Matematika Sekolah Menengah Atas · Grades 10–12

7Persamaan Garis dan Sistem Persamaan Linear

Sebuah garis lurus pada bidang koordinat diperikan oleh sebuah persamaan, dan dua garis bersama-sama membentuk sistem persamaan yang penyelesaiannya adalah titik potongnya. Bab ini menghubungkan tiga bahasa — geometris (garis), aljabar (persamaan) dan fungsional (fungsi afin dari Bab 4) — serta mengajarkan dua cara baku menyelesaikan sistem persamaan linear.

7.1 Persamaan sebuah garis

Teorema 7.1 (Persamaan tereduksi)

Pada sebuah sistem koordinat:

setiap garis yang tidak tegak mempunyai persamaan berbentuk

$y = mx + p ,$

dengan $m$ (gradien garisnya) dan $p$ (titik potong sumbu- $y$ ) tertentu secara tunggal — inilah persamaan tereduksi garis itu;
setiap garis tegak mempunyai persamaan $x = c$ ;
sebuah titik terletak pada garis itu tepat ketika koordinatnya memenuhi persamaannya.

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Proposisi 7.2 (Gradien lewat dua titik)

Gradien garis (yang tidak tegak) melalui $A(x_A, y_A)$ dan $B(x_B, y_B)$ , dengan $x_A \neq x_B$ , adalah

m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} \qquad \text{(``perubahan $y$ dibagi perubahan $x$'').}

Bukti. Kedua titik memenuhi $y = mx + p$ , jadi $y_B - y_A = (mx_B + p) - (mx_A + p) = m(x_B - x_A)$ ; bagilah dengan $x_B - x_A \neq 0$ . ∎

Tiga jenis garis: miring (m ≠ 0), mendatar (m = 0), dan tegak (tanpa persamaan tereduksi — persamaannya x = c). — Tiga jenis garis: miring ( $m \neq 0$ ), mendatar ( $m = 0$ ), dan tegak (tanpa persamaan tereduksi — persamaannya $x = c$ ).

Metode 7.3 (Mencari persamaan garis lewat dua titik)

Diberikan $A$ dan $B$ dengan $x_A \neq x_B$ :

hitunglah gradiennya $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ ;
tulislah $y = mx + p$ lalu substitusikan koordinat $A$ (atau $B$ ) untuk mencari $p$ ;
periksalah persamaan akhirnya dengan titik yang satunya.

Jika $x_A = x_B$ , garisnya tegak: persamaannya $x = x_A$ .

Contoh 7.4

Garis melalui $A(1, 5)$ dan $B(3, 1)$ . Gradiennya: $m = \frac{1 - 5}{3 - 1} = \frac{-4}{2} = -2$ . Lalu $y = -2x + p$ ; dari titik $A$ diperoleh $5 = -2 \times 1 + p$ , jadi $p = 7$ . Persamaannya: $y = -2x + 7$ . Periksa dengan $B$ : $-2 \times 3 + 7 = 1$ .

Proposisi 7.5 (Garis sejajar)

Dua garis yang tidak tegak sejajar jika dan hanya jika gradiennya sama. Dua garis sejajar yang berbeda tidak punya titik persekutuan; dua garis dengan gradien berbeda punya tepat satu.

Bukti. Misalkan $y = mx + p$ dan $y = m'x + p'$ kedua garis itu. Titik persekutuan memenuhi $mx + p = m'x + p'$ , yaitu $(m - m')x = p' - p$ . Jika $m \neq m'$ , persamaan ini punya tepat satu penyelesaian $x = \frac{p' - p}{m - m'}$ : satu titik potong. Jika $m = m'$ , persamaannya berbunyi $0 = p' - p$ : tidak ada penyelesaian bila $p \neq p'$ (dua sejajar yang berbeda), dan setiap $x$ bila $p = p'$ (garis yang sama). Jadi kesejajaran (tidak berpotongan, atau berimpit) setara dengan $m = m'$ . ∎

Catatan 7.6 (Vektor arah)

Garis $y = mx + p$ naik $m$ satuan untuk setiap satu satuan ke kanan, sehingga vektor $\vec u\,(1, m)$ adalah sebuah vektor arah garis itu: garisnya sejajar dengan $\vec u$ . Dua garis sejajar tepat ketika vektor arahnya kolinear (Teorema 6.13).

7.2 Sistem persamaan linear

Definisi 7.7 (Sistem persamaan linear)

Sebuah sistem dua persamaan linear dalam variabel $x$ dan $y$ adalah sepasang persamaan

\begin{cases} a x + b y = c \\ a' x + b' y = c' \end{cases}

yang harus dipenuhi serentak. Sebuah penyelesaian adalah pasangan $(x, y)$ yang memenuhi keduanya. Setiap persamaannya memerikan sebuah garis, sehingga menyelesaikan sistem itu berarti mencari perpotongan dua garis.

Metode 7.8 (Substitusi)

Selesaikan salah satu persamaan untuk salah satu variabel — pilih yang paling mudah, misalnya nyatakan $y$ dalam $x$ ;
substitusikan bentuk ini ke persamaan yang satunya, yang kini hanya memuat $x$ ;
selesaikan untuk $x$ , lalu hitunglah $y$ dari langkah 1;
periksalah pasangan itu pada kedua persamaan semula.

Contoh 7.9

Selesaikan $\begin{cases} x + 2y = 8 \\ 3x - y = 3 \end{cases}$ dengan substitusi. Persamaan kedua memberi $y = 3x - 3$ . Substitusikan ke yang pertama:

x + 2(3x - 3) = 8 \ \Longleftrightarrow\ x + 6x - 6 = 8 \ \Longleftrightarrow\ 7x = 14 \ \Longleftrightarrow\ x = 2 ,

lalu $y = 3 \times 2 - 3 = 3$ . Penyelesaiannya adalah pasangan $(2, 3)$ . Periksa: $2 + 2 \times 3 = 8$ dan $3 \times 2 - 3 = 3$ .

Metode 7.10 (Eliminasi)

Kalikan setiap persamaan dengan bilangan yang dipilih baik-baik agar salah satu variabelnya berkoefisien saling berlawanan pada kedua persamaan;
jumlahkan kedua persamaan: variabel itu lenyap;
selesaikan persamaan satu variabel yang tersisa, lalu substitusikan kembali untuk mencari variabel yang lain;
periksalah pasangan itu pada kedua persamaan semula.

Contoh 7.11

Selesaikan $\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 5x - 2y = 8 \end{cases}$ dengan eliminasi. Untuk melenyapkan $y$ , kalikan persamaan pertama dengan $2$ dan yang kedua dengan $3$ :

\begin{cases} 4x + 6y = 14 \\ 15x - 6y = 24 \end{cases}

Menjumlahkan keduanya: $19x = 38$ , jadi $x = 2$ . Substitusi ke $2x + 3y = 7$ : $4 + 3y = 7$ , jadi $y = 1$ . Penyelesaiannya: $(2, 1)$ . Periksa pada persamaan kedua: $5 \times 2 - 2 \times 1 = 8$ .

Sistem persamaan linear yang dilihat secara geometris: setiap persamaan adalah sebuah garis, dan penyelesaian (2,1) pada adalah titik potongnya. — Sistem persamaan linear yang dilihat secara geometris: setiap persamaan adalah sebuah garis, dan penyelesaian $(2,1)$ pada Contoh 7.11 adalah titik potongnya.

Catatan 7.12 (Berapa banyak penyelesaiannya?)

Seperti dua garis, sistem persamaan linear pada umumnya punya tepat satu penyelesaian (garis tidak sejajar), dan pada keadaan khusus tidak punya penyelesaian (dua sejajar yang berbeda) atau punya tak hingga banyak (dua kali garis yang sama). Kriteria Teorema 6.13 memutuskannya: sistem itu punya penyelesaian tunggal tepat ketika $ab' - a'b \neq 0$ .

Contoh 7.13 (Memodelkan dengan sistem)

Tiga buku tulis dan dua pena berharga $8$ ; satu buku tulis dan empat pena berharga $6$ . Misalkan $x$ harga sebuah buku tulis dan $y$ harga sebuah pena:

\begin{cases} 3x + 2y = 8 \\ x + 4y = 6 . \end{cases}

Dari persamaan kedua, $x = 6 - 4y$ ; setelah disubstitusikan, $3(6 - 4y) + 2y = 8$ , jadi $18 - 10y = 8$ , yang memberi $y = 1$ lalu $x = 2$ . Sebuah buku tulis berharga $2$ dan sebuah pena berharga $1$ .

7.3 Latihan

Latihan 7.1 ★

Untuk setiap garis, bacalah gradien dan titik potong sumbu- $y$ -nya, lalu sketsalah:

y = 2x - 3, \qquad y = -\tfrac13 x + 1, \qquad y = 4, \qquad x = -2 .

Solusi

Solusi Latihan 7.1.

$y = 2x - 3$ : gradien $2$ , titik potong $-3$ . $y = -\frac13 x + 1$ : gradien $-\frac13$ , titik potong $1$ . $y = 4$ : gradien $0$ , titik potong $4$ (garis mendatar). $x = -2$ : garis tegak, tanpa gradien dan tanpa persamaan tereduksi.

Latihan 7.2 ★

Apakah titik $A(2, 7)$ terletak pada garis $y = 3x + 1$ ? Lalu $B(-1, -1)$ ? Lalu titik $C(4, 13)$ ?

Solusi

Solusi Latihan 7.2.

$3 \times 2 + 1 = 7$ : ya, $A$ terletak pada garis itu. $3 \times (-1) + 1 = -2 \neq -1$ : $B$ tidak. $3 \times 4 + 1 = 13$ : ya, $C$ terletak pada garis itu.

Latihan 7.3 ★

Carilah persamaan tereduksi garis yang melalui:

\text{(a) } A(0, 2) \text{ dan } B(3, 8); \qquad \text{(b) } A(-1, 5) \text{ dan } B(2, -4); \qquad \text{(c) } A(4, 1) \text{ dan } B(4, 6).

Solusi

Solusi Latihan 7.3.

(a) $m = \frac{8 - 2}{3 - 0} = 2$ dan $p = y_A = 2$ (titik $A$ terletak pada sumbu $y$ ): $y = 2x + 2$ .

(b) $m = \frac{-4 - 5}{2 - (-1)} = \frac{-9}{3} = -3$ ; lalu $5 = -3 \times (-1) + p$ memberi $p = 2$ : $y = -3x + 2$ .

Latihan 7.4 ★

Di antara garis $y = 3x - 1$ , $y = -3x + 2$ , $y = 3x + 5$ , $y = \frac{6x + 2}{2}$ , manakah yang saling sejajar? Manakah yang sebenarnya berimpit?

Solusi

Solusi Latihan 7.4.

$y = \frac{6x+2}{2} = 3x + 1$ . Garis yang bergradien $3$ adalah $y = 3x - 1$ , $y = 3x + 5$ dan $y = 3x + 1$ : ketiganya saling sejajar; tidak ada dua di antaranya yang berimpit (titik potongnya berbeda), dan tidak satu pun sejajar dengan $y = -3x + 2$ .

Latihan 7.5 ★

Selesaikan dengan substitusi:

\begin{cases} y = 2x - 1 \\ 3x + y = 9 \end{cases} \qquad\text{lalu}\qquad \begin{cases} x - y = 4 \\ 2x + 3y = 3 . \end{cases}

Solusi

Solusi Latihan 7.5.

Sistem pertama: substitusikan $y = 2x - 1$ ke $3x + y = 9$ : $3x + 2x - 1 = 9$ , jadi $5x = 10$ , $x = 2$ , lalu $y = 3$ . Penyelesaiannya: $(2, 3)$ .

Sistem kedua: dari $x - y = 4$ , diperoleh $x = y + 4$ . Lalu $2(y + 4) + 3y = 3$ , jadi $5y = -5$ , $y = -1$ , lalu $x = 3$ . Penyelesaiannya: $(3, -1)$ .

Latihan 7.6 ★

Selesaikan dengan eliminasi:

\begin{cases} x + y = 10 \\ x - y = 4 \end{cases} \qquad\text{lalu}\qquad \begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ 2x + 5y = 8 . \end{cases}

Solusi

Solusi Latihan 7.6.

Sistem pertama: menjumlahkan kedua persamaan melenyapkan $y$ : $2x = 14$ , $x = 7$ ; lalu $7 + y = 10$ memberi $y = 3$ . Penyelesaiannya: $(7, 3)$ .

Sistem kedua: kalikan persamaan pertama dengan $5$ dan yang kedua dengan $-2$ :

\begin{cases} 15x + 10y = 60 \\ -4x - 10y = -16 \end{cases}

Setelah dijumlahkan: $11x = 44$ , jadi $x = 4$ ; lalu $3 \times 4 + 2y = 12$ memberi $y = 0$ . Penyelesaiannya: $(4, 0)$ .

Latihan 7.7 ★★

Tentukan, tanpa menyelesaikannya, berapa penyelesaian yang dipunyai tiap sistem:

\begin{cases} 2x - y = 3 \\ -4x + 2y = -6 \end{cases} \qquad \begin{cases} 2x - y = 3 \\ -4x + 2y = 1 \end{cases} \qquad \begin{cases} 2x - y = 3 \\ x + y = 0 . \end{cases}

Solusi

Solusi Latihan 7.7.

Hitunglah $ab' - a'b$ pada setiap kasus.

Pertama: $2 \times 2 - (-4) \times (-1) = 4 - 4 = 0$ , dan persamaan keduanya sama dengan $-2$ kali yang pertama: dua kali garis yang sama, jadi tak hingga banyak penyelesaian.

Kedua: $ab' - a'b = 0$ lagi, tetapi ruas kanannya tidak berbanding $-2$ ( $1 \neq -6$ ): dua garis sejajar yang berbeda, jadi tanpa penyelesaian.

Ketiga: $2 \times 1 - 1 \times (-1) = 3 \neq 0$ : tepat satu penyelesaian.

Latihan 7.8 ★★

Dua ratus lembar karcis terjual untuk sebuah pementasan sekolah, sebagian seharga $5$ (anak-anak) dan sebagian seharga $9$ (dewasa), dengan jumlah $1352$ . Berapa lembar karcis dari masing-masing jenis yang terjual?

Solusi

Solusi Latihan 7.8.

Misalkan $x$ banyaknya karcis anak-anak dan $y$ banyaknya karcis dewasa:

\begin{cases} x + y = 200 \\ 5x + 9y = 1352 . \end{cases}

Dari persamaan pertama $x = 200 - y$ ; setelah disubstitusikan, $5(200 - y) + 9y = 1352$ , jadi $1000 + 4y = 1352$ , $y = 88$ , lalu $x = 112$ . Jadi $112$ karcis anak-anak dan $88$ karcis dewasa. Periksa: $5 \times 112 + 9 \times 88 = 560 + 792 = 1352$ .

Latihan 7.9 ★★

Misalkan $d$ garis $y = 2x - 3$ dan $A(1, 4)$ .

Berikan persamaan garis $d'$ yang sejajar $d$ dan melalui $A$ .
Hitunglah titik potong $d'$ dengan sumbu $x$ .

Solusi

Solusi Latihan 7.9.

1. Sejajar berarti gradiennya sama, yaitu $2$ : $y = 2x + p$ dengan $4 = 2 \times 1 + p$ , jadi $p = 2$ : $d'\colon y = 2x + 2$ .

2. Pada sumbu $x$ berlaku $y = 0$ : $2x + 2 = 0$ memberi $x = -1$ . Titik potongnya adalah $(-1, 0)$ .

Latihan 7.10 ★★★

Misalkan $A(0, 0)$ , $B(6, 2)$ dan $C(2, 4)$ .

Carilah persamaan garis berat segitiga $ABC$ yang ditarik dari $A$ dan dari $B$ (sebuah garis berat menghubungkan titik sudut dengan titik tengah sisi di hadapannya).
Hitunglah titik potongnya $G$ , lalu periksa bahwa $G$ juga terletak pada garis berat ketiga. (Semestinya diperoleh bahwa koordinat $G$ adalah rata-rata koordinat $A$ , $B$ , $C$ .)

Solusi

Solusi Latihan 7.10.

1. Titik tengah $[BC]$ : $A' = \left(\frac{6+2}{2}, \frac{2+4}{2}\right) = (4, 3)$ . Garis berat dari $A(0,0)$ bergradien $\frac{3 - 0}{4 - 0} = \frac34$ : persamaannya $y = \frac34 x$ .

Titik tengah $[AC]$ : $B' = (1, 2)$ . Garis berat dari $B(6, 2)$ bergradien $\frac{2 - 2}{1 - 6} = 0$ : garis itu mendatar, $y = 2$ .

2. Titik potongnya: $\frac34 x = 2$ memberi $x = \frac83$ , jadi $G\left(\frac83, 2\right)$ . Garis berat ketiga menghubungkan $C(2,4)$ dengan titik tengah $[AB]$ , yaitu $C' = (3, 1)$ ; gradiennya $\frac{1 - 4}{3 - 2} = -3$ , persamaannya $y = -3x + 10$ . Di $x = \frac83$ : $y = -8 + 10 = 2$ : jadi $G$ terletak padanya. Dan memang $G = \left(\frac{0 + 6 + 2}{3}, \frac{0 + 2 + 4}{3}\right)$ : titik beratnya merata-ratakan koordinat ketiga titik sudutnya.

7.4 Soal: Satu penyelesaian, tidak ada, atau tak hingga banyak

Soal 7.1

Soal akhir pekan — dua garis mempunyai tiga nasib yang mungkin, sebuah determinan memutuskan di antaranya, dan buku pelajaran tertua di dunia sudah mengetahuinya

Dua persamaan linear, dua variabel: sepasang garis yang digambarnya dapat berpotongan sekali, tidak pernah, atau justru berimpit — dan setiap sistem persamaan linear mewarisi salah satu dari ketiga nasib itu. Soal ini menggolongkannya, menjumpai bilangan yang memutuskannya (seorang kenalan lama dari bab vektor), menyelesaikan soal burung pegar dan kelinci berumur dua ribu tahun dari kitab Tiongkok Sembilan Bab, lalu berakhir pada titik sudut sebuah daerah — yaitu langkah pertama pengoptimuman yang dipakai setiap maskapai dan pabrik dewasa ini.

Bagian I — Garis, dengan fasih.

Carilah persamaan tereduksi garis yang melalui $(1, 2)$ dan $(3, 8)$ (Metode 7.3).
Di antara $y = 3x - 1$ , $y = 3x + 4$ dan $y = -x + 7$ : dua garis yang mana yang sejajar (Proposisi 7.5), dan di mana pasangan yang tidak sejajar bertemu? (Hitunglah satu titik potong.)
Garis melalui $(2, 1)$ dan $(2, 5)$ : mengapa garis itu tidak mempunyai persamaan tereduksi $y = mx + p$ , dan apa persamaannya?
Apakah titik $(4, 11)$ terletak pada garis $y = 3x - 1$ ? Lalu $(-1, -5)$ ?
Garis melalui $(0, 3)$ dengan gradien $-2$ : berikan persamaannya, kedua titik potong sumbunya, dan luas segitiga yang dipotongnya dari kuadran pertama.

Bagian II — Tiga nasib.

Selesaikan dengan substitusi (Metode 7.8): $\begin{cases} y = 2x - 3 \\ 3x + y = 7 \end{cases}$
Selesaikan dengan eliminasi (Metode 7.10): $\begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ 5x - 3y = -1 \end{cases}$
Golongkan — lalu tafsirkan dengan garis — kedua sistem berikut

$\begin{cases} 2x - y = 3 \\ 4x - 2y = 6 \end{cases} \qquad\text{dan}\qquad \begin{cases} 2x - y = 3 \\ 4x - 2y = 1 . \end{cases}$

Nyatakan trikotomi lengkapnya: berpotongan, sejajar, berimpit — satu penyelesaian, tidak ada, tak hingga banyak.
Untuk sistem umum $ax + by = e$ , $cx + dy = f$ , bilangan yang memutuskannya adalah $ad - bc$ — determinan yang sama dengan uji kekolinearan pada Soal 6.1. Jelaskan kebetulan itu (dua vektor yang mana yang kolinear tepat ketika garisnya sejajar atau berimpit?), lalu hitunglah $ad - bc$ untuk ketiga sistem pada pertanyaan 7 dan 8.
Untuk nilai $m$ yang mana $\begin{cases} x + my = 3 \\ 2x + 6y = 7 \end{cases}$ tidak mempunyai penyelesaian? Selesaikan sistem itu untuk semua nilai $m$ yang lain … atau setidaknya jelaskan bagaimana caranya.

Bagian III — Kitab Sembilan Bab.

Dari Sembilan Bab tentang Seni Matematika (Tiongkok, sekitar 2000 tahun silam): sebuah kandang berisi burung pegar dan kelinci — seluruhnya $35$ kepala dan $94$ kaki. Berapa ekor masing-masing?
Sebuah kedai jus mencampur sirop berkadar buah $60\,\%$ dengan minuman berkadar buah $20\,\%$ untuk memperoleh $30$ L berkadar buah $35\,\%$ . Berapa liter masing-masing?
Sebuah bilangan dua angka mempunyai jumlah angka $12$ ; menukar kedua angkanya mengurangi bilangan itu sebesar $18$ . Carilah bilangan itu, dengan memakai aljabar angka pada soal akhir pekan tentang aljabar angka di jilid sebelumnya untuk menyusun sistemnya.
Di toko roti, $3$ kopi dan $2$ croissant berharga $9.10$ euro; $2$ kopi dan $3$ croissant berharga $8.90$ euro. Selesaikan dengan anggun: apa yang langsung diberitahukan oleh menjumlahkan kedua persamaan dan oleh mengurangkannya?
Sebuah lapak pasar mengaku: $2$ apel $+ 1$ pir seharga $5$ euro, dan $4$ apel $+ 2$ pir seharga $9$ euro. Selesaikan — atau lebih tepat, jelaskan apa yang disingkapkan nasib sistem itu tentang aritmetika si pedagang.

Bagian IV — Titik sudut yang menentukan.

Garis $y = 3x - 1$ membelah bidang menjadi dua. Di sisi mana titik asalnya berada? Perikan himpunan $y > 3x - 1$ dan bagaimana cara menguji sebuah titik terhadapnya.
Gambarlah daerah yang ditentukan oleh keempat kendala

$x \geq 0, \qquad y \geq 0, \qquad x + y \leq 4, \qquad y \leq 2x + 1,$

lalu hitunglah keempat titik sudutnya.
Laba sebuah bengkel adalah $P = 3x + 2y$ pada daerah di pertanyaan 17. Hitunglah $P$ di keempat titik sudutnya. Dengan menerima bahwa maksimum besaran linear semacam itu pada daerah semacam itu selalu dicapai di sebuah titik sudut (bayangkan keluarga garis $3x + 2y$ tetap yang menyapu daerahnya), berikan rencana produksi yang optimum.
Kedua taksi pada soal akhir pekan tentang dua termometer di jilid sebelumnya sebagai sebuah sistem: tulislah lalu selesaikan $\begin{cases} y = 1.5x + 3 \\ y = 2x \end{cases}$ lalu tafsirkan penyelesaiannya.
Penutup, kamusnya: satu persamaan $\leftrightarrow$ satu garis; satu sistem $\leftrightarrow$ dua garis dengan tiga nasib, yang diputuskan oleh $ad - bc$ ; banyak pertidaksamaan $\leftrightarrow$ sebuah daerah yang titik sudutnya mengusung nilai optimum. Nyatakan itu dalam tiga kalimat — kamu baru saja berkeliling serambi depan aljabar linear dan pemrograman linear, yang keduanya dibangun utuh pada jilid universitas.

Solusi

Solusi Soal 7.1.

1. Gradiennya $\frac{8 - 2}{3 - 1} = 3$ ; melalui $(1, 2)$ : $y = 3x - 1$ .

2. $y = 3x - 1$ dan $y = 3x + 4$ : gradiennya sama, jadi sejajar (dan berbeda). Memotongkan $y = 3x - 1$ dengan $y = -x + 7$ : $3x - 1 = -x + 7$ memberi $x = 2$ , $y = 5$ : titik $(2, 5)$ .

3. Kedua titiknya berbagi $x = 2$ : garisnya tegak, persamaannya $x = 2$ . Bentuk tereduksi $y = mx + p$ menjawab “satu $y$ untuk setiap $x$ ”, dan itu ditolak oleh garis tegak: gradiennya akan menjadi takhingga.

4. $3 \times 4 - 1 = 11$ : ya, $(4, 11)$ terletak pada garis itu. $3 \times (-1) - 1 = -4 \neq -5$ : tidak.

5. $y = -2x + 3$ ; memotong kedua sumbu di $(0, 3)$ dan $\left(\frac32, 0\right)$ . Luas segitiganya: $\frac12 \times \frac32 \times 3 = \frac94 = 2.25$ .

6. Setelah disubstitusikan: $3x + 2x - 3 = 7$ , $x = 2$ , $y = 1$ : penyelesaiannya $(2, 1)$ .

7. Setelah dijumlahkan: $7x = 7$ , $x = 1$ ; lalu $3y = 6$ , $y = 2$ : penyelesaiannya $(1, 2)$ .

8. Sistem pertama: persamaan keduanya dua kali yang pertama: satu garis yang terhitung dua kali — tak hingga banyak penyelesaian (semua titik pada $2x - y = 3$ ). Sistem kedua: ruas kirinya sebanding, ruas kanannya tidak ( $2 \times 3 = 6 \neq 1$ ): dua garis sejajar — tanpa penyelesaian. Trikotominya: gradien berbeda $\to$ satu titik potong; gradien sama, titik potong sumbu berbeda $\to$ sejajar, tanpa penyelesaian; semuanya sama $\to$ garis yang sama, tak hingga banyak penyelesaian.

9. Vektor arah kedua garisnya adalah $(-b, a)$ dan $(-d, c)$ (atau: gradiennya $-\frac ab$ dan $-\frac cd$ ), yang kolinear tepat ketika $ad - bc = 0$ — determinan Soal 6.1 dalam pekerjaan baru. Nilainya: pertanyaan 7: $2 \times (-3) - 3 \times 5 = -21 \neq 0$ : penyelesaiannya tunggal. Pertanyaan 8: $2 \times (-2) - (-1) \times 4 = 0$ untuk keduanya: sejajar atau berimpit, dan konstantanyalah yang memisahkan kedua kasus itu.

10. $ad - bc = 6 - 2m$ : bernilai nol untuk $m = 3$ . Di sana $x + 3y = 3$ berhadapan dengan $2x + 6y = 7$ : melipatduakan yang pertama memberi $2x + 6y = 6 \neq 7$ : sejajar, jadi tanpa penyelesaian. Untuk $m \neq 3$ , eliminasi memberi penyelesaian tunggal $y = \frac{1}{6 - 2m}$ , lalu $x = 3 - \frac{m}{6 - 2m}$ .

11. $p + r = 35$ , $2p + 4r = 94$ : setelah dibagi dua, $p + 2r = 47$ , jadi $r = 12$ dan $p = 23$ : dua puluh tiga burung pegar, dua belas kelinci — jawaban kitab Sembilan Bab sendiri.

12. $x + y = 30$ dan $0.6x + 0.2y = 0.35 \times 30 = 10.5$ : dengan mengurangkan $0.2 \times$ yang pertama, $0.4x = 4.5$ : $x = 11.25$ L sirop, $y = 18.75$ L minuman.

13. Angkanya $a$ , $b$ : $a + b = 12$ dan $(10a + b) - (10b + a) = 9(a - b) = 18$ , jadi $a - b = 2$ : $a = 7$ , $b = 5$ : bilangannya $75$ .

14. Setelah dijumlahkan: $5c + 5r = 18$ , jadi $c + r = 3.60$ — yaitu satu kopi ditambah satu croissant. Setelah dikurangkan: $c - r = 0.20$ . Jadi $c = 1.90$ dan $r = 1.70$ euro: jalan pintas yang setangkup itu menyelesaikannya tanpa substitusi apa pun.

15. Melipatduakan pengakuan pertama memberi $4$ apel $+ 2$ pir $= 10$ euro, padahal lapak itu menarik $9$ : sistemnya taktaat-asas — garis sejajar, himpunan penyelesaiannya kosong. Putusannya: kedua pengakuan harga itu tidak mungkin benar bersamaan; entah ada potongan harga yang disembunyikan, entah aritmetikanya.

16. Di titik asal: $0 > 3 \times 0 - 1 = -1$ : benar, jadi $(0,0)$ terletak di daerah $y > 3x - 1$ (di atas garisnya). Ujilah sebarang titik dengan memasukkannya: di atas atau di bawah menurut benar tidaknya pertidaksamaan itu.

17. Titik sudutnya: $(0, 0)$ ; $(4, 0)$ (sumbu dan $x + y = 4$ ); $(0, 1)$ (sumbu dan $y = 2x + 1$ ); serta perpotongan $x + y = 4$ dengan $y = 2x + 1$ : $x = 1$ , $y = 3$ : yaitu $(1, 3)$ .

18. $P(0,0) = 0$ ; $P(4, 0) = 12$ ; $P(0, 1) = 2$ ; $P(1, 3) = 9$ . Maksimumnya di titik sudut $(4, 0)$ : rencana $x = 4$ , $y = 0$ memberi $12$ — titik sudutlah yang menentukan, seperti diperlihatkan garis sejajar $3x + 2y = c$ yang menyapu daerahnya.

19. $1.5x + 3 = 2x$ memberi $x = 6$ , $y = 12$ : pada enam kilometer kedua taksi menarik dua belas euro — titik impas pada soal akhir pekan tentang dua termometer di jilid sebelumnya, kini menjadi penyelesaian tunggal sebuah sistem.

20. Penyelesaian sebuah persamaan linear menggambar sebuah garis; sebuah sistem menumpukkan dua garis, dan $ad - bc$ memberitahukan sekilas apakah keduanya berpotongan sekali (bila taknol) atau jatuh ke kasus sejajar atau berimpit (bila nol). Tumpuklah pertidaksamaan sebagai gantinya dan penyelesaiannya membentuk daerah segi banyak yang titik sudutnya mengusung nilai optimum linear mana pun. Aljabar linear memperumum determinan itu ke sebarang banyak variabel; pemrograman linear memperindustrikan titik sudutnya.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Sistem persamaan linear

Lihat semua 395 istilah di glosarium