls van $5\,\text{µ}\mathrm{s}$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.3.

$\theta = \gamma B_1t_p = \pi/2$ in $10\,\text{µ}\mathrm{s}$ : $\gamma B_1/2\pi = 1/(4 \times 10\,\text{µ}\mathrm{s}) = 25\,\mathrm{kHz}$ . Een puls van $180^\circ$ duurt $20\,\text{µ}\mathrm{s}$ ; $5\,\text{µ}\mathrm{s}$ geeft $45^\circ$ .

Oefening 8.4 ★

Een lijn is $3.2\,\mathrm{Hz}$ breed op halve hoogte. Hoe groot is $T_2$ (in een volmaakt homogeen veld)?

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.4.

$T_2 = 1/(\pi \times 3.2) = 0.10\,\mathrm{s}$ .

Oefening 8.5 ★★

Vergelijk met signaal $\propto\gamma^3$ per kern en de natuurlijke abundantie van 1.1 % van $\ce{^{13}C}$ de gevoeligheid van ${}^{13}$ C- en ${}^1$ H-NMR. Hoeveel meer scans heeft een ${}^{13}$ C-spectrum nodig voor dezelfde signaal-ruisverhouding?

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.5.

$(10.71/42.58)^3 = 0.0159$ , maal 0.011: $1.75 \times 10^{-4}$ , ongeveer 1/5700 van het protonsignaal. Omdat S/R $\propto\sqrt N$ , vraagt een gelijke S/R $5700^2 \approx 3 \times 10^{7}$ keer meer scans — onmogelijk; daarom gebruiken ${}^{13}$ C-spectra meer geconcentreerde monsters, ontkoppeling en polarisatieoverdracht.

Oefening 8.6 ★★

In een inversieherstelexperiment verdwijnt het signaal van een koolstofatoom bij $\tau = 1.39\,\mathrm{s}$ . Bepaal $T_1$ en de wachttijd voor kwantitatief werk.

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.6.

$T_1 = 1.39/\ln2 = 2.0\,\mathrm{s}$ ; wachttijd $\ge 5T_1 = 10\,\mathrm{s}$ .

Oefening 8.7 ★★

Welke kruispieken verschijnen in het COSY-spectrum van butanon, $\ce{CH3COCH2CH3}$ ? Welke koolstofatomen vertonen HMBC-pieken met de protonen van de singletmethylgroep?

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.7.

COSY: één kruispiek, tussen het $\ce{CH2}$ -kwartet en het $\ce{CH3}$ -triplet van de ethylgroep; het singlet van $\ce{CH3CO}$ koppelt met niets. HMBC vanuit de singletmethylgroep: het carbonylkoolstofatoom (twee bindingen) en het $\ce{CH2}$ -koolstofatoom (drie bindingen).

Oefening 8.8 ★★

Twee methylsignalen van een amide, bij lage temperatuur $50\,\mathrm{Hz}$ uit elkaar, vallen samen bij $330\,\mathrm{K}$ . Bereken de uitwisselingssnelheid bij coalescentie en de gibbsenergie van activering met $\Delta G^\ddagger = RT_c\ln(k_BT_c/hk_c)$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.8.

$k_c = \pi \times 50/\sqrt2 = 111\,\mathrm{s}^{-1}$ . $\Delta G^\ddagger = 8.314 \times 330 \times \ln(6.88\times10^{12}/111) = 68\,\mathrm{kJ}/\mathrm{mol}$ .

Oefening 8.9 ★★

Een NOE tussen de protonen H $_a$ en H $_b$ is vier keer sterker dan tussen H $_a$ en H $_c$ , die $0.30\,\mathrm{nm}$ uit elkaar liggen. Schat de afstand H $_a$ –H $_b$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.9.

NOE $\propto r^{-6}$ : $r_b = 0.30 \times 4^{-1/6} = 0.24\,\mathrm{nm}$ .

Oefening 8.10 ★★★

Toon aan, door $\dd\mathbf M/\dd t = \gamma\mathbf M\times\mathbf B_1$ op te lossen in het roterende assenstelsel met $\mathbf B_1$ langs $x'$ , dat een puls $\mathbf M$ over $\gamma B_1t_p$ om $x'$ draait.

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.10.

In het roterende assenstelsel blijft bij resonantie alleen $\mathbf B_1 = B_1\mathbf e_{x'}$ over: $\dot M_{x'} = 0$ , $\dot M_{y'} = \gamma B_1M_z$ , $\dot M_z = -\gamma B_1M_{y'}$ (componenten van $\gamma\mathbf M\times\mathbf B_1$ ). Dus $M_{x'}$ is constant en $(M_{y'}, M_z)$ draait met de hoeksnelheid $\gamma B_1$ : na $t_p$ over de hoek $\gamma B_1t_p$ om $x'$ .

Oefening 8.11 ★★★

Leg uit waarom de spinecho de defasering door een inhomogeen veld herfocust, maar niet die door toevallige wisselwerkingen tussen spins. Welke tijdconstante meet de echoamplitude?

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.11.

Een spin in een iets sterker veld wint tijdens $\tau$ fase met een constante extra snelheid; de puls van $180^\circ$ keert zijn fase om, en hij verliest precies evenveel tijdens de tweede $\tau$ : al zulke spins liggen weer op één lijn bij $2\tau$ . Toevallige spin-spinwisselwerkingen fluctueren in de tijd en herhalen zich niet in het tweede interval: hun defasering wordt niet ongedaan gemaakt. De echoamplitude vervalt met de echte $T_2$ .

Oefening 8.12 ★★★

Stel de structuur voor van een verbinding $\ce{C4H8O2}$ waarvan het ${}^1$ H-spectrum een kwartet (2H, 4.12 ppm), een singlet (3H, 2.05 ppm) en een triplet (3H, 1.26 ppm) vertoont, en waarvan het HMBC-spectrum de kwartetprotonen correleert met een koolstofatoom bij 171 ppm (gegevens van de oefening). Welke andere ester met dezelfde formule zou een ander HMBC-patroon geven, en hoe?

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.12.

Ethylethanoaat, $\ce{CH3COOCH2CH3}$ : $\ce{OCH2}$ -kwartet (4.12), $\ce{CH3CO}$ -singlet (2.05), $\ce{CH3}$ -triplet; de kwartetprotonen zien het carbonylkoolstofatoom op drie bindingen afstand, via het esterzuurstofatoom. Methylpropanoaat, $\ce{CH3CH2COOCH3}$ , zou zijn kwartet rond 2.3 ppm vertonen (op een koolstofatoom rond 27 ppm in de HSQC, niet 60) en een $\ce{OCH3}$ -singlet rond 3.7 ppm waarvan de HMBC-piek naar het carbonyl over het zuurstofatoom loopt.

8.7 Probleem: de ananasester in twee dimensies

Probleem 8.1

Weekendprobleem — ethylbutanoaat opnieuw opgehelderd, nu uit tweedimensionale spectra: spinsystemen uit COSY, koolstofatomen uit HSQC, de esterbinding uit HMBC, en de wachttijd die nodig is voor een kwantitatief koolstofspectrum

Een ester $\ce{C6H12O2}$ uit het aroma van ananas vertoont ${}^1$ H-signalen bij 4.13 (2H, q), 2.28 (2H, t), 1.66 (2H, m), 1.25 (3H, t) en 0.95 ppm (3H, t), en ${}^{13}$ C-signalen bij 173.6, 60.1, 36.3, 18.6, 14.3 en 13.7 ppm, opgenomen bij $9.4\,\mathrm{T}$ . Zijn 2D-spectra zijn die van de figuur in paragraaf 4. Gegevens van het probleem: de $T_1$ -waarden van de koolstofatomen zijn ongeveer $20\,\mathrm{s}$ voor het carbonyl en 2 tot $6\,\mathrm{s}$ voor de andere.

Deel I — Eén dimensie.

Bereken de onverzadigingsgraad van $\ce{C6H12O2}$ .
Welk ${}^{13}$ C-signaal is het carbonyl? Welk is het koolstofatoom dat aan zuurstof gebonden is?
Hoeveel geprotoneerde koolstofatomen zijn er? Wat zou DEPT-135 tonen?
Wat zijn bij $9.4\,\mathrm{T}$ de larmorfrequenties van ${}^1$ H en ${}^{13}$ C?
De koppeling van het kwartet is $7.2\,\mathrm{Hz}$ . Hoe breed is het kwartet bij $400\,\mathrm{MHz}$ , in ppm?
Waarom kunnen de 1D-spectra alleen de volgorde van de fragmenten open laten?

Deel II — COSY.

Geef de kruispieken van de COSY-kaart.
Leid de twee spinsystemen af.
Waarom is er geen kruispiek tussen 4.13 en 2.28 ppm?
Welk protonsignaal is met twee andere gekoppeld? Verklaar zijn multipliciteit.
Wat zou een kruispiek tussen 0.95 en 1.25 ppm betekend hebben?
Teken de twee fragmenten.

Deel III — HSQC en HMBC.

Ken met de HSQC elk koolstofatoom toe aan zijn protonen.
Welke twee methylkoolstofatomen worden alleen door de HSQC onderscheiden?
Welke HMBC-piek verbindt het ethylfragment met het carbonyl, en over hoeveel bindingen?
Welke HMBC-pieken verbinden het propylfragment met het carbonyl?
Leid de structuur af, en sluit haar isomeer propylpropanoaat uit.
Waarom ontbreken HMBC-pieken over vier of meer bindingen meestal?

Deel IV — Een kwantitatief koolstofspectrum.

Waarom zijn de integralen van een gewoon ${}^{13}$ C-spectrum niet evenredig met het aantal koolstofatomen?
Welke fractie van zijn evenwichtsmagnetisatie herwint het carbonyl als de scans elke $5\,\mathrm{s}$ herhaald worden met pulsen van $90^\circ$ (telkens vertrekkend van nul)?
Welke fractie na $5T_1$ ?
Welk effect van de protonontkoppeling vertekent, naast de relaxatie, de koolstofintegralen, en hoe wordt het onderdrukt?
Hoe lang duren 256 scans met een wachttijd van $5T_1$ ?
Formuleer het resultaat: de minimale wachttijd voor een kwantitatief ${}^{13}$ C-spectrum van deze ester.

Oplossing

Oplossing van Probleem 8.1.

1. $(2 \times 6 + 2 - 12)/2 = 1$ : één C=O. 2. 173.6 ppm: het estercarbonyl; 60.1 ppm: de $\ce{OCH2}$ . 3. Vijf; DEPT-135: $\ce{CH2}$ negatief (60.1, 36.3, 18.6), $\ce{CH3}$ positief (14.3, 13.7), het carbonyl afwezig. 4. $400.2\,\mathrm{MHz}$ en $100.7\,\mathrm{MHz}$ . 5. $3J = 21.6\,\mathrm{Hz} = 0.054\,\mathrm{ppm}$ . 6. De multipliciteiten tonen welke groepen binnen elk fragment buren zijn, maar niet hoe de fragmenten over het zuurstofatoom en het carbonyl met elkaar verbonden zijn. 7. 4.13–1.25; 2.28–1.66; 1.66–0.95 (en de symmetrische). 8. $\ce{OCH2CH3}$ (4.13, 1.25) en $\ce{CH2CH2CH3}$ (2.28, 1.66, 0.95). 9. De protonen van $\ce{OCH2}$ en $\ce{CH2C=O}$ worden gescheiden door het zuurstofatoom en het carbonylkoolstofatoom: vijf bindingen, geen opgeloste koppeling. 10. 1.66 ppm, tussen $\ce{CH2}$ en $\ce{CH3}$ : gekoppeld met 2 + 3 = 5 protonen met een gelijkaardige $J$ , een sextet (een multiplet). 11. Gekoppelde methylgroepen, dus twee $\ce{CH3}$ aan naburige koolstofatomen (een $\ce{CH3-CH3}$ -eenheid): hier onmogelijk. 12. $\ce{-O-CH2-CH3}$ en $\ce{-CH2-CH2-CH3}$ , plus de $\ce{C=O}$ . 13. 4.13/60.1; 2.28/36.3; 1.66/18.6; 1.25/14.3; 0.95/13.7. 14. 14.3 ( $\ce{CH3}$ van ethyl) en 13.7 ppm ( $\ce{CH3}$ van butanoyl), slechts $0.6\,\mathrm{ppm}$ uit elkaar. 15. 4.13 ppm naar 173.6 ppm: H–C–O–C, drie bindingen. 16. 2.28 ppm (twee bindingen) en 1.66 ppm (drie bindingen) naar 173.6 ppm. 17. $\ce{CH3CH2CH2C(=O)OCH2CH3}$ , ethylbutanoaat. Propylpropanoaat zou een $\ce{OCH2}$ -triplet (geen kwartet) rond 4.0 ppm en een kwartet rond 2.3 ppm geven. 18. Koppelingen over vier bindingen zijn meestal kleiner dan 1 Hz; de HMBC-wachttijd, afgestemd op 5–10 Hz, selecteert ze niet. 19. Koolstofatomen relaxeren met verschillende snelheden en krijgen door de ontkoppeling verschillende nucleaire overhauserversterkingen. 20. $1 - \eu^{-5/20} = 0.22$ : het carbonyl is met een factor 4 ondervertegenwoordigd. 21. $1 - \eu^{-5} = 0.993$ . 22. Het NOE door protonontkoppeling, voor elk koolstofatoom verschillend; het wordt weggewerkt door inverse-gated ontkoppeling (de ontkoppelaar alleen aan tijdens de opname). 23. $256 \times 100\,\mathrm{s} = 25\,600\,\mathrm{s}$ , ongeveer 7 uur. 24. $5T_1$ van het carbonylkoolstofatoom: $100\,\mathrm{s}$ tussen de scans.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 852 begrippen in de begrippenlijst