Matematika Sekolah Menengah Atas · Grades 10–12

34Jumlah Peubah Acak dan Hukum Bilangan Besar

Mengapa kasino selalu menang pada akhirnya, dan mengapa jajak pendapat berhasil? Sebab rata-rata banyak besaran acak yang saling bebas semakin sedikit berayun. Bab ini membuktikannya: kelinearan harapan, keaditifan ragam bagi peubah yang saling bebas, ketaksamaan Bienaymé–Chebyshev, dan hukum bilangan besar.

34.1 Jumlah peubah acak

Diberikan dua peubah acak $X, Y$ pada ruang sampel berhingga yang sama, $\Omega$ , jumlah $X + Y$ adalah peubah acak $\omega \mapsto X(\omega) + Y(\omega)$ .

Teorema 34.1 (Kelinearan harapan)

Untuk semua peubah acak $X, Y$ pada $\Omega$ dan $a, b \in \R$ :

\E(X + Y) = \E(X) + \E(Y), \qquad \E(aX + b) = a\E(X) + b .

Tak ada anggapan kebebasan yang diperlukan.

Bukti. Tulislah harapannya sebagai jumlah atas hasilnya: karena $\P(X = x) = \sum_{\omega : X(\omega) = x} \P(\{\omega\})$ , mengelompokkan sukunya memberi $\E(X) = \sum_{\omega \in \Omega} \P(\{\omega\})\,X(\omega)$ . Maka

\E(X + Y) = \sum_{\omega} \P(\{\omega\})\bigl(X(\omega) + Y(\omega)\bigr) = \sum_{\omega} \P(\{\omega\})X(\omega) + \sum_{\omega} \P(\{\omega\})Y(\omega) = \E(X) + \E(Y). \qedhere

∎

Definisi 34.2 (Peubah acak yang saling bebas)

Peubah $X$ dan $Y$ disebut saling bebas jika untuk semua nilai $x, y$ :

\P(X = x \text{ dan } Y = y) = \P(X = x)\,\P(Y = y).

Beberapa peubah $X_1, \dots, X_n$ disebut saling bebas jika kaidah hasil kali ini berlaku bagi setiap pilihan nilai dari setiap subkeluarganya.

Proposisi 34.3

Jika $X$ dan $Y$ saling bebas, maka $\E(XY) = \E(X)\,\E(Y)$ .

Bukti.

\begin{aligned} \E(XY) &= \sum_{x, y} xy\;\P(X = x \text{ dan } Y = y) = \sum_{x, y} xy\,\P(X=x)\P(Y=y) \\ &= \Bigl(\sum_x x\P(X=x)\Bigr)\Bigl(\sum_y y\P(Y=y)\Bigr). \qedhere \end{aligned}

∎

Teorema 34.4 (Ragam sebuah jumlah)

Jika $X$ dan $Y$ saling bebas, maka

\V(X + Y) = \V(X) + \V(Y).

Secara lebih umum, untuk $X_1, \dots, X_n$ yang saling bebas: $\V(X_1 + \dots + X_n) = \V(X_1) + \dots + \V(X_n)$ .

Bukti. Dengan memakai König–Huygens (Proposisi 33.3) dan kelinearannya:

\begin{align*} \V(X + Y) &= \E\bigl((X+Y)^2\bigr) - \bigl(\E X + \E Y\bigr)^2\\ &= \E(X^2) + 2\E(XY) + \E(Y^2) - \E(X)^2 - 2\E(X)\E(Y) - \E(Y)^2\\ &= \V(X) + \V(Y) + 2\bigl(\E(XY) - \E(X)\E(Y)\bigr), \end{align*}

dan kurung terakhirnya lenyap bagi peubah yang saling bebas (Proposisi 34.3). Kasus umumnya menyusul lewat induksi. ∎

Contoh 34.5 (Binomial ditinjau ulang)

Peubah binomial $X \sim \mathcal B(n, p)$ adalah jumlah $X = X_1 + \dots + X_n$ berisi $n$ peubah Bernoulli yang saling bebas. Karena itu, secara berstruktur:

\E(X) = np, \qquad \V(X) = np(1-p),

sehingga Teorema 33.8 diperoleh kembali tanpa perhitungan apa pun.

Proposisi 34.6 (Rata-rata contoh)

Misalkan $X_1, \dots, X_n$ saling bebas dan berdistribusi sama dengan $X$ (harapannya $\mu$ , ragamnya $\sigma^2$ ), lalu misalkan $M_n = \frac{X_1 + \dots + X_n}{n}$ adalah rata-rata contohnya. Maka

\E(M_n) = \mu, \qquad \V(M_n) = \frac{\sigma^2}{n}, \qquad \sigma(M_n) = \frac{\sigma}{\sqrt n}.

Bukti. Kelinearannya memberi $\E(M_n) = \frac{n\mu}{n} = \mu$ ; kebebasannya memberi $\V(X_1 + \dots + X_n) = n\sigma^2$ , dan pembagian dengan $n$ menskalakan ragamnya dengan $\frac{1}{n^2}$ (Proposisi 33.4). ∎

Bilangan $\frac{\sigma}{\sqrt n}$ itulah hukum akar kuadrat yang mendasar: untuk menyeparuhkan ayunan sebuah rata-rata, lipatempatkanlah ukuran contohnya.

Hukum akar kuadrat: tiap kali ukuran contohnya dilipatempatkan, simpangan baku rata-ratanya hanya terpotong separuh.

34.2 Ketaksamaan pemusatan

Teorema 34.7 (Ketaksamaan Markov)

Jika $X \geq 0$ dan $a > 0$ :

\P(X \geq a) \leq \frac{\E(X)}{a}.

Bukti. Pada $\E(X) = \sum_i p_i x_i$ (semua sukunya tak negatif), pertahankan hanya suku dengan $x_i \geq a$ : masing-masing sekurang-kurangnya $a\,p_i$ , sehingga $\E(X) \geq a \sum_{x_i \geq a} p_i = a\,\P(X \geq a)$ . ∎

Teorema 34.8 (Ketaksamaan Bienaymé–Chebyshev)

Untuk sebarang peubah acak $X$ dan sebarang $\varepsilon > 0$ :

\P\bigl(\abs{X - \E(X)} \geq \varepsilon\bigr) \leq \frac{\V(X)}{\varepsilon^2}.

Bukti. Terapkanlah ketaksamaan Markov pada peubah tak negatif $Y = (X - \E(X))^2$ dengan $a = \varepsilon^2$ :

\P\bigl(\abs{X - \E(X)} \geq \varepsilon\bigr) = \P(Y \geq \varepsilon^2) \leq \frac{\E(Y)}{\varepsilon^2} = \frac{\V(X)}{\varepsilon^2}. \qedhere

∎

Pemusatannya: Bienaymé–Chebyshev membatasi peluang bahwa X jatuh pada ekornya (merah), pada jarak sekurang-kurangnya dari harapannya, oleh (X)/ 2. — Pemusatannya: Bienaymé–Chebyshev membatasi peluang bahwa $X$ jatuh pada ekornya (merah), pada jarak sekurang-kurangnya $\varepsilon$ dari harapannya, oleh $\V(X)/\varepsilon^2$ .

Teorema 34.9 (Hukum bilangan besar)

Misalkan $X_1, \dots, X_n$ saling bebas dan berdistribusi sama (harapannya $\mu$ , ragamnya $\sigma^2$ ), dan $M_n$ rata-rata contohnya. Untuk setiap $\varepsilon > 0$ :

\P\bigl(\abs{M_n - \mu} \geq \varepsilon\bigr) \leq \frac{\sigma^2}{n\,\varepsilon^2} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 .

Rata-rata contohnya memusat di sekeliling harapannya.

Bukti. Bienaymé–Chebyshev yang diterapkan pada $M_n$ , yang harapannya $\mu$ dan ragamnya $\frac{\sigma^2}{n}$ (Proposisi 34.6). ∎

Catatan 34.10

Teorema ini adalah jembatan antara teori peluang dan statistika: frekuensi sebuah kejadian pada banyak ulangan yang saling bebas mendekati peluangnya (ambillah $X_i$ sebagai penunjuk kejadiannya, sehingga $\mu = p$ ). Teorema itu membenarkan penaksiran peluang lewat simulasi (metode Monte Carlo) dan penaksiran proporsi populasi lewat jajak pendapat — secara kuantitatif: lihat Bab 35.

Metode 34.11 (Memakai Bienaymé–Chebyshev)

Untuk menjamin $\P(\abs{M_n - \mu} \geq \varepsilon) \leq \alpha$ , cukuplah $n \geq \frac{\sigma^2}{\alpha\,\varepsilon^2}$ . Batasnya kasar (ayunan yang sesungguhnya biasanya jauh lebih kecil) tetapi berlaku umum sepenuhnya: batas itu tak menuntut apa pun tentang distribusinya selain ragam yang berhingga.

34.3 Latihan

Latihan 34.1 ★

Dua dadu setimbang dilempar; misalkan $S$ jumlahnya. Dengan memakai kelinearannya (bukan distribusi $S$ !), hitunglah $\E(S)$ ; lalu hitung $\V(S)$ dengan memakai kebebasannya, jika diketahui bahwa satu dadu setimbang beragam $\frac{35}{12}$ .

Solusi

Solusi Latihan 34.1.

Tiap dadu berharapan $\frac{1 + 2 + \dots + 6}{6} = \frac{7}{2}$ , sehingga menurut kelinearannya $\E(S) = \frac72 + \frac72 = 7$ . Dadunya saling bebas, sehingga $\V(S) = \frac{35}{12} + \frac{35}{12} = \frac{35}{6} \approx 5.83$ .

Latihan 34.2 ★

Misalkan $X \sim \mathcal B(100,\ 0.5)$ . Batasilah $\P(X \geq 75)$ dengan ketaksamaan Markov, lalu $\P(\abs{X - 50} \geq 25)$ dengan Bienaymé–Chebyshev. Bandingkan.

Solusi

Solusi Latihan 34.2.

$\E(X) = 50$ dan $\V(X) = 100 \times 0.25 = 25$ .

Markov (karena $X \geq 0$ ): $\P(X \geq 75) \leq \frac{50}{75} = \frac23$ .

Bienaymé–Chebyshev memberi $\P(\abs{X - 50} \geq 25) \leq \frac{25}{25^2} = 0.04$ — dan itu bahkan membatasi kejadian dua sisinya, yang $X \geq 75$ hanya separuhnya. Chebyshev jauh lebih tajam di sini sebab ia memanfaatkan ragamnya, bukan hanya rata-ratanya. (Nilai sebenarnya $\P(X \geq 75)$ lebih kecil daripada $10^{-6}$ : jadi kedua batasnya kasar.)

Latihan 34.3 ★

Sekeping uang logam yang setimbang dilempar $n$ kali dan $F_n$ menyatakan frekuensi gambarnya. Seberapa besar $n$ harus dibuat agar, menurut batas Bienaymé–Chebyshev, $\P\bigl(\abs{F_n - 0.5} \geq 0.05\bigr) \leq 0.05$ ?

Solusi

Solusi Latihan 34.3.

$F_n$ adalah rata-rata contoh $n$ peubah Bernoulli $\left(\frac12\right)$ , yang beragam $\sigma^2 = \frac14$ . Batasnya

\P\left(\abs{F_n - 0.5} \geq 0.05\right) \leq \frac{1/4}{n \times 0.05^2} = \frac{100}{n}

bernilai $\leq 0.05$ segera setelah $n \geq 2000$ .

Latihan 34.4 ★★

Seorang pemodal membelah modalnya sama rata di antara $n$ aset yang saling bebas, masing-masing berharapan imbal hasil $\mu = 5\%$ dan bersimpangan baku $\sigma = 20\%$ . Hitunglah harapan dan simpangan baku imbal hasil portofolionya $M_n$ , lalu banyaknya aset yang diperlukan untuk membawa simpangan bakunya di bawah $4\%$ . Asas keuangan apa yang digambarkan hal ini?

Solusi

Solusi Latihan 34.4.

Menurut Proposisi 34.6, $\E(M_n) = 5\%$ (penganekaragaman tidak mengubah harapan imbal hasilnya) dan $\sigma(M_n) = \frac{20\%}{\sqrt n}$ . Menuntut $\frac{20}{\sqrt n} < 4$ memberi $\sqrt n > 5$ , yaitu $n \geq 26$ . Inilah asas penganekaragaman: menyebarkan modal atas risiko yang saling bebas membagi risikonya (simpangan bakunya) dengan $\sqrt n$ tanpa mengurangi harapan imbal hasilnya.

Latihan 34.5 ★★

Misalkan $X$ dan $Y$ saling bebas, dan keduanya seragam pada $\{1, 2, 3\}$ .

Berikan distribusi $S = X + Y$ lalu hitunglah $\E(S)$ , $\V(S)$ langsung darinya.
Perolehlah kembali kedua nilainya lewat kelinearan dan keaditifan ragamnya.

Solusi

Solusi Latihan 34.5.

1. Dengan mencacah $9$ pasangan yang sama mungkin: $S$ bernilai $2, 3, 4, 5, 6$ dengan peluang $\frac19, \frac29, \frac39, \frac29, \frac19$ . Karena itu $\E(S) = \frac{2 + 6 + 12 + 10 + 6}{9} = 4$ dan $\E(S^2) = \frac{4 + 18 + 48 + 50 + 36}{9} = \frac{156}{9} = \frac{52}{3}$ , sehingga $\V(S) = \frac{52}{3} - 16 = \frac43$ .

2. Untuk satu peubah: $\E(X) = 2$ , $\E(X^2) = \frac{1 + 4 + 9}{3} = \frac{14}{3}$ , $\V(X) = \frac{14}{3} - 4 = \frac23$ . Maka $\E(S) = 2 + 2 = 4$ dan, menurut kebebasannya, $\V(S) = \frac23 + \frac23 = \frac43$ . Nilainya sama.

Latihan 34.6 ★★

Tunjukkan bahwa keaditifan ragamnya dapat gagal tanpa kebebasan: hitunglah $\V(X + Y)$ untuk $Y = X$ , lalu bandingkan dengan $\V(X) + \V(Y)$ . Untuk peubah $X$ yang mana berlaku $\V(2X) = 2\V(X)$ ?

Solusi

Solusi Latihan 34.6.

Dengan $Y = X$ : $\V(X + Y) = \V(2X) = 4\V(X)$ , sedangkan $\V(X) + \V(Y) = 2\V(X)$ . Keduanya sepakat hanya ketika $\V(X) = 0$ , yaitu ketika $X$ bernilai tetap — jadi keaditifannya sungguh menuntut kebebasan (di sini $X$ bergantung secara maksimal pada dirinya sendiri).

Latihan 34.7 ★★

Sebuah dadu dicurigai berat sebelah. Dadu itu dilempar $1200$ kali dan menunjukkan angka enam $260$ kali ( $f = 0.2167$ alih-alih $\frac16 \approx 0.1667$ ). Di bawah hipotesis bahwa dadunya setimbang, batasilah $\P\bigl(\abs{F_n - \frac16} \geq 0.05\bigr)$ dengan Bienaymé–Chebyshev, lalu bahaslah apakah hipotesis kesetimbangannya masuk akal.

Solusi

Solusi Latihan 34.7.

Di bawah kesetimbangannya, $F_n$ adalah rata-rata $n = 1200$ peubah Bernoulli dengan $p = \frac16$ , $\sigma^2 = \frac16\cdot\frac56 = \frac{5}{36}$ :

\P\left(\abs{F_n - \tfrac16} \geq 0.05\right) \leq \frac{5/36}{1200 \times 0.0025} = \frac{5}{108} \approx 0.046 .

Simpangan yang teramati tepat $0.05$ : yaitu kejadian yang dihasilkan dadu setimbang dengan peluang paling banyak $4.6\%$ — dan karena Chebyshev sangat berhati-hati, peluang sebenarnya jauh lebih kecil. Jadi hipotesis kesetimbangannya tidak masuk akal; dadunya besar kemungkinan berat sebelah.

Latihan 34.8 ★★★

(Ketaksamaan yang lebih baik bagi uang logamnya.) Misalkan $X \sim \mathcal B(n,\ p)$ dan $F_n = \frac Xn$ .

Tunjukkan bahwa $p(1-p) \leq \frac14$ untuk $p \in \intcc{0}{1}$ .
Simpulkan batas yang bebas distribusi, $\P\bigl(\abs{F_n - p} \geq \varepsilon\bigr) \leq \frac{1}{4n\varepsilon^2}$ .
Berapa banyak orang yang harus dijajaki agar frekuensi yang teramati berada dalam jarak $3$ angka dari proporsi yang sebenarnya dengan peluang sekurang-kurangnya $95\%$ , menurut batas ini? (Jajak pendapat yang sungguhan memakai taksiran yang lebih tajam, tetapi orde besarnya sudah tepat.)

Solusi

Solusi Latihan 34.8.

1. $p(1-p) = \frac14 - \left(p - \frac12\right)^2 \leq \frac14$ .

2. Peubah $F_n$ berharapan $p$ dan beragam $\frac{p(1-p)}{n} \leq \frac{1}{4n}$ ; lalu Bienaymé–Chebyshev memberi

\P\bigl(\abs{F_n - p} \geq \varepsilon\bigr) \leq \frac{p(1-p)}{n\varepsilon^2} \leq \frac{1}{4n\varepsilon^2},

yang berlaku berapa pun $p$ yang tak diketahui itu.

3. Dengan $\varepsilon = 0.03$ dan taraf $0.05$ :

\frac{1}{4n(0.03)^2} \leq 0.05 \iff n \geq \frac{1}{4 \times 0.0009 \times 0.05} \approx 5556 .

Jadi kira-kira $5600$ orang sudah cukup menurut batas yang kasar ini (sedangkan jawaban klasik lewat hampiran normal lebih dekat ke $1100$ , lihat Bab 35).

34.4 Soal: Bandar selalu menang

Soal 34.1

Soal akhir pekan — hukum bilangan besar menjelaskan kasino, jajak pendapat dan asuransi, lalu meruntuhkan sesat pikir penjudi di sepanjang jalannya

Seorang pemain rolet sesudah $100$ putaran, hampir sesering tidak, sedang unggul. Kasino yang menjalankan sejuta putaran unggul dengan kepastian yang takkan dipersoalkan pengadilan mana pun. Permainan yang sama, keunggulan mungil yang sama — bedanya adalah $\sqrt n$ , dan itulah pokok bab ini (Proposisi 34.6, Teorema 34.8, Teorema 34.9). Soal ini menjalankan pembukuan kasinonya, mengukur jajak pendapat pemilu, menetapkan harga penganekaragaman — lalu membongkar sesat pikir termahal dalam sejarah perjudian.

Bagian I — Kelancaran.

Dua dadu yang saling bebas: hitunglah $V(X + Y)$ (Teorema 34.4).
Lemparlah $100$ dadu yang saling bebas lalu rata-ratakan hasilnya: berikan harapan dan simpangan baku rata-rata contohnya (Proposisi 34.6; untuk satu dadu, $\sigma = \sqrt{35/12} \approx 1.71$ ).
Sebuah peubah acak tak negatif berharapan $2$ . Apa yang dikatakan ketaksamaan Markov (Teorema 34.7) tentang $\P(X \geq 10)$ ?
Batasilah $\P\left(\abs{\bar X_{100} - 3.5} \geq 0.5\right)$ bagi rata-rata dadu pada pertanyaan 2 dengan Bienaymé–Chebyshev.
Harapan selalu menjumlah, sedangkan ragam hanya menjumlah di bawah kebebasan: tunjukkanlah $X, Y$ yang bergantungan (petunjuk: $Y = -X$ ) yang membuat $V(X + Y) \neq V(X) + V(Y)$ .

Bagian II — Pembukuan sang bandar. Rolet Eropa, bertaruh $1$ euro pada merah: menang $+1$ dengan peluang $\frac{18}{37}$ , kalah $-1$ dengan peluang $\frac{19}{37}$ .

Hitunglah harapan dan simpangan baku keuntungan satu taruhan.
Seorang penjudi memasang $100$ taruhan yang saling bebas; misalkan $G$ keuntungan totalnya. Hitunglah $\E(G)$ dan $\sigma(G)$ , lalu nisbah $\frac{\abs{\E(G)}}{\sigma(G)}$ . Apa arti hanyutan seperempat simpangan baku bagi peluang penjudinya untuk unggul malam itu?
Kasinonya melihat $1\,000\,000$ taruhan. Hitunglah harapan dan simpangan baku pendapatan totalnya, lalu nisbah yang sama. Tafsirkan bilangan $27$ itu.
Sahkanlah dengan Chebyshev: batasilah peluang bahwa kasinonya rugi uang sepanjang sejuta taruhan itu.
Sistem bertaruh: melipatduakan sesudah kalah, berhenti ketika unggul … Dengan memakai kelinearan harapan (Teorema 34.1) atas barisan taruhannya (yang mungkin acak), jelaskan mengapa setiap siasat pada permainan berkeunggulan negatif berharapan keuntungan negatif — apa yang akan dilanggar oleh sistem yang menang?
Nyatakan apa yang dijanjikan hukum bilangan besar (Teorema 34.9) tentang frekuensi merahnya — dan apa yang tidak dijanjikannya tentang putaran berikutnya sesudah sepuluh merah berturut-turut. Sebutkan sesat pikirnya.
Butir yang paling halus: hukumnya bekerja lewat pengenceran, bukan lewat penggantian. Jika merahnya berjalan $100$ di atas harapannya sesudah suatu malam, kelebihan itu tak pernah “dibayar kembali” — hitunglah apa yang justru terjadi pada pecahan $\frac{100}{n}$ ketika $n = 10^6$ , lalu tulislah ulang kekeliruan sesat pikir penjudi itu dalam satu kalimat.

Bagian III — Jajak pendapat.

Dari Latihan 34.8: berapa banyak orang yang harus dijajaki agar frekuensi yang teramati jatuh dalam jarak $3$ angka dari kebenarannya dengan peluang sekurang-kurangnya $95\,\%$ , menurut batas Chebyshev yang bebas distribusi itu?
Lembaga jajak pendapat yang sungguhan memakai kira-kira $1\,100$ orang untuk marjin $\pm 3$ angka pada $95\,\%$ : rumusnya adalah $n \approx \frac{1.96^2 \times p(1-p)} {\varepsilon^2}$ dengan $p(1-p) \leq \frac14$ . Hitunglah nilainya, lalu jelaskan jurangnya dengan pertanyaan 13 (apa yang tidak diketahui Chebyshev tentang bentuk ayunannya?).
Untuk menyeparuhkan marjin galatnya, bagaimana contohnya harus bertambah? Dari $\pm 3$ angka pada $1\,100$ , contoh berapa yang memberi $\pm 1.5$ angka?
Klasik yang berlawanan dengan naluri: ukuran contoh yang diperlukan tak pernah memakai ukuran populasinya — $1\,100$ orang cukup bagi sebuah kota maupun sebuah benua. Tunjuklah tempat di dalam modelnya yang di sana ukuran populasinya tak hadir, lalu berikan perumpamaan dapur yang dipakai para penjajak pendapat.

Bagian IV — Penganekaragaman.

Penanggung asuransi pada Soal 33.1 memperoleh $30n$ euro sebagai harapan atas $n$ polis dengan simpangan baku klaim kira-kira $315\sqrt n$ . Untuk $n$ yang mana harapan labanya akhirnya melampaui satu simpangan baku klaimnya? Apa yang sedang dikerjakan $\sqrt n$ bagi penanggung asuransinya?
Imbal hasil tahunan satu saham berayun dengan $\sigma = 20\,\%$ . Belahlah uangnya sama rata atas $25$ saham semacam itu yang saling bebas: hitunglah $\sigma$ portofolionya. Keuangan menyebut penganekaragaman satu-satunya makan siang gratis — apa tepatnya makan siang itu?
Sekarang biarkan $25$ sahamnya berkorelasi sempurna (semuanya bergerak bersama): berapa $\sigma$ portofolionya? Bandingkan kedua ujungnya lalu nyatakan anggapan mana yang diam-diam disewa setiap alasan penganekaragaman — dan apa yang terjadi ketika anggapan itu gagal di seluruh sistem pada tahun 2008.
Penutup — simfoni $\sqrt n$ : jumlahnya berayun seperti $\sqrt n$ sementara rata-ratanya mengendap seperti $\frac{1}{\sqrt n}$ ; mainkanlah temanya lewat keempat industri pada soal ini (kasino, jajak pendapat, asuransi, portofolio), sebutkan kedua penyalahguna yang tetap ada (sesat pikir penjudi dan kebebasan yang palsu), lalu berikan penunjuk ke depan: bentuk ayunannya — yaitu loncengnya — adalah bintang sinambung bab berikutnya, dan teorema lengkapnya memahkotai jilid universitas.

Solusi

Solusi Soal 34.1.

1. $V(X + Y) = V(X) + V(Y) = \frac{35}{12} + \frac{35}{12} = \frac{35}{6}$ (menurut kebebasannya).

2. $\E(\bar X) = 3.5$ ; $\sigma(\bar X) = \frac{1.71}{\sqrt{100}} \approx 0.17$ : jadi rata-rata dari seratus dadu itu memeluk $3.5$ dalam jarak seperlima angka.

3. $\P(X \geq 10) \leq \frac{2}{10} = 0.2$ .

4. $\P \leq \frac{V(\bar X)}{0.5^2} = \frac{35/1200}{0.25} \approx 0.117$ : jadi paling banyak kira-kira $12\,\%$ .

5. Dengan $Y = -X$ : $V(X + Y) = V(0) = 0$ , sedangkan $V(X) + V(Y) = 2V(X) > 0$ : jadi peubah yang berkorelasi lawan secara sempurna saling meniadakan — penjumlahan ragam adalah hak istimewa kebebasan.

6. $\E = \frac{18}{37} - \frac{19}{37} = -\frac{1}{37} \approx -0.027$ ; $\sigma = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{37}\right)^2} \approx 1.00$ .

7. $\E(G) = -2.70$ , $\sigma(G) = 10 \times 1.00 = 10$ : jadi hanyutannya hanya $0.27\sigma$ . Derau semalam menenggelamkan keunggulannya — sebagian besar minoritas penjudinya (kira-kira $40\,\%$ , kata loncengnya) pulang dengan unggul, dan justru itulah yang membuat mereka datang kembali.

8. Pendapatan kasinonya: harapannya $+27\,027$ euro, simpangan bakunya $\approx 1\,000$ : jadi labanya duduk $27$ simpangan baku di atas nol. Pada $27\sigma$ , “kasinonya mungkin rugi tahun ini” bukanlah risiko, melainkan galat pembulatan yang kecil.

9. $\P(\text{rugi}) = \P(G \geq 27\,027$ bagi penjudinya $)$ $\leq \frac{10^6 \times 1}{27\,027^2} \approx 0.0014$ : jadi bahkan ketaksamaan paling tumpul di buku ini menjamin bandarnya pada $99.86\,\%$ — dan kenyataannya jauh lebih kuat lagi.

10. Tiap euro yang dipertaruhkan, kapan pun dan bagaimanapun dipilih, berharapan imbal hasil $-\frac{1}{37}$ dari dirinya sendiri; jadi menurut kelinearannya harapan keuntungan totalnya adalah $-\frac{1}{37} \times (\text{total yang dipertaruhkan})$ , yang negatif bagi setiap siasat yang mempertaruhkan apa pun. Sistem yang menang akan melanggar kelinearan harapan — tak ada penyusunan cerdik atas taruhan buruk yang menjadikannya taruhan baik. (Sistem pelipatduaan hanya menukar banyak kemenangan kecil dengan kekalahan bencana yang jarang.)

11. Teoremanya: frekuensi merah atas $n$ putaran konvergen (dalam peluang) ke $\frac{18}{37}$ . Teorema itu tidak mengatakan apa-apa tentang putaran $n + 1$ : rodanya tak punya ingatan, dan sesudah sepuluh merah peluang merahnya tetap $\frac{18}{37}$ . Memercayai sebaliknya adalah sesat pikir penjudi, dan pertanyaan 12 menunjukkan apa yang sebenarnya terjadi pada deretannya.

12. Kelebihan $100$ merah itu tidak dibayar kembali — putaran berikutnya adalah salinan yang adil, dan harapan kelebihannya tetap $100$ . Tetapi $\frac{100}{10^6} = 0.0001$ : yaitu seperseratus angka. Kekeliruan sesat pikirnya dalam satu kalimat: hukum bilangan besar mengencerkan kecelakaan masa lalu di dalam samudra percobaan baru; hukum itu tak pernah mengirim rodanya untuk menagih utang.

13. $n \geq \frac{1}{4 \times 0.05 \times 0.03^2} \approx 5\,556$ orang.

14. $\frac{1.96^2 \times 0.25}{0.03^2} \approx 1\,067$ : jadi lima kali lebih sedikit. Chebyshev berlaku bagi setiap distribusi dan membayar keumumannya dengan kelonggaran; sedangkan tetapan $1.96$ milik penjajak pendapat berasal dari bentuk lonceng yang sebenarnya pada ayunannya, yang memusat jauh lebih keras.

15. Marjinnya $\propto \frac{1}{\sqrt n}$ , jadi menyeparuhkannya melipatempatkan contohnya — kira-kira $4\,400$ orang untuk $\pm 1.5$ angka. Ketelitian dibeli dengan harga kuadrat.

16. Modelnya adalah $n$ pengambilan yang saling bebas dengan peluang berhasil $p$ — dan ukuran populasinya $N$ tak pernah muncul (sebab mengambil contoh sebagian mungil dari populasi besar yang teraduk rata justru itulah yang disandikan kebebasannya). Perumpamaan para penjajaknya: untuk mencicipi supnya, satu sendok yang teraduk rata sudah cukup — entah pancinya melayani sepuluh atau sepuluh ribu orang. Kuncinya ada pada pengadukannya — kerangka pengambilan contoh yang bias, seperti pada jajak pendapat di jilid sekolah menengah pertama yang menipu satu negara — bukan pada pancinya.

17. $315\sqrt n < 30n \iff \sqrt n > 10.5 \iff n > 110$ : jadi di atas seratus polis hanyutannya mengalahkan deraunya, dan tiap polis tambahan melebarkan jurangnya menurut hukum $\sqrt n$ — pengumpulan risiko adalah model bisnisnya.

18. Bagian yang sama dan saling bebas: $\sigma_{\text{pf}} = \frac{20\,\%}{\sqrt{25}} = 4\,\%$ : jadi harapan imbal hasilnya sama, tetapi ayunannya seperlima. Makan siangnya: pengurangan risiko tanpa biaya apa pun pada harapannya — yaitu perata-rataan keacakan yang saling bebas.

19. Jika berkorelasi sempurna: portofolionya menjadi satu saham dalam $25$ kostum, jadi $\sigma = 20\,\%$ , tanpa pengurangan sama sekali. Penganekaragaman menyewa kebebasan; dan ketika sebuah krisis mengorelasikan segalanya (tahun 2008: semua taruhan perumahan menjadi satu taruhan), perlindungan $\sqrt n$ menguap justru ketika ia diperlukan.

20. Jumlahnya menghanyut seperti $n$ dan berayun seperti $\sqrt n$ , sehingga rata-ratanya mengendap seperti $\frac{1}{\sqrt n}$ : maka kasinonya menabung hanyutannya atas sejuta putaran; penjajak pendapatnya membeli $\frac{1}{\sqrt{1100}}$ derau dengan anggaran telepon; penanggung asuransinya melampaui klaimnya sendiri pada $n > 110$ ; dan sang pemodal membagi risikonya dengan $\sqrt{25}$ . Penyalahgunanya: penjudi yang percaya pada utang (padahal hanya ada pengenceran), dan pemodal yang percaya pada kebebasan (padahal kadang hanya ada satu taruhan). Bentuk semesta ayunannya — yaitu loncengnya — adalah bintang bab sinambungnya, dan teoremanya, yaitu teorema limit pusat, adalah puncak peluang di jilid universitas.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Peubah acak yang saling bebas

Lihat semua 395 istilah di glosarium