Matematika Sekolah Menengah Atas · Grades 10–12

35Peubah Acak Sinambung

Waktu tunggu, pengukuran fisika, proporsi: banyak besaran acak bernilai pada suatu kontinum, dan tak ada satu nilai pun yang berpeluang positif. Peluangnya lalu dihitung dengan mengintegralkan sebuah kerapatan. Bab ini mengkaji distribusi seragam, eksponen dan normal, lalu memakai distribusi normalnya untuk mengukur ayunan jajak pendapat dan contoh.

35.1 Kerapatan peluang

Definisi 35.1 (Kerapatan, peubah acak sinambung)

Suatu kerapatan peluang pada selang $I$ adalah fungsi $f$ yang kontinu dan tak negatif pada $I$ dengan $\int_I f(t)\,\dd t = 1$ (dan integral atas $I$ yang tak terbatas dipahami sebagai limit integral atas selang terbatas yang membesar). Peubah acak $X$ berkerapatan $f$ jika untuk semua $a \leq b$ di $I$ :

\P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(t)\,\dd t .

Peluangnya adalah luas di bawah kurva kerapatannya. Khususnya $\P(X = a) = \int_a^a f = 0$ untuk setiap nilai tunggal $a$ : jadi hanya selang yang memikul peluang, dan $\P(a \leq X \leq b) = \P(a < X < b)$ .

Definisi 35.2 (Nilai harapan dan ragam)

Untuk $X$ yang berkerapatan $f$ pada $I$ :

\E(X) = \int_I t\,f(t)\,\dd t, \qquad \V(X) = \int_I \bigl(t - \E(X)\bigr)^2 f(t)\,\dd t = \E(X^2) - \E(X)^2 .

Kaidah pada Bab 14–15 (kelinearan harapan, keaditifan ragam bagi peubah yang saling bebas, Bienaymé–Chebyshev) tetap berlaku; buktinya, dengan integral menggantikan jumlah, diterima saja pada tingkat ini.

35.2 Distribusi seragam

Definisi 35.3 (Distribusi seragam)

Peubah $X$ mengikuti distribusi seragam $\mathcal U\intcc ab$ jika kerapatannya tetap, $f(t) = \frac{1}{b-a}$ pada $\intcc{a}{b}$ . Maka untuk $\intcc{c}{d} \subseteq \intcc ab$ , $\P(c \leq X \leq d) = \frac{d - c}{b - a}$ : yaitu peluang yang sebanding dengan panjangnya.

Proposisi 35.4

Jika $X \sim \mathcal U\intcc ab$ , maka $\E(X) = \dfrac{a+b}{2}$ dan $\V(X) = \dfrac{(b-a)^2}{12}$ .

Bukti. $\E(X) = \int_a^b \frac{t}{b-a}\dd t = \frac{b^2 - a^2}{2(b-a)} = \frac{a+b}{2}$ . Untuk ragamnya, $\E(X^2) = \frac{b^3 - a^3}{3(b-a)} = \frac{a^2 + ab + b^2}{3}$ , dan

\V(X) = \frac{a^2 + ab + b^2}{3} - \frac{(a+b)^2}{4} = \frac{4a^2 + 4ab + 4b^2 - 3a^2 - 6ab - 3b^2}{12} = \frac{(b - a)^2}{12}. \qedhere

∎

35.3 Distribusi eksponen

Definisi 35.5 (Distribusi eksponen)

Untuk $\lambda > 0$ , peubah $X$ mengikuti distribusi eksponen $\mathcal E(\lambda)$ jika kerapatannya pada $\intco{0}{+\infty}$ adalah

f(t) = \lambda\,\eu^{-\lambda t}.

Maka $\P(X \leq x) = 1 - \eu^{-\lambda x}$ dan $\P(X > x) = \eu^{-\lambda x}$ untuk $x \geq 0$ .

Proposisi 35.6

Jika $X \sim \mathcal E(\lambda)$ : $\E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$ dan $\V(X) = \dfrac{1}{\lambda^2}$ .

Bukti. Dengan pengintegralan parsial pada $\intcc{0}{A}$ :

\int_0^A t\,\lambda\eu^{-\lambda t}\dd t = \bigl[-t\,\eu^{-\lambda t}\bigr]_0^A + \int_0^A \eu^{-\lambda t}\dd t = -A\eu^{-\lambda A} + \frac{1 - \eu^{-\lambda A}}{\lambda} \xrightarrow[A\to+\infty]{} \frac1\lambda,

dengan memakai $A\eu^{-\lambda A} \to 0$ (Teorema 23.4). Pengintegralan parsial yang kedua memberi $\E(X^2) = \frac{2}{\lambda^2}$ , sehingga $\V(X) = \frac{2}{\lambda^2} - \frac{1}{\lambda^2}$ . ∎

Teorema 35.7 (Ketiadaan ingatan)

Jika $X \sim \mathcal E(\lambda)$ , maka untuk semua $s, t \geq 0$ :

\pcond{X > s}{X > s + t} = \P(X > t) .

Distribusi eksponen adalah hukum masa hidup tanpa penuaan (inti radioaktif, bukan bola lampu).

Bukti.

\pcond{X > s}{X > s+t} = \frac{\P(X > s + t)}{\P(X > s)} = \frac{\eu^{-\lambda(s+t)}}{\eu^{-\lambda s}} = \eu^{-\lambda t} = \P(X > t). \qedhere

∎

Kerapatan eksponennya - x (di sini = 1): luas ekornya di seberang t (merah) adalah - t, dan ketiadaan ingatannya menyatakan bahwa tiap ekornya tampak seperti seluruh distribusinya yang diskala ulang. — Kerapatan eksponennya $\lambda\eu^{-\lambda x}$ (di sini $\lambda = 1$ ): luas ekornya di seberang $t$ (merah) adalah $\eu^{-\lambda t}$ , dan ketiadaan ingatannya menyatakan bahwa tiap ekornya tampak seperti seluruh distribusinya yang diskala ulang.

35.4 Distribusi normal

Definisi 35.8 (Distribusi normal)

Peubah $X$ mengikuti distribusi normal baku $\mathcal N(0, 1)$ jika kerapatannya pada $\R$ adalah

\varphi(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,\eu^{-t^2/2}

(itulah kurva loncengnya). Secara lebih umum, $X \sim \mathcal N(\mu, \sigma^2)$ jika $\dfrac{X - \mu}{\sigma} \sim \mathcal N(0,1)$ ; lalu $\E(X) = \mu$ dan $\V(X) = \sigma^2$ .

Kerapatan normalnya: kira-kira 68.3\% massanya terletak dalam jarak dari rata-ratanya, 95.4\% dalam 2, dan 99.7\% dalam 3. — Kerapatan normalnya: kira-kira $68.3\%$ massanya terletak dalam jarak $\sigma$ dari rata-ratanya, $95.4\%$ dalam $2\sigma$ , dan $99.7\%$ dalam $3\sigma$ .

Catatan 35.9

Faktor $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$ membuat luas totalnya $1$ — sebuah perhitungan yang masyhur (integral Gauss) yang dikerjakan di universitas. Tak ada rumus dasar bagi $\int \varphi$ : peluang normalnya dibaca dari tabel atau kalkulator.

Teorema 35.10 (De Moivre–Laplace, diterima saja)

Misalkan $X_n \sim \mathcal B(n, p)$ dan $Z_n = \dfrac{X_n - np}{\sqrt{np(1-p)}}$ (yaitu binomial yang dibakukan). Maka untuk semua $a \leq b$ ,

\P(a \leq Z_n \leq b) \xrightarrow[n\to+\infty]{} \int_a^b \varphi(t)\,\dd t .

Hasil ini diterima saja pada tingkat ini. Hasil itu menjelaskan kemunculan kurva lonceng di mana-mana: binomial dengan $n$ yang besar hampiran normal — dan (menurut teorema limit pusat, di universitas) begitu pula setiap jumlah banyak pengaruh kecil yang saling bebas.

Metode 35.11 (Selang ayunan pada $95\%$ )

Karena peubah normal jatuh dalam jarak $1.96$ simpangan baku dari rata-ratanya dengan peluang $0.95$ , maka untuk $n$ yang besar frekuensi $F_n = \frac{X_n}{n}$ dari contoh $\mathcal B(n,p)$ memenuhi

\P\left(p - 1.96\sqrt{\tfrac{p(1-p)}{n}} \leq F_n \leq p + 1.96\sqrt{\tfrac{p(1-p)}{n}}\right) \approx 0.95 .

Selang ayunan (untuk menguji): jika suatu $p$ yang diklaim menempatkan frekuensi yang teramati di luar selang ini, tolaklah klaimnya pada taraf $5\%$ .
Selang kepercayaan (untuk menaksir): selang yang disederhanakan, $\left[F_n - \frac{1}{\sqrt n},\ F_n + \frac{1}{\sqrt n}\right]$ , memuat $p$ dengan peluang sekurang-kurangnya $0.95$ (dengan memakai $1.96\sqrt{p(1-p)} \leq 1$ , lihat Latihan 34.8).

Contoh 35.12

Sebuah jajak pendapat atas $n = 1000$ pemilih memberi seorang calon $52\%$ . Selang kepercayaannya $52\% \pm \frac{1}{\sqrt{1000}} \approx 52\% \pm 3.2\%$ masih memuat $50\%$ : jadi jajak pendapatnya sendirian tidak membuktikan bahwa calonnya unggul.

35.5 Latihan

Latihan 35.1 ★

Sebuah bus lewat tiap $15$ menit; seorang pelancong tiba pada saat yang acak seragam. Misalkan $X \sim \mathcal U\intcc{0}{15}$ waktu tunggunya. Hitunglah $\P(X \leq 5)$ , $\P(4 \leq X \leq 10)$ , $\E(X)$ dan $\sigma(X)$ .

Solusi

Solusi Latihan 35.1.

$\P(X \leq 5) = \frac{5}{15} = \frac13$ ; $\P(4 \leq X \leq 10) = \frac{6}{15} = \frac25$ ; $\E(X) = \frac{15}{2} = 7.5$ menit; $\sigma(X) = \frac{15}{\sqrt{12}} = \frac{5\sqrt3}{2} \approx 4.3$ menit.

Latihan 35.2 ★

Periksalah bahwa $f(t) = \frac{3}{8}t^2$ adalah kerapatan pada $\intcc{0}{2}$ , lalu hitunglah $\E(X)$ dan $\P(X \geq 1)$ bagi peubah $X$ yang berkerapatan ini.

Solusi

Solusi Latihan 35.2.

Jelas $f \geq 0$ dan $\int_0^2 \frac38 t^2\,\dd t = \frac38\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^2 = \frac38 \times \frac83 = 1$ : jadi sebuah kerapatan.

\E(X) = \int_0^2 \frac38 t^3\,\dd t = \frac38 \times \frac{16}{4} = \frac32, \qquad \P(X \geq 1) = \int_1^2 \frac38 t^2\,\dd t = \frac{8 - 1}{8} = \frac78 .

Latihan 35.3 ★

Masa hidup (dalam tahun) sebuah komponen elektronik mengikuti $\mathcal E(0.2)$ .

Hitunglah harapan masa hidupnya dan $\P(X > 5)$ .
Komponen itu sudah bekerja $3$ tahun. Berapa peluang komponen itu bekerja sekurang-kurangnya $5$ tahun lagi?

Solusi

Solusi Latihan 35.3.

1. $\E(X) = \frac{1}{0.2} = 5$ tahun; $\P(X > 5) = \eu^{-0.2\times5} = \eu^{-1} \approx 0.37$ .

2. Menurut ketiadaan ingatannya (Teorema 35.7), $\pcond{X > 3}{X > 8} = \P(X > 5) = \eu^{-1} \approx 0.37$ : jadi ketiga tahun pemakaiannya tidak mengubah apa pun.

Latihan 35.4 ★★

Waktu paruh sebuah atom radioaktif yang masa hidupnya mengikuti $\mathcal E(\lambda)$ adalah mediannya $m$ : $\P(X > m) = \frac12$ . Nyatakan $m$ sebagai fungsi $\lambda$ lalu bandingkan dengan harapannya. Mana yang lebih besar, dan mengapa itu masuk akal bagi distribusi yang miring?

Solusi

Solusi Latihan 35.4.

$\P(X > m) = \eu^{-\lambda m} = \frac12$ memberi $m = \frac{\ln 2}{\lambda} \approx \frac{0.69}{\lambda}$ , yang lebih kecil daripada $\E(X) = \frac1\lambda$ . Kerapatan eksponennya berekor kanan yang panjang: beberapa masa hidup yang luar biasa panjang menarik rata-ratanya ke atas mediannya, yaitu nilai yang dilampaui separuh populasinya. (Inilah waktu paruh pada Contoh 23.9: separuh atomnya melewatinya, walaupun rata-rata masa hidupnya lebih panjang.)

Latihan 35.5 ★★

Tinggi badan pada suatu populasi mengikuti $\mathcal N(175,\ 7^2)$ (dalam cm). Dengan kaidah $68$ – $95$ – $99.7$ , taksirlah bagian populasi yang bertinggi antara $168$ dan $182$ cm, di atas $189$ cm, dan di bawah $154$ cm.

Solusi

Solusi Latihan 35.5.

Di sini $168 = \mu - \sigma$ dan $182 = \mu + \sigma$ : jadi kira-kira $68\%$ . Lalu $189 = \mu + 2\sigma$ : di atasnya terletak separuh dari sisanya, $100 - 95.4 = 4.6\%$ , jadi kira-kira $2.3\%$ . Lalu $154 = \mu - 3\sigma$ : kira-kira $\frac{100 - 99.7}{2} = 0.15\%$ .

Latihan 35.6 ★★

Sebuah mesin mengisi kantong berlabel $500$ g; massa yang terisi mengikuti $\mathcal N(\mu,\ 4^2)$ . Peraturannya menuntut agar paling banyak $2.5\%$ kantongnya berbobot kurang dari $500$ g. Dengan kaidah $95\%$ , setelan $\mu$ terkecil apa yang memenuhinya?

Solusi

Solusi Latihan 35.6.

$\P(X < 500) \leq 2.5\%$ berarti $500$ harus duduk sekurang-kurangnya dua simpangan baku di bawah rata-ratanya (distribusi normalnya meninggalkan $2.3\% \approx 2.5\%$ di bawah $\mu - 2\sigma$ ; dengan $1.96$ yang lazim, penalarannya identik):

\mu - 2\sigma \geq 500 \iff \mu \geq 500 + 8 = 508 \text{ g}.

Jadi mesinnya harus disetel ke $508$ g rata-rata — dan harga jaminannya adalah $8$ g produk “gratis” tiap kantongnya.

Latihan 35.7 ★★

Sebuah dadu yang diklaim setimbang dilempar $1200$ kali dan menunjukkan angka enam $260$ kali (seperti pada Latihan 34.7).

Hitunglah selang ayunan $95\%$ bagi frekuensi angka enam pada dadu setimbang sepanjang $1200$ lemparan.
Apakah frekuensi yang teramati berada di dalamnya? Bandingkan kekuatan kesimpulan ini dengan telaah Bienaymé–Chebyshev.

Solusi

Solusi Latihan 35.7.

1. Dengan $p = \frac16$ , $n = 1200$ : $\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} = \sqrt{\frac{5/36}{1200}} \approx 0.0108$ , sehingga selang ayunan $95\%$ -nya adalah

\frac16 \pm 1.96 \times 0.0108 \approx \intcc{0.146}{0.188}.

2. Frekuensi yang teramati $\frac{260}{1200} \approx 0.217$ terletak jauh di luarnya: jadi hipotesis kesetimbangannya ditolak pada taraf $5\%$ . Simpangannya kira-kira $4.6$ simpangan baku — yang bagi hampiran normal berpeluang berorde $10^{-6}$ , jauh lebih meyakinkan daripada batas $\leq 4.6\%$ dari Bienaymé–Chebyshev (Latihan 34.7).

Latihan 35.8 ★★★

Menjelang sebuah pemilu, jajak pendapat atas $n$ orang akan menaksir perolehan $p$ seorang calon lewat frekuensi yang teramati $F_n$ .

Dengan selang kepercayaan pada Metode 35.11, ukuran contoh berapa yang menjamin marjin $\pm 2$ angka?
Kedua calonnya terpisah $1$ angka pada kenyataannya. Jelaskan mengapa tak ada jajak pendapat yang realistis dapat menetapkan pemenangnya dengan andal, sebaik apa pun jajak itu dijalankan.

Solusi

Solusi Latihan 35.8.

1. Marjinnya $\frac{1}{\sqrt n} \leq 0.02$ menuntut $n \geq 2500$ orang.

2. Untuk membedakan perolehan yang berjarak $1$ angka, marjinnya harus jauh di bawah $0.5$ angka, sehingga menuntut $n \geq \left(\frac{1}{0.005}\right)^2 = 40\,000$ menurut rumus yang disederhanakan — dan itu sudah tak praktis bagi kebanyakan jajak pendapat. Lebih buruk lagi, marjin statistiknya hanya memperhitungkan galat pencuplikan; sedangkan bias sistematisnya (contoh yang tak mewakili, penolakan menjawab, perubahan menit terakhir) tidak menyusut ketika $n$ bertambah dan biasanya melampaui satu angka. Jadi perlombaan berjarak $1$ angka memang terlalu ketat untuk ditetapkan.

Latihan 35.9 ★★★

Misalkan $X$ berkerapatan $f$ pada $\intcc ab$ dan misalkan $Y = \alpha X + \beta$ dengan $\alpha > 0$ .

Tunjukkan bahwa $\P(c \leq Y \leq d) = \P\left(\frac{c - \beta}{\alpha} \leq X \leq \frac{d-\beta}{\alpha}\right)$ , lalu simpulkan bahwa $Y$ berkerapatan $g(y) = \frac{1}{\alpha} f\left(\frac{y - \beta}{\alpha}\right)$ .
Simpulkan bahwa jika $Z \sim \mathcal N(0,1)$ , maka $\mu + \sigma Z$ berkerapatan $\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, \eu^{-(y - \mu)^2/(2\sigma^2)}$ — yaitu kerapatan normal yang umum.

Solusi

Solusi Latihan 35.9.

1. Karena $\alpha > 0$ , berlaku $c \leq \alpha X + \beta \leq d \iff \frac{c - \beta}{\alpha} \leq X \leq \frac{d - \beta}{\alpha}$ , sehingga

\P(c \leq Y \leq d) = \int_{(c-\beta)/\alpha}^{(d-\beta)/\alpha} f(t)\,\dd t .

Substitusi $y = \alpha t + \beta$ (yaitu membaca luasnya dalam peubah $y$ , dengan $t = \frac{y - \beta}{\alpha}$ , $\dd t = \frac{\dd y}{\alpha}$ ) mengubahnya menjadi $\int_c^d \frac{1}{\alpha} f\left(\frac{y-\beta}{\alpha}\right)\dd y$ : jadi fungsi $g(y) = \frac1\alpha f\left(\frac{y-\beta}{\alpha}\right)$ adalah kerapatan bagi $Y$ .

2. Dengan $f = \varphi$ , $\alpha = \sigma$ , $\beta = \mu$ :

g(y) = \frac{1}{\sigma}\,\varphi\!\left(\frac{y - \mu}{\sigma}\right) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, \exp\left(-\frac{(y-\mu)^2}{2\sigma^2}\right),

yang karena itu merupakan kerapatan $\mathcal N(\mu, \sigma^2) = \mu + \sigma\,\mathcal N(0,1)$ .

35.6 Soal: Menunggu bus, mengukur kerumunan

Soal 35.1

Soal akhir pekan — tiga kerapatan menjalankan dunia: ketidaktahuan total, penungguan tanpa ingatan, dan lonceng dari banyak sebab kecil; ditambah paradoks yang membuat busmu selalu terlambat

Mengapa busmu selalu terasa lebih lama daripada yang dijanjikan jadwalnya? Mengapa kelas yang ditempati murid rata-rata lebih besar daripada kelas rata-rata? Mengapa temanmu punya lebih banyak teman daripada kamu? Satu keping matematika yang licik — pengambilan contoh yang berbias panjang — menjawab ketiganya, dan keping itu hidup di bab ini, di antara distribusi seragam, eksponen dan normal (Definisi 35.3, Definisi 35.5, Definisi 35.8). Soal penutup jilid ini mempekerjakan ketiga kerapatannya lalu berakhir di tempat yang ditunjuk seluruh serinya: kurva lonceng.

Bagian I — Tiga tokoh.

Sebuah bus tiba pada saat yang acak seragam dalam $30$ menit berikutnya. Hitunglah $\P(\text{tunggu} \leq 10)$ , yaitu harapan waktu tunggunya, dan $\sigma$ (Proposisi 35.4).
Periksalah bahwa $f(x) = 2x$ pada $\intcc{0}{1}$ adalah kerapatan, lalu hitunglah $\E(X)$ dan $\P\left(X > \frac12\right)$ .
Panggilan telepon tiba di sebuah saluran bantuan sebagai arus tanpa ingatan: waktu tunggu panggilan berikutnya eksponen dengan rata-rata $10$ menit. Hitunglah $\P(T > 15)$ dan median waktu tunggunya — mengapa mediannya lebih kecil daripada rata-ratanya?
Kamu sudah menunggu $20$ menit. Berapa $\P(T > 35 \mid T > 20)$ (Teorema 35.7)? Tafsirkan dalam satu kalimat.
Cocokkanlah tiap penungguan dengan model yang tepat — seragam, eksponen, atau bukan keduanya: (a) bunyi klik pencacah Geiger; (b) kereta bawah tanah tiap $8$ menit dan kedatanganmu tak selaras dengannya; (c) panggilan berikutnya di saluran bantuan; (d) putusnya bola lampu yang aus. Berilah alasan bagi (d) dengan teorema ketiadaan ingatannya.

Bagian II — Loncengnya beraksi. (Pakailah tetenger normalnya: $68\,\%$ dalam $\sigma$ , $95\,\%$ dalam $2\sigma$ , $99.7\,\%$ dalam $3\sigma$ .)

Tinggi badan orang dewasa kira-kira mengikuti $\mathcal N(172,\ 8)$ (cm). Berapa bagian yang terletak di $\intcc{164}{180}$ , $\intcc{156}{188}$ , $\intcc{148}{196}$ ?
Taksirlah bagian yang lebih tinggi daripada $190$ cm (skor-z dahulu; lalu tabel atau kalkulator).
Skor IQ ditera pada $\mathcal N(100, 15)$ . Berapa bagian yang bernilai di atas $130$ — dan kira-kira satu orang dari berapa?
Sebuah mesin memotong baut sepanjang $\mathcal N(50,\ 0.1)$ mm sedangkan syaratnya $\intcc{49.8}{50.2}$ . Berapa bagian yang ditolak? Industri merayakan proses “enam sigma”, yang syaratnya duduk pada $\pm 6\sigma$ : apa yang dibeli hal itu, dan mengapa pabrik mengejarnya?
De Moivre–Laplace (Teorema 35.10): untuk $100$ lemparan uang logam yang setimbang, hampirilah $\P(45 \leq \text{gambar} \leq 55)$ (dengan kesinambungan: $\pm 0.5$ ; $\sigma = 5$ ). Mesin kayu yang mana pada Soal 19.1 yang dihaluskan teorema ini menjadi sebuah kurva?
Dari Latihan 35.8: marjin $\pm 2$ angka memerlukan kira-kira $n = 2\,400$ . Hitunglah contoh yang diperlukan untuk $\pm 0.5$ angka — lalu simpulkan, dalam satu kalimat, mengapa perlombaan yang terpisah satu angka tak dapat ditetapkan secara jujur oleh jajak pendapat mana pun.

Bagian III — Paradoks busnya.

Bus tiba sebagai arus tanpa ingatan dengan jarak rata-rata $10$ menit. Kamu sampai di haltenya pada saat yang sembarang. Naluri mengatakan harapan waktu tunggunya $5$ menit (yaitu separuh jaraknya). Apa yang justru dikatakan teorema ketiadaan ingatannya?
Bedahlah naluri itu dengan jadwal mainan: jaraknya berselang-seling $5$ dan $15$ menit (jarak rata-ratanya $10$ ). Hitunglah peluang bahwa kedatangan yang acak seragam mendarat pada jarak yang panjang, lalu harapan waktu tunggu yang sebenarnya — lalu sebutkan biang keladinya: kedatangannya mencuplik jaraknya dengan peluang yang sebanding dengan panjangnya.
Pada arus tanpa ingatan itu, jarak tempatmu mendarat berharapan panjang $20$ menit — dua kali jarak yang lazim (sebab waktu mundur ke bus sebelumnya dan waktu maju ke bus berikutnya keduanya eksponen dengan rata-rata $10$ ). Damaikanlah ini dengan pertanyaan 12 lalu nyatakan paradoks pemeriksaan itu dalam satu kalimat.
Sengatan yang sama di darat: sebuah universitas menjalankan sembilan kelas berisi $10$ murid dan satu kelas berisi $110$ . Hitunglah ukuran kelas rata-ratanya, lalu ukuran kelas yang dialami murid rata-rata. Bilangan mana yang akan dikutip brosurnya, dan mana yang menjadi kebenaran yang dijalani muridnya?
Paradoks pertemanan — “temanmu, secara rata-rata, punya lebih banyak teman daripada kamu” — adalah matematika yang sama. Katakan dalam satu kalimat apa yang berperan sebagai jarak yang panjang itu.

Bagian IV — Menutup jilidnya.

Simulasi, jembatan para praktisi: jika $U$ seragam pada $\intoo{0}{1}$ , tunjukkan bahwa $T = -10\ln U$ eksponen dengan rata-rata $10$ (hitunglah $\P(T > t)$ ). Setiap simulasi penungguan acak di industri berjalan di atas muslihat satu baris ini.
Resep lama para pemrogram permainan membangun lonceng: jumlahkan dua belas peubah seragam yang saling bebas pada $\intcc{0}{1}$ lalu kurangkan $6$ . Berikan rata-rata dan ragam jumlahnya, lalu jelaskan — dengan papan Galton di tangan — mengapa hasilnya nyaris normal.
Pasar jatuh lebih keras daripada yang diizinkan loncengnya: keruntuhan tahun 1987 pernah disebut “kejadian $25\sigma$ ”, yang di bawah kenormalan berpeluang sekitar $10^{-137}$ . Apakah kesimpulan yang benar — tentang dunianya, atau tentang modelnya? (Satu kalimat, katekismus sang ahli statistika.)
Penutup, dan salam perpisahan bagi jilidnya: ketiga tokohnya masing-masing dalam satu baris — seragam (ketidaktahuan dalam batas), eksponen (bahaya tanpa ingatan), normal (jumlah banyak sebab kecil); lalu paradoks pemeriksaan sebagai sengatan babnya; serta busur seluruh serinya — dari mencacah kardus di kelas 6 sampai ke kurva lonceng yang mengukur setiap kerumunan — dengan jilid universitas yang menunggu di tempat limit, integral dan teorema limit pusat mengambil alih.

Solusi

Solusi Soal 35.1.

1. $\P(\text{tunggu} \leq 10) = \frac{10}{30} = \frac13$ ; $\E = 15$ menit; $\sigma = \frac{30}{\sqrt{12}} \approx 8.7$ menit.

2. $\int_0^1 2x\,\dd x = 1$ : jadi sebuah kerapatan. $\E(X) = \int_0^1 2x^2\,\dd x = \frac23$ ; $\P\left(X > \frac12\right) = \int_{1/2}^1 2x\,\dd x = 1 - \frac14 = \frac34$ .

3. $\P(T > 15) = \eu^{-15/10} \approx 0.22$ . Mediannya: $\eu^{-m/10} = \frac12$ , jadi $m = 10\ln 2 \approx 6.9$ menit — lebih kecil daripada rata-ratanya $10$ sebab ekor kanan eksponennya yang panjang (yaitu penungguan raksasa yang jarang) menyeret rata-ratanya ke atas sambil membiarkan mediannya pada penungguan yang “lazim”.

4. Menurut ketiadaan ingatannya, $\P(T > 35 \mid T > 20) = \P(T > 15) \approx 0.22$ : jadi kedua puluh menit yang sudah dijalani itu tak membeli apa-apa — arusnya tidak menua.

5. (a) eksponen (sebab peluruhan radioaktif adalah model yang untuknya ketiadaan ingatan diciptakan); (b) seragam pada $\intcc{0}{8}$ (yaitu jadwal dengan pergeseran acak); (c) eksponen; (d) bukan keduanya: bola lampu yang aus lebih mungkin putus pada jam berikutnya daripada yang baru, sehingga $\P(T > s + t \mid T > s) < \P(T > t)$ : jadi penuaannya bertentangan dengan teorema ketiadaan ingatannya.

6. Berturut-turut $68\,\%$ , $95\,\%$ , $99.7\,\%$ : yaitu ketiga selang tetengernya.

7. $z = \frac{190 - 172}{8} = 2.25$ , jadi ekor atasnya $\approx 1.2\,\%$ .

8. Di sini $z = 2$ : jadi kira-kira $2.3\,\%$ — kurang lebih satu orang dari $44$ .

9. Syaratnya duduk pada $\pm 2\sigma$ : jadi kira-kira $95.4\,\%$ lolos dan $4.6\,\%$ ditolak — dan itu membangkrutkan pada skala besar. Pada $\pm 6\sigma$ laju kegagalannya jatuh menjadi kira-kira dua bagian dari tiap miliar: jadi enam sigma membeli hak untuk memproduksi massal tanpa memeriksa secara massal.

10. Di sini $\sigma = 5$ ; dan dengan koreksi kesinambungannya, $\P \approx \P\left(\abs Z \leq \frac{5.5}{5}\right) = \P(\abs Z \leq 1.1) \approx 0.73$ . Teoremanya menghaluskan papan Galton pada Soal 19.1: tangga lubangnya menjadi lonceng yang sinambung.

11. $n \approx \frac{1.96^2 \times 0.25}{0.005^2} \approx 38\,400$ orang — dan pada ukuran itu galat di luar pencuplikannya (kerangkanya, penolakannya, kebohongannya) menenggelamkan marjinnya: jadi perlombaan satu angka berada di luar jangkauan jajak pendapat yang jujur, dan itulah sebabnya lembaga yang serius lalu berkata “terlalu ketat untuk ditetapkan”.

12. Ketiadaan ingatannya: sejak saat kamu tiba, sisa penungguannya eksponen dengan rata-rata $10$ — yaitu $10$ menit penuh, bukan $5$ . Kata “jarak rata-rata $10$ ” pada jadwalnya menyesatkan: penungguanmu berdistribusi sama dengan satu jarak yang utuh.

13. Kedatangan yang acak mendarat sebanding dengan panjang jaraknya: $\P(\text{jarak panjang}) = \frac{15}{20} = \frac34$ . Harapan penungguannya: $\frac34 \times \frac{15}{2} + \frac14 \times \frac52 = 5.625 + 0.625 = 6.25$ menit — lebih daripada nilai naif $5$ , walaupun jarak rata-ratanya $10$ . Biang keladinya: pencuplikan yang berbias panjang — sebab jarak yang panjang menangkap lebih banyak penumpang.

14. Penungguan mundur dan majunya masing-masing eksponen dengan rata-rata $10$ (sebab ketiadaan ingatannya berjalan ke dua arah dari kedatanganmu): jadi jarak yang memuatmu berpanjang rata-rata $20$ menit — dua kali jarak yang lazim. Paradoks pemeriksaan dalam satu kalimat: selang yang kebetulan kamu periksa bukanlah selang yang lazim, sebab kamu lebih mungkin jatuh ke dalam selang yang besar.

15. Kelas rata-ratanya: $\frac{9 \times 10 + 110}{10} = 20$ murid. Rata-rata yang dialami muridnya: $\frac{90 \times 10 + 110 \times 110}{200} = \frac{13\,000} {200} = 65$ murid. Brosurnya mencetak $20$ ; padahal tiga dari lima muridnya duduk di kelas berisi $110$ dan menjalani angka $65$ itu.

16. Orang yang populer muncul pada banyak daftar teman, sehingga mencuplik “seorang teman” berbias panjang ke arah yang pandai bergaul — jadi temanmu diambil dari jarak yang panjang pada jadwal pergaulannya.

17. Untuk $t \geq 0$ : $\P(T > t) = \P(-10\ln U > t) = \P\left(U < \eu^{-t/10}\right) = \eu^{-t/10}$ : jadi tepat fungsi kesintasan eksponennya — satu logaritma mengubah derau seragam milik komputer itu menjadi waktu tunggu apa pun.

18. Tiap peubah seragamnya berata-rata $\frac12$ dan beragam $\frac{1}{12}$ : jadi jumlah dua belasnya berata-rata $6$ dan beragam $1$ — sehingga resepnya menghasilkan rata-rata $0$ dan ragam $1$ . Dua belas dorongan kecil yang saling bebas dijumlahkan: itulah mekanisme Galton, dan menurut berkah De Moivre–Laplace histogramnya sudah berbentuk lonceng di mata.

19. Tentang modelnya: pasar bukanlah jumlah banyak sebab kecil yang saling bebas — kepanikan mengorelasikan segalanya (yaitu pelajaran tahun 2008 pada soal sebelumnya) dan menghasilkan ekor gemuk yang tak dimiliki kerapatan normal mana pun. Ketika datanya membisikkan $10^{-137}$ , katekismus sang ahli statistika menjawab: modelnyalah yang ditolak, bukan harinya.

20. Seragam: semua kedudukan setara, yaitu kejujuran “aku hanya tahu batasnya”. Eksponen: bahaya yang tak pernah menua — peluruhan, kedatangan, bunyi klik. Normal: lonceng demokratis dari banyak sebab kecil yang saling bebas — tinggi badan, galat, rata-rata. Sengatannya: apa yang kamu cuplik terbias oleh cara kamu tersandung padanya — bus, kelas, teman. Dan busurnya: anak yang mencacah kardus jus di kelas 6, sesudah sepuluh jilid soal, kini mengukur kerumunan dengan sebuah kurva; sedangkan epsilon, integral dan teorema limit pusat menunggu di jilid universitas untuk menjelaskan mengapa loncengnya berdentang bagi segalanya.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 395 istilah di glosarium