Matematika Sekolah Menengah Atas · Grades 10–12

5Geometri Koordinat

Gagasan besar Descartes adalah memerikan titik dengan pasangan bilangan, sehingga soal geometri berubah menjadi perhitungan. Hanya dengan dua rumus — titik tengah dan jarak — orang dapat membuktikan bahwa sebuah segitiga sama kaki, bahwa sebuah segi empat adalah jajargenjang, atau bahwa tiga titik segaris, tanpa menarik satu pun garis bantu.

5.1 Koordinat pada bidang

Definisi 5.1 (Sistem koordinat)

Sebuah sistem koordinat pada bidang terdiri atas sebuah titik asal $O$ dan dua sumbu berskala yang melalui $O$ : sumbu $x$ yang mendatar dan sumbu $y$ yang tegak. Setiap titik $M$ lalu mempunyai sepasang koordinat $(x, y)$ yang tunggal: absis $x$ dan ordinat $y$ . Sistem itu disebut ortonormal apabila kedua sumbunya tegak lurus dan membawa satuan panjang yang sama. Semua sistem dalam bab ini bersifat ortonormal.

Setiap titik pada bidang ditentukan oleh dua bilangan: absisnya dahulu (mendatar), lalu ordinatnya (tegak).

5.2 Titik tengah sebuah ruas garis

Proposisi 5.2 (Rumus titik tengah)

Misalkan $A(x_A, y_A)$ dan $B(x_B, y_B)$ . Titik tengah $I$ ruas garis $[AB]$ berkoordinat

I\left(\frac{x_A + x_B}{2},\ \frac{y_A + y_B}{2}\right).

Bukti. Tinjaulah koordinat mendatarnya. Dari $A$ ke $B$ , absisnya berubah sebesar $x_B - x_A$ ; titik di tengah jalan berabsis

x_A + \frac{x_B - x_A}{2} = \frac{2x_A + x_B - x_A}{2} = \frac{x_A + x_B}{2},

yaitu rata-rata kedua absisnya. Perhitungan yang sama berlaku untuk ordinatnya. ∎

Contoh 5.3

Dengan $A(-1, 4)$ dan $B(5, -2)$ , titik tengah $[AB]$ adalah

I\left(\frac{-1 + 5}{2},\ \frac{4 + (-2)}{2}\right) = I(2, 1).

Rumus itu berjalan mundur juga: jika $A(-1, 4)$ dan titik tengahnya $I(2, 1)$ , maka $B$ memenuhi $\frac{-1 + x_B}{2} = 2$ dan $\frac{4 + y_B}{2} = 1$ , jadi $x_B = 5$ dan $y_B = -2$ : titik $B$ adalah pencerminan $A$ terhadap $I$ .

5.3 Jarak antara dua titik

Teorema 5.4 (Rumus jarak)

Pada sistem ortonormal, jarak antara $A(x_A, y_A)$ dan $B(x_B, y_B)$ adalah

AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}.

Bukti. Misalkan $C$ titik $(x_B, y_A)$ : tingginya sama dengan $A$ dan absisnya sama dengan $B$ , sehingga segitiga $ACB$ bersudut siku-siku di $C$ . Kedua sisi sikunya adalah ruas garis mendatar dan tegak, dengan panjang $AC = \abs{x_B - x_A}$ dan $CB = \abs{y_B - y_A}$ . Menurut teorema Pythagoras,

AB^2 = AC^2 + CB^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2,

lalu menarik akar kuadratnya (kedua ruas taknegatif) memberi rumus tadi. ∎

Rumus jarak adalah teorema Pythagoras yang diterapkan pada segitiga siku-siku ACB yang dibangun pada sisi mendatar dan sisi tegak. — Rumus jarak adalah teorema Pythagoras yang diterapkan pada segitiga siku-siku $ACB$ yang dibangun pada sisi mendatar dan sisi tegak.

Contoh 5.5

Dengan $A(1, 1)$ dan $B(5, 3)$ :

AB = \sqrt{(5-1)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt 5 .

Jarak biasanya dibiarkan dalam bentuk eksak (dengan akar); bulatkan hanya di akhir sekali bila jawaban desimal memang diperlukan.

Catatan 5.6

Urutan titiknya tidak berpengaruh: $(x_A - x_B)^2 = (x_B - x_A)^2$ . Namun jangan lupakan kuadratnya! Jaraknya bukan $\abs{x_B - x_A} + \abs{y_B - y_A}$ .

5.4 Memakai kedua rumus dalam geometri

Metode 5.7 (Jenis sebuah segitiga)

Diberikan tiga titik $A$ , $B$ , $C$ lewat koordinatnya:

hitunglah ketiga kuadrat panjangnya $AB^2$ , $AC^2$ , $BC^2$ dengan rumus jarak (mempertahankan kuadratnya menghindarkan akar);
dua kuadrat panjang yang sama $\Rightarrow$ segitiganya sama kaki;
jika kuadrat panjang terbesarnya sama dengan jumlah dua yang lain, segitiga itu siku-siku di titik sudut yang berhadapan dengan sisi terpanjangnya, menurut kebalikan teorema Pythagoras.

Contoh 5.8

Misalkan $A(0, 1)$ , $B(4, 3)$ dan $C(2, -3)$ . Maka

\begin{align*} AB^2 &= (4-0)^2 + (3-1)^2 = 16 + 4 = 20, \\ AC^2 &= (2-0)^2 + (-3-1)^2 = 4 + 16 = 20, \\ BC^2 &= (2-4)^2 + (-3-3)^2 = 4 + 36 = 40 . \end{align*}

Pertama, $AB^2 = AC^2$ , jadi $AB = AC$ : segitiga itu sama kaki di $A$ . Lebih lanjut $AB^2 + AC^2 = 40 = BC^2$ , jadi menurut kebalikan teorema Pythagoras segitiga itu juga siku-siku di $A$ .

Metode 5.9 (Mengenali jajargenjang)

Sebuah segi empat $ABCD$ adalah jajargenjang tepat ketika kedua diagonalnya $[AC]$ dan $[BD]$ mempunyai titik tengah yang sama. Jadi: hitunglah kedua titik tengah itu dengan rumus titik tengah lalu bandingkan.

Contoh 5.10

Misalkan $A(-1, 0)$ , $B(2, 2)$ , $C(5, 1)$ dan $D(2, -1)$ . Titik tengah $[AC]$ adalah $\left(\frac{-1+5}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (2, \frac12)$ ; titik tengah $[BD]$ adalah $\left(\frac{2+2}{2}, \frac{2-1}{2}\right) = (2, \frac12)$ . Keduanya berimpit, jadi $ABCD$ adalah jajargenjang.

ABCD adalah jajargenjang karena kedua diagonalnya berbagi titik tengah yang sama, yaitu I(2, 1/2). — $ABCD$ adalah jajargenjang karena kedua diagonalnya berbagi titik tengah yang sama, yaitu $I(2, \frac12)$ .

5.5 Latihan

Latihan 5.1 ★

Misalkan $A(2, 5)$ dan $B(-4, 1)$ . Hitunglah koordinat titik tengah $[AB]$ dan jarak $AB$ .

Solusi

Solusi Latihan 5.1.

Titik tengah: $\left(\frac{2 + (-4)}{2}, \frac{5 + 1}{2}\right) = (-1, 3)$ . Jaraknya:

AB = \sqrt{(-4 - 2)^2 + (1 - 5)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}.

Latihan 5.2 ★

Misalkan $A(3, -2)$ dan $I(1, 2)$ . Carilah koordinat titik $B$ sehingga $I$ menjadi titik tengah $[AB]$ .

Solusi

Solusi Latihan 5.2.

$I$ titik tengah $[AB]$ berarti $\frac{3 + x_B}{2} = 1$ dan $\frac{-2 + y_B}{2} = 2$ , jadi $x_B = -1$ dan $y_B = 6$ : $B(-1, 6)$ .

Latihan 5.3 ★

Di antara titik $P(4, 1)$ , $Q(-3, 2)$ dan $R(0, -5)$ , manakah yang terdekat ke titik asal $O(0,0)$ ? Jawablah dengan jarak eksak.

Solusi

Solusi Latihan 5.3.

$OP = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$ ; $OQ = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$ ; $OR = \sqrt{0 + 25} = 5 = \sqrt{25}$ . Karena $13 < 17 < 25$ dan akar kuadrat bersifat naik, $Q$ yang terdekat ke titik asal.

Latihan 5.4 ★

Gambarlah titik $A(1, 2)$ , $B(5, 4)$ , $C(7, 0)$ pada kertas berpetak, lalu tunjukkan lewat perhitungan bahwa segitiga $ABC$ sama kaki. Apakah siku-siku?

Solusi

Solusi Latihan 5.4.

Kuadrat panjangnya:

\begin{align*} AB^2 &= (5-1)^2 + (4-2)^2 = 16 + 4 = 20, \\ BC^2 &= (7-5)^2 + (0-4)^2 = 4 + 16 = 20, \\ AC^2 &= (7-1)^2 + (0-2)^2 = 36 + 4 = 40 . \end{align*}

$AB = BC$ : segitiga itu sama kaki di $B$ . Lebih lanjut $AB^2 + BC^2 = 40 = AC^2$ : menurut kebalikan teorema Pythagoras segitiga itu juga siku-siku di $B$ .

Latihan 5.5 ★★

Misalkan $A(-2, 1)$ , $B(1, 3)$ , $C(4, 1)$ dan $D(1, -1)$ .

Tunjukkan bahwa $ABCD$ adalah jajargenjang.
Hitunglah $AB$ dan $BC$ . Apakah $ABCD$ belah ketupat (semua sisinya sama)?
Hitunglah $AC$ dan $BD$ . Apakah $ABCD$ persegi panjang (diagonalnya sama)?

Solusi

Solusi Latihan 5.5.

1. Titik tengah $[AC]$ : $\left(\frac{-2+4}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = (1, 1)$ ; titik tengah $[BD]$ : $\left(\frac{1+1}{2}, \frac{3+(-1)}{2}\right) = (1, 1)$ . Titik tengahnya sama: $ABCD$ adalah jajargenjang.

2. $AB^2 = 3^2 + 2^2 = 13$ dan $BC^2 = 3^2 + (-4)^2 = 25$ : $AB \neq BC$ , jadi bukan belah ketupat.

3. $AC^2 = 6^2 + 0^2 = 36$ dan $BD^2 = 0^2 + (-4)^2 = 16$ : $AC \neq BD$ , jadi bukan persegi panjang. $ABCD$ hanyalah jajargenjang biasa.

Latihan 5.6 ★★

Lingkaran berpusat $\Omega(2, 1)$ dan berjari-jari $5$ terdiri atas semua titik yang berjarak $5$ dari $\Omega$ . Di antara titik $A(5, 5)$ , $B(-1, -3)$ , $C(6, 2)$ , manakah yang terletak pada lingkaran itu? Di dalamnya? Di luarnya?

Solusi

Solusi Latihan 5.6.

Hitunglah kuadrat jaraknya ke $\Omega(2,1)$ lalu bandingkan dengan $5^2 = 25$ :

\Omega A^2 = 3^2 + 4^2 = 25, \qquad \Omega B^2 = (-3)^2 + (-4)^2 = 25, \qquad \Omega C^2 = 4^2 + 1^2 = 17 .

$A$ dan $B$ berada pada lingkaran itu; $C$ di dalamnya ( $17 < 25$ ).

Latihan 5.7 ★★

Misalkan $A(1, 1)$ dan $B(7, 5)$ . Carilah semua titik $M(x, 0)$ pada sumbu $x$ yang berjarak sama dari $A$ dan $B$ . (Tulislah $MA^2 = MB^2$ lalu selesaikan untuk $x$ .)

Solusi

Solusi Latihan 5.7.

$MA^2 = (x - 1)^2 + 1$ dan $MB^2 = (x - 7)^2 + 25$ . Dengan menetapkan $MA^2 = MB^2$ :

x^2 - 2x + 2 = x^2 - 14x + 74 \ \Longleftrightarrow\ 12x = 72 \ \Longleftrightarrow\ x = 6 .

Satu-satunya titik semacam itu adalah $M(6, 0)$ .

Latihan 5.8 ★★

Misalkan $A(0, 3)$ , $B(4, 1)$ .

Hitunglah koordinat titik tengah $I$ dari $[AB]$ .
Tunjukkan bahwa $M(2, 2) = I$ , lalu periksa dengan menghitung $MA$ dan $MB$ bahwa $M$ berjarak sama dari $A$ dan $B$ .
Carilah titik kedua, pada sumbu $y$ , yang berjarak sama dari $A$ dan $B$ .

Solusi

Solusi Latihan 5.8.

1. $I = \left(\frac{0+4}{2}, \frac{3+1}{2}\right) = (2, 2)$ .

2. $M(2,2)$ memang sama dengan $I$ . Lalu $MA^2 = (0-2)^2 + (3-2)^2 = 5$ , $MB^2 = (4-2)^2 + (1-2)^2 = 5$ : jadi titik tengahnya berjarak sama dari kedua ujung, seperti diharapkan.

3. Carilah $N(0, y)$ dengan $NA^2 = NB^2$ :

(3 - y)^2 = 16 + (1 - y)^2 \ \Longleftrightarrow\ 9 - 6y = 16 + 1 - 2y \ \Longleftrightarrow\ -4y = 8,

jadi $y = -2$ : titik $N(0, -2)$ .

Latihan 5.9 ★★

Diberikan titik $A(-1, -1)$ , $B(3, 1)$ dan $C(11, 5)$ . Hitunglah $AB$ , $BC$ dan $AC$ , lalu simpulkan bahwa $A$ , $B$ , $C$ segaris. (Tiga titik segaris tepat ketika jarak terbesar di antara ketiganya sama dengan jumlah dua jarak yang lain.)

Solusi

Solusi Latihan 5.9.

\begin{align*} AB &= \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt5, \\ BC &= \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{80} = 4\sqrt5, \\ AC &= \sqrt{12^2 + 6^2} = \sqrt{180} = 6\sqrt5 . \end{align*}

Lalu $AB + BC = 2\sqrt5 + 4\sqrt5 = 6\sqrt5 = AC$ : ketaksamaan segitiganya menjadi kesamaan, sehingga $B$ terletak pada ruas garis $[AC]$ — ketiga titik itu segaris.

Latihan 5.10 ★★★

Misalkan $A(a, 0)$ dan $B(0, b)$ dengan $a, b > 0$ , dan misalkan $I$ titik tengah $[AB]$ . Tunjukkan lewat perhitungan bahwa $OI = IA = IB$ , dengan $O$ titik asalnya. (Ini membuktikan sebuah teorema klasik: pada segitiga siku-siku, titik tengah sisi miringnya berjarak sama dari ketiga titik sudut.)

Solusi

Solusi Latihan 5.10.

Titik tengah $[AB]$ adalah $I\left(\frac a2, \frac b2\right)$ . Maka

OI^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4}, \qquad IA^2 = \left(a - \frac a2\right)^2 + \left(0 - \frac b2\right)^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4},

dan $IB^2 = \left(0 - \frac a2\right)^2 + \left(b - \frac b2\right)^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4}$ juga. Ketiga kuadrat jaraknya sama, jadi $OI = IA = IB$ : titik tengah sisi miring segitiga siku-siku $OAB$ berjarak sama dari ketiga titik sudutnya (titik itu pusat lingkaran luarnya).

5.6 Soal: Jembatan Descartes — persamaan lingkaran dan cara mengetahui posisimu

Soal 5.1

Soal akhir pekan — lingkaran menjadi sebuah persamaan, teorema lama menjadi perhitungan, dan tiga suar menentukan letak sebuah titik: trilaterasi secara aljabar

Pada tahun 1637 René Descartes membangun jembatan antara dua benua: setiap kurva geometri menjadi sebuah persamaan, setiap pertanyaan geometri menjadi perhitungan. Soal ini menyusuri jembatan itu ke dua arah — menurunkan persamaan lingkaran dari rumus jarak (Teorema 5.4), membuktikan ulang teorema klasik dalam tiga baris aljabar, lalu berakhir di tempat jembatan itu paling ramai dilalui hari ini: menghitung posisi dari isyarat jarak, yaitu jantung datar sistem penentu posisi satelit.

Bagian I — Lingkaran memperoleh persamaan.

Sebuah titik $M(x, y)$ terletak pada lingkaran berpusat $\Omega(2, 1)$ dan berjari-jari $5$ tepat ketika $\Omega M = 5$ . Kuadratkan syarat ini untuk memperoleh persamaan lingkarannya:

$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 25 .$
Ujilah keanggotaannya: di antara $A(5, 5)$ , $B(6, 4)$ , $D(4, 4)$ , manakah yang berada pada lingkaran, di dalamnya, di luarnya?
Sebuah lingkaran dalam samaran: lengkapkan kuadratnya (Soal 2.1) pada

$x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$

lalu berikan pusat dan jari-jarinya.
Lakukan hal yang sama pada $x^2 + y^2 - 6x + 4y + 14 = 0$ . Apa yang disingkapkan bentuk lengkapnya? Nyatakan kriterianya: kapan $(x - h)^2 + (y - k)^2 = c$ memerikan sebuah lingkaran, sebuah titik tunggal, atau bukan apa-apa?
Potonglah lingkaran pada pertanyaan 3 dengan garis mendatar $y = 3$ : substitusikan lalu selesaikan. Berapa titik potongnya, dan apa nama geometris garis semacam itu?

Bagian II — Teorema lama dalam tiga baris.

Teorema lingkaran di jilid sebelumnya (sudut siku-siku pada setiap setengah lingkaran), dibuktikan ulang secara aljabar: misalkan $A(-r, 0)$ dan $B(r, 0)$ kedua ujung sebuah diameter dan $M(x, y)$ sebarang titik pada lingkaran $x^2 + y^2 = r^2$ . Hitunglah $MA^2 + MB^2$ lalu simpulkan dengan kebalikan teorema Pythagoras bahwa $\widehat{AMB}$ siku-siku.
Teorema garis berat: dengan $A(-a, 0)$ , $B(a, 0)$ (sehingga titik tengah $[AB]$ adalah titik asal $I$ ), tunjukkan bahwa untuk setiap titik $M(x, y)$ :

$MA^2 + MB^2 = 2\,MI^2 + \frac{AB^2}{2} .$
Simpulkan tempat kedudukan titik $M$ dengan $MA^2 + MB^2 = 26$ ketika $AB = 6$ : kurva apa, pusatnya di mana, jari-jarinya berapa?
Tempat kedudukan yang lain: $A(0,0)$ , $B(3,0)$ ; carilah semua titik dengan $MA = 2\,MB$ . (Kuadratkan, jabarkan, lengkapkan kuadratnya: sebuah lingkaran termasyhur muncul — Apollonius sudah mengenalnya tanpa koordinat.)
Dalam satu atau dua kalimat: apa yang diubah jembatan Descartes tentang cara teorema dibuktikan? Bandingkan pertanyaan 6 dengan bukti persegi panjang pada teorema lingkaran di jilid sebelumnya (sudut siku-siku pada setiap setengah lingkaran).

Bagian III — Tiga suar menemukanmu. Posisimu $M(x, y)$ belum diketahui. Suar $P(0, 0)$ mengukur jarakmu sebagai $5$ ; suar $Q(6, 0)$ juga mengukur $5$ .

Tulislah kedua persamaan lingkarannya, kurangkan, lalu amati kuadratnya saling menghapus: persamaan sederhana apa yang tersisa? Padukan dengan salah satu lingkaran untuk menemukan dua calon posisimu.
Suar ketiga $R(0, 8)$ mengukur jarakmu sebagai $5$ . Hitunglah jaraknya ke masing-masing calon lalu putuskan di mana kamu berada.
Jelaskan mengapa pengurangan dua persamaan lingkaran selalu menghasilkan persamaan sebuah garis (suku mana yang saling menghapus?), dan apa arti geometris garis itu ketika kedua lingkarannya berpotongan di dua titik.
Penentuan posisi satelit yang sesungguhnya bekerja di ruang dan dengan jam yang tidak sempurna: setiap satelit memberi (lewat waktu tempuh isyarat) satu jarak, jadi satu bola. Berapa banyak besaran tak diketahui yang dipunyai sebuah penerima (posisinya dan galat jamnya sendiri), dan mengapa karena itu sistem penentu posisi mendengarkan paling sedikit empat satelit?
Ketelitian: andaikan jarak suar $P$ sebenarnya $5.1$ dan bukan $5$ (yang lain tetap). Ulangi pengurangan pada pertanyaan 11 untuk mencari $x$ yang baru, lalu ukurlah seberapa jauh taksirannya bergeser. (Bandingkan dengan gagasan anggaran galat pada Soal 1.1.)

Bagian IV — Kotak perkakas juru ukur.

Jalur menyiram terpendek: sebuah perkemahan di $A(1, 5)$ , sebuah lumbung di $B(7, 3)$ , sebuah sungai lurus sepanjang sumbu $y = 0$ . Untuk pergi dari $A$ ke sungai lalu ke $B$ dengan langkah paling sedikit: cerminkan $B$ terhadap sungai menjadi $B'$ , lalu carilah tempat ruas garis $[AB']$ memotong sungai. Berikan titik potongnya dan panjang total minimalnya. (Gagasannya adalah latihan pantulan bola bilyar di jilid sebelumnya, kini dapat dihitung sepenuhnya.)
Buktikan keminimalannya terhadap seorang penantang: hitunglah jalur total lewat $Q(3, 0)$ lalu periksa bahwa jalur itu kalah oleh jawabanmu.
Golongkan segi empat $A(1,1)$ , $B(4,2)$ , $C(5,5)$ , $D(2,4)$ selengkapnya: jajargenjang? belah ketupat? persegi panjang? persegi? (Metode 5.9, Metode 5.7 — bandingkan diagonalnya juga.)
Diberikan $A(-1, 2)$ , $B(3, 4)$ , $C(6, 0)$ , carilah $D$ sehingga $ABCD$ menjadi jajargenjang (kiat titik tengah diagonal pada soal akhir pekan tentang setengah putaran di jilid sebelumnya, kini dalam rumus).
Penutup: tiga perkakas — rumus titik tengah, rumus jarak, dan pengurangan persamaan lingkaran. Untuk masing-masing, sebutkan jenis pertanyaan yang dituntaskannya dalam soal ini, lalu nyatakan apa yang ditambahkan dua bab berikutnya ke dalam kotak itu (arah dan gradien: vektor dan persamaan garis).

Solusi

Solusi Soal 5.1.

1. $\Omega M = 5 \iff \Omega M^2 = 25 \iff (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 25$ menurut rumus jarak (Teorema 5.4) — pengkuadratan tidak berbahaya di sini, sebab kedua ruasnya positif.

2. $A$ : $(5-2)^2 + (5-1)^2 = 9 + 16 = 25$ : pada lingkaran. $B$ : $16 + 9 = 25$ : pada lingkaran juga. $D$ : $4 + 9 = 13 < 25$ : di dalam.

3. $x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9$ dan $y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4$ , sehingga persamaannya berbunyi $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$ : pusat $(3, -2)$ , jari-jari $5$ .

4. $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = -1$ : jumlah kuadrat tidak pernah negatif — tidak ada titik yang memenuhinya: himpunan kosong. Secara umum $(x - h)^2 + (y - k)^2 = c$ adalah lingkaran berjari-jari $\sqrt c$ bila $c > 0$ , titik tunggal $(h, k)$ bila $c = 0$ , dan kosong bila $c < 0$ .

5. Dengan $y = 3$ : $(x - 3)^2 + 25 = 25$ , jadi $(x - 3)^2 = 0$ : titik tunggal $(3, 3)$ . Satu titik sentuh: garis itu menyinggung lingkarannya.

6. $MA^2 + MB^2 = (x + r)^2 + y^2 + (x - r)^2 + y^2 = 2x^2 + 2y^2 + 2r^2 = 2r^2 + 2r^2 = 4r^2$ (dengan memakai $x^2 + y^2 = r^2$ ). Karena $AB^2 = (2r)^2 = 4r^2$ , segitiga $AMB$ memenuhi $MA^2 + MB^2 = AB^2$ : siku-siku di $M$ (kebalikan teorema Pythagoras) — tiga baris, seperti dijanjikan.

7. $MA^2 + MB^2 = (x + a)^2 + y^2 + (x - a)^2 + y^2 = 2x^2 + 2y^2 + 2a^2 = 2\,MI^2 + 2a^2$ , dan $\frac{AB^2}{2} = \frac{(2a)^2}{2} = 2a^2$ . Identitasnya terbukti.

8. $2\,MI^2 + \frac{36}{2} = 26$ memberi $MI^2 = 4$ : yaitu lingkaran berpusat titik tengah $I$ dan berjari-jari $2$ .

9. $MA^2 = 4\,MB^2$ : $x^2 + y^2 = 4\left((x - 3)^2 + y^2\right)$ , yaitu $3x^2 + 3y^2 - 24x + 36 = 0$ , atau $x^2 + y^2 - 8x + 12 = 0$ : setelah dilengkapkan, $(x - 4)^2 + y^2 = 4$ — lingkaran berpusat $(4, 0)$ dan berjari-jari $2$ (lingkaran Apollonius dengan rasio $2$ ).

10. Jembatan itu mengubah lukisan menjadi perhitungan: tanpa persegi panjang bantu, tanpa penelaahan kasus — cukup satu penjabaran dan teoremanya jatuh sendiri. Harganya: perhitungan membawa lebih sedikit wawasan geometris; bukti klasik menunjukkan mengapa, bukti aljabar menunjukkan bahwa — seorang matematikawan menyimpan keduanya.

11. $x^2 + y^2 = 25$ dan $(x - 6)^2 + y^2 = 25$ . Setelah dikurangkan: $x^2 - (x - 6)^2 = 0$ , yaitu $12x - 36 = 0$ : $x = 3$ . Lalu $9 + y^2 = 25$ : $y = \pm 4$ . Calonnya $(3, 4)$ dan $(3, -4)$ .

12. Dari $(3, 4)$ ke $R(0, 8)$ : $\sqrt{9 + 16} = 5$ — cocok. Dari $(3, -4)$ : $\sqrt{9 + 144} \approx 12.4$ — keliru. Kamu berada di $(3, 4)$ .

13. Kedua persamaannya membawa $x^2 + y^2$ yang sama (atau dengan koefisien yang sama setelah dijabarkan): pengurangannya menghapus kuadratnya dan menyisakan persamaan berderajat satu — yaitu garis. Ketika kedua lingkarannya berpotongan dua kali, garis itu melalui kedua titik potongnya: itulah garis tali busur persekutuannya.

14. Empat besaran tak diketahui: tiga koordinat ditambah galat jam penerimanya (jam murah, yang dikoreksi oleh matematikanya). Setiap satelit memasok satu persamaan, sehingga empat satelit memberi empat persamaan untuk empat besaran — dan makin banyak satelit, makin baik ketelitiannya.

15. Pengurangannya kini memberi $x = \frac{5.1^2 - 5^2 + 36}{12} = \frac{37.01}{12} \approx 3.084$ : galat $10$ cm pada satu jarak menggeser taksirannya sekitar $8$ cm di sini. Galat merambat lewat setiap rumus — kehati-hatian aritmetika interval pada Soal 1.1, kini dengan koordinat.

16. $B' (7, -3)$ . Garis $(AB')$ bergradien $\frac{-3 - 5}{7 - 1} = -\frac43$ dan memotong $y = 0$ di $x = 1 + \frac{5}{8} \times 6 = 4.75$ : minumlah di $P(4.75,\ 0)$ . Panjang minimalnya: $AP + PB = AP + PB' = AB' = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$ .

17. Lewat $Q(3, 0)$ : $AQ + QB = \sqrt{4 + 25} + \sqrt{16 + 9} = \sqrt{29} + 5 \approx 10.39 > 10$ . Garis lurus hasil pencerminan yang menang.

18. Titik tengah diagonalnya: $[AC]$ : $(3, 3)$ ; $[BD]$ : $(3, 3)$ — sama: jajargenjang. Sisinya: $AB = \sqrt{10} = AD$ : belah ketupat. Diagonalnya: $AC = \sqrt{32} \neq BD = \sqrt{8}$ : bukan persegi panjang, jadi bukan persegi. Putusannya: belah ketupat, tidak lebih.

19. $D = A + C - B = (-1 + 6 - 3,\ 2 + 0 - 4) = (2, -2)$ : lalu $[AC]$ dan $[BD]$ berbagi titik tengah $\left(\frac52, 1\right)$ .

20. Rumus titik tengah: jajargenjang dan pusatnya (pertanyaan 18, 19). Rumus jarak: lingkaran, tempat kedudukan, jenis segitiga, jalur terpendek (pertanyaan 1–9, 16). Pengurangan persamaan lingkaran: garis yang menentukan sebuah posisi (pertanyaan 11–15). Yang belum ada dalam kotak itu: aljabar yang rapi untuk arah — vektor — dan untuk gradien — persamaan garis dan sistem persamaan: dua bab berikutnya memasok tepat hal itu.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Sistem koordinat

Lihat semua 395 istilah di glosarium