Matematika Sekolah Menengah Atas · Grades 10–12

25Pengintegralan

Pengintegralan menjawab dua pertanyaan sekaligus: berapa luas di bawah sebuah kurva, dan bagaimana orang dapat memperoleh kembali sebuah fungsi dari laju perubahannya? Teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa keduanya pertanyaan yang sama — penemuan terdalam dan terpakai dari matematika abad ketujuh belas.

25.1 Integral fungsi kontinu

Definisi 25.1 (Integral fungsi positif)

Misalkan $f$ kontinu dan positif pada $\intcc{a}{b}$ . Yang disebut integral

\int_a^b f(x)\,\dd x

adalah luas, dalam satuan luas, daerah yang dibatasi oleh kurva $f$ , sumbu- $x$ , dan garis tegak $x = a$ dan $x = b$ .

Untuk fungsi yang tandanya sembarang, luas di bawah sumbu- $x$ dihitung negatif; dan orang menetapkan $\int_b^a f(x)\,\dd x = -\int_a^b f(x)\,\dd x$ .

Luas bertanda: ∈t_02π x\, x = 0, dengan daerah di bawah sumbunya (merah) meniadakan daerah di atasnya (biru). — Luas bertanda: $\int_0^{2\pi} \sin x\,\dd x = 0$ , dengan daerah di bawah sumbunya (merah) meniadakan daerah di atasnya (biru).

Proposisi 25.2 (Sifat integral)

Misalkan $f, g$ kontinu pada suatu selang yang memuat $a, b, c$ , dan $\lambda \in \R$ .

Kelinearan: $\displaystyle\int_a^b (f + \lambda g) = \int_a^b f + \lambda \int_a^b g$ .
Hubungan Chasles: $\displaystyle\int_a^c f = \int_a^b f + \int_b^c f$ .
Kepositifan: jika $a \leq b$ dan $f \geq 0$ pada $\intcc{a}{b}$ , maka $\displaystyle\int_a^b f \geq 0$ ; jika $f \leq g$ , maka $\displaystyle\int_a^b f \leq \int_a^b g$ .

Bukti. Hubungan Chasles dan kepositifannya langsung terbaca dari tafsiran luasnya (luas bertambah ketika daerahnya dijajarkan; daerah yang tingginya positif berluas positif). Pembandingannya menyusul dengan menerapkan kepositifan pada $g - f$ . Kelinearannya jelas secara naluriah untuk jumlah fungsi positif (tumpuklah luasnya) dan dibuktikan secara ketat di universitas; di sini ia diterima saja. ∎

25.2 Teorema dasar kalkulus

Definisi 25.3 (Primitif)

Suatu primitif (atau antiturunan) dari $f$ pada selang $I$ adalah fungsi $F$ yang dapat diturunkan pada $I$ dengan $F' = f$ .

Proposisi 25.4

Jika $F$ suatu primitif $f$ pada selang $I$ , maka primitif $f$ pada $I$ tepat berupa fungsi $F + c$ , $c \in \R$ . Diberikan $x_0 \in I$ dan $y_0 \in \R$ , ada tepat satu primitif dengan $F(x_0) = y_0$ .

Bukti. Jika $G' = F' = f$ , maka $(G - F)' = 0$ pada selang $I$ , sehingga $G - F$ bernilai tetap.¹ Sebaliknya setiap $F + c$ adalah primitif. Syarat $F(x_0) = y_0$ memakukan tetapannya. ∎

Teorema 25.5 (Teorema dasar kalkulus)

Misalkan $f$ kontinu pada selang $I$ dan $a \in I$ . Fungsi

F \colon x \longmapsto \int_a^x f(t)\,\dd t

adalah primitif $f$ pada $I$ yang bernilai nol di $a$ . Akibatnya, untuk sebarang primitif $G$ dari $f$ dan $a, b \in I$ :

\int_a^b f(t)\,\dd t = \bigl[G(t)\bigr]_a^b = G(b) - G(a).

Gagasan pembuktiannya: pertambahan F(x+h) - F(x) adalah luas jalur sempit itu (jingga), yang terapit di antara persegi panjang bertinggi f(x) dan f(x+h) di atas alas sepanjang h. — Gagasan pembuktiannya: pertambahan $F(x+h) - F(x)$ adalah luas jalur sempit itu (jingga), yang terapit di antara persegi panjang bertinggi $f(x)$ dan $f(x+h)$ di atas alas sepanjang $h$ .

Bukti ketika $f$ naik. Tetapkan $x \in I$ dan $h > 0$ dengan $x + h \in I$ . Menurut Chasles,

F(x+h) - F(x) = \int_x^{x+h} f(t)\,\dd t .

Karena $f$ naik, berlaku $f(x) \leq f(t) \leq f(x+h)$ untuk $t \in \intcc{x}{x+h}$ , dan menurut pembandingan integral (integral fungsi tetap $c$ pada selang sepanjang $h$ adalah $ch$ ):

h\,f(x) \leq F(x+h) - F(x) \leq h\,f(x+h),

sehingga

f(x) \leq \frac{F(x+h) - F(x)}{h} \leq f(x+h).

Ketika $h \to 0^+$ , $f(x+h) \to f(x)$ menurut kekontinuan, dan teorema apit memberi bahwa hasil bagi selisihnya menuju $f(x)$ ; kasus $h < 0$ setangkup dengan itu. Jadi $F' = f$ , dan $F(a) = 0$ . Kasus kontinu umum, yang tidak monoton, dibuktikan di universitas.

Akhirnya, jika $G$ sebarang primitif, maka $G = F + c$ (Proposisi 25.4), sehingga $G(b) - G(a) = F(b) - F(a) = \int_a^b f$ . ∎

Contoh 25.6

$\displaystyle\int_0^1 x^2\,\dd x = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac13$ : luas di bawah parabolanya sepertiga persegi satuan, seperti yang sudah diketahui Archimedes.

Tabel primitif dibaca dari tabel turunannya ( $u$ menyatakan fungsi yang dapat diturunkan, $c$ suatu tetapan sebarang):

$f(x)$	primitif	$f$	primitif
$x^n \ (n \neq -1)$	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + c$	$u'u^n \ (n \neq -1)$	$\dfrac{u^{n+1}}{n+1} + c$
$\dfrac1x \ (x > 0)$	$\ln x + c$	$\dfrac{u'}{u} \ (u > 0)$	$\ln u + c$
$\eu^x$	$\eu^x + c$	$u'\eu^u$	$\eu^u + c$
$\cos x$	$\sin x + c$	$\dfrac{u'}{\sqrt u} \ (u>0)$	$2\sqrt u + c$
$\sin x$	$-\cos x + c$

Metode 25.7 (Mengenali bentuk $u' \times (\text{sesuatu dalam } u)$ )

Untuk mengintegralkan hasil kali, carilah faktor yang merupakan turunan fungsi dalam $u$ , sampai pada suatu tetapan pengali. Misalnya pada $\int_0^1 x\,\eu^{x^2}\dd x$ , faktor $x$ adalah $\frac12 (x^2)'$ :

\int_0^1 x\,\eu^{x^2}\dd x = \frac12\left[\eu^{x^2}\right]_0^1 = \frac{\eu - 1}{2}.

Teorema 25.8 (Pengintegralan parsial)

Misalkan $u, v$ dapat diturunkan pada $\intcc{a}{b}$ dengan turunan yang kontinu. Maka

\int_a^b u'(t)\,v(t)\,\dd t = \bigl[u(t)\,v(t)\bigr]_a^b - \int_a^b u(t)\,v'(t)\,\dd t .

Bukti. Aturan hasil kali memberi $(uv)' = u'v + uv'$ ; dengan mengintegralkan kedua ruasnya pada $\intcc{a}{b}$ dan memakai teorema dasarnya pada ruas kiri diperoleh $\bigl[uv\bigr]_a^b = \int_a^b u'v + \int_a^b uv'$ . ∎

Contoh 25.9

$\displaystyle\int_0^1 t\,\eu^{t}\,\dd t$ : ambil $u' = \eu^t$ , $v = t$ , jadi $u = \eu^t$ , $v' = 1$ :

\int_0^1 t\,\eu^t\,\dd t = \bigl[t\,\eu^t\bigr]_0^1 - \int_0^1 \eu^t\,\dd t = \eu - (\eu - 1) = 1 .

25.3 Penerapan

Definisi 25.10 (Nilai rata-rata)

Nilai rata-rata dari fungsi kontinu $f$ pada $\intcc{a}{b}$ ( $a<b$ ) adalah

\mu = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(t)\,\dd t .

Proposisi 25.11

Jika $m \leq f \leq M$ pada $\intcc{a}{b}$ , maka $m \leq \mu \leq M$ .

Bukti. Integralkan ketaksamaan $m \leq f(t) \leq M$ pada $\intcc{a}{b}$ lalu bagilah dengan $b - a > 0$ . ∎

Metode 25.12 (Luas di antara dua kurva)

Jika $f \geq g$ pada $\intcc{a}{b}$ , luas di antara kedua kurvanya adalah $\int_a^b \bigl(f(x) - g(x)\bigr)\dd x$ . Jika kurvanya berpotongan, penggallah selangnya di titik potongnya lalu integralkan $\abs{f - g}$ sepotong demi sepotong.

Luas di antara garis y = x + 1 (merah) dan parabola y = x2 - 1 (biru) adalah ∈t_-12 ((x+1) - (x2-1) ) x = 9/2. — Luas di antara garis $y = x + 1$ (merah) dan parabola $y = x^2 - 1$ (biru) adalah $\int_{-1}^{2} \bigl((x+1) - (x^2-1)\bigr)\dd x = \frac92$ .

25.4 Latihan

Latihan 25.1 ★

Hitunglah

\int_1^2 \left(3x^2 - \frac{1}{x^2}\right)\dd x, \qquad \int_0^{\pi/2} \cos t \,\dd t, \qquad \int_0^{1} \frac{\dd t}{2t+1} .

Solusi

Solusi Latihan 25.1.

\int_1^2 \left(3x^2 - \frac{1}{x^2}\right)\dd x = \left[x^3 + \frac1x\right]_1^2 = \left(8 + \tfrac12\right) - 2 = \frac{13}{2}.

\int_0^{\pi/2} \cos t\,\dd t = \bigl[\sin t\bigr]_0^{\pi/2} = 1 .

Dengan $u = 2t+1$ , $\frac{1}{2t+1} = \frac12\,\frac{u'}{u}$ :

\int_0^1 \frac{\dd t}{2t+1} = \frac12\bigl[\ln(2t+1)\bigr]_0^1 = \frac{\ln 3}{2}.

Latihan 25.2 ★

Carilah primitif $F$ dari $f(x) = x\eu^{x^2}$ pada $\R$ dengan $F(0) = 1$ .

Solusi

Solusi Latihan 25.2.

$x\,\eu^{x^2} = \frac12\,(x^2)'\,\eu^{x^2}$ berprimitif $\frac12\eu^{x^2} + c$ . Syarat $F(0) = 1$ memberi $\frac12 + c = 1$ , sehingga

F(x) = \frac{\eu^{x^2} + 1}{2}.

Latihan 25.3 ★

Hitunglah nilai rata-rata $f(t) = \sin t$ pada $\intcc{0}{\pi}$ , lalu tafsirkan hasilnya pada sebuah grafik.

Solusi

Solusi Latihan 25.3.

\mu = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi \sin t\,\dd t = \frac{1}{\pi}\bigl[-\cos t\bigr]_0^\pi = \frac{2}{\pi} \approx 0.64 .

Secara grafis, persegi panjang beralas $\intcc{0}{\pi}$ dan bertinggi $\frac{2}{\pi}$ berluas sama dengan lengkung kurva sinusnya.

Latihan 25.4 ★★

Dengan pengintegralan parsial, hitunglah

\int_1^{\eu} \ln t\,\dd t \qquad\text{dan}\qquad \int_0^{\pi} t \sin t\,\dd t .

Solusi

Solusi Latihan 25.4.

Ambil $u' = 1$ , $v = \ln t$ , jadi $u = t$ , $v' = \frac1t$ :

\int_1^{\eu} \ln t\,\dd t = \bigl[t\ln t\bigr]_1^{\eu} - \int_1^{\eu} 1\,\dd t = \eu - (\eu - 1) = 1 .

Ambil $u' = \sin t$ , $v = t$ , jadi $u = -\cos t$ , $v' = 1$ :

\int_0^\pi t\sin t\,\dd t = \bigl[-t\cos t\bigr]_0^\pi + \int_0^\pi \cos t\,\dd t = \pi + 0 = \pi .

Latihan 25.5 ★★

Hitunglah luas daerah di antara parabola $y = x^2$ dan garis $y = x + 2$ .

Solusi

Solusi Latihan 25.5.

Kedua kurvanya berpotongan ketika $x^2 = x + 2$ , yaitu $x \in \{-1, 2\}$ , dan pada $\intcc{-1}{2}$ garisnya berada di atas parabolanya. Luasnya

\int_{-1}^{2} \bigl(x + 2 - x^2\bigr)\dd x = \left[\frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{2} = \frac{10}{3} - \left(-\frac{7}{6}\right) = \frac{9}{2}.

Latihan 25.6 ★★

Misalkan $I = \displaystyle\int_0^1 \frac{\dd t}{1 + t}$ .

Hitunglah $I$ .
Untuk $n \in \N$ , misalkan $I_n = \displaystyle\int_0^1 \frac{t^n}{1+t}\dd t$ . Tunjukkan bahwa $I_n + I_{n+1} = \dfrac{1}{n+1}$ , dan bahwa $0 \leq I_n \leq \dfrac{1}{n+1}$ .
Simpulkan bahwa $1 - \frac12 + \frac13 - \dots + \frac{(-1)^{n-1}}{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \ln 2$ .

Solusi

Solusi Latihan 25.6.

1. $I = \bigl[\ln(1+t)\bigr]_0^1 = \ln 2$ .

I_n + I_{n+1} = \int_0^1 \frac{t^n(1 + t)}{1+t}\,\dd t = \int_0^1 t^n \,\dd t = \frac{1}{n+1}.

Pada $\intcc{0}{1}$ berlaku $0 \leq \dfrac{t^n}{1+t} \leq t^n$ , sehingga menurut pembandingan $0 \leq I_n \leq \frac{1}{n+1}$ .

3. Dari rumus rekurensinya, lewat induksi yang teleskopis,

I_n = (-1)^n\left(I_0 - \left(1 - \frac12 + \dots + \frac{(-1)^{n-1}}{n}\right)\right),

yaitu $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{k} = \ln 2 - (-1)^n I_n$ (ingat bahwa $I_0 = \ln 2$ ). Karena $\abs{I_n} \leq \frac{1}{n+1} \to 0$ , jumlah harmonis berselang-seling itu menuju $\ln 2$ .

Latihan 25.7 ★★

Laju sebuah kereta (dalam m/s) selama $100$ sekon pertama sesudah berangkat dimodelkan oleh $v(t) = 30\bigl(1 - \eu^{-t/50}\bigr)$ . Hitunglah jarak yang ditempuhnya selama $100$ sekon itu, dan laju rata-rata keretanya pada selang tersebut.

Solusi

Solusi Latihan 25.7.

Jaraknya:

d = \int_0^{100} 30\left(1 - \eu^{-t/50}\right)\dd t = 30\left[t + 50\,\eu^{-t/50}\right]_0^{100} = 30\left(100 + 50\eu^{-2} - 50\right) = 1500 + 1500\,\eu^{-2}.

Secara numeris $d \approx 1500 + 203 = 1703$ m. Laju rata-ratanya: $\frac{d}{100} = 15\bigl(1 + \eu^{-2}\bigr) \approx 17.0$ m/s.

Latihan 25.8 ★★★

Untuk $n \geq 1$ , misalkan $S_n = \dfrac1n \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1 + k/n}$ .

Tafsirkan $S_n$ sebagai luas persegi panjang yang menghampiri daerah di bawah kurva $t \mapsto \frac{1}{1+t}$ pada $\intcc{0}{1}$ .
Dengan memakai kemonotonan $t \mapsto \frac{1}{1+t}$ , tunjukkan bahwa

$S_n \leq \int_0^1 \frac{\dd t}{1+t} \leq S_n + \frac1n\left(1 - \frac12\right),$

lalu simpulkan $\lim\limits_{n\to+\infty} S_n = \ln 2$ .

Solusi

Solusi Latihan 25.8.

1. $S_n$ adalah luas total $n$ persegi panjang selebar $\frac1n$ dan bertinggi $f\left(\frac kn\right)$ , $k = 1, \dots, n$ , dengan $f(t) = \frac{1}{1+t}$ : itulah hampiran persegi panjang “ujung kanan” bagi luas di bawah $f$ pada $\intcc{0}{1}$ .

2. Karena $f$ turun, maka pada setiap selang $\intcc{\frac{k-1}{n}}{\frac kn}$ berlaku $f\left(\frac kn\right) \leq f(t) \leq f\left(\frac{k-1}{n}\right)$ ; dengan mengintegralkan lalu menjumlahkan atas $k$ :

S_n \leq \int_0^1 f(t)\,\dd t \leq S_n + \frac1n\bigl(f(0) - f(1)\bigr) = S_n + \frac{1}{2n}.

(Suku tengah pada tampilan latihannya, dengan $f(0) - f(1) = 1 - \frac12$ , tepat merupakan batas ini.) Jadi $0 \leq \ln 2 - S_n \leq \frac{1}{2n} \to 0$ , sehingga $S_n \to \ln 2$ .

Latihan 25.9 ★★★

(Integral Wallis.) Untuk $n \in \N$ , misalkan $W_n = \displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^n t\,\dd t$ .

Hitunglah $W_0$ dan $W_1$ .
Dengan menulis $\sin^{n+2}t = \sin t \cdot \sin^{n+1} t$ lalu mengintegralkan secara parsial, tunjukkan bahwa $W_{n+2} = \dfrac{n+1}{n+2}\,W_n$ .
Simpulkan $W_2$ , $W_3$ , $W_4$ lalu tunjukkan bahwa $(W_n)$ turun dan positif.

Solusi

Solusi Latihan 25.9.

1. $W_0 = \int_0^{\pi/2} \dd t = \frac{\pi}{2}$ dan $W_1 = \bigl[-\cos t\bigr]_0^{\pi/2} = 1$ .

2. Integralkan secara parsial dengan $u' = \sin t$ , $v = \sin^{n+1} t$ , jadi $u = -\cos t$ , $v' = (n+1)\sin^n t \cos t$ :

W_{n+2} = \bigl[-\cos t \sin^{n+1} t\bigr]_0^{\pi/2} + (n+1)\int_0^{\pi/2} \cos^2 t\,\sin^n t\,\dd t = (n+1)\int_0^{\pi/2} (1 - \sin^2 t)\sin^n t\,\dd t,

dengan kurungnya bernilai nol di kedua ujungnya. Jadi $W_{n+2} = (n+1)(W_n - W_{n+2})$ , yaitu $W_{n+2} = \frac{n+1}{n+2} W_n$ .

3. $W_2 = \frac12 W_0 = \frac{\pi}{4}$ , $W_3 = \frac23 W_1 = \frac23$ , $W_4 = \frac34 W_2 = \frac{3\pi}{16}$ . Pada $\intoo{0}{\frac\pi2}$ berlaku $0 < \sin t < 1$ , sehingga $\sin^{n+1} t \leq \sin^n t$ dengan ketaksamaan tegas di bagian dalamnya; setelah diintegralkan, $0 < W_{n+1} \leq W_n$ (bahkan $<$ ): jadi $(W_n)$ turun dan positif.

25.5 Soal: Archimedes melawan mesin

Soal 25.1

Soal akhir pekan — luas di bawah parabola, dihitung dengan tiga cara sepanjang dua puluh dua abad, dan jati diri rahasia logaritma sebagai sebuah luas

Sekitar tahun 240 SM, Archimedes menghitung luas eksak sebuah tembereng parabola — tanpa koordinat, tanpa limit, tanpa aljabar. Sembilan belas abad kemudian, persegi panjang Riemann mengulanginya dengan apitan yang kasar; dan teorema dasar kalkulus (Teorema 25.5) kini melakukannya dalam satu baris. Soal ini memainkan ketiga pertandingan itu, lalu memakai mesin yang sama untuk menyingkap apa sebenarnya logaritma itu: luas dengan kesetangkupan penskalaan.

Bagian I — Kelancaran.

Hitunglah $\displaystyle\int_0^1 (3x^2 - 2x + 1)\,\dd x$ , $\displaystyle\int_1^{\eu} \frac{\dd x}{x}$ , dan $\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos x\,\dd x$ .
Kenalilah bentuk $u'u$ (Metode 25.7): $\displaystyle\int_0^1 x\,\eu^{x^2}\dd x$ dan $\displaystyle\int_0^1 \frac{2x}{x^2 + 1}\,\dd x$ .
Secara parsial (Teorema 25.8): $\displaystyle\int_0^1 x\,\eu^x \dd x$ dan $\displaystyle\int_1^{\eu} \ln x\,\dd x$ .
Hitunglah nilai rata-rata (Definisi 25.10) dari $\sin$ pada $\intcc{0}{\pi}$ — lalu perhatikan bahwa nilainya bukan $\frac12$ .
Hitunglah luas di antara garis $y = x$ dan parabola $y = x^2$ pada $\intcc{0}{1}$ (Metode 25.12).

Bagian II — Parabolanya dengan tiga cara.

Rancangan Riemann untuk luas di bawah $y = x^2$ pada $\intcc{0}{1}$ : tulislah jumlah bawah $L_n$ dan jumlah atas $U_n$ atas $n$ persegi panjang yang sama lebarnya (seperti pada Latihan 25.8).
Buktikan dengan induksi (mesin Soal 20.1) rumus jumlah kuadratnya

$1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} .$
Simpulkan bentuk tertutup $U_n$ dan $L_n$ , hitunglah limit persekutuannya, lalu simpulkan: luasnya $\frac13$ .
Sekarang mesinnya: hitunglah $\int_0^1 x^2\,\dd x$ dengan teorema dasar itu, dalam satu baris saja. Bandingkanlah jerih payahnya.
Archimedes menyatakannya dengan cara lain: sebuah tembereng parabola adalah $\frac43$ segitiga yang termuat di dalamnya. Untuk tembereng yang dipotong dari $y = x^2$ oleh tali busur penghubung $(-1, 1)$ ke $(1, 1)$ : hitunglah luas temberengnya dengan integral, luas segitiga di dalamnya (puncaknya di titik puncak $(0, 0)$ ), lalu periksalah perbandingan sang guru itu.
Cara Archimedes sendiri: isilah temberengnya dengan segitiga besar $T$ , lalu dua segitiga yang berjumlah $\frac T4$ , lalu empat yang berjumlah $\frac{T}{16}$ , dan seterusnya. Jumlahkan deret ukurnya lalu peroleh kembali $\frac43 T$ — batang cokelat yang digigit tanpa henti di jilid sekolah menengah pertama, yang dimakan oleh ahli ukur Yunani.
Satu kalimat untuk masing-masingnya: penghabisan (Archimedes), apitan (Riemann), pengantiturunan (Newton–Leibniz) — apa yang diperlukan masing-masing, dan apa yang diberikannya?

Bagian III — Logaritma adalah sebuah luas. Untuk $x > 0$ , ambil $A(x) = \displaystyle\int_1^x \frac{\dd t}{t}$ .

Berikan $A(1)$ dan $A'(x)$ (Teorema 25.5), lalu simpulkan bahwa $A$ tepat merupakan logaritma asli pada Definisi 23.5.
Keajaiban penskalaannya: tetapkan $a > 0$ lalu kajilah $g(x) = A(ax) - A(x)$ . Hitunglah $g'$ (aturan rantai), simpulkan bahwa $g$ bernilai tetap, hitunglah tetapannya — lalu simpulkan persamaan fungsionalnya

$\ln(ab) = \ln a + \ln b ,$

yang terbukti dengan kalkulus murni: luas dari $1$ sampai $ab$ terpecah menjadi salinan-salinan yang terskala.
Simpulkan dari pertanyaan 14: $\ln(a^n) = n\ln a$ dan $\ln\frac1a = -\ln a$ .
Latihan 25.8 membaca $\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{2n}$ sebagai persegi panjang di bawah $\frac{1}{1 + t}$ : hitunglah jumlah itu untuk $n = 10$ (tiga angka di belakang titik) lalu bandingkan dengan $\ln 2$ . Jumlah bercita rasa harmonis yang mana, yang suku demi sukunya divergen, di sini justru konvergen ke sebuah luas?

Bagian IV — Penimbunan.

Sebuah mobil dipercepat dengan laju $v(t) = 3t^2$ m/s untuk $t \in \intcc{0}{10}$ . Hitunglah jarak yang ditempuhnya, laju rata-ratanya, dan saat ketika laju sesaatnya sama dengan laju rata-ratanya.
Sebuah batang sepanjang $4$ meter berkerapatan linear $\rho(x) = 2 + x$ kg/m. Hitunglah massa totalnya dan pusat massanya $\dfrac{\int_0^4 x\,\rho(x)\,\dd x}{\int_0^4 \rho(x)\,\dd x}$ — titik seimbang segitiga karton di jilid sekolah menengah pertama, yang akhirnya terhitung dengan bobot yang berubah-ubah.
Integral Wallis (Latihan 25.9): hitunglah $W_0$ , $W_1$ , dan $W_2 = \int_0^{\pi/2} \sin^2 t\,\dd t$ dengan memakai pelinearan pada Soal 24.1. (Tangga tak berhingganya mendaki, di jilid universitas, sampai ke rumus hasil kali untuk $\pi$ dan ke penormalan kurva loncengnya.)
Penutup — tiga wajah pengintegralan: sebuah luas menurut definisinya, sebuah penimbunan di dunia nyata (jarak, massa), sebuah antiturunan menurut teorema dasarnya; dan sejarahnya dalam tiga nama. Tutuplah dengan mutiara bab ini: tombol sehari-hari yang mana pada kalkulator yang diam-diam merupakan luas di bawah $\frac1t$ — dan identitas mana yang dibuktikan oleh luas itu?

Solusi

Solusi Soal 25.1.

1. $\left[x^3 - x^2 + x\right]_0^1 = 1$ ; $\left[\ln x\right]_1^{\eu} = 1$ ; $\left[\sin x\right]_0^{\pi/2} = 1$ .

2. $\left[\frac12 \eu^{x^2}\right]_0^1 = \frac{\eu - 1}{2}$ ; $\left[\ln(x^2 + 1)\right]_0^1 = \ln 2$ .

3. $\int_0^1 x\eu^x = \left[x\eu^x\right]_0^1 - \int_0^1 \eu^x = \eu - (\eu - 1) = 1$ . Lalu $\int_1^{\eu} \ln x = \left[x\ln x\right]_1^{\eu} - \int_1^{\eu} 1 = \eu - (\eu - 1) = 1$ .

4. $\frac{1}{\pi}\int_0^\pi \sin x\,\dd x = \frac{2}{\pi} \approx 0.64$ : tinggi rata-rata lengkung sinus itu adalah $\frac2\pi$ , terasa lebih dari setengah — lengkungnya gemuk di dekat puncaknya.

5. $\int_0^1 (x - x^2)\,\dd x = \frac12 - \frac13 = \frac16$ .

6. $L_n = \frac1n \sum_{k=0}^{n-1} \left(\frac kn\right)^2$ dan $U_n = \frac1n \sum_{k=1}^{n} \left(\frac kn\right)^2$ : yaitu persegi panjang selebar $\frac1n$ yang tingginya dibaca di ujung kiri (di bawah kurvanya) atau di ujung kanan (di atasnya).

7. Benar untuk $n = 1$ ( $1 = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6}$ ). Jika benar untuk $n$ , maka dengan menambahkan $(n+1)^2$ :

\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2 = \frac{(n+1)\left(2n^2 + n + 6n + 6\right)}{6} = \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6},

yaitu rumusnya di $n + 1$ : pewarisannya beres.

8. $U_n = \frac{1}{n^3} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{(1 + \frac1n)(2 + \frac1n)}{6} \to \frac26 = \frac13$ , dan $L_n = U_n - \frac1n \to \frac13$ : terapit di antara kedua tangganya, luasnya tepat $\frac13$ .

9. $\int_0^1 x^2\,\dd x = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac13$ : satu baris saja. Teorema dasarnya mengubah apitan tak berhingga menjadi satu kali penghitungan antiturunan — itulah sebabnya teorema itu disebut dasar.

10. Temberengnya: $\int_{-1}^{1}(1 - x^2)\,\dd x = 2 - \frac23 = \frac43$ . Segitiga yang beralas tali busurnya (panjangnya $2$ , pada ketinggian $1$ ) dan berpuncak $(0,0)$ berluas $\frac12 \times 2 \times 1 = 1$ . Perbandingannya: $\frac43$ — tepat teorema Archimedes, yang diperiksa dengan mesin yang tak dimilikinya.

11. $T\left(1 + \frac14 + \frac{1}{16} + \dots\right) = T \cdot \frac{1}{1 - \frac14} = \frac43 T$ (deret ukur berrasio $\frac14$ ): dengan $T = 1$ , luas temberengnya $\frac43$ lagi. Archimedes menjumlahkan deret itu dengan alasan yang murni geometris — gigitan seperempat mirip batang cokelat itu, dua ribu tahun sebelum limit menjadi kata.

12. Penghabisan menuntut keserupaan diri yang geometris dan cerdik, lalu memberi luas eksak kasus demi kasus; Riemann hanya menuntut kemonotonan dan memberi definisi yang berlaku umum, dengan harga menghitung jumlah; teorema dasarnya menuntut seluruh bangunan turunan, lalu membalasnya dengan menjadikan luas sebagai perhitungan satu baris.

13. $A(1) = 0$ dan $A'(x) = \frac1x$ (teorema dasar): jadi $A$ adalah primitif $\frac1x$ pada $\intoo{0}{+\infty}$ yang bernilai nol di $1$ — dan itu tepat logaritma asli.

14. $g'(x) = \frac{a}{ax} - \frac1x = 0$ : jadi $g$ bernilai tetap; di $x = 1$ : $g(1) = A(a) - A(1) = A(a)$ . Jadi $A(ax) = A(a) + A(x)$ untuk semua $x$ , dan dengan $x = b$ : $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ . Luas di bawah hiperbolanya tidak peduli pada skala mendatar: merentangkan $t$ dengan faktor $a$ memampatkan $\frac1t$ dengan faktor $a$ , dan luasnya selamat — penjumlahan logaritma adalah kesetangkupan penskalaan.

15. Dengan melelarinya: $\ln(a^n) = n\ln a$ (induksi pada $n$ ). Lalu $0 = \ln 1 = \ln\left(a \cdot \frac1a\right) = \ln a + \ln\frac1a$ , sehingga $\ln\frac1a = -\ln a$ .

16. $\frac{1}{11} + \frac{1}{12} + \dots + \frac{1}{20} \approx 0.669$ , terhadap $\ln 2 \approx 0.693$ : sepuluh persegi panjang di bawah $\frac{1}{1+t}$ , sudah dekat. Deret harmonisnya divergen, tetapi keratannya dari $n$ sampai $2n$ mengendap pada $\ln 2$ : divergensi yang merangkak, yang terukur oleh sebuah luas.

17. Jaraknya: $\int_0^{10} 3t^2\,\dd t = 1000$ m. Laju rata-ratanya: $100$ m/s. Saat ketika $v = 100$ : $3t^2 = 100$ , jadi $t = \sqrt{\frac{100}{3}} \approx 5.77$ sekon.

18. Massanya: $\int_0^4 (2 + x)\,\dd x = 8 + 8 = 16$ kg. Momennya: $\int_0^4 (2x + x^2)\,\dd x = 16 + \frac{64}{3} = \frac{112}{3}$ . Pusat massanya: $\frac{112/3}{16} = \frac73 \approx 2.33$ m — terdorong melewati tengahnya oleh ujung kanannya yang lebih berat, seperti yang dituntut naluri.

19. $W_0 = \frac\pi2$ ; $W_1 = \left[-\cos t\right]_0^{\pi/2} = 1$ ; dan $W_2 = \int_0^{\pi/2} \frac{1 - \cos 2t}{2}\,\dd t = \frac\pi4$ .

20. Luas: definisinya, yang terapit oleh tangga-tangganya. Penimbunan: jarak dari laju, massa dari kerapatan — integral sebagai jumlah berjalan. Antiturunan: teorema dasarnya, jalan pintas Newton dan Leibniz melewati kesabaran Archimedes. Mutiaranya: tombol $\ln$ adalah luas di bawah $\frac1t$ , dan kesetangkupan penskalaan luas itu adalah identitas $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ .

Bahwa fungsi yang turunannya nol pada suatu selang bernilai tetap menyusul dari Teorema 22.7: fungsi itu sekaligus naik dan turun. ↩

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 395 istilah di glosarium