Matematika Sekolah Menengah Atas · Grades 10–12

24Fungsi Trigonometri

Fungsi $\cos$ dan $\sin$ mengubah geometri lingkaran menjadi analisis. Didefinisikan dengan menggulung garis bilangan real pada lingkaran satuan, keduanya adalah purwarupa fungsi berkala, dan turunannya menjadikan keduanya penyelesaian persamaan osilasi $y'' = -y$ .

24.1 Lingkaran satuan

Definisi 24.1 (Kosinus dan sinus)

Misalkan $\mathcal{C}$ lingkaran berjari-jari 1 yang berpusat di titik asal suatu sistem koordinat ortonormal. Kepada setiap bilangan real $t$ kaitkan titik $M(t)$ yang diperoleh dengan menggulung panjang $\abs{t}$ sepanjang $\mathcal{C}$ mulai dari titik $I(1,0)$ , berlawanan arah jarum jam jika $t \geq 0$ dan searah jarum jam jika sebaliknya. Maka $\cos t$ dan $\sin t$ adalah koordinat $M(t)$ :

M(t) = (\cos t, \sin t).

Karena keliling lingkarannya $2\pi$ , titik $M(t)$ tidak berubah ketika $t$ bertambah sebesar $2\pi$ ; dan karena $M(t)$ terletak pada lingkaran satuan:

Proposisi 24.2 (Identitas dasar)

Untuk semua $t \in \R$ dan $k \in \Z$ :

\cos^2 t + \sin^2 t = 1, \qquad \cos(t + 2k\pi) = \cos t, \qquad \sin(t + 2k\pi) = \sin t,

\cos(-t) = \cos t, \qquad \sin(-t) = -\sin t,

\cos(\pi - t) = -\cos t, \quad \sin(\pi - t) = \sin t, \quad \cos\left(\tfrac{\pi}{2} - t\right) = \sin t, \quad \sin\left(\tfrac{\pi}{2} - t\right) = \cos t .

Bukti. Identitas pertama adalah persamaan lingkaran satuan; sisanya menyatakan kesetangkupan lingkaran itu: $M(-t)$ adalah pencerminan $M(t)$ pada sumbu- $x$ , $M(\pi - t)$ pada sumbu- $y$ , dan $M(\frac\pi2 - t)$ pada garis $y = x$ . ∎

Nilai yang harus dihafal:

$t$	$0$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$
[6pt] $\cos t$	$1$	$\dfrac{\sqrt3}{2}$	$\dfrac{\sqrt2}{2}$	$\dfrac12$	$0$
[6pt] $\sin t$	$0$	$\dfrac12$	$\dfrac{\sqrt2}{2}$	$\dfrac{\sqrt3}{2}$	$1$

Proposisi 24.3 (Rumus penjumlahan)

Untuk semua $a, b \in \R$ :

\begin{align*} \cos(a+b) &= \cos a \cos b - \sin a \sin b, & \sin(a+b) &= \sin a \cos b + \cos a \sin b,\\ \cos(a-b) &= \cos a \cos b + \sin a \sin b, & \sin(a-b) &= \sin a \cos b - \cos a \sin b. \end{align*}

Khususnya $\cos 2a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a$ dan $\sin 2a = 2 \sin a \cos a$ .

Bukti. Vektor $\vect{u} = (\cos a, \sin a)$ dan $\vect{v} = (\cos b, \sin b)$ adalah vektor satuan yang membentuk sudut $a - b$ ; hasil kali skalarnya sama dengan $\cos a\cos b + \sin a \sin b$ (dari koordinatnya) sekaligus dengan $\norm{\vect u}\,\norm{\vect v}\cos(a-b) = \cos(a - b)$ (dari geometrinya), dan itulah rumus ketiga. Mengganti $b$ dengan $-b$ memberi rumus pertama; rumus sinusnya menyusul dengan memakai $\sin x = \cos(\frac\pi2 - x)$ . Rumus pelipatduaannya adalah kasus $b = a$ digabung dengan $\cos^2 + \sin^2 = 1$ . ∎

24.2 Kajian analitis

Lema 24.4 (Limit dasar)

\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1 \qquad\text{dan}\qquad \lim_{t \to 0} \frac{\cos t - 1}{t} = 0 .

Bukti. Untuk $0 < t < \frac{\pi}{2}$ , bandingkanlah tiga luas pada lingkaran satuan: segitiga $OIM(t)$ , juring lingkaran $OIM(t)$ , dan segitiga siku-siku beralas $OI$ dan bertinggi $\tan t$ :

\frac{\sin t}{2} \leq \frac{t}{2} \leq \frac{\tan t}{2}.

Tiga luas yang bersarang: segitiga OIM (biru, luasnya t/2), juring lingkarannya (dibatasi busur merah, luasnya t/2), dan segitiga siku-siku bertinggi t (jingga, luasnya t/2). — Tiga luas yang bersarang: segitiga $OIM$ (biru, luasnya $\frac{\sin t}{2}$ ), juring lingkarannya (dibatasi busur merah, luasnya $\frac{t}{2}$ ), dan segitiga siku-siku bertinggi $\tan t$ (jingga, luasnya $\frac{\tan t}{2}$ ).

Ketaksamaan pertama memberi $\frac{\sin t}{t} \leq 1$ ; yang kedua memberi $\cos t \leq \frac{\sin t}{t}$ . Ketika $t \to 0^+$ , $\cos t \to 1$ (kekontinuan), dan teorema apit memberikan $\frac{\sin t}{t} \to 1$ ; sifat ganjil-genapnya memperluas ini ke $t \to 0$ . Untuk limit yang kedua,

\frac{\cos t - 1}{t} = \frac{\cos^2 t - 1}{t(\cos t + 1)} = -\frac{\sin t}{t}\cdot\frac{\sin t}{\cos t + 1} \xrightarrow[t\to0]{} -1 \cdot \frac{0}{2} = 0. \qedhere

∎

Teorema 24.5 (Turunan sinus dan kosinus)

Fungsi $\sin$ dan $\cos$ dapat diturunkan pada $\R$ , dengan

(\sin)' = \cos, \qquad (\cos)' = -\sin .

Secara lebih umum, $(\sin(ax+b))' = a\cos(ax+b)$ dan $(\cos(ax+b))' = -a\sin(ax+b)$ .

Bukti. Menurut rumus penjumlahannya,

\frac{\sin(x+h) - \sin x}{h} = \sin x\,\frac{\cos h - 1}{h} + \cos x\,\frac{\sin h}{h} \xrightarrow[h\to0]{} \sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 = \cos x,

dengan memakai Lema 24.4. Perhitungan untuk $\cos$ serupa, dan bentuk umumnya menyusul dari aturan rantai. ∎

Proposisi 24.6 (Variasi)

Pada $\intcc{0}{\pi}$ , $\cos$ turun dari $1$ ke $-1$ . Pada $\intcc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ , $\sin$ naik dari $-1$ ke $1$ . Kedua fungsi itu berkala $2\pi$ dan berdaerah hasil $\intcc{-1}{1}$ ; $\cos$ genap, $\sin$ ganjil.

Bukti. Pada $\intoo{0}{\pi}$ , $(\cos)' = -\sin < 0$ sebab titik $M(t)$ berordinat positif di sana; serupa pula $(\sin)' = \cos > 0$ pada $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ . Sifat berkala dan sifat ganjil-genapnya berasal dari Proposisi 24.2. ∎

Kurva (biru) dan (merah). — Kurva $\cos$ (biru) dan $\sin$ (merah).

Metode 24.7 (Menyelesaikan $\cos x = a$ dan $\sin x = a$ )

Untuk $a \in \intcc{-1}{1}$ , carilah satu penyelesaian khusus $\alpha$ (dari tabel nilainya atau dengan kalkulator). Maka semua penyelesaiannya adalah:

\cos x = \cos\alpha \iff x = \alpha + 2k\pi \text{ atau } x = -\alpha + 2k\pi, \quad k \in \Z;

\sin x = \sin\alpha \iff x = \alpha + 2k\pi \text{ atau } x = \pi - \alpha + 2k\pi, \quad k \in \Z.

Untuk pertidaksamaannya, letakkanlah busur penyelesaiannya pada lingkaran satuan lalu bacalah selangnya di dalam satu kala.

Contoh 24.8

Selesaikan $\cos x = \frac12$ di $\intoc{-\pi}{\pi}$ : satu penyelesaian khususnya $\frac\pi3$ , jadi penyelesaiannya $x = \frac\pi3$ dan $x = -\frac\pi3$ . Di seluruh $\R$ : $x = \pm\frac\pi3 + 2k\pi$ , $k \in \Z$ .

24.3 Latihan

Latihan 24.1 ★

Hitunglah $\cos\frac{2\pi}{3}$ , $\sin\frac{5\pi}{6}$ , $\cos\frac{7\pi}{4}$ dan $\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)$ dengan memakai identitas pada Proposisi 24.2.

Solusi

Solusi Latihan 24.1.

$\cos\frac{2\pi}{3} = \cos\left(\pi - \frac\pi3\right) = -\cos\frac\pi3 = -\frac12$ .

$\sin\frac{5\pi}{6} = \sin\left(\pi - \frac\pi6\right) = \sin\frac\pi6 = \frac12$ .

$\cos\frac{7\pi}{4} = \cos\left(2\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(-\frac\pi4\right) = \frac{\sqrt2}{2}$ .

$\sin\left(-\frac\pi3\right) = -\sin\frac\pi3 = -\frac{\sqrt3}{2}$ .

Latihan 24.2 ★

Turunkanlah $f(x) = \sin^2 x$ , $g(x) = \cos(3x) + x\sin x$ dan $h(x) = \dfrac{\sin x}{2 + \cos x}$ .

Solusi

Solusi Latihan 24.2.

$f'(x) = 2\sin x\cos x = \sin 2x$ (aturan rantai).

$g'(x) = -3\sin(3x) + \sin x + x\cos x$ (aturan rantai dan aturan hasil kali).

Aturan hasil bagi:

h'(x) = \frac{\cos x\,(2 + \cos x) - \sin x\,(-\sin x)}{(2+\cos x)^2} = \frac{2\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{(2+\cos x)^2} = \frac{2\cos x + 1}{(2+\cos x)^2}.

Latihan 24.3 ★

Selesaikan di $\intoc{-\pi}{\pi}$ , lalu di $\R$ :

\text{(a) } \sin x = \frac{\sqrt3}{2}; \qquad \text{(b) } \cos\left(2x\right) = \frac{\sqrt2}{2} .

Solusi

Solusi Latihan 24.3.

(a) Satu penyelesaian khusus $\sin x = \frac{\sqrt3}{2}$ adalah $\frac\pi3$ . Penyelesaian umumnya: $x = \frac\pi3 + 2k\pi$ atau $x = \pi - \frac\pi3 + 2k\pi = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$ . Di $\intoc{-\pi}{\pi}$ : $x \in \left\{\frac\pi3, \frac{2\pi}{3}\right\}$ .

(b) $\cos 2x = \frac{\sqrt2}{2} = \cos\frac\pi4$ memberi $2x = \pm\frac\pi4 + 2k\pi$ , jadi $x = \pm\frac\pi8 + k\pi$ . Di $\intoc{-\pi}{\pi}$ : $x \in \left\{-\frac{7\pi}{8}, -\frac\pi8, \frac\pi8, \frac{7\pi}{8}\right\}$ .

Latihan 24.4 ★★

Dengan memakai rumus penjumlahannya, hitunglah nilai eksak $\cos\frac{\pi}{12}$ dan $\sin\frac{\pi}{12}$ . (Petunjuk: $\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}$ .)

Solusi

Solusi Latihan 24.4.

Dengan $a = \frac\pi3$ , $b = \frac\pi4$ :

\cos\frac{\pi}{12} = \cos a\cos b + \sin a \sin b = \frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2} + \frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2} = \frac{\sqrt2 + \sqrt6}{4},

\sin\frac{\pi}{12} = \sin a\cos b - \cos a \sin b = \frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2} - \frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2} = \frac{\sqrt6 - \sqrt2}{4}.

Latihan 24.5 ★★

Selesaikan di $\intcc{0}{2\pi}$ pertidaksamaan $2\sin^2 x - \sin x - 1 \geq 0$ . (Petunjuk: faktorkanlah bentuk kuadrat dalam $\sin x$ itu.)

Solusi

Solusi Latihan 24.5.

Ambil $s = \sin x$ : $2s^2 - s - 1 = (2s + 1)(s - 1) \geq 0$ jika dan hanya jika $s \leq -\frac12$ atau $s = 1$ .

$\sin x = 1$ memberi $x = \frac\pi2$ . Untuk $\sin x \leq -\frac12$ : pada lingkaran satuan, itulah busur di bawah garis mendatar $y = -\frac12$ , yang di $\intcc{0}{2\pi}$ menjadi $x \in \intcc{\frac{7\pi}{6}}{\frac{11\pi}{6}}$ . Jadi

S = \left\{\frac{\pi}{2}\right\} \cup \intcc{\frac{7\pi}{6}}{\frac{11\pi}{6}} .

Latihan 24.6 ★★

Hitunglah limitnya

\lim_{x\to0} \frac{\sin 3x}{x}, \qquad \lim_{x\to0} \frac{1 - \cos x}{x^2}, \qquad \lim_{x\to+\infty} x \sin\frac{1}{x}.

Solusi

Solusi Latihan 24.6.

$\dfrac{\sin 3x}{x} = 3\,\dfrac{\sin 3x}{3x} \to 3 \cdot 1 = 3$ (komposisi dengan $u = 3x \to 0$ ).

Dengan memakai $1 - \cos x = \dfrac{\sin^2 x}{1 + \cos x}$ :

\frac{1 - \cos x}{x^2} = \left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\!2} \frac{1}{1 + \cos x} \xrightarrow[x\to0]{} 1 \cdot \frac12 = \frac12 .

Dengan mensubstitusikan $u = \frac1x \to 0^+$ : $x \sin\frac1x = \frac{\sin u}{u} \to 1$ .

Latihan 24.7 ★★

Kajilah fungsi $f(x) = x + \cos x$ pada $\intcc{0}{2\pi}$ : variasi dan nilai ekstremnya. Tunjukkan bahwa $f$ naik pada $\R$ walaupun $f'$ bernilai nol di tak berhingga banyak titik.

Solusi

Solusi Latihan 24.7.

$f'(x) = 1 - \sin x \geq 0$ untuk semua $x$ , dengan kesamaan tepat ketika $\sin x = 1$ , yaitu $x = \frac\pi2 + 2k\pi$ . Pada $\intcc{0}{2\pi}$ , $f$ naik dari $f(0) = 1$ ke $f(2\pi) = 2\pi + 1$ (nol $f'$ di $\frac{\pi}{2}$ terpencil, sehingga naiknya bahkan tegas); minimumnya $1$ di $0$ , maksimumnya $2\pi + 1$ di $2\pi$ . Pada $\R$ , $f' \geq 0$ di mana-mana dengan nol yang terpencil saja, jadi $f$ naik (secara tegas) menurut Teorema 22.7, walaupun $f'$ bernilai nol di setiap $\frac\pi2 + 2k\pi$ .

Latihan 24.8 ★★★

Misalkan $f(x) = A\cos x + B \sin x$ dengan $(A,B) \neq (0,0)$ .

Tunjukkan bahwa $f$ dapat ditulis $f(x) = R\cos(x - \varphi)$ dengan $R = \sqrt{A^2 + B^2}$ dan suatu $\varphi$ yang sesuai.
Simpulkan nilai maksimum dan minimum $f$ , lalu selesaikan $\cos x + \sin x = 1$ di $\intoc{-\pi}{\pi}$ .

Solusi

Solusi Latihan 24.8.

1. Misalkan $R = \sqrt{A^2 + B^2} > 0$ . Titik $\left(\frac AR, \frac BR\right)$ terletak pada lingkaran satuan, jadi ada $\varphi$ dengan $\cos\varphi = \frac AR$ dan $\sin\varphi = \frac BR$ . Maka

R\cos(x - \varphi) = R\bigl(\cos x\cos\varphi + \sin x \sin\varphi\bigr) = A\cos x + B\sin x = f(x).

2. Karena daerah hasil $\cos$ adalah $\intcc{-1}{1}$ , maksimum $f$ adalah $R$ dan minimumnya $-R$ . Untuk $\cos x + \sin x$ : $A = B = 1$ , $R = \sqrt2$ , $\varphi = \frac\pi4$ , jadi persamaannya menjadi $\sqrt2\cos\left(x - \frac\pi4\right) = 1$ , yaitu $\cos\left(x - \frac\pi4\right) = \frac{\sqrt2}{2}$ , yang memberi $x - \frac\pi4 = \pm\frac\pi4 + 2k\pi$ : di $\intoc{-\pi}{\pi}$ , $x \in \left\{0, \frac\pi2\right\}$ .

Latihan 24.9 ★★★

Tunjukkan bahwa $\sin$ dan $\cos$ keduanya memenuhi persamaan diferensial $y'' = -y$ . Sebaliknya, misalkan $y$ suatu penyelesaian $y'' = -y$ dengan $y(0) = a$ dan $y'(0) = b$ ; tunjukkan bahwa $y = a\cos + b\sin$ . (Petunjuk: tinjaulah $g = (y - a\cos - b\sin)$ dan “tenaga” $E = g^2 + (g')^2$ .)

Solusi

Solusi Latihan 24.9.

$(\sin)'' = (\cos)' = -\sin$ dan $(\cos)'' = (-\sin)' = -\cos$ : keduanya memenuhi $y'' = -y$ .

Misalkan $g = y - a\cos - b\sin$ . Maka $g'' = -g$ (kelinearan penurunan), $g(0) = y(0) - a = 0$ dan $g'(0) = y'(0) - b = 0$ . Ambil $E = g^2 + (g')^2$ . Maka

E' = 2g g' + 2g' g'' = 2g g' - 2g' g = 0,

sehingga $E$ tetap dan sama dengan $E(0) = 0$ . Jumlah dua kuadrat yang bernilai nol secara identik memaksa $g = 0$ , jadi $y = a\cos + b\sin$ .

24.4 Soal: Rahasia bandul

Soal 24.1

Soal akhir pekan — satu limit geometris menggerakkan turunan sinus dan kosinus, dan dari keduanya seluruh osilasi: pegas, bandul, layangan bunyi, dan meter yang nyaris jadi

Setiap jam yang pernah berdetak, setiap dawai yang pernah berbunyi, menuruti matematika yang sama: gaya pemulih yang sebanding dengan simpangannya, sehingga persamaannya $y'' = -\omega^2 y$ , sehingga kosinus. Di dasar semuanya duduk satu limit yang tampak tak berdosa, $\frac{\sin x}{x} \to 1$ — dijanjikan di kelas 9, dipakai oleh Teorema 24.5, dan dibuktikan di sini dengan gambar. Soal ini mendaki dari limit itu sampai ke ayunan sebuah bandul sepanjang satu meter, dan menjelaskan mengapa meter, tipis sekali bedanya, tidak didefinisikan olehnya.

Bagian I — Limit dasarnya.

Pemanasan secara numeris: hitunglah $\frac{\sin x}{x}$ untuk $x = 0.1$ dan $x = 0.01$ (dalam radian!).
Apitannya, pada lingkaran satuan dengan $0 < x < \frac\pi2$ : nyatakanlah dengan geometri dasar luas (i) segitiga yang bertitik sudut $O$ , $A(1,0)$ dan titik lingkaran $M(\cos x, \sin x)$ ; (ii) juring lingkaran $OAM$ ; (iii) segitiga siku-siku $OAT$ dengan $T(1, \tan x)$ .
Dari apitan luas itu simpulkan $\sin x < x < \tan x$ , lalu $\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1$ , dan simpulkan dengan teorema apit bahwa $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ (sifat ganjilnya mengurus $x < 0$ ).
Simpulkan $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac12$ (kalikan dengan sekawannya).
Jelaskan mengapa limit ini adalah mesin Teorema 24.5 (berapakah $\sin'(0)$ ?), dan mengapa ia juga melunasi utang lama: dalam arti apa radian adalah satu-satunya satuan sudut yang membuat $\sin' = \cos$ berlaku tanpa tetapan tambahan?

Bagian II — Gerak harmonis.

Periksalah dengan aturan rantai bahwa $y(t) = R\cos(\omega t - \varphi)$ memenuhi $y'' = -\omega^2 y$ .
Sebuah massa pada pegas menuruti $y'' = -4y$ , dengan $y(0) = 3$ dan $y'(0) = 8$ . Dengan menerima (dari Latihan 24.9) bahwa semua penyelesaiannya berbentuk $A\cos 2t + B\sin 2t$ , tentukanlah $A$ dan $B$ .
Tulislah ulang penyelesaiannya sebagai $R\cos(2t - \varphi)$ (Latihan 24.8): berikan amplitudo $R$ , kala ayunnya, dan fase $\varphi$ (tiga angka di belakang titik).
Pada saat manakah massa itu untuk pertama kalinya melewati kedudukan seimbang $y = 0$ ?
Bandulnya: sebuah bandul pada tali sepanjang $L$ menuruti secara eksak $\theta'' = -\frac gL \sin\theta$ — tak terselesaikan dengan fungsi dasar. Untuk ayunan kecil, gantilah $\sin\theta$ dengan $\theta$ (Bagian I membenarkannya!) lalu simpulkan kala ayunnya $T = 2\pi\sqrt{\frac Lg}$ . Hitunglah $T$ untuk $L = 1$ m ( $g = 9.81$ ): penemuan masyhur Galileo — pada apakah rumus itu tidak bergantung?
Bandul sekon: panjang berapakah yang memberi $T = 2$ sekon tepat? Akademi Ilmu Pengetahuan Prancis pada tahun 1791 ragu antara panjang itu dan sepersepuluh juta seperempat meridian untuk mendefinisikan meter — berapa milimeterkah beda kedua calon itu?

Bagian III — Rumus penjumlahan beraksi.

Tunjukkan dengan rumus penjumlahannya (Proposisi 24.3) bahwa $\cos\left(x + \frac\pi2\right) = -\sin x$ dan $\sin\left(x + \frac\pi2\right) = \cos x$ : penurunan secara melingkar adalah seperempat putaran — periksalah keselarasannya dengan Teorema 24.5.
Turunkanlah identitas hasil-kali-ke-jumlah $\cos a \cos b = \frac12\left(\cos(a - b) + \cos(a + b)\right)$ dan pelinearan $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ (bab pengintegralan akan berterima kasih).
Layangan bunyi: turunkanlah $\sin p + \sin q = 2 \sin\frac{p + q}{2} \cos\frac{p - q}{2}$ , lalu terapkan pada dua garpu tala pada $440$ dan $444$ Hz: nada apakah yang didengar telinga, dan berapa denyut tiap sekonnya? (Beginilah orkestra menyetel nadanya.)
Turunkanlah identitas sudut rangkap tiga $\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x$ (tulislah $3x = 2x + x$ ). Dengan mengambil $x = 20^\circ$ , persamaan pangkat tiga apakah yang harus dipenuhi $\cos 20^\circ$ ? (Bahwa persamaan pangkat tiga itu tak dapat diselesaikan dengan akar kuadrat saja justru itulah sebabnya pembagian sudut menjadi tiga mengalahkan penggaris dan jangka selama dua ribu tahun — kisah lengkapnya diceritakan dalam jilid universitas.)
Sebuah arus bolak-balik terbaca $I(t) = 3\cos(100\pi t) + 3\sqrt3 \sin(100\pi t)$ . Tulislah ulang sebagai $R\cos(100\pi t - \varphi)$ : berapakah arus puncaknya dan fasenya?

Bagian IV — Dunia yang berayun.

Kala ayun: berapakah kala (terkecil) dari $\sin^2 t$ (pakailah pertanyaan 13)? Dan dari $\sin(2t) + \sin(3t)$ ?
Bandul yang sesungguhnya teredam: $y(t) = \eu^{-t/10}\cos(2\pi t)$ . Lukiskan geraknya, hitunglah nilai selubungnya di $t = 10$ (seorang kawan lama muncul kembali, Soal 23.1), lalu sebutkan bab tempat persamaan dengan penyelesaian seperti itu diselesaikan.
Mengapa sinus dan kosinus menguasai setiap getaran? Berikan kamus fisika-ke-matematikanya dalam dua kalimat (gaya pemulih yang sebanding dengan simpangannya $\rightarrow$ persamaan yang mana $\rightarrow$ penyelesaian yang mana), lalu katakan apa sumbangan Latihan 24.9 bagi pernyataan itu.
Penutup: busur bab ini dalam empat langkah — satu limit geometris, dua turunan, satu persamaan diferensial, seluruh osilasi. Dan tanda bintang yang jujur: untuk ayunan besar, kala bandul yang sebenarnya melibatkan integral eliptis, yang dihitung secepat kilat oleh …rata-rata aritmetika–geometri Gauss, hidangan penutup Soal 20.1. Benang-benang seri ini menyimpul dirinya.

Solusi

Solusi Soal 24.1.

1. $0.99833\ldots$ dan $0.99998\ldots$ : merayap menuju $1$ .

2. Segitiga $OAM$ : alasnya $1$ , tingginya $\sin x$ , luasnya $\frac{\sin x}{2}$ . Juring $OAM$ : bagiannya $\frac{x}{2\pi}$ dari cakram satuan, luasnya $\frac x2$ . Segitiga $OAT$ : alasnya $1$ , tingginya $\tan x$ , luasnya $\frac{\tan x}{2}$ .

3. Segitiga kecil itu duduk di dalam juringnya, dan juringnya di dalam segitiga besar: $\frac{\sin x}{2} < \frac x2 < \frac{\tan x}{2}$ , yaitu $\sin x < x < \tan x$ . Dari $\sin x < x$ diperoleh $\frac{\sin x}{x} < 1$ ; dan dari $x < \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ , dengan mengalikan dengan $\frac{\cos x}{x} > 0$ : $\cos x < \frac{\sin x}{x}$ . Ketika $x \to 0^+$ , $\cos x \to 1$ , sehingga terapit: $\frac{\sin x}{x} \to 1$ ; dan $\frac{\sin x}{x}$ genap, jadi limit dua sisinya adalah $1$ .

4. $\frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1 - \cos^2 x}{x^2 (1 + \cos x)} = \left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 \frac{1}{1 + \cos x} \to 1 \times \frac12$ .

5. $\sin'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin h - 0}{h} = 1$ : seluruh penurunan sinus dan kosinus mengalir dari satu limit ini. Diukur dalam derajat, limitnya menjadi $\frac{\pi}{180}$ , dan setiap turunannya akan menyeret tetapan itu: radian tepat merupakan satuan yang membuat kalkulus osilasi menjadi bersih.

6. $y' = -R\omega\sin(\omega t - \varphi)$ , $y'' = -R\omega^2\cos(\omega t - \varphi) = -\omega^2 y$ .

7. $\omega = 2$ . $y(0) = A = 3$ ; $y'(0) = 2B = 8$ , jadi $B = 4$ dan $y = 3\cos 2t + 4\sin 2t$ .

8. $R = \sqrt{9 + 16} = 5$ ; kala ayunnya $\frac{2\pi}{2} = \pi$ ; fasenya $\varphi = \arctan\frac43 \approx 0.927$ , sehingga $y = 5\cos(2t - 0.927)$ .

9. $5\cos(2t - \varphi) = 0$ untuk pertama kalinya ketika $2t - \varphi = \frac\pi2$ , jadi $t = \frac{\pi/2 + 0.927}{2} \approx 1.25$ sekon.

10. Dengan $\sin\theta \approx \theta$ : $\theta'' = -\frac gL \theta$ , yaitu gerak harmonis dengan $\omega = \sqrt{\frac gL}$ dan kala $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac Lg}$ . Untuk $L = 1$ : $T \approx 2.006$ sekon. Kala ayunnya tidak bergantung pada amplitudonya (untuk ayunan kecil) — keisokronan Galileo, kenyataan yang memungkinkan adanya jam bandul.

11. $L = g\left(\frac{T}{2\pi}\right)^2 = \frac{9.81}{\pi^2} \approx 0.994$ m: bandul sekon itu kira-kira $6$ mm lebih pendek daripada meter meridian. Akademinya memilih meridian (gravitasi berubah dari tempat ke tempat, mengkhianati bandulnya); seandainya $g$ setipis rambut lebih besar, meter kita akan berdetak.

12. $\cos\left(x + \frac\pi2\right) = \cos x \cos\frac\pi2 - \sin x \sin\frac\pi2 = -\sin x$ ; $\sin\left(x + \frac\pi2\right) = \cos x$ . Jadi menurunkan sinus memberi sinus yang bergeser seperempat putaran ( $\cos$ ), lalu sekali lagi ( $-\sin$ ), dan sekali lagi, dan pulang dalam empat langkah: penurunan memutar lingkarannya.

13. Dengan menjumlahkan kedua jabaran $\cos(a \mp b)$ : $\cos(a-b) + \cos(a+b) = 2\cos a\cos b$ . Dengan $a = b = x$ : $1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$ , yaitu $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ .

14. Dengan $p = \frac{p+q}{2} + \frac{p-q}{2}$ dan $q$ bayangan cerminnya, lalu menjabarkan dan menjumlahkan: $\sin p + \sin q = 2\sin\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2}$ . Untuk $440$ dan $444$ Hz: sebuah nada pada $442$ Hz yang kenyaringannya dimodulasi oleh $\cos(2\pi \cdot 2t)$ — kenyaringannya memuncak $4$ kali tiap sekonnya (nilai mutlak selubungnya): empat layangan tiap sekonnya, yang lenyap ketika kedua garpu itu sepakat.

15. $\cos 3x = \cos 2x\cos x - \sin 2x \sin x = (2\cos^2 x - 1)\cos x - 2\sin^2 x\cos x = 4\cos^3 x - 3\cos x$ . Di $x = 20^\circ$ : $\cos 60^\circ = \frac12$ , jadi $c = \cos 20^\circ$ memenuhi $8c^3 - 6c - 1 = 0$ — persamaan pangkat tiga tanpa penyelesaian berbentuk akar kuadrat: melukis $20^\circ$ , yaitu membagi tiga $60^\circ$ , berada di luar jangkauan penggaris dan jangka.

16. $R = \sqrt{9 + 27} = 6$ ; $\tan\varphi = \frac{3\sqrt3}{3} = \sqrt3$ , jadi $\varphi = \frac\pi3$ dan $I(t) = 6\cos\left(100\pi t - \frac\pi3\right)$ : puncaknya $6$ ampere, dengan ketinggalan fase $60^\circ$ .

17. $\sin^2 t = \frac{1 - \cos 2t}{2}$ , jadi kalanya $\pi$ . Kala $\sin 2t$ adalah $\pi$ , sedangkan kala $\sin 3t$ adalah $\frac{2\pi}{3}$ : jumlahnya berulang setelah kelipatan persekutuan terkecilnya, yaitu $2\pi$ .

18. Osilasi berkala $1$ di dalam selubung yang menyusut, $\pm\eu^{-t/10}$ : tiap ayunan kira-kira $10\,\%$ lebih rendah. Di $t = 10$ selubungnya bernilai $\eu^{-1} \approx 0.368$ — lagi-lagi tetapan Soal 23.1. Persamaan dengan penyelesaian teredam seperti itu ( $y'' + a y' + b y = 0$ ) diselesaikan di bab persamaan diferensial.

19. Gaya yang menarik kembali sebanding dengan simpangannya memberi $y'' = -\omega^2 y$ ; dan Latihan 24.9 menunjukkan bahwa penyelesaian persamaan itu tepat berupa gabungan $\cos$ dan $\sin$ — keberadaannya lewat contoh, ketunggalannya lewat latihan itu: getaran tidak punya pilihan selain menjadi sinusoidal.

20. Satu limit ( $\frac{\sin x}{x} \to 1$ , lewat luas yang terapit), dua turunan ( $\sin' = \cos$ , $\cos' = -\sin$ ), satu persamaan ( $y'' = -\omega^2 y$ ), dan sebuah dunia berisi jam, dawai, arus dan pasang surut. Tanda bintangnya: untuk ayunan lebar, $T = 4\sqrt{\frac Lg} \cdot \frac{\pi/2}{M(1, \cos(\theta_0/2))}$ — yaitu rata-rata aritmetika–geometri Soal 20.1 yang menghitung integral eliptis itu dalam beberapa lelaran saja: catatan buku harian Gauss dan bandul Galileo, hanya berjarak satu rumus.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Kosinus dan sinus

Lihat semua 395 istilah di glosarium