Matematika Sekolah Menengah Atas · Grades 10–12

8Statistika Deskriptif

Statistika merangkum kumpulan bilangan yang besar — nilai, gaji, suhu — dengan segelintir penunjuk yang dipilih baik-baik. Bab ini memperkenalkan dua keluarga penunjuk: yang menentukan pusat datanya (rata-rata, median) dan yang mengukur sebarannya (jangkauan, kuartil). Pembahasan yang lebih dalam, termasuk simpangan baku, menyusul pada Bab 17.

8.1 Data dan frekuensi relatif

Definisi 8.1 (Data statistik)

Sebuah data statistik adalah daftar nilai $x_1, x_2, \dots, x_N$ yang teramati pada populasi berukuran $N$ . Bila sebuah nilai $x$ muncul $n$ kali, $n$ disebut frekuensinya dan hasil bagi

f = \frac{n}{N}

disebut frekuensi relatifnya (sering dinyatakan dalam persen). Frekuensi relatif semua nilainya berjumlah $1$ .

Contoh 8.2

Nilai $20$ siswa pada kuis berskala $5$ butir:

nilai $x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
frekuensi $n$	$1$	$2$	$4$	$6$	$5$	$2$
frekuensi relatif $f$	$0.05$	$0.10$	$0.20$	$0.30$	$0.25$	$0.10$

Periksa: $1 + 2 + 4 + 6 + 5 + 2 = 20$ dan frekuensi relatifnya berjumlah $1$ .

Diagram batang nilai kuisnya: satu batang untuk setiap nilai, dengan tinggi sama dengan frekuensinya.

8.2 Ukuran pemusatan

Definisi 8.3 (Rata-rata)

Rata-rata sebuah data adalah

\bar x = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_N}{N}.

Jika nilai $v_1, \dots, v_k$ muncul dengan frekuensi $n_1, \dots, n_k$ , bilangan yang sama dihitung sebagai rata-rata berbobot

\bar x = \frac{n_1 v_1 + n_2 v_2 + \dots + n_k v_k}{n_1 + n_2 + \dots + n_k}.

Contoh 8.4

Untuk kuis pada Contoh 8.2:

\bar x = \frac{1 \times 0 + 2 \times 1 + 4 \times 2 + 6 \times 3 + 5 \times 4 + 2 \times 5}{20} = \frac{0 + 2 + 8 + 18 + 20 + 10}{20} = \frac{58}{20} = 2.9 .

Definisi 8.5 (Median)

Median adalah nilai yang membelah data yang sudah terurut menjadi dua paruh: paling sedikit separuh nilainya $\leq$ median, dan paling sedikit separuh nilainya $\geq$ median. Dalam praktiknya, urutkan $N$ nilai itu;

jika $N$ ganjil, mediannya adalah nilai di tengah, pada urutan $\frac{N+1}{2}$ ;
jika $N$ genap, ambil titik tengah dua nilai di tengah, yaitu pada urutan $\frac N2$ dan $\frac N2 + 1$ .

Contoh 8.6

Data terurut $7$ harga rumah (dalam ribuan): $120$ , $150$ , $160$ , $180$ , $210$ , $240$ , $900$ . Mediannya adalah nilai ke- $4$ , yaitu $180$ . Rata-ratanya $\frac{1960}{7} = 280$ — lebih besar daripada $6$ di antara $7$ harga itu! Satu nilai ekstrem ( $900$ ) menarik rata-rata jauh lebih kuat daripada median: median bersifat kekar, rata-rata tidak.

8.3 Ukuran penyebaran

Definisi 8.7 (Jangkauan, kuartil)

Untuk data yang sudah terurut:

jangkauan adalah selisih antara nilai terbesar dan nilai terkecil;
kuartil pertama $Q_1$ adalah nilai terkecil yang membuat paling sedikit seperempat ( $25\%$ ) nilainya $\leq Q_1$ ; kuartil ketiga $Q_3$ adalah nilai terkecil yang membuat paling sedikit tiga perempat ( $75\%$ ) nilainya $\leq Q_3$ ;
jangkauan antarkuartil $Q_3 - Q_1$ mengukur sebaran paruh tengah datanya.

Metode 8.8 (Mencari kuartil)

Untuk data dengan $N$ nilai terurut:

hitunglah $\frac N4$ ; bila hasilnya bukan bilangan bulat, bulatkan ke atas; $Q_1$ adalah nilai pada urutan itu;
hitunglah $\frac{3N}{4}$ ; bulatkan ke atas bila perlu; $Q_3$ adalah nilai pada urutan itu.

Contoh 8.9

Ambil $11$ nilai terurut berikut

2,\ 3,\ 5,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 9,\ 10,\ 12 .

Median: urutan $\frac{11+1}{2} = 6$ , jadi mediannya $7$ . $Q_1$ : $\frac{11}{4} = 2.75$ , dibulatkan ke atas menjadi $3$ ; nilai ke- $3$ adalah $5$ . $Q_3$ : $\frac{33}{4} = 8.25$ , dibulatkan ke atas menjadi $9$ ; nilai ke- $9$ adalah $9$ . Jangkauannya: $12 - 2 = 10$ ; jangkauan antarkuartilnya: $9 - 5 = 4$ .

Diagram kotak : kotaknya membentang sepanjang interval antarkuartil [Q_1, Q_3] dan memuat paruh tengah datanya; kedua sungutnya mencapai nilai ekstremnya. — Diagram kotak Contoh 8.9: kotaknya membentang sepanjang interval antarkuartil $\intcc{Q_1}{Q_3}$ dan memuat paruh tengah datanya; kedua sungutnya mencapai nilai ekstremnya.

Contoh 8.10 (Membandingkan dua kelompok)

Dua kelas mengerjakan ujian yang sama (nilai dari $20$ ):

	median	$Q_1$	$Q_3$
kelas A	$12$	$10$	$14$
kelas B	$12$	$6$	$17$

Mediannya sama, sebarannya sangat berbeda: kelas A homogen (separuh nilainya di $\intcc{10}{14}$ ), kelas B heterogen (paruh tengahnya membentang sepanjang $\intcc{6}{17}$ ). Ukuran pemusatan saja tidak pernah menceritakan seluruh kisahnya.

Catatan 8.11

Baik rata-rata maupun median tidak ada yang “lebih baik”: rata-rata memakai setiap nilai (dan diperlukan untuk menghitung jumlah keseluruhan), median bertahan terhadap nilai ekstrem. Ringkasan data yang sungguh-sungguh memberi paling sedikit satu ukuran pemusatan dan satu ukuran penyebaran.

8.4 Latihan

Latihan 8.1 ★

Berikut banyaknya buku yang dibaca dalam setahun oleh $15$ siswa:

0,\ 1,\ 1,\ 2,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 12 .

Hitunglah rata-rata, median dan jangkauan data ini.

Solusi

Solusi Latihan 8.1.

Jumlahnya: $0+1+1+2+2+2+3+3+4+4+5+6+7+8+12 = 60$ , jadi rata-ratanya $\frac{60}{15} = 4$ . Datanya sudah terurut dan $N = 15$ ganjil: mediannya adalah nilai ke- $8$ , yaitu $3$ . Jangkauannya: $12 - 0 = 12$ .

Latihan 8.2 ★

Sebuah dadu dilempar $50$ kali:

hasil	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
frekuensi	$7$	$9$	$8$	$10$	$6$	$10$

Hitunglah frekuensi relatif setiap hasil dan rata-rata hasilnya.

Solusi

Solusi Latihan 8.2.

Frekuensi relatifnya: $\frac{7}{50} = 0.14$ , $\frac{9}{50} = 0.18$ , $\frac{8}{50} = 0.16$ , $\frac{10}{50} = 0.20$ , $\frac{6}{50} = 0.12$ , $\frac{10}{50} = 0.20$ (berjumlah $1$ ). Rata-rata hasilnya:

\bar x = \frac{7 \times 1 + 9 \times 2 + 8 \times 3 + 10 \times 4 + 6 \times 5 + 10 \times 6}{50} = \frac{7 + 18 + 24 + 40 + 30 + 60}{50} = \frac{179}{50} = 3.58 .

Latihan 8.3 ★

Carilah median, $Q_1$ dan $Q_3$ dari data terurut

1,\ 2,\ 4,\ 4,\ 5,\ 6,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 9,\ 11 \qquad (N = 12),

lalu gambarlah diagram kotaknya.

Solusi

Solusi Latihan 8.3.

$N = 12$ (genap): mediannya adalah titik tengah nilai ke- $6$ dan ke- $7$ , keduanya sama dengan $6$ : jadi mediannya $6$ .

$Q_1$ : $\frac{12}{4} = 3$ , jadi $Q_1$ adalah nilai ke- $3$ : yaitu $4$ .

$Q_3$ : $\frac{3 \times 12}{4} = 9$ , jadi $Q_3$ adalah nilai ke- $9$ : yaitu $8$ .

Diagram kotaknya: kotak dari $4$ sampai $8$ dengan garis median di $6$ , dan sungut dari $1$ sampai $11$ .

Latihan 8.4 ★

Rata-rata $24$ nilai ujian adalah $11.5$ . Siswa ke- $25$ mengikuti ujian itu dan memperoleh $19$ . Berapa rata-rata kelas yang baru?

Solusi

Solusi Latihan 8.4.

Ke- $24$ nilai itu berjumlah $24 \times 11.5 = 276$ . Dengan nilai yang baru, jumlahnya menjadi $276 + 19 = 295$ untuk $25$ siswa: rata-rata barunya $\frac{295}{25} = 11.8$ .

Latihan 8.5 ★★

Seorang siswa mempunyai rata-rata $12$ setelah $5$ ujian yang berbobot sama. Nilai berapa pada ujian ke- $6$ yang akan menaikkan rata-ratanya menjadi $13$ ? Apakah rata-rata $14$ terjangkau (nilainya dari $20$ )?

Solusi

Solusi Latihan 8.5.

Jumlah sekarang: $5 \times 12 = 60$ . Rata-rata $13$ atas $6$ ujian menuntut jumlah $78$ , sehingga nilai ke- $6$ haruslah $78 - 60 = 18$ . Rata-rata $14$ menuntut $84 - 60 = 24 > 20$ : jadi tidak terjangkau.

Latihan 8.6 ★★

Ciptakan sebuah data berisi $7$ nilai taknegatif yang mediannya $10$ dan rata-ratanya lebih besar daripada $20$ ; lalu satu lagi yang mediannya $10$ dan rata-ratanya lebih kecil daripada $6$ . Mengapa rata-rata data semacam itu tidak pernah lebih kecil daripada $\frac{40}{7}$ ? Apa yang diperlihatkan contoh ini?

Solusi

Solusi Latihan 8.6.

Rata-rata lebih besar daripada $20$ : misalnya $1,\ 2,\ 3,\ 10,\ 40,\ 50,\ 60$ — mediannya $10$ (nilai terurut ke- $4$ ), rata-ratanya $\frac{166}{7} \approx 23.7$ .

Rata-rata lebih kecil daripada $6$ : misalnya $0,\ 0,\ 0,\ 10,\ 10,\ 10,\ 10$ — mediannya $10$ , rata-ratanya $\frac{40}{7} \approx 5.7$ .

Rata-ratanya tidak dapat turun di bawah $\frac{40}{7}$ : agar mediannya (nilai terurut ke- $4$ ) sama dengan $10$ , nilai pada urutan $4$ sampai $7$ semuanya harus $\geq 10$ , sehingga jumlahnya paling sedikit $40$ dan rata-ratanya paling sedikit $\frac{40}{7}$ — contoh kedua itulah yang ekstrem.

Contoh ini memperlihatkan bahwa rata-rata dan median sebagian besar saling bebas: mengetahui yang satu hanya sedikit menceritakan yang lain, dan itulah sebabnya ringkasan yang baik melaporkan keduanya.

Latihan 8.7 ★★

Di sebuah perusahaan, $9$ karyawannya masing-masing bergaji $1800$ per bulan dan direkturnya bergaji $12000$ .

Hitunglah rata-rata dan median gajinya.
Ukuran mana yang paling baik memerikan gaji “khas” di sini? Mengapa?

Solusi

Solusi Latihan 8.7.

1. Rata-ratanya: $\frac{9 \times 1800 + 12000}{10} = \frac{16200 + 12000}{10} = 2820$ . Median: setelah diurutkan, $10$ gaji itu adalah sembilan nilai $1800$ lalu $12000$ ; mediannya adalah titik tengah nilai ke- $5$ dan ke- $6$ , keduanya $1800$ : jadi mediannya $1800$ .

2. Median ( $1800$ ) memerikan gaji yang khas: itulah yang sungguh-sungguh diterima $9$ dari $10$ karyawan. Rata-rata ( $2820$ ) tertarik naik oleh satu gaji tinggi dan tidak cocok dengan slip gaji siapa pun.

Latihan 8.8 ★★

Sebuah kelas dengan $12$ murid laki-laki mempunyai rata-rata tinggi $168$ cm; $18$ murid perempuan di kelas yang sama mempunyai rata-rata tinggi $163$ cm. Hitunglah rata-rata tinggi seluruh kelas. (Hati-hati: nilainya bukan titik tengah $168$ dan $163$ — bobotilah rata-ratanya dengan ukuran kelompoknya.)

Solusi

Solusi Latihan 8.8.

Jumlah tingginya: $12 \times 168 + 18 \times 163 = 2016 + 2934 = 4950$ cm untuk $30$ siswa, jadi rata-ratanya $\frac{4950}{30} = 165$ cm. Nilainya lebih dekat ke rata-rata murid perempuan karena jumlah mereka lebih banyak (rata-rata berbobot, dengan bobot $12$ dan $18$ ).

Latihan 8.9 ★★★

Sebuah data berisi $N$ nilai $x_1, \dots, x_N$ mempunyai rata-rata $\bar x$ . Setiap nilainya diubah menjadi $y_i = a x_i + b$ untuk bilangan tetap $a$ dan $b$ .

Tunjukkan bahwa rata-rata data yang baru adalah $a \bar x + b$ .
Suhu selama sepekan, dalam derajat Celsius, mempunyai rata-rata $20$ . Berapa rata-ratanya dalam derajat Fahrenheit ( $F = 1.8\,C + 32$ )?

Solusi

Solusi Latihan 8.9.

1. Rata-rata barunya adalah

\bar y = \frac{y_1 + \dots + y_N}{N} = \frac{(a x_1 + b) + \dots + (a x_N + b)}{N} = \frac{a(x_1 + \dots + x_N) + Nb}{N} = a \bar x + b .

2. Dengan $a = 1.8$ dan $b = 32$ : rata-ratanya $1.8 \times 20 + 32 = 68$ derajat Fahrenheit.

8.5 Soal: Orang rata-rata itu tidak ada

Soal 8.1

Soal akhir pekan — rata-rata melawan median: pencilan, penyesuaian nilai, gudang di tepi jalan, dan kokpit yang dirancang untuk siapa-siapa

Pada tahun 1950 Angkatan Udara Amerika Serikat mengukur $4\,000$ penerbang pada sepuluh ukuran tubuh lalu membangun kokpit bagi lelaki rata-rata. Kokpit itu ternyata pas — seperti ditemukan seorang letnan lewat penghitungan — untuk hampir tidak seorang pun. Statistika merangkum kerumunan dengan bilangan tunggal, dan setiap ringkasan mengatakan kebenaran tentang sesuatu sekaligus berbohong tentang hal lain. Soal ini menyeret rata-rata dan median (Definisi 8.3, Definisi 8.5) ke persidangan, membiarkan masing-masing memperlihatkan keunggulannya, lalu menutup perkara kokpit itu.

Bagian I — Dua ringkasan diadili.

Sebuah jalan menjual tujuh rumah, dalam ribuan euro: $200$ , $210$ , $220$ , $230$ , $240$ , $250$ — dan satu rumah besar seharga $1\,200$ . Hitunglah rata-rata dan median harganya. Bilangan mana yang memerikan “sebuah rumah di jalan ini”?
Buang rumah besar itu lalu hitung ulang keduanya. Sejauh mana masing-masing ringkasan bergeser? Nyatakan moralnya tentang pencilan.
Sebuah tabel sensus: dari $100$ keluarga, $20$ tidak punya anak, $25$ punya satu, $30$ punya dua, $15$ punya tiga, dan $10$ punya empat. Hitunglah rata-rata banyaknya anak. Tidak ada keluarga yang “punya $1.7$ anak” — lalu besaran nyata apa yang disandikan rata-rata itu? (Kalikan dengan $100$ .)
Untuk kelima belas nilai $4, 6, 7, 8, 9, 10, 10, 11, 12, 12, 13, 14, 15, 17, 19$ : carilah median dan kuartil $Q_1$ , $Q_3$ (Metode 8.8).
Untuk data yang sama, berikan jangkauan dan jangkauan antarkuartilnya. Apa yang diukur masing-masing?

Bagian II — Penyesuaian nilai dan kelas gabungan.

Dari Latihan 8.9: menggeser setiap nilai sebesar $+b$ menggeser rata-rata, median dan kuartil sebesar $+b$ ; penskalaan dengan $a$ menskalakan semuanya dengan $a$ . Apa yang terjadi pada jangkauan dan jangkauan antarkuartil di bawah pergeseran? Di bawah penskalaan? Berikan alasannya.
Sebuah ujian berrata-rata $9$ (dari $20$ ) dan gurunya menginginkan rata-rata $12$ . Dua penyesuaian diusulkan: menambah $3$ angka kepada semua orang, atau mengalikan setiap nilai dengan $\frac43$ . Hitunglah nasib siswa bernilai $6$ dan siswa bernilai $18$ di bawah masing-masing penyesuaian. Penyesuaian mana yang menguntungkan siapa — dan yang mana bermasalah dengan batas atasnya?
Kelas A ( $20$ siswa) berrata-rata $12$ ; kelas B ( $30$ siswa) berrata-rata $10$ . Hitunglah rata-rata $50$ siswa itu bersama-sama, lalu jelaskan mengapa nilainya bukan $11$ (pelajaran rata-rata berbobot pada soal akhir pekan tentang rata-rata harmonik di jilid sebelumnya, kini di ruang kelas).
Tunjukkan bahwa median menolak permainan ini: hitunglah median $A = \{1, 2, 3\}$ dan $B = \{0, 10\}$ , lalu median daftar gabungannya, lalu bandingkan dengan rata-rata kedua median itu yang dibobot ukurannya.
Seluncur indah: lima juri memberi nilai $5.2$ , $5.3$ , $5.4$ , $5.5$ , $9.9$ . Hitunglah rata-rata, median, dan rata-rata terpangkas (buang yang terendah dan tertinggi, lalu rata-ratakan sisanya). Mengapa kebanyakan olahraga berjuri memangkas?

Bagian III — Membaca sebaran.

Dua pabrik sama-sama menghasilkan baut dengan rata-rata panjang $50$ mm. Pabrik A: $Q_1 = 49.9$ , $Q_3 = 50.1$ ; pabrik B: $Q_1 = 48$ , $Q_3 = 52$ . Kamu memerlukan baut yang dapat saling dipertukarkan: pabrik mana, dan statistik mana yang memutuskan?
Di sebuah klinik, median waktu tunggunya $10$ menit tetapi rata-rata waktu tunggunya $25$ . Bentuk data seperti apa yang dibocorkan pasangan ini? Susunlah kumpulan lima nilai dengan median dan rata-rata persis seperti itu.
“Bayimu berada pada persentil ke-75 untuk tinggi badan” — apa arti kalimat itu? Dan mungkinkah setiap anak di sebuah kota berada “di atas rata-rata”? Di atas median? Jelaskan bedanya.
Kelas A: min $4$ , $Q_1\,8$ , median $11$ , $Q_3\,13$ , maks $17$ . Kelas B: min $2$ , $Q_1\,9$ , median $11$ , $Q_3\,12$ , maks $19$ . Bandingkan: nilai yang khas, kehomogenan paruh tengahnya, dan keliaran nilai ekstremnya.
Daftar periksa sang wartawan: sebuah tajuk berbunyi “rata-rata gaji di TechCorp: $5\,000$ euro”. Daftarkan ketiga pertanyaan yang diajarkan soal ini untuk ditanyakan sebelum mempercayai bahwa tajuk itu mengatakan sesuatu tentang karyawan yang khas.

Bagian IV — Perkara kokpit.

Bangunlah buktimu sendiri: susunlah lima harga rumah dengan rata-rata $300$ dan median $200$ (dalam ribuan euro).
Rata-rata adalah titik seimbangnya: buktikan dari definisinya bahwa simpangan terhadap rata-rata selalu saling menghapus, $\sum (x_i - \bar x) = 0$ , lalu periksalah pada kumpulan datamu di pertanyaan 16.
Median adalah peminimum jarak tempuh: toko-toko berada pada kilometer $1$ , $3$ , $4$ , $9$ , $13$ sebuah jalan, dan sebuah gudang harus meminimumkan jarak total ke kelima toko itu. Hitunglah jarak total itu untuk gudang di median ( $4$ ), di rata-rata ( $6$ ), dan di $5$ . Siapa yang menang? (Hal ini berlaku umum: median meminimumkan jarak mutlak total — ujilah tempat mana pun yang lain.)
Perkara kokpit, terpecahkan: andaikan seorang penerbang mempunyai peluang $30\,\%$ untuk “dekat dengan rata-rata” pada satu ukuran tubuh, saling bebas untuk $10$ ukuran. Taksirlah peluang untuk dekat dengan rata-rata pada kesepuluh ukuran — lalu cocokkan hasilnya dengan apa yang ditemukan sang letnan pada $4\,000$ penerbang. Apa yang dibangun Angkatan Udara sebagai ganti kokpit rata-rata itu?
Penutup — panduan pemakainya, satu baris untuk masing-masing: bila yang penting adalah jumlah keseluruhan (anggaran, hasil panen), pakailah …; bila yang penting adalah individu yang khas (gaji, waktu tunggu), pakailah …; bila yang penting adalah keadilan sebarannya, laporkanlah …; bila pencemaran data mengancam, pakailah …. Tutuplah perkaranya dengan judul soal ini.

Solusi

Solusi Soal 8.1.

1. Rata-ratanya: $\frac{2\,550}{7} \approx 364$ ribu euro; mediannya: harga keempat dari tujuh harga terurut, yaitu $230$ . Medianlah yang memerikan jalan itu — enam dari tujuh rumahnya berharga jauh dari $364$ .

2. Tanpa rumah besar itu: rata-ratanya $\frac{1\,350}{6} = 225$ , mediannya $\frac{220 + 230}{2} = 225$ . Rata-ratanya turun sekitar $139$ ; mediannya turun $5$ . Satu nilai ekstrem dapat menyeret rata-rata ke mana saja; median nyaris tidak menyadarinya — median bersifat kekar.

3. Rata-ratanya $= \frac{0 \times 20 + 1 \times 25 + 2 \times 30 + 3 \times 15 + 4 \times 10}{100} = \frac{170}{100} = 1.7$ . Tidak ada keluarga yang punya $1.7$ anak, tetapi $1.7 \times 100 = 170$ memang jumlah anak yang tepat: rata-rata menyandikan jumlah keseluruhan, yang dibagi rata — itulah bakat sejatinya.

4. $N = 15$ : mediannya $=$ nilai ke-8 $= 11$ ; $Q_1 =$ nilai ke-4 $= 8$ ; $Q_3 =$ nilai ke-12 $= 14$ .

5. Jangkauannya $19 - 4 = 15$ : sebaran penuh, termasuk nilai ekstremnya. Jangkauan antarkuartilnya $14 - 8 = 6$ : lebar paruh tengahnya — sebaran tanpa derau nilai ekstremnya.

6. Pergeseran $+b$ menggerakkan setiap nilai, sehingga selisih antarnilai — jangkauan dan jangkauan antarkuartil — tidak berubah: $(x_i + b) - (x_j + b) = x_i - x_j$ . Penskalaan dengan $a$ mengalikan semua selisihnya dengan $a$ : jangkauan dan jangkauan antarkuartil terskalakan dengan $\abs a$ .

7. Penyesuaian penjumlahan: $6 \to 9$ dan $18 \to 21$ — siswa lemah beruntung $50\,\%$ , yang kuat $17\,\%$ , dan $21$ hanya sedikit melampaui skala $20$ angka. Penyesuaian perkalian: $6 \to 8$ dan $18 \to 24$ — perbandingannya terpelihara, tetapi $24$ mustahil pada skala $20$ : itulah masalah batas atasnya. Penyesuaian penjumlahan menyanjung yang di bawah; penyesuaian perkalian meledakkan yang di atas.

8. Jumlah nilainya: $20 \times 12 + 30 \times 10 = 540$ , sehingga rata-rata gabungannya $\frac{540}{50} = 10.8$ : tiga puluh siswa kelas B mengalahkan dua puluh siswa kelas A — rata-rata itu bergabung lewat rata-rata berbobot, tidak pernah lewat rata-rata biasa.

9. Median $A$ : $2$ ; median $B$ : $5$ . Daftar gabungannya $\{0, 1, 2, 3, 10\}$ : mediannya $2$ . Rata-rata kedua median yang dibobot ukurannya adalah $\frac{3 \times 2 + 2 \times 5}{5} = 3.2 \neq 2$ : median tidak mengusung jumlah keseluruhan, sehingga tidak ada rumus penggabungan — seluruh daftarnya harus diurutkan ulang.

10. Rata-ratanya: $\frac{31.3}{5} = 6.26$ . Mediannya: $5.4$ . Rata-rata terpangkasnya: $\frac{5.3 + 5.4 + 5.5}{3} = 5.4$ . Satu juri yang bersemangat (atau korup) menggeser rata-rata hampir satu angka; median dan rata-rata terpangkas tidak bergeming — dari sanalah aturan pemangkasan pada olahraga berjuri.

11. Pabrik A: paruh tengahnya berada dalam $0.2$ mm; pabrik B: dalam $4$ mm. Rata-ratanya sama, keterandalannya berlawanan: belilah dari A. Jangkauan antarkuartillah yang memutuskan — rata-rata saja hanya membandingkan pusat, tidak pernah keajekan.

12. Median jauh di bawah rata-rata membocorkan adanya ekor kanan yang panjang: kebanyakan waktu tunggunya singkat, beberapa membencanakan. Contohnya: $\{5, 5, 10, 10, 95\}$ — mediannya $10$ , rata-ratanya $\frac{125}{5} = 25$ .

13. Artinya $75\,\%$ bayi seusia itu lebih pendek (dan $25\,\%$ lebih tinggi): itu peringkat, bukan ukuran. “Setiap anak di atas rata-rata” mustahil — kalau semua nilainya melampaui rata-ratanya, rata-rata nilai itu akan melampaui dirinya sendiri: kontradiksi. Tetapi hampir semuanya bisa: satu anak yang sangat pendek dapat menahan rata-rata di bawah semua yang lain. Di atas median: tidak pernah lebih dari separuh, menurut definisinya. Peringkat tidak dapat disanjung; rata-rata bisa.

14. Nilai yang khas: sama, mediannya $11$ untuk keduanya. Kehomogenan bagian tengahnya: B lebih rapat (jangkauan antarkuartil $3$ lawan $5$ ). Nilai ekstremnya: B lebih liar (jangkauan $17$ lawan $13$ ). B adalah kelas berisi siswa yang serupa ditambah beberapa pencilan; A tersebar merata.

15. (1) Apakah $5\,000$ itu rata-rata atau median — dan bolehkah saya memperoleh mediannya? (2) Berapa sebarannya (kuartilnya), agar saya tahu seberapa khas “yang khas” itu? (3) Siapa saja yang terhitung — ukuran sampel dan cara pemilihannya (pelajaran jajak pendapat pada soal akhir pekan tentang cara data berdusta di jilid sebelumnya)?

16. Misalnya $100, 150, 200, 250, 800$ : mediannya $200$ , rata-ratanya $\frac{1\,500}{5} = 300$ .

17. $\sum (x_i - \bar x) = \sum x_i - N \bar x = N\bar x - N\bar x = 0$ . Periksa: $-200 - 150 - 100 - 50 + 500 = 0$ . Rata-rata adalah titik tempat simpangannya seimbang — yaitu titik berat datanya (titik $G$ pada soal akhir pekan tentang titik berat di jilid sebelumnya, dalam satu dimensi).

18. Di median $4$ : $3 + 1 + 0 + 5 + 9 = 18$ km. Di rata-rata $6$ : $5 + 3 + 2 + 3 + 7 = 20$ km. Di $5$ : $4 + 2 + 1 + 4 + 8 = 19$ km. Medianlah yang menang — bergerak menjauh darinya selalu melewati lebih banyak toko daripada yang didekatinya, sehingga jarak totalnya hanya dapat membesar.

19. $0.3^{10} \approx 6 \times 10^{-6}$ : sekitar enam penerbang per sejuta. Pada $4\,000$ penerbang, cacah harapannya $0.02$ — yaitu nol, seperti yang ditemukan letnan Daniels. Angkatan Udara berhenti merancang untuk lelaki rata-rata dan membuat segalanya dapat disetel: kursi, pedal, sabuk — merancang untuk sebarannya, bukan untuk pusatnya.

20. Untuk jumlah keseluruhan: rata-rata. Untuk individu yang khas: median. Untuk keadilan sebarannya: kuartil (dan jangkauan antarkuartil). Untuk pencemaran data: rata-rata terpangkas. Lalu baris penutupnya: orang rata-rata itu tidak ada — tetapi orang median hampir ada.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 395 istilah di glosarium