Matematika Sekolah Menengah Atas · Grades 10–12

3Fungsi

Fungsi adalah sebuah mesin: sebuah bilangan masuk, sebuah bilangan keluar, dan masukan yang sama selalu memberi keluaran yang sama. Fungsi merupakan objek utama analisis yang akan dibangun pada tahun-tahun mendatang (mulai Bab 10); bab ini menyiapkan kosakatanya — daerah asal, peta, grafik, variasi — dan melatih keterampilan pokoknya, yaitu membaca keterangan dari sebuah grafik.

3.1 Kosakata: peta dan prapeta

Definisi 3.1 (Fungsi)

Misalkan $D$ sebuah himpunan bilangan real. Sebuah fungsi $f$ yang terdefinisi pada $D$ mengaitkan setiap bilangan $x \in D$ dengan tepat satu bilangan real, ditulis $f(x)$ dan disebut peta dari $x$ . Himpunan $D$ adalah daerah asal $f$ . Kita tulis

f : x \longmapsto f(x).

Jika $f(x) = y$ , maka $x$ adalah prapeta dari $y$ .

Catatan 3.2

Setiap $x$ di daerah asal mempunyai tepat satu peta, tetapi sebuah bilangan $y$ bisa mempunyai beberapa prapeta, atau tidak sama sekali. Untuk $f(x) = x^2$ : peta dari $3$ adalah $9$ , dan $9$ mempunyai dua prapeta, yaitu $3$ dan $-3$ ; bilangan $-4$ tidak berprapeta.

Contoh 3.3 (Mencari daerah asal)

Bila sebuah fungsi diberikan oleh rumus, daerah asalnya adalah himpunan $x$ yang membuat rumus itu bermakna.

$f(x) = 3x^2 - 5x + 1$ bermakna untuk setiap $x$ : daerah asalnya $\R$ .
$g(x) = \dfrac{1}{x - 2}$ menuntut $x - 2 \neq 0$ : daerah asalnya semua bilangan real kecuali $2$ .
$h(x) = \sqrt{x - 3}$ menuntut $x - 3 \geq 0$ : daerah asalnya $\intco{3}{+\infty}$ .

Contoh 3.4 (Menghitung peta dan prapeta)

Misalkan $f(x) = x^2 - 4x + 3$ , terdefinisi pada $\R$ .

Peta dari $5$ : substitusikan $x = 5$ : $f(5) = 25 - 20 + 3 = 8$ .

Prapeta dari $3$ : selesaikan $f(x) = 3$ :

x^2 - 4x + 3 = 3 \quad\Longleftrightarrow\quad x^2 - 4x = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x(x - 4) = 0,

jadi prapeta dari $3$ adalah $0$ dan $4$ .

3.2 Grafik sebuah fungsi

Definisi 3.5 (Grafik)

Pada sebuah sistem koordinat, grafik (atau kurva) $f$ adalah himpunan semua titik $(x, f(x))$ untuk $x$ di daerah asalnya. Dengan kata lain, sebuah titik $(x, y)$ terletak pada grafik tepat ketika $y = f(x)$ .

Membaca sebuah peta pada grafik: mulailah dari x = 3 pada sumbu mendatar, naiklah tegak lurus sampai kurva, lalu bergeraklah mendatar ke sumbu tegak untuk membaca f(3) = 1.25. — Membaca sebuah peta pada grafik: mulailah dari $x = 3$ pada sumbu mendatar, naiklah tegak lurus sampai kurva, lalu bergeraklah mendatar ke sumbu tegak untuk membaca $f(3) = 1.25$ .

Metode 3.6 (Membaca grafik)

Pada grafik $f$ :

peta dari $a$ : bergeraklah tegak lurus dari $x = a$ pada sumbu mendatar sampai kurva, lalu mendatar ke sumbu tegak; nilai yang terbaca di sana adalah $f(a)$ ;
prapeta dari $b$ : tariklah garis mendatar $y = b$ ; prapetanya adalah koordinat $x$ dari semua titik potong garis itu dengan kurva;
penyelesaian $f(x) = k$ : sama dengan prapeta dari $k$ ;
penyelesaian $f(x) \leq k$ : nilai $x$ yang membuat kurva berada pada atau di bawah garis $y = k$ .

Menyelesaikan f(x) = k secara grafis: penyelesaian x_1 dan x_2 adalah absis titik potong kurva dengan garis mendatar y = k. Di sini f(x) ≤ k berlaku pada [x_1, x_2], yaitu tempat kurva berada di bawah garis itu. — Menyelesaikan $f(x) = k$ secara grafis: penyelesaian $x_1$ dan $x_2$ adalah absis titik potong kurva dengan garis mendatar $y = k$ . Di sini $f(x) \leq k$ berlaku pada $\intcc{x_1}{x_2}$ , yaitu tempat kurva berada di bawah garis itu.

Contoh 3.7

Apakah titik $A(2, 5)$ terletak pada grafik $f(x) = x^2 + 1$ ? Hitunglah $f(2) = 4 + 1 = 5$ : ya, sebab $f(2)$ sama dengan koordinat $y$ titik $A$ . Titik $B(3, 8)$ tidak terletak pada grafik itu, sebab $f(3) = 10 \neq 8$ .

3.3 Variasi sebuah fungsi

Definisi 3.8 (Naik, turun)

Misalkan $f$ terdefinisi pada sebuah interval $I$ .

$f$ disebut naik pada $I$ apabila untuk semua $u, v \in I$ , jika $u < v$ maka $f(u) \leq f(v)$ : keluarannya membesar seiring masukannya, dan grafiknya mendaki dari kiri ke kanan.
$f$ disebut turun pada $I$ apabila $u < v$ mengakibatkan $f(u) \geq f(v)$ : grafiknya menurun dari kiri ke kanan.

Dengan ketaksamaan tegas $f(u) < f(v)$ (masing-masing $>$ ) kita katakan tegas naik (masing-masing turun).

Definisi 3.9 (Tabel variasi)

Sebuah tabel variasi merangkum pada interval mana saja $f$ naik dan turun, dengan panah $\nearrow$ dan $\searrow$ , serta mencatat nilai $f$ pada titik-titik baliknya.

Contoh 3.10

Tinjaulah fungsi yang grafiknya digambar di bawah ini pada $\intcc{-2}{4}$ .

Sebuah fungsi pada [-2, 4], mula-mula naik lalu turun. — Sebuah fungsi pada $\intcc{-2}{4}$ , mula-mula naik lalu turun.

Dari grafiknya: $f$ naik dari $f(-2) = -1.5$ sampai maksimumnya $f(1) = 3$ , lalu turun sampai $f(4) = -1.5$ . Tabel variasinya adalah

$x$	$-2$		$1$		$4$
$f$	$-1.5$	$\nearrow$	$3$	$\searrow$	$-1.5$

Contoh 3.11 (Membuktikan sebuah variasi)

Tunjukkan bahwa $f(x) = 3x + 1$ tegas naik pada $\R$ . Ambil sebarang $u < v$ lalu bandingkan petanya:

f(v) - f(u) = (3v + 1) - (3u + 1) = 3(v - u) > 0,

sebab $v - u > 0$ . Jadi $f(u) < f(v)$ : fungsi itu tegas naik. Perhitungan yang sama dengan gradien negatif, misalnya $g(x) = -2x + 5$ , memberi $g(v) - g(u) = -2(v-u) < 0$ : tegas turun.

3.4 Nilai ekstrem

Definisi 3.12 (Maksimum, minimum)

Misalkan $f$ terdefinisi pada $D$ dan $a \in D$ . Nilai $f(a)$ disebut maksimum $f$ pada $D$ apabila $f(x) \leq f(a)$ untuk semua $x \in D$ ; nilai itu disebut minimum apabila $f(x) \geq f(a)$ untuk semua $x \in D$ . Pada grafik, keduanya adalah titik tertinggi dan titik terendah kurvanya.

Contoh 3.13

Tunjukkan bahwa $f(x) = (x - 1)^2 + 2$ mempunyai minimum $2$ pada $\R$ , yang dicapai di $x = 1$ . Untuk setiap $x$ , kuadrat $(x-1)^2$ bernilai $\geq 0$ , jadi $f(x) = (x-1)^2 + 2 \geq 2$ ; dan $f(1) = 0 + 2 = 2$ , sehingga nilai $2$ benar-benar tercapai. Kedua fakta itu bersama membuktikan bahwa $2$ minimumnya.

Kurva f(x) = (x-1)2 + 2 tidak pernah turun di bawah garis putus-putus y = 2, dan menyentuhnya di x = 1: minimum f adalah 2. — Kurva $f(x) = (x-1)^2 + 2$ tidak pernah turun di bawah garis putus-putus $y = 2$ , dan menyentuhnya di $x = 1$ : minimum $f$ adalah $2$ .

3.5 Latihan

Latihan 3.1 ★

Misalkan $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$ . Hitunglah peta dari $0$ , $2$ , $-1$ dan $\frac12$ .

Solusi

Solusi Latihan 3.1.

$f(0) = 1$ ; $f(2) = 8 - 6 + 1 = 3$ ; $f(-1) = 2 + 3 + 1 = 6$ ; $f\!\left(\tfrac12\right) = 2 \times \tfrac14 - \tfrac32 + 1 = \tfrac12 - \tfrac32 + 1 = 0$ .

Latihan 3.2 ★

Berikan daerah asal setiap fungsi berikut:

f(x) = 5x - 2, \qquad g(x) = \frac{3}{x + 4}, \qquad h(x) = \sqrt{2x - 6}, \qquad k(x) = \frac{1}{x^2 + 1}.

Solusi

Solusi Latihan 3.2.

$f$ : tanpa kendala, daerah asalnya $\R$ .

$g$ : menuntut $x + 4 \neq 0$ , daerah asalnya semua bilangan real kecuali $-4$ .

$h$ : menuntut $2x - 6 \geq 0$ , yaitu $x \geq 3$ : daerah asalnya $\intco{3}{+\infty}$ .

$k$ : $x^2 + 1 \geq 1 > 0$ tidak pernah lenyap, daerah asalnya $\R$ .

Latihan 3.3 ★

Misalkan $f(x) = x^2 - 2x$ . Carilah semua prapeta dari $0$ , dari $3$ , dan dari $-1$ .

Solusi

Solusi Latihan 3.3.

Prapeta dari $0$ : $x^2 - 2x = x(x-2) = 0$ , jadi $0$ dan $2$ .

Prapeta dari $3$ : $x^2 - 2x = 3$ , yaitu $x^2 - 2x - 3 = 0$ , yaitu $(x-3)(x+1) = 0$ (periksa dengan menjabarkannya), jadi $3$ dan $-1$ .

Prapeta dari $-1$ : $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 = 0$ , jadi prapeta tunggalnya $1$ .

Latihan 3.4 ★

Apakah titik $A(-1, 4)$ terletak pada grafik $f(x) = x^2 - 2x + 1$ ? Dan titik $B(2, 1)$ ? Berikan alasan lewat perhitungan.

Solusi

Solusi Latihan 3.4.

$f(-1) = 1 + 2 + 1 = 4$ : ya, $A(-1, 4)$ terletak pada grafiknya. $f(2) = 4 - 4 + 1 = 1$ : ya, $B(2, 1)$ pun terletak pada grafiknya.

Latihan 3.5 ★

Sebuah fungsi $g$ pada $\intcc{-3}{5}$ mempunyai tabel variasi

$x$	$-3$		$0$		$3$		$5$
$g$	$1$	$\searrow$	$-2$	$\nearrow$	$4$	$\searrow$	$0$

Berapakah maksimum dan minimum $g$ pada $\intcc{-3}{5}$ ?
Bandingkan $g(-1)$ dan $g(-0.5)$ tanpa mengetahui nilainya.
Paling banyak berapa penyelesaian yang dipunyai persamaan $g(x) = 0$ pada setiap interval dalam tabel itu?

Solusi

Solusi Latihan 3.5.

1. Nilai terbesar dalam tabel itu adalah $4 = g(3)$ (maksimum), yang terkecil $-2 = g(0)$ (minimum).

2. Pada $\intcc{-3}{0}$ fungsi itu turun, dan $-1 < -0.5$ , sehingga $g(-1) \geq g(-0.5)$ .

3. Pada setiap interval kemonotonannya, $g$ mengambil setiap nilai paling banyak sekali, sehingga $g(x) = 0$ mempunyai paling banyak satu penyelesaian per interval: seluruhnya paling banyak $3$ penyelesaian. (Di sini $0$ terletak antara $-2$ dan $1$ , antara $-2$ dan $4$ , serta antara $0$ dan $4$ , jadi ada tepat tiga.)

Latihan 3.6 ★★

Misalkan $f(x) = -2x + 7$ . Tunjukkan, dengan membandingkan $f(u)$ dan $f(v)$ untuk $u < v$ , bahwa $f$ tegas turun pada $\R$ .

Solusi

Solusi Latihan 3.6.

Misalkan $u < v$ . Maka

f(v) - f(u) = (-2v + 7) - (-2u + 7) = -2(v - u) < 0,

sebab $v - u > 0$ . Jadi $f(v) < f(u)$ : $f$ tegas turun pada $\R$ .

Latihan 3.7 ★★

Tunjukkan bahwa fungsi $f(x) = x^2 + 6x + 11$ mempunyai minimum pada $\R$ , lalu berikan nilainya dan tempat nilai itu dicapai. (Petunjuk: tulislah $f(x) = (x + 3)^2 + c$ dengan konstanta $c$ yang tepat.)

Solusi

Solusi Latihan 3.7.

Lengkapkan kuadratnya: $(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$ , jadi

f(x) = x^2 + 6x + 11 = (x + 3)^2 + 2 .

Untuk setiap $x$ berlaku $(x+3)^2 \geq 0$ , jadi $f(x) \geq 2$ ; dan $f(-3) = 0 + 2 = 2$ . Minimum $f$ adalah $2$ , dicapai di $x = -3$ .

Latihan 3.8 ★★

Sebuah kebun berbentuk persegi panjang berkeliling $40$ m. Misalkan $x$ lebarnya, dalam meter.

Nyatakan panjangnya, lalu luasnya $A(x)$ , sebagai fungsi dari $x$ . Untuk $x$ yang mana hal ini bermakna?
Hitunglah $A(4)$ , $A(8)$ , $A(10)$ , $A(12)$ dan $A(16)$ . Apa dugaanmu tentang bentuk yang luasnya terbesar?

Solusi

Solusi Latihan 3.8.

1. Panjang $+$ lebar $= 20$ , jadi panjangnya $20 - x$ dan

A(x) = x(20 - x).

Kedua ukurannya harus positif: $0 < x < 20$ .

2. $A(4) = 64$ , $A(8) = 96$ , $A(10) = 100$ , $A(12) = 96$ , $A(16) = 64$ . Nilainya naik sampai $x = 10$ lalu turun secara simetris: luasnya tampak terbesar untuk $x = 10$ , yaitu untuk kebun persegi. (Bab 10 membuktikan dugaan ini.)

Latihan 3.9 ★★

Misalkan $f(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}$ , terdefinisi pada $\R$ .

Tunjukkan bahwa $0 < f(x) \leq 1$ untuk setiap bilangan real $x$ .
Apakah $f$ mempunyai maksimum pada $\R$ ? Minimum? Berikan alasannya.

Solusi

Solusi Latihan 3.9.

1. Untuk setiap $x$ : $x^2 + 1 \geq 1 > 0$ , jadi $f(x) = \frac{1}{x^2+1}$ bernilai positif; dan karena $x^2 + 1 \geq 1$ , mengambil kebalikannya (kedua ruas positif) memberi $f(x) \leq 1$ .

2. Maksimum: $f(0) = 1$ dan $f(x) \leq 1$ untuk semua $x$ , jadi $1$ maksimumnya, dicapai di $0$ . Minimum: $f(x) > 0$ selalu, tetapi tidak ada nilai $x$ yang mencapai $0$ (hasil bagi bilangan taknol bernilai taknol), dan $f$ mengambil nilai sedekat yang kita mau ke $0$ untuk $x$ besar; jadi $f$ tidak mempunyai minimum.

Latihan 3.10 ★★★

Misalkan $f(x) = x^2$ pada $\R$ .

Misalkan $0 \leq u < v$ . Faktorkan $f(v) - f(u)$ lalu simpulkan bahwa $f$ tegas naik pada $\intco{0}{+\infty}$ .
Sesuaikan alasannya untuk menunjukkan bahwa $f$ tegas turun pada $\intoc{-\infty}{0}$ .

Solusi

Solusi Latihan 3.10.

1. $f(v) - f(u) = v^2 - u^2 = (v-u)(v+u)$ . Jika $0 \leq u < v$ , maka $v - u > 0$ dan $v + u > 0$ (jumlah bilangan taknegatif dan bilangan positif), jadi $f(v) - f(u) > 0$ : $f$ tegas naik pada $\intco{0}{+\infty}$ .

2. Jika $u < v \leq 0$ , maka $v - u > 0$ tetap berlaku, tetapi kini $v + u < 0$ (jumlah bilangan takpositif dan bilangan negatif), jadi $f(v) - f(u) < 0$ : $f$ tegas turun pada $\intoc{-\infty}{0}$ .

3.6 Soal: Mesin yang disuapi keluarannya sendiri

Soal 3.1

Soal akhir pekan — titik tetap, iterasi, dan tiga mesin termasyhur: penyempurna Heron, pengkuadrat, dan mesin hujan es yang belum terpecahkan

Fungsi adalah sebuah mesin: sebuah bilangan masuk, sebuah bilangan keluar. Percobaan yang paling menarik menyuapi mesin itu dengan keluarannya sendiri, berulang-ulang — lalu dua pertanyaan menjadi utama: apakah prosesnya mengendap di suatu tempat (sebuah titik tetap), dan bagaimana variasi mesin itu menuntunnya ke sana? Salah satu mesin dalam soal ini sudah dua ribu tahun mengasah akar kuadrat; mesin yang lain menjaga soal tak terpecahkan yang paling termasyhur dalam matematika dasar.

Bagian I — Mesin Heron. Tinjaulah fungsi

f(x) = \frac12\left(x + \frac2x\right).

Berikan daerah asal $f$ , lalu hitunglah $f(1)$ , $f(2)$ dan $f\!\left(\frac32\right)$ sebagai pecahan eksak.
Carilah semua prapeta dari $\frac32$ : selesaikan $f(x) = \frac32$ (hilangkan penyebutnya lalu pakai metode Soal 2.1).
Sebuah titik tetap $f$ adalah bilangan yang tidak diubah oleh mesin itu: $f(x) = x$ . Carilah kedua titik tetap $f$ . Kenalan lama yang mana menjaga titik tetap positifnya?
Mulai dari $x = 1$ , suapkan keluaran mesin itu kembali ke dalamnya tiga kali lalu catat hasil eksaknya. Barisan mana pada soal akhir pekan tentang sifat irasional di jilid sebelumnya yang baru saja dibangun kembali — dan apa itu “resep Heron” dalam bahasa fungsi?
Pada satu gambar, sketsalah grafik $f$ (untuk $x > 0$ ) dan garis diagonal $y = x$ . Di manakah letak titik tetapnya pada gambar itu? (Bandingkan dengan soal akhir pekan tentang dua termometer di jilid sebelumnya: suhu yang terbaca sama pada kedua skala adalah gagasan yang sama.)

Bagian II — Mengapa mesin itu tak mungkin meleset.

Untuk $0 < u < v$ , tunjukkan dengan menyamakan penyebutnya bahwa

$f(v) - f(u) = \frac{(v - u)(uv - 2)}{2uv} ,$

lalu simpulkan variasi $f$ pada $\intoo{0}{+\infty}$ : turun sampai suatu titik, lalu naik — titik yang mana? (Teknik yang sama seperti pada Latihan 3.10.)
Simpulkan bahwa pada $\intoo{0}{+\infty}$ fungsi $f$ mempunyai minimum, yang nilainya tepat $\sqrt2$ , dicapai di $\sqrt2$ . Apa artinya hal ini bagi setiap keluaran mesin itu (untuk masukan positif)?
Tunjukkan bahwa jika $x > \sqrt2$ maka $\sqrt2 < f(x) < x$ : terkaan yang kebesaran selalu diperbaiki, tidak pernah kelewatan. (Untuk $f(x) < x$ , bandingkan $\frac2x$ dengan $x$ .)
Rangkailah pertanyaan 6–8 menjadi tabel variasi $f$ pada $\intoo{0}{+\infty}$ (Definisi 3.9), lengkap dengan minimumnya.
Mesin kedua: $g(x) = x^2$ . Titik tetapnya adalah $0$ dan $1$ (periksa). Iterasikan $g$ empat kali dari $x = 0.9$ , lalu empat kali dari $x = 1.1$ (dengan kalkulator, tiga angka desimal). Satu titik tetap menarik, yang lain menolak: yang mana yang mana?

Bagian III — Mesin hujan es. Pada bilangan bulat positif, definisikan: $h(n) = \frac n2$ jika $n$ genap, dan $h(n) = 3n + 1$ jika $n$ ganjil. Bilangan memantul di bawah $h$ seperti butir hujan es di dalam awan badai.

Hitunglah seluruh penerbangan $7$ di bawah $h$ , sampai ke $1$ . Berapa langkah yang diperlukan, dan setinggi apa ia terbang?
Mulailah penerbangan $27$ lalu hitunglah sepuluh langkah. (Seluruh penerbangannya berlangsung $111$ langkah dan memuncak di $9\,232$ — padahal berangkat dari $27$ .) Pelajaran apa tentang aturan sederhana yang diajarkan oleh $7$ dan $27$ ?
Jelaskan mengapa setiap penerbangan yang mencapai pangkat dari $2$ langsung terjun ke $1$ , dan apa yang terjadi di $1$ (hitunglah $h(1)$ , $h(4)$ , $h(2)$ ). Apakah $h$ mempunyai titik tetap di antara bilangan bulat positif? Apa yang justru dibentuk oleh ujung setiap penerbangan yang teramati?
Dugaan Collatz menyatakan bahwa setiap bilangan awal pada akhirnya mencapai $1$ . Komputer telah memeriksanya jauh melampaui $10^{20}$ ; tidak seorang pun pernah membuktikannya. Dua macam temuan apa yang akan menggugurkannya? Dan mengapa pemeriksaan besar-besaran tetap tidak menutup perkaranya (soal akhir pekan tentang ramalan batang korek api di jilid sebelumnya pernah membunyikan lonceng ini)?
“Matematika belum matang untuk pertanyaan semacam itu,” kata Paul Erdős tentang dugaan ini. Dalam satu kalimat: apa yang membedakan mesin hujan es dari mesin Heron, yang pertanyaan 6–8 sudah menuntaskan segalanya?

Bagian IV — Buku petunjuk pemakai mesin.

Daerah asal sebagai interval (dalam bahasa Soal 1.1): berikan daerah asal $x \mapsto \sqrt{x - 3}$ , $x \mapsto \frac{1}{x^2 - 9}$ , $x \mapsto \sqrt{9 - x^2}$ .
Kembali ke $f$ milik Heron: carilah prapeta eksak dari $3$ (selesaikan $f(x) = 3$ dengan melengkapkan kuadrat sempurna).
Sebuah batu dilempar ke atas: tingginya $H(t) = 20t - 5t^2$ meter setelah $t$ detik. Pada selang waktu mana rumus itu bermakna secara fisis? Lengkapkan kuadratnya untuk mencari tinggi maksimum dan waktunya (Definisi 3.12), lalu berikan tabel variasinya.
Berapa lama batu itu berada paling sedikit $15$ m di atas tanah? (Selesaikan $H(t) \geq 15$ dengan tabel tanda, Metode 2.17.)
Penutup: soal ini menjalankan empat mesin — penyempurna Heron, pengkuadrat, mesin hujan es, dan tinggi batu. Dalam dua atau tiga kalimat, nyatakan apa yang dimiliki setiap fungsi (daerah asal, aturan, grafik) dan dua pertanyaan besar yang diajukan soal ini kepada masing-masing (ke mana iterasinya mengendap? bagaimana fungsi itu bervariasi?) — pertanyaan yang akan digarap satu per satu oleh bab-bab berikutnya.

Solusi

Solusi Soal 3.1.

1. Daerah asal: $x \neq 0$ (pembagian oleh $x$ ). $f(1) = \frac12(1 + 2) = \frac32$ ; $f(2) = \frac12(2 + 1) = \frac32$ ; $f\!\left(\frac32\right) = \frac12\left(\frac32 + \frac43\right) = \frac{17}{12}$ .

2. $\frac12\left(x + \frac2x\right) = \frac32$ memberi $x^2 + 2 = 3x$ , yaitu $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) = 0$ : jadi prapeta dari $\frac32$ adalah $1$ dan $2$ — seperti sudah diisyaratkan pertanyaan 1.

3. $f(x) = x$ memberi $x + \frac2x = 2x$ , jadi $\frac2x = x$ , $x^2 = 2$ : titik tetapnya $\sqrt2$ dan $-\sqrt2$ . Yang positif adalah diagonal persegi satuan, yang irasional menurut soal akhir pekan tentang sifat irasional di jilid sebelumnya.

4. $1 \to \frac32 \to \frac{17}{12} \to \frac{577}{408}$ : hampiran Heron bagi $\sqrt2$ . Resepnya, “rata-ratakan terkaan dengan $2/$ terkaan”, tepat sama dengan mengiterasi fungsi $f$ — dan bilangan yang dikejar proses itu adalah titik tetap $f$ .

5. Titik tetapnya adalah perpotongan grafiknya dengan diagonal $y = x$ : menyuapkan keluarannya kembali membuat titik itu berjalan sepanjang grafik menuju perpotongan tadi. Pada soal akhir pekan tentang dua termometer di jilid sebelumnya, angka $-40^\circ$ adalah gagasan memotong diagonal yang sama, untuk fungsi konversinya.

6. $f(v) - f(u) = \frac{v - u}{2} + \frac1v - \frac1u = \frac{v - u}{2} + \frac{u - v}{uv} = (v - u)\left(\frac12 - \frac{1}{uv}\right) = \frac{(v - u)(uv - 2)}{2uv}$ . Untuk $0 < u < v \leq \sqrt2$ : $uv < 2$ , isi kurungnya negatif, $f(v) < f(u)$ : turun. Untuk $\sqrt2 \leq u < v$ : $uv > 2$ : naik. Titik baliknya: $\sqrt2$ .

7. Turun sebelum $\sqrt2$ , naik sesudahnya: $f$ mencapai minimumnya di $\sqrt2$ , bernilai $f(\sqrt2) = \frac12\left(\sqrt2 + \frac{2}{\sqrt2}\right) = \sqrt2$ . Akibatnya: setiap keluaran mesin itu (untuk masukan positif) paling sedikit $\sqrt2$ — setelah satu putaran engkol, semua terkaan berada di $\intco{\sqrt2}{+\infty}$ .

8. Jika $x > \sqrt2$ , maka $x^2 > 2$ , sehingga $\frac2x < x$ dan rata-rata $f(x)$ dari $x$ dan $\frac2x$ lebih kecil daripada $x$ ; lalu $f(x) \geq \sqrt2$ menurut pertanyaan 7, dengan kesamaan hanya di $x = \sqrt2$ . Jadi $\sqrt2 < f(x) < x$ : setiap iterasi memperbaiki secara tegas tanpa kelewatan — barisan pada pertanyaan 4 meluncur turun ke $\sqrt2$ .

9. Pada $\intoo{0}{+\infty}$ : turun dari $+\infty$ (dekat $0$ ) sampai minimum $\sqrt2$ di $x = \sqrt2$ , lalu naik tanpa batas.

10. $g(x) = x$ memberi $x^2 = x$ , $x(x - 1) = 0$ : titik tetapnya $0$ dan $1$ . Dari $0.9$ : $0.81$ , $0.656$ , $0.430$ , $0.185$ — meluncur ke $0$ . Dari $1.1$ : $1.21$ , $1.464$ , $2.144$ , $4.595$ — lari ke takhingga. Titik tetap $0$ menarik, $1$ menolak: beda sehelai rambut di awal, nasib yang berlawanan.

11. $7 \to 22 \to 11 \to 34 \to 17 \to 52 \to 26 \to 13 \to 40 \to 20 \to 10 \to 5 \to 16 \to 8 \to 4 \to 2 \to 1$ : enam belas langkah, memuncak di $52$ .

12. $27 \to 82 \to 41 \to 124 \to 62 \to 31 \to 94 \to 47 \to 142 \to 71 \to 214 \to \dots$ — masih mendaki setelah sepuluh langkah, dalam perjalanan menuju puncak $9\,232$ dan penerbangan sepanjang $111$ langkah. Pelajarannya: aturan dua baris dapat menghasilkan perilaku yang tak tertebak sekilas — bilangan bertetangga ( $26$ , $27$ , $28$ ) mempunyai penerbangan yang jauh berbeda.

13. Pangkat dari $2$ terbagi dua menuruni seluruh tangganya: $2^k \to 2^{k-1} \to \dots \to 2 \to 1$ . Di dasarnya, $h(1) = 4$ , $h(4) = 2$ , $h(2) = 1$ : penerbangannya masuk ke daur $4 \to 2 \to 1 \to 4$ . Titik tetap menuntut $\frac n2 = n$ (hanya $n = 0$ ) atau $3n + 1 = n$ (negatif): tidak ada di antara bilangan bulat positif — penerbangan yang teramati berakhir bukan pada titik tetap, melainkan pada daur kecil itu.

14. Contoh penyangkalnya berupa penerbangan yang membesar selamanya (tidak pernah kembali ke $1$ ) atau daur kedua yang lepas dari $4 \to 2 \to 1$ . Pemeriksaan sampai $10^{20}$ menyisakan tak hingga banyak bilangan yang belum teruji — persis pelajaran daerah lingkaran pada soal akhir pekan tentang ramalan batang korek api di jilid sebelumnya: kecocokan pada berhingga banyak kasus tidak membuktikan apa pun tentang semuanya.

15. Pada mesin Heron kita punya struktur — selisih terfaktorkan (pertanyaan 6) yang menyingkap variasinya, sebuah minimum, sebuah apitan — sedangkan aturan pergantian paritas mesin hujan es tidak menawarkan pegangan semacam itu: belum ada yang menemukan struktur yang menjinakkannya.

16. $\sqrt{x - 3}$ : menuntut $x - 3 \geq 0$ : $\intco{3}{+\infty}$ . $\frac{1}{x^2 - 9}$ : menuntut $x \neq \pm 3$ : $\R$ tanpa $-3$ dan $3$ . $\sqrt{9 - x^2}$ : menuntut $x^2 \leq 9$ : $\intcc{-3}{3}$ .

17. $f(x) = 3$ memberi $x + \frac2x = 6$ , jadi $x^2 - 6x + 2 = 0$ , yaitu $(x - 3)^2 = 7$ : $x = 3 - \sqrt7$ atau $x = 3 + \sqrt7$ (keduanya positif: dua prapeta eksak).

18. Bermakna secara fisis selama batu itu melayang: $H(t) = 5t(4 - t) \geq 0$ untuk $t \in \intcc{0}{4}$ . Setelah dilengkapkan: $H(t) = 20 - 5(t - 2)^2$ : maksimum $20$ m pada $t = 2$ s. Variasinya: naik pada $\intcc{0}{2}$ dari $0$ ke $20$ , lalu turun pada $\intcc{2}{4}$ kembali ke $0$ .

19. $20t - 5t^2 \geq 15 \iff t^2 - 4t + 3 \leq 0 \iff (t - 1)(t - 3) \leq 0 \iff t \in \intcc{1}{3}$ : dua detik penuh di atas $15$ m.

20. Setiap mesin mempunyai daerah asal (tempat aturannya berlaku), sebuah aturan (rumus atau pergantian paritas), serta grafik atau tabel yang menampilkannya utuh. Kepada masing-masing kita ajukan dua pertanyaan besar: ke mana pengulangan bermuara (titik tetap, daur, tarikan — terpecahkan untuk Heron, terbuka untuk mesin hujan es) dan bagaimana keluaran bergerak mengikuti masukan (variasi, nilai ekstrem — puncak batu, minimum Heron). Bab-bab berikutnya mempertajam keduanya: fungsi acuan lebih dahulu, lalu, pada tahun-tahun mendatang, turunan untuk mengukur variasi dan limit untuk memastikan ke mana iterasi mendarat.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 395 istilah di glosarium