Matematika Sekolah Menengah Atas · Grades 10–12

4Fungsi Acuan

Segelintir fungsi sederhana — afin, pangkat dua, kebalikan, akar kuadrat, pangkat tiga — muncul di mana-mana, sendirian atau berpadu. Hafal di luar kepala grafik dan variasinya mengubah banyak soal menjadi sebuah sketsa singkat. Bab ini menelaah masing-masing secara berurutan dan membuktikan variasinya dengan teknik pembandingan dari Bab 3.

4.1 Fungsi afin

Definisi 4.1 (Fungsi afin)

Sebuah fungsi afin adalah fungsi berbentuk

f(x) = mx + p,

dengan $m$ dan $p$ bilangan real tetap. Grafiknya berupa garis lurus: $m$ adalah gradien dan $p$ adalah titik potong sumbu- $y$ (garis itu memotong sumbu tegak di $(0, p)$ ). Bila $p = 0$ fungsi itu disebut linear: $f(x) = mx$ menyatakan kesebandingan.

Proposisi 4.2 (Gradien dan variasi)

Misalkan $f(x) = mx + p$ .

Untuk sebarang dua masukan berbeda $u \neq v$ : $m = \dfrac{f(v) - f(u)}{v - u}$ (gradien adalah perubahan keluaran per satu satuan perubahan masukan).
Jika $m > 0$ , maka $f$ tegas naik pada $\R$ ; jika $m < 0$ , tegas turun; jika $m = 0$ , tetap.

Bukti. 1. Hitunglah $f(v) - f(u) = (mv + p) - (mu + p) = m(v - u)$ , lalu bagilah dengan $v - u \neq 0$ .

2. Jika $u < v$ , maka $f(v) - f(u) = m(v-u)$ bertanda sama dengan $m$ , sebab $v - u > 0$ : untuk $m$ positif diperoleh $f(u) < f(v)$ (naik), untuk $m$ negatif diperoleh $f(u) > f(v)$ (turun). ∎

Dua fungsi afin: naik untuk m = 1/2 > 0, turun untuk m = -1 < 0. Bergerak satu satuan ke kanan mengubah y sebesar m. — Dua fungsi afin: naik untuk $m = \frac12 > 0$ , turun untuk $m = -1 < 0$ . Bergerak satu satuan ke kanan mengubah $y$ sebesar $m$ .

Contoh 4.3

Carilah fungsi afin yang grafiknya melalui $A(1, 3)$ dan $B(4, 9)$ . Gradiennya adalah

m = \frac{9 - 3}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2 .

Jadi $f(x) = 2x + p$ , dan $f(1) = 3$ memberi $2 + p = 3$ , sehingga $p = 1$ : $f(x) = 2x + 1$ . Periksa dengan $B$ : $f(4) = 9$ .

4.2 Fungsi pangkat dua

Proposisi 4.4 (Fungsi pangkat dua)

Fungsi $f(x) = x^2$ , terdefinisi pada $\R$ :

tegas turun pada $\intoc{-\infty}{0}$ dan tegas naik pada $\intco{0}{+\infty}$ , dengan minimum $0$ di $x = 0$ ;
memenuhi $f(-x) = f(x)$ untuk semua $x$ : grafiknya, sebuah parabola, simetris terhadap sumbu tegak.

Bukti. 1. Misalkan $0 \leq u < v$ . Maka

f(v) - f(u) = v^2 - u^2 = (v - u)(v + u) > 0,

sebab $v - u > 0$ dan $v + u > 0$ : jadi $f$ tegas naik pada $\intco{0}{+\infty}$ . Jika $u < v \leq 0$ , maka $v - u > 0$ tetapi $v + u < 0$ , sehingga $f(v) - f(u) < 0$ : tegas turun. Akhirnya $x^2 \geq 0 = f(0)$ untuk semua $x$ .

2. $(-x)^2 = x^2$ ; jadi titik $(x, x^2)$ dan $(-x, x^2)$ , yang saling bercermin terhadap sumbu tegak, sama-sama terletak pada grafiknya. ∎

Catatan 4.5 (Kuadrat dan urutan)

Karena fungsi pangkat dua turun di sisi negatif, mengambil kuadrat membalik urutan bilangan negatif: $-3 < -2$ tetapi $9 > 4$ . Jangan pernah mengkuadratkan kedua ruas suatu pertidaksamaan tanpa memeriksa tandanya.

4.3 Fungsi kebalikan

Proposisi 4.6 (Fungsi kebalikan)

Fungsi $f(x) = \dfrac1x$ , terdefinisi untuk $x \neq 0$ :

tegas turun pada $\intoo{-\infty}{0}$ dan tegas turun pada $\intoo{0}{+\infty}$ ;
memenuhi $f(-x) = -f(x)$ : grafiknya, sebuah hiperbola, simetris terhadap titik asal.

Bukti. 1. Misalkan $0 < u < v$ . Maka

f(v) - f(u) = \frac1v - \frac1u = \frac{u - v}{uv} < 0,

sebab $u - v < 0$ dan $uv > 0$ : tegas turun pada $\intoo{0}{+\infty}$ . Pada $\intoo{-\infty}{0}$ pecahan yang sama mempunyai $u - v < 0$ dan lagi-lagi $uv > 0$ (hasil kali dua bilangan negatif), jadi $f$ turun di sana juga.

2. $\frac{1}{-x} = -\frac1x$ . ∎

Catatan 4.7

Hati-hati: $\frac1x$ tidak turun pada seluruh daerah asalnya. Dari $u = -1$ ke $v = 1$ nilainya melompat dari $-1$ naik ke $1$ . Kedua cabangnya harus ditelaah terpisah.

Parabola y = x2 (simetris terhadap sumbu tegak) dan hiperbola y = 1x (dua cabang, simetris terhadap titik asal). — Parabola $y = x^2$ (simetris terhadap sumbu tegak) dan hiperbola $y = \frac1x$ (dua cabang, simetris terhadap titik asal).

4.4 Akar kuadrat dan pangkat tiga

Proposisi 4.8 (Fungsi akar kuadrat)

Fungsi $f(x) = \sqrt{x}$ , terdefinisi pada $\intco{0}{+\infty}$ , bersifat tegas naik.

Bukti. Misalkan $0 \leq u < v$ . Kalikan dan bagilah dengan bentuk sekawan:

\sqrt v - \sqrt u = \frac{(\sqrt v - \sqrt u)(\sqrt v + \sqrt u)}{\sqrt v + \sqrt u} = \frac{v - u}{\sqrt v + \sqrt u} > 0,

sebab $v - u > 0$ dan $\sqrt v + \sqrt u > 0$ (perhatikan $v > 0$ , jadi $\sqrt v > 0$ ). ∎

Proposisi 4.9 (Fungsi pangkat tiga)

Fungsi $f(x) = x^3$ , terdefinisi pada $\R$ , bersifat tegas naik, dan grafiknya simetris terhadap titik asal.

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Akar kuadrat (terdefinisi hanya untuk x ≥ 0) dan pangkat tiga, keduanya naik. — Akar kuadrat (terdefinisi hanya untuk $x \geq 0$ ) dan pangkat tiga, keduanya naik.

Proposisi 4.10 (Membandingkan $x$ , $x^2$ dan $\sqrt x$ )

Untuk $0 < x < 1$ : $x^2 < x < \sqrt x$ . Untuk $x > 1$ : $\sqrt x < x < x^2$ . Di $x = 0$ dan $x = 1$ ketiga nilainya sama.

Bukti. Andaikan $0 < x < 1$ . Mengalikan $x < 1$ dengan $x > 0$ memberi $x^2 < x$ . Selanjutnya, $x < \sqrt x$ : karena kedua ruas positif dan pengkuadratan bersifat naik pada bilangan positif, ketaksamaan ini setara dengan $x^2 < x$ , yang baru saja dibuktikan. Untuk $x > 1$ , mengalikan $x > 1$ dengan $x$ memberi $x^2 > x$ , dan $\sqrt x < x$ menyusul dengan alasan pengkuadratan yang sama. ∎

Ketiga kurva berpotongan di (0,0) dan (1,1) lalu bertukar urutan di sana: antara 0 dan 1, x2 yang terkecil dan √ x yang terbesar; setelah 1 urutannya terbalik. — Ketiga kurva berpotongan di $(0,0)$ dan $(1,1)$ lalu bertukar urutan di sana: antara $0$ dan $1$ , $x^2$ yang terkecil dan $\sqrt x$ yang terbesar; setelah $1$ urutannya terbalik.

Metode 4.11 (Membandingkan peta)

Untuk membandingkan $f(a)$ dan $f(b)$ pada sebuah fungsi acuan $f$ :

tempatkan $a$ dan $b$ pada interval yang variasi $f$ -nya sudah diketahui;
jika $f$ naik di sana, petanya berurutan sama dengan masukannya; jika $f$ turun, urutannya terbalik;
jika $a$ dan $b$ tidak berada pada interval kemonotonan yang sama, uruslah tandanya lebih dahulu (misalnya untuk pangkat dua: satu masukan negatif dan satu masukan positif).

Contoh 4.12

Bandingkan $\dfrac{1}{2.3}$ dan $\dfrac{1}{2.4}$ : kedua masukannya berada di $\intoo{0}{+\infty}$ , tempat fungsi kebalikan turun, dan $2.3 < 2.4$ , jadi $\dfrac{1}{2.3} > \dfrac{1}{2.4}$ . Bandingkan $(-1.2)^2$ dan $(-1.5)^2$ : pada $\intoc{-\infty}{0}$ pangkat dua turun, dan $-1.5 < -1.2$ , jadi $(-1.5)^2 > (-1.2)^2$ — memang $2.25 > 1.44$ .

4.5 Latihan

Latihan 4.1 ★

Untuk setiap fungsi afin berikut, berikan gradiennya, titik potong sumbu- $y$ -nya, dan sebutkan apakah fungsi itu naik atau turun:

f(x) = 3x - 2, \qquad g(x) = -\tfrac12 x + 4, \qquad h(x) = 7, \qquad k(x) = -x .

Solusi

Solusi Latihan 4.1.

$f$ : gradien $3$ , titik potong $-2$ , naik. $g$ : gradien $-\frac12$ , titik potong $4$ , turun. $h$ : gradien $0$ , titik potong $7$ , tetap. $k$ : gradien $-1$ , titik potong $0$ , turun (dan linear).

Latihan 4.2 ★

Carilah fungsi afin yang grafiknya melalui $(2, 1)$ dan $(5, 10)$ ; lalu yang melalui $(-1, 4)$ dan $(3, -4)$ .

Solusi

Solusi Latihan 4.2.

Melalui $(2,1)$ dan $(5,10)$ : gradien $m = \frac{10 - 1}{5 - 2} = 3$ ; lalu $1 = 3 \times 2 + p$ memberi $p = -5$ : $f(x) = 3x - 5$ .

Melalui $(-1,4)$ dan $(3,-4)$ : gradien $m = \frac{-4 - 4}{3 - (-1)} = \frac{-8}{4} = -2$ ; lalu $4 = -2 \times (-1) + p$ memberi $p = 2$ : $f(x) = -2x + 2$ .

Latihan 4.3 ★

Tanpa kalkulator, bandingkan:

(3.1)^2 \text{ dan } (3.2)^2; \qquad (-2.7)^2 \text{ dan } (-2.8)^2; \qquad \frac{1}{5.1} \text{ dan } \frac{1}{5.2}; \qquad \sqrt{17} \text{ dan } \sqrt{15}.

Solusi

Solusi Latihan 4.3.

$(3.1)^2 < (3.2)^2$ : pangkat dua naik pada bilangan positif.

$(-2.7)^2 < (-2.8)^2$ : pangkat dua turun pada bilangan negatif dan $-2.8 < -2.7$ .

$\frac{1}{5.1} > \frac{1}{5.2}$ : kebalikan turun pada bilangan positif.

$\sqrt{17} > \sqrt{15}$ : akar kuadrat naik.

Latihan 4.4 ★

Dengan memakai grafik fungsi pangkat dua, selesaikan $x^2 = 16$ , lalu $x^2 \leq 16$ , lalu $x^2 > 9$ .

Solusi

Solusi Latihan 4.4.

$x^2 = 16$ : dua penyelesaian, $x = 4$ dan $x = -4$ (garis mendatar $y = 16$ memotong parabolanya dua kali).

$x^2 \leq 16$ : parabolanya berada di bawah garis itu di antara kedua titik potongnya: $x \in \intcc{-4}{4}$ .

$x^2 > 9$ : parabolanya tegas berada di atas $y = 9$ di luar $\intcc{-3}{3}$ : $x \in \intoo{-\infty}{-3} \cup \intoo{3}{+\infty}$ .

Latihan 4.5 ★

Misalkan $x \in \intoo{0}{1}$ . Urutkan bilangan $x$ , $x^2$ , $x^3$ dan $\sqrt x$ dari yang terkecil sampai yang terbesar, lalu periksa jawabanmu dengan $x = 0.25$ .

Solusi

Solusi Latihan 4.5.

Untuk $0 < x < 1$ : mengalikan $x < 1$ berulang kali dengan $x$ memberi $x^3 < x^2 < x$ , dan Proposisi 4.10 memberi $x < \sqrt x$ , sehingga

x^3 < x^2 < x < \sqrt x .

Periksa dengan $x = 0.25$ : $x^3 = 0.015625$ , $x^2 = 0.0625$ , $x = 0.25$ , $\sqrt x = 0.5$ .

Latihan 4.6 ★★

Selesaikan secara grafis, lalu secara aljabar: $\dfrac1x = 2$ , dan $\dfrac1x < 2$ untuk $x > 0$ . Apa yang berubah bila $x < 0$ juga diizinkan?

Solusi

Solusi Latihan 4.6.

$\frac1x = 2$ mempunyai penyelesaian tunggal $x = \frac12$ (hiperbolanya memotong garis mendatar $y = 2$ sekali, pada cabang positifnya).

Untuk $x > 0$ : $\frac1x < 2$ . Mengalikan dengan $x > 0$ : $1 < 2x$ , jadi $x > \frac12$ : himpunan penyelesaiannya $\intoo{\frac12}{+\infty}$ .

Bila $x < 0$ juga diizinkan: setiap $x$ negatif memenuhi $\frac1x < 0 < 2$ , sehingga himpunan penyelesaian lengkapnya adalah $\intoo{-\infty}{0} \cup \intoo{\frac12}{+\infty}$ .

Latihan 4.7 ★★

Dengan mengetahui bahwa fungsi pangkat dua turun pada $\intoc{-\infty}{0}$ dan naik pada $\intco{0}{+\infty}$ , apitlah $x^2$ bila:

\text{(a) } x \in \intcc{2}{5}; \qquad \text{(b) } x \in \intcc{-3}{-1}; \qquad \text{(c) } x \in \intcc{-2}{3}.

(Pada kasus (c), berhati-hatilah: minimum $x^2$ tidak berada di titik ujung.)

Solusi

Solusi Latihan 4.7.

(a) Pada $\intcc{2}{5}$ , semua masukannya positif dan pengkuadratan naik: $4 \leq x^2 \leq 25$ .

(b) Pada $\intcc{-3}{-1}$ , pengkuadratan turun: kuadrat terbesarnya berasal dari $-3$ : $1 \leq x^2 \leq 9$ .

(c) Pada $\intcc{-2}{3}$ , intervalnya memuat $0$ , tempat kuadratnya mencapai minimum $0$ ; maksimumnya adalah yang lebih besar di antara $(-2)^2 = 4$ dan $3^2 = 9$ . Jadi $0 \leq x^2 \leq 9$ .

Latihan 4.8 ★★

Sebuah perusahaan taksi menarik biaya tetap $4$ ditambah $1.5$ per kilometer; perusahaan lain tanpa biaya tetap dan $2$ per kilometer. Modelkan masing-masing harga dengan fungsi afin dari jarak $x$ , gambarlah kedua garisnya, lalu carilah mulai jarak berapa perusahaan pertama lebih murah.

Solusi

Solusi Latihan 4.8.

Perusahaan pertama: $f(x) = 1.5x + 4$ ; yang kedua: $g(x) = 2x$ . Yang pertama lebih murah apabila

1.5x + 4 < 2x \ \Longleftrightarrow\ 4 < 0.5x \ \Longleftrightarrow\ x > 8 .

Setelah $8$ km, perusahaan pertama lebih murah; tepat pada $8$ km keduanya menarik biaya $16$ .

Latihan 4.9 ★★

Tunjukkan bahwa untuk semua $a, b \geq 0$ : $\sqrt{a + b} \leq \sqrt a + \sqrt b$ . (Petunjuk: kedua ruas taknegatif, jadi bandingkan kuadratnya.) Kapan kesamaannya berlaku?

Solusi

Solusi Latihan 4.9.

Kedua ruas taknegatif, sehingga ketaksamaannya setara dengan ketaksamaan antara kuadratnya:

\left(\sqrt{a+b}\right)^2 = a + b \qquad\text{dan}\qquad \left(\sqrt a + \sqrt b\right)^2 = a + 2\sqrt a \sqrt b + b .

Karena $2\sqrt a\sqrt b \geq 0$ , kuadrat kedua paling sedikit sama dengan yang pertama, dan itu membuktikan $\sqrt{a+b} \leq \sqrt a + \sqrt b$ . Kesamaan berlaku tepat ketika $\sqrt a \sqrt b = 0$ , yaitu ketika $a = 0$ atau $b = 0$ .

Latihan 4.10 ★★★

Misalkan $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$ , terdefinisi untuk $x \neq 1$ .

Tunjukkan bahwa $f(x) = 2 + \dfrac{3}{x - 1}$ untuk semua $x \neq 1$ .
Simpulkan variasi $f$ pada $\intoo{1}{+\infty}$ dari variasi fungsi kebalikan.

Solusi

Solusi Latihan 4.10.

1. Samakan penyebut ruas kanannya:

2 + \frac{3}{x-1} = \frac{2(x-1) + 3}{x - 1} = \frac{2x + 1}{x - 1} = f(x).

2. Pada $\intoo{1}{+\infty}$ , ketika $x$ membesar, $x - 1$ membesar dan tetap positif, sehingga $\frac{3}{x-1}$ mengecil (fungsi kebalikan, dikalikan konstanta positif $3$ ), jadi $f(x) = 2 + \frac{3}{x-1}$ mengecil: $f$ tegas turun pada $\intoo{1}{+\infty}$ .

4.6 Soal: Hukum alam berbicara dengan fungsi acuan

Soal 4.1

Soal akhir pekan — jarak pengereman tumbuh seperti $v^2$ , tuas menuruti $1/d$ , planet mengikuti $a^{3/2}$ : membaca fisika dengan fungsi acuan

Bukalah sebuah buku fisika dan grafik yang itu-itu juga muncul di setiap halaman: parabola, hiperbola, kurva akar. Alam menuliskan hukumnya dengan fungsi acuan bab ini — dan mengenali bentuknya (Proposisi 4.4, Proposisi 4.6, Proposisi 4.8, Proposisi 4.9) sudah cukup untuk mengerem mobil, menyeimbangkan tuas, dan mengukur waktu edar planet. Puncaknya adalah hukum ketiga Kepler, yang dibaca langsung dari data tata surya.

Bagian I — Hukum kuadrat pengereman. Sebuah aturan praktis untuk jarak pengereman mobil di jalan kering: $d = \left(\frac{v}{10}\right)^{2}$ meter, pada laju $v$ km/jam.

Hitunglah jarak pengereman pada $30$ , $50$ , $90$ dan $130$ km/jam.
Melipatduakan lajunya mengalikan jarak pengereman dengan berapa? Jelaskan dari sifat penskalaan fungsi pangkat dua, lalu periksa pada $50 \to 100$ km/jam.
Forensik: bekas rem terukur $50$ m. Laju berapa yang dituduhkan rumus itu kepada pengemudinya (sampai satuan km/jam)? Fungsi acuan mana yang menjawab — dan pada daerah asal mana pembacaannya tidak bermakna ganda (Proposisi 4.8)?
Bandingkan tambahan jarak yang disebabkan oleh satu km/jam lebih cepat, pada laju rendah dan pada laju tinggi: hitunglah $d(31) - d(30)$ dan $d(91) - d(90)$ . Sifat parabola yang mana (Proposisi 4.4) yang digambarkan oleh kedua jawaban itu?
Pengereman yang sesungguhnya menambahkan waktu reaksi — sekitar satu detik, yang selama itu mobil menempuh $0.28v$ meter: $D(v) = 0.28v + \left(\frac{v}{10}\right)^2$ . Hitunglah $D(50)$ dan $D(130)$ . Manakah dari kedua suku itu — yang afin atau yang pangkat dua — yang menguasai laju dalam kota, dan mana yang menguasai laju di jalan tol?

Bagian II — Hiperbola dalam kehidupan sehari-hari.

Sebuah tuas seimbang apabila gaya $\times$ jarak bernilai sama pada kedua sisinya. Seorang anak $60$ kg duduk $2$ m dari poros; gaya penyeimbang pada jarak $d$ di sisi lain adalah $F(d) = \frac{120}{d}$ (dalam satuan setara kilogram). Hitunglah $F(0.5)$ , $F(1)$ , $F(3)$ .
Apa yang dikatakan variasi fungsi kebalikan (Proposisi 4.6) tentang tuas — dan mengapa kesesumbaran Archimedes (“beri aku tempat berpijak dan akan kugerakkan Bumi”) bersembunyi di ekor hiperbola? Apa yang melarang $d = 0$ ?
Bunyi dan cahaya meredup mengikuti kuadrat jaraknya: pada $1$ m dari sebuah lampu intensitasnya $100$ satuan; berikan nilainya pada $2$ , $3$ dan $10$ m. Jelaskan pangkat $2$ itu dengan sebuah bola: pada luas berapa cahaya itu tersebar pada jarak $d$ (soal batu nisan Archimedes di jilid sebelumnya)?
Sebuah bus untuk karyawisata berbiaya $600$ euro, dibagi rata di antara $n$ peserta. Buatlah tabel biaya per kepala untuk $n = 10, 20, 30$ , carilah berapa peserta yang menurunkannya menjadi $25$ euro atau kurang, lalu nyatakan apa yang dijanjikan — dan ditolak — oleh bentuk hiperbola ketika $n$ membesar.
Mencetak $x$ poster berbiaya $2x + 3$ euro ( $3$ euro untuk penyiapan). Tunjukkan bahwa biaya rata-rata per poster adalah $a(x) = 2 + \frac3x$ , uraikan variasinya, lalu tafsirkan asimtot mendatarnya secara ekonomi. (Bandingkan dengan aljabar Latihan 4.10.)

Bagian III — Keselarasan Kepler. Untuk setiap planet, misalkan $a$ jarak rata-ratanya ke Matahari (dalam satuan astronomi, Bumi $= 1$ ) dan $T$ kala edarnya (dalam tahun). Data: Mars $a = 1.52$ , $T = 1.88$ ; Jupiter $a = 5.20$ , $T = 11.86$ ; Saturnus $a = 9.54$ , $T = 29.4$ .

Hitunglah $a^3$ dan $T^2$ untuk Bumi, Mars dan Jupiter. Apa yang diperhatikan Kepler pada tahun 1618?
Nyatakan hukum itu sebagai fungsi: $T = \sqrt{a^3} = a\sqrt a$ . Ujilah pada Saturnus.
Dua ramalan: sebuah asteroid mengorbit pada $a = 4$ satuan astronomi — carilah kala edarnya (bilangannya keluar bulat); sebuah komet kembali setiap $27$ tahun — carilah jarak rata-ratanya (carilah sebuah pangkat tiga sempurna).
Tiga fungsi acuan yang mana yang dijalin bersama oleh hukum itu? Lalu aturan penskalaannya: ketika $a$ dikalikan $4$ , apa yang terjadi pada $T$ ? (Periksa dengan asteroid tadi terhadap Bumi.)
Kepler membaca hukum ini dalam data Tycho Brahe tujuh puluh tahun sebelum gravitasi Newton menjelaskannya. Dalam satu kalimat: apa yang dikatakan peristiwa ini tentang daya mengenali sebuah fungsi acuan di dalam tabel bilangan?

Bagian IV — Kura-kura dan kelinci.

Urutkan $\sqrt x$ , $x$ dan $x^2$ pada $\intoo{0}{1}$ dan pada $\intoo{1}{+\infty}$ (Proposisi 4.10), lalu periksa kedua urutannya di $x = 0.25$ dan $x = 4$ .
Selesaikan $\sqrt x > x$ selengkapnya (untuk $x \geq 0$ , kuadratkan dengan hati-hati lalu tuntaskan dengan tabel tanda).
Masukkan pangkat tiga: urutkan $x$ , $x^2$ , $x^3$ di $x = 0.5$ dan di $x = 2$ , lalu carilah semua titik tempat fungsi pangkat dua dan pangkat tiga berpotongan.
Dua skema tabungan membayar, setelah $t$ tahun, $100\sqrt t$ euro (skema A) atau $10 t^2$ euro (skema B). Tunjukkan bahwa B menyalip A ketika $t^3 = 100$ , lalu berikan waktu penyalipannya sampai satuan bulan. Apa moralnya tentang akar melawan pangkat dalam jangka panjang?
Penutup: untuk setiap hukum dalam soal ini — pengereman ( $v^2$ ), tuas ( $1/d$ ), lampu ( $1/d^2$ ), Kepler ( $a^{3/2}$ ), skema A ( $\sqrt t$ ) — sebutkan dalam satu anak kalimat ciri grafik acuannya yang mengusung makna fisisnya (kenaikan yang makin curam, asimtot tegak, bola yang menyebar, pangkat penskalaan, pertumbuhan yang mendatar). Kesimpulannya: fungsi acuan adalah abjadnya; alam menulis dengan abjad itu.

Solusi

Solusi Soal 4.1.

1. $d(30) = 3^2 = 9$ m; $d(50) = 25$ m; $d(90) = 81$ m; $d(130) = 169$ m.

2. Melipatduakan $v$ melipatduakan $\frac v{10}$ dan mengalikan kuadratnya dengan $4$ : $d(100) = 100$ m $= 4 \times d(50)$ . Laju dua kali lipat, jarak empat kali lipat — itulah penskalaan fungsi pangkat dua.

3. $\left(\frac{v}{10}\right)^2 = 50$ memberi $\frac{v}{10} = \sqrt{50}$ , jadi $v = 10\sqrt{50} \approx 71$ km/jam. Akar kuadratlah yang menjawab; pembacaannya tidak bermakna ganda karena laju selalu positif, dan pada $\intco{0}{+\infty}$ fungsi pangkat dua mendaki secara tegas (Proposisi 4.8: satu prapeta positif).

4. $d(31) - d(30) = 9.61 - 9 = 0.61$ m, sedangkan $d(91) - d(90) = 82.81 - 81 = 1.81$ m: tambahan $+1$ km/jam yang sama menuntut jarak tiga kali lebih banyak pada laju tinggi. Parabolanya tidak hanya naik, tetapi juga makin curam — laju pendakiannya membesar seiring $x$ .

5. $D(50) = 14 + 25 = 39$ m; $D(130) = 36.4 + 169 = 205.4$ m. Di dalam kota suku afin (reaksi) yang berbagian lebih besar; di jalan tol suku pangkat dua menghancurkannya — yang afin tumbuh mantap, yang kuadrat melesat pergi.

6. $F(0.5) = 240$ , $F(1) = 120$ , $F(3) = 40$ .

7. Fungsi kebalikan turun: makin jauh dari porosnya, makin kecil gaya yang diperlukan — dengan lengan tuas yang cukup panjang ( $d$ sangat besar), gaya apa pun, sekecil apa pun juga, menyeimbangkan beban apa pun: kesesumbaran Archimedes hidup di ekor hiperbolanya, yang mendekati $0$ tanpa pernah mencapainya. Dan $d = 0$ adalah nilai terlarangnya: tanpa lengan, tanpa tuas — itulah asimtot tegaknya.

8. $\frac{100}{4} = 25$ pada $2$ m, $\frac{100}{9} \approx 11$ pada $3$ m, $1$ pada $10$ m. Pada jarak $d$ cahaya itu telah tersebar pada bola berluas $4\pi d^2$ (soal batu nisan Archimedes di jilid sebelumnya): energi yang sama dibagi luas yang tumbuh seperti $d^2$ — karena itulah kebalikan kuadrat.

9. $60$ , $30$ , $20$ euro per kepala untuk $n = 10, 20, 30$ . Agar $\frac{600}{n} \leq 25$ : $n \geq 24$ peserta. Hiperbolanya menjanjikan bagian yang makin murah ketika $n$ membesar — dan menolak untuk pernah mencapai $0$ : busnya tidak pernah gratis.

10. $a(x) = \frac{2x + 3}{x} = 2 + \frac3x$ : turun pada $\intoo{0}{+\infty}$ (fungsi kebalikan yang tergeser), mendekati asimtot $y = 2$ . Secara ekonomi: menyebarkan biaya tetap $3$ euro ke lebih banyak poster menekan biaya satuannya turun menuju $2$ euro bahan yang tak tertekan lagi — skala ekonomi, dengan lantai yang keras.

11. Bumi: $a^3 = 1$ , $T^2 = 1$ . Mars: $1.52^3 \approx 3.51$ dan $1.88^2 \approx 3.53$ . Jupiter: $5.20^3 \approx 140.6$ dan $11.86^2 \approx 140.7$ . Yang diperhatikan Kepler: $T^2 = a^3$ untuk setiap planet — satu hukum untuk seluruh langit.

12. $T = \sqrt{a^3}$ : untuk Saturnus $\sqrt{9.54^3} = \sqrt{868} \approx 29.5$ tahun, terhadap $29.4$ hasil pengamatan: hukumnya berlaku sampai satu persepuluhan.

13. Asteroid: $T = \sqrt{4^3} = \sqrt{64} = 8$ tahun. Komet: $a^3 = 27^2 = 729 = 9^3$ , jadi $a = 9$ satuan astronomi.

14. Pangkat dua ( $T^2$ ), pangkat tiga ( $a^3$ ) dan akar kuadrat (untuk menarik $T$ ). Penskalaannya: mengalikan $a$ dengan $4$ mengalikan $T$ dengan $4\sqrt4 = 8$ — seperti yang dibenarkan asteroid tadi ( $a$ empat kali punya Bumi, $T$ delapan kali).

15. Sebuah tabel bilangan, yang dicocokkan dengan bentuk segelintir fungsi acuan, menghasilkan sebuah hukum alam semesta tujuh puluh tahun sebelum seorang pun tahu mengapa hukum itu berlaku — mengenali fungsinya adalah separuh dari ilmu.

16. Pada $\intoo{0}{1}$ : $x^2 < x < \sqrt x$ ; pada $\intoo{1}{+\infty}$ : $\sqrt x < x < x^2$ . Pemeriksaannya: di $x = 0.25$ : $0.0625 < 0.25 < 0.5$ ; di $x = 4$ : $2 < 4 < 16$ .

17. Untuk $x \geq 0$ , kedua ruas bernilai $\geq 0$ , jadi $\sqrt x > x \iff x > x^2 \iff x(1 - x) > 0 \iff x \in \intoo{0}{1}$ .

18. Di $x = 0.5$ : $x^3 = 0.125 < x^2 = 0.25 < x = 0.5$ . Di $x = 2$ : $2 < 4 < 8$ : urutannya terbalik. Perpotongan $x^2$ dan $x^3$ : $x^3 - x^2 = x^2(x - 1) = 0$ : di $x = 0$ dan $x = 1$ .

19. $10t^2 = 100\sqrt t$ memberi $t^2 = 10\sqrt t$ ; setelah dikuadratkan, $t^4 = 100t$ , jadi $t^3 = 100$ dan $t = \sqrt[3]{100} \approx 4.64$ tahun — sekitar $4$ tahun dan $8$ bulan. (Kedua skema lalu membayar sekitar $215$ euro.) Moralnya: akar berlari kencang di awal, pangkat memenangi setiap maraton.

20. Pengereman: parabola yang makin curam adalah bahaya laju tinggi. Tuas: asimtot tegak di $0$ dan ekor yang panjang adalah keuntungan sang montir. Lampu: $d^2$ dari bola yang menyebar menentukan peredupannya. Kepler: pangkat $\frac32$ adalah tempo tata surya. Tabungan A: akar yang mendatar adalah nasib penabung yang sabar. Lima grafik, lima hukum: sungguh, itulah abjad alam.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Fungsi afin

Lihat semua 395 istilah di glosarium