Matematika Sekolah Menengah Atas · Grades 10–12

11Fungsi dan Variasinya

Bab ini menata apa saja yang perlu diketahui tentang fungsi sebelum masuk ke kalkulus: keluarga kecil fungsi acuan yang grafiknya wajib dihafal, makna tepat kata naik dan turun, serta bagaimana variasi berperilaku ketika fungsi dipadukan.

11.1 Fungsi dan kurva

Definisi 11.1 (Fungsi, daerah asal, kurva)

Sebuah fungsi $f$ memasangkan setiap bilangan $x$ dari himpunan $D \subseteq \R$ (daerah asalnya) dengan tepat satu bilangan $f(x)$ . Kurvanya (atau grafiknya) adalah himpunan titik $\bigl(x, f(x)\bigr)$ untuk $x \in D$ .

Contoh 11.2

Rumus $f(x) = \frac{\sqrt{x+2}}{x-1}$ menuntut $x + 2 \geq 0$ (untuk akar kuadratnya) dan $x \neq 1$ (penyebutnya taknol): daerah asalnya $\intco{-2}{1} \cup \intoo{1}{+\infty}$ .

11.2 Fungsi acuan

Kelima fungsi berikut beserta kurvanya harus menjadi refleks.

Definisi 11.3 (Fungsi acuan)

x \mapsto x^2 \text{ (pangkat dua)}, \quad x \mapsto x^3 \text{ (pangkat tiga)}, \quad x \mapsto \sqrt{x}, \quad x \mapsto \frac{1}{x}, \quad x \mapsto \abs{x}.

Daerah asalnya berturut-turut $\R$ , $\R$ , $\intco{0}{+\infty}$ , $\R \setminus \{0\}$ dan $\R$ . Kurva $x \mapsto \frac1x$ adalah sebuah hiperbola.

Kelima kurva acuan: parabola x2 dan pangkat tiga x3 (kiri); √ x, x dan hiperbola 1x (kanan). — Kelima kurva acuan: parabola $x^2$ dan pangkat tiga $x^3$ (kiri); $\sqrt x$ , $\abs x$ dan hiperbola $\frac1x$ (kanan).

11.3 Variasi pada sebuah interval

Definisi 11.4 (Naik, turun)

Misalkan $f$ terdefinisi pada sebuah interval $I$ . Fungsi $f$ disebut naik pada $I$ bila fungsi itu mempertahankan urutan:

\text{untuk semua } u, v \in I: \quad u < v \implies f(u) \leq f(v),

dan disebut turun bila fungsi itu membalik urutan ( $u < v \implies f(u) \geq f(v)$ ). Dengan ketaksamaan tegas di ruas kanannya, $f$ disebut tegas naik (masing-masing turun). Fungsi yang naik atau turun pada $I$ disebut monoton pada $I$ .

Metode 11.5 (Membuktikan variasi dari definisinya)

Ambil dua bilangan sebarang $u < v$ pada intervalnya, lalu tentukan tanda selisih $f(v) - f(u)$ , biasanya dengan memfaktorkannya. Jika tandanya tetap pada interval itu, simpulkan.

Proposisi 11.6 (Variasi fungsi acuan)

$x^2$ tegas turun pada $\intoc{-\infty}{0}$ dan tegas naik pada $\intco{0}{+\infty}$ .
$x^3$ tegas naik pada $\R$ .
$\sqrt x$ tegas naik pada $\intco{0}{+\infty}$ .
$\frac1x$ tegas turun pada $\intoo{-\infty}{0}$ dan pada $\intoo{0}{+\infty}$ (tetapi tidak pada gabungannya).
$\abs x$ tegas turun pada $\intoc{-\infty}{0}$ dan tegas naik pada $\intco{0}{+\infty}$ .

Bukti. Misalkan $u < v$ . Kita faktorkan $f(v) - f(u)$ pada setiap kasusnya.

1. $v^2 - u^2 = (v-u)(v+u)$ . Pada $\intco{0}{+\infty}$ : $v - u > 0$ dan $v + u > 0$ (sebab $v > u \geq 0$ ), jadi $v^2 > u^2$ . Pada $\intoc{-\infty}{0}$ : $v + u < 0$ , jadi $v^2 < u^2$ .

2. $v^3 - u^3 = (v - u)(v^2 + uv + u^2)$ , dan faktor keduanya sama dengan $\left(v + \frac u2\right)^2 + \frac{3u^2}{4} > 0$ kecuali bila $u = v = 0$ . Jadi $v^3 > u^3$ setiap kali $v > u$ .

3. Untuk $0 \leq u < v$ : $\sqrt v - \sqrt u = \frac{(\sqrt v - \sqrt u)(\sqrt v + \sqrt u)} {\sqrt v + \sqrt u} = \frac{v - u}{\sqrt v + \sqrt u} > 0$ .

4. Untuk $0 < u < v$ : $\frac1v - \frac1u = \frac{u - v}{uv} < 0$ sebab $u - v < 0$ dan $uv > 0$ ; perhitungan yang sama berlaku untuk $u < v < 0$ . Pada gabungannya pernyataannya gagal: $-1 < 1$ tetapi $\frac{1}{-1} = -1 < 1 = \frac11$ .

5. Pada $\intco{0}{+\infty}$ , $\abs x = x$ tegas naik; pada $\intoc{-\infty}{0}$ , $\abs x = -x$ tegas turun. ∎

Catatan 11.7

Butir 4 adalah jebakan klasik: “turun pada $\intoo{-\infty}{0}$ dan pada $\intoo{0}{+\infty}$ ” tidak sama dengan “turun pada $\R \setminus \{0\}$ ”. Variasi hanya bermakna pada interval.

Contoh 11.8 (Membandingkan tanpa menghitung)

Karena $\sqrt x$ tegas naik, $\sqrt{7} < \sqrt{8}$ ; karena $x^2$ tegas turun pada $\intoc{-\infty}{0}$ , berlaku $(-3)^2 > (-2)^2$ . Kemonotonan mengubah perbandingan antarpeta menjadi perbandingan antarmasukan.

11.4 Fungsi baru dari fungsi lama

Proposisi 11.9 (Transformasi)

Misalkan $u$ sebuah fungsi pada interval $I$ dan $k \in \R$ .

$u + k$ mempunyai variasi yang sama dengan $u$ pada $I$ ; kurvanya adalah kurva $u$ yang tergeser tegak sebesar $k$ .
Untuk $\lambda > 0$ , $\lambda u$ mempunyai variasi yang sama dengan $u$ ; untuk $\lambda < 0$ , variasinya terbalik.
Jika $u \geq 0$ pada $I$ , maka $\sqrt u$ mempunyai variasi yang sama dengan $u$ .
Jika $u \neq 0$ dan $u$ bertanda tetap pada $I$ , maka $\frac1u$ mempunyai variasi yang berlawanan dengan variasi $u$ .

Bukti. Misalkan $u < v$ di $I$ (dengan menyalahgunakan notasi, kita membandingkan nilai $x$ dengan $u < v$ ; tulislah $s = u(x_1)$ , $t = u(x_2)$ untuk peta $x_1 < x_2$ ).

1. $(u+k)(x_2) - (u+k)(x_1) = t - s$ : selisih petanya tidak berubah, sehingga tandanya pun tidak berubah.

2. $\lambda t - \lambda s = \lambda(t - s)$ : tandanya tetap bila $\lambda > 0$ , dan terbalik bila $\lambda < 0$ .

3. Jika $u$ naik dan $x_1 < x_2$ , maka $0 \leq s \leq t$ , dan karena $\sqrt{}$ bersifat naik (Proposisi 11.6) diperoleh $\sqrt s \leq \sqrt t$ . Alasan yang sama berlaku untuk kasus turun.

4. Jika $u$ naik, $0 < s \leq t$ (atau $s \leq t < 0$ ), maka $\frac1s \geq \frac1t$ sebab $x \mapsto \frac1x$ turun pada masing-masing sisi $0$ : jadi urutannya terbalik. ∎

Contoh 11.10

Telaahlah $f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ pada $\R$ . Fungsi dalamnya $u(x) = x^2 + 1$ bernilai positif, turun pada $\intoc{-\infty}{0}$ dan naik pada $\intco{0}{+\infty}$ (kuadrat yang tergeser). Menurut butir 3, $f$ mempunyai variasi yang sama: turun lalu naik, dengan minimum $f(0) = 1$ .

Transformasi sedang bekerja: menggeser x2 ke atas sebesar 1 (merah) mempertahankan variasinya; menarik akar kuadratnya (jingga) mempertahankannya lagi, seperti pada . — Transformasi sedang bekerja: menggeser $x^2$ ke atas sebesar $1$ (merah) mempertahankan variasinya; menarik akar kuadratnya (jingga) mempertahankannya lagi, seperti pada Contoh 11.10.

11.5 Fungsi genap dan fungsi ganjil

Definisi 11.11 (Paritas)

Misalkan $f$ terdefinisi pada daerah asal $D$ yang setangkup terhadap $0$ (artinya $-x \in D$ setiap kali $x \in D$ ). Fungsi $f$ disebut genap bila $f(-x) = f(x)$ untuk semua $x \in D$ , dan ganjil bila $f(-x) = -f(x)$ untuk semua $x \in D$ .

Proposisi 11.12 (Makna geometrisnya)

Kurva fungsi genap simetris terhadap sumbu $y$ ; kurva fungsi ganjil simetris terhadap titik asal.

Bukti. Jika $f$ genap dan $(x, y)$ terletak pada kurvanya (jadi $y = f(x)$ ), maka $f(-x) = f(x) = y$ : titik cerminnya $(-x, y)$ pun terletak pada kurvanya. Jika $f$ ganjil, $f(-x) = -y$ : titik $(-x, -y)$ , cerminan $(x,y)$ terhadap titik asal, terletak pada kurvanya. ∎

Contoh 11.13

$x^2$ dan $\abs x$ genap; $x^3$ dan $\frac1x$ ganjil; $f(x) = x^2 + x$ bukan keduanya: $f(-1) = 0$ padahal $f(1) = 2$ , jadi $f(-1) \neq \pm f(1)$ . Paritas memangkas separuh pekerjaan: fungsi genap atau ganjil hanya perlu ditelaah pada $\intco{0}{+\infty}$ .

11.6 Latihan

Latihan 11.1 ★

Berikan daerah asal setiap fungsi berikut:

f(x) = \sqrt{3 - x}, \qquad g(x) = \frac{1}{x^2 - 4}, \qquad h(x) = \frac{\sqrt{x}}{x - 5} .

Solusi

Solusi Latihan 11.1.

$f$ : menuntut $3 - x \geq 0$ , daerah asalnya $\intoc{-\infty}{3}$ .

$g$ : menuntut $x^2 - 4 \neq 0$ , yaitu $x \neq \pm 2$ : daerah asalnya $\R \setminus \{-2, 2\}$ .

$h$ : menuntut $x \geq 0$ dan $x \neq 5$ : daerah asalnya $\intco{0}{5} \cup \intoo{5}{+\infty}$ .

Latihan 11.2 ★

Dengan memakai variasi fungsi acuan, bandingkan tanpa kalkulator:

\sqrt{11} \text{ dan } \sqrt{13}; \qquad (-2.1)^2 \text{ dan } (-2.05)^2; \qquad \frac{1}{0.9} \text{ dan } \frac{1}{1.1}; \qquad (-1.01)^3 \text{ dan } (-0.99)^3 .

Solusi

Solusi Latihan 11.2.

$\sqrt{11} < \sqrt{13}$ sebab $\sqrt{}$ bersifat naik dan $11 < 13$ .

$(-2.1)^2 > (-2.05)^2$ sebab $x^2$ turun pada $\intoc{-\infty}{0}$ dan $-2.1 < -2.05$ .

$\frac{1}{0.9} > \frac{1}{1.1}$ sebab $\frac1x$ turun pada $\intoo{0}{+\infty}$ dan $0.9 < 1.1$ .

$(-1.01)^3 < (-0.99)^3$ sebab $x^3$ naik dan $-1.01 < -0.99$ .

Latihan 11.3 ★

Tentukan apakah setiap fungsi berikut genap, ganjil, atau bukan keduanya:

f(x) = 3x^4 - x^2, \qquad g(x) = x^3 + x, \qquad h(x) = x^2 + x^3, \qquad k(x) = \frac{x}{x^2+1} .

Solusi

Solusi Latihan 11.3.

$f(-x) = 3(-x)^4 - (-x)^2 = 3x^4 - x^2 = f(x)$ : genap.

$g(-x) = -x^3 - x = -g(x)$ : ganjil.

$h(1) = 2$ dan $h(-1) = 1 - 1 = 0$ , jadi $h(-1)$ bukan $h(1)$ dan bukan pula $-h(1)$ : bukan genap maupun ganjil.

$k(-x) = \frac{-x}{x^2+1} = -k(x)$ : ganjil.

Latihan 11.4 ★

Sebuah fungsi $f$ mempunyai perilaku variasi berikut: naik pada $\intcc{-3}{1}$ dari $f(-3) = -2$ ke $f(1) = 4$ , lalu turun pada $\intcc{1}{5}$ sampai $f(5) = 0$ . Berapa penyelesaian yang dipunyai persamaan $f(x) = 1$ pada $\intcc{-3}{5}$ ? Lalu $f(x) = 5$ ?

Solusi

Solusi Latihan 11.4.

Bacalah tabel variasinya. Pada $\intcc{-3}{1}$ , $f$ mendaki dari $-2$ ke $4$ dan melewati nilai $1$ tepat sekali; pada $\intcc{1}{5}$ fungsi itu menurun dari $4$ ke $0$ dan melewati $1$ sekali lagi: jadi persamaan $f(x) = 1$ mempunyai $2$ penyelesaian. Maksimum $f$ adalah $f(1) = 4 < 5$ , sehingga $f(x) = 5$ tidak mempunyai penyelesaian.

Latihan 11.5 ★★

Dengan Metode 11.5 (tanda $f(v) - f(u)$ ), buktikan bahwa $f(x) = x^2 - 4x$ tegas naik pada $\intco{2}{+\infty}$ .

Solusi

Solusi Latihan 11.5.

Misalkan $2 \leq u < v$ . Maka

f(v) - f(u) = v^2 - 4v - u^2 + 4u = (v-u)(v+u) - 4(v-u) = (v - u)(u + v - 4).

Kedua faktornya positif: $v - u > 0$ , dan $u + v > 2 + 2 = 4$ sebab $u \geq 2$ dan $v > 2$ . Jadi $f(v) > f(u)$ : $f$ tegas naik pada $\intco{2}{+\infty}$ .

Latihan 11.6 ★★

Tanpa menghitung turunan apa pun, berikan variasi

f(x) = \sqrt{5 - x} \ \text{ di } \intoc{-\infty}{5}, \quad g(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \ \text{ di } \intco{0}{+\infty}, \quad h(x) = 3 - 2\sqrt{x} \ \text{ di } \intco{0}{+\infty}.

Solusi

Solusi Latihan 11.6.

$f = \sqrt{u}$ dengan $u(x) = 5 - x$ yang turun dan taknegatif pada $\intoc{-\infty}{5}$ : jadi $f$ turun di sana (Proposisi 11.9).

$g = \frac1u$ dengan $u(x) = x^2 + 1$ yang naik dan positif pada $\intco{0}{+\infty}$ : jadi $g$ turun di sana.

$h = 3 - 2\sqrt x$ : $\sqrt x$ naik, mengalikannya dengan $-2 < 0$ membalik arahnya, dan menambahkan $3$ tidak mengubah apa pun: jadi $h$ turun pada $\intco{0}{+\infty}$ .

Latihan 11.7 ★★

Misalkan $f(x) = (x-2)^2 - 3$ pada $\R$ .

Berikan variasi $f$ dan minimumnya.
Simpulkan variasi $g(x) = \frac{1}{(x-2)^2+1}$ dan maksimumnya. (Perhatikan $g = \frac{1}{f + 4}$ .)

Solusi

Solusi Latihan 11.7.

1. $f$ sudah dalam bentuk kanonik: turun pada $\intoc{-\infty}{2}$ , naik pada $\intco{2}{+\infty}$ , dengan minimum $f(2) = -3$ .

2. $g = \frac{1}{u}$ dengan $u(x) = (x-2)^2 + 1 = f(x) + 4$ . Pergeseran sebesar $4$ mempertahankan variasi $f$ , dan $u \geq 1 > 0$ . Mengambil kebalikannya membalik variasinya: $g$ naik pada $\intoc{-\infty}{2}$ dan turun pada $\intco{2}{+\infty}$ , dengan maksimum $g(2) = \frac{1}{1} = 1$ .

Latihan 11.8 ★★

Kurva sebuah fungsi $f$ melalui titik $(0, 1)$ , $(2, 3)$ dan $(4, 1)$ , serta $f$ naik pada $\intcc{0}{2}$ dan turun pada $\intcc{2}{4}$ . Sketsalah sebuah kurva yang mungkin, lalu sketsalah kurva $f + 2$ , kurva $-f$ , dan kurva $2f$ .

Solusi

Solusi Latihan 11.8.

Sebarang kurva berbentuk bukit yang melalui ketiga titik itu bisa dipakai. Lalu: $f + 2$ melalui $(0,3)$ , $(2,5)$ , $(4,3)$ , dengan variasi yang sama (pergeseran tegak); $-f$ melalui $(0,-1)$ , $(2,-3)$ , $(4,-1)$ dengan variasi yang terbalik (puncaknya menjadi lembah); $2f$ melalui $(0,2)$ , $(2,6)$ , $(4,2)$ , dengan variasi yang sama tetapi teregang secara tegak.

Latihan 11.9 ★★

Tunjukkan bahwa fungsi $f(x) = \frac{2x+1}{x+1}$ dapat ditulis $f(x) = 2 - \frac{1}{x+1}$ , lalu simpulkan variasinya pada $\intoo{-1}{+\infty}$ .

Solusi

Solusi Latihan 11.9.

$2 - \frac{1}{x+1} = \frac{2(x+1) - 1}{x+1} = \frac{2x+1}{x+1} = f(x)$ . Pada $\intoo{-1}{+\infty}$ , $u(x) = x + 1$ naik dan positif, sehingga $\frac1u$ turun, $-\frac1u$ naik, dan menambahkan $2$ tidak mengubah apa pun: jadi $f$ tegas naik pada $\intoo{-1}{+\infty}$ .

Latihan 11.10 ★★

Benar atau salah (berikan alasan atau contoh penyangkal):

Jumlah dua fungsi naik pada $I$ bersifat naik pada $I$ .
Hasil kali dua fungsi naik pada $I$ bersifat naik pada $I$ .
Jika $f$ naik pada $I$ , maka $f^2$ ( $= f \times f$ ) naik pada $I$ .

Solusi

Solusi Latihan 11.10.

1. Benar. Jika $u < v$ , maka $(f+g)(v) - (f+g)(u) = \bigl(f(v)-f(u)\bigr) + \bigl(g(v)-g(u)\bigr)$ merupakan jumlah dua bilangan taknegatif.

2. Salah. $f(x) = g(x) = x$ naik pada $\R$ , tetapi hasil kalinya $x^2$ tidak naik pada $\R$ (fungsi itu turun pada $\intoc{-\infty}{0}$ ). (Pernyataannya menjadi benar bila kedua fungsinya juga taknegatif.)

3. Salah. Contoh penyangkal yang sama: $f(x) = x$ naik pada $\R$ tetapi $f^2(x) = x^2$ tidak.

Latihan 11.11 ★★★

Misalkan $f(x) = x + \frac{1}{x}$ untuk $x > 0$ .

Tunjukkan bahwa untuk $0 < u < v$ berlaku $f(v) - f(u) = (v - u)\,\frac{uv - 1}{uv}$ .
Simpulkan bahwa $f$ tegas turun pada $\intoc{0}{1}$ dan tegas naik pada $\intco{1}{+\infty}$ .
Simpulkan bahwa $x + \frac1x \geq 2$ untuk semua $x > 0$ , dengan kesamaan hanya di $x = 1$ .

Solusi

Solusi Latihan 11.11.

1. Untuk $0 < u < v$ :

f(v) - f(u) = (v - u) + \frac1v - \frac1u = (v - u) + \frac{u - v}{uv} = (v - u)\left(1 - \frac{1}{uv}\right) = (v - u)\,\frac{uv - 1}{uv}.

2. Selalu berlaku $v - u > 0$ dan $uv > 0$ . Jika $0 < u < v \leq 1$ , maka $uv < 1$ , jadi $uv - 1 < 0$ dan $f(v) < f(u)$ : $f$ tegas turun pada $\intoc{0}{1}$ . Jika $1 \leq u < v$ , maka $uv > 1$ dan $f(v) > f(u)$ : $f$ tegas naik pada $\intco{1}{+\infty}$ .

3. $f$ turun sebelum $1$ dan naik sesudahnya, sehingga $f(x) \geq f(1) = 2$ untuk semua $x > 0$ , dengan kesamaan tepat di $x = 1$ . (Ketaksamaan ini muncul kembali dalam banyak rupa; bandingkan Contoh 10.3 dan ketaksamaan garis singgung pada Bab 22.)

11.7 Soal: Pabrik kesimetrian

Soal 11.1

Soal akhir pekan — setiap fungsi adalah bagian genap ditambah bagian ganjil: aturan paritas, permainan transformasi, dan minimum yang direbut tanpa kalkulus

Ada fungsi yang setangkup cermin, ada yang setangkup setengah putaran, dan kebanyakan bukan keduanya — namun sebuah keajaiban aljabar kecil mengatakan bahwa setiap fungsi, dengan tepat satu cara, adalah jumlah sepotong bagian setangkup cermin dan sepotong bagian setangkup setengah putaran. Soal ini membuktikan keajaiban itu, memainkan permainan transformasi pada kurva acuan (Proposisi 11.9), lalu ditutup dengan teknik pemfaktoran selisih pada Latihan 11.11, yang memenangkan soal peminimuman satu bab penuh sebelum turunan tiba.

Bagian I — Kefasihan dengan paritas.

Genap, ganjil, atau bukan keduanya (Definisi 11.11)? Berikan alasan masing-masing: $x^4 - 3x^2$ ; $x^3 - x$ ; $x^2 + x$ ; $\abs x$ ; $\frac1x$ .
Nyatakan makna geometris setiap putusannya (Proposisi 11.12): kesimetrian apa yang dipunyai kurva fungsi genap? Kurva fungsi ganjil?
Paritas berkalian seperti tanda: buktikan bahwa hasil kali dua fungsi ganjil bersifat genap, lalu lengkapkan seluruh tabel perkaliannya (genap $\times$ genap, genap $\times$ ganjil, ganjil $\times$ ganjil).
Akibat singkatnya: jika $f$ ganjil dan terdefinisi di $0$ , berapa $f(0)$ ? Jika $f$ genap dengan $f(3) = 7$ , berapa $f(-3)$ ? Lalu tunjukkan bahwa satu-satunya fungsi yang sekaligus genap dan ganjil adalah fungsi nol.
Berapa bagian kurva fungsi genap yang sudah menentukan seluruhnya? Berikan sebuah fungsi yang bukan genap maupun ganjil, lalu jelaskan apa yang gagal.

Bagian II — Teorema penguraian. Untuk sebuah fungsi $f$ pada daerah asal yang setangkup terhadap $0$ , tulislah

E(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2}, \qquad O(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2} .

Hitunglah $E$ dan $O$ untuk $f(x) = x^3 + x^2 + 1$ , lalu periksa: $E$ genap, $O$ ganjil, $E + O = f$ .
Buktikan pernyataan umumnya: untuk sebarang $f$ , fungsi $E$ genap, $O$ ganjil, dan $f = E + O$ — setiap fungsi terbelah menjadi bagian genap dan bagian ganjil.
Buktikan bahwa pembelahan itu tunggal: jika $f = E_1 + O_1 = E_2 + O_2$ dengan $E_i$ genap dan $O_i$ ganjil, pakailah pertanyaan 4 pada $E_1 - E_2$ .
Uraikan $f(x) = \dfrac{1}{1 - x}$ (untuk $x \neq \pm 1$ ): letakkan $E$ dan $O$ pada penyebut bersama $1 - x^2$ lalu sederhanakan.
Sekilas ke depan, masing-masing satu kalimat: bagian genap dan ganjil fungsi eksponen kelak menjadi sepasang fungsi kembar tahun berikutnya (kosinus dan sinus hiperbolik); dan naluri yang sama — membelah sebuah objek menjadi potongan yang setangkup lalu memperlakukan masing-masing dengan kesimetriannya sendiri — menggerakkan analisis bunyi dan isyarat pada jilid universitas. Mengapa pembelahan semacam itu berguna, secara umum?

Bagian III — Permainan transformasi.

Berangkat dari kurva $x \mapsto x^2$ , perikan secara tepat kurva $(x - 3)^2$ , $x^2 + 2$ , $(x - 3)^2 + 2$ , $-x^2$ , $2x^2$ (Proposisi 11.9).
Susutkan $f(x) = \abs{x - 2} + \abs{x + 2}$ menjadi rumus per selang pada ketiga interval yang dipotong oleh $-2$ dan $2$ , lalu perikan kurvanya (kurva itu punya dasar rata yang termasyhur).
Transformasi mana yang menghormati kegenapan? Putuskan, dengan bukti atau contoh penyangkal: pergeseran mendatar $f(x - 3)$ ; pergeseran tegak $f(x) + 2$ ; peregangan tegak $2 f(x)$ (semuanya diterapkan pada $f$ yang genap).
Selesaikan $\abs{x - 2} + \abs{x + 2} = 6$ dengan rumus per selang pada pertanyaan 12.
Merancang balik: sebuah parabola bertitik puncak $(2, -3)$ dan melalui $(0, 1)$ . Susunlah kembali persamaannya dalam bentuk kanonik.

Bagian IV — Minimum tanpa kalkulus.

Cerminkan Latihan 11.11 untuk $g(x) = x + \dfrac4x$ pada $\intoo{0}{+\infty}$ : tunjukkan $g(v) - g(u) = (v - u)\,\dfrac{uv - 4}{uv}$ , tentukan letak minimumnya, lalu berikan nilainya.
Terapkan: di antara semua persegi panjang berluas $16$ , mana yang kelilingnya paling kecil? (Tulislah $P = 2\left(x + \frac{16}{x}\right)$ lalu pakai mesin pertanyaan 16.) Seorang kawan lama menutup jawabannya.
Tentukan variasi $h(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ pada seluruh $\R$ , dengan memadukan alasan komposisi pada $\intco{0}{+\infty}$ dan alasan paritas untuk sisanya.
Titik terdekat: carilah titik pada kurva $y = \sqrt x$ yang terdekat ke $(3, 0)$ . (Minimumkan kuadrat jaraknya — sebuah bentuk kuadrat dalam $x$ — lalu jelaskan mengapa meminimumkan kuadratnya sah.)
Penutup, keliling pabriknya: kurva acuan adalah bahan mentahnya; transformasi adalah mesinnya; paritas dan penguraian adalah kendali mutunya; pemfaktoran selisih adalah bangku ukurnya. Satu kalimat untuk masing-masing — lalu sebutkan perkakas ampuh yang diantarkan bab berikutnya.

Solusi

Solusi Soal 11.1.

1. $x^4 - 3x^2$ : genap ( $(-x)^4 - 3(-x)^2 = x^4 - 3x^2$ ). $x^3 - x$ : ganjil. $x^2 + x$ : bukan keduanya ( $f(-1) = 0 \neq f(1) = 2$ dan $\neq -f(1)$ ). $\abs x$ : genap. $\frac1x$ : ganjil.

2. Genap: kurvanya setangkup terhadap sumbu $y$ (cermin). Ganjil: setangkup terhadap titik asal (setengah putaran).

3. Jika $f$ dan $g$ ganjil: $(fg)(-x) = f(-x)g(-x) = (-f(x))(-g(x)) = (fg)(x)$ : jadi genap. Tabelnya: genap $\times$ genap $=$ genap; genap $\times$ ganjil $=$ ganjil; ganjil $\times$ ganjil $=$ genap — yaitu aturan tanda dengan paritas.

4. Ganjil di $0$ : $f(0) = -f(0)$ , jadi $f(0) = 0$ . Genap: $f(-3) = f(3) = 7$ . Sekaligus genap dan ganjil: $f(x) = f(-x) = -f(x)$ untuk semua $x$ , jadi $2f(x) = 0$ : $f$ adalah fungsi nol.

5. Paruh kanannya ( $x \geq 0$ ) sudah menentukan sebuah fungsi genap sepenuhnya: paruh kirinya adalah cerminannya. Bukan genap maupun ganjil: $x^2 + x$ (pertanyaan 1) — kedua kesimetriannya gagal di $x = 1$ .

6. $E(x) = \frac{(x^3 + x^2 + 1) + (-x^3 + x^2 + 1)}{2} = x^2 + 1$ (genap), $O(x) = \frac{(x^3 + x^2 + 1) - (-x^3 + x^2 + 1)}{2} = x^3$ (ganjil); jumlahnya adalah $f$ .

7. $E(-x) = \frac{f(-x) + f(x)}{2} = E(x)$ : genap. $O(-x) = \frac{f(-x) - f(x)}{2} = -O(x)$ : ganjil. Lalu $E(x) + O(x) = f(x)$ lewat penjumlahan langsung: jadi setiap fungsi terbelah.

8. Dari $E_1 + O_1 = E_2 + O_2$ : $E_1 - E_2 = O_2 - O_1$ . Ruas kirinya genap, ruas kanannya ganjil — jadi fungsi itu sekaligus keduanya, sehingga nol (pertanyaan 4): $E_1 = E_2$ dan $O_1 = O_2$ . Hanya ada satu pembelahan.

9. $E(x) = \frac12\left(\frac{1}{1 - x} + \frac{1}{1 + x}\right) = \frac12 \cdot \frac{(1 + x) + (1 - x)}{1 - x^2} = \frac{1}{1 - x^2}$ , dan $O(x) = \frac12 \cdot \frac{(1 + x) - (1 - x)}{1 - x^2} = \frac{x}{1 - x^2}$ . Periksa: $E$ genap, $O$ ganjil, dan jumlahnya $\frac{1 + x}{1 - x^2} = \frac{1 + x}{(1 - x)(1 + x)} = \frac{1}{1 - x} = f(x)$ .

10. Karena setiap potongnya menuruti sebuah kesimetrian, separuh pekerjaan (dan separuh datanya) sudah cukup untuk masing-masing: selesaikan di satu sisi, lalu cerminkan ke sisi lain — dan banyak operasi (pengintegralan, deret, analisis isyarat) memperlakukan potongan yang setangkup jauh lebih sederhana daripada fungsi mentah.

11. $(x-3)^2$ : tergeser $3$ ke kanan. $x^2 + 2$ : tergeser $2$ ke atas. $(x-3)^2 + 2$ : keduanya. $-x^2$ : terbalik ke bawah. $2x^2$ : teregang tegak sebesar $2$ (cekungannya lebih sempit).

12. Untuk $x \geq 2$ : $(x - 2) + (x + 2) = 2x$ . Untuk $-2 \leq x \leq 2$ : $(2 - x) + (x + 2) = 4$ . Untuk $x \leq -2$ : $-2x$ . Kurvanya menurun dengan gradien $-2$ , mendatar pada tinggi $4$ antara $-2$ dan $2$ , lalu mendaki dengan gradien $2$ : sebuah lembah berlantai rata.

13. Pergeseran tegak: $f(x) + 2$ tetap genap ( $f(-x) + 2 = f(x) + 2$ ). Peregangan tegak: $2f(x)$ tetap genap. Pergeseran mendatar: $(x - 3)^2$ tidak genap ( $f(-1) = 16 \neq 4 = f(1)$ ): bergeser ke samping merusak cerminnya.

14. Pada lantai ratanya nilainya $4 \neq 6$ . Untuk $x \geq 2$ : $2x = 6$ , $x = 3$ . Untuk $x \leq -2$ : $-2x = 6$ , $x = -3$ . Penyelesaiannya: $\pm 3$ .

15. $f(x) = a(x - 2)^2 - 3$ dengan $f(0) = 4a - 3 = 1$ : jadi $a = 1$ , sehingga $f(x) = (x - 2)^2 - 3$ .

16. $g(v) - g(u) = (v - u) + 4\,\frac{u - v}{uv} = (v - u)\,\frac{uv - 4}{uv}$ : bernilai negatif untuk $u < v$ dengan $uv < 4$ , dan positif dengan $uv > 4$ : jadi turun pada $\intoc{0}{2}$ , naik pada $\intco{2}{+\infty}$ ; minimumnya di $x = 2$ , bernilai $g(2) = 4$ .

17. Sisinya $x$ dan $\frac{16}{x}$ : $P(x) = 2\left(x + \frac{16}{x}\right)$ , yang minimum (dengan mesin pertanyaan 16 dan $4 \to 16$ , titik baliknya $\sqrt{16} = 4$ ) di $x = 4$ : yaitu persegi $4 \times 4$ , kelilingnya $16$ — jawaban Dido, kini terbukti untuk setiap panjang sisi real.

18. Pada $\intco{0}{+\infty}$ : $x \mapsto x^2 + 1$ naik, dan $\sqrt{\phantom{x}}$ naik, sehingga komposisinya naik. Lalu $h(-x) = \sqrt{x^2 + 1} = h(x)$ : $h$ genap, sehingga menurut kesimetrian cerminnya fungsi itu turun pada $\intoc{-\infty}{0}$ . Minimumnya $h(0) = 1$ .

19. Kuadrat jarak ke $(3, 0)$ dari titik $(x, \sqrt x)$ adalah $d^2(x) = (x - 3)^2 + x = x^2 - 5x + 9$ , yang minimum di $x = \frac52$ : jadi titik terdekatnya $\left(\frac52, \sqrt{\frac52}\right)$ , dengan jarak $\sqrt{\frac{11}{4}} = \frac{\sqrt{11}}{2}$ . Meminimumkan $d^2$ sah karena pengkuadratan tegas naik pada bilangan positif: $d$ dan $d^2$ mencapai dasar di tempat yang sama.

20. Bahan mentahnya: kurva acuan, yang dihafal di luar kepala. Mesinnya: pergeseran, pembalikan dan peregangan yang merangkai grafik baru dari yang lama. Kendali mutunya: paritas dan pembelahan genap–ganjil, yang memangkas separuh setiap telaah. Bangku ukurnya: pemfaktoran $f(v) - f(u)$ , yang membaca variasi dan minimum secara langsung. Perkakas ampuh bab berikutnya: turunan, yang membaca semuanya sekilas.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 395 istilah di glosarium