Matematika Sekolah Menengah Atas · Grades 10–12

6Vektor

Sebuah vektor menyandikan perpindahan: sebuah arah dan sebuah panjang, tanpa memedulikan titik awalnya. Vektor memberi bukti yang bersih bagi fakta geometris dan, begitu koordinat masuk ke dalam gambar, menyusutkannya menjadi perhitungan kecil. Vektor akan menjadi perkakas penting pada Bab 7 dan, kelak, bagi hasil kali skalar pada Bab 16.

6.1 Translasi dan vektor

Definisi 6.1 (Vektor)

Diberikan dua titik $A$ dan $B$ , vektor $\vect{AB}$ menyatakan perpindahan dari $A$ ke $B$ : vektor itu mempunyai sebuah arah (arah garis $(AB)$ , beserta arah perjalanan sepanjang garis itu, dari $A$ menuju $B$ ) dan sebuah panjang (jarak $AB$ , ditulis juga $\norm{\vect{AB}}$ ). Dua vektor disebut sama apabila keduanya menyandikan perpindahan yang sama: $\vect{AB} = \vect{CD}$ berarti bahwa menerapkan kedua perpindahan itu pada titik mana pun memberi hasil yang sama.

Proposisi 6.2 (Vektor yang sama dan jajargenjang)

$\vect{AB} = \vect{CD}$ tepat ketika $ABDC$ (menurut urutan itu!) adalah jajargenjang, mungkin jajargenjang yang gepeng — setara dengan itu, ketika $[AD]$ dan $[BC]$ mempunyai titik tengah yang sama.

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Vektor yang sama AB = CD: arah sama, jurusan sama, panjang sama. Segi empat ABDC adalah jajargenjang. — Vektor yang sama $\vect{AB} = \vect{CD}$ : arah sama, jurusan sama, panjang sama. Segi empat $ABDC$ adalah jajargenjang.

Notasi 6.3

Sebuah vektor sering dinamai dengan satu huruf, $\vec u$ atau $\vec v$ , bila titik ujungnya tidak penting. Vektor nol $\vec 0 = \vect{AA}$ adalah perpindahan yang tidak menggerakkan apa pun. Lawan dari $\vect{AB}$ adalah $\vect{BA}$ : panjangnya sama, jurusannya berlawanan. Kita tulis $\vect{BA} = -\vect{AB}$ .

6.2 Menjumlahkan vektor

Definisi 6.4 (Jumlah dua vektor)

Yang disebut jumlah $\vec u + \vec v$ adalah perpindahan yang diperoleh dengan melakukan $\vec u$ lalu $\vec v$ .

Teorema 6.5 (Relasi Chasles)

Untuk sebarang tiga titik $A$ , $B$ , $C$ :

\vect{AB} + \vect{BC} = \vect{AC}.

Bukti. Pergi dari $A$ ke $B$ , lalu dari $B$ ke $C$ , adalah perpindahan yang membawa $A$ ke $C$ : itulah perpindahan yang disandikan oleh $\vect{AC}$ . ∎

Catatan 6.6 (Aturan jajargenjang)

Untuk menjumlahkan dua vektor yang digambar dari titik yang sama, $\vect{AB} + \vect{AC}$ , lengkapkan jajargenjang $ABDC$ : jumlahnya adalah diagonal $\vect{AD}$ . Memang $\vect{AC} = \vect{BD}$ , sehingga $\vect{AB} + \vect{AC} = \vect{AB} + \vect{BD} = \vect{AD}$ menurut relasi Chasles.

Dua gambar penjumlahan: ujung ke pangkal (relasi Chasles, kiri) dan aturan jajargenjang (kanan).

Contoh 6.7 (Menyederhanakan dengan Chasles)

Sederhanakan $\vect{MN} + \vect{NP} + \vect{PQ}$ : merangkai perpindahannya memberi $\vect{MQ}$ . Sederhanakan $\vect{AB} - \vect{AC}$ : tulis ulang selisihnya sebagai jumlah dengan vektor lawannya,

\vect{AB} - \vect{AC} = \vect{AB} + \vect{CA} = \vect{CA} + \vect{AB} = \vect{CB}.

6.3 Mengalikan vektor dengan bilangan

Definisi 6.8 (Kelipatan skalar)

Misalkan $\vec u$ vektor taknol dan $k$ bilangan real. Vektor $k\vec u$ mempunyai arah yang sama dengan $\vec u$ , panjang $\abs{k} \times \norm{\vec u}$ , dan berjurusan sama dengan $\vec u$ jika $k > 0$ , berlawanan jika $k < 0$ . Untuk $k = 0$ , $0\vec u = \vec 0$ .

Definisi 6.9 (Kekolinearan)

Dua vektor $\vec u$ dan $\vec v$ disebut kolinear apabila keduanya mempunyai arah yang sama, yaitu apabila $\vec v = k \vec u$ untuk suatu bilangan real $k$ (atau salah satunya $\vec 0$ ).

Catatan 6.10

Kekolinearan adalah bahasa vektor untuk kesejajaran dan kesegarisan:

garis $(AB)$ dan $(CD)$ sejajar tepat ketika $\vect{AB}$ dan $\vect{CD}$ kolinear;
titik $A$ , $B$ , $C$ segaris tepat ketika $\vect{AB}$ dan $\vect{AC}$ kolinear.

6.4 Koordinat vektor

Definisi 6.11 (Koordinat sebuah vektor)

Pada sebuah sistem koordinat, koordinat vektor $\vect{AB}$ adalah bilangan yang memerikan perpindahannya:

\vect{AB}\,(x_B - x_A,\ y_B - y_A).

Sebuah vektor $\vec u\,(a, b)$ menggeser setiap titik sejauh $a$ satuan mendatar dan $b$ satuan tegak.

Proposisi 6.12 (Berhitung dengan koordinat)

Misalkan $\vec u\,(a, b)$ dan $\vec v\,(c, d)$ , serta $k \in \R$ .

$\vec u = \vec v$ tepat ketika $a = c$ dan $b = d$ ;
$\vec u + \vec v$ berkoordinat $(a + c,\ b + d)$ ;
$k\vec u$ berkoordinat $(ka,\ kb)$ ;
$\norm{\vec u} = \sqrt{a^2 + b^2}$ (pada sistem ortonormal).

Bukti. 1–3 menyatakan ulang, koordinat demi koordinat, apa yang dilakukan perpindahannya: misalnya melakukan $\vec u$ lalu $\vec v$ menggeser sebuah titik secara mendatar sejauh $a$ lalu $c$ , jadi $a + c$ seluruhnya. Butir 4 adalah rumus jarak Teorema 5.4 yang diterapkan pada ruas garis yang mewakili $\vec u$ . ∎

Teorema 6.13 (Kriteria kekolinearan)

Dua vektor $\vec u\,(a, b)$ dan $\vec v\,(c, d)$ kolinear jika dan hanya jika

ad - bc = 0 .

Bukti. Jika $\vec v = k\vec u$ , maka $c = ka$ dan $d = kb$ , sehingga $ad - bc = a(kb) - b(ka) = 0$ . Hal yang sama berlaku jika $\vec u = k \vec v$ atau jika salah satu vektornya nol.

Sebaliknya, andaikan $ad - bc = 0$ dengan $\vec u \neq \vec 0$ , katakan $a \neq 0$ (kasus $b \neq 0$ serupa). Ambil $k = \frac{c}{a}$ ; maka $c = ka$ , dan $ad = bc = b(ka)$ memberi, setelah dibagi $a \neq 0$ , $d = kb$ . Jadi $\vec v = k\vec u$ . ∎

Contoh 6.14

Apakah $\vec u\,(3, -2)$ dan $\vec v\,(-6, 4)$ kolinear? Hitunglah $ad - bc = 3 \times 4 - (-2)\times(-6) = 12 - 12 = 0$ : ya, dan memang $\vec v = -2\vec u$ . Untuk $\vec u\,(3, -2)$ dan $\vec w\,(1, 5)$ : $3 \times 5 - (-2) \times 1 = 17 \neq 0$ : tidak kolinear.

Metode 6.15 (Kesegarisan dan kesejajaran)

Untuk membuktikan bahwa tiga titik $A$ , $B$ , $C$ segaris:

hitunglah koordinat $\vect{AB}$ dan $\vect{AC}$ ;
periksalah kriteria $ad - bc = 0$ pada Teorema 6.13;
simpulkan: kedua vektornya kolinear dan berbagi titik $A$ , jadi ketiga titiknya segaris.

Perhitungan yang sama dengan $\vect{AB}$ dan $\vect{CD}$ membuktikan bahwa garis $(AB)$ dan $(CD)$ sejajar.

Contoh 6.16

Misalkan $A(1, 2)$ , $B(3, 5)$ dan $C(7, 11)$ . Maka $\vect{AB}\,(2, 3)$ dan $\vect{AC}\,(6, 9)$ , serta $2 \times 9 - 3 \times 6 = 18 - 18 = 0$ : jadi ketiga titiknya segaris (bahkan $\vect{AC} = 3\vect{AB}$ ).

Titik yang segaris: AC adalah kelipatan skalar AB. — Titik yang segaris: $\vect{AC}$ adalah kelipatan skalar $\vect{AB}$ .

6.5 Latihan

Latihan 6.1 ★

Sederhanakan dengan relasi Chasles:

\vect{AB} + \vect{BD}, \qquad \vect{KL} + \vect{LM} + \vect{MK}, \qquad \vect{AC} - \vect{BC}, \qquad \vect{AB} + \vect{CA}.

Solusi

Solusi Latihan 6.1.

$\vect{AB} + \vect{BD} = \vect{AD}$ (Chasles).

$\vect{KL} + \vect{LM} + \vect{MK} = \vect{KK} = \vec 0$ .

$\vect{AC} - \vect{BC} = \vect{AC} + \vect{CB} = \vect{AB}$ .

$\vect{AB} + \vect{CA} = \vect{CA} + \vect{AB} = \vect{CB}$ .

Latihan 6.2 ★

Misalkan $A(2, 1)$ , $B(5, 3)$ , $C(-1, 4)$ . Hitunglah koordinat $\vect{AB}$ , $\vect{BC}$ , $\vect{AC}$ , lalu periksa pada koordinatnya bahwa $\vect{AB} + \vect{BC} = \vect{AC}$ .

Solusi

Solusi Latihan 6.2.

$\vect{AB}\,(5-2,\ 3-1) = (3, 2)$ ; $\vect{BC}\,(-1-5,\ 4-3) = (-6, 1)$ ; $\vect{AC}\,(-1-2,\ 4-1) = (-3, 3)$ . Periksa: $(3, 2) + (-6, 1) = (-3, 3)$ , koordinat demi koordinat.

Latihan 6.3 ★

Misalkan $\vec u\,(2, -3)$ dan $\vec v\,(-1, 4)$ . Berikan koordinat $\vec u + \vec v$ , $3\vec u$ , $2\vec u - \vec v$ , lalu hitunglah $\norm{\vec u}$ .

Solusi

Solusi Latihan 6.3.

$\vec u + \vec v = (2 + (-1),\ -3 + 4) = (1, 1)$ .

$3\vec u = (6, -9)$ .

$2\vec u - \vec v = (4 - (-1),\ -6 - 4) = (5, -10)$ .

$\norm{\vec u} = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{13}$ .

Latihan 6.4 ★

Pada setiap hal berikut, sebutkan apakah $\vec u$ dan $\vec v$ kolinear:

\text{(a) } \vec u\,(4, 6),\ \vec v\,(6, 9); \qquad \text{(b) } \vec u\,(2, -5),\ \vec v\,(-4, 10); \qquad \text{(c) } \vec u\,(3, 1),\ \vec v\,(1, 3).

Solusi

Solusi Latihan 6.4.

(a) $4 \times 9 - 6 \times 6 = 36 - 36 = 0$ : kolinear ( $\vec v = \frac32 \vec u$ ).

(b) $2 \times 10 - (-5) \times (-4) = 20 - 20 = 0$ : kolinear ( $\vec v = -2\vec u$ ).

Latihan 6.5 ★

Misalkan $A(0, 2)$ , $B(4, 0)$ , $C(6, 3)$ . Carilah koordinat titik $D$ sehingga $ABCD$ menjadi jajargenjang, yaitu sehingga $\vect{AB} = \vect{DC}$ .

Solusi

Solusi Latihan 6.5.

$\vect{AB}\,(4, -2)$ , dan $\vect{DC}\,(6 - x_D,\ 3 - y_D)$ . Syarat $\vect{AB} = \vect{DC}$ memberi $6 - x_D = 4$ dan $3 - y_D = -2$ , jadi $D(2, 5)$ .

Latihan 6.6 ★★

Misalkan $A(-2, 1)$ , $B(1, 3)$ , $C(4, -1)$ .

Hitunglah koordinat titik $M$ sehingga $\vect{AM} = \vect{AB} + \vect{AC}$ .
Segi empat apakah $ABMC$ itu? Berikan alasannya.

Solusi

Solusi Latihan 6.6.

1. $\vect{AB}\,(3, 2)$ dan $\vect{AC}\,(6, -2)$ , sehingga $\vect{AB} + \vect{AC} = (9, 0)$ dan $M = (-2 + 9,\ 1 + 0) = (7, 1)$ .

2. Menurut aturan jajargenjang, $\vect{AM} = \vect{AB} + \vect{AC}$ berarti $ABMC$ adalah jajargenjang ( $M$ titik sudut keempat yang berhadapan dengan $A$ ). Dapat diperiksa: $\vect{AB}\,(3,2)$ dan $\vect{CM}\,(7-4,\ 1-(-1)) = (3, 2)$ memang sama.

Latihan 6.7 ★★

Misalkan $A(1, -1)$ , $B(4, 1)$ , $C(10, 5)$ . Apakah titik $A$ , $B$ , $C$ segaris? Pertanyaan yang sama untuk $A(0, 3)$ , $B(2, 2)$ , $C(8, -1)$ .

Solusi

Solusi Latihan 6.7.

Tripel pertama: $\vect{AB}\,(3, 2)$ , $\vect{AC}\,(9, 6)$ ; $3 \times 6 - 2 \times 9 = 0$ : segaris ( $\vect{AC} = 3\vect{AB}$ ).

Tripel kedua: $\vect{AB}\,(2, -1)$ , $\vect{AC}\,(8, -4)$ ; $2 \times (-4) - (-1) \times 8 = -8 + 8 = 0$ : segaris juga ( $\vect{AC} = 4\vect{AB}$ ).

Latihan 6.8 ★★

Misalkan $A(1, 2)$ , $B(5, 4)$ , $C(6, 1)$ , $D(2, -1)$ . Tunjukkan bahwa $(AB)$ dan $(CD)$ sejajar, lalu bahwa $ABCD$ adalah jajargenjang. Pemeriksaan yang mana mengakibatkan yang lain?

Solusi

Solusi Latihan 6.8.

$\vect{AB}\,(4, 2)$ dan $\vect{DC}\,(6-2,\ 1-(-1)) = (4, 2)$ : kedua vektornya sama, jadi $ABCD$ adalah jajargenjang, dan khususnya $(AB) \parallel (CD)$ . Sifat jajargenjang itulah yang lebih kuat: sifat itu mengakibatkan kesejajarannya (kekolinearan vektornya), tidak sebaliknya.

Latihan 6.9 ★★

Misalkan $ABC$ sebuah segitiga, dan misalkan $I$ titik yang ditentukan oleh $\vect{AI} = \frac23 \vect{AB}$ . Dengan $A(0,0)$ , $B(6, 3)$ , $C(2, 5)$ (agar perhitungannya tetap sederhana):

hitunglah koordinat $I$ ;
misalkan $J$ titik dengan $\vect{CJ} = \frac23\vect{CB}$ ; hitunglah koordinat $J$ ;
tunjukkan bahwa $(IJ)$ sejajar dengan $(AC)$ .

Solusi

Solusi Latihan 6.9.

1. $\vect{AB}\,(6, 3)$ , sehingga $\vect{AI} = \frac23\vect{AB} = (4, 2)$ dan $I(4, 2)$ .

2. $\vect{CB}\,(6-2,\ 3-5) = (4, -2)$ , sehingga $\vect{CJ} = \frac23\vect{CB} = \left(\frac83, -\frac43\right)$ dan $J\left(2 + \frac83,\ 5 - \frac43\right) = \left(\frac{14}{3}, \frac{11}{3}\right)$ .

3. $\vect{IJ}\,\left(\frac{14}{3} - 4,\ \frac{11}{3} - 2\right) = \left(\frac23, \frac53\right)$ dan $\vect{AC}\,(2, 5)$ . Kriteria kekolinearannya:

\frac23 \times 5 - \frac53 \times 2 = \frac{10}{3} - \frac{10}{3} = 0 :

kedua vektornya kolinear, jadi $(IJ)$ sejajar dengan $(AC)$ . (Baik $I$ maupun $J$ terletak sepertiga jalan dari sisinya menuju $B$ : segitiga kecil $IBJ$ adalah perkecilan $ABC$ .)

Latihan 6.10 ★★★

Misalkan $ABCD$ sebarang segi empat, dan misalkan $I$ , $J$ , $K$ , $L$ titik tengah $[AB]$ , $[BC]$ , $[CD]$ , $[DA]$ . Dengan memakai koordinat $A(x_A, y_A)$ , dan seterusnya, tunjukkan bahwa $\vect{IJ} = \vect{LK}$ , lalu simpulkan bahwa titik tengah sisi pada sebarang segi empat selalu membentuk jajargenjang.

Solusi

Solusi Latihan 6.10.

Titik tengahnya adalah

I\left(\tfrac{x_A + x_B}{2}, \tfrac{y_A + y_B}{2}\right), \quad J\left(\tfrac{x_B + x_C}{2}, \tfrac{y_B + y_C}{2}\right), \quad K\left(\tfrac{x_C + x_D}{2}, \tfrac{y_C + y_D}{2}\right), \quad L\left(\tfrac{x_D + x_A}{2}, \tfrac{y_D + y_A}{2}\right).

Koordinat pertama kedua vektornya:

x_J - x_I = \frac{x_B + x_C}{2} - \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{x_C - x_A}{2}, \qquad x_K - x_L = \frac{x_C + x_D}{2} - \frac{x_D + x_A}{2} = \frac{x_C - x_A}{2},

dan perhitungan yang sama berlaku untuk koordinat keduanya. Jadi $\vect{IJ} = \vect{LK}$ (keduanya sama dengan $\frac12\vect{AC}$ ), dan $IJKL$ adalah jajargenjang, bagaimanapun bentuk segi empat $ABCD$ .

6.6 Soal: Aljabar anak panah

Soal 6.1

Soal akhir pekan — senam Chasles, titik berat yang dibuktikan ulang dalam dua baris, dan gaya dalam keseimbangan: untuk apa sebenarnya vektor itu

Di jilid sebelumnya sudah dibuktikan bahwa ketiga garis berat sebuah segitiga bertemu pada dua pertiga panjangnya — dengan sebuah jajargenjang cerdik yang tersembunyi di dalam segitiganya (soal akhir pekan tentang titik berat di jilid sebelumnya). Vektor membuktikannya ulang dalam dua baris, dan menghadiahkan perpotongan di satu titik itu secara cuma-cuma. Untuk itulah aljabar baru ini ada: teorema menjadi perhitungan dengan anak panah. Soal ini melatih perhitungannya (terutama Chasles), menyajikan bukti dua barisnya, memperluas Varignon (Latihan 6.10), dan berakhir di tempat vektor dilahirkan: gaya dan kecepatan.

Bagian I — Senam Chasles.

Sederhanakan dengan relasi Chasles (Teorema 6.5): $\vect{AB} + \vect{BC} + \vect{CD}$ ; $\vect{MA} - \vect{MB}$ ; $\vect{AB} + \vect{CD} + \vect{BC} + \vect{DA}$ .
Kiat titik asal: tunjukkan bahwa untuk sebarang titik $O$ , berlaku $\vect{AB} = \vect{OB} - \vect{OA}$ .
Buktikan kedua ciri titik tengah $I$ dari $[AB]$ :

$\vect{IA} + \vect{IB} = \vec 0 \qquad\text{dan}\qquad \vect{OI} = \tfrac12\left(\vect{OA} + \vect{OB}\right) \ \text{untuk sebarang } O .$
Dengan memakai $\vect{AB} = \vect{DC}$ , temukan kembali titik sudut keempat $D$ jajargenjang $ABCD$ dengan $A(-1, 2)$ , $B(3, 4)$ , $C(6, 0)$ — lalu bandingkan dengan jawaban lewat kiat titik tengah pada Soal 5.1.
Menambahkan sebuah vektor tetap $\vec u$ pada setiap titik pada bidang menjalankan transformasi yang mana — transformasi yang ditemukan dengan dua cermin pada soal akhir pekan tentang dua cermin di jilid sebelumnya dan dengan dua setengah putaran pada soal akhir pekan tentang setengah putaran di jilid sebelumnya? Hitunglah peta $(1, 2)$ oleh $\vec u = (3, -1)$ .

Bagian II — Titik berat, bukti ketiga. Definisikan titik $G$ sebuah segitiga $ABC$ oleh syarat yang anggun berikut

\vect{GA} + \vect{GB} + \vect{GC} = \vec 0 .

Dengan kiat titik asal, tunjukkan bahwa syarat itu menentukan $G$ secara tunggal: $\vect{OG} = \frac13\left(\vect{OA} + \vect{OB} + \vect{OC}\right)$ untuk sebarang $O$ — sehingga koordinat $G$ adalah rata-rata koordinat ketiga titik sudutnya (soal akhir pekan tentang titik berat di jilid sebelumnya sudah melihatnya secara numeris).
Buktikan $\vect{AG} = \frac13\left(\vect{AB} + \vect{AC}\right)$ , dan, dengan menulis $K$ untuk titik tengah $[BC]$ , buktikan $\vect{AK} = \frac12\left(\vect{AB} + \vect{AC}\right)$ . Simpulkan: $\vect{AG} = \frac23\,\vect{AK}$ — yaitu teorema dua pertiga, terbukti ulang.
Mengapa garis berat dari $B$ dan dari $C$ melalui $G$ yang sama tanpa perhitungan tambahan? Bandingkan ketiga bukti teorema ini yang tersedia — jajargenjang tersembunyi di jilid sebelumnya, koordinat, dan vektor — masing-masing dalam satu kalimat.
Pemeriksaan numeris: $A(1, 1)$ , $B(5, 2)$ , $C(3, 6)$ . Hitunglah $G$ , lalu $K$ , lalu periksalah $\vect{AG} = \frac23 \vect{AK}$ dengan kriteria kekolinearan (Teorema 6.13).
Fisika membaca $G$ sebagai titik seimbang tiga massa yang sama di ketiga titik sudutnya. Lipatduakan massa di $A$ (massanya menjadi $2, 1, 1$ ): titik seimbangnya menjadi $\vect{OG'} = \frac{2\vect{OA} + \vect{OB} + \vect{OC}}{4}$ . Hitunglah $G'$ untuk segitiga pada pertanyaan 9 lalu bandingkan letaknya dengan $G$ .

Bagian III — Kekolinearan sedang bekerja.

Apakah $\vec u(3, -2)$ dan $\vec v(-6, 4)$ kolinear? Lalu $\vec w(2, 5)$ dan $\vec z(4, 9)$ ? Putuskan dengan kriteria determinannya.
Apakah titik $A(1, 2)$ , $B(3, 5)$ , $C(7, 11)$ segaris?
Melampaui Varignon (Latihan 6.10): pada sebarang segi empat $ABCD$ , bimedian menghubungkan titik tengah sisi yang berhadapan ( $[IK]$ dan $[JL]$ ). Dengan memakai vektor posisi ( $\vect{OI} = \frac12(\vect{OA} + \vect{OB})$ , dan seterusnya), tunjukkan bahwa kedua bimedian itu mempunyai titik tengah yang sama, dengan vektor posisi $\frac14\left(\vect{OA} + \vect{OB} + \vect{OC} + \vect{OD}\right)$ : yaitu titik berat segi empat itu.
Thales dalam satu baris: $M$ dan $N$ adalah titik yang ditentukan oleh $\vect{AM} = \frac13\vect{AB}$ dan $\vect{AN} = \frac13\vect{AC}$ . Hitunglah $\vect{MN}$ dalam $\vect{BC}$ lalu simpulkan kesejajaran serta perbandingannya.
Perumumlah pertanyaan 14 ke perbandingan sebarang $k$ , lalu nyatakan dalam satu kalimat bagaimana kalkulus vektor itu menyerap teorema titik tengah dan teorema Thales sekaligus.

Bagian IV — Gaya dan kecepatan.

Sebuah perahu didorong arus $3$ km/jam ke timur sementara didayung $4$ km/jam ke utara. Berikan vektor kecepatan resultannya, besarnya, lalu uraikan haluan yang sesungguhnya. (Sebuah tripel yang sangat tua muncul di sini.)
Tiga gaya bekerja pada sebuah cincin: $\vec u(2, 1)$ , $\vec v(-3, 2)$ , $\vec w(1, -3)$ . Hitunglah resultannya. Apa yang dilakukan cincin itu? Dan mengapa jumlah anak panah sepanjang segi banyak tertutup mana pun selalu $\vec 0$ (Chasles)?
Dua gaya $\vec u(4, -1)$ dan $\vec v(-1, 3)$ bekerja pada sebuah kait. Gaya ketiga apa yang menahan kait itu tetap seimbang?
Seorang perenang menyeberangi sungai dengan menuju lurus ke seberang pada $2$ m/s; arusnya mengalir $1.5$ m/s. Berikan kecepatan resultan dan besarnya. Sungai itu selebar $50$ m: berapa lama penyeberangannya, dan seberapa jauh ke hilir perenang itu mendarat?
Penutup: satu objek, tiga busana — anak panah perpindahan, pasangan koordinat, gaya atau kecepatan. Daftarkan ketiga teorema klasik yang dibuktikan ulang soal ini dengan aljabar vektor, lalu sebutkan satu besaran geometris yang belum dapat diukur oleh vektor bab ini — perkakas yang membereskannya tiba bersama hasil kali skalar, pada tahun berikutnya.

Solusi

Solusi Soal 6.1.

1. $\vect{AB} + \vect{BC} + \vect{CD} = \vect{AD}$ ; $\vect{MA} - \vect{MB} = \vect{MA} + \vect{BM} = \vect{BA}$ ; $\vect{AB} + \vect{BC} + \vect{CD} + \vect{DA} = \vect{AA} = \vec 0$ (setelah jumlah ketiga diurutkan ulang).

2. $\vect{OB} - \vect{OA} = \vect{AO} + \vect{OB} = \vect{AB}$ menurut Chasles.

3. $I$ adalah titik tengah $[AB]$ tepat ketika $\vect{IA} = -\vect{IB}$ , yaitu $\vect{IA} + \vect{IB} = \vec 0$ . Lalu, untuk sebarang $O$ : $\vec 0 = \vect{IO} + \vect{OA} + \vect{IO} + \vect{OB}$ , sehingga $2\,\vect{OI} = \vect{OA} + \vect{OB}$ — dan sebaliknya.

4. $\vect{AB} = (4, 2)$ , dan $D$ memenuhi $\vect{DC} = \vect{AB}$ : $D = C - (4, 2) = (2, -2)$ — yaitu $D$ yang sama dengan Soal 5.1, satu baris lebih cepat.

5. Translasi oleh vektor $\vec u$ — persis transformasi yang dihasilkan oleh dua cermin sejajar atau dua setengah putaran. Peta $(1, 2)$ : $(4, 1)$ .

6. Dengan menjabarkan setiap $\vect{GX}$ sebagai $\vect{GO} + \vect{OX}$ : $3\,\vect{GO} + \vect{OA} + \vect{OB} + \vect{OC} = \vec 0$ , sehingga $\vect{OG} = \frac13(\vect{OA} + \vect{OB} + \vect{OC})$ : hanya ada satu titik semacam itu, dan koordinatnya adalah rata-rata koordinat ketiga titik sudutnya.

7. $\vect{AB} + \vect{AC} = (\vect{AG} + \vect{GB}) + (\vect{AG} + \vect{GC}) = 2\vect{AG} + (\vect{GB} + \vect{GC}) = 2\vect{AG} - \vect{GA} = 3\vect{AG}$ , sehingga $\vect{AG} = \frac13(\vect{AB} + \vect{AC})$ . Rumus titik tengah (pertanyaan 3, dilihat dari $A$ ) memberi $\vect{AK} = \frac12(\vect{AB} + \vect{AC})$ . Setelah dibandingkan: $\vect{AG} = \frac23\vect{AK}$ — jadi $G$ terletak pada garis berat $[AK]$ , pada dua pertiga jalan dari $A$ .

8. Syarat pendefinisinya memperlakukan $A$ , $B$ , $C$ secara sama, sehingga perhitungan yang sama dari $B$ atau dari $C$ menempatkan $G$ yang sama pada dua pertiga garis berat itu: perpotongan di satu titik tidak menuntut ongkos tambahan. Bukti jajargenjangnya cerdik tetapi khusus; koordinat menghitung tetapi mengaburkan; vektor membuat kesetangkupannya terlihat dan buktinya dua baris.

9. $G\left(\frac{1+5+3}{3}, \frac{1+2+6}{3}\right) = (3, 3)$ ; $K(4, 4)$ ; $\vect{AG} = (2, 2)$ dan $\vect{AK} = (3, 3)$ : determinannya $2 \times 3 - 2 \times 3 = 0$ , jadi kolinear, dan memang $\vect{AG} = \frac23\vect{AK}$ .

10. $G'\left(\frac{2 + 5 + 3}{4}, \frac{2 + 2 + 6}{4}\right) = (2.5,\ 2.5)$ : tertarik dari $G(3,3)$ menuju titik sudut $A(1,1)$ yang massanya digandakan, sebagaimana seharusnya sebuah titik seimbang.

11. $3 \times 4 - (-2)(-6) = 12 - 12 = 0$ : kolinear ( $\vec v = -2\vec u$ ). $2 \times 9 - 5 \times 4 = -2 \neq 0$ : tidak kolinear.

12. $\vect{AB} = (2, 3)$ , $\vect{AC} = (6, 9)$ : determinannya $2 \times 9 - 3 \times 6 = 0$ : segaris.

13. $\vect{OI} = \frac12(\vect{OA} + \vect{OB})$ dan $\vect{OK} = \frac12(\vect{OC} + \vect{OD})$ , sehingga titik tengah $[IK]$ mempunyai vektor posisi $\frac12(\vect{OI} + \vect{OK}) = \frac14(\vect{OA} + \vect{OB} + \vect{OC} + \vect{OD})$ — dan perhitungan untuk $[JL]$ memberi vektor yang persis sama. Kedua bimedian itu (dan, menurut Varignon, kedua diagonal jajargenjang $IJKL$ ) berbagi pusat ini: yaitu titik berat segi empatnya.

14. $\vect{MN} = \vect{AN} - \vect{AM} = \frac13\vect{AC} - \frac13\vect{AB} = \frac13\vect{BC}$ : jadi $(MN) \parallel (BC)$ dan $MN = \frac13 BC$ .

15. Dengan $\vect{AM} = k\,\vect{AB}$ dan $\vect{AN} = k\,\vect{AC}$ : $\vect{MN} = k\,\vect{BC}$ — satu baris yang memuat teorema titik tengah ( $k = \frac12$ ) dan Thales (untuk sebarang $k$ ): perbandingannya lolos utuh melalui pengurangan itu.

16. Resultannya $(3, 4)$ , besarnya $\sqrt{9 + 16} = 5$ km/jam: perahu itu sesungguhnya bergerak ke timur laut condong ke utara, sepanjang sisi miring segitiga $3$ – $4$ – $5$ .

17. $\vec u + \vec v + \vec w = (0, 0)$ : cincin itu diam — seimbang. Sepanjang segi banyak tertutup $A_1 A_2 \dots A_n A_1$ , Chasles melipat jumlahnya menjadi $\vect{A_1 A_1} = \vec 0$ : berkeliling membawamu kembali ke tempat semula.

18. $\vec w = -(\vec u + \vec v) = -(3, 2) = (-3, -2)$ .

19. Resultannya $(1.5,\ 2)$ , besarnya $\sqrt{2.25 + 4} = 2.5$ m/s. Penyeberangannya: $50$ m pada $2$ m/s melintang: $25$ s; hanyutnya: $1.5 \times 25 = 37.5$ m ke hilir.

20. Yang dibuktikan ulang akhir pekan ini: teorema dua pertiga titik berat (pertanyaan 7), pusat bimedian dan Varignon (pertanyaan 13), serta Thales dan titik tengah (pertanyaan 14–15). Yang masih belum dapat dilakukan anak panah: mengukur sudut (dan karenanya panjang pada arah sebarang) — hasil kali skalar tahun berikutnya justru merupakan alat yang hilang itu.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 395 istilah di glosarium